Exercícios Resolvidos_ Experimento #1

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BC1707: Métodos Experimentais em Engenharia UFABC Resolução Lista 01 (Marcos) v1.0 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 03/01/14 – pág. 1/8 
1. Na medida do comprimento de uma peça utilizando-se uma régua milimétrica plástica de baixo custo (menor 
divisão é 1 𝑚𝑚), foram realizadas várias leituras, e os resultados estão dispostos na tabela abaixo. Após a 
realização das medidas, verificou-se que a régua tinha comprimento total 5% maior do que uma régua de boa 
qualidade (considerada “padrão”). 
Como seria possível corrigir as medidas realizadas, devido ao efeito sistemático produzido pela “dilatação” da 
régua? 
Após esta correção, determine o valor do comprimento da peça, estimando sua incerteza. 
Explique e justifique seus cálculos. 
Qual a incerteza dominante no cálculo da incerteza final? 
Medidas em 𝑚𝑚 
217,0 217,3 217,4 217,1 217,1 217,5 217,3 217,6 217,2 217,0 
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Como existe um erro sistemático de 5%, cada valor obtido está com 5% de defasagem dilatada, logo cada 
valor deve ser divido por 1,05, pois: 
𝑑𝑒 = 𝑑𝑟 + 5% × 𝑑𝑟 = 1,05𝑑𝑟 
⇒ 𝑑𝑟 =
𝑑𝑒
1,05
 
onde 𝑑𝑒 e 𝑑𝑟 são os valores de distância medidos com o erro e de referência, respectivamente. Assim, as 
medidas corrigidas (e arredondadas) ficam: 
Medidas em 𝑚𝑚 
206,7 207,0 207,0 206,8 206,8 207,1 207,0 207,2 206,9 206,7 
 
 A incerteza dessas medidas pode ser estimada pela incerteza combinada, 𝜎, dada pela distância euclidiana 
da incerteza do tipo A (estatística), 𝜎𝐴, com a do tipo B (instrumental), 𝜎𝐵: 
𝜎2 = 𝜎𝐴
2 + 𝜎𝐵
2 
onde 𝜎𝐴 é encontrada pelo desvio padrão médio: 
𝜎𝐴 = ±
𝑠
√𝑛
= ±√
1
𝑛(𝑛 − 1)
∑(𝑑𝑖 − 𝑑)
2
𝑛
𝑖=1
≈ 0,05 mm 
e 𝜎𝐵 é encontrada pela metade da menor medida que a escala do instrumento pode oferecer: 
𝜎𝐵 = ±
1 mm
2
= ±0,5 mm 
 Dessa forma, a incerteza dominante nesta estimativa é a do tipo B. 
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2. Na determinação da área de uma superfície triangular, foram realizadas medições da base 𝐵 e da altura 𝐴 do 
triângulo, utilizando-se uma régua milimétrica metálica (menor divisão é 0,5 𝑚𝑚). Os resultados estão dispostos 
na tabela abaixo. 
Determine o valor da área da superfície, com o respectivo intervalo de confiança. Explique e justifique seus 
cálculos. 
 
𝐵 (𝑚𝑚) 40,2 39,8 40,1 40,5 40,0 39,9 40,2 40,4 40,3 40,0 
𝐴 (𝑚𝑚) 25,3 25,4 24,9 25,1 25,0 24,8 25,2 25,1 25,0 24,9 
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Os cálculos de área e intervalo de confiança (incerteza estimada) pode ser feitos de duas formas diferentes. 
 Na primeira (M1), calcula-se a área respectiva da média das medidas e então calcula-se a média e estima-se 
a incerteza combinada (vide exercício 1): 
𝜎Á𝑟𝑒𝑎 = √𝜎𝐴∗ Á𝑟𝑒𝑎
2 + 𝜎𝐵∗ Á𝑟𝑒𝑎
2 
dada pela propagação de erro, desses dados: 
Área𝑀1 =
𝜇𝐵 × 𝜇𝐴
2
 
𝜎𝐴∗ Á𝑟𝑒𝑎𝑀1 = ±Área𝑀1 ×
√(
𝜎𝐵
𝐵
)
2
+ (
𝜎𝐴
𝐴
)
2
 
𝜎𝐵∗ Á𝑟𝑒𝑎𝑀1 = ±
0,5 mm
2
= ±0,25 mm 
 Na segunda (M2), calcula-se a média e a incerteza combinada da base e da altura separadamente: 
Área𝑀2 =
1
10
∑ Área𝑖
10
𝑖=1
=
1
10
∑
𝐵𝑖 × 𝐴𝑖
2
10
𝑖=1
 
𝜎𝐴∗ Á𝑟𝑒𝑎𝑀2 = ±
√
1
10 × 9
∑(Área𝑖 − Área𝑀2)
2
10
𝑖=1
 
𝜎𝐵∗ Á𝑟𝑒𝑎𝑀2 = 𝜎𝐵
∗
Á𝑟𝑒𝑎𝑀1
 
e então calcula-se a área e incerteza utilizando esses últimos dados. 
 Média Incert. Área (mm²) 
𝐵 (𝑚𝑚) 40,2 39,8 40,1 40,5 40,0 39,9 40,2 40,4 40,3 40,0 40,14 ±0,07 
503,2 ±1,5 
𝐴 (𝑚𝑚) 25,3 25,4 24,9 25,1 25,0 24,8 25,2 25,1 25,0 24,9 25,07 ±0,06 
Área (mm²) 508,53 505,46 499,245 508,275 500,0 494,76 506,52 507,02 503,75 498,0 503,2 ±1,5 
 M1 
M2 . 
 
 Ambas as formas retornaram o mesmo valor de área de (503 ± 1,5) mm2. 
 
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3. Para se determinar a densidade do material de uma peça sólida, cujo formato é um prisma com base triangular 
(equilátera), foram feitas as medidas de sua massa (139,4 𝑔 ± 0,8 𝑔) e das dimensões, utilizando um paquímetro 
cujo nônio tinha 20 divisões. As leituras obtidas foram: lado do triângulo de 32,15 𝑚𝑚; altura da peça de 
101,30 𝑚𝑚. 
A partir destes dados, determine a densidade do material e o intervalo que engloba o valor verdadeiro com 95% 
de probabilidade. Explique e justifique seus cálculos. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Para se determinar a densidade do material proposto, primeiramente, deve-se obter o valor do volume 𝑉 da 
peça através das dimensões de lado do triângulo ℓ e altura ℎ utilizando a área 𝐴 da base triangular equilátera 
em função da altura 𝒽 tal que seja nula quando 𝒽 = 0 e seu valor máximo de √3ℓ2/4 quando 𝒽 = ℎ: 
𝑉 = ∫ 𝐴(𝒽)𝑑𝒽
ℎ
0
= ∫
√3
4
(
𝒽
ℎ
ℓ)
2
 𝑑𝒽
ℎ
0
=
√3
12
ℓ2ℎ 
⇒ 𝑉 =
√3
12
(32,15 × 10−3 m)2(101,30 × 10−3 m) ≈ 15,113 × 10−6 m3 
 Como tal valor, obtemos a densidade 𝜌 pela relação entre a massa 𝑚 e o volume: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
≈
139,4 g
15,113 × 10−6 m3
≈ 9,22 × 106 g/m3 
 A incerteza 𝜎𝜌 dessa medida pode ser estimada pela propagação: 
𝜎𝜌 = ±√(
𝜕𝜌
𝜕𝑚
𝜎𝑚)
2
+ (
𝜕𝜌
𝜕𝑉
𝜎𝑉)
2
= ±𝜌√(
𝜎𝑚
𝑚
)
2
+ (
𝜎𝑉
𝑉
)
2
 
A incerteza da massa é dada pelo enunciado (𝜎𝑚 = ±0,8 g). A incerteza do volume depende da propagação 
da incerteza da medida do lado do triângulo ℓ e da altura ℎ: 
𝜎ℓ = 𝜎ℎ = ±
1
2
(
1 mm
20
) = ±0,025 mm 
𝜎𝑉 = ±√(
𝜕𝑉
𝜕ℓ
𝜎ℓ)
2
+ (
𝜕𝑉
𝜕ℎ
𝜎ℎ)
2
= ±𝑉√(
𝜎ℓ
ℓ
)
2
+ (
𝜎ℎ
ℎ
)
2
 
⇒ 𝜎𝑉 ≈ ±(15,113 × 10
−6 m3)√(
0,025 mm
32,15 mm
)
2
+ (
0,025 mm
101,30 mm
)
2
= ±0,012 × 10−6 m3 
 Assim, temos que: 
𝜎𝜌 ≈ ±(9,22 × 10
6 g/m3)√(
0,8 g
139,4 g
)
2
+ (
0,012 × 10−6 m3
15,113 × 10−6 m3
)
2
= 0,05 × 106 g/m3 
 Para que obtenhamos um valor com 95% de probabilidade de certeza, devemos assumir que o valor obtido 
para a densidade assumiria uma distribuição gaussiana (normal) se fosse obtido diversas vezes. Dessa forma, 
podemos assumir que a incerteza expandida assumindo que a incerteza encontrada anteriormente é um desvio 
padrão da distribuição. Logo, aproximadamente 95% de probabilidade assume um fator 𝑘 = 2, onde: 
𝜌95% = (9,22 ± 2 · 0,05) × 10
6 g/m3 = (9,22 ± 0,10) × 106 g/m3 
 
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4. O índice de massa corpórea (𝐼𝑀𝐶) vem sendo utilizado para avaliação da saúde de homens e mulheres. Sua 
definição é: 𝐼𝑀𝐶 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2⁄ . 
Pede-se: 
 
a) Quais são as principais grandezas de influência do mensurando? 
b) Avalie as dificuldades na definição deste mensurando (por exemplo, a massa não é constante durante um dia, 
etc.). 
c) Sugira melhorias para a definição deste mensurando. 
d) Qual é a unidade do mensurando, no sistema internacional de unidades? 
e) Construa um diagrama tipo espinha de peixe para este mensurando. 
f) Calcule os coeficientes de sensibilidade para as grandezas massa e altura. Caso os equipamentos de medição 
da massa e da altura possuam a mesma incerteza relativa, e havendo possibilidade de trocar um dos 
equipamentos (apenas um) por outro de menor incerteza relativa, qual deles deve ser trocado? Justifique. 
g) Algumas referências fornecem a tabela abaixo: 
 
𝑰𝑴𝑪 Condiçãodo peso 
Abaixo de 18,5 Abaixo do peso 
18,5 a 24,9 Normal 
25,0 a 29,9 Sobrepeso 
Acima de 30 Obeso 
 
Sabendo-se que uma pessoa possui massa de 90 𝑘𝑔, e altura de 1,80 𝑚, calcule o 𝐼𝑀𝐶 (com sua incerteza 
combinada). Considere que a massa possui uma incerteza padrão de 5% e a altura, de 5% (despreze outras 
grandezas de influência). 
h) Considerando-se que, para um erro normalizado (𝐸𝑛) maior que 2 (200%), pode-se afirmar que há diferença 
significativa entre os valores. Verifique a partir de que massa, de medida com incerteza de 5%, uma pessoa 
com altura de 1,80 𝑚, com incerteza padrão de 5%, poderia ser classificada na condição de sobrepeso. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
a) Uma grandeza de influência é aquela que não é um objeto de medida, mas influencia no valor medido. 
Como o cálculo do IMC envolve o peso e a altura do indivíduo, pode-se dizer que a temperatura, a umidade, 
a pressão ambiente, o tempo em que o mesmo se encontra acordado e a quantidade de alimentos e 
líquidos ingeridos nas últimas 24 horas são grandezas de influência visíveis sobre certas condições. 
 
b) Como ressaltado no item anterior, cada grandeza de influência denotada possui uma complexidade que, 
sobre certas condições, dificultam na determinação do valor preciso do IMC. 
 
c) Para que esse valor se torne mais preciso, é necessário incluir o máximo de variáveis possíveis na equação. 
Quanto menor for a quantidade de grandezas de influência, menos variações inesperadas acontecerão em 
diferentes cálculos e menos condições serão necessárias para se tomar as medidas. 
 
d) De acordo com o SI, massa é determinada em 𝑔 e altura é determinada em 𝑚. Logo, o IMC é determinado 
em 𝑔/𝑚2. 
 
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e) 
 
f) Calculando a propagação de erro, temos: 
𝜎𝐼𝑀𝐶 = ±√(
𝜕𝐼𝑀𝐶
𝜕𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝜎𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎)
2
+ (
𝜕𝐼𝑀𝐶
𝜕𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜎𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2
 
⇒ 𝜎𝐼𝑀𝐶 = ±√(
1
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2
𝜎𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎)
2
+ (−2
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎3
𝜎𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2
 
⇒ 𝜎𝐼𝑀𝐶 = ±√(
𝐼𝑀𝐶
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝜎𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎)
2
+ (−2
𝐼𝑀𝐶
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜎𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2
 
⇒ 𝜎𝐼𝑀𝐶 = ±𝐼𝑀𝐶√(
𝜎𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
)
2
+ 4 (
𝜎𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
)
2
 
⇒ 𝜇𝐼𝑀𝐶
2 = 𝜇𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
2 + 4𝜇𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2 
Caso se queira trocar um dos instrumentos como descrito pelo enunciado, para minimizar a incerteza, deve-
se trocar o instrumento de medição de altura por um de menor incerteza, pois a incerteza relativa deste 
possui um peso 4 vezes maior na determinação da incerteza do IMC quando comparada à incerteza relativa 
da massa. 
 
g) De acordo com a equação fornecida, o índice médio é dado por: 
𝐼𝑀𝐶 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2
=
90 kg
(1,80 m)2
≈ 27,778 kg/m2 
enquanto a incerteza combinada é dada por: 
𝜎𝐼𝑀𝐶 = ±𝐼𝑀𝐶√𝜇𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
2 + 4𝜇𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2 
⇒ 𝜎𝐼𝑀𝐶 ≈ ±27,778 √0,052 + 4 · 0,052 
⇒ 𝜎𝐼𝑀𝐶 ≈ ±3 kg/m
2 
Logo, de acordo com a tabela, o valor: 
𝐼𝑀𝐶 = (28 ± 3) kg/m2 
Indica que a pessoa está obesa ou, com maior probabilidade, com sobrepeso. 
 
h) Pela definição do erro normalizado exigido pelo enunciado (considerando a incerteza como expandida): 
𝐸𝑛 =
𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑋𝑣
√𝑈𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 + 𝑈𝑋𝑣
2
≤ 2 
⇒ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑋𝑣 ≤ 2√𝑈𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 + 𝑈𝑋𝑣
2 
⇒ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 − 2𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑋𝑣 + 𝑋𝑣
2 ≤ 4(0,052𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 + 0,052𝑋𝑣
2) 
⇒ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 − 2𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑋𝑣 + 𝑋𝑣
2 ≤ 0,01𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 + 0,01𝑋𝑣
2 
⇒ 0,99𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
2 − 2𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑋𝑣 + 0,99𝑋𝑣
2 ≤ 0 
⇒ (
2 − 0,2
1,98
) 𝑋𝑣 ≤ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 ≤ (
2 + 0,2
1,98
) 𝑋𝑣 
⇒ 0, 90𝑋𝑣 ≤ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 ≤ 1, 1𝑋𝑣 
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∴ 0, 90 · 25 ≤ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 ≤ 1, 1 · 30 
22,73 kg/m2 ≤ 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 ≤ 33,33 kg/m
2 
 
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5. Os gráficos abaixo representam resultados experimentais obtidos para a variação de um mensurando 𝑦, em 
função de uma grandeza de influência 𝑥. 
 
 
 Curva experimental 1 Curva experimental 2 
 
Pede-se: 
 
a) Em ambas as curvas, trace as retas que indicam o valor do coeficiente de sensibilidade 𝐶𝑥𝑦, nos pontos 𝐴 e 𝐵. 
Estas retas representam aproximadamente: a derivada da função 𝑦(𝑥), sua integral, ou o seu valor? 
b) Em qual ponto é maior o coeficiente de sensibilidade em cada curva: 𝐶𝑥𝑦(𝐴) ou 𝐶𝑥𝑦(𝐵)? 
c) Supondo que a curva 2 seja dada pela equação 𝑦 = 𝑎𝑥, qual seria o valor do coeficiente de sensibilidade 𝐶𝑥𝑦? 
d) Sendo o mensurando 𝑦 = 𝑎𝑥, determine a expressão da incerteza em 𝑦, devido 𝑎𝑥, isto é, 𝑢𝑦(𝑥) em função 
da incerteza em 𝑥, isto é, 𝑢𝑥. 
Definindo as incertezas percentuais como sendo respectivamente: 
𝑢𝑦%(𝑥) =
𝑢𝑦(𝑥)
𝑦
· 100 𝑒 𝑢𝑥% =
𝑢𝑥
𝑥
· 100 
e) Suponha agora um mensurando dado pela equação 𝑦 = 𝑏 𝑥⁄ , calcule o valor de 𝐶𝑥𝑦 para este caso. 
Determine também as expressões de 𝑢𝑦(𝑥) e de 𝑢𝑦%(𝑥). 
f) Caso o mensurando 𝑦 seja função de duas grandezas de influência 𝑥1 e 𝑥2 (ou seja, 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2)), proponha 
métodos para determinar os coeficientes de sensibilidade de 𝑦 em relação a 𝑥1 e a 𝑥2, tanto para o caso em 
que a expressão da função 𝑓 é conhecida, como no caso em que 𝑓 seja desconhecida. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
a) O coeficiente angular da reta entre os pontos A e B representam aproximadamente a derivada da função 
𝑦(𝑥) naquela região. 
 
b) Na primeira curva, o maior coeficiente de sensibilidade se encontra no ponto 𝐴, pois a derivada 𝑦′(𝐴) nesse 
ponto é maior que 𝑦′(𝐵). Ou seja: 
𝑦′(𝐴) > 𝑦′(𝐵) ⇒ 𝐶𝑥𝑦(𝐴) > 𝐶𝑥𝑦(𝐵) 
Na segunda curva, não há maior coeficiente de sensibilidade, pois ambas as derivadas são as mesmas. Ou 
seja: 
𝑦′(𝐴) = 𝑦′(𝐵) ⇒ 𝐶𝑥𝑦(𝐴) = 𝐶𝑥𝑦(𝐵) 
 
c) O valor do coeficiente de sensibilidade seria dado pelo coeficiente de linearidade 𝑎, pois: 
𝑎 = tan(Δ𝑦/Δx) = 𝑦′ = 𝐶𝑥𝑦 
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d) Pela propagação de erro, temos: 
𝜎𝑦 = ± |
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜎𝑥| 
⇒ 𝜎𝑦 = ±|𝑎𝜎𝑥| 
⇒ 𝜎𝑦 = ± |
𝑦
𝑥
𝜎𝑥| 
⇒ |
𝜎𝑦
𝑦
| = |
𝜎𝑥
𝑥
| 
⇒ |𝑢𝑦%(𝑥)| = |𝑢𝑥%| 
 
e) Como 𝐶𝑥𝑦 = 𝑦
′, temos: 
𝐶𝑥𝑦(𝑥) = −
𝑏
𝑥2
 
As expressões de incerteza são desenvolvidas similarmente ao item anterior (pela propagação de erro): 
𝜎𝑦 = ± |
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜎𝑥| 
⇒ 𝜎𝑦 = ± |−
𝑏
𝑥2
𝜎𝑥| 
⇒ 𝜎𝑦 = ± |
𝑦
𝑥
𝜎𝑥| 
⇒ |
𝜎𝑦
𝑦
| = |
𝜎𝑥
𝑥
| 
⇒ |𝑢𝑦(𝑥)| = |𝑢𝑥| 
⇒ |𝑢𝑦%(𝑥)| = |𝑢𝑥%| 
 
f) Caso a função 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2) seja conhecida, os coeficientes de sensibilidade podem ser encontrados pelas 
derivadas parciais: 
𝐶𝑥1𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥1
 𝑒 𝐶𝑥2𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥2
 
Caso a função não seja conhecida, os coeficientes de sensibilidade podem ser encontrados atribuindo uma 
pequena variação em apenas uma variável e mensurando a variação sofrida em 𝑦.