SISTEMA DE COORDENADAS

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SISTEMA DE COORDENADAS 
Um sistema ortogonal de coordenadas consiste de duas retas numéricas perpendiculares, que 
dividem o plano em quatro quadrantes como mostra a figura.
A reta numérica horizontal chama-se eixo - x e a vertical, eixo - y . A intersecção dos dois eixos é a 
origem do sistema, e é também a origem de cada um dos eixos.
O sentido positivo do eixo - x é "para a direita" e o sentido positivo do eixo - y é "para cima".
Para marcar (localizar) o ponto associado ao par x = 2 e y = 3, denotado com (2; 3) , partimos da 
origem e contamos 2 unidades para a direita e, então, 3 unidades para cima, como mostra a figura.
O ponto P (que está no 1º quadrante) é o gráfico do par (2; 3). O par (2; 3) dá as coordenadas do 
ponto P .
Escrevemos
P (2; 3)
Para marcar o ponto Q , com coordenadas (-4; 5), partimos da origem e contamos 4 unidades para a 
esquerda e, depois, 5 unidades para cima. O ponto Q está no 2º quadrante.
Observação:
x y (x; y)
-3 -2 (-3; -2)
-2 -1 (-2; -1)
-1 0 (-1; 0)
0 1 (0; 1)
1 2 (1; 2)
2 3 (2; 3)
Os pares (-2; 3) e (2; -3) representam diferentes pontos. O primeiro está no 2º quadrante e o 
segundo, no 4º quadrante. Note que a ordem é importante quando desenhamos o gráfico de um par 
de números reais; tais pares são chamados de pares ordenados.
A primeira coordenada no par (-2; 3) chama-se abscissa , e a segunda coordenada chama-se 
ordenada .
Gráfico de uma equação
 
A igualdade y = x + 1 é uma equação com duas variáveis . Quando se substitui x por um 
determinado valor, obtém-se um valor correspondente para y . Por exemplo, quando se substitui x por 
2, obtém-se y = 2 + 1 = 3. Dizemos, então, que o par ordenado (2; 3) satisfaz a equação y = x + 1.
Há infinitos pares ordenados que satisfazem a equação y = x + 1, e todos estão situados sobre 
uma mesma reta . A seguir temos uma tabela que mostra alguns pares de números que satisfazem a 
equação.
y = x + 1
O gráfico da equação y = x + 1 é uma reta e essa equação se chama equação da reta. A reta 
contém somente aqueles pontos cujas coordenadas (x; y) satisfazem a equação y = x + 1. Aqueles 
pontos que não estão na reta têm coordenadas (x; y) tais que y x + 1; por exemplo, (1; 3) não está 
na reta porque 3 1 + 1.
Observação:
Quando o gráfico de uma equação é uma reta, a equação se chama equação linear . Uma equação 
linear sempre pode ser escrita na forma ax + by = c, onde a, b, c são constantes e x, y são 
variáveis.
Interceptos de uma reta
Vamos desenhar o gráfico da equação linear 3x + 2y = 6.
Se x = 2 temos:
3 x + 2y = 6
x y (x; y)
2 0 (2; 0)
0 3 (0; 3)
3.2 + 2y = 6
6 + 2y = 6
2y = 0
y = 0
O par (2; 0) satisfaz a equação.
Se x = 0 temos:
3x + 2y = 6
3.0 + 2y = 6
0 + 2y = 6
y = 3
O par (0; 3) satisfaz a equação.
Como bastam dois pontos para determinarmos uma reta , marcamos os pares (2; 0) e (0; 3) no 
sistema e traçamos (desenhamos) a reta que é o gráfico da equação 3x + 2y = 6
3x + 2y = 6
No exemplo, o gráfico corta o eixo - y no ponto de coordenadas (0; 3), chamado intercepto - y , e 
corta o eixo - x no ponto de coordenadas (2; 0), chamado intercepto - x
 
Exemplo
Um método muito cômodo para desenharmos o gráfico de uma equação linear como 2x + 5y = 10, é 
usarmos os interceptos.
Para determinarmos o intercepto - y , na equação substituímos x por 0 e a resolvemos para y:
2x + 5y = 10
2.(0) + 5y = 10
5y = 10
y = 2
x y (x; y)
0 2 (0; 2)
5 0 (5; 0)
O intercepto - y é o ponto (0; 2).
Para determinarmos o intercepto - x , na equação substituímos y por 0 e a resolvemos para x:
2x + 5y = 10
2x + 5.(0) = 10
2x = 10
x = 5
O intercepto - x é o ponto (5; 0)
2x + 5y = 10
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