ap-04

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Pre´ Ca´lculo
Lista de Aplicac¸o˜es Func¸o˜es
1) Uma loja online cobra uma taxa de entrega de 6% nas compras abaixo de R$ 400, 00, e de
3% nas compras iguais ou acima de R$ 400, 00. Ale´m disso, todos os produtos sa˜o vendidos
ao mesmo prec¸o de R$ 45, 00.
a) Determine o valor pago por um cliente que comprou 7 produtos.
b) Repita o item anterior no caso em que a compra foi de 10 produtos.
c) Determine, em func¸a˜o de n, o valor V (n) pago na compra de n produtos.
2) Suponha que, em um sistema de eixos Oxy em que
Ox coincide com o n´ıvel do solo, uma part´ıcula seja
lanc¸ada a partir de y = 0 e percorra a trajeto´ria cor-
respondente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = −x2 + x + k,
onde k ∈ R e´ uma constante.
a) Determine os deslocamentos horizontal e vertical
ma´ximos no caso em que k = 12.
b) Repita o item anterior no caso em que k = 20.
c) Determine os valores poss´ıveis para a constante k.
y
xx0 x1x
f(x)
3) Na figura, a reta AC descreve a trajeto´ria de um avia˜o e o ponto B representa a posic¸a˜o
de uma torre de controle. Suponha que o avia˜o esteja no ponto A no tempo t = 0 e voando a
uma velocidade de 300 km/h. Suponha ainda que AB tenha comprimento de 6 km e indique
por d a distaˆncia AC.
C
AB
ds
a) Expresse a distaˆncia s = s(d) entre o avia˜o e a torre de
controle em termos da distaˆncia d.
b) Expresse a distaˆncia d = d(t) em termos do tempo decor-
rido t entre as posic¸o˜es A e C.
c) Expresse agora a distaˆncia s = s(t) em termos do tempo t.
d) Se a torre mante´m contato com o avia˜o ate´ uma distaˆncia
ma´xima de 80 km, determine o instante em que a comuni-
cac¸a˜o entre os dois e´ interrompida.
4) Um quadrado de lado de 10 m deve ser dividido em quatro triaˆngulos e um quadrado
menor, conforme figura. Os triaˆngulos sera˜o revestidos de um material que custa R$ 3,00
por m2, enquanto que o revestimento do quadrado menor custa R$ 4,00 por m2.
a) Calcule a a´rea dos quatro triaˆngulos e a a´rea do quadrado menor no caso em que x = 2.
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b) Calcule as mesmas a´reas do item anterior, mas agora
em termos de x ∈ [0, 10].
c) Calcule, em termos de x, o custo total C(x) para se
revestir todo o quadrado maior.
d) Determine o valor mı´nimo da func¸a˜o C(x).
e) Determine o maior valor de x para o qual C(x) = 358.
x
10− x
5) Um fazendeiro tinha rac¸a˜o para alimentar 20 animais por 30 dias, e cada animal consome
a mesma quantidade r de rac¸a˜o por dia. Mas, depois de algum tempo, foram vendidos alguns
animais, e com isso a quantidade de rac¸a˜o durou mais alguns dias. O gra´fico mostra, em
porcentagem, a quantidade dia´ria de rac¸a˜o dispon´ıvel durante o per´ıodo.
ra
c¸a˜
o
dias
100
60
36
a) Determine o nu´mero de rac¸o˜es dia´rias que o fazendeiro
tinha no in´ıcio.
b) Do gra´fico, os animais foram vendidos quando ainda
restavam 60 % de rac¸a˜o. Calcule em qual dia, a partir
do in´ıcio, os animais foram vendidos.
c) Calcule quantos dias a rac¸a˜o durou apo´s a venda.
d) Determine quantos animais foram vendidos.
6) Na figura, o triaˆngulo maior e o retaˆngulo maior teˆm a mesma a´rea e a mesma altura 1.
Cada altura x ∈ [0, 1] determina um trape´zio em que a base maior mede 2 e a menor mede
g(x). A altura x determina ainda a altura f(x) de modo que a a´rea do retaˆngulo menor seja
a mesma do trape´zio.
a) Calcule o valor de b.
b) Use semelhanc¸a de triaˆngulos para obter a expressa˜o de g(x).
c) Calcule a a´rea do trape´zio de altura x.
d) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o f(x).
e) Esboce o gra´fico de f(x) para x ∈ [0, 1]. x
1
f(x)
g(x)
2 b
7) A figura ilustra duas retas paralelas e o triaˆngulo PQR que e´ retaˆngulo e P . Ilustra ainda
dois outros triaˆngulos menores, um de lados x e 1 e outro de lados y e 2.
P
R
Q
x
y
1
2
a
b
α
β
α′
β ′
a) Com a notac¸a˜o da figura, verifique que α = β ′ e β = α′,
e portanto os triaˆngulos menores sa˜o semelhantes.
b) Use o item anterior para expressar y em func¸a˜o de x.
Em seguida, expresse a e b tambe´m em func¸a˜o de x.
c) Calcule a a´rea A(x) do triaˆngulo PQR em func¸a˜o de x.
d) Determine a imagem da func¸a˜o A(x), isto e´, os valores
de c ∈ R para os quais a equac¸a˜o A(x) = c tem soluc¸a˜o.
e) Determine o valor de x que minimiza a a´rea A(x), e calcule essa a´rea mı´nima.
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8) No retaˆngulo ABCD ilustrado ao lado, um ponto P se desloca primeiro ao longo de AB,
depois ao longo de BC e finalmente ao longo de CD. Os comprimentos dos segmentos AB
e AD sa˜o 20 e 10, respectivamente. Para cada posic¸a˜o de P , indique por x a distaˆncia
percorrida pelo ponto ate´ aquela posic¸a˜o.
a) Determine o maior valor poss´ıvel para x.
b) Calcule, em func¸a˜o de x, a a´rea do triaˆngulo APD
no caso em que P esta´ sobre o segmento AB.
c) Repita o item anterior nos casos em que P esta´
sobre os segmentos BC e CD.
P
A B
CD
d) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece a a´rea do triaˆngulo APD para todos
os valores poss´ıveis de x.
e) Esboce o gra´fico da func¸a˜o A(x).
9) Com a notac¸a˜o da figura, considere uma reta vertical a uma distaˆncia x do ve´rtice A. Para
cada valor de x ∈ [0, 5], indique for f(x) o per´ımetro do pol´ıgono que esta´ a` esquerda desta
reta. Por exemplo, f(3) e´ o per´ımetro do triaˆngulo AEH , enquanto que f(5) e´ o per´ımetro
de todo o pol´ıgono ABCDE.
x
5
A H B
6
C2D
2
E
a) Calcule f(3) e f(5).
b) Escreva a expressa˜o de f(x) para 0 ≤ x ≤ 3.
c) Escreva a expressa˜o de f(x) para 3 < x ≤ 5.
d) Decida se existe x ∈ [0, 5] tal que f(x) = 14.
e) Esboce o gra´fico de f
10) Os quadrados da figura teˆm lados paralelos e o mesmo centro. O quadrado maior tem
lado 10 e o menor tem lado x. O objetivo e´ determinar, em func¸a˜o de x, a a´rea A(x) da
figura hachurada.
a) Calcule, separadamente, as a´reas das regio˜es R1, R2 e
R3 indicadas na figura.
b) Obtenha e a expressa˜o da func¸a˜o A(x), e determine o
seu domı´nio.
c) Verifique que a expressa˜o de A(x) e´ um polinoˆmio de
grau 2, e determine as suas ra´ızes.
d) Esboce o gra´fico de A(x).
x
10
R1 R2 R3
e) Determine o valor x para o qual A(x) assume o seu valor ma´ximo.
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Respostas
1) a) R$ 333, 90
b) R$ 463, 5
c) .
V (n) =
{
45(1 + 0, 06)n, se n < 9
45(1 + 0, 03)n, se n ≥ 9
2) a) 7 e 12, 25
b) 9 e 20, 25
c) k ∈ [−1/4,∞)
3) a) s(d) =
√
62 + d2
b) d(t) = 300t
c) s(t) =
√
62 + (300t)2
d) 0, 266 h (≈ 16 min)
4) a) 32 e 68
b) 2x(10− x) e x2 + (10− x)2
c) C(x) = 2(x2 − 10x+ 200)
d) 350
e) 7
5) a) 600 b) 12o c) 24 d) 5
6) a) b = 1
b) g(x) = 2(1− x)
c) x(2− x)
d) f(x) = x(2− x)
e) xy
x1
1
7) a) pi/2 = α+ β = α + α′ = β + β ′
⇒ α = β ′ e β = α′
b) y = 2/x, a =
√
1 + x2
e b =
√
22 + 22/x2
c) A(x) = x+ 1/x
d) c ≥ 2
e) x = 1 e A(1) = 2
8) a) 50
b) A(x) = 5x, x ∈ [0, 20]
c) A(x) = 100, x ∈ [20, 30] e
A(x) = 5(50− x), x ∈ [30, 50]
d) .
A(x) =


5x, se 0 ≤ x ≤ 20
100, se 20 ≤ x ≤ 30
5(50− x), se 30 ≤ x ≤ 50
e) x
y
x20 30 50
100
9) a) f(3) = 12 e f(5) = 20
b) f(x) = 4x
c) f(x) = 2x+ 10
d) Na˜o, pois f(x) ≤ 12 para x ∈ [0, 3]
e f(x) > 16 para x ∈ (3, 5]
e) xy
x3 5
12
16
20
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10) a) A a´rea de R1 e´
1
2
(
10−x
2
)2
,
a a´rea de R2 e´
10−x
2
x e
a a´rea de R3 e´
1
2
(
10−x
2
) (
10+x
2
)
b) A(x) = 1
2
(10− x)(5 + x), x ∈ [0, 10]
c) Do item anterior, e´ claro que a expres-
sa˜o de A(x) e´ um polinoˆmio de grau 2
e que as suas as ra´ızes sa˜o −5 e 10
d) x
y
x5/2 10
e) x = 5/2
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