4 - Lei de Coulomb e Campo Elétrico Parte 1

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CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1/3
Cargas Elétricas
âmbar = elektron => elétrico
Atritada com a lã atraía outros objetos
Origem: atrito lã e âmbar;
Gregos – 600 a. C (antes de Sócrates) →
Tipos de s cargas:
➢ positiva e negativa
Cargas de sinais iguais se repelem
Eletrizações:
➢ por atrito, por contato ou por indução.
Tema: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Eletromagnetismo
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Cargas de sinas contrários se atraem. 
Eletrização por atrito
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Cargas Elétricas
Eletromagnetismo
Eletrização por contato (condução)
A carga elétrica é transferida do bastão de vidro
para a esfera metálica através do fio de cobre,
carregando positivamente a esfera.
Cargas Elétricas
O fio conduz a carga do bastão de vidro com
carga positiva para a esfera metálica.
Eletromagnetismo
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletrização por indução
Cargas Elétricas
Eletromagnetismo
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
A experiência de Coulomb
Este valor passou a ser uma medida relativa da força
de atração. Repetindo estas experiências e colocando a
carga eletrizada a várias distâncias, Coulomb percebeu
que a força elétrica era inversamente proporcional ao
quadrado da distância.
Girando o ponteiro Coulomb compensava esta rotação,
e lia na escala graduada o valor deste ângulo.
Medição da força elétrica entre cargas puntiformes
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Lei de Coulomb
Coulomb aproximou uma terceira esfera (q2) metálica
carregada eletricamente de uma das esferas presas à
haste (q1, também carregada) repelindo-a e fazendo
com que a fibra rotacionasse de um certo ângulo 𝜃.
Eletromagnetismo
Conclusões tiradas por Coulomb:
✓ Ocorrem interações entre cargas puntiformes: Forças Elétricas
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
✓ As forças elétricas entre cargas puntiformes obedecem à terceira lei de Newton
Eletromagnetismo
Repulsão
𝐹1 𝑒𝑚 2 = −𝐹2 𝑒𝑚 1
Cargas de sinais iguais
se repelem
Atração
Cargas de sinas contrários
se atraem
𝐹1 𝑒𝑚 2 = 𝐹2 𝑒𝑚 1
Enunciado da Lei de Coulomb
𝐹 = 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑅2
Matematicamente,
K – cte de proporcionalidade:
𝑄1 𝑒 𝑄2 − são cargas elétricas em coulombs (C);
R – distância em metros (m);
F – força em newtons (N), tal que 𝑘 = Τ1 4𝜋𝜀0
𝜀0– permissividade do espaço livre:
Para outro meios que não sejam o vácuo,  = r . 0
r - (permissividade relativa ou constante dielétrica do meio).
Lei de Coulomb
𝐹 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄1𝑄2
𝑅2
=
1
4𝜋
10−9
36𝜋
𝑄1𝑄2
𝑅2
𝐹 = 9 × 109.
𝑄1𝑄2
𝑅2
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Eletromagnetismo
Outra forma de expressar a Lei de Coulomb:
A Lei de Coulomb estabelece que a foça entre duas cargas
pontuais 𝑄1 e 𝑄2 é:
a) Ao longo da linha que une as duas cargas;
b) Diretamente proporcional ao produto das duas cargas;
c) Inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre as duas cargas.
𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
= 9 × 109 𝑚/𝐹
𝜖0 = 8,854 × 10
−12 ≅
10−9
36𝜋
𝐹/𝑚
Observação:
Forma vetorial da Lei de Coulomb
𝑄1 e 𝑄2 são cargas estáticas localizadas em pontos cujos vetores
posição são 𝐫1e 𝐫2, respectivamente, conforme a figura.
𝐅12 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
a𝑅12
𝐑12 = 𝐫2 − 𝐫1 𝑅 = 𝐑12 𝐚𝑅12 =
𝐑12
𝑅
𝐅12 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
𝐑12
𝑅 𝐅12 =
𝑄1𝑄2 (𝐫2 − 𝐫1)
4𝜋𝜖0 𝐫2 − 𝐫1 3
Onde:
Então,
• Força 𝑭𝟐𝟏 sobre 𝑸𝟏 devido 𝑸𝟐:
⇒
=
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅3
𝐑12
ou 𝐅21 = −𝐅12 já que 𝐚𝑅21 = −𝐚𝑅12
• Força 𝑭𝟏𝟐 sobre 𝑸𝟐 devido𝑸𝟏:
𝐅21 = 𝐅21 a𝑅21 = 𝐅21 ( − a𝑅21)
∴
Lei de Coulomb
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Eletromagnetismo
𝐹12 é a força sobre 𝑄2 devido 𝑄1
𝐹21 é a força sobre 𝑄1 devido 𝑄2
Exemplo 
1 - Ache a força que atua sobre uma carga Q1 = 20𝜇C devido à presença de outra Q2 = - 300𝜇C. A primeira carga está
na posição (0,1,2) e a segunda em (2,0,0), todas as distâncias expressas em metros.
Solução :
𝑅21 = 2, 0, 0 − 0, 1, 2 = 2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧
𝑎21 =
1
3
(2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧)
𝐹21 =
20 × 10 −6 −300 × 10−6
4𝜋
10−9
36𝜋 3
2
.
(2𝑎𝑥−𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧)
3
𝑅21 = 22 + 12 + 22 = 3
Lei de Coulomb
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Eletromagnetismo
𝐹21 = 6
2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧
3
= 4𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧
𝐹21 = 42 + −2 2 + −4 2 = 𝟔 𝑵
z
y
x
𝑸𝟏
𝑸𝟐
𝑭𝟐𝟏
0, 1, 2
2, 0, 0
𝑹𝟐𝟏
Direção da força resultante: 𝐹1.
Princípio de Superposição
Quando temos mais de duas cargas, a força resultante numa
determinada carga será a soma das forças individuais de cada carga
agindo sobre ela.
Pela figura temos que a força elétrica sobre a carga Q5 será dada
pelo somatório das forças devido a cada uma das cargas.
Genericamente:
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
𝐹𝑖 =෍
𝑗≠𝑖
𝐹𝑗𝑖 =
𝑄𝑖
4𝜋𝜖0
෍
𝑗≠𝑖
𝑄𝑗
𝑟𝑗𝑖2
𝒓𝑖𝑗
Exemplo:
Sejam três partículas de cargas 𝑄1 = 1𝜇∁, 𝑄2 = −2𝜇∁ 𝑒 𝑄3 = 3𝜇∁, localizadas nos
vértices de um triangulo retângulo cujos lados medem a = 1m e b = 1 m, conforme a
figura. Calcule o módulo da força resultante sobre a partícula de carga negativa.
Os módulos que
atuam sobre a carga
negativa são:
𝐹12 = 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑏2
(−𝑎𝑦)
𝐹32 = 𝑘
𝑄3𝑄2
𝑎2
(𝑎𝑥)
Solução :
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
As direções das forças são:
𝐹 = 𝑘
𝑄3𝑄2
𝑎2
(𝑎𝑥) + 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑏2
(−𝑎𝑦) =
= 9 × 109
3 × (−2 × 10−6)
12
(𝑎𝑥) + 9 × 10
9
1 × (−2 × 10−6)
12
(−𝑎𝑦)
|𝐹| = 56.920 (N)
𝐹 = −54 × 103(𝑎𝑥) − 18 × 10
3(𝑎𝑦)
𝑅12 = 0 − 0 𝑎𝑥 + (0 − 1)𝑎𝑦 = −𝑎𝑦
𝑅32 = 1 − 0 𝑎𝑥 + (1 − 1)𝑎𝑦 = 𝑎𝑥
𝐹 = 𝐹32 + 𝐹12
Eletromagnetismo
𝑘 = 9 × 109 𝑚/𝐹(0, 0)
(0, 1) (1, 1)
Exercícios resolvidos
Solução :
ER1 – Supondo duas cargas pontuais 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 localizadas a uma distância 𝒅 uma da outra e fixas no eixo 𝒙. Colocando uma terceira
carga 𝒒𝟑 , em uma posição 𝒙 qualquer, verifica-se que a mesma permanece em repouso em relação às duas primeiras. Em que
condições este equilíbrio de forças pode ocorrer?
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Como a carga está em repouso, a resultante das
forças sobre 𝑞3é nula.
𝐹23 = 𝑘
𝑞2𝑞3
𝑥 − 𝑑 2
a𝑥
𝑞1 𝑥 − 𝑑
2 = −𝑥2𝑞2
𝐹13 = 𝑘
𝑞1𝑞3
𝑥2
a𝑥
𝐹13 = −𝐹23 Esta condição nos mostra que a solução só poderá ser atingida
para o caso das duas cargas fixas 𝑞1 e 𝑞2 tiverem sinais opostos.
Eletromagnetismo
𝑥 − 𝑑 2
𝑥2
=
−𝑞2
𝑞1
𝑥 − 𝑑
𝑥
= −
𝑞2
𝑞1
𝑥 − 𝑥 −
𝑞2
𝑞1
= 𝑑 𝑥 =
𝑑
1 − −
𝑞2
𝑞1
𝐹3 = 𝐹13 + 𝐹23 = 0
⇒
⇒
⇒
𝐹13
𝐹23
𝐹3 = 𝐹13 + 𝐹23
∴
𝑘
𝑞1𝑞3
𝑥2
a𝑥 = −𝑘
𝑞2𝑞3
𝑥 − 𝑑 2
a𝑥
𝐹13 = −𝐹23
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
ER2 - Duas pequenas esferas, cada uma com massa 𝑚 = 1 grama, estão
suspensas próximas uma da outra por duas cordas de comprimento 𝑙 =
10 𝑐𝑚, como ilustrado na Figura a. Considere que as esferas estão colocadas
no vácuo e que experimentam uma atração gravitacional (𝑔 = 9,8 Τ𝑚 𝑠2).
Quando cada esfera é carregada com uma carga Q, elas se separam por uma
distância de 𝑑 = 1 𝑐𝑚, como ilustra a Figura b. Determine o valor de Q.
Exercícios resolvidos
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Solução :
A carga pode ser calculada a partir da distância de separação𝑑.
A força gravitacional em cada esfera tem módulo igual a 𝑚𝑔 e aponta para baixo.
A força de Coulomb é de repulsão, tem módulo dado por 𝐹 = Τ𝑄2 4𝜋𝜖0 e
aponta na direção horizontal.
No equilíbrio, cada corda tem o seu eixo alinhado com a direção da força total,
correspondendo à soma vetorial da força gravitacional com a força elétrica de
Coulomb.
A carga pode ser calculada a partir da semelhança entre os triângulos formados
pelas forças e pelas cordas.
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Solução (Cont.) :
𝐹 =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
Substituindo 𝐹 por Τ(𝑄2 4𝜋𝜖0 𝑑
2) e
tirando o valor de Q:
𝑄2 =
2𝜋𝜖0𝑑
3
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
. 𝑚𝑔
Com 𝜖0 = 8,854 × 10
−12 F/m, 𝑑 = 0,01 𝑚, 𝑙 = 0,1 𝑚 e 
𝑚 = 10−3 𝑘𝑔, obtém-se: 𝑸 = 𝟐, 𝟑𝟑𝟕𝟔𝒏𝑪.
𝑄 =
2𝜋𝜖0𝑑3. 𝑚𝑔
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
𝐹 𝒎𝒈
𝒍
𝒅
𝟐
𝐹
Τ𝑑 2
=
𝑚𝑔 2 + 𝐹2
𝑙
𝐹2. 𝑙2 = Τ𝑑 2 2 𝑚𝑔 2 + 𝐹2
𝐹2. 𝑙2 − Τ𝑑 2 2 = Τ𝑑 2 2. 𝑚𝑔 2
𝐹 =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
Τ(𝑄2 4𝜋𝜖0 𝑑
2) =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
Solução :
ER-3 - Duas cargas puntiformes estão localizadas no lado direito do eixo Ox de um sistema de coordenadas cartesianas. A carga
𝑞1 = 1,0𝑛𝐶 está localizada a 2,0 cm da origem, e a carga 𝑞2 = −3,0𝑛𝐶 está localizada a 4,0 cm da origem. Qual é a força total
exercida por essas duas cargas sobre uma carga 𝑞3 = 5,0𝑛𝐶 localizada na origem? Despreze as forças gravitacionais.
Forca elétrica resultante sabre a carga 𝑞3 devido as outras duas
cargas (aplicação do princípio da superposição):
𝑞3 + é repelida por 𝑞1 (+) e atraída por 𝑞2 (-):
𝑭1 𝑒𝑚 3 = 112𝜇𝑁 (−a𝑥)
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Fig. a
𝐹3 = 𝐹13 − 𝐹23
Fig. b
𝐹13 𝐹23
a𝑟 13 =
−2𝑎𝑥
𝑎𝑟 13
=
−2𝑎𝑥
2
= −a𝑥
r13 = 0,0 − 2,0 = −2a𝑥
𝐅13 =
𝑞1𝑞3
4𝜋𝜖0𝑟2
a𝑟13
𝐅13 = 9 × 10
9
(1,0 × 10−9). (5,0 × 10−9)
0,020 2
. (−a𝑥)
𝑎𝑟 13 = 22 = 2
Exercícios resolvidos (para estudo)
Solução (Cont.):
Lei de Coulomb
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Fig. a Fig. b
𝑭2 𝑒𝑚 3 = 84𝜇𝑁 (−a𝑥)
a𝑟 23 =
−4𝑎𝑥
𝑎𝑟 1 𝑒𝑚 3
=
−4𝑎𝑥
4
= −a𝑥
r23 = 0,0 − 4,0 = −4a𝑥
𝐅23 =
𝑞2𝑞3
4𝜋𝜖0𝑟2
a𝑟23
𝐅23 = 9 × 10
9
(3,0 × 10−9). (−5,0 × 10−9)
0,040 2
. (−a𝑥)
𝑎𝑟 23 = 42 = 4
𝐹13 𝐹23 𝐹3 = 𝐹13 − 𝐹23
𝐹3 = 112𝜇𝑁 (−a𝑥) − 84𝜇𝑁 (−a𝑥)
𝐹3 = 28𝜇𝑁 (−a𝑥)
1 - Duas cargas pontuais, 𝑄1 = 500𝜇∁ 𝑒 𝑄2 = 10𝜇∁, estão localizadas respectivamente em
(-1, 1, -3)m e (3, 1, 0)m, conforme mostrado na figura. Encontre a força aplicada em 𝑄1.
A força possui módulo 0,18 N, com direção dada pelo vetor −0,8𝑎𝑥 − 0,6𝑎𝑧
Expressando segundo as suas componen𝑡𝑒𝑠: 𝐹1 = −0,144𝑎𝑥 − 0,108𝑎𝑧 N
Resposta:
2 - Uma carga pontual 𝑄1 = 300𝜇∁, localizada em (1, -1, -3)m, sofre ação de uma força
𝐹1 = 8𝑎𝑥 − 8𝑎𝑦 + 4𝑎𝑧 (N), devida a uma carga pontual situada em (3, -3, -2)m. Calcule 𝑄2.
Resposta:𝑄2 = −40𝜇∁
Exercícios propostos (Referência: Eletromagnetismo – Edminister)
Campo Elétrico (E)
AULA 6: Lei de Coulomb e Campo Elétrico– Parte 3
Eletromagnetismo
Assuntos da próxima aula:
Campo Elétrico