Apêndice+2

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APÊNDICE
UNIDADE 2
Teoria de controle 
moderno II
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados11
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 2: Projeto de sistemas de controle em espaço de 
estados
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 2.1
1. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Vamos analisar todas as alternativas:
I. Os ganhos do controlador podem ser obtidos igualando-se os 
coeficientes da equação característica do sistema aos coeficientes da 
equação característica desejada. CORRETA.
Essa afirmativa está correta. Uma vez que os polos desejados sejam 
conhecidos, é possível escrever a equação característica do sistema 
desejado e igualar os coeficientes com os da equação característica 
do sistema realimentado.
II. Quando o sinal de controle não pode afetar uma ou mais variáveis 
de estado, o sistema é denominado controlável. ERRADA.
Da definição de controlabilidade, quando através de uma entrada 
não é possível um estado alcançar um valor final desejado a partir de 
um valor inicial, o sistema é dito não controlável. Em outras palavras, 
quando uma entrada afeta (controla) a variável de estado, isso significa 
que o sistema é controlável. Portanto, a afirmativa está incorreta.
III. Apenas é possível desenvolver o projeto por realimentação de 
estados se o sistema for controlável. CORRETA.
Apenas quando uma entrada é capaz de afetar (controlar) as variáveis 
de estado do sistema é possível realizar o controle por realimentação 
de estados e posicionar livremente os polos desejados no plano 
complexo.
IV. Para verificar a controlabilidade do sistema, o projetista deve 
analisar a matriz de controlabilidade MC . Se posto M nc( )¹ , sendo n a 
ordem do sistema, então ele é controlável. ERRADA.
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados12
Para que o sistema seja controlável, o posto da matriz de controlabilidade 
deve ser igual à ordem do sistema, ou seja: posto M nc( )= .
V. A matriz de controlabilidade é dada por: M B AB A BC
n= 


−

1 . 
CORRETA.
Para verificar a controlabilidade de um sistema de ordem n , 
montamos uma matriz denominada matriz de controlabilidade MC 
que corresponde, segundo a eq. (2.6) a M B AB A BC
n= 


−

1 .
2. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Vamos analisar cada um dos sistemas. 
Lembrando que a matriz de controlabilidade é dada por 
M B AB A BC
n= 


−

1 . Para o sistema ser controlável é necessário 
que o posto de MC seja igual à ordem do sistema analisado. Vamos lá:
Sistema I. x x u=
−
−







 +








1 1
1 2
0
1 
M B AB
L L L
MC C=   = −







 = +
=
0 1
1 2 2
0
2 2 1
, 
escalonando temos:
 
11
1 0








Como o resultado são duas linhas/colunas linearmente independentes: 
posto M nC( )= = 2 .
Portanto, o Sistema I é controlável.
Sistema II. x x u=







 +








0 1
0 2
1
0
M B ABC =   =








1 0
0 0
Devido à linha/coluna nula, isso indica que as duas linhas/colunas são 
linearmente dependentes: posto M nC( )= ≠1 .
Portanto, o Sistema II é não-controlável.
Sistema III. x x u=
−












+












2 0 0
0 2 0
0 0 4
2
0
5
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados13
M B AB A BC = 

 =
−












2
2 4 8
0 0 0
5 20 80
Devido à linha/coluna nula: posto M nC( )= ≠2 . 
Portanto, o Sistema III é não-controlável.
Assim, temos que a alternativa correta é a letra c) I-S, II-N, III-N.
3. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Primeiro, precisamos escrever o sistema na 
forma canônica controlável. Lembrando que, para uma função de 
transferência genérica: G s
b s b s b
s a s a s a
n n
n
n
n
n
n
n( )=
+ + +
+ + + +
− −
−
−
−
−
1
1
2
2
1
1
2
2
0


, a forma 
canônica controlável resulta (vamos omitir a equação da saída, pois 
ela não é necessária para o projeto):
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
x
x
x
x
n
n
1
2
1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1−






















=
−− − − −



























−
−
a a a a
x
x
x
xn
n
n0 1 2 1
1
2
1
�
�
�
�
�
�

















+






















0
0
0
1
� u 
Particularizando para sistemas de quarta ordem, temos:
G s
b s b s b s b
s a s a s a s a
x
x
x
x
( )= + + +
+ + + +
→




1
3
2
3
3 4
4
3
3
2
2
1 0
1
2
3
4

















=
− − − −


















0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 2 3a a a a
x11
2
3
4
0
0
0
1
x
x
x
u


















+
















 
Portanto,
G s s
s s
s s s
s s s s
x
( ) ,
,
,
,
=
−
−
=
+ + −
+ − + +
→
0 5 5
12 5
0 0 5 0 5
0 12 5 0 0
2
4 2
3 2
4 3 2
1



x
x
x
2
3
4
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 12 5 0


















=









, 
























+
















x
x
x
x
1
2
3
4
0
0
0
1
uu
Não precisamos verificar a controlabilidade do sistema apresentado 
anteriormente, pois sistemas na forma canônica controlável serão 
sempre controláveis.
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados14
A equação característica de A-BK resulta conforme equação (2.25):
det s A BK s a k s a k s a k s a kΙ− − ( )= + +( ) + +( ) + +( ) + +( )=4 3 4 3 2 3 2 1 2 0 1 0
ss k s k s k s k
s k s k
4
4
3
3
2
2 1
4
4
3
0 12 5 0 0 0
12 5
+ +( ) + − +( ) + +( ) + +( )=
∴ + + − +
,
, 33
2
2 1 0( ) + + =s k s k
A equação característica desejada pode ser escrita através dos polos 
s12, e s3 4, dados no enunciado:
s s s s s s s s s j s j s s−( ) −( ) −( ) −( )= ⇒ + −( ) + +( ) +( ) +( )=
∴
1 2 3 4 0 4 4 4 4 20 20 0
ss s s s4 3 248 752 4480 12800 0+ + + + =
Agora vamos igualar os coeficientes do polinômio de A-BK e do 
polinômio desejado:
k
k k
k
k
4
3 3
2
1
48
12 5 752 764 5
4480
12800
=
− + = ⇒ =
=
=
, ,
Portanto, a matriz de ganho de realimentação de estados fica:
K =  12800 4480 764 5 48, . 
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 2.2
1. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: 
I. Os ganhos do observador podem ser obtidos igualando-se os 
coeficientes da equação característica do observador aos coeficientes 
da equação característica desejada. 
Esta afirmativa está correta, uma vez que os polos desejados sejam 
conhecidos, é possível escrever a equação característica do observador 
desejado e igualar os coeficientes com os da equação característica 
do observador em malha fechada.
II. Quando o sinal de saída do sistema permite deduzir todas as 
variáveis de estado, o sistema é denominado observável. 
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados15
Esta afirmativa estácorreta. Se for possível deduzir (estimar/observar) 
as variáveis de estado a partir da saída, significa que o sistema é 
observável.
III. Apenas é possível desenvolver o projeto observador de estados se 
o sistema for controlável. 
Esta afirmativa está incorreta. Apenas é possível desenvolver o projeto 
observador de estados se o sistema for observável. 
IV. Para verificar a observabilidade do sistema, o projetista deve analisar 
a matriz de observabilidade MO . Se posto M no( )= , sendo n a ordem do 
sistema, ele é observável. 
Esta afirmativa está correta. Se o número de linhas ou colunas 
linearmente independentes da matriz de observabilidade for igual à 
ordem do sistema, ele é observável.
V. A matriz de observabilidade é dada por: M C AC A CO
n= 


−

1
Esta afirmativa está incorreta. A matriz de observabilidade é dada por:
M
C
CA
CA
O
n
=

















−

1
.
2. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Analisemos cada um dos sistemas, lembrando 
que a matriz de observabilidade é dada por:
M C CA CAO
n T= 


−

1
 e para que o sistema seja observável é 
necessário que o posto de MO seja igual à ordem do sistema analisado.
Sistema I. x x u y x=
−
−







 +







 =
 
1 1
1 2
0
1
1 1; 
M
C
CA L L LO
=







 = −







 = +
1 1
0 1 1 1 2
 
escalonando temos:
 MO = −








1 0
0 1 
Como resultado, temos duas linhas/colunas linearmente 
independentes, ou seja, posto M nO( )= =2 , portanto o sistema I é 
observável.
Sistema II. x x u y x=







 +







 =
 
0 1
0 2
1
0
1 0 
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados16
M
C
CAO
=







 =








1 0
0 1
 
Como resultado, temos duas linhas/colunas linearmente 
independentes, ou seja, posto M nO( )= =2 , portanto o sistema II é 
observável.
Sistema III. x x u y=
−












+












=
2 0 0
0 2 0
0 0 4
2
0
5
1 0 1   x
MO = −












1 0 1
2 0 4
4 0 16
Devido à coluna nula: posto M nC( )< ≠3 , portanto o sistema III é não-
observável.
Assim, temos que a alternativa correta é a letra b: I-S, II-S, III-N.
3. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: Primeiramente, precisamos escrever o sistema 
na forma canônica observável. Lembrando que, para uma função de 
transferência genérica: G s
b s b s b
s a s a s a
n n
n
n
n
n
n
n( )=
+ + +
+ + + +
− −
−
−
−
−
1
1
2
2
1
1
2
2
0


, a forma 
canônica observável resulta (omitiremos a equação da saída, pois ela 
não é necessária para o projeto):
�
�
�
�
�
�
�
�
x
x
x
x
a
a
a
n
n
1
2
1
0
1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
−






















=
−
−
− 22
1
1
2
3
0 0 1
� � � � �
�
�
−
































−a
x
x
x
xn n











+






















= 
−
−
b
b
b
b
u
y
n
n
n
1
2
1
0 0 0 1
�
� 






















x
x
x
xn
1
2
3
�
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados17
Particularizando para sistemas de quarta ordem, temos:
G s
b s b s b s b
s a s a s a s a
x
x
x
x
n( )=
+ + +
+ + + +
→




1
3
2
3
3 4
3
3
2
2
1 0
1
2
3
4

















=
−
−
−
−


















0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
1
2
3
a
a
a
a
x11
2
3
4
4
3
2
1
x
x
x
b
b
b
b
u


















+


















 , y
x
x
x
x
=  


















0 0 0 1
1
2
3
4
Portanto:
G s s
s s
s s s
s s s s
( ) ,
,
,
,
=
−
−
=
+ + −
+ − + +
0 5 5
12 5
0 0 5 0 5
0 12 5 0 0
2
4 2
3 2
4 3 2




x
x
x
x
1
2
3
4
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 12 5
0 0 1 0


















=








,









+
−















=  
5
0
0 5
0
0 0 0 1
,
,u y
x
 
11
2
3
4
x
x
x


















Não precisamos verificar a observabilidade do sistema apresentado 
anteriormente, pois sistemas na forma canônica observável serão 
sempre observáveis.
A equação característica de A-LC resulta conforme equação (2.37):
p s s a s a s a s a
s s
c ( )= + +( ) + +( ) + +( ) + +( )=
+ +( )
4
3 4
3
2 3
2
1 2 0 1
4
4
3
0
0
   
 ++ − +( ) + +( ) + +( )=
∴ + + − +( ) + +
12 5 0 0 0
12 5
3
2
2 1
4
4
3
3
2
2
,
,
  
   
s s
s s s s 11 0=
A equação característica desejada pode ser escrita por meio dos polos 
s12, e s3 4, dados no enunciado:
s s s s s s s s s j s j s s
s
−( ) −( ) −( ) −( )= ⇒ + −( ) + +( ) +( ) +( )=
∴
1 2 3 4
4
0 1 1 10 10 0
++ + + + =22 142 240 200 03 2s s s
Agora, igualaremos os coeficientes do polinômio de A-LC e do 
polinômio desejado:

 


4
3 3
2
1
22
12 5 142 154 5
240
200
=
− +( )= ⇒ =
=
=
, ,
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados18
Assim, a matriz de ganhos do observador de estados resulta em:
L =
















200
240
154 5
22
,
.
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 2.3
1. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: A correspondência correta é:
A. CO = ctrb(A,B) – IV. Calcula a matriz de controlabilidade.
B. [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) – V. Converte uma função de 
transferência para a representação em espaço de estados na forma 
canônica controlável.
C. OB = obsv(A,C) – II. Calcula a matriz de observabilidade.
D. p = rank(M) – I. Calcula o posto de uma matriz M.
E. K = acker(A,B,P) – III. Projeta o controlador por alocação de polos 
apenas para sistemas SISO. 
2. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: O comando destinado ao projeto de controlador 
e observador no Matlab é o acker.
Para projeto de controlador, a forma correta de utilizá-lo é a seguinte:
K = acker(A,B,P).
Já para o projeto do observador, o sistema dual deve ser utilizado 
como se fossemos projetar o controlador para o sistema dual. 
S
x Ax Bu
y Cx
e S z A z C v
w B z
T T
T1 2
 = +
=



= +
=



A matriz resultante deve ser transposta para obtermos a matriz do 
observador:
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados19
L = acker(A’,C’,P); 
L = L’. 
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Observando a figura referente ao diagrama 
de blocos de um sistema dinâmico ilustrado na questão, o ramo 
correspondente à variável x(t) é utilizado para realimentar a matrizde ganhos K. Portanto, a referida figura descreve um sistema com 
controlador por realimentação de estados.