Aula 01 - Matrizes

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Prof. Vicente Júlio Carneiro
A utilização dos conceitos básicos de
matrizes aparecem naturalmente na
resolução de muitos problemas;
Esses conceitos são essenciais, não só
porque ordenam e simplificam o problema,
mas porque também fornece novos métodos
de resolução.
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Matriz é uma tabela de elementos dispostos
em linhas e colunas.
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Os elementos de uma matriz podem ser
números (reais ou complexos), funções, ou
ainda outras matrizes.
Podemos representar uma matriz de m linhas
e n colunas por:
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 Notações:
 Definição: Duas matrizes Amxn = [aij]mxn e Brxs=[bij]rxs são
iguais, A=B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e
colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são
iguais (aij = bij)
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Algumas matrizes tem propriedades que as
diferenciam de uma matriz qualquer, seja
pela quantidade de linhas ou colunas, ou,
pela natureza dos seus elementos;
Essas matrizes aparecem frequentemente na
prática e por isso recebem nomes especiais.
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 Matriz Quadrada: É aquela cujo número de linhas e igual ao
número de colunas. No caso de uma matriz Amxm , diz-se que A
é uma matriz de ordem m
 Matriz Nula: É aquela em que aij = 0, para todo i e todo j.
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 Matriz Coluna: É aquela que possui apenas uma única coluna.
 Matriz Linha: É aquela que possui apenas uma única linha.
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 Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m=n) onde aij = 0,
para todo i ≠ j.
 Matriz Identidade Quadrada:
É aquela em que aii = 1 e aij = 0, para todo i ≠ j.
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 Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde
todos os elementos abaixo da diagonal são nulos (aij = 0 para
todo i > j)
 Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde
todos os elementos acima da diagonal são nulos (aij = 0 para
todo i < j)
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Matriz Simétrica:
É aquela onde m = n e aij = aji.
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 Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn =
[aij]mxn e Bmxn = [bij]mxn, que denotamos por A + B, é a matriz
Smxn cujos elementos, [sij], são dados pela soma dos
correspondentes elementos de A e B. Isto é:
A + B = [aij + bij]mxn
 Exemplo:
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 Propriedades da Adição de Matrizes:
Sejam A, B e C matrizes de ordem mxn. Desta forma:
 A + B = B + A (Comutatividade)
 A + (B + C) = (A + B) + C (Associatividade)
 A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn
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 Multiplicação por um escalar:
Seja A = [aij]mxn e k um numero, então definimos uma nova matriz
k ∙ A = [k ∙ aij]mxn
 Exemplo:
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 Propriedades da Multiplicação por um escalar:
 k∙(A + B) = k∙A + k∙B, sendo B uma matriz de mesma ordem que
A;
 (k1 + k2)∙A = k1∙A + k2∙A, k1 e k2 números;
 0∙A = 0, onde 0 é o numero zero e 0 é a matriz nula;
 k1∙(k2∙A) = (k1∙k2)∙A, k1 e k2 números.
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 Transposição de Matrizes:
Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter outra matriz A’ =
[bij]nxm, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji.
 A’ é chamada de transposta de A.
 Exemplos:
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 Transposição de Matrizes:
Propriedades:
 Se A é simétrica então A = A’;
 A’’ = A;
 (A + B)’ = A’ + B’
 (k ∙ A)’ = k ∙A’, onde k é um número.
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 Multiplicação de Matrizes:
 Sejam A = [aij]mxn e B = [brs]nxp. Definimos AB = [cuv]mxp , onde:
i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes
Amxn e Bsxp, se o número de colunas da primeira for
igual ao numero de linhas da segunda (n=s). Além
disso, a matriz resultado C=AB terá ordem mxp.
ii) O elemento cij é obtido multiplicando os elementos
da linha i da primeira matriz pelos elementos da
coluna j da segunda matriz, e somando esses
produtos.
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1 1
1
...

   
n
uv uk kv u v un nv
k
c a b a b a b
 Multiplicação de Matrizes:
Exemplos:
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 Multiplicação de Matrizes:
Propriedades:
 AB ≠ BA;
 AI = IA = A (isto justifica o nome da matriz identidade);
 A(B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda);
 (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita);
 (AB)C = A(BC) (associatividade);
 (AB)’ = B’A’ (observe a ordem);
 0 • A = 0 e A • 0 = 0.
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