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1. Introdução
O objetivo principal da Análise Combinatória é a determinação do número de possibilidades de 
um dado e evento ocorrer.
2. Fatorial
Seja um número natural qualquer n, chamamos de fatorial de n ou n fatorial:
- ao número 1 quando n = 0 ou n = 1;
- ao produto de todos os números naturais consecutivos de n até 1 para qualquer n  1, ou 
seja.
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1
onde:
- n  IN e n  1
- n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n).
Exemplos:
1) 3! = 3 . 2 . 1 = 6
2) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
3) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
3. Problemas de Contagem
3.1. Análise Combinatória: É uma parte da matemática que estuda e desenvolve método para 
a resolução de problemas que envolvem contagem.
3.2. Princípio fundamental de contagem: Mostra-nos um método algébrico para determinar 
o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem precisar descrever 
todas as possibilidades.
3.2.1. Princípio aditivo:
Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si, para 
ocorrer esse evento existem m + n possibilidades.
Ex.: Para realizar viagens entre Maceió (AL) e Recife (PE), dispõe-se de 3 companhias 
diferentes de aviação e 5 empresas de ônibus. Se alguém quiser realizar essa viagem 
de ônibus ou de avião dispõe de quantas possibilidades?
- Companhias de avião  x , y e z.
- Empresas de ônibus  A, B, C, D e E
 Avião ou ônibus
 3 5
Possibilidades  3 + 5 = 8
3.2.2. Princípio multiplicativo:
Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1ª etapa existem 
m maneiras e para realizar a 2ª etapa, n maneiras, então para ocorrência desse evento 
existem m . n possibilidades.
Ex.: 1 – Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5 e 6?
2166.6.6  números
Ex.: 2 - Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
1204.5.6  números.
3.3. Denominamos de árvore das possibilidades o esquema desenvolvido para mostrar todas 
as possibilidades de um acontecimento.
Ex.: 1 – De quantas maneiras diferentes 3 pessoas podem se sentar num sofá de 3 lugares?
 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa
 (3 possibilidades) (2 possibilidades) (1 possibilidade)
número de possibilidades para 1ª etapa é 3
número de possibilidades para 2ª etapa é 2
número total de possibilidades 3 . 2 = 6
P 2 P 3 P 1 P 2 P 3
 P 1
 P 3 P 2 P 1 P 3 P 2
 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3
 P 2
 P 3 P 1 P 2 P 3 P 1
 P 1 P 2 P 3 P 1 P 2
 P 3 
 P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 
4. Arranjos Simples
- Arranjos Simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de 
outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
- Arranjos Simples de n elementos tomados p a p são todos os agrupamentos sem repetição 
que é possível formar com p (n  p) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos 
de um conjunto dado.
- O número total desses arranjos simples, é dado pela fórmula:
 An,p = 
)!pn(
!n

An,p - lê-se arranjo simples de n elementos tomados p a p. Sendo n  p.
Ex.: 1 - Calcular
a) A7,2 b) A8,2
A7,2 = 
)!27(
!7

 A8,2 = 
)!28(
!8

A7,2 = 
!5
!7 A8,2 = 
!6
!8
A7,2 = 
!5
!5.6.7 A8,2 = 
!6
!6.7.8
A7,2 = 42 A8,2 = 56
5. Arranjos com Repetição
O número total de arranjos quando existem elementos repetidos é dado pela fórmula.
An,p = np
onde:
n  representa a quantidade de elementos.
p  representa a quantidade de elementos por grupo.
Ex.: Quantos números de dois algarismos podemos formar com os dígitos 1, 2, 4, 5,, 6 e 7 ?
An,p = np
A6,2 = 62
A6,2 = 36
6. Combinação Simples
- Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de 
outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
- Define-se combinações simples de n elementos distintos tomados p a p (n  p) todos os 
subconjuntos de p elementos que é possível formar a partir de um conjunto com n elementos.
- O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de 
arranjos de n elementos formados p a p, dividido por p! ou seja.
Cn,p = 
!p
A p,n
Cn,p = 
!p
)!pn(
!n

Cn,p = 
!p
1
.
)!pn(
!n

Cn,p = 
)!pn(!p
!n

Ex.: Calcula C5,3
C5,3 = 
)!35(!3
!5

C5,3 = 
!2.!3
!3.4.5
C5,3 = 
2
20
C5,3 = 10
7. Permutação Simples
- Permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupos ordenado desses n
elementos.
- O número de permutações simples é dado pela fórmula:
Pn = An,n = n! = n . (n – 1) (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1
Ex.: 1 Calcule:
a) P4
 P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1
 = 24
b) P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
 = 720
8. Permutação com Repetição
O número de permutações com elementos repetidos é dado por:
P
!γ.....!β.!α
!n
=)γ...,β,α(n
onde:
n  representa a quantidade de elementos 
, , ... ,  represente o número de elementos repetidos.
Ex.: Qual o número de anagramas da palavra RENATTA?
n = 7 P
!β.!α
!n
=β,αn
 = 2 P
!.!
!
=.
22
722
7
 = 2 P
22
234567 222
7 .
!.....
=.
P 12602.27 
1. De quantas maneiras diferentes podemos pintar uma bandeira de 3 listras, usando as cores azul 
e vermelho?
2. Lançando uma moeda duas vezes seguidas, quais os resultados possíveis?
3. Lançando-se um dado duas vezes seguidas, quais as possibilidades de que a soma obtida seja 
igual a 9 ?
4. Pedro e Renata disputam entre si um torneio de tênis. O primeiro a ganhar 2 partidas seguidas 
ou 3 alternadas vence o torneio. Quais os resultados possíveis no torneio?
5. Utilizando o diagrama de árvore representar os anagramas da palavra AMOR.
6. Representar no diagrama de árvore a quantidade de números naturais de dois algarismos 
distintos que podemos formar com os números 2, 3, 4 e 5.
7. Representar no diagrama de árvore as palavras começadas pela consoante t da palavra PATO.
8. Um teatro tem 4 portas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair do 
teatro?
9. Rivaldo tem 4 camisas, 3 calças, 2 pares de sapatos e 1 par de meias. De quantas maneiras 
diferentes ele poderá se vestir usando uma peça de cada conjunto?
10. Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9?
11. Quantas placas de veículos podem ser feitas, se forem usadas duas letras de um alfabeto de 
26 letras, seguidas por 4 algarismos?
12. Quantas placas de veículos podem ser feitas, se forem usadas duas letras de um alfabeto de 
26 letras, seguidas por 4 algarismos, de modo que não seja permitida a repetição de letras nem 
de algarismos?
13. Quantos são os prognósticos possíveis numa aposta de loteria esportiva (com 13 jogos)?
14. Renata tem 5 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 2 casacos. De quantas maneiras diferentes 
ela poderá se vestir, usando uma peça de cada conjunto?
15. Uma escola tem 6 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair da 
escola?
16. Calcule:
a) 5! d) 6! – 4!
b) 7! e) 6 + 4!
c) 6! f) 5! – 15
17. Simplifique:
a) 
( )
( )!+n
!+n
1
2
d) 
!)1n(
1
!n
1


b) 
!n
!n!)1n( 
e) 
!)2n(!)1n(
!)1n(!n

e) 
!)3n(
!)4n(


18. Resolva a equação:
5
4
!)1n(!)1n(
)!n( 2 

19. Resolva as seguintes equações:
a) (n + 1) ! = 120
b) 12
!)2n2(
!)n2( 

c) 25
!)1n(n
!)1n(!)1n( 


d) 
n4
1
!)1n(
!)1n( 


20. Sejam n e k números naturais tais que:
!)1k(15!)2k(!)3k(e210
!)1n(
!)1n( 


 calcule n + k.
21. Calcule:
a) 
1,82,9
2,53,42,6
AA
AAA


b) 
3,72,10
3,51,62,5
AA
AAA


22. Simplifique:
3n,31n,5
2n,4n,6
AA
AA




23. Resolva as equações:
a) Ax,3 – Ax,2 = 0
b) An,2 + An -1,2 + An -2,2 = 20
c) Cn + 1,1 = 6
d) An,2 + Cn,2 = 45
e) An,3 + Cn – 1,2 = 9 (n – 1)
f) An – 1,2 + 2 . Cn + 1,2 = 58
!)2n(
!n 

g) 3 . Am,3 – 2 . Cm,2 = 2 . 
!)2m(
Pm

24. Calcule x, sabendo-se que os números C3,1 , Cx,2 e Ax,2 podemos formar, nessa ordem, uma 
Progressão Geométrica.
25. Calcule m e n no sistema:
=A
=C
n,m
n,m
156
78
26. Quantos números de quatro algarismo distintos formam com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?
27. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numera;ao 
decimal ?
28. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9 ?
29. Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos distintos 
escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 ?
30. Quantas concessões com 6 membros podemos formar com 10 alunos?
31. Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, 
sendo pelo menos 4 delas pretas?
32. Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas concessões de 3 físicos e 4 
matemáticos podemos formar?
33. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 
3, 5 e 7 ?
34. Calcule o valor de m que verifica a relação:
8
3
P
P.mP
1m
2mm 



35. Quantos são os anagramas:
a) da palavra AMOR ?
b) do nome ENIGMA que começam com EN.
36. De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de 
modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física 
fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?
37. Num colégio há 7 professores de Matemática, 5 de Física e 4 de Química. Quantas comissões 
podemos formar com 3 professores de cada disciplina.
38. Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes é 
possível acomodá-las na Kombi (3 nos bancos da frente, 3 no banco do meio e 3 no banco 
traseiro) de forma que uma das 4 que dirigem ocupe o lugar da direção?
39. Quantos anagramas da palavra FUVEST começam e terminam por vogal?
40. Qual o número de anagramas das palavras.
a) Aposentado
b) Sossegado
c) Rodoviária
1. (UFAL-1985) Se Ax + 2 . 2 = 42, então Cx – 1,3 é:
a) 1 c) 4 e) 10
b) 3 d) 6
2. (UFAL-1983) Se Cx + 1,2 , Cx + 2,3 e Ax + 1,2 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, 
então o valor de x é:
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
3. (UFAL–1988) Os números naturais x e y são tais que (2x + 4y) ! = 720 e 22x – y = 64. Nessas 
condições. Cx + 2y , y + 1 é:
a) 15 c) 4 e) 1
b) 10 d) 3
4. (UFAL-1986) Se o número natural k é solução da equação Cn,2 = 45, então o valor de k1 é:
a) 0,5 c) 0,18 e) – 10
b) 0,25 d) 0,1
5. (FMABC-SP) Simplifique 
!
!+!
100
102101
a) 101 103 c) 100 000 e) 10 403
b) 102 ! d) 101 !
6. (FDBEF-DF) Sendo 
10
1
2
1
=
!)+m(
!m)+m(
 e tendo em vista que m  0, o valor de m é:
a) 6 c) 10
b) 8 d) 12
7. (U.F.Uberlândia) Uma valor de m que satisfaz a equação 
!)2m(
P
.35C2A6 m2,m4,m 
 é:
a) 10 c) 8 e) 5
b) 6 d) 4
8. (F. C. Chagas – BA) Se o número de combinações de m elementos, tomados dois a dois, é igual 
a 15, então o valor da expressão (m – 1) ! - Am + 1,2 é:
a) 81 c) 12 e) – 6
b) 78 d) 9
9. (FEI-SP) Se 
25
6
!n!)1n(
!)1n(!n 


, então:
a) n = 3 c) n = 5 e) n = 7
b) n = 4 d) n = 6
10. (FURRN) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números inteiros de quatro 
algarismos distintos. Dentre eles, a quantidade de números divisíveis por 5 é:
a) 20 c) 60 e) 180
b) 30 d) 120
11. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela 
e sair da mesma por uma porta diferente é:
a) 8 c) 40 e) 56
b) 16 e) 48
12. (FGV-SP) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar 
igual a 3 ?
a) 1512 c) 504 e) 4!504
b) 3!504 d) 3024
13. (FGV-SP) Quantos números impares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo 
número, podemos formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 :
a) 210 c) 200 e) 1680
b) 7! e) 840
14. UF-RN) A quantidade de números de dois algarismos que se pode formar com os algarismos 2, 
3, 5, 7 e 9 é igual a:
a) 5 c) 15 e) 25
b) 10 d) 20
15. (FGV-SP) As placas de automóveis são constituída de duas letras seguidas de quatro 
algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas usando-se as vogais do alfabeto e 
os algarismos pares?
a) 400 c) 7812 e) n.d.a.
b) 31250 d) 15625
16. (UFS-Car-SP) Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila 
pode ser formada, de modo que a moça fique sempre em 1º lugar?
a) 24 c) 18 e) 6
b) 12 d) 4
17. (UNICRUZ-RS) Calculando 3mA sabendo que 84C
3
m  . Obtemos para resultado:
a) 504 c) 756 e) 636
b) 748 d) 1325
18. (Mack-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas 
ocuparem as cadeiras é:
a) 1680 c) 8.4! e) 32
b) 8! d) 
4
!8
19. (Mack-SP) De um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras posso convidar uma ou mais para 
jantar:
a) 120 c) 31 e) 5
b) 30 d) 32
20. (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem 
ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
a) 500 c) 4500 e) 55
b) 720 d) 25
21. (FGV-SP) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. 
De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois das dez são marido e mulher e só 
irão juntos ?
a) 126 c) 115 e) 122
b) 28 d) 165
22. (FGV-SP) Sobre uma mesa são colocados em linha 6 moedas. O número total de moedas 
possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltada para cima é:
a) 360 c) 30 e) 15
b) 48 d) 120
23. (FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal 
é:
a) 24 c) 96 e) 144
b) 48 d) 120
24. (CONVESU) O número de anagramas que podemos formar com a palavra VESTIBULAR, de 
modo que as 3 letras VES, nesta ordem, permaneçam juntas é:
a) 241920 c) 40320 e) 5040
b) 120960 d) 80640
25. (UEL-PR) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e n – 2 vezes a letra C, podemos formar 
20 anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. O valor de n é:
a) 3 c) 5 e) 7
b) 4 d) 6
26. (U.F.-PA) Marcam-se 20 pontos em uma circunferência. O número de cordas que estes pontos 
determinam é:
a) 380 c) 160 e) 60
b) 190 d) 120
27. (F.G.V.-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam em O ?
a) 7! c) 30 e) 90
b) 5! e) 60
28. (F.C.Chagas-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm 
as vogais juntas:
a) 36 b) 120 e) 180
b) 72 c)144
29. (Fatec-SP) Se o número de permutações simples de n elementos é 120, então o número de 
combinações simples que se podem formar com esses n elementos, 2 a 2, é igual a:
a) 10 c) 24 e) 60
b) 20 d) 30
30. (Mack-SP) Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 homens. O número de comissões de 5 
pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é:
a) 70 c) 140 e) 252
b) 84 d) 210
31. (UEL-PR)O valor de P4 + A5,3 – C6,0 é:
a) 29 c) 83 e) 724
b) 54 d) 144
32. (UNITAU-SP) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos 
num conjunto de dez pessoas é:
a) 120 c) 102 e) 110
b) 210 d) 220
33. (Unitau-SP) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, 
nesta ordem, é:
a) 9! c) 
!2!3
!9 e) 
!3
!11
b) 11! d) 
!2
!11
34. (UFAL-1988) A expressão 
4
2,53,10
P
AC 
 é igual a:
a) 2
7 c) 5 e) 120
b) 
6
35 d) 35
35. (UFAL-1987) A expressão 
!)1n(!47116
!n!15!48

 , onde n  1, e equivalente a:
a) 3 n c) 
)1n(
n

e) 3 . (n – 1)
b) 
24
n d) n – 1
36. (U.F. PR) Qual é a alternativa que contém o(s) valor(es) de n que satisfazem a igualdade 
Cn + 2,4 = An + 1,3 ?
a) 2 c) 24 e) 22 e 24
b) 22 d) 22 e 2
37. (UFAL) Na situação da figura abaixo, quantos triângulos distintos podem ser traçados tendo 
como vértices os pontos assinalados na circunferência ?
a) 216 c) 60 e) 10
b) 120 d) 20
38. (Eng. de Alimentos-Barretos)
Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de matemática, 4 de física e 3 de química. De 
quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto 
permanecer juntos ?
a) 103680 c) 150 e) 6
b) 17280 d) 12
39. (UFPA) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminado Poe L ?
a) 24 c) 720 e) 1440
b) 120 d) 240
40. Alfredo, Arnaldo, Renato, Ricardo e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, 
onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:
a) 10 c) 30 e) 120
b) 24 d) 60
 F A
 E B
 D C