Apostila de Cálculo Numérico

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UNIVERSIDADE SÃO FRANCISCO 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
Adalberto Nobiato Crespo 2016 Versão 6 
 
2 
 
3 
 
Conteúdo 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 5 
1.1 O que é o Cálculo Numérico? ..................................................................................................... 5 
1.2 A importância do Cálculo Numérico........................................................................................... 6 
1.3 Objetivos do Curso: ..................................................................................................................... 8 
1.4 Erros Numéricos .......................................................................................................................... 8 
1.5 Tipos de Erros ........................................................................................................................... 10 
 
2 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ................................................................. 12 
2.1 Introdução .................................................................................................................................. 12 
2.2 Isolamento de Raízes ................................................................................................................. 14 
2.3 Equações Algébricas ................................................................................................................. 15 
2.4 Valor Numérico de um Polinômio ............................................................................................ 17 
 2.4.1 Método de Briot-Ruffini para Calcular o Valor do Polinômio P(x) no Ponto x0. ............... 17 
 2.4.2 Método de Horner para Calcular P(x) no Ponto x = c ....................................................... 19 
2.5 Número de Raízes Reais............................................................................................................ 20 
 2.5.1 Número de Raízes Reais - Regra dos Sinais de Descartes ................................................. 20 
2.6 Localização das Raízes .............................................................................................................. 21 
2.7 Verificação de Raízes Complexas de P(x) ................................................................................ 23 
2.8 Relações de Girard .................................................................................................................... 25 
2.9 Primeira Lista de Exercícios – Equações Algébricas ........................................................... 26 
2.10 Equações Transcendentes .......................................................................................................... 28 
 2.10.1 Isolamento de Raízes pelo Método Gráfico ....................................................................... 28 
 2.10.2 Método da Dicotomia ou Bissecção................................................................................... 30 
 2.10.3 Método de Newton Raphson .............................................................................................. 33 
2.11 Segunda Lista de Exercícios – Equações Transcendentes ................................................... 38 
 
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ..................................................................................... 39 
3.1 Equação Linear .......................................................................................................................... 39 
3.2 Sistema linear. ........................................................................................................................... 40 
3.3 Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares. ..................................................... 41 
3.4 Classificação dos Sistemas Lineares ......................................................................................... 42 
3.5 Regra de Cramer ........................................................................................................................ 43 
3.6 Terceira Lista de Exercícios - Regra de Cramer .................................................................. 47 
3.7 Discussão de um Sistema Linear ............................................................................................... 48 
3.8 Quarta Lista de Exercícios - Classificação de Sistemas Lineares ....................................... 51 
4 
 
3.9 Sistemas Triangulares ou Escalonados...................................................................................... 53 
3.10 Processo para Escalonar um Sistema Linear ............................................................................. 54 
3.11 Método de Eliminação de Gauss ............................................................................................... 56 
3.12 Quinta Lista de Exercícios - Sistemas Lineares .................................................................... 57 
 
4 INTERPOLAÇÃO ........................................................................................................................... 60 
4.1 Introdução .................................................................................................................................. 60 
4.2 Conceito de Interpolação ........................................................................................................... 61 
4.3 Interpolação Polinomial ............................................................................................................ 61 
4.4 Interpolação Linear - Polinômio de Gráu n = 1........................................................................ 62 
4.5 Sexta Lista de Exercícios - Interpolação Linear ................................................................... 64 
4.6 Interpolação Quadrática - Polinômio de Grau n = 2 ................................................................ 65 
4.7 Sétima Lista de Exercícios - Interpolação Quadrática ........................................................ 67 
4.8 Interpolação de Lagrange - Polinômio de Grau n .................................................................... 69 
4.9 Oitava Lista de Exercícios - Interpolação de Lagrange ....................................................... 74 
 
5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ......................................................................................................... 75 
5.1 Introdução .................................................................................................................................. 75 
5.2 Integração Numérica - Regra Do Trapézio ............................................................................... 75 
5.3 Nona Lista de Exercícios - Integração Numérica - Regra do Trapézio ............................. 79 
5.4 Integração Numérica - Regra de Simpson ................................................................................. 80 
5.5 Décima Lista de Exercícios - Integração Numérica - Regra de Simpson ........................... 83 
 
6 AJUSTAMENTO DE FUNÇÕES ................................................................................................... 84 
6.1 Ajuste Polinomial ...................................................................................................................... 84 
6.2 Ajuste de um Polinômio de 1o. Grau ....................................................................................... 85 
6.3 Ajuste de um Polinômio de 2o. Grau ....................................................................................... 87 
6.4 Ajuste para uma Função Exponencial .......................................................................................89 
6.5 Décima Primeira Lista de Exercícios - Ajustamento de Funções ....................................... 91 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 O que é o Cálculo Numérico? 
 
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados 
para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos 
se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto 
precisam ser resolvidos numericamente. 
O que isso quer dizer? 
 
Vamos tomar um exemplo para entender melhor os objetivos do Cálculo Numérico. 
Seja um circuito elétrico composto de uma fonte de tensão (uma pilha, por exemplo) e 
um resistor, como ilustrado na Figura 1.1. Digamos que desejamos obter a corrente que 
circula no circuito, dado o valor da tensão V e da resistência R. O primeiro passo é 
formular um modelo matemático para o nosso sistema físico (o circuito), e encontrar a 
solução do problema representado por esse modelo. 
 
 
 R 
 
 V 
 
 
Figura 1.1: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor. 
 
No caso do circuito da Figura 1.1, o modelo matemático também é bastante simples. 
Utilizando-se a Lei de Kirchoff (não se preocupe com essa lei caso você não a conheça), 
teremos a seguinte equação para o circuito: 
V R i   0
 
Esse é o nosso modelo matemático para o circuito (sistema físico). O modelo apresenta 
uma equação bastante simples que tem uma solução exata. Portanto, nosso problema 
(encontrar a corrente elétrica do circuito) pode ser resolvido de maneira exata, cuja 
solução é dada por: 
i
V
R

 
Por exemplo, se V=10 V e R=100 , teremos que i=0,1 ª 
Como esse problema tem uma solução exata, não é preciso utilizar os métodos do 
cálculo numérico para resolve-lo. Porém, digamos que um outro componente eletrônico 
seja incluído no circuito: um diodo semicondutor. Esse dispositivo tem uma curva 
característica, isto é, a tensão nesse componente em função da corrente, que é dada por: 
 
 v i
kT
q
i
I s
 





ln 1
 
6 
 
onde k e Is são constantes, q é a carga do elétron e T a temperatura do dispositivo. Essa 
equação corresponde ao modelo matemático do diodo (não se preocupe em entender esta 
equação, pois isto é só um exemplo). 
Portanto, ao se incluir o diodo no circuito da Figura 1.1, tem-se a seguinte equação 
descrevendo o comportamento da corrente elétrica no circuito: 
V R i
kT
q
i
I s
   





 ln 1 0
 
A inclusão desse novo componente no circuito tornou nosso problema mais complicado 
e de difícil solução analítica. O que isso quer dizer? Tornou-se difícil se obter uma 
expressão para i, principalmente quando comparado ao caso anterior, quando tínhamos 
simplesmente i=V/R. 
Como resolver esse problema então? 
Como obter o valor de i? 
A solução está na utilização de métodos numéricos que serão aprendidos neste curso. 
 
Vamos tomar outro exemplo para entender melhor os objetivos do Cálculo 
Numérico. 
Para se calcular as raízes de uma equação do 2
o
. grau do tipo y = ax
2
 + bx + c, basta 
aplicar a famosa fórmula de Bhaskara para achar as raízes da equação. 
Todos nos conhecemos esta fórmula quando estudamos no 2o. grau. 
No entanto, para se calcular as raízes de uma equação do 3
o
. grau do tipo 
y = ax
3
 + bx
2
 + cx + d, não existe uma fórmula que dê o valor exato das raízes. 
Neste caso precisamos recorrer à métodos numéricos que darão os valores aproximados 
das raízes desta equação. 
 
1.2 A importância do Cálculo Numérico 
 
Ao resolver um problema matemático numericamente, o mais comum é o profissional 
utilizar um pacote computacional. Porém, ele terá que tomar uma série de decisões antes 
de resolver o problema. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de 
métodos numéricos. O profissional terá que decidir: 
 Pela utilização ou não de um método numérico (existem métodos numéricos para 
se resolver este problema?); 
 Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o 
seu problema. Que vantagens cada método oferece e que limitações eles 
apresentam; 
 Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber 
exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como 
determinado método é aplicado. 
 
O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar esquemas numéricos (algoritmos 
numéricos) para resolução de problemas das mais diversas áreas que podem ser 
representados por um modelo matemático. Ele corresponde a um conjunto de 
7 
 
ferramentas ou métodos usados para obter a solução de problemas matemáticos de forma 
aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam 
solução exata e, portanto, precisam ser resolvidos numericamente. 
 
A necessidade de produzir resultados numéricos se deve a vários motivos, por exemplo, 
um problema de matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se 
tornar extremamente complicado e complexo com o aumento do tamanho do problema, 
ou quando existem problemas para os quais não existem métodos matemáticos, entre 
outros. 
 
Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. 
Nos problemas reais, os dados são medidas que não são exatas. Sabe-se que uma medida 
física não é um número, mas sim um intervalo, pela própria imprecisão da medida, por 
isso trata-se sempre com erros, inerentes à própria medição. Os métodos aproximados 
buscam uma aproximação do que seria o valor exato, dessa forma é inerente a eles 
trabalhar com aproximações, erros e desvios. 
 
Vejamos as várias fases da resolução de problemas, através do fluxograma: 
 
 
 
 
Mesmo que todas as fases do fluxograma acima tenham sido realizadas corretamente, 
ainda podem-se obter resultados finais totalmente diferentes do que se esperava. Estes 
resultados dependem também: 
 da precisão dos dados de entrada; 
 da forma com que os dados são representados na maquina; 
 das operações numéricas realizadas. 
 
 
 
Problema 
Real 
Levantamento 
de dados 
Construção do 
Modelo Matemático 
Escolha do Método 
Numérico Adequado 
Implementação 
Computacional 
Análise dos 
resultados Obtidos 
Quando necessário: 
reformular algum dos passos 
anteriores 
8 
 
1.3 Objetivos do Curso: 
 
Os principais objetivos do curso são: 
 
 Apresentar diversos métodos numéricos para a resolução de diferentes problemas 
matemáticos. Pretende-se deixar bem claro a importância desses métodos, mostrando: 
 a essência de um método numérico; 
 a diferença em relação a soluções analíticas; 
 as situações em que eles devem ser aplicados; 
 as vantagens de se utilizar um método numérico; 
 e as limitações na sua aplicação e confiabilidade na solução obtida. 
 Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu 
lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, 
exercitá-los e utilizá-los de maneira prática; 
 
 Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos 
numéricos. Isso significa mostrar como usar esses métodos numéricos na calculadora 
e em um computador; 
 
 Treinar o aluno a aprender outros métodos numéricos por conta própria. No seu dia-a-
dia profissional, ele pode se deparar com um problema cuja solução depende de um 
método numérico que não foi visto no curso. Portanto,ele deverá ser capaz de 
encontrar a literatura pertinente, estudar o método e aprender a sua utilização de 
maneira conceitual e prática (usando um aplicativo computacional) por conta própria. 
 
 
1.4 Erros Numéricos 
 
Vamos supor o seguinte problema: 
 
Como calcular o valor de 2 ? 
 
A primeira resposta que vem a mente de qualquer pessoa que nasceu no século XX será: 
Pode se calcular o valor de 2 utilizando-se uma calculadora ou um computador. 
Indiscutivelmente, essa é a resposta mais sensata e prática. Porém, um profissional que 
utilizará o resultado fornecido pela calculadora para projetar, construir ou manter pontes, 
edifícios, máquinas, sistemas, dispositivos eletrônicos, etc., não pode aceitar o valor 
obtido antes de fazer alguns questionamentos (pelo menos uma vez na sua vida 
profissional). 
Quando calculamos, por exemplo, o valor de 2 em uma calculadora ou em um 
computador, o que realmente estamos fazendo? Em outras palavras, o que a calculadora 
fez para obter o resultado? Para um engenheiro, ainda mais importante é a pergunta: qual 
é a confiabilidade do resultado que obtemos? 
9 
 
Essa pergunta faz sentido pois 2 é um número irracional, isto é, não existe uma forma 
de representa-lo com um número finito de algarismos. 
 
Além disso, o valor calculado pode ser: 
 
41,12 
 
 
1,41422 
 
 
1,4142132 
 
 
1,414213562 
 
 
21,414213562 
 
 
Ou seja, o valor será apresentado dependendo de quantas casas decimais se deseja como 
resultado. 
Portanto, o número apresentado pela calculadora é uma aproximação do valor real de 2
, já que ela não pode mostrar infinitos algarismos. E quão próximo do valor real está o 
resultado mostrado? 
 
Normas de Arredondamento: 
1 - A precisão requerida para a resposta deve ser fixada de antemão, uma casa decimal, 2 
casas decimais, etc. 
2 - Todos os cálculos intermediários devem ser feitos com pelo menos um algarismo 
significativo a mais do que o número adotado. 
3 - No momento de arredondar o resultado, adote o seguinte critério: 
 3,14159 com 5 algarismos significativos equivale a: 3,1416 
 1,41421 com 5 algarismos significativos equivale a: 1,4142 
 2,718 com 3 algarismos significativos equivale a: 2,72 
 2,145 com 3 algarismos significativos equivale a: 2,14 
 2,146 com 3 algarismos significativos equivale a: 2,15 
 
Defini-se a diferença entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor 
aproximado que efetivamente calculamos como sendo o Erro Absoluto, ou seja: 
 
Erro Absoluto = Valor Real – Valor Aproximado 
 
Desta forma, define-se: 
 
Erro Absoluto: é a diferença entre a solução exata e a solução aproximada 
 
Na maioria das vezes, apenas o Valor Aproximado não é conhecido, e, portanto, é 
impossível obter o valor exato do Erro Absoluto. O que se faz, é obter um limitante 
superior ou uma estimativa para o módulo do Erro Absoluto. 
Quanto menor for esse erro, mais preciso será o resultado da operação. Essa definição 
corresponde ao erro absoluto de um cálculo. 
10 
 
Porém, se estivermos trabalhando com números muito grandes, o erro pode ser grande 
em termos absolutos, mas o resultado ainda será preciso. 
O caso inverso também pode ocorrer: um erro absoluto pequeno, mas um resultado 
impreciso. 
 
Exemplo1: 
 Suponha que o resultado de uma operação nos dá o valor 2.123.542,7 
 No entanto, o valor real que deveríamos obter é 2.123.544,5. 
 O erro absoluto neste caso é 1,8. 
 Comparada com o valor real, essa diferença (o erro) é bem pequena, portanto, 
 podemos considerar o resultado preciso. 
 
Exemplo2: 
 Em um outro caso, digamos que o resultado da operação seja 0,234 e o resultado 
 esperado era 0,128. 
 Desta vez o erro será igual a 0,106 , porém o resultado é bastante impreciso. 
 A fim de evitar esse tipo de ambiguidade, pode-se criar uma nova definição. 
 
O Erro Relativo, que corresponde ao quociente entre o erro absoluto e o valor real da 
grandeza a ser calculada, ou seja: 
 
ealValor
proximadoValorealValor
lativoErro
 R
A R
Re 


 
 
O Erro Relativo é uma forma mais interessante de se avaliar a precisão de um cálculo 
efetuado. 
No exemplo acima, teremos um erro relativo de 0,0000008 ou 0,00008% no primeiro 
exemplo e um erro relativo igual a 0,83 ou 83% no segundo exemplo. 
 
1.5 Tipos de Erros 
 
O erro cometido ao se calcular o valor de 2 , por exemplo, é apenas um tipo de erro que 
pode surgir ao se resolver um problema real. Outros tipos de erros também podem 
aparecer devido a outros tipos de problemas ou limitações. 
A solução matemática de um determinado problema envolve diversas etapas, como 
discutido na introdução. 
A solução do problema se inicia com a criação de um modelo matemático do sistema em 
questão. Esse modelo sempre apresentará aproximações e limitações. Além disso, na 
grande maioria das vezes, dados experimentais serão utilizados para se obter a solução. 
Como toda medida experimental apresenta uma incerteza, a solução do problema será 
influenciada pelas mesmas. Portanto, logo de início, existem diversos fatores que 
introduzem incertezas na solução numérica do problema. 
Esse tipo de erro é chamado de Erro Inicial. 
11 
 
O problema discutido na introdução deste capítulo para o cálculo de 2 , que se refere a 
inevitável limitação na representação de números irracionais (por exemplo), introduz 
erros no resultado. 
Esse tipo de erro é chamado de Erro de Arredondamento. 
 
Vamos considerar um outro tipo de problema prático que pode surgir ao realizarmos 
determinadas operações. 
Suponhamos que se deseja calcular o valor de e
x
. 
Mais uma vez, iremos utilizar uma máquina digital (calculadora ou computador). 
Como esse equipamento irá realizar essa operação? 
Sabe-se que a exponencial é uma função que pode ser representada por uma série infinita 
dada por: 
 
 
!!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x
 (3.3) 
 
Na prática é impossível calcular seu valor exato. 
Portanto, mais uma vez, teremos que fazer uma aproximação, que levará a um erro no 
resultado final de e
x
. 
Neste caso, faremos um truncamento dessa série, e o erro gerado no valor de e
x
 é 
chamado de: Erro de Truncamento. 
 
Além disso, todos estes tipos de erros podem estar presentes na solução de um problema 
e se propagarem nas operações quando se busca uma solução. 
O resultado final disto pode ser um erro bastante grande quando comparado ao que seria 
o verdadeiro valor da solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
2 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 
 
2.1 Introdução 
 
Em muitos problemas de Ciências e Engenharias ocorrem situações que envolvem a 
resolução de equações do tipo 
  0xf
. A resolução deste problema resulta em achar o 
número  de tal maneira que 
  0f
. O número  é chamado de raiz da equação’ , ou 
zero da função 
 xf
. 
Nosso objetivo será determinar as raízes de 
 xf
, ou seja, determinar i tal que 
  0if 
. 
O valor i pode ser um número real ou um número complexo. 
 
 
 
As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a 
equação f(x) = 0 de maneira exata, como mostrado nos exemplos a seguir: 
Exemplos: 
033)3( 
:pois )( de raíz é 3 
3)( )1



f
xfx
xxf
 
04
2
3
.
3
8
2
3
 
:pois )( de raíz a é 
2
3
 
2
3
8
12
4
3
8
043
8
 
4
3
8
)( )2









g
xgx
xxx
xxg
 
Zeros reais representados 
sobre o eixo das abscissas 
Eixo das abscissas 

1
 
2
 
f(x) 
x 
E
ix
o
 d
a
s
 o
rd
e
n
a
d
a
s
 
13 
 
010-10 )2( 01515 )3( 
 65.2-22 63.53)3( 
:pois )( de soluções são 3 quanto 2 anto t
2 3 
2
1 5
 
12425 
065 
65)( )3
22
21
2
2









hh
)h(h
xhxx
xexx
xx
xxxh
 
Porém, nem sempre é possível se encontrar analiticamente a raiz de uma função, como 
nos exemplos a seguir: 
Exemplos: 
 
Nestes casos precisamos de um método numérico para encontrar uma estimativa para a 
raiz da função estudada, ou seja, um valor tão aproximado quando se deseje. 
Tais métodos devem envolver as seguintes etapas: 
(a) Isolar a raiz, ou seja, determinação de um intervalo 
 ba,
, o menor possível, que 
contenha pelo menos uma raiz da equação 
  0xf
; 
(b) Calcular a raiz aproximada através de um processo iterativo até a precisão 
desejada. 
Uma equação pode ter várias raízes 1, 2, 3, ... e graficamente as raízes (ou zeros da 
função) são representadas pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)ln()( )3
)()( )2
12)( )1 23
xxxh
exsenxg
xxxxf
x



f(x) 
x b     1 a 1 2 3 4 5 
f(a) 
f(b) 
14 
 
2.2 Isolamento de Raízes 
 
Nesta etapa é feita uma análise teórica e gráfica da função 
 xf
. É importante ressaltar 
que o sucesso dessa etapa depende fortemente da precisão desta análise. 
Na analise teórica usamos frequentemente o teorema: 
 
Teorema 1: Seja 
 xf
 uma função contínua num intervalo 
 ba ,
. Se
 xf
 assume valores 
opostos nos pontos extremos do intervalo, isto é, se 
    0 bfaf
 então existe 
pelo menos um ponto 
x
 entre 
a
 e 
b
 que é raiz de 
 xf
, isto é 
  0f
. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma forma de se isolar as raízes de 
 xf
 usando resultados anteriores é tabelar 
 xf
 para 
vários valores de 
x
 e analisar as mudanças de sinal de 
 xf
. 
 
Exercício 1: Encontre os intervalos monde se encontram as raízes da equação. 
 
a) 
  393  xxxf
 
x
 
 xf
 
 
 
b) 
  xexxf  5
 
x
 
 xf
 
 
 
c) 
  133  xxxf
 
x
 
 xf
 
 
 
d) 
      11 22
2
 xexxf
 
x
 
f(x) f(x) 
f(b) 
f(a) 
 
b 
a x 
f(a) 
f(b) 
 b 
a x 
f(a).f(b) < 0 f(a).f(b) < 0 
15 
 
 xf
 
2.3 Equações Algébricas 
 
Uma equação algébrica de grau 
 1nn
 é uma equação do tipo 
  0
2
2
1
1 ... axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




, onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0. 
 
Exemplo: 
 P(x) = x
5 
+ 3x
4 
- 2x
3 
+ 5x - 7 
 
Neste exemplo temos: 
 n = 5 uma equação algébrica de grau 5 
 a5 = 1; a4 = 3; a3 = -2; a2 = 0; a1 = 5; a0 = 7 
 
Teorema 2: (Teorema Fundamental da Álgebra) Uma equação algébrica de grau 
 1nn
 
do tipo 
  0
2
2
1
1 ... axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




 tem exatamente 
n
 raízes, reais 
ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com a sua 
multiplicidade. 
 
Multiplicidade de Raízes 
Uma raiz 

 da equação P(x) = 0 tem multiplicidade 
m
 se: 
         0...''' 1    mPPPP e   0mP Onde:   mjex
dx
Pd
P
j
j
j ,...,1,  
 
Exemplo 1: 
 P(x) = x
2 
- 6x + 9 
 Resolvendo essa equação por Bhaskara encontramos uma única raiz  = 3. 
 Então temos: P(3) = 0 
 P
'
(x) = 2x - 6 e P
'
(3) = 0 
 P
''
(x) = 2 e P
''
(3) = 2 ≠ 0 
 Conclusão: P(x) tem a raiz  = 3 de multiplicada de m = 2. 
 
Exemplo 2: 
 P(x) = (x - 2)
3
.(x + 1) = x
4
 - 5x
3
 + 6x
2
 + 4x - 8 
 Pode-se observar que 1 = -1 e 2 = 2 são raízes de P(x). 
 Analisando as raízes temos: 
 Para 1 = -1 
 P(-1) = 0 
 P
'
(x) = 4x
3
 - 15x
2
 + 12x + 4 e P
'
(-1) = - 27 ≠ 0 
16 
 
 Conclusão: 1 = -1 é uma raiz de multiplicidade m = 1. 
 Para 1 = 2 
 P(2) = 0 
 P
'
(x) = 4x
3
 - 15x
2
 + 12x + 4 e P
'
(2) = 0 
 P
''
(x) = 12x
2
 - 30x + 12 e P
''
(2) = 0 
 P
'''
(x) = 24x - 30 e P
'''
(2) = 18 ≠ 0 
 Conclusão: 2 = 2 é uma raiz de multiplicidade m = 3. 
 
Exercício 2: Encontre as raízes e suas multiplicidades nas seguintes equações: 
a) 
     12 3  xxxP
 
b) 
     25 4  xxxP
 
c) 
  xxxxP 96 23 
 
d) 
  485 23  xxxxP
 
 
Teorema 3: Se os coeficientes da equação algébrica P(x) são reais, então as raízes 
complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se 
i 1
 é uma raiz de multiplicidade 
m
, então 
i 2
 também é uma 
raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade 
m
. 
 
Exercício 3: Encontre as raízes reais e complexas das equações algébricas. 
a) 
  1062  xxxP
 
b) 
  542  xxxP
 
c) 
  222  xxxP
 
 
 
Corolário 1: Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no 
mínimo, uma raiz real. 
Exemplo: 
 P(x) = x
3
 - 7x
2
 + 16x - 10 
 A raízes de P(x) são: 
 1 = 1 
 2 = 3 + i 
 3 = 3 - i 
 
Exercício 4: Encontre uma raiz real das equações algébricas. 
a) 
     11062  xxxxP
 
b) 
     5542  xxxxP
 
17 
 
2.4 Valor Numérico de um Polinômio 
 
Dado um polinômio P(x), normalmente há a necessidade de saber o valor de P(x) no 
ponto x0, quando se quer achar as raízes de P(x). 
 
Exemplo1: Seja P(x) = x
2
 - 3x + 1 
 Calcular P(x) em x0 = 3 significa achar o valor de P(3), ou seja: 
 P(3) = 3
2
 - 3.3 + 1 = 1. 
 Calcular P(x) em x0 = 5 significa achar o valor de P(5), ou seja: 
 P(5) = 5
2
 - 3.5 + 1 = 11. 
 
Exemplo2: Seja P(x) = 3x
9
 + 2x
8
 - 10x
7
 + 2x
6
 - 15x
5
 - 3x
4
 + 2x
3
 - 16x
2
 + 3x - 5. 
 Calcular P(x) em x0 = 2 significa efetuar muitas operações. 
 
 
2.4.1 Método de Briot-Ruffini para Calcular o Valor do Polinômio P(x) no Ponto x0. 
 
Sejam os polinômios: 
 
  01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




 
 e 
 
  12
3
2
2
1
1 ... bxbxbxbxbxQ nn
n
n
n
n 





 
Dividindo-se 
 xP
 pelo binômio 
 cx 
, obtém-se a igualdade: 
 
 
      rxQcxxP 
 
 
onde 
 xQ
 é o polinômio quociente de grau 
1n
 e 
r
 é uma constante (é o resto da 
divisão). 
Calculando P(x) no ponto x = c, temos: 
 
 
      rrcQcccP 
 ou seja 
  rcP 
 
 
Portanto, o resto da divisão de 
 xP
 por 
 cx 
 é o valor numérico de 
 cP
 
Se 
0r
, então 
c
 é uma raiz real de 
  0xP
. 
 
Mas como achar o polinômio Q(x) ? 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Dispositivo Prático de Brioti-Ruffini para calcularP(x) no ponto x = c. 
Faça: 
 bn = an 
 bn-1 = cbn + an-1 
 bn-2 = cbn-1 + an-2 
 . . 
 . . 
 . . 
 b0 = cb1 + a0 
 
Esquematicamente temos: 
 
P(x) an an-1 an-2 an-3 .... a1 a0 
 c cbn cbn-1 cbn-2 .... cb2 cb1 
Q(x) bn bn-1 bn-2 bn-3 .... b1 b0 = 
r 
 P(c) = r 
Exemplo: 
Seja P(x) = x
3
 - 7x
2
 + 16x -10. 
Cálculo de P(x) no ponto c = 2, ou seja, ache o valor de P(2). 
P(x) 1 -7 16 -10 
 2 2 -10 12 
Q1(x) 1 -5 6 2 
 P(2) = 2 ou seja 
      22 1  xQxxP
 r = 2 
 Q1(x) = x
2
 - 5x + 6 
Cálculo de P(x) no ponto c = 4, ou seja, ache o valor de P(4). 
 
P(x) 1 -7 16 -10 
 4 4 -12 16 
Q2(x) 1 -3 4 6 
 P(4) = 6 ou seja 
      64 2  xQxxP
 r = 6 
 Q2(x) = x
2
 - 3x + 4 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Cálculo de P(x) no ponto c = 1, ou seja, ache o valor de P(1). 
 
P(x) 1 -7 16 -10 
 1 1 -6 10 
Q3(x) 1 -6 10 0 
 P(1) = 0 ou seja 
      01 3  xQxxP
 r = 0 
 Q3(x) = x
2
 - 6x + 10 
 logo  = 0 é uma raiz de P(x). 
 
Exercício 5 
 Para P(x) = 2x
4
 - 5x
3
 - 2x
2
 + 4x - 8, calcule: 
a) P(3) 
b) P(2) 
c) P(1) 
 
2.4.2 Método de Horner para Calcular P(x) no Ponto x = c 
Faça: 
 
  01
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


 
  012211 ... axaxaxaxa nnnn  
 
     012312 ... axaxaxaxa nnnn  
 
... 
     0121
1
...... axaxaxaxaxP nn
n














 

 Forma de Horner 
Exemplo: 
 Seja P(x) = 2x
4
 - 5x
3
 - 2x
2
 + 4x - 8. 
 Cálculo de P(x) no ponto c = 3, ou seja, ache o valor de P(3). 
 P(x) = 2x
4
 - 5x
3
 - 2x
2
 + 4x - 8 
 = (2x
3
 - 5x
2
 - 2x + 4)x - 8 
 = ((2x
2
 - 5x - 2)x + 4)x - 8 
 = (((2x - 5)x - 2)x + 4)x - 8 
 Logo temos que: 
 P(3) = (((2.3 - 5)3 - 2)3 + 4)3 - 8 
 P(3) = 13 
 
 
 
20 
 
Exercício 6: Calcule os valores de P(x) pelo Método de Horner 
a) 
  10167 23  xxxxP
 
 
 2P
 
b) 
  84252 234  xxxxxP
 
 
 3P
 
c) 
  147168 2345  xxxxxxP
 
 
 1P
 
d) Passe para a Forma de Horner o polinômio P(x) = 2x4 + 3x3 - x2 - 5 
 
2.5 Número de Raízes Reais 
 
Teorema 4: 
Teorema de Bolzano: Seja 
  0xP
 uma equação algébrica com coeficientes reais e 
 bax ,
. 
Se 
    0 bPaP
, então existe um número ímpar de raízes reais 
(contando suas multiplicidades) no intervalo 
 ba,
. 
Se 
    0 bPaP
, então existe um número par de raízes reais 
(contando suas multiplicidades) ou não existem raízes reais no 
intervalo 
 ba,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.1 Número de Raízes Reais - Regra dos Sinais de Descartes 
 
Número de Raízes Reais Positivas 
O número de raízes reais positivas 
n
 de uma equação algébrica P(x) = 0 é igual ao 
número de variações de sinais na sequencia dos coeficientes, ou menor que este número 
por um inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade 
m
, contada como 
m
 raízes e não 
sendo contados os coeficientes iguais a zero. 
 
Exemplo1: 
 
 
 
P(x) = 2x
5
 - 3x
4
 - 4x
3
 + x + 1 
 + - - + + 
 1 1 
 
f(x) f(x) 
b 
a x 
b a 
x 
f(a).f(b) < 0 
f(a).f(b) > 0 
21 
 
 Ocorreram duas variações de sinais, logo n
+
 = 2 ou n
+
 = 0. 
 Isto é P(x) tem 2 ou 0 raízes reais positivas. 
 
Exemplo2: 
 
 
 
 
 Ocorreram três variações de sinais, logo n
+
 = 3 ou n
+
 = 1. 
 Isto é P(x) tem 3 ou 1 raízes reais positivas. 
 
Número de Raízes Reais Negativas 
Para se determinar o número de raízes reais negativas, toma-se o polinômio P(-x) e usa a 
mesma regras de raízes reais positivas. 
 
Exemplo1: 
 
 
 
 
 
 Ocorreram três variações de sinais, logo n
-
 = 3 ou n
-
 = 1. 
 Isto é P(x) tem 3 ou 1 raízes reais negativas. 
 
Exercício 7: Determine o número de raízes reais positivas e negativos de P(x) 
a) 
  252 25  xxxxP
 
b) 
  15432 236  xxxxxP
 
c) 
  1233 25  xxxxP
 
d) 
  1245 236  xxxxxP
 
e) 
  15423 2456  xxxxxP
 
f) 
  653 3  xxxP
 
g) 
  17  xxP
 
 
2.6 Localização das Raízes 
 
Teorema 5: Seja 
  01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




 onde 
0na
 e 
ja
. 
Então toda raiz de P(x) está localizada na região definida por |x| ≤ r, onde 
 
 max1
10








n
k
nk a
a
r
. 
P(x) = 4x
5
 - x
3
 + 4x
2
 - x - 1 
 + - + - - 
 1 1 1 
 
P(x) = 2x
5
 - 3x
4
 - 4x
3
 + x + 1 
P(-x) = -2x
5
 - 3x
4
 + 4x
3
 - x + 1 
 - - + - + 
 1 1 1 
 
22 
 
Exemplo: 
 Determine a região onde se localiza as raízes de P(x) = x
3
 - x
2
 + x - 1. 
 Sabe-se que P(x) tem exatamente 3 raízes e como n = 3 (impar) então pelo menos 
 uma raiz é real. 
 Localização das raízes: a3 = 1; a2 = -1; a1 = 1 e a0 = -1. 
 
 max1
10








n
k
nk a
a
r
então 
2
1
1
 ;
1
1
 ;
1
1
max 1 ; ;max1
3
0
3
1
3
2
20






 








 a
a
a
a
a
a
r
k
 
 
Logo, Todas as raízes de P(x) estão localizadas na região |x| ≤ 2, ou seja localizada 
num círculo centrado na origem de raio igual a 2, conforme a figura abaixo. 
 
 
 De fato as raízes de P(x) são: 1 = 1; 2 = i; 3 = - i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7 
 Identifique a região onde se localizam as raízes de P(x). 
a) 
  302975 234  xxxxxP
 
b) 
  2414132 234  xxxxxP
 
c)   147168 2345  xxxxxxP 
d)   xxxxP 2340 35  
e)   16270 56  xxxxP 
 
 
 
 
 
 
 
1 
3 
2 
(1,0) 
i 
x 
(0, i) 
(0, -i) 
r = 2 
23 
 
2.7 Verificação de Raízes Complexas de P(x) 
 
Teorema 6: 
Regra de Dugua: Seja o polinômio 
  01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




. 
 Se para algum k, 1 ≤ k < n tivermos 
11
2 .  kkk aaa
então P(x) possui 
 raízes complexas. 
Exemplo: 
 Verificar se P(x) = 2x
5
 + 3x
4
 + x
3
 + 2x
2
 - 3 tem raízes complexas. 
 Temos: a5 = 2; a4 = 3; a3 = 1; a2 = 2; a1 = 0; a0 = -3. 
 
35
2
4 .aaa 
 isto é 3
2 ≤ 2.1 falso, não satisfaz a Regra de Dugua. 
 
24
2
3 .aaa 
 isto é 1
2 ≤ 3.2 verdadeiro, satisfaz a Regra de Dugua. 
 Conclusão: P(x) tem raízes complexas. 
 
Teorema 7: 
Regra da Lacuna:Seja o polinômio 
  01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 




. 
a) Se os coeficientes do polinômio P(x) são todos reais e para algum 
k, 1 ≤ k < n tivermos ak = 0 e ak-1.ak+1 > 0 então P(x) possui raízes 
complexas. 
b) Se os coeficientes ak de P(x) são todos reais e se existir, dois ou 
mais coeficientes sucessivos nulos, então P(x) possui raízes 
complexas. 
 
Exemplo1: 
 Verificar se P(x) = 2x
6
 - 3x
5
 - 2x
3
 + x
2
 - x - 1 tem raízes complexas.Temos: a6 = 2; a5 = -3; a4 = 0; a3 = -2; a2 = 1; a1 = -1; a0 = -1. 
 a4 = 0 e a5.a3 = (-3)(-2) = 6 > 0. Satisfaz a Regra da Lacuna 
 Conclusão: P(x) tem raízes complexas. 
 
Exemplo2: 
 Verificar se P(x) = x
3
 - 1 tem raízes complexas. 
 Temos: a3 = 1; a2 = 0; a1 = 0; a0 = -1. 
 a2 = 0; a1 = 0 dois coeficiente consecutivos nulos, satisfaz Regra da 
 Lacuna. 
 Conclusão: P(x) tem raízes complexas. 
 
 
24 
 
Exercício 8 
 Utilize todo o conhecimento adquirido para analisar as raízes dos polinômios. 
a) 
  393  xxxP
 
b) 
  1432 345  xxxxxP
 
c) 
  302975 234  xxxxxP
 
d) 
  123  xxxxP
 
e) 
  16270 56  xxxxP
 
 
R E S U M O 
 
Seja P(x) um polinômio de grau n. 
 
1 - Sabe-se que o polinômio deve ter exatamente n raízes - Teorema Fundamental da 
Álgebra. 
2 - Se P(x) tem uma raiz complexa então seu conjugado também é raiz, isto é, se a - i 
então a + i também é raiz. 
3 - Se a - i é raiz de multiplicidade m então a + i também é de multiplicidade m. 
4 - Isolamento de raízes - ver Teorema 1. 
5 - Número de raízes reais num intervalo - ver Teorema de Bolzano. 
6 - Número de raízes reais positiva e raízes reais negativas - Regra dos Sinais de 
Descartes. 
7 - Localização de raízes ver Teorema 5. 
8 Cálculo de P(x) no ponto x0 - Método de Briotti-Ruffini ou Método de Honer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
2.8 Relações de Girard 
 
Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes, conhecidas como 
RELAÇÕES DE GERARD, constituem uma ferramenta importante na resolução de 
equações quando conhecemos alguma informação sobre suas raízes. 
 
Para a Equação do 2° Grau: 
 
 Sejam r1 e r2 as raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0, com a  0. 
 
 Pelo teorema da decomposição, sabemos que: ax
2
 + bx + c  a . ( x – r1) . (x – r2) 
 
 Da identidade de polinômios segue que: 







a
c
rr
a
b
rr
21
21 
 
Para a Equação do 3° Grau: 
 
 Sejam r1 , r2 e r3 as raízes da equação ax
3
 + bx
2
 + cx + d = 0, com a  0. 
 
 Pelo teorema da decomposição, sabemos que: 
 ax
3
 + bx
2
 + cx + d  a . ( x – r1) . (x – r2) . (x – r3) 
 
 Da identidade de polinômios segue que: 











a
d
rrr
a
c
rrrrrr
a
b
rrr
321
313221
321
 
 
Para a Equação de Grau “n”: 
 
 Por analogia teremos: Soma de n raízes = 
a
b

 
 Soma dos produtos das raízes tomada duas a duas = 
a
c
 
 Soma dos produtos das raízes tomadas três a três = 
a
d

 
 e assim por diante 
 Por último, produto das n raízes = 
a
e
 
 
26 
 
2.9 Primeira Lista de Exercícios – Equações Algébricas 
 
1 – Determine todas as raízes do polinômio P(x) = x3 – x2 -12x. 
 
2 – Sabendo-se que as raízes estão localizadas no intervalo [-4 ; 4], determine todas as 
raízes do polinômio P(x) = x
4
 – 2x3 -11x2 + 12x. 
 
3 – Para o polinômio P(x) = x3 + 2x2 – x + a, determine o valor de “a” sabendo-se que ao 
calcular P(1) obteve-se como resto o valor r = 5. 
 
4 - Para o polinômio P(x) = x
3
 + 2x
2
 – x + a, determine o valor de “a” de tal maneira que 
 = 1 seja uma raiz de P(x). 
 
5 – Sabe-se que, para o polinômio P(x) = x4 – x3 – 4x2 + 4x, vale a relação 
P(x) = (x - 1)Q(x) + r. Ache o polinômio Q(x) e o valor de r. 
 
6 – Sabe-se que, para o polinômio P(x) = x4 + 1, vale a relação P(x) = (x - c)Q(x) + r. 
Ache o polinômio Q(x) e o valor de r, para: 
a) c = 1 
b) c = 0 
c) c = -2 
 
7 – Dado o polinômio P(x) = x7 + x6 – 2x5 + 3x + 1, verifique qual dos valores {0; 1; -1} 
representa uma raiz de P(x). Verifique também se esses valores são raízes de Q(x). 
 
8 – Identifique um polinômio P(x) de grau 3 de tal maneira que  = 1 seja uma raiz e 
 = 2 seja uma raiz de multiplicidade 2. 
 
9 – Utilize o que você conhece para calcular a divisão do polinômio 
P(x) = 2x
5
 + 3x
4
 + 6x
3
 + 2x
2
 +32x – 2 pelo polinômio (x – 3). 
 
10 – Determine o tipo de cada raiz positiva e negativa dos polinômios abaixo: 
a) P(x) = 2x8 + 4x6 − 3x5 + 7x4 − 4x2 + 1 Resp: Só raízes complexas 
b) P(x) = x7 − x6 + 4x5 − 3x2 − 2x – 3 Resp: 1 raíz real e 6 complexas 
c) P(x) = x7 + 4x5 − 2x3 + 5x2 + 2 Resp: 1 raíz real e 6 complexas 
d) P(x) = 2x5 + 6x3 − 11x + 1 Resp: 3 raízes reais e 2 complexas 
e) P(x) = x3 + 5x2 + 2x Resp: 3 raízes reais 
f) P(x) = x2 + 2x + 1 Resp: 1 raíz real (m = 2) 
g) P(x) = 2x5 − 100x2 + 2x – 1 Resp: 1 raíz real e 4 complexas 
 
 
11 - Utilize o que você sabe sobre raízes de equações algébricas e analise cada um dos 
polinômios abaixo. 
Faça uma análise considerando os seguintes itens: 
27 
 
Número de raízes; Isolamento de raízes; Número de raízes reais positivas; Número 
de raízes reais negativas; Existência de raízes complexas; Localização das raízes; 
Multiplicidade de raízes. 
 
a) P(x) = 2x
5
 + 3x
4
 + 6x
3
 + 2x
2
 +32x - 2 
b) P(x) = 3x
5
 + 2x
4
 - 2x
3
 + x
2
 + 10x - 15 
c) P(x) = x
8
 – 1 
 
12 - Utilize o que você sabe sobre raízes de equações algébricas e analise cada um dos 
polinômios abaixo. 
Faça uma análise considerando os seguintes itens: 
Número de raízes; Isolamento de raízes; Número de raízes reais positivas; Número 
de raízes reais negativas; Existência de raízes complexas; Localização das raízes; 
Multiplicidade de raízes. 
 
a) P(x) = x
4
 – x3 – 4x2 + 4x Resp.: {-2; 0; 1; 2} 
b) P(x) = x
3
 – x Resp.: {-1; 0; 1} 
c) P(x) = x
4
 – 10x3 + 35x2 –50x + 24 Resp.: {1; 2; 3; 4} 
d) P(x) = x
3
 + 3x
2
 + 2x Resp.: {-2; -1; 0} 
e) P(x) = x
3
 – 3x2 + 4x – 2 Resp.: {1; (1 – i); (1 + i)} 
f) P(x) = x
4
 – 2x3 + 4x2 + 2x – 5 Resp.: {-1; 1; (1 – 2i); (1+2i)} 
g) P(x) = 2x
5
 - 3x
4
 – 4x3 + 4x + 1 
 Resp.:{1; -0,26413; 2,19993; (-0,717896 – 0,58745i); (-0,717896 + 0,58745i)} 
h) P(x) = x
4
 – 5x3 + 7x2 + 29x + 30 
 Resp.:{(-1,01017 - 0,711141i); (3,5107 – 2,7085i); e seus conjugados} 
i) P(x) = x
8
 – 9x7 + 33x6 –63x5 +66x4 – 36x3 + 8x2 Resp.: {0; 2(m =3); 1(m = 3)} 
j) P(x) = x
3
 – 9x2 + 3 Resp.: { -0,560; 0,597; 8,962} 
 
13 - Calcular a soma e o produto das raízes da equação: 2x
4
 + 3x
3
 + 4x
2
 + 5x + 6 = 0 
 Resposta: Soma = 
2
3

 Produto = 3 
14 - Se {r1, r2, r3} é o conjunto-solução da equação 2x
3
 + 5x
2
 + 8x + 11 = 0, calcular: 
rrr
2
3
2
2
2
1

. Resposta: 
4
7

 
15 - Resolver a equação x
3
 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1. 
 
 Resposta: S = {-1, 2, 5} 
 
 
 
 
 
 
28 
 
2.10 Equações Transcendentes 
 
Equações transcendentes são equaçõescujas funções não envolvem apenas os 
polinômios. São equações que envolvem funções do tipo exponencial, raiz quadrada, 
funções trigonométricas, funções logarítmicas,etc. 
São funções do tipo: 
 a) f(x) = e
x
 - senx -2 
 b) g(x) = x
2
 - senx -1 
 
A determinação do número de raízes geralmente é quase impossível, pois algumas 
funções podem ter infinitas raízes. 
 
2.10.1 Isolamento de Raízes pelo Método Gráfico 
 
O método mais simples de se achar um intervalo que contenha só uma raiz, ou seja, 
isolar uma raiz é o método gráfico. 
Como já foi observado, determinar os zeros de 
)(xf
 é equivalente a determinar as raízes 
da equação 
  0xf
. 
Tendo como base esta observação o método gráfico consiste em: 
- Escrever 
f
(x) como a diferença de funções 
g
(x) e 
h
(x) ou seja 
)()()( xhxgxf 
 
onde possamos sem muito esforço esboçar os gráficos das funções 
)(xg
 e 
)(xh
; 
- Usar 
     xhxgxf  0
; 
- Esboçar, da melhor maneira possível, os gráficos de 
)(xg
 e 
)(xh
 e determinar por 
inspeção os intervalos onde estão os pontos de intersecção de 
 xg
 e 
 xh
 ou seja 
os pontos x0 onde g(x0) = h(x0). 
 
Seja uma função f(x) tal que: f(x) = g(x) - h(x) 
Fazendo f(x)= 0, as raízes de f(x), são tais que: g(x) – h(x) = 0. 
ou ainda: g(x) = h(x). 
Assim, os valores de x em que o gráfico g(x) intercepta o gráfico de h(x) é a raiz de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exemplo1: 
 Dada a função f(x) = sen(x)+cos(x), encontrar os intervalos que contenham raízes 
 entre 0 e 2π. 
 Partindo de f(x) = 0, segue que: sen(x)+ cos(x)= 0 
e, temos: sen(x) = - cos(x). 
 Fazendo g(x) = sen(x) e h(x) = -cos(x), graficamente teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, percebe-se que a função g(x) irá interceptar a função h(x) entre [/2 ; ] e 
entre [3/2 ; 2]. 
Portanto, pode-se afirmar que existe uma raiz de f(x) no intervalo [/2 , ] e no intervalo 
[3/2 , 2]. 
Nem sempre o esboço gráfico é a forma mais prática de se obter um intervalo que 
contém pelo menos uma raiz da função f(x). Muitas vezes é preciso se utilizar um 
método algébrico. Para isso, pode-se recorrer ao Teorema de Bolzano. 
 
Exemplo2: 
 Dada a função f(x) = xlog(x)-1, encontrar um intervalo que contenha uma raiz de 
 f(x). 
 Seja f(x) = g(x) - h(x). 
 f(x) = 0 ==> g(x) - h(x)=0 ==> g(x) = h(x) 
 xlog(x) - 1= 0 ==> log(x) = 1/x. 
+1 
0 
-1 
x 
sen x 
- cos x 
1ª raiz 
2ª raiz 
π/2 π 3π/2 2π 
30 
 
 Seja g(x) = log(x) e h(x) = 1/x. 
 Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: existe uma raiz  da função f(x) no intervalo [2 , 3]. 
 
Exercício 9 
Use o Método Gráfico para delimitar a raiz das funções abaixo: 
a) 
    2 xsenexf x
 
b) 
  22  xexf x
 
c) 
    xxxf  ln
 
d) 
 
x
exf x
1

 
2.10.2 Método da Dicotomia ou Bissecção 
 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] tal que f(a).f(b) < 0. Isto é existe uma 
raiz de f(x) no intervalo [a, b]. 
Graficamente tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se que f(a).f(b) < 0. 
1 2 3 
x 
f(x) 
log(x) 
1/x 
f(b) 
f(x) 
f(a) 
 
a x0 x1 b 
x 
31 
 
Dividindo-se o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se o ponto x0, havendo dois subintervalos 
[a, x0] e [x0, b] a serem examinados. 
Se f(x0) = 0 então x0 é uma raiz. 
Se f(a).f(x0) < 0 então a raiz está no subintervalo [a, x0]. 
Se f(x0).f(b) < 0 então a raiz está no subintervalo [x0, b]. 
O novo intervalo [a1, b1] que contem a raiz é dividido ao meio e obtém-se o ponto x1. 
O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata, com a 
tolerância desejada. 
Esquematicamente tem-se: 
Etapa 1: Intervalo [a, b] onde f(a).f(b) < 0 faça: 
2
0
ba
x


 
 Testa se f(x0) = 0. 
Etapa 2: Intervalo [x0, b] onde f(x0).f(b) < 0 faça: 
2
0
1
bx
x


 
 Testa se f(x1) = 0. 
Etapa 3: Intervalo [x0, x1] onde f(x0).f(x1) < 0 faça: 
2
10
2
xx
x


 
 Testa se f(x2) = 0. 
 
 
 
E assim sucessivamente até encontrar xn de tal maneira que f(xn) = 0. 
 
Exemplo 1: 
Encontre uma raiz aproximada da função f(x) = xlog(x)-1. 
Anteriormente, já viu-se que f(x) tem uma raiz no intervalo [2, 3]. 
 
Etapa 1: Intervalo [2, 3] 
 f(2) = 2.log(2) -1 = -0,3980 < 0 
 f(3) = 3.log(3) -1 = 0,4314 > 0 
 faça: 
5,2
2
32
0 

x
 
 Testa se f(2,5) = 2,5.log(2,5) -1= -0,0051 é um número próximo de zero. 
Conclusão: f(2,5) = -0,0051 então x0 = 2,5 é uma raiz aproximada de f(x). 
a x0 b 
x0 x1 b 
x0 x2 x1 
a x0  x2 x1 b 
2 x0 3 
32 
 
Nota: O Erro cometido é de -0,0051. 
 
Exemplo 2: 
Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = e
x
 + x 
Através do teste do sinal pode-se concluir que a raiz de f(x) está no intervalo [-1,0]. 
Etapa 1: 
5,0
2
01
0 

x
 
 
 
 
 
Etapa 2: 
75,0
2
5,01
1 

x
 
 
 
 
 
Etapa 3: 
625,0
2
5,075,0
2 

x
 
 
 
 
 
Etapa 4: 
563,0
2
5,0625,0
3 

x
 
 
 
 
Portanto, x3= - 0,563 é uma raiz aproximada de f(x)=e
x
+x. 
 
 
 
+ - -
+ 
-0,75 -1 -0,5 
28,0)75,0( f
+ + -
+ 
-0,5 -1 0 
11,0)5,0(
1)0(
63,0)1(



f
f
f
+ - -
+ 
-0,625 -0,75 -0,5 
09,0)625,0( f
+ -
+ 
-0,563 -0,625 -0,5 
01,0)563,0( f
+ 
33 
 
Exercício 10 
Use o Método da Bissecção para encontrar uma raiz das funções abaixo: 
a) f(x) = x3 - 6x2 - x + 30 
b) f(x) = x + log(x) 
c) f(x) = 3x - cos(x) 
d) f(x) = x - 2cos(x) 
 
2.10.3 Método de Newton Raphson 
 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e  a única raiz de f(x) no intervalo 
[a, b]. 
Se f
 '
(x) e f
 ''
(x) (f
 '
(x) ≠ 0) são funções contínuas no intervalo [a, b] então a sequência {xn} 
gerada pela fórmula recursiva 
)(
)(
'1
k
k
kk
xf
xf
xx 
convergirá para a raiz , onde 
k = 0, 1, 2, 3, ... 
Dado o ponto x0, o ponto x1 é obtido de tal forma que x1 é a abscissa do ponto de 
intersecção entre o eixo ox e a reta tangente à curva f(x) no ponto (x0, f(x0)). 
Com esse mesmo processo, a partir do ponto x1 obtém-se o ponto x2. 
Continua o processo até se obter a precisão desejada. 
Graficamente, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolha do Ponto Inicial x0 x x n+1 n 
( xn , f(xn)) 
x 
 f(xn) 
 
34 
 
A condição suficiente para que método converge para a raiz é que f
 '
(x) e f
 ''
(x) sejam não 
nulas, preservem o sinal no intervalo [a, b]. 
Escolha do ponto inicial: 
O ponto inicial x0 = a ou x0 = b deve ser tal que f
 
(x0)f
 ''
(x0)>0. 
 
Exemplo1: 
Encontre uma raiz aproximada da função f(x) = 2x
3
 +ln(x) - 5. 
Solução: 
 Sabe-se que f(x) tem uma raiz no intervalo [1, 2]. 
 De fato: 
 f(1) = -3 
 f(2) = 11,6931, logo f(1).f(2) < 0. 
 f
 '
(x)= 6x
2
 + 1/x 
 f
 '
(1)=7 > 0 
 f
 '
(2)=24,5 > 0 logo f
 '
(x) não muda de sinal em [1, 2]. 
 f
 ''
(x) = 12x - 1/x
2 
 f
 ''
(1) =11 > 0 
 f
 ''
(2) = 23,75 > 0 logo f
 ''
(x) não muda de sinal em [1, 2]. 
 Logo, para esta função, o método converge. 
 
 Escolha do ponto inicial x0 : x0 = 1 ou x0 = 2. 
 É necessário que f(x0)f
 ''
(x0)>0. 
 Para x0 = 1 
 f(1) = -3 < 0 e f
 ''
(1) = 11 > 0 ==> f(1). f
 ''
(1)< 0 
Logo o ponto x0 = 1 não pode ser escolhido como ponto inicial. 
 Para x0 = 2 
 f(2) = 11,6931 > 0 e f
 ''
(2) = 23,75 > 0 ==> f(2). f
 ''
(2)> 0 
 Logo o ponto x0 = 2 pode ser escolhido como ponto inicial. 
 Faça x0 = 2 
 
5227,1
5,24
6931,11
2
)2(
)2(
2
)(
)(
'
0
'
0
01 
f
f
xf
xf
xx
 
 f(x1)= f(1,5227)=2,4820 Portanto x1 = 1,5227 não é raiz. 
35 
 
 
3523,1
)5227,1(
)5227,1(
5227,1
)(
)(
'
1
'
1
12 
f
f
xf
xf
xx
 
 f(x2)= f(1,3523)=0,2478 Portanto x2 = 1,3523 não é raiz. 
 
3311,1
)3523,1(
)3523,1(
3523,1
)(
)(
'
2
'
2
23 
f
f
xf
xf
xx
 
 f(x3)= f(1,3311)= - 0,0035 (próximo de zero) 
 Portanto x3 = 1,3311 é uma raiz aproximada de f(x). 
 
Exemplo 2: 
Determine pelo método de Newton Raphson todas as raízes da equação f(x) = 0, onde 
temos que f(x) = x
3
 - 0,8x
2
 + 0,2x - 3,6. 
Solução: 
 a) Localização das raízes da equação x
3
 - 0,8x
2
 + 0,2x - 3,6= 0 
 
 max1
10








n
k
nk a
a
r
então 
6,4
1
6,3
 ;
1
2,0
 ;
1
8,0
max 1 ; ;max1
3
0
3
1
3
2
20






 








 a
a
a
a
a
a
r
k
 
 Logo, todas as raízes da equação se encontra na região: |x| < 4,6, ou seja, na região 
 delimitada pela figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Verificação de raízes na região delimitada: 
 f(0) = -3,6 
 f(1) = -3,2 
 f(1,5) = -1,725 
 f(2) = 1,6 logo existe uma raiz no intervalo [1,5 ; 2]. 
 c) Estudo da convergência do método de Newton Raphon 
 Verificar de f 
 '
(x) e f
 ''
(x) muda de sinal no intervalo [1,5 ; 2]. 
 f 
 '
(x) = 3x
2
 - 1,6x + 0,2 
 f 
 '
(1,5) = 4,55 
- 4,6i 
4,6i 
- 4,6 4,6 
i 
x 
r = 4,6 
36 
 
 f 
 '
(2) = 9 portanto, f 
 '
(x) não muda de sinal no intervalo [1,5 ; 2]. 
 
 f
 ''
(x) = 6x - 1,6 
 f 
"
(1,5) = 7,4 
 f 
 "
(2) = 10,4 portanto, f
' "
(x) não muda de sinal no intervalo [1,5 ; 2]. 
 Logo, para esta função, o método converge. 
 
 Escolha do ponto inicial x0 : x0 = 1,5 ou x0 = 2. 
 É necessário que f(x0)f
 ''
(x0)>0. 
 Para x0 = 1,5 
 f(1,5) = -1,725 < 0 e f
 ''
(1,5) = 7,4 > 0 
logo o ponto 1,5 não pode ser escolhido como x0. 
 Para x0 = 2 
 f(2) = 1,6 > 0 e f
 ''
(2) = 10,4 > 0 
logo o ponto 2 pode ser escolhido como x0. 
 Faça x0 = 2 
 
..8222,1
9
6,1
2
)2(
)2(
2
)(
)(
'
0
'
0
01 
f
f
xf
xf
xx
 
 f(x1)= f(1,8222)=0,15857 Portanto x1 = 1,8222 não é raiz. 
 
8003,1
2457,7
15857,0
8222,1
)8222,1(
)8222,1(
8222,1
)(
)(
'
1
'
1
12 
f
f
xf
xf
xx
 
 f(x2)= f(1,8003)=0,0021124 < 0,01 
 Portanto x2 = 1,8003 é uma raiz de f(x) com boa aproximação. 
 
 d) Cálculo das outras raízes: Utilização do método de Briotti-Ruffini 
f(x) = x
3
 - 0,8x
2
 + 0,2x - 3,6. 
Cálculo de P(x) no ponto c = 1,8 , ou seja, ache o valor de P(1,8). 
P(x) 1 -0,8 0,2 -3,6 
 1,8 1,8 1,8 3,6 
Q1(x) 1 1 2 0 
 P(1,8) = 0 ou seja 
      02 1  xQxxP
 r = 0 
 Q1(x) = x
2
 + x + 2 
37 
 
 Como Q1(x) = x
2
 + x + 2 = 0 é uma equação do 2o. grau, as raízes podem 
 ser encontradas usando Bhaskara: 
 
2
71
2
811 i
x



 


 ===> 
2
71
1
i
x


 e 
2
71
2
i
x


 
Conclusão: As raízes de f(x) = x
3
 - 0,8x
2
 + 0,2x - 3,6 são: 
 
 1 = 1,8 
 
2
71
2
i

 
 
2
71
3
i

 
Exercício 11 
Use o Método de Newton Raphson para encontrar uma raiz das funções abaixo: 
a) f(x) = x3 - 5x2 + x + 3 
b) f(x) = x3 - x2 - 12x 
c) f(x) = 2x - sen(x) + 4 
d) f(x) = ex - tag(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
2.11 Segunda Lista de Exercícios – Equações Transcendentes 
 
1 - Seja: 
13)( 3  xxxf
. 
a) Mostre que f(x) possui uma raiz no intervalo [0,1]. 
b) Utilize o método da bisseção e encontre uma raiz aproximada de f(x). 
2 - Seja a função f(x) = e
x
 – 4x2 
a) Encontre o intervalo que deva possuir pelo menos uma raiz de f(x). 
b) Utilize o método de Newton Raphison e encontre uma raiz aproximada de f(x). 
3 - Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, usando o método da bisseção. 
Faça pelos menos 3 iterações. 
a – f(x) = x3 – 6x2 – x + 30 = 0 
b – f(x) = x + log x = 0 
c – f(x) = 3x – cos x = 0 
d – f(x) = x + 2cos x = 0 
4 – Ache pelo menos uma raiz de f(x) usando o método da Newton Raphson. 
Faça pelo menos 3 iterações. 
a – f(x) = x3 – 5x2 + x + 3 = 0 
b – f(x) = x3 – x2 – 12x = 0 
 c – f(x) = 2x – sen x + 4 = 0 
 d – f(x) = ex – tag x = 0 
5 – Determinar pelo menos uma raiz das funções abaixo, usando o método de Newton-Raphson, com 
um erro menor que 0,1%. 
a – f(x) = x3 - 6 x2 - x + 30 
b – f(x) = 3 x - cos(x) 
c – f(x) = x + 2 cos(x) 
d – f(x) = 3 x2 - ex 
e – f(x) = e-x – x 
6 – Pode-se aproximar o valor da raiz de um número R resolvendo a equação x = R , que é igual a 
resolver a equação x2 - R = 0. Usando o método de Newton-Raphson, calcule cada um dos valores 
abaixo com um erro menor que 0,1% 
 a - 
2 13
 
 b - 
5 13
 
c – 110,25 
d - 
2 5
 
e - 
3 2
 
39 
 
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
3.1 Equação Linear 
 
Toda equação da forma 
bxa...xaxa nn  2211
 é denominada equação linear, em que: 
 
na,..,a,a 21
 são coeficientes 
 
nx,...,x,x 21
 são as incógnitas 
 b é um termo independente 
Exemplos: 
 a) 
532 321  xxx
 é uma equação linear de três incógnitas. 
 b) 
1 tzyx
 é uma equação linear de quatro incógnitas. 
Observações: 
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se 
equação linear homogênea. Por exemplo: 
05  yx
. 
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 
21
2
1 x.x,x
 etc., isto é, cada termo 
da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. 
As equações 
323 2
2
1  xx
 e 
24  zy.x
 não são lineares. 
3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a sequencia de números reais ou 
ênupla 
 n,...,,  21
, que, colocados respectivamente no lugar de 
nx,...,x,x 21
, 
tornam verdadeira a igualdade dada. 
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 
03  yx
 é a dupla 
 00,
. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Dada a equação linear 
24  zyx
, encontrar uma de suas soluções. 
 Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z. 
 
0
2


y
x
 

 
6
2042


z
z.Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (x, y, z) = (2, 0, -6). 
 
Exemplo 2: Dada a equação 
523  yx
, determinar α para que a dupla (-1, α) seja 
solução da equação. 
40 
 
Resolução: 
 ,1
 

 


y
x 1
 

 
 
482
523
521.3






 
Resposta: α = – 4 
3.2 Sistema linear. 
 
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas 
nxxx ,...,, 21
 todo sistema da 
forma: 












nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,,
 são números reais. 
Se o conjunto ordenado de números reais 
 n'2'1' ,...,, 
 satisfizer a todas as equações do 
sistema, será denominado solução do sistema linear. 
 
Observações: 
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, 
021  n'' b...bb
, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: 
 








0325
04
02
zyx
zyx
zyx
 
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0. 
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema 
homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a 
solução será chamada solução não-trivial. 
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos 
sistemas equivalentes. Veja o exemplo: 
  21
42
53
1 





,S
yx
yx
:S
 
  21
1
3
2
2
3
2 









,S
yx
y
x
:S 
 Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes. 
 
41 
 
Exercícios sobre Sistemas Lineares 
1. Seja o sistema 








2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S
. 
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. 
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S. 
 Resp: a) é b) não é 
2. Seja o sistema: 





32
93 2
kyx
kyx
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo. 
 Resp: k = -3 
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
 





52
1
yx
yx e 





2
1
mynx
nymx Resp: m = 0 e n = 1 
3.3 Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares. 
 
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de 
equações lineares. 
Seja o sistema linear: 












nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
 
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: 
 
















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
 . 
















nx
x
x
...
...
2
1
 = 
















nb
b
b
...
...
2
1
 
 

 

 

 
 
 
 
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema 
dado. 
Matriz constituída 
pelos coeficientes 
das incógnitas 
Matriz coluna 
constituída pelos 
termos independentes 
Matriz coluna 
constituída pelas 
incógnitas 
42 
 
Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante 
é dito determinante do sistema. 
Exemplo3: 
 Seja o sistema: 








827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
O sistema pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: 


































8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
 
 
Exercícios sobre Expressão Matricial 
 
1. Expresse matricialmente os sistemas: 
a) 





03
52
yx
yx 
b) 








253
0
12
cba
ca
cba
 
2. A expressão matricial de um sistema S é: 

















 
7
4
13
52
b
a
.
. 
 Determine as equações de S. 
3.4 Classificação dos Sistemas Lineares 
 
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: 
 
SISTEMA LINEAR 
POSSÍVEL 
quando admite solução 
DETERMINADO 
admite uma única sulução 
INDETERMINADO 
admite infinitas soluções 
IMPOSSÍVEL 
quando não admite solução 
43 
 
3.5 Regra de Cramer 
 
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear. 












nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
 :sistema o Seja
 
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas: 
 





















mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
 
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se 
a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes. 
 



















mnmn
n
n
x
aab
aab
aab
A
...
...
...
...
...
...
2
2222
1121
1
Pela regra de Cramer, temos : 
Adet
Adet
x x11 
 
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas: 





















mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2
 
Adet
Adet
x x22 
 





















nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
 
Adet
Adet
x xnn 
 
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão: 
Adet
Adet
x ii 
 

 







 tes.independen termosdos coluna pela 
 xde escoeficient dos colunas as 
 se-dosubstituinA de obtida matriz a é A
sistema. do incompleta matriz a éA 
 i
i
 
 
44 
 
 
Exemplo para um sistema com 3 equações e 3 incógnitas: 
 
Seja o sistema {
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3 
temos a matriz 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
As matrizes constituídas pelos coeficientes das incógnitas são: 
 
 𝐴1 = [
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎32 𝑎33
] 𝐴2 = [
𝑎11 𝑏1 𝑎13
𝑎21 𝑏2 𝑎23
𝑎31 𝑏3 𝑎33
] 𝐴3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑏1
𝑎21 𝑎22 𝑏2
𝑎31 𝑎32 𝑏3
] 
 
Assim, temos as soluções: x1=
det A1
det A
 x2=
det A2
det A
 x3=
det A3
det A
 
 
Vejamos alguns exemplos. 
 
Exemplo 4: Resolver o sistema 





25
72
yx
yx . 
 
11
51
12





 
 AdetA
 
33
52
17
11 







 AdetA
 
 
11
21
72
22 






 AdetA3
11
331 
Adet
Adet
x
 
1
11
112 


Adet
Adet
y
 
Resposta: 
  13 ,S
 
Exemplo 5: Resolver o sistema 





2
5
yx
yx . 
 
0
11
11







 AdetA
 
7
12
15







 xx AdetA
 
 
7
21
51







 yy AdetA
 
0
7

Adet
Adet
x x
 impossível 
0
7

Adet
Adet
y
y
 impossível 
Resposta: 
S
 
Exemplo 6: Resolver o sistema








1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. 
 1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta. 
45 
 
 
126543104
111
543
121













 AdetA
 
 2º) Cálculo do determinante das incógnitas. 
 
24200410100
111
5410
120
11 












 AdetA
 
 
1205103010
111
5103
101
22 









 
 AdetA
 
 
061000204
111
1043
021
33 










 AdetA
 
 
 3º) Cálculo das incógnitas. 
 
2
12
241
1 



Adet
Adet
x
 
1
12
122
2 


Adet
Adet
x
 
0
12
03
3 


Adet
Adet
x
 
Resposta: 
  0 ,1 ,2 S
 Sistema Possível e Determinado. 
 
Observação: 
Cálculo de Determinante de uma Matriz Terceira Ordem: 
A
a a a
a a a
a a a











11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
Regra de Sarrus para Cálculo de Determinante de 3a. Ordem 
 a 11 a12 a13 a11 a12 
 a21 a22 a23 a21 a22 
 a31 a32 a33 a31 a32 
 P4 P5 P6 P1 P2 P3 
 Det A = P1 + P2 + P3 – P4 – P5 – P6 
 
 
46 
 
 
 
Exemplo: 
a)
A   










5 0 2
1 2 4
3 6 1
 
 5 0 2 5 0 
 -1 -2 4 -1 -2 
 3 6 1 3 6 
 -12 120 0 -10 0 -12 
Det A = (- 10 + 0 - 12) - (-12 + 120 + 0) = -130 
b)
1 2 3
5 0 6
4 2 8
170


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
3.6 Terceira Lista de Exercícios - Regra de Cramer 
 
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) 





432
52
yx
yx Resp: {(1,2)} 
b) 





93
143
yx
yx Resp: {(3,2)} 
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: 
a) 








3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 Resp: {(1,2,3)} 
b) 








03
05
010
zy
zx
yx
 Resp: {(6,4,1)} 
 
3. Resolva as equações matriciais: 
a) 



















 13
9
31
12
y
x
.
 Resp: 






5
2 
b) 































 8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
 Resp: 










1
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
3.7 Discussão de um Sistema Linear 
 
Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas. 












nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
 
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. 
Utilizando a regra de Cramer, temos: 
Adet
Adet
x,...,
Adet
Adet
x,
Adet
Adet
x nn  
2
2
1
1
 
 
Possível e Determinado 
 0Adet
 
Possível e Indeterminado 








0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
 
Impossível 








0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 7: Discutir o sistema 





1
23
yx
myx . 
Vamos calcular o valor dos determinantes: 
mAdet
m
A 






 3
11
3 
mAdet
m
A 






 2
11
2
11
 
1
11
23
22 





 AdetA
 
Fazendo: 
3030  mmAdet
 
20201  mmAdet
 
Resposta: SPD 
3m
 (sistema possível e determinado) 
 SPI 
m
 (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer 
 valor de m 
 SI 
3m
 (sistema impossível) 
49 
 
 
 
Exemplo 8: Determinar m, de modo que o sistema 








4
0
2
zyx
zmyx
yx
 seja incompatível. 
 
1
111
11
011













 mAdetmA
 
 
4
141
101
021












 yy AdetA
 
66
411
01
211













 mAdetmA zz
 
 Fazendo: 
1010  mmAdet
 
 Para m = –1, teremos: 
 
 
det
det
A
A
x x
 ===> 
0
4
x
 (impossível) 
 
 
det
det
A
A
y
y

 ===> 
0
4
y
(impossível) 
 
A
A
z z
det
det

 ===> 
0
0
z
 (indeterminado). 
 Resposta: SI
1m
 
 
Exemplo 9: Verificar se o sistema 





0
023
yx
yx é determinado ou indeterminado. 
 Vamos calcular o valor dos determinantes: 
 
5det
11
23





 
 AA
 
0det
10
20





 
 xx AA
 
0det
01
03






 yy AA
 
 Como 
05det A
, o sistema é determinado. 
 Vamos achar a solução: 
0
5
0
det
det

A
A
x x
 e 
0
5
0
det
det

A
A
y
y
 
  0,0S
 
 Resposta: O sistema é determinado e 
  0,0S
. 
Observação: 
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada 
solução trivial. 
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre 
0det,...,0det,0det 21  nAAA
 
62
114
10
012













 mAdetmA xx
50 
 
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do 
determinante dos coeficientes das incógnitas. 
Determinado 
0det  A
 Indeterminado 
0det  A
 
Exemplo10: Calcular o valor de a para que o sistema 





0
0
ayax
yax tenha soluções 
diferentes da trivial. 
 Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos 
0det A
. 
 
  1ou 001.0²det
1






 aaaaaaA
aa
a
A
 Resposta: 
 1,051 
 
 
 
 
3.8 Quarta Lista de Exercícios - Classificação de Sistemas Lineares 
 
1 - Discuta os sistemas: 
a) 





myx
ymx 2 b) 





2
1
yx
ykx c) 








qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
 
 Resp: a) SPD se 
1m
 SI se m = –1 
 b) SPD se 
1k
 SI se k = 1 
 c) SPD se 
1p
; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e 
8q
 
 
2 - Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos. 
a) 





086
043
21
21
xx
xx b) 








03
0422
0
zyx
zyx
zyx
 c) 








04
03
02
yx
zyx
zyx
 
 Resp: a) indeterminado. 
 b) indeterminado. 
 c) determinado. 
3 - Determine a e b para que o sistema 





byx
ayx
44
126 seja indeterminado. 
 Resp: a = 6 e b = 8 
4 - Calcule os valores de a para que o sistema





04
123
yax
yx seja compatível e determinado. 
Resp: 
6a
 
5 - Dê os valores de a para que o sistema 








542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e determinado. 
Resp: 
 1 e 4  aa/Ra
 
6 - Dê o valor de a para que o sistema








054
02
02
azyx
azyx
yax
 seja impossível. 
Resp: 
1ou 4  aa
 
7 - Determine o valor de k para que o sistema








kxy
zx
yz
332
224
143
 seja indeterminado. 
Resp: k = 5 
52 
 
 
8 - Ache m para que o sistema 








023
054
032
zmyx
zyx
zyx
 tenha soluções próprias. 
Resp: 
13
3
m
 
9 - Qual o valor de p para que o sistema








2
0
4
yx
zpyx
zypx
 admita uma solução única? 
Resp: 
 1 p/Rp
 
10 - Para quais valores de k o sistema linear 








2
323
1
kzy
zyx
zyx
é compatível e determinado? 
Resp: 







4
1
k/Rk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
3.9 Sistemas Triangulares ou Escalonados 
 
Considerando um sistemas genérico m x n, dizemos que ele é triangular ou esta na forma 
escalonada quando os coeficientes aij, com i > j , são todos nulos. Ou seja a matriz 
estendida está na forma triangular. 
Exemplo 11: 
a) 








84
123
752
z
zy
zyx
 b)





454
11723
zy
zyx c) 





1054
92
tz
tzyx 
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados. 
Exemplo 12: 
 








105
024
623
z
zy
zyx
 
Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas) 
Da 3ª equação tiramos z = 2 
Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1 
Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2 
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S={(-2,1,2)}. 
Exemplo 13: 
 











90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
 Sistema 4 x 4 na forma triangular ou escalonado. 
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S = 

. 
Exemplo 14: 
 





063
0
zy
zyx 
 Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações menor que o número de 
incógnitas) 
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas que equações e pelo menos um 
coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que 
não aparece no começo das equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a 
variável livre. Fazemos z = k, com k 

R, para descobrir a solução geral do sistema. 
Da 2ª equação, temos 
kyzy 2063 
. 
Usando z = k e y = 2k, temos 
kxkkx 302 
. 
54 
 
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k). 
Exemplo 15: 
 





132
22
tz
tzyx 
 Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4 
 incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t). 
 Fazemos 
ReRcom,tey 
. 
 Substituindo nas equações: 
 
4
352
3524
4231242
2
31
2
2
31
312132







xx
xx
zzz
 
 Solução geral: 










,,,
2
31
4
352
 
 
Exercícios: 
Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados: 
a) 








62
12
032
z
zy
zyx
 b) 





0
223
zy
zyx c) 





0
22
dc
dcba 
 
3.10 Processo para Escalonar um Sistema Linear 
 
Para escalonar um sistema linear pode utilizar as transformações elementares sobre as 
linhas do sistema. 
Transformações Elementares 
1º Trocar a posição de duas equações do sistema. 
Exemplo 16: 
 











623
14
14
623
yx
yx
yx
yx 
2º Multiplicar todos os termos de uma equação por um número real diferente de zero: 
Exemplo 17: 
1022653  zyxzyx
 
3º Adicionar duas equações do sistema. 
55 
 
 Exemplo 18: 
  











43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx 
 Exemplo 19: 
 
 
 


































3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
 
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora 
resolver: 
 
17232
31325
2
16
32



xx
yy
z
 
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)} 
 Exemplo 20: 
   


















)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
 





847
32
zy
zyx 
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z. 
7
48
847



y
yz 
7
5
3
7
48
2






 
 xx
 
Solução geral: 








,,
7
48
7
5
 
 
Nota: Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os 
coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é 
suficiente para afirmar que o sistema é impossível., isto é, S = 

. 
56 
 
3.11 Método de Eliminação de Gauss 
Dado o sistema Sn , a matriz estendida é: 













nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
B


21
222221
111211
...
...
 
O método de Gauss consiste em transformar a matriz B em uma matriz triangular 
superior, da seguinte forma: 
















n
n
n
n
b
ba
baa
baaa
1000
100
10
1
33
2223
111312





, 
onde os índices superiores indicam o número demodificações realizadas em cada linha. 
Aplica-se o processo retroativo para se obter a solução desejada. 
 
Exempo21: Resolver o sistema 
S
x x x
x x x
x x x
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 40 39
36 106 7 63
25 5 12 32

 
   
  





 +
 
 
 pelo método de Eliminação 
 de Gauss. 
Solução: 




























 












5,7525,75,680
5,4262,3988,20
75,119,094,21
25
2
36/
3212525
394032
63710636
3212525
63710636
394032
133
122
11
LLL
LLL
LL































315,39315,3900
106,1106,010
75,119,094,21
88,2
)5,68/(
5,4262,3988,20
75,7525,75,680
75,119,094,21
233
22
LLL
LL
 













1100
106,1106,010
75,119,094,21
315,39/33 LL
 
Pelo Processo Retroativo: 
 x3 = 1 
 x2 = - 1,106 + 0,106 = -1 
 x1 = -1,75 - 0,19 + 2,94 = 1 Resp.: x = (1 -1 1)
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
3.12 Quinta Lista de Exercícios - Sistemas Lineares 
 
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 








02
833
132
zy
zyx
zyx
 b) 





5232
2
zyx
zyx c) 





032
3
zyx
zyx 
 Respostas: 
 a) Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)} 
 b) Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)} 
 c) Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)} 
2 - O valor de a para que o sistema 





543
182
ayx
yx seja possível e indeterminado é: 
 Resp: - 6 
3 - Estude o sistema 








014
042
032
zx
zyx
zyx
 é: Resp: Indeterminado 
4 - Ache a solução do sistema 








1323
524
6
zyx
zyx
zyx
 Resp: (1, 2, 3) 
5 - Ache a solução do sistema linear 








724
9432
22
zyx
zyx
zyx
 Resp: Admite infinitas soluções 
6 - Ache a relação entre a e b para que o sistema de equações 





0
55
ybx
yax , tenha uma 
única solução. Resp: 
05  ba
 
7 - Ache a relação entre a e b para que para que o sistema linear 





152
7
yx
byax admita uma 
única solução. Resp:
5
2b
a


 
8 - Ache o valor de a para que o sistema linear 





12 yxa
ayx seja impossível de ser 
resolvido. Resp: 
1a
 
9 - Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema 








104
4
3
zy
zx
yx
, então determine o 
valor de ABC. Resp: -6 
58 
 
10 - Ache o valor de b para que o sistema sobre R 








11114
2
132
zyx
bzyx
zyx
, tenha solução. 
 Resp: 4 
11 - Para que o sistema 





24
2
myx
kyx seja indeterminado, ache o valor de k + m.: 
 Resp: 3 
12 - Ache o valor de m para que o sistema 








023
02
02
yx
zmyx
zymx
admite infinitas soluções. 
 Resp: m = 2 
13 - Ache o valor de k para que o sistema 





0
02
kyx
yxk
 seja possível e indeterminado. 
 Respo: k = -1 
14 - Ache o valor dos parâmetros a e b para que o sistema 








byx
zayx
zyax
1
0
 tenha uma 
infinidade de soluções. Resp: a = 0 e b = 1 
15 - Ache o valor de α para que o sistema linear: 








3
1
02
zyx
zyx
zyx
não admita solução. 
 Resp: -2 
16 - Resolva pelo processo retroativo os seguintes sistemas : 
 a)







2 = x 2 
3 =x 5 - x 4 
1- = x 2 - x +x 
-10= x + x 5 - x 4 + x 3
4
 43
43 2
4321
 b)







2 = x 2 
3 =x 5 - x 4 
0 = x 2 -x 
-10= x + x 5 - x 4 +x 3
4
 43
4 3
 432 1
 
 
17 - Resolva os sistema de equações lineares pelo Método de Gauss. 
 
a)







12 = x + x 2 + x 3 + x 4
 4 = x 2 - x 3 - x 2 + x 3
1 = x - x 2 + x - x 
7 =x + x + x 2 + x 2
4321
43 21
432 1
 4321
 b) 







 106,3- = x21,5 + x13,2 - x81,0 - x21,0
80,8- = x11,4 + x23,5 - x84,0 - x52,3
49,7- = x45,1 - x11,5 + x8,8 - x24,5
16,4 = x11,0 + x9,3 + x3,0 + x8,7 
4321
4321
432 1
4321
 
 
59 
 
c)





1- = x- x- x
0 = x- x- x2
4 = x2 + x+ x
321
3 21
321 d) 





4 = x2 + x- x3
1 = x+ x2 - x2
3 = x+ x+ x
321
321
321 e) 





8 = x 2 + x 
1 = x 2 - x 3 + x 
3 = x + x - x 2 
32
321
321 
 
f)









7 x x x4x
6- = x- x+ x8 - x2
1- = x x5 - x2 x
1- =4x - x+ x+ x
4321
4321
4321
4321
 g) 





 6 = x- x2 x3
7 = 3x + x- x
1- = 3x - x+ x
321
321
321 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
4 INTERPOLAÇÃO 
 
4.1 Introdução 
 
O problema da interpolação ocorre quando é conhecido o valor da função em alguns 
pontos particulares e deseja-se conhecer o valor da função em outros pontos. 
 
Exemplo 1: Seja a seguinte tabela de valores 
Tabela1: Temperatura da água em graus centígrados 
Graus 20
o
C 25
o
C 30
o
C 35
o
C 40
o
C 45
o
C 50
o
C 
Calor 
Específico 
 
0.99907 
 
0.99852 
 
0.99826 
 
0.99818 
 
0.99828 
 
0.99849 
 
0.99878 
Suponhamos que se queira calcular: 
 i) O calor específico da água a 32
o
C. 
 ii) A temperatura da água para o qual o valor específico é 0.99837. 
A interpolação ajuda a resolver esse tipo de problema. 
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), 
escolhida entre uma classe de funções definida a priori que satisfaça algumas 
propriedades. A função g(x) é então usada em substituição á função f(x). 
A necessidade de se efetuar a interpolação surge em algumas situações como: 
 Quando são conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de 
pontos e necessita-se calcular o valor da função em um ponto não tabulado. 
 Quando a função em estudo tem uma expressão muito complexa, onde as 
derivadas e a integração são difíceis de serem realizadas. 
 
Exemplo 2: 
Tabela 2: Número de Habitantes da cidade de Belo Horizonte 
ANO 1950 1960 1970 1980 
HABITANTES 352.724 638.908 1.235.030 1.814.990 
Determinar o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte no ano de 1975. 
61 
 
4.2 Conceitode Interpolação 
 
Sejam n+1 pontos distintos x0, x1, x2 ... xn, e os valores da função nesses pontos: 
 f(x0), f(x1), ....., f(xn). 
Uma forma de interpolar a função f(x) consiste em se obter uma determinada função g(x) 
tal que: 
 
 g(x0) = f(x0) 
 g(x1) = f(x1) 
 g(x2) = f(x2) 
 ................. 
 g(xn) = f(xn) 
 
Exemplo 3: 
 Se n = 5, podemos ter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x0 x1 x2 x3 x4 x5 X 
 
 
4.3 Interpolação Polinomial 
 
Dados os n+1 pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ....., (xn, f(xn)), deseja-se aproximar a função 
f(x) por um polinômio, de grau menor ou igual a n, tal que: f(xk) = Pn(xk), k = 0, 1, 2, .....n 
Seja o polinômio Pn(x) = a0 + a1x + a2x
2
 + a3x
3
 + .... + anx
n
. 
Então tem-se que: 
 
a a x a x a x a x f x
a a x a x a x a x f x
a a x a x a x a x f x
a a x a x a x a x f x
n
n
n
n
n
n
n
n
0 1 0 2 0
2
3 0
3
0 0
0 1 1 2 1
2
3 1
3
1 1
0 1 2 2 2
2
3 2
3
2 2
0 1 3 2 3
2
3 3
3
3 3
     
     
     
     
..... ( )
..... ( )
..... ( )
..... ( )
..........................................................
. ..... ( )a a x a x a x a x f xn n n n n
n
n0 1 2
2
3
3     











 
f(x) 
g(x) 
f(x) 
62 
 
Assim tem-se que um sistema de n+1 equações com n+1 incógnitas que são: 
 a0, a1, a2, ......, an. 
Deseja-se encontrar os valores de a0, a1, a2, ......, an para se obter o polinômio Pn(x). 
A matriz A dos coeficientes é determinada por: 
A
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
n
n
n
n n n n
n

















1
1
1
1
0 0
2
0
3
0
1 1
2
1
3
1
2 2
2
2
3
2
2 3
. . .
. . .
. . .
. . . . . . . .
. . .
 
Desde que x0, x1, x2, ...., xn sejam valores distintos então o determinante da matriz A será 
não nulo (det[A]  0) e com isso o sistema linear admite uma solução única para os 
parâmetros a0, a1, a2, ......, an. 
Com isso, tem-se o seguinte teorema: 
Teorema: Existe um único polinômio Pn(x) de grau menor ou igual a “n” tal que 
Pn(xk) = f(xk); k = 0, 1, 2, 3, ...., n, desde que x0, x1, x2, ....., xn sejam pontos 
distintos. 
4.4 Interpolação Linear - Polinômio de Gráu n = 1 
 
Dados dois pontos distintos de uma função f(x), (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), deseja-se calcular 
o valor f(
x
) para um determinado valor de x barra entre x0 e x1, usando-se a interpolação 
polinomial com o polinômio de grau n = 1 definido como: P1(x) = a0 + a1x 
 f(x) 
 f(x1) P1(x) 
 
 f(x2) 
 x0 x1 x 
Para se determinar os coeficientes a0 e a1 tem-se que resolver o seguinte sistema: 
P x f x
P x f x
a x f x
a x f x
1 0 0
1 1 1
1 0 0
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )






 
 



 
a
a
0
0
 
63 
 
onde a0 e a1 são incógnitas do sistema e a matriz A é a matriz dos coeficientes. 
 







1
0
1
1
x
x
A
 
 
Exemplo 4: 
Seja a função f(x) determinada pelos pontos (0 ; 1,35) e (1 ; 2,94). Determinar 
aproximadamente os valor de f(0,73). 
Solução: 
 Para dois pontos, o polinômio interpolador será de grau n = 1. 
Isto é: P1(x) = a0 + a1x 
Tem-se que P x f x
P x f x
a
a
1 0 0
1 1 1
1
1
0 1 35
1 2 94
( ) ( )
( ) ( )
. ,
. ,






 
 



 
a
a
0
0
 
Logo tem-se que a0 = 1,35 
Substituindo a0 na segunda equação tem-se que a1 = 1,59. 
Logo o polinômio tem a seguinte forma: 
P1(x) = 1,35 + 1,59x 
Então tem-se que: 
f(0,73)  P1(0,73) = 1,35 + 1,59.0,73 = 1,35 + 1,1607 = 2,51 
 
Graficamente, tem-se a seguinte situação: 
 f(x) 
 
 2,94 
 2,51 
 
 1,35 
 0 0,73 1 x 
 
 
 
64 
 
4.5 Sexta Lista de Exercícios - Interpolação Linear 
 
1) Dada a função f(x) = 10x
4
 + 2x + 1 com os valores de f(0,1) e f(0,2), determinar 
P1(0,15). 
 Resp.: P1(x) = 2,15x + 0,986; P1(0,15) = 1,3085 
 
2) Calcular o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte no ano de 1975 
usando os dados de 1970 e 1980, da Tabela2 dada no Exemplo2. 
Resp.: P1(x) = 57996x – 113017090; P1(1975) = 1525010 
 
3) Numa função f(x) tem-se que f(0) = 0 e que f(/6) = 0,33. Calcule o valor aproximado 
da função no ponto /12. 
Resp.: P1(x) = 0,63x; P1(/12) = 0,165 
 
4) Use uma interpolação linear para obter o valor de x tal que f(x) = 0,99837, com os 
dados da Tabela1 do Exemplo 1. 
 
5) Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x)) = 0,6, usando-se interpolação 
polinomial de grau 1, com os dados da tabela abaixo. 
z 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 
f(z) 0,905 0,819 0,67 0,549 0,449 0,407 
 
x 1 1,1 1,4 1,7 1,8 - 
g(x) 0,210 0,320 0,480 0,560 0,780 - 
 
 Resp.: P1(z) = 0,912 - 0,605z z = 0,5157 e P1(x) = 0,106 + 0,267x x = 1,53 
 
 
 
 
65 
 
4.6 Interpolação Quadrática - Polinômio de Grau n = 2 
 
Se são conhecidos três pontos distintos de uma função, então o polinômio interpolador 
será da seguinte forma: P2(x) = a0 + a1x + a2x
2
. 
Polinômio P2(x) é conhecido como função quadrática, cujo é uma parábola. Para 
determinar os valores de a0, a1, e a2 é necessário resolver o seguinte sistema de 
equações lineares: 
 








)(
)(
)(
2
2
22210
1
2
12110
0
2
02010
xfxaxaa
xfxaxaa
xfxaxaa
 
Onde os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) são valores conhecidos. 
Observe que a matriz dos coeficientes é dada por: 
 











2
22
2
11
2
00
1
1
1
xx
xx
xx
A 
Pode ser mostrado que o determinante dessa matriz é dado por: 
det(A) = (x1 - x0)(x1 - x2)(x2 - x1). 
Como os valores são distintos, o det(A) é não nulo e por isso tem solução única. 
 
Exemplo 5: 
Utilizando-se os valores da função seno, dados pela tabela abaixo, determinar a função 
quadrática que se aproxima da função 
f x
x
x
( )
sen


2
1
2 , trabalhando-se com três casas 
decimais. 
Tabela 3 
x sen(x) f(x) 
0 0 0 
/6 ½ 0,328 
/4 
2
2
 
0,560 
66 
 
Solução: 
O polinômio interpolador tem a seguinte forma: P2(x) = a0 + a1x + a2x
2
. 
Logo tem-se o seguinte sistema para ser resolvido: 
P a a a
P a a a
P a a a
2 0 1 2
2
2 0 1 2
2
2 0 1 2
2
0 0 0 0
6 6 6
0 328
4 4 4
0 560
( ) . .
( ) .( ) .( ) ,
( ) .( ) .( ) ,
   
   
   









  
  
 
Da primeira equação vem que a0 = 0. Logo, o sistema pode ser reduzido 
0 524 0 274 0 328
0 785 0 617 0 560
1 2
1 2
, , ,
, , ,
a a
a a
 
 



 
Resolvendo o sistema acima encontra-se a solução aproximada: 
a1 = 0,452 e a2 = 0,333 
Com isso a função quadrática tem a seguinte forma: 
P2(x) = 0,452x + 0,333x
267 
 
4.7 Sétima Lista de Exercícios - Interpolação Quadrática 
 
1) Usando três pontos da Tabela2, determine o número aproximado de habitantes de 
Belo Horizonte no ano de 1975. 
Resp.: P2(x) = -80,81x
2
 + 70.177,5x – 3.277.226; P2(75) = 1.531.530 hab. 
 
2) Dada a função f(x) = 10x
4
 + 2x + 1, determine P2(0,15), usando-se os seguintes 
valores: f(0,1), f(0,2) e f(0,3). 
Resp.: P2(x) = 2,5x
2
 + 1,4x + 1,036; P2(0,15) = 1,3023 
 
3) Dada a tabela abaixo, calcule e
3,1
 usando-se um polinômio de interpolação sobre três 
pontos. 
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 
e
x
 11,02 13,46 16,44 20,08 24,53 29,96 36,59 
Resp.: Usando-se os pontos 2,8; 3,0; e 3,2 para determinar o 
polinômio interpolador, obtém-se f(3,1) = 22,20375. 
 
4) Calcule o valor aproximado de x tal que f(g(x)) = 0,6, usando-se interpolação 
polinomial de grau 2, com os dados da tabela abaixo. 
z 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 
f(z) 0,905 0,819 0,67 0,549 0,449 0,407 
 
x 1 1,1 1,4 1,7 1,8 - 
g(x) 0,210 0,320 0,480 0,560 0,780 - 
Resp.: Usando-se os pontos 0,4; 0,6 e 0,8 obtém-se o polinômio 
P2(z) = 0,975 - 0,867z + 0,2625z
2
. 
Para P2(z) = f(z) = 6, obtém-se z = 0,5101, ou seja, g(x) = 0,5101. 
Da mesma forma, usando-se os pontos 1,4; 1,7 e 1,8 obtém-se o polinômio 
P2(x) = 11,61 - 14,716x + 4,83x
2
. 
Para P2(x) = g(x) = 0,5101,obtém-se x = 1,4972, 
ou seja, f(g(1,4972)) = f(0,5101) = 0,6. 
 
68 
 
5) Calcule o valor aproximado de 
115
 usando interpolação sobre os pontos 
x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144. Resp: -6,15 + 0,255 – 9,41.10
-4
x
2 
 
6) Usando os três primeiros pontos da tabela abaixo, determinar o valor de P2(/12). 
i xi f(xi) 
0 0 0 
1 /6 0,33 
2 /4 0,56 
3 /3 0,74 
Resp.: P2(x) = 0,304x
2
 + 0,471x; P2(/12) = 0,1441. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
4.8 Interpolação de Lagrange - Polinômio de Grau n 
 
As interpolações estudadas anteriormente são casos particulares da interpolação de 
Lagrange. Será visto que dado n+1 pontos de uma função f(x), sempre será possível 
interpolar um polinômio de grau menor ou igual a “n”. 
Sejam os pontos x0, x1, x2, .....xn, (n+1) pontos distintos e yi = f(xi), para 
i = 1, 2, 3, 4, .....n. 
Seja Pn(x) o polinômio de grau menor ou igual a “n” que interpola a função f(x) nos 
pontos x0, x1, .....xn. Pode-se representar Pn(x) na forma: 
 )()()()()()()()()( 221100 nnn xfxLxfxLxfxLxfxLxP  
 
Ou seja, 
)()()(
0
k
n
k
kn xfxLxP 


 
onde Lk(x) são também polinômios de grau “n”. 
Para cada i, deseja-se que a condição Pn(xi) = f(xi), seja satisfeita, ou seja: 
)()()()()()()()()()( 221100 ininiiiin xfxfxLxfxLxfxLxfxLxP  
 
A forma mais simples de satisfazer essa condição é impor que 
L xk i( ) 




1 se k = i
0 se k i
 
e para isso, define-se Lk(x) da seguinte forma: 
)).....()()......()((
)).....()()......()((
)(
1110
1110
nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL





 
Ou seja, 
L x
x x
x x
k
j
j
j k
n
k j
j
j k
n
( )
( )
( )









0
0
 
70 
 
Nota-se realmente que: L x
L x
k k
k i
( )
( )

 



1
0 p / k i
 
Então a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: 
)()()(
0
k
n
k
kn xfxLxP 


 onde tem-se que:
L x
x x
x x
k
j
j
j k
n
k j
j
j k
n
( )
( )
( )









0
0
 
 
Interpolação de Lagrange para um Polinômio de grau n = 1 
Para interpolar um polinômio de grau n = 1 são necessários 2 pontos. 
xi f(xi) 
x0 f(x0) 
x1 f(x1) 
 
Onde: 
 
Portanto o polinômio interpolador de grau n = 1 será: 
     1
01
0
0
10
1
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xP 
















 
Exemplo 6: 
Interpole um polinômio de grau n = 1 nos pontos: 
 xi f(xi) 
x0 2 3,1 
x1 4 5,6 
     1
01
0
0
10
1
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xP 
















 



1
0
11001 )().()().()().()(
i
ii xfxLxfxLxfxLxP
10
1
0 )(
xx
xx
xL



01
0
1 )(
xx
xx
xL



71 
 
     28.2455.16.5
24
2
1.3
42
4
1 















 xx
xx
xP
 
Portanto o polinômio interpolador é: 
  6.025.11  xxP
 
 
Interpolação de Lagrange para um Polinômio de grau n = 2 
Para interpolar um polinômio de grau n = 2 são necessários 3 pontos. 
xi f(xi) 
x0 f(x0) 
x1 f(x1) 
x2 f(x2) 
 
 
         221100
2
0
2 xfLxfLxfLxfLxP
i
ii 

 
onde: 
   
   2010
21
0
xxxx
xxxx
L



    
   2101
20
1
xxxx
xxxx
L



    
   1202
10
2
xxxx
xxxx
L



 
 
Portanto o polinômio interpolador de grau n = 2 será: 
   
   
 
   
   
 
   
   
 2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2 )( xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xP 









 
 
Exemplo 7: 
Interpole um polinômio de grau n = 2 nos pontos: 
 xi f(xi) 
x0 -1 4 
x1 0 1 
x2 2 -1 
 
 
         221100
2
0
2 xfLxfLxfLxfLxP
i
ii 

 
Onde: 
72 
 
3
2
)21)(01(
)2)(0(
)(
2 xxxx
xLo





 
)2(
2
1
)20))(1(1(
)2))(1((
)( 21 




 xx
xx
xL
 
6)02))(1(2(
)0))(1((
)(
2
2
xxxx
xL





 
Logo, 
)2(
6
1
)2(
2
1
3
)2(4
)( 22
2
2 xxxx
xx
xP 


 
Portanto, o polinômio interpolador de grau n = 2 é: 
 
1
3
7
3
2
)(
2
2  x
x
xP
 
Exemplo 8: 
Determinar o polinômio de interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos 
pontos da tabela abaixo. 
Ache o valor do polinômio no ponto x = 0,3. 
 xi yi 
 x0 0 0 
x1 0,2 2,008 
x2 0,4 4,064 
x3 0,5 5,125 
Solução: 



3
0
332211003 )()()()()()()()()()()(
k
kk xLxfxLxfxLxfxLxfxLxfnP
 
onde 
L x
x x
x x
k
j
j
j k
k j
j
j k
( )
( )
( )









0
3
0
3 
73 
 
))()((
))()((
)(
))()((
))()((
)( 
))()((
))()((
)(
))()((
))()((
)()(
21303
210
3
321202
310
2
312101
320
1
302010
321
03
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xfxP












 
Logo tem-se que: 
P x
x x x x x x
x x x
3 0 2 008
0 0 4 0 5
0 2 0 0 2 0 4 0 2 0 5
4 064
0 0 2 0 5
0 4 0 0 4 0 2 0 4 0 5
5125
0 0 2 0 4
0 5 0 0 5 0 2 0 5 0 4
( ) ,
( )( , )( , )
( , )( , , )( , , )
,
( )(( , )( , )
( , )( , , )( , , )
,
( )( , )( , )
( , )( , , )( , , )
 
  
  

  
  

  
  
 
 
Efetuando os cálculos temos: 
P x x x x x x x x x x3
2 008
0 012
0 4 0 5
4 0640 008
0 2 0 5
5125
0 0125
0 2 0 4( )
,
,
( , )( , )
,
,
( , )( , )
,
,
( , )( , )   

    
 
Substituindo x= 0,3 em P3(x) obtém-se o valor de P3(x) = 3,027. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
4.9 Oitava Lista de Exercícios - Interpolação de Lagrange 
 
1- Use os dados da tabela abaixo 
 x0 x1 x2 
x -1 0 3 
f(x) 15 8 -1 
a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange Resp.: P2(x) = 8 - 6x + x
2 
 b) Calcule o valor aproximado de f(1). Resp.: f(1) = 3 
2- Use os dados da tabela abaixo e interpole um polinômio de Lagrange. 
 x0 x1 x2 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
3- Dado os valores de f(x) tabulados abaixo interpolar um polinômio de Lagrange 
 Ache f(5). 
 x0 x1 x2 x3 
xi 1 2 5 9 
f(xi) 1 3 6 10 
4- Dada a função tabelada abaixo, ache o polinômio interpolador de Lagrange e 
 determine f(4). 
 x0 x1 x2 x3 
xi 1 3 7 13 
f(xi) 2 5 12 20 
 
5- Um projétil foi lançado de um ponto tomado como origem, conforme a figura 
abaixo. Fotografou-se o projétil a 10 metros do ponto de lançamento e verificou se 
que sua altitude era de 6 metros. Uma barreira colocada a 20 metros do ponto de 
lançamento interceptou o projétil e verificou-se que sua altitude era de 4 metros. 
Utilizando todas as informações fornecidas no problema, estime a altura do projétil a 
15 metros do ponto de lançamento. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 20
0 
10 
4 
6 
x 
2 
15
5 
75 
 
5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
5.1 Introdução 
 
Sabe-se do cálculo Diferencial Integral que se uma função f(x) é contínua em um 
intervalo [a, b] e sua primitiva F(x) é conhecida, então a integral definida desta função 
neste intervalo é dada por: 
f x dx F x F b F aa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )  
 
onde F’(x) = f(x). 
Entretanto, há casos onde não se conhece a primitiva F(x) ou então o cálculo da integral 
é de difícil obtenção. Há casos, também, em situações práticas, que se conhece F(x) 
apenas em alguns pontos. O que, também, torna impossível o cálculo pela integral 
definida. 
Assim, para se calcular o valor da integral definida da função f(x), nas situações citadas 
acima, torna-se necessária a utilização de métodos numéricos. 
A solução numérica de uma integral simples é chamada de quadratura. 
A integração numérica é o método que se utiliza para resolver os problemas acima 
citados. 
Existem duas regras básicas de integração numérica. 
 1 - Regra do Trapézio 
 2 - Regra de Simpson 
 
5.2 Integração Numérica - Regra Do Trapézio 
 
Ao se resolver uma integral definida 
f x dx
a
b
( )
, na realidade calcula-se a área da região 
delimitada pela curva y = f(x), pelo eixo x no intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b, 
conforme a figura abaixo. 
 
 
76 
 
 f(x) 
 
 f(b) 
 f(a) 
 A 
 
 a b x 
 A = 
f x dx
a
b
( )
 
A solução pela integração numérica é calcular a área da região A de uma maneira 
aproximada, utilizando-se apenas os pontos f(a) e f(b). 
Assim, utilizando a integração numérica, pela regra do trapézio a área da região A passa 
a ser calculada conforme a figura abaixo: 
 f(x) 
 
 f(b) 
 f(a) 
 A 
 
 a h b x 
Assim, a área da região A é calculada como: A = 
h
f a f b( ) ( )




2
, que é a área do trapézio. 
Quando se utiliza a regra do trapézio na integração numérica, logicamente, se comete um 
erro no cálculo da área em relação ao verdadeiro cálculo pela integral definida. 
Assim, para se minimizar o erro que se comete pode-se dividir o intervalo [a, b] em 
vários subintervalos sucessivos de mesma amplitude, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
f(x) 
 
 
f(x1) 
f(x0) 
 h h 
 
 a = x0 x1 x2 x3 ........... xn-1 xn = b x 
 
onde h = 



 
n
ab
 
Observe que, quanto maior for o número “n” de intervalos, menor será o erro cometido. 
Logo tem-se que: 
f x dx
h
f x f x
h
f x f x
h
f x f x
h
f x f x
a
b
n n( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ....... [ ( ) ( )]          2 2 2 20 1 1 2 2 3 1
 
 
 






  2
)(
)(.......)()(
2
)(
 )( 121
0 n
n
b
a
xf
xfxfxf
xf
hdxxf
 
 
Exemplo 1: 
Calcule a integral abaixo, utilizando a regra do trapézio, subdividindo o intervalo em 6 
subintervalos. 
I
dx
x
 
3 0
3 6
,
, 
Solução: 
Tem-se que: h = [b - a]/n = [3,6 - 3,0]/6 = (0,6)/6 = 0,1. 
Então tem-se os valores na tabela abaixo: 
i xi f(xi) 
0 3,0 0,333 
1 3,1 0,322 
2 3,2 0,312 
3 3,3 0,303 
4 3,4 0,294 
5 3,5 0,285 
6 3,6 0,277 
 
78 
 
I h
f x
f x f x f x f x f x
f x
      





 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )0
1 2 3 4 5
6
2 2
 
0,1[ (0,333)/2 + 0,322 + 0,312 + 0,303 + 0,294 + 0,285 + (0,277)/2 ] = 0,1831 
 
Pela integral definida tem-se: 
dx
x
x    ln( ) ln( , ) ln( , ) ,,
,
,
,
3 0
3 6
3 0
3 6
3 6 3 0 0 18232
 
ERRO: | 0,18232 - 0,1831 | = 0,00078. 
 
Exemplo 2: 
Calcule o valor da integral 
I
x
x
dx

cos( )
1
0
1 . 
Solução: 
I = h/2[ f(x0)+f(x1) ] = ½[ f(0) + f(1) ] = ½[ cos(0)/1 + cos(1)/2 ] = ½[ 1+0,27] = 0,635 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
5.3 Nona Lista de Exercícios - Integração Numérica - Regra do Trapézio 
 
1 - Calcule o valor da integral 
I
dx
x
  2
4
4 5, e o erro cometido. 
2 - Calcule o valor da integral 
I x dx  ( )3 2
3
6 e o erro cometido. 
3 - Calcular o valor da integral 
I
x
x
dx

cos( )
1
0
1 usando n = 4 subintervalos. 
4 - Dada a função y = f(x) através dos valores tabelados abaixo, calcular a seguinte 
integral: 
I f x dx  ( )
0
3 
i xi f(xi) 
0 0 5,021 
1 0,5 6,146 
2 1,0 6,630 
3 1,5 6,945 
4 2,0 7,178 
5 2,5 7,364 
6 3,0 7,519 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
5.4 Integração Numérica - Regra de Simpson 
 
Para se calcular uma integral definida pela regra do trapézio, utilizou-se dois pontos da 
função unidos por uma reta. 
A regra de Simpson utiliza 3 pontos da função e por esses pontos ajusta-se um polinômio 
de ordem 2, ou seja, uma parábola. A integral definida é resolvida utilizando-se a 
integração da parábola como aproximação da integral definida da função. 
Para fazer a aproximação da função f(x) por um polinômio de grau 2, pode-se utilizar a 
fórmula de Lagrange. 
Seja f(x) a função a ser integrada e seja P2(x) o polinômio de grau 2 a ser interpolado nos 
pontos: 
 x0 = a; 
 x1 = a + h; 
 x2 = a + 2h = b; 
conforme a figura abaixo. 
 f(x) f(x) 
 f(x1) P2(x) 
 f(x2)f(x0) 
 
 x0 = a x1 x2 = b x 
 h h 
 
 
Observe que x1 = a + h e x2 = a + 2h = b. 
Utilizando o método de Lagrange para se obter o polinômio interpolador P2(x), tem-se: 
f(x) = P2(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L(x2) = 
 
)x)(xx(x
)x)(xx(x
)f(x
)x)(xx(x
)x)(xx(x
)f(x
)x)(xx(x
)x)(xx(x
)f(x
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0









 
Observe que: 
 x0 - x1 = a - (a + h) = -h 
 x0 - x2 = a - (a + 2h) = -2h 
 x1 - x0 = a + h - a = h 
81 
 
 x1 - x2 = (a + h) - (a + 2h) = -h 
 x2 - x0 = (a + 2h) - a = 2h 
 x2 - x1 = (a + 2h) - (a +h) = h 
 
Assim, tem-se que: 
 
2
10
22
20
12
21
02
h2
)x)(xx(x
)f(x
h
)x)(xx(x
)f(x
h2
)x)(xx(x
)f(x(x)Pf(x)







 
Logo, integrando os membros tem-se: 
dx
h2
)x)(xx(x
)f(xdx
h
)x)(xx(x
)f(xdx
h2
)x)(xx(x
)f(xdx(x)Pdxf(x)
2
10
22
20
12
21
02
b
a
 







b
a
b
a
b
a
b
a
 
dx)x)(xx(x
h2
)f(x
dx)x)(xx(x
h
)f(x
dx)x)(xx(x
h2
)f(x
b
a
b
a
102
2
b
a
202
1
212
0
  

 
 
Seja a transformação de variáveis dada por: 
x - x0 = zh ==> x = x0 + zh ==> dx = hdz 
Então tem-se que: 
x - x1 = (x0 + zh) - (x0 + h) = h(z - 1) 
x - x2 = (x0 + zh) - (x0 + 2h) = h(z - 2) 
Ainda tem-se que: 
x = x0 = a ==> z = 0 
x = x1 ==> z = 1 
x = x2 = b ==> z = 2 
Assim, tem-se que: 
f(x)d x
f(x )
2 h
h(z 1) h(z 2) hdz
f(x )
h
hzh(z 2) hdz
f(x )
2 h
hzh(z 1) hdz
a
b
0
2
1
2
2
2      
   
0
2
0
2
0
2 
h
f(x )
2
(z 1)(z 2)dz hf(x ) z(z 2)dz h
f(x )
2
z(z 1)dz0 1
2       
0
2
0
2
0
2 
h
f(x )
2
(z 3z 2)dz hf(x ) (z 2 z)dz h
f(x )
2
(z z)dz0 2 1
2
0
2
2 2
0
2
0
2
       
 
82 
 
h
f(x )
2
z
3
3z
2
2 z hf(x )
z
3
z h
f(x )
2
z
3
z
2
2
0
0
3 2
1
3
2 0
3 2
 





  





  











 
 
 
 h
f(x )
2
2
3
hf(x )
4
3
h
f(x )
2
2
3
f(x ) 4 f(x ) f(x )0 1
2
0 1 2     
h
3
 
Portanto, pode-se concluir que: 
 f(x)dx 
h
3
a
b
   f(x ) 4 f(x ) f(x )0 1 2
 
A regra de Simpson pode ser generalizada para que a integral definida possa ser 
calculada em um intervalo [a, b] dividido em um número n de subintervalos (n tem que 
ser um número par), da seguinte forma: 
   
b
a
n1n2n43210 )f(x)f(x4)f(x2......)f(x2)f(x4)f(x2)f(x4)f(x
3
h
dxf(x)
 
Ou então: 
      
b
a
264215310 )f(x)f(x...)f(x)f(x)f(x2)f(x...)f(x)f(x)f(x4)f(x
3
h
dxf(x) nnn
 
Observe que 0, 1, 2, 3, 4......n (n tem que ser um número par) 
 
Exemplo 3: 
 Calcule a integral definida da função f(x) = e
x
, no intervalo [0 ; 0,8], conforme a 
 tabela abaixo, pela regra de Simpson. 
i 0 1 2 3 4 
xi 0 0,2 0,4 0,6 0,8 
f(xi) 1 1,221 1,492 1,822 2,225 
 
 e dxx      
0 2
3
1 4 1 221 2 1 492 4 1 822 2 225 1 225
0
0 8
,
( , ) ( , ) ( , ) , ,
, 
 Calculando a integral pela verdadeira função, encontra-se o mesmo valor. 
 
 
 
 
83 
 
5.5 Décima Lista de Exercícios - Integração Numérica - Regra de 
Simpson 
 
1 - Calcule a integral definida da função f(x) = 1/(1+x) tabulada pelos valores abaixo, 
utilizando a regra de Simpson. 
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
f(xi) 1 0,909 0,833 0,769 0,714 0,667 0,625 0,588 0,555 0,526 0,500 
 
2 - Calcule as integrais abaixo pela regra do trapézio e pela regra de Simpson, usando 4 e 
6 subintervalos; 
 
a) 
e dxx
1
2

 
b) 
xdx
1
4

 
c) 
dx
x
2
14

 
 
 
3 - A determinação de área de seção reta de rios e lagos é importante em projetos de 
reservatórios para o cálculo do volume total de água, principalmente em tempos de 
seca. O engenheiro deve trabalhar com valores da profundidade do lago, obtidos em 
pontos discretos da superfície da água, como mostra a figura abaixo. Desta forma, 
utilize qualquer uma das técnicas ministradas e calcule a área da seção reta conforme 
ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
0 
4 
2 
0 
2,8 3,6 3,6 4 6 4 4 2 1,8 
10 20 
Distância da Margem Esquerda 
Superfície da Água 
P 
r 
o 
f 
u 
n 
d 
i 
d 
a 
d 
e 
 
84 
 
6 AJUSTAMENTO DE FUNÇÕES 
 
6.1 Ajuste Polinomial 
 
O ajuste polinomial consiste em ajustar um polinomial de grau m a um conjunto de n 
pontos (m < n). Se o polinômio é de grau um então tem-se o ajuste linear. 
Conhecendo-se n pontos: (x1 , y1), (x2 , y2), (x3 , y3),....... (xn , yn), medidas de um 
fenômeno qualquer, pode-se determinar o polinômio P(x) que melhor se ajusta aos 
pontos conhecidos. 
 Y 
  
   
   
    
 y3   
 y2   
 y1  
 
 x1 x2 x3 .... xn X 
 
Se o ajuste for linear tem-se uma reta sendo ajustada aos pontos observados. 
Se o ajuste for de grau maior que 2 tem-se um polinômio sendo ajustado ao pontos 
observados. 
De um amaneira geral tem-se o polinômio P(x) do tipo: 
P(x) = a0 + a1x + a2x
2
 + a3x
3
 + a4x
4
 + ......+ amx
m
 onde m < n 
O problema consiste em determinar os coeficientes: a0, a1, a2, ....., am do polinômio P(x). 
A ideia consiste em ajustar o melhor polinômio aos dados, ou seja, minimizar o erro que 
existe entre o verdadeiro valor observado e o valor obtido pelo polinômio. 
O método visa minimizar a soma dos quadrados dos desvios, da seguinte forma: 
 



n
i
m
imiiii xaxaxaxaayS
1
23
3
2
210 )....(
 
85 
 
onde S é uma função de m+1 variáveis que são: a0, a1, a2, ....., am 
Derivando-se a função S, em relação a cada uma das variáveis e igualando a derivada a 
zero, tem-se a condição de mínimo. Isto é: 








S
a
S
a
S
a
S
a m
0
1
2
0
0
0
0























.........
 
A determinação dos parâmetros a0, a1, a2, ....., am, consiste na resolução de um sistema 
de m+1 equações com m+1 incógnitas 
Encontrado os valores de a0, a1, a2, ....., am, pode-se então obter o polinômio que melhor 
se ajusta aos dados observados. 
6.2 Ajuste de um Polinômio de 1o. Grau 
 
O ajuste de um polinômio de primeiro grau consiste em ajustar uma reta ao conjunto de 
n pontos observados. 
A função a ser determinada passa aser da seguinte forma: P(x) = a0 + a1x 
Basta determinar os parâmetros a0 e a1 para obter a equação da reta que melhor se ajusta 
aos dados. 
Aplicando o método dos mínimos quadrados, tem-se: 
2
1
10 )( i
n
i
i xaayS 


 
Calculando-se as derivadas da função S em relação aos parâmetros a0 e a1 e igualando a 
zero, tem-se: 
 

S
a
a a x a a xi i
0
0 1 0 10 0 0          - 2(y (y i
i=1
n
i
i=1
n
) )
 
 
86 
 
Logo, tem-se que: 



n
i
i
n
i xanay
1
10
1=i
 
 
Da mesma forma, tem-se: 


S
a
a a x x a a x xi i i i
1
0 1 0 10 0 0          - 2(y (y i
i=1
n
i
i=1
n
) )
 
Logo, tem-se que: 
x y a x a xi i
n
i
i
n
i
i
n
   
 
 
i=1
0
1
1
2
1
 
Observe que tem-se o seguinte sistema de equações para se resolver: 














n
i
i
n
i
i
n
ii
n
i
i
n
i
i
xaxayx
xanay
1
2
1
1
0
1=i
1
10
1
 
 
Para se resolver esse sistema fica mais fácil obter antecipadamente as seguinte somas: 
x y x xi
i
n
i i i
i
n
i
n
i
n
 
 
1
2
111
; ; y i;
 
Exemplo 1: 
Ajustar uma reta ao seguinte conjunto de pontos: 
i 1 2 3 4 5 6 7 
xi 1 2,5 3,2 5 5,5 6 6,5 
yi -2,2 2,8 4,6 10,2 11,3 12,8 14,3 
Solução: 
Para facilitar os cálculos, calcula-se as seguintes somas: 
i xi yi xiyi xi
2
 
1 1 -2,2 -2,2 1 
2 2,5 2,8 7 6,25 
3 3,2 4,6 14,72 10,24 
4 5 10,2 51 25 
5 5,5 11,3 62,15 30,25 
6 6 12,8 76,8 36 
7 6,5 14,3 92,95 42,25 
i

1
7
 29,7 53,8 302,42 150,99 
 
87 
 
 Montando o sistema de equações tem-se: 







42,30299,1507,29
8,537,297
10
10
aa
aa
 
 Resolvendo o sistema linear tem-se as soluções: a0 = - 4,91 e a1 = 2,97 
 Assim, tem-se que a reta ajustada aos ponto é da forma: P(x) = - 4,91 + 2,97x 
 
6.3 Ajuste de um Polinômio de 2o. Grau 
 
O ajuste de um polinômio de segundo grau consiste em ajustar uma parábola ao conjunto 
de n pontos observados. 
A função a ser determinada passa a ser da seguinte forma: 
 P(x) = a0 + a1x + a2x
2
 
Basta determinar os parâmetros a0, a1, e a2 para obter a equação da parábola que melhor 
se ajusta aos dados. 
Aplicando o método dos mínimos quadrados, tem-se: 
22
2
1
10 )( ii
n
i
i xaxaayS 

 
Calculando-se as derivadas da função S em relação aos parâmetros a0, a1 e a2 e 
igualando a zero, tem-se: 
Derivada de S em relação ao parâmetro: a0 
0)1)((2
1
2
210
0
 

n
i
iii xaxaay
da
dS
 ==> 
 
 

n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i yxaxaa
1
2
1 1
2
2
1
10
==> 
 



n
i
i
n
i
n
i
i yxaxana
11
2
2
1
10
 ==> 
022110 VaSaSna 
 
Derivada de S em relação ao parâmetro: a1 
0))((2
1
2
210
1
 

n
i
iiii xxaxaay
da
dS
 ==> 
 
 

n
i
ii
n
i
n
i
i
n
ii
ii yxxaxaxa
11 1
3
2
1
2
10
==> 
 
1231201 VaSaSaS 
 
Derivada de S em relação ao parâmetro: a2 
Com o mesmo raciocínio teremos: 
2241302 VaSaSaS 
 
 
 
88 
 
Onde: 
 



n
i
ixS
1
1
; 



n
i
ixS
1
2
2
 ; 



n
i
ixS
1
3
3
 ; 



n
i
ixS
1
4
4
 ; 



n
i
iyV
1
0
; 



n
i
ii yxV
1
1
 ; 



n
i
ii yxV
1
2
2
 
 
Ou seja, será necessário resolver o seguinte sistema de equações lineares: 











2241302
1231201
022110
VaSaSaS
VaSaSaS
VaSaSna
 
Onde os valores S1, S2, S3, S4, V0, V1 e V2 podem ser obtidos da tabela seguinte: 
I xi xi
2
 xi
3
 xi
4
 yi xiyi xi
2
yi 
1 x1 x1
2
 x1
3
 x1
4
 y1 x1y1 x1
2
y1 
2 x2 x2
2
 x2
3
 x2
4
 y2 x2y2 x2
2
y2 
3 x3 x3
2
 x3
3
 x3
4
 y3 x3y3 x3
2
y3 
... ... ... ... ... ... ... ... 
n xn xn
2
 xn
3
 xn
4
 yn xnyn xn
2
yn 
i
n


1
 S1 S2 S3 S4 V0 V1 V2 
 
Exemplo 2: 
Ajustar um polinômio de grau 2 ao conjunto de pontos dado pela tabela abaixo: 
xi 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 
yi 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28 
Calculando-se o quadro necessário para a resolução tem-se: 
 i xi xi
2
 xi
3
 xi
4
 yi xiyi xi
2
yi 
1 0,78 0,608 0,475 0,370 2,50 1,950 1,521 
2 1,56 2,434 3,796 5,922 1,20 1,872 2,920 
3 2,34 5,476 12,813 29,982 1,12 2,621 6,133 
4 3,12 9,734 30,371 94,759 2,25 7,020 21,902 
5 3,81 14,516 55,306 210,717 4,28 16,307 62,128 
i
n


1
 11,610 
S1 
 
32,768 
S2 
102,761 
S3 
341,750 
S4 
11,350 
V0 
29,770 
V1 
94,604 
V2 
 
 
 
89 
 
Assim, tem-se o seguinte sistema: 
 
5 11 61 32 768 11 350
11 610 32 768 102 761 29 770
32 768 102 761 341 750 94 604
0 1 2
0 1 2
0 1 2
a a a
a a a
a a a
  
  
  









, , ,
, , , ,
, , , ,
 
Resolvendo-se esse sistema pelo método da eliminação de Gauss, tem-se: 
a0 = 5,01747; a1 = - 4,00910; a2 = 1,00123 
Tem-se portanto a parábola com a seguinte equação: 
P(x) = 5,01747 - 4,00910x + 1,00123x
2
 
 
Exercício: 
Ajustar um polinômio de grau 2 ao conjunto de pontos dado pela tabela abaixo: 
xi 0 1 2 3 
yi 1 2 4 9 
Resposta: P(x) = 1,1 - 0,4x + x
2 
 
6.4 Ajuste para uma Função Exponencial 
 
Frequentemente, pode-se ter a necessidade de ajustar uma curva tipo exponencial a um 
conjunto de dados. 
Uma curva exponencial é uma curva do tipo: S = qt
p 
onde t é a variável independente, S é a variável dependente, q e p são parâmetros que 
devemos determinar para cada conjunto de pontos. 
A ideia consiste em aplicar a transformação logarítmica (em qualquer base) a equação e 
com isso a função exponencial torna-se linearizada. 
log S = log q + p log t 
Fazendo y = log S, x = log t, log q = a0 e p = a1 tem-se uma equação linear do tipo: 
y = a0 + a1x 
Assim, o problema se reduz a determinar os coeficientes a0 e a1 de um polinômio de 1
o
. 
grau, estudado anteriormente. 
90 
 
Resolvendo-se o sistema linear obtém-se os parâmetros a0 e a1 e assim, os parâmetros p e 
q podem ser obtidos da seguinte maneira: 
q a0 10
 e p = a1 
Observação: Trabalhou-se com o logaritmo na base decimal, mas, poder-se-ia trabalhar 
com outra base. 
 
Exemplo 3: 
Ajustar um modelo exponencial ao seguinte conjunto de dados 
ti 2,2 2,7 3,5 4,1 
Si 65 60 53 50 
Solução: 
Trabalhando-se com a transformação logarítmica tem-se: 
ti Si xi = log(ti) yi = log(Si) xi
2
 xiyi 
2,2 65 0,3424 1,8129 0,1172 0,6207 
2,7 60 0,4314 1,7782 0,1861 0,7671 
3,5 53 0,5441 1,7243 0,2960 0,9382 
4,1 50 0,6128 1,6990 0,3755 1,0411 
 
i 

1
4
 
1,9307 7,0144 0,9748 3,3671 
Assim, tem-se o sistema de equações linear: 
4a 1,9307a 7,0144
1,9307a 0,9748a 3,3671
0 1
0 1
 
 





 
Resolvendo-se o sistema, tem a seguinte solução: a0 = 1,963 e a1 = -0,4330 
Com isso tem-se que: q = 10
1,963
 = 91,83 p = - 0,4330Finalmente a equação exponencial ajustada aos pontos tem a forma: S = 91,83 t
 - 0,4330
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
6.5 Décima Primeira Lista de Exercícios - Ajustamento de Funções 
 
1 - Utilize o conjunto de pontos da tabela abaixo e ajuste as seguintes curvas: 
i xi yi 
1 0 3,1 
2 1 4,9 
3 2 7,2 
4 5 13,1 
 a) Polinômio de 1
o
. grau Resp: P1(x) = 3,05 +2,01x 
 b) Polinômio de 2
o
. grau Resp: P(x) = 3,033 + 2,036x – (4,14)10-3x2 
2 - Utilize o conjunto de pontos da tabela abaixo e ajuste as seguintes curvas: 
i xi yi 
1 1,3 2,0 
2 3,4 5,2 
3 5,1 3,8 
4 6,8 6,1 
5 8,0 5,8 
 a) Polinômio de 1
o
. grau 
b) Polinômio de 2
o
. grau 
3 - Utilize o conjunto de pontos da tabela abaixo e ajuste as seguintes curvas: 
i xi yi 
1 1 0,5 
2 2 0,6 
3 3 0,9 
4 4 0,8 
5 5 1,2 
6 6 1,5 
7 7 1,7 
8 8 2,0 
 a) Polinômio de 1
o
. grau 
b) Polinômio de 2
o
. grau 
4 - Utilize o conjunto de pontos da tabela abaixo e ajuste uma curva exponencial. 
i 1 2 3 4 5 
ti 0,1 1,5 3,3 4,5 5,0 
Si 1,77 2,17 2,48 2,99 3,07 
 
92 
 
5 - Faça um gráfico dos dados da tabela abaixo e ajuste a curva que melhor se encaixa 
nos dados. 
i 1 2 3 4 5 6 7 
xi 0,5 0,75 1 1,5 2,0 2,5 3,0 
yi -2,8 -0,6 1 3,2 4,8 6,0 7,0 
 
6 - Um engenheiro observou o comportamento de um fenômeno y em função da medida 
x e obteve as medidas dispostas na tabela abaixo. Com essas medidas, utilize a 
técnica correta e determine um polinômio de primeiro grau para estimar o valor do 
fenômeno calculado no ponto 3. 
y x 
1 -2 
-3 -1 
1 1 
9 2 
7 - Um engenheiro observando um fenômeno que envolve a relação de espaço em função 
do tempo efetuou as medições e obteve os dados conforme a tabela abaixo. Faça um 
ajustamento exponencial e estime o valor do espaço quando o tempo for igual a 110 
horas. 
Espaço 
(metros) 
Tempo 
(horas) 
10 1 
1.000 10 
100.000 100 
8 - Em uma cultura de bactérias, o número de bactérias da colônia cresce em função do 
tempo, conforme é apresentado na tabela abaixo. Faça um ajuste exponencial aos 
dados e calcule o número de bactérias no início da cultura. 
No. de 
horas 
1 2 3 4 5 6 
No. de 
bactérias 
47 65 92 132 190 275