Series e Sequencias

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Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Fundamentos de Matemática para Computação
FMC
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de
Matemática
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Sequências e Somatórios
Introdução
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Sequências e Somatórios
Introdução
Sequências são listas ordenadas de elementos.
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Sequências e Somatórios
Introdução
Sequências são listas ordenadas de elementos.
São usadas de várias maneiras.
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Sequências e Somatórios
Introdução
Sequências são listas ordenadas de elementos.
São usadas de várias maneiras.
Podem representar soluções de certos problemas de
contagem.
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Sequências e Somatórios
Introdução
Sequências são listas ordenadas de elementos.
São usadas de várias maneiras.
Podem representar soluções de certos problemas de
contagem.
São estruturas de dados importantes em computação.
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Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
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Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
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Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
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Matemática
para
Computação
Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
constantes,
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para
Computação
Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
constantes,
uma variável x,
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de
Matemática
para
Computação
Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
constantes,
uma variável x,
operações elementares de aritmética,
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de
Matemática
para
Computação
Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
constantes,
uma variável x,
operações elementares de aritmética,
raízes n-ésimas, exponenciais e logaritmos
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Fórmulas Fechadas
Definição 1 (Fórmula fechada)
Uma expressão é uma fórmula fechada se, e somente se,
pode ser expressa analiticamente em termos de um número
delimitado de certas funções bem conhecidas.
Estas funções são elementares:
constantes,
uma variável x,
operações elementares de aritmética,
raízes n-ésimas, exponenciais e logaritmos
(também incluem funções trigonométricas e funções
trigonométricas inversas).
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de
Matemática
para
Computação
Sequências
Definição 2 (Sequência)
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de
Matemática
para
Computação
Sequências
Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
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de
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para
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Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
Usamos an para indicar a imagem do número inteiro n.
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para
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Sequências
Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
Usamos an para indicar a imagem do número inteiro n.
Chamamos an de termo da sequência.
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de
Matemática
para
Computação
Sequências
Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
Usamos an para indicar a imagem do número inteiro n.
Chamamos an de termo da sequência.
Usamos a notação {an} para descrever a sequência.
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Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
Usamos an para indicar a imagem do número inteiro n.
Chamamos an de termo da sequência.
Usamos a notação {an} para descrever a sequência.
Exemplo 1
1, 2, 3, 5, 8 é uma sequência com cinco termos e 1, 3, 9, 27,
81, . . ., 30, . . . é uma sequência infinita.
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Sequências
Definição 2 (Sequência)
É uma função de um subconjunto dos números inteiros
para um conjunto S.
Usamos an para indicar a imagem do número inteiro n.
Chamamos an de termo da sequência.
Usamos a notação {an} para descrever a sequência.
Exemplo 1
1, 2, 3, 5, 8 é uma sequência com cinco termos e 1, 3, 9, 27,
81, . . ., 30, . . . é uma sequência infinita.
Exemplo 2
Considere a sequência {an} em que an =
1
n
.
A lista de termos dessa sequência, começando por a1, ou seja,
a1, a2, a3, a4, . . ., começa com 1,
1
2 ,
1
3 ,
1
4 , . . ..
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Definição 3 (Progressão Geométrica)
É uma sequência na forma a, a · r, a · r2, . . . , a · rn, . . . em que o
termo inicial a e a razão r são números reais.
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Definição 3 (Progressão Geométrica)
É uma sequência na forma a, a · r, a · r2, . . . , a · rn, . . . em que o
termo inicial a e a razão r são números reais.
Observação
Uma progressão geométrica é o análogo discreto de uma função
exponencial f(x) = a · rx.
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Sequências
Exemplo 3
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Sequências
Exemplo 3
As sequências {bn}, com bn = (−1)n, {cn}, com
cn = 2 · 5
n e {dn}, com dn = 6 · (
1
3)
n são PGs com termo
inicial e razão comum igual a 1 e -1; 2 e 5; 6 e 13 ,
respectivamente, se começarmos com n = 0.
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Computação
Sequências
Exemplo 3
As sequências {bn}, com bn = (−1)n, {cn}, com
cn = 2 · 5
n e {dn}, com dn = 6 · (
1
3)
n são PGs com termo
inicial e razão comum igual a 1 e -1; 2 e 5; 6 e 13 ,
respectivamente, se começarmos com n = 0.
A lista de termos de b0, b1, b2, b3, b4, . . . começa com 1, -1,
1, -1, 1, . . .
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de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exemplo 3
As sequências {bn}, com bn = (−1)n, {cn}, com
cn = 2 · 5
n e {dn}, com dn = 6 · (
1
3)
n são PGs com termo
inicial e razão comum igual a 1 e -1; 2 e 5; 6 e 13 ,
respectivamente, se começarmos com n = 0.
A lista de termos de b0, b1, b2, b3, b4, . . . começa com 1, -1,
1, -1, 1, . . .
A lista de termos de c0, c1, c2, c3, c4, . . . começa com 2, 10,
50, 250, 1250, . . .
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Matemática
para
Computação
Sequências
Exemplo 3
As sequências {bn}, com bn = (−1)n, {cn}, com
cn = 2 · 5
n e {dn}, com dn = 6 · (
1
3)
n são PGs com termo
inicial e razão comumigual a 1 e -1; 2 e 5; 6 e 13 ,
respectivamente, se começarmos com n = 0.
A lista de termos de b0, b1, b2, b3, b4, . . . começa com 1, -1,
1, -1, 1, . . .
A lista de termos de c0, c1, c2, c3, c4, . . . começa com 2, 10,
50, 250, 1250, . . .
A lista de termos de d0, d1, d2, d3, d4, . . . começa com 6, 2,
2
3 ,
2
9 ,
2
27 . . .
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Definição 4 (Progressão Aritmética)
É uma sequência na forma a, a+ d, a+ 2 · d, . . . , a+ n · d, . . .
em que o termo inicial a e a diferença (ou razão) d são
números reais.
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Definição 4 (Progressão Aritmética)
É uma sequência na forma a, a+ d, a+ 2 · d, . . . , a+ n · d, . . .
em que o termo inicial a e a diferença (ou razão) d são
números reais.
Observação
Uma progressão aritmética é o análogo discreto de uma função
linear f(x) = d · x+ a.
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Exemplo 4
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de
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Sequências
Exemplo 4
As sequências {sn}, com sn = −1 + 4 · n e {tn}, com
tn = 7− 3 · n são PAs com termos iniciais e razão comuns
iguais a -1 e 4; 7 e -3, respectivamente, se começarmos
com n = 0.
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para
Computação
Sequências
Exemplo 4
As sequências {sn}, com sn = −1 + 4 · n e {tn}, com
tn = 7− 3 · n são PAs com termos iniciais e razão comuns
iguais a -1 e 4; 7 e -3, respectivamente, se começarmos
com n = 0.
A lista de termos de s0, s1, s2, s3, s4, . . . começa com -1, 3,
7, 11, . . .
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exemplo 4
As sequências {sn}, com sn = −1 + 4 · n e {tn}, com
tn = 7− 3 · n são PAs com termos iniciais e razão comuns
iguais a -1 e 4; 7 e -3, respectivamente, se começarmos
com n = 0.
A lista de termos de s0, s1, s2, s3, s4, . . . começa com -1, 3,
7, 11, . . .
A lista de termos de t0, t1, t2, t3, t4, . . . começa com 7, 4,
1, -2, . . .
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exemplo 4
As sequências {sn}, com sn = −1 + 4 · n e {tn}, com
tn = 7− 3 · n são PAs com termos iniciais e razão comuns
iguais a -1 e 4; 7 e -3, respectivamente, se começarmos
com n = 0.
A lista de termos de s0, s1, s2, s3, s4, . . . começa com -1, 3,
7, 11, . . .
A lista de termos de t0, t1, t2, t3, t4, . . . começa com 7, 4,
1, -2, . . .
As sequências a1, a2, . . . an são finitas,usadas na
computação e chamadas de cadeias, denotadas por
a1a2 . . . an.
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Sequências
Exemplo 4
As sequências {sn}, com sn = −1 + 4 · n e {tn}, com
tn = 7− 3 · n são PAs com termos iniciais e razão comuns
iguais a -1 e 4; 7 e -3, respectivamente, se começarmos
com n = 0.
A lista de termos de s0, s1, s2, s3, s4, . . . começa com -1, 3,
7, 11, . . .
A lista de termos de t0, t1, t2, t3, t4, . . . começa com 7, 4,
1, -2, . . .
As sequências a1, a2, . . . an são finitas,usadas na
computação e chamadas de cadeias, denotadas por
a1a2 . . . an.
A extensão de cadeia S é o número de termos nessa
cadeia. A cadeia vazia, indicada por λ, é a cadeia que
não tem termos, ie, extensão 0.
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Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
Fundamentos
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Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
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para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
3 1, -1, 1, -1, 1, . . .
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
3 1, -1, 1, -1, 1, . . .
Solução
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
3 1, -1, 1, -1, 1, . . .
Solução
1 an =
1
2n , sendo uma PG com a = 1 e r =
1
2 .
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para
Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
3 1, -1, 1, -1, 1, . . .
Solução
1 an =
1
2n , sendo uma PG com a = 1 e r =
1
2 .
2 an = 2 · n+ 1, sendo uma PA com a = 1 e d = 2.
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Computação
Sequências
Exercício 1
Encontre as fórmulas para as sequências com os seguintes
termos:
1 1, 12 ,
1
4 ,
1
8 ,
1
16 , . . .
2 1, 3, 5, 7, 9, . . .
3 1, -1, 1, -1, 1, . . .
Solução
1 an =
1
2n , sendo uma PG com a = 1 e r =
1
2 .
2 an = 2 · n+ 1, sendo uma PA com a = 1 e d = 2.
3 an = (−1)
n, sendo uma PG com a = 1 e r = −1.
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de
Matemática
para
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Sequências
Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
1 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59.
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
1 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59.
2 1, 7, 25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, 59047.
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
1 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59.
2 1, 7, 25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, 59047.
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Solução
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de
Matemática
para
Computação
Sequências
Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
1 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59.
2 1, 7, 25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, 59047.
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Solução
1 an = 5 + 6 · (n− 1) = 6 · n− 1, sendo uma PA com a = 5
e d = 6.
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Exercício 2
Como podemos construir os termos de uma sequência se os
primeiros 10 termos são:
1 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59.
2 1, 7, 25, 79, 241, 727, 2185, 6559, 19681, 59047.
Conjecture uma fórmula simples para cada um dos itens.
Solução
1 an = 5 + 6 · (n− 1) = 6 · n− 1, sendo uma PA com a = 5
e d = 6.
2 an = 3
n − 2.
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Sequências
Tabela : Algumas sequências usuais.
n-ésimo
termo
Primeiros 10 termos
n2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .
n3 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . .
n4 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, . . .
2n 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, .. .
3n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, . . .
n! 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, . . .
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de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
É a notação usada para expressar a soma dos termos
am, am+1, . . . , an da sequência {an}.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
É a notação usada para expressar a soma dos termos
am, am+1, . . . , an da sequência {an}.
Usamos a notação:
n∑
j=m
aj ou
∑n
j=m aj ou
∑
1≤j≤n aj .
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de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
É a notação usada para expressar a soma dos termos
am, am+1, . . . , an da sequência {an}.
Usamos a notação:
n∑
j=m
aj ou
∑n
j=m aj ou
∑
1≤j≤n aj .
Representa am + am+1 + · · ·+ an.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
É a notação usada para expressar a soma dos termos
am, am+1, . . . , an da sequência {an}.
Usamos a notação:
n∑
j=m
aj ou
∑n
j=m aj ou
∑
1≤j≤n aj .
Representa am + am+1 + · · ·+ an.
A variável j é chamada de índice da somatória,
começando em m e terminando em n.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
É a notação usada para expressar a soma dos termos
am, am+1, . . . , an da sequência {an}.
Usamos a notação:
n∑
j=m
aj ou
∑n
j=m aj ou
∑
1≤j≤n aj .
Representa am + am+1 + · · ·+ an.
A variável j é chamada de índice da somatória,
começando em m e terminando em n.
As leis usuais da aritmética são aplicadas à somatória:
n∑
j=1
(a · xj + b · yj) = a ·
n∑
j=1
xj + b ·
n∑
j=1
yj.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exemplo 5
Expresse a soma dos primeiros 100 termos da sequência {an},
em que an =
1
n
para n = 1, 2, 3, . . .
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exemplo 5
Expresse a soma dos primeiros 100 termos da sequência {an},
em que an =
1
n
para n = 1, 2, 3, . . .
Solução
100∑
j=1
1
j
, menor limite 1 e maior 100.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exercício 3
Qual o valor de
5∑
j=1
j2?
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exercício 3
Qual o valor de
5∑
j=1
j2?
Solução
5∑
j=1
j2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exercício 4
Qual o valor de
8∑
k=4
(−1)k?
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Exercício 4
Qual o valor de
8∑
k=4
(−1)k?
Solução
8∑
k=4
(−1)k = (−1)4 + (−1)5 + (−1)6 + (−1)7 + (−1)8 =
1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 = 1.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de
1 a 5.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de
1 a 5.
Para fazer isso, consideremos k = j − 1.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de
1 a 5.
Para fazer isso, consideremos k = j − 1.
Então, o novo índice da soma vai de 0 a 4 e o termo j2 é
dado por (k + 1)2.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de
1 a 5.
Para fazer isso, consideremos k = j − 1.
Então, o novo índice da soma vai de 0 a 4 e o termo j2 é
dado por (k + 1)2.
Assim,
5∑
j=1
j2 =
4∑
k=0
(k + 1)2.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Somatórios
Somatório
Às vezes é útil modificar o índice da somatória em uma
soma.
Suponha que tenhamos
5∑
j=1
j2.
Mas queremos o índice da somatória entre 0 e 4 em vez de
1 a 5.
Para fazer isso, consideremos k = j − 1.
Então, o novo índice da soma vai de 0 a 4 e o termo j2 é
dado por (k + 1)2.
Assim,
5∑
j=1
j2 =
4∑
k=0
(k + 1)2.
É fácil verificar que ambas as somas são 55.
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Somatórios
Tabela : Algumas fórmulas para somatórios usuais.
Soma Fórmula fechada
n∑
k=0
a · rk(r 6= 0) a·r
n+1−a
r−1 , r 6= 1
n∑
k=1
k
n·(n+1)
2
n∑
k=1
k2
n·(n+1)·(2·n+1)
6
n∑
k=1
k3
n2·(n+1)2
4
∞∑
k=0
xk, |x| < 1 11−x
∞∑
k=0
k · xk−1, |x| < 1 1
(1−x)2
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Referências Bibliográficas
Referências
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Referências Bibliográficas
Referências
Gersting, J. L.
Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
5a. edição, Editora LTC, 2004.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Referências Bibliográficas
Referências
Gersting, J. L.
Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
5a. edição, Editora LTC, 2004.
Rosen, K. H.,
Matemática Discreta e suas aplicações.
6a. edição, Editora McGraw Hill, 2009.
Fundamentos
de
Matemática
para
Computação
Referências Bibliográficas
Referências
Gersting, J. L.
Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação.
5a. edição, Editora LTC, 2004.
Rosen, K. H.,
Matemática Discreta e suas aplicações.
6a. edição, Editora McGraw Hill, 2009.
Scheinerman, Edward R.
Matemática Discreta, Uma introdução.
Thomson Pioneira, 2003.
	Sequências e Somatórios