Lista 2-Geometria Euclidiana Plana- 2019 1

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GEOMETRIA PLANA - LISTA 1
PROF. IVALDO NUNES
Exerc´ıcio 1 (Caso de congrueˆncia hipotenusa - cateto). Sejam ABC e A′B′C ′ triaˆngulo
retaˆngulos com  = Â′ = 90◦. Prove que se BC = B′C ′ e AC = A′C ′, enta˜o ABC ≡
A′B′C ′. Em outras palavras, se a hipotenusa e um cateto de ABC forem iguais a` hipote-
nusa e a um cateto de A′B′C ′, enta˜o ABC e A′B′C ′ sa˜o congruentes.
Sugesta˜o: Marque um ponto D ∈ −→AB tal que AD = A′B′. Pelo caso LAL, temos
ADC ≡ A′B′C ′. Basta checar agora que D = B. Para isso, suponha que D 6= B e
chegue a uma contradic¸a˜o.
Exerc´ıcio 2. Seja Γ um c´ırculo de centro O e AB uma corda de Γ. Se M e´ um ponto
sobre AB, prove que
OM ⊥ AB ⇔ AM = BM.
Sugesta˜o: Para provar a implicac¸a˜o (⇒) use o exerc´ıcio 1. Para obter a implicac¸a˜o (⇐)
use o caso LLL.
Exerc´ıcio 3. Seja ABC um triaˆngulo com B̂ = Ĉ. Prove que AB = BC.
Sugesta˜o: Considere a altura de ABC com relac¸a˜o ao ve´rtice A e use o caso de con-
grueˆncia LAAo (lado - aˆngulo - aˆngulo oposto).
Exerc´ıcio 4. Na figura abaixo, as retas
←→
AB e
←→
CD sa˜o paralelas. Sabendo que as medidas
dos aˆngulos ∠ABC e ∠BCD sa˜o respectivamente iguais a 3x − 20◦ e x + 40◦, calcule o
valor de x em graus.
Exerc´ıcio 5. Na figura abaixo, se r ‖ s, prove que α + β = γ.
Date: 14 de abril de 2019.
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Exerc´ıcio 6. Na figura abaixo, temos AB̂C = 20◦, BĈD = 60◦ e DÊF = 25◦. Sabendo
que as retas
←→
AB e
←→
EF sa˜o paralelas, calcule a medida do aˆngulo CD̂E.
Exerc´ıcio 7. Na figura abaixo, prove que α = DÂB + AB̂C +BĈD.
Exerc´ıcio 8. Dado um pol´ıgono convexo de n lados, fac¸a os seguintes itens:
(a) Prove que a soma dos aˆngulos internos do pol´ıgono e´
180◦(n− 2).
Sugesta˜o: Divida o pol´ıgono em triaˆngulos e use que a soma dos aˆngulos internos
de um triaˆngulo e´ 180◦.
(b) Prove que a soma de seus aˆngulos externos (um por ve´rtice) do pol´ıgono e´ 360◦.
Exerc´ıcio 9. Calcule a soma dos aˆngulos nos ve´rtices A,B,C,D e E na estrela de cinco
pontas da figura abaixo.
Exerc´ıcio 10. No triaˆngulo ABC, o ponto D ∈ BC e´ o pe´ da bissetriz intena relativa a
A. Prove que AD̂C − AD̂B = B̂ − Ĉ.
Exerc´ıcio 11. Se dois lados de um triaˆngulo iso´sceles medem 38 cm e 14 cm, calcule seu
per´ımetro.
Exerc´ıcio 12. Encontre o intervalo de variac¸a˜o de x no conjuntos dos nu´meros reais,
sabendo que os lados de um triaˆngulo sa˜o expressos em cent´ımetros por x+ 10, 2x+ 4 e
20− 2x.
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Exerc´ıcio 13. Em um triaˆngulo ABC, escolhemos aleatoriamente pontos P ∈ BC, Q ∈
AC e R ∈ AB, todos diferentes dos ve´rtices de ABC. Prove que o per´ımetro do triaˆngulo
PQR e´ menor que o per´ımetros do triaˆngulo ABC.
Exerc´ıcio 14. Dado um quadrila´tero convexo ABCD, prove que o ponto P do plano
para qual a soma PA+ PB + PC + PD e´ mı´nima e´ o ponto de intersec¸a˜o das diagonais
de ABCD.
Exerc´ıcio 15. Em um carto´rio de registro de imo´veis, um escriva˜o recusou-se a transcre-
ver o registro de um terreno triangula cujos lados, segundo o proprieta´rio, mediam 100
m, 60 m e 20 m. Voceˆ pode dar um argumento que justifique a atitude do escriva˜o?
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