Mecânica o Sólidos I

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1. 
 
 
Considere três forças coplanares F1, F2 e F3, concorrentes e em 
equilíbrio. Se o ângulo entre as forças, duas a duas, é 1200, 
determine a relação entre as forças. 
 
 
F1 = F2 = F3 
 
 
F1 > F2 > F3 
 
 
F1- F2 = F3 
 
 
F1 + F2 = F3 
 
 
F1 < F2 < F3 
 
 
 
Explicação: 
Quando um corpo está em equilíbrio sob ação de três forças concorrentes e os ângulos entre cada duas é 
de 120º, as forças são iguais 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Três forças coplanares são descritas por F = (2.t -1).i + 3j. + (2-
5.m).k, G = 3.i + (2.n-1).j + 0.k e H = 4.i - 3j - 2.k. Determine a 
soma t + m + n, para que a resultante valha zero 
 
 
- 3,5 
 
 
- 4,0 
 
 
- 3,0 
 
 
- 2,0 
 
 
- 2,5 
 
 
 
Explicação: 
R = F + G + H = (2.t-1).i + 3j. + (2-5.m).k + 3.i + (2.n-1).j + 0.k + 4.i - 3j - 2.k. 
R =(2.t-1 + 3 + 4).i + (3 + 2.n - 1- 3).j. + (2- 5.m - 2).k = 0.i + 0.j + 0.k 
2t - 1 + 3 + 4 = 0, logo t = -3 
3 + 2n - 1 - 3 = 0, logo n = 0,5 
2 - 5m - 2 = 0, logo m = 0 
Assim, a soma será -2,5 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Duas forças de 5N e 6N formam um ângulo de 600. Qual a 
intensidade da força resultantes? 
 
 
9,54 N 
 
 
7,95 N 
 
 
8,54 N 
 
 
7,54 N 
 
 
8,94 N 
 
 
 
Explicação: 
R2 = F2 + f2 +2F.f.cos600 
R2 = 52 + 62 +2.5.6.(1/2) 
R2 = 52 + 62 +2.5.6.(1/2) 
R = 91 N = 9,54 N 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere uma força F = 3i + 5j atuando num ponto P cujo vetor 
posição é dado por 2i - 4j. Determine o momento da força F em 
relação ao ponto P. 
 
 
22.k 
 
 
18.k 
 
 
11.k 
 
 
20.k 
 
 
15.k 
 
 
 
Explicação: 
M = r x F = 22.k 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Grandeza física 
que dá uma 
medida da 
tendência de 
uma força provoca
r rotação em torno 
de um ponto ou 
eixo é chamado 
de: 
 
 
 Momento de uma força 
 
 Deformação 
 
 Compressão 
 
 Segunda Lei de Newton 
 
 Tração 
 
 
 
Explicação: 
Definição de momento 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma partícula está sob a ação de duas forças de intensidades 3N 
e 4N. Que valor o módulo da resultante não pode assumir: 
 
 
 
6N 
 
 
5N 
 
 
7N 
 
 
8N 
 
 
4N 
 
 
 
Explicação: 
A resultante tem que ser maior ou igual a diferença das forças (1N) e menor ou igual a soma das forças 
(7N) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um vetor força tem módulo 20 N e faz um ângulo agudo com a 
horizontal tal que a tangente valha ¾. Escreva este vetor em suas 
componentes retangulares. 
 
 
F = 6i + 8j 
 
 
F = 8i + 6j 
 
 
F = 10i + 10j 
 
 
F = 4i + 3j 
 
 
F = 3i + 4j 
 
1. 
 
 
Considere um ponto material em equilíbrio sob a ação de três forças coplanares. Assinale a opção 
correta: 
 
 
As três forças sempre serão concorrentes 
 
 
As três forças serão paralelas ou concorrentes 
 
 
Não existe uma disposição geográfica predeterminada 
 
 
Uma das forças deve ser perpendicular às outras duas forças 
 
 
As três forças sempre serão paralelas 
 
 
 
Explicação: 
Quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de 3 forças coplanares elas serão 
necessariamente paralelas ou concorrentes. 
 
 
 
 
 
2. 
 
Uma viga bi-apoiada está submetida a um binário no sentido anti-
horário cujo valor é de 300 N.m e a uma força concentrada de 200 
N. 
 
 
Determine as reações verticais nos apoios A e B. 
 
 
VA = 225 N e VB = - 25 N 
 
 
VA = 325 N e VB = 75 N 
 
 
VA = - 25N e VB = 225 N 
 
 
VA = 250 N e VB = 250 N 
 
 
VA = 100 N e VB = 100 N 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em y igual a zero: VA + VB = 200 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: - 300 - 200 x 3 + 4xVB = 0 . Assim, VB = 225 N 
e VA = - 25N 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma partícula está em equilíbrio sob a aço de seu próprio peso e 
dois cabos ideais, conforme figura. Se o peso da partícula é de 
141 N e 2 = 1,41, determine a intensidade da força que age no 
cabo 1. Considere o ângulo entre os cabos igual a 90º e simetria 
na figura. 
 
 
 
150 N 
 
 
141 N 
 
 
250 N 
 
 
200 N 
 
 
100 N 
 
 
 
Explicação: 
Simetria: F1 = F2 = F 
resultante entre os cabos 1 e 2: F.2 
Essa resultante equilibrará o peso da partícula que vale 141 N 
Assim, 141 = F.2 
Logo 100 N 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um corpo encontra-se sob a ação de 3 forças coplanares 
concorrentes. A primeira das forças é F1 = 2i - 3j + 4k e a 
segunda força F2 = -5i + 4j - 3k. Determine a terceira força para 
que o corpo esteja em equilíbrio. 
 
 
-3i + j + k 
 
 
 3i + j + k 
 
 
-3i - j + k 
 
 
-3i + j - k 
 
 
3i - j - k 
 
 
 
Explicação: 
R = F1 + F2 + F3 = 0 
2i - 3j + 4k -5i + 4j - 3k + F3 = 0 
-3.i + j + k + F3 = 0 
F3 = 3i - j - k 
 
 
 
 
 
5. 
 
I - Para calcular as reações do apoio 
do tipo Rolete (ou Apoio Móvel), 
apoio de primeira ordem, sabemos 
que possui apenas uma incógnita e 
 
é uma força que atua 
perpendicularmente à superfície no 
ponto de contato. 
II - Este fato indica haver uma reação 
que impede o movimento da estrutura 
na componente horizontal. 
Podemos afirmar dos textos acima 
 
 
 
I e II são proposições verdadeiras 
e a II é uma justificativa correta da 
I 
 
 
As asserções I e II são proposições falsas 
 
 
I é uma proposição falsa e a II é uma proposição 
verdadeira 
 
 
I e II são proposições verdadeiras e a II não é uma 
justificativa correta da I 
 
 
I é uma proposição verdadeira e a 
II é uma proposição falsa 
 
 
 
Explicação: 
O apoio de primeira ordem restringe o movimento na vertical 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 Sobre o equilíbrio estático de um ponto material e de um corpo 
extenso e sobre apoios de uma estrutura são feitas as seguintes 
afirmativas: 
I - O apoio de 3º gênero (engaste) apresenta três restrições; 
II - Para que o corpo extenso esteja em equilíbrio basta que a 
resultante das forças que nele atuam valha zero; 
III - O corpo extenso estará em equilíbrio se as condições de não 
translação e não rotação forem satisfeitas simultaneamente. 
É correto afirmar que: 
 
 
Apenas a afirmativa II é verdadeira 
 
 
Todas as afirmativas são falsas 
 
 
Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras 
 
 
Apenas a afirmativa I é verdadeira 
 
 
Apenas a afirmativa III é verdadeira 
 
 
 
Explicação: 
Apoio de 3º gênero impede duas translações e uma rotação 
Ponto material: Basta não ter translação, ou seja, R = 0 
Corpo extenso: não pode transladar (R = 0) e nem rotacionar (M = 0) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Três forças coplanares F1, F2 e F3 mantêm um ponto material em 
equilíbrio. Sabendo-se que F1 e F2 têm intensidades iguais a 200 N 
e formam um ângulo de 120º, determine a intensidade de F3. 
 
 
200 N 
 
 
141 N 
 
 
400 N 
 
 
100 N 
 
 
173 N 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a treliça a seguir, cujos comprimentos das barras BC = 
CD = CE = l e AE = EF = 2l. Determine a intensidade da força no 
elemento AB. 
 
 
 
35,4 kN 
 
 
45,4 kN 
 
 
15,4 kN 
 
 
25,4 kN 
 
 
30,4 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em x = 0, logo HA = 0 
Soma das forças em y = 0, logo VA + VF = 40 
Soma dos momentos em relação ao ponto a igual a zero: 20l + 40l - 4l.VF. Logo VF = 15 kN 
Assim, VA = 25 kN 
Equilíbrio do nó A (ângulo de 450): AB2 = AE2 + VA2 
AB2 = 252 + 252 
AB = 35,4 kN2. 
 
 
Considere a treliça abaixo em que o peso de cada barra é 
desprezível e as forças são aplicadas diretamente sobre os nós. 
Determine as reações nos apoios de primeiro (A) e segundo (B) 
gêneros. As dimensões e as intensidades das forças estão na figura 
a seguir. 
 
 
 
VA = 20 kN, HA = 7,5 kN e HB = 22,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 5 kN e HB = 25 kN 
 
 
VA = 20 kN, HA = 22,5 kN e HB = 7,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 17,5 kN e HB = 12,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 7,5 kN e HB = 22,5 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças na direção y igual a zero: VA - 20 = 0. VA = 20 kN 
Soma das forças na direção x igual a zero: HA + HB - 30 = 0. HA + HB = 30 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: - 20 x 3 - 30 x 4 + HB x 8 = 0. Assim, HB = 
22,5 kN. Logo HA = 7,5 kN 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere um pórtico plano simples. A barra horizontal está sob 
um carregamento uniformemente distribuído de 20 kN/m e uma 
força concentrada de 100 kN, que atua no ponto médio da barra 
vertical, conforme a figura. Determine as intensidades das reações 
em A e D. Considere as três barras com comprimento igual a 4 m. 
 
 
 
 
HA = 90 kN, VD = 80 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 100 kN, VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 100 kN, VD = 80 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 80 kN, VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 100 kN, VD = 90 kN e VA = - 15kN 
 
 
 
Explicação: 
Forças de reações: VA, HA e VB 
Soma das forças na direção horizontal = 0, logo HA = 100 kN 
Troca da força distribuída por uma concentrada: 20 x 4m = 80 kN 
Soma das forças na direção vertical = 0, logo VA + VD= 80 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A = 0, logo - 100 x 2 - 80 x 2 + 4xVD = 0kN 
VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere um pórtico plano simples engastado em uma das extremidades (A) e livre na outra (B). O carregamento e as dimensões são mostrados na figura. Determine as reações nos 
apoios A, B e C. 
 
 
 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 280 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 240 kN e MA = 300 kN.m 
 
 
HA = 20 kN; VA = 100 kN e MA = 280 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 380 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 250 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
No engaste existem as seguintes reações: HA, VA e MA 
Troca da carga distribuída pela concentrada: 20 x 2 = 40 kN 
Soma das forças em x igual a zero: HA - 40 = 0, Assim HA = 40 kN 
Soma das forças em y igual a zero: VA - 200 = 0, Assim VA = 200 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: MA - 200 x 2 + 3 x 40 = 0, Assim MA = 280 
kN.m 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a treliça a seguir. Determine as reações nos apoios A e 
F 
 
 
 
 
VA = 15 kN, HA = 0 e VF = 25 kN 
 
 
VA = 20 kN, HA = 0 e VF = 20 kN 
 
 
VA = 25 kN, HA = 0 e VF = 15 kN 
 
 
VA = 10 kN, HA = 0 e VF = 30 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 0 e VF = 10 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em x = 0, logo HA = 0 
Soma das forças em y = 0, logo VA + VF = 40 
Soma dos momentos em relação ao ponto a igual a zero: 20l + 40l ¿ 4l.VF. Logo VF = 15 kN 
Assim, VA = 25 kN 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A treliça é um elemento estrutural composto pela união de várias 
barras. Sua utilização é ampla na Engenharia Civil e, dentre os 
motivos podemos citar, a relação a resistência específica. A 
respeito desse elemento estrutural, é FALSO afirmar que: 
 
 
Sempre desconsideramos o peso das barras; 
 
 
As barras estão sujeitas apenas às forças normais, sejam essas de tração (T) ou de compressão 
(C). 
 
 
Todas as forças externas são aplicadas diretamente sobre os "nós"; 
 
 
"Nó" é a união de alguns elementos (barras) da treliça; 
 
 
As barras que compõem uma treliça são rotuladas; 
 
 
 
Explicação: 
Na eventualidade de as barras terem peso, metade desse será ¿descarregado¿ em um dos ¿nós¿ e a outra 
metade no outro ¿nó¿; 
 
 
 
 
1. 
 
 
O momento de inércia polar de um círculo de área 200 cm2 é igual a 1000 cm4. Determine o 
momento de inércia desse círculo em relação a um dos eixos que passa pelo centro. 
 
 
800 cm4 
 
 
5 cm4 
 
 
1000 cm4 
 
 
600 cm4 
 
 
500 cm4 
 
 
 
Explicação: 
Momento de inércia do círculo em relação ao diâmetro é metade do momento de inércia polar, logo, 500 
cm4 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja um retângulo de base de base 12 cm e altura 2 cm. 
Determine o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo 
que passa pela base. 
Dado: Momento de inércia em relação ao eixo centroide b.h3/12 
 
 
 
16 cm4 
 
 
20 cm4 
 
 
24 cm4 
 
 
32 cm4 
 
 
18 cm4 
 
 
 
Explicação: 
Momento de inércia em relação ao eixo centroide b.h3/12 = 12.23/12 = 8 
Steiner: I = 8 + 12x2x(1)2 = 8 + 24 = 32 cm4 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere um círculo de raio R = 2 m e um eixo horizontal, 
distante 3 m do centro do círculo. Determine o momento de 
inércia do círculo em relação ao eixo. 
 
 
I = 4pi m4 
 
 
I = 30pi m4 
 
 
I = 25pi m4 
 
 
I = 45pi m4 
 
 
I = 40pi m4 
 
 
 
Explicação: 
Momento de inércia em relação ao diâmetro = .R4/4 = 4 
Área do círculo: .R2 = 4 
Steiner: I = 4 + 4.(3)2 = 40 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Suponha uma área de 100 cm2 e dois eixos paralelos, sendo um 
deles centroidal da área. Se o momento de inércia dessa área em 
relação ao seu eixo centroidal vale 1200 cm4, determine o 
momento de inércia da área em relação ao segundo eixo, sendo a 
distância entre os eixos paralelos igual a 2 cm. 
 
 
800 cm4 
 
 
1000 cm4 
 
 
1600 cm4 
 
 
1500 cm4 
 
 
1200 cm4 
 
 
 
Explicação: 
Teorema de Steiner: 
I = I centroidal + A.d2 
I = 1200 + 100.22 
I = 1600 cm4 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja uma chapa retangular de base 12 cm e altura 10 cm com um 
furo retangular de base 6 cm e altura 2 cm. Considere que os dois 
retângulos tenham seus centroides coincidentes. Determine o 
momento 
 
 
 
 
3606 cm4 
 
 
3896 cm4 
 
 
6396 cm4 
 
 
3696 cm4 
 
 
4696 cm4 
 
 
 
Explicação: 
Retângulo maior: b.h3/3 = 12.103/3 = 4000 
Retângulo menor: b.h3/12 + A.d2 = 6.23/12 + 6x2x(5)2 = 304 
I resultante: 4000 - 304 = 3696 cm4 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a altura do centroide da figura composta a seguir, 
tomando-se como referência a base 20 mm. 
 
 
 
55,3 mm 
 
 
52,0 mm 
 
 
56,2 mm 
 
 
52,3 mm 
 
 
53,3 mm 
 
 
 
Explicação: 
Separar o T em dois retângulos: horizontal e vertical. 
Horizontal: centroide: 80 + 10/2 = 85 mm / Área: 60 x 10 = 600 mm2 
Vertical: centroide: 80 / 2 = 40 mm / área: 80 x 20 = 1600 mm2 
Centroide do T: (85 x 600 + 40 x 1600)/(600 + 1600) = 115000/2200 = 52,3 mm 
 
 
 
 
1. 
 
Considere uma viga biapoiada conforme a figura a seguir. As 
dimensões e os carregamentos são mostrados na figura. 
 
 
Determine o momento fletor na seção que passa pelo ponto médio 
da viga 
 
 
M = 40 kN.m 
 
 
M = 60 kN.m 
 
 
M = 80 kN.m 
 
 
M = 30 kN.m 
 
 
M = 50 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
Solução: Por simetria, os esforços em A e B são iguais a 40 kN. Fazendo um corte na viga no ponto 
médio e aplicando a soma dos momentos em relação a este ponto temos: M + 40 x 0,75 - 40 x 1,75 = 0. 
Assim M = 40 kN.m 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga AB engastada em uma parede está sob um 
carregamento uniformemente distribuídode 30 kN/m. Se a barra 
tem 4 m de comprimento, determine o momento fletor atuante na 
extremidade livre da viga. 
 
 
60 kN.m 
 
 
0 kN.m 
 
 
120 kN.m 
 
 
50 kN.m 
 
 
30 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
Na extremidade livre não há restrição à rotação, logo momento fletor é nulo. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma viga biapoiada de 4m de comprimento está submetida a uma 
carga uniformemente distribuída de 20 kN/m. Determine o 
momento fletor máximo que atua na viga e sua posição, a partir 
da extremidade esquerda da viga. 
 
 
40 kN.m e 2m 
 
 
80 kN.m e 1m 
 
 
80 kN.m e 2m 
 
 
160 kN.m e 1m 
 
 
160 kN.m e 3m 
 
 
 
Explicação: 
Momento fletor máximo = q.L2/8 = 20. 42/8 = 40 kN e acontece no ponto médio da viga, isto é, x = 2m. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma viga biapoiada AB de comprimento 5 m tem uma carga 
concentrada de 10 kN aplicada a 2m de A e 3m de B. Determine a 
intensidade do momento fletor máximo. 
 
 
11 kN.m 
 
 
13 kN.m 
 
 
12 kN.m 
 
 
14 kN.m 
 
 
10 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
M máximo = F.a.b/(a+b) = 10 x 2 x 3 /(2 + 3) = 60/5 = 12 kN.m 
 
 
 
 
 
5. 
 
Considere uma viga biapoiada em que as dimensões e os 
carregamentos são mostrados na figura. 
 
 
Determine o esforço cortante no ponto médio da viga. 
 
 
0 kN 
 
 
-80 kN 
 
 
40kN 
 
 
-40 kN 
 
 
80 kN 
 
 
 
Explicação: 
Por simetria, os esforços em A e B são iguais a 40 kN. Seccionando a viga em seu ponto médio e fazendo 
o equilíbrio: 40 - 40 + V = 0. Logo V = 0 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Com relação aos esforços internos denominados cortante e 
momento fletor, é correto afirmar que: 
 
 
No ponto em que o esforço cortante é mínimo, o momento fletor também é mínimo 
 
 
Quando o esforço cortante é máximo, o momento fletor é nulo 
 
 
No ponto em que o esforço cortante é máximo, o momento fletor também é máximo 
 
 
Não existe relação matemática entre as expressões do esforço cortante e o momento fletor 
 
 
Quando o momento fletor é máximo, o esforço cortante é nulo 
 
 
 
Explicação: 
V(x) = dM(x)/dx 
Máximo: dM(x)/dx = 0 
Logo, para M máximo, V = 0 
 
1. 
 
 
Considere a figura abaixo em que está a representação do diagrama do momento fletor (DMF) de uma 
viga biapoiada em suas extremidades. Descreva o tipo de carregamento a que esta viga pode está 
submetida. 
 
 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuida ao longo de AC 
 
 
Como o DMF é do primeiro grau, a carga distribuída é de uma grau superior, ou seja, do 
segundo grau. 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuída ao longo de CB 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga concentrada no ponto C 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuída ao longo de AB 
 
 
 
Explicação: 
Esse é o DMF típico de uma única carga concentrada numa viga bi apoiada nas extremidades. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Suponha que a expressão do momento fletor que atua ao longo do 
comprimento x de uma viga seja dada por M(x) = 20.sen(4x) + 
30, em kN.m. Determine a expressão para o esforço cortante 
atuante nessa mesma viga 
 
 
V(x) = 80.sen(4x) 
 
 
V(x) = 80.cos(4x) 
 
 
V(x) = 20.cos(4x) + 30 
 
 
V(x) = 20.cos(4x) 
 
 
V(x) = 80.cos(4x) + 30 
 
 
 
Explicação: 
V(x) = dM(x)/dx = 4.20.cos(4x) = 80.cos(4x) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Suponha uma viga AB biapoiada em uma parede. Seu 
comprimento é de 4 m e uma força concentrada vertical para 
baixo de 12 kN é aplicada no ponto C, conforme a figura. No 
diagrama do esforço cortante, mostrado na figura, qual o valor do 
patamar positivo do diagrama? 
 
 
 
6 kN 
 
 
12 kN 
 
 
8 kN 
 
 
10 kN 
 
 
9 kN 
 
 
 
Explicação: 
Solução: As reações nos apoios são proporcionais às distâncias CB e AC, assim, RA = 3x e RB = x. 3x + x 
= 12, logo x = 3 kN. RA = 9kN. Fazendo um corte na viga, próximo ao apoio A, temos que V = 9kN 
 
 
 
 
 
4. 
 
Suponha uma viga biapoiada com uma carga concentrada P de 
200 kN atuando num ponto distante 1m da extremidade A, 
conforme a figura. A viga tem de comprimento AB = 4m. 
Determine o momento fletor máximo. 
 
 
 
 
160 kN.m 
 
 
150 kN.m 
 
 
200 kN.m 
 
 
180 kN.m 
 
 
120 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
M = P. a.b/(a+b) = 200.1.3/(1+3) = 150 kN.m 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma viga biapoiada está com uma carga concentrada P. Um 
diagrama do esforço cortante (DEC) desse carregamento é 
formado por duas retas paralelas ao eixo x com um degrau, 
mostrando uma descontinuidade na função, um ¿degrau¿. Esse 
degrau corresponde, em módulo: 
 
 
A um valor igual ao quadrado de P. 
 
 
A um valor igual ao dobro de P. 
 
 
A um valor que não se relaciona com P. 
 
 
A um valor igual ao de P. 
 
 
A um valor igual a metade de P. 
 
 
 
Explicação: 
No DEC de uma carga concentrada, o "degrau" equivale ao valor da força concentrada. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma viga biapoiada de comprimento 2m tem um carregamento 
uniformemente distribuído de 30kN/m. Qual a forma do diagrama 
do momento fletor (DMF) que atua ao longo do comprimento x da 
viga e seu valor máximo? 
 
 
Parábola / 15 kN.m 
 
 
Parábola / 35 kN.m 
 
 
Reta crescente / 15 kN.m 
 
 
Reta decrescente / 15 kN.m 
 
 
Parábola / 30 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
DMF : parábola / Valor máximo= q.L2/8 = 30.22/8 = 15kN.m 
 
1. 
 
 
Considere duas peças metálicas unidas conforme a figura. Sabe-se que a união apresenta resistência ao 
cisalhamento de 80 MPa. A área comum entre as placas é de 100 mm2. Determine a força F máxima 
permitida, considerando um fator de segurança igual a 2. 
 
 
 
 
 
F = 2.000 N 
 
 
F = 3.500 N 
 
 
F = 4.000 N 
 
 
F = 3.000 N 
 
 
F = 2.500 N 
 
 
 
Explicação: 
Solução: FS =2, então tensão de trabalho igual a 40 MPa. Como tensão é força sobre área, teremos 40 = 
F/100, logo F = 4.000 N 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um material deverá ser ensaiado em uma máquina de tração. O 
corpo de prova (CP) é confeccionado de acordo com as 
informações contidas na norma XYZ. A área útil do CP é uma 
seção retangular de 1,5 mm por 4 mm. Num dado ponto do 
ensaio, a força exercida pelas garras da máquina do ensaio 
equivalem a 900 N. Determine, nesse instante, a tensão normal 
média na seção útil e infira sobre a ruptura ou não do CP, dado 
que a tensão normal de ruptura é de 200 MPa. 
 
 
210 MPa e ruptura 
 
 
150 MPa e não ruptura 
 
 
100 MPa e não ruptura 
 
 
120 MPa e não ruptura 
 
 
300 MPa e ruptura 
 
 
 
Explicação: 
Tensão = F / área 
Área = 1,5 x 4 = 6 mm2 
Tensão = 900 N/6mm2 = 150 MPa (não excede a tensão de ruptura) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma força de F = 20.000 N atua numa área de 50 mm2. Supondo 
que F forma 300 com o plano da área, determine a tensão normal 
média. 
 
 
300 MPa 
 
 
400 MPa 
 
 
150 MPa 
 
 
100 MPa 
 
 
200 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Força perpendicular à área: F.sen 300 = 10.000 N 
Tensão = Força / área = 10.000/ 50 = 200 MPa 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um pilar tem a seção de um retângulo de dimensões 20 cm x 30 
cm. Sobre este pilar atua uma força normal de 120 kN. A respeito 
da tensão normal, é correto afirmar que: 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é de 2MPa 
 
 
A tensãoem alguns pontos da base do pilar é maior que 2MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é menor que 2MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é de 4MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é maior que 2MPa 
 
 
 
Explicação: 
Tensão média = F/A 
Tensão média 120.000/(200x300) = 2 MPa 
Como é um valor médio, alguns pontos terão tensão maior e, outros, tensão menor. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma força de F = 2.000 N atua numa área de 50 mm2. Supondo 
que F forma 300 com o plano da área, determine a tensão 
cisalhante média. 
 
 
42,8 MPa 
 
 
34,6 MPa 
 
 
25,6 MPa 
 
 
45,2 MPa 
 
 
60,0 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Força perpendicular à área: F.cos 300 = 1732 N 
Tensão = Força / área = 1732/ 50 = 34,6 MPa 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha uma junta presa por dois parafusos de 20 mm, conforme figura. A tensão de cisalhamento admissível do material que compõe o material dos parafusos é de 60 MPa. Determine 
a força F máxima que pode ser aplicada em cada extremidade da junta. 
 
 
 
 
 
F = 47.680 N 
 
 
F = 37.680 N 
 
 
F = 19.180 N 
 
 
F = 42.000 N 
 
 
F = 39.680 N 
 
 
 
Explicação: 
Área de cada parafuso: .R2 = 3,14.102 = 314 mm2 
Cada parafuso suporta F/2 
Tensão = Força/área 
60 = (F/2)/314 
F = 37.680 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Um pilar vertical metálico de 2 m de comprimento tem área circular de 700 mm2 e uma força atuante, 
também verticalmente, de forma compressiva no valor de 70 kN. Determine a variação do comprimento 
desse pilar, em mm. Dado E = 200 GPa 
 
 
1,0 
 
 
1,6 
 
 
1,5 
 
 
1,2 
 
 
2,0 
 
 
 
Explicação: 
Tensão=força/área = 70.000 / 700 = 100 MPa 
Lei de Hooke: tensão = E. deformação 
100 = 200.000.deformação 
Deformação = 0.0005 
Deformação =  L/L 
0,0005 =  L/2000 
 L = 1mm 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga de 3m de comprimento está engastada quando é 
aplicada uma força F. Se a extremidade em balanço desce 5 mm, 
em relação à horizontal, determina a deformação cisalhante 
média. 
 
 
 
 
0,016667 rad 
 
 
0,0033333 rad 
 
 
0,033333 rad 
 
 
0,0016667 rad 
 
 
0,018733 rad 
 
 
 
Explicação: 
Deformação angular: 
Comprimento do arco descrito pelo ponto A pode ser relacionado da seguinte maneira com o 
comprimento da barra: l = R.. Logo 5 = 3000.  
 = 0,0016667 rad 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma mola tem comprimento natural de 40 cm e força elástica de 
2000N/m. Se uma força de 8N é aplicada, determine a 
deformação normal sofrida pela mola. 
 
 
1,5% 
 
 
3% 
 
 
2% 
 
 
4% 
 
 
1% 
 
 
 
Explicação: 
F = k.x, logo 8 = 2000.x → 0,004 m = 4 mm 
Deformação: L/L = 4/400 = 0,01 = 1% 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Suponha que um material metálico vá ser ensaiado numa máquina 
de ensaio de tração. Um corpo de provas (CP) é confeccionado a 
partir da norma. O gráfico a seguir mostra como a tensão normal 
varia com a deformação durante o ensaio. 
 
Qual o módulo de elasticidade do material, em GPa ? 
 
 
E = 80 GPa 
 
 
E = 100 GPa 
 
 
E = 120 GPa 
 
 
E = 110 GPa 
 
 
E = 90 GPa 
 
 
 
Explicação: 
Lei de Hooke: s = E.e. Assim, na região elástica, temos: 200 = 0,002. E, logo E = 100 GPa 
 
 
 
 
 
5. 
 
Uma bola oficial de futebol deve ter circunferência entre 68 e 70 
cm. Suponha que antes do jogo sua circunferência seja de 65cm 
 
e, para uma partida oficial, ocorra o enchimento da bola até 
atingir 70 cm de circunferência. Determine a deformação média 
sofrida pelo material da bola. 
 
 
8,5% 
 
 
7,0 % 
 
 
7,7% 
 
 
6,5% 
 
 
8,2% 
 
 
 
Explicação: 
Deformação = (70 ¿ 65)/65 = 0,0769 = 7,69% 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um corpo apresenta duas linhas pintadas tal que o ângulo entre 
os mesmos é de 90º. Sob determinado carregamento externo, as 
linhas passam a formar um ângulo de 88 º. Determine a 
deformação cisalhante média, em radianos. 
 
 
0,5 
 
 
2 
 
 
0,2 
 
 
0,035 
 
 
0,053 
 
 
 
Explicação: 
 = 90 ¿ 88 = 2º 
Transformação em radianos: 2/180 = 0,035 rad 
 
 
 
 
1. 
 
Considere um corpo em equilíbrio e um ponto sob o estado de tensão mostrado na figura. 
 
 
Determine as tensões principais. 
 
 
Tensão máxima: 128 MPa e tensão mínima: 72 MPa 
 
 
Tensão máxima: 158 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
Tensão máxima: 142 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
Tensão máxima: 128 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
Tensão máxima: 130 MPa e tensão mínima: 85 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Tensões principais: (tensão normal x + tensão normal y)/2 + raiz[(tensãox - tensão y)2/4 +tensão 
cisalhante2] 
Tensões principais: (120 + 100)/2 + raiz(325) 
Tensão máxima: 128 MPa 
Tensão mínima: 92 MPa 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Considere um ponto em plano de tensões. É verdade que existe o 
invariante das tensões normais, ou seja, x + y é constante. 
Utilizando esta premissa e as equações mostradas abaixo, qual a 
relação verdadeira entre x , y , x' e y' ? 
 
 
 
 
 
 
x - y = x¿ + y¿ 
 
 
x + y = x¿ - y¿ 
 
 
x + y = x¿ + y¿ 
 
 
x - y = x¿ - y¿ 
 
 
x x y = x¿ x y¿ 
 
 
 
Explicação: 
Somando as equações, x + y = x' + y' 
 
 
 
 
 
3. 
 
Observe um ponto sob o estado plano de tensões, isto é, sob ação 
de dois pares de tensões normais e dois pares de tensões 
cisalhantes: 
 
 
A respeito do sinal dessas tensões é correto afirmar que: 
 
 
Todas as tensões normais são negativas, enquanto as cisalhantes são positivas. 
 
 
Todas as tensões normais são positivas, enquanto as cisalhantes são negativas. 
 
 
A tensão normal em x é positiva e a normal em y positiva. Já as tensões cisalhantes são 
positivas. 
 
 
Todas as tensões, sejam as normais ou as cisalhantes são negativas. 
 
 
Todas as tensões, sejam as normais ou as cisalhantes são positivas 
 
 
 
Explicação: 
Convenção: 
a) Normais trativas são positivas 
b) Normais compressivas são negativas 
c) Cisalhantes: na face superior são positivas as tensãoes cisalhantes para a direita e na face direita, são 
positivas as tensões cisalhantes para cima. 
 
 
 
 
 
4. 
 
Considere um corpo em equilíbrio e um ponto sob o estado de 
tensão mostrado na figura. 
 
 
 
Determine o ângulo em que a tensão cisalhante é máxima. 
 
 
 
 
30,15º 
 
 
32,15º 
 
 
31,15º 
 
 
28,15º 
 
 
29,15º 
 
 
 
Explicação: 
Tensão cisalhante nula implica nas tensões principais. 
2 = arctg(2 tensão cisalhante/(tensão normal x ¿ tensão normal y) 
2 = arctg(2.15/(120-100)) = 1,5 
2 = 56,30º 
 = 28,15º 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Com relação ao estado plano de tensões marque a 
alternativa correta. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais que podem ser trativas ou compressivas e 
três componentes de tensões cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais trativas e três componentes de tensões 
cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais que podem ser trativas ou compressivas e 
três componentes de tensões cisalhantes com módulos distintos. 
 
 
É caracterizado por dois três de tensões normais e três componentes de tensões cisalhantes 
com mesmo módulo.É caracterizado por dois pares de tensões normais compressivas e três componentes de tensões 
cisalhantes com módulos distintos. 
 
 
 
Explicação: 
o estado plano de tensões é caracterizado por dois pares de tensões normais e três componentes de 
tensões cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Assinale a afirmativa correta em relação a um ponto que se 
encontra sob o estado plano de tensões. 
 
 
Na condição de tensões principais as intensidades das tensões normais e cisalhante são iguais 
 
 
As tensões normais principais somadas têm o mesmo valor que as tensões normais em 
qualquer outra condição, que não seja a principal 
 
 
A condição de tensões principais leva a um valor de tensão cisalhante mínimo e negativo 
 
 
As tensões principais são os valores máximo e mínimo que as tensões normais podem assumir, 
contudo o ângulo que elas fazem deixa de ser reto. 
 
 
Na condição de tensões principais a tensão de cisalhamento assume seu valor máximo. 
 
 
 
Explicação: 
Invariante das tensões normais no estado plano de tensões: sx + sy = sx¿ + sy¿ 
 
1. 
 
 
Considere um ponto no estado plano de tensões tais que todas as tensões têm valor positivo, de 
acordo com a convenção, a saber: x = 110 MPa, y = 30 MPa e τ xy = 30. Determine o raio do 
círculo de Mohr associado a esse estado de tensões. 
 
 
R = 45 MPa 
 
 
R = 30 MPa 
 
 
R = 35 MPa 
 
 
R = 40 MPa 
 
 
R = 50 MPa 
 
 
 
Explicação: 
R = raiz[ ((x - y )/2)2 +( τ xy)2] 
R = raiz[ ((110 - 30 )/2)2 +(30)2] 
R = 50 MPa 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja o estado plano de tensões tais que o ponto estudado esteja 
sob as condições de tensões principais. Sabe-se que as tensões 
principais valem 10 MPa e 30 MPa. Determine as coordenadas do 
círculo de Mohr associado. 
 
 
(10, 20) 
 
 
(30, 10) 
 
 
(10, 0) 
 
 
(10, 30) 
 
 
(20, 0) 
 
 
 
Explicação: 
A abscissa do centro do círculo de Mohr é a média aritmética das tensões principais e a ordenada é zero. 
Assim, Xc = (10 + 30)/2 = 20 e Yc = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja um estado plano de tensões em que as tensões normais são 
10 MPa e 30 MPa e a cisalhante é não nula. Das alternativas 
abaixo, qual pode representar o par de tensões principias 
 
 
0 e 35 MPa 
 
 
10 e 30 MPa 
 
 
-10 e 40 MPa 
 
 
-10 e 10 MPa 
 
 
5 e 35 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Como a tensão cisalhante é não nula, 10 e 30 MPa não podem representar as tensões principais. Existe o 
invariante que afirma que a soma das tensões normais é constante. Assim, como a soma é 10 + 30 = 40 
MPa, basta encontrar uma alternativa em que a soma seja 40. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere um corpo, em equilíbrio estático, sob determinado 
carregamento. Um ponto será estudado. Supondo que este ponto 
esteja no estado plano de tensões normal de 90 MPa e tensão 
cisalhante de 40 MPa . Se o centro do círculo de Mohr para a 
situação descrita tem centro com coordenadas (60, 0), qual a 
equação do círculo de Mohr? 
 
 
 
(x )2 + (xy- 60)2 = 502 
 
 
(x - 60 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x - 120 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x - 30 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
 
Explicação: 
Centro (60,0) e (90,40) 
Distância entre esses pontos equivale ao raio: R2 = (60 - 90)2 + (0 - 40)2. Logo R = 50 
Equação: (x - xc )2 + (xy - yc)2 = R2 
Assim: (x - 60 )2 + (xy)2 = 50 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O Círculo de Mohr é um método gráfico para a resolução do 
estado de tensões de um ponto. Considere um ponto cujo estado 
plano de tensões cujas tensões tenham os seguintes valores 
positivos : x = 110 MPa, y = 30 MPa e τ xy = 
30. Determine, utilizando o círculo de Mohr os valores das 
tensões principais (mínima e máxima) 
 
 
Imínimo = 15 MPa e I máximo = 120 MPa 
 
 
Imínimo = 15 MPa e I máximo = 130 MPa 
 
 
Imínimo = 20 MPa e I máximo = 120 MPa 
 
 
Imínimo = 20 MPa e I máximo = 130 MPa 
 
 
Imínimo = 10 MPa e I máximo = 150 MPa 
 
 
 
Explicação: 
R = raiz[ ((x - y )/2)2 +( τ xy)2] 
R = raiz[ ((110 - 30)/2)2 +(30)2] 
R = 50 MPa 
CENTRO: ((x + y )/2) = (70, 0) 
Imínimo = abscissa do centro - raio = 70 - 50 = 20 MPa 
I máximo = abscissa do centro + raio = 70 + 50 = 120 MPa 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A respeito das tensões principais do estado plano são feitas 3 
afirmativas. 
I - Na situação em que as tensões normais são as principais elas 
são iguais e valem a semi-soma das tensões normais originais; 
II - Para se determinar a expressão do ângulo principal (situação 
de tensões principais) basta igualar a zero a expressão que calcula 
a tensão de cisalhamento em qualquer ângulo; 
III - Utilizando o círculo de Mohr, a tensão principal máxima 
corresponde a soma do raio do círculo com a semi-soma das 
tensões normais originais. 
É correto afirmar que: 
 
 
Apenas II é verdadeira 
 
 
Apenas III é verdadeira 
 
 
Apenas II e III são verdadeiras 
 
 
Apenas I é verdadeira. 
 
 
Todas são verdadeiras 
 
 
 
Explicação: 
A afirmativa 1 está errada . A situação seria para cisalhamento máxima 
II e III estão corretas.