Lista 2- curvas parametrizadas e funcoes vetoriais

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Universidade Federal de Sergipe 
Departamento de Matema´tica - DMA 
Ca´lculo II - Lista 2: Curvas parametrizadas e 
Funções vetoriais. 
Professora: Daniele da Costa Fonseca. 
 
 
 
 
 
1. Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Elimine o 
paramétricas para encontrar uma equação cartesiana da curva. 
 a) 𝑥 = 1 − 𝑡2, 𝑦 = 𝑡 − 2, − 2 ≤ 𝑡 ≤ 2 
 b) 𝑥 = √𝑡 , 𝑦 = 1 − 𝑡 
 c) 𝑥 = sin
1
2
𝜃 , 𝑦 = cos
1
2
𝜃 , − 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ π 
 d) 𝑥 = е2𝑡 , 𝑦 = 𝑡 + 1 
2. Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao 
longo do círculo 𝑥² + (𝑦 − 1)2 = 4 da seguinte maneira: 
a) Uma vez no sentindo horário, a partir de (2,1). 
b) Três vezes no sentido anti-horário, a partir de (2,1). 
3. Mostre que a curva 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 cos 𝑡 tem duas tangentes em (0,0) e encontre 
suas equações. Esboce a curva. 
4. Calcule o comprimento da curva. 
a) 𝑥 = 1 + 3𝑡² , 𝑦 = 4 + 2𝑡³ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
b) 𝑥 = 𝑡 sin 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
5. Mostre que o comprimento total da elipse 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 , 𝑦 = 𝑏 cos 𝜃 , 𝑎 > 𝑏 > 0 , é: 
𝐿 = 4𝑎 ∫ √1 − 𝑒2𝑠𝑖𝑛2𝜃 
𝜋
2
0
 𝑑𝜃 
 onde е é a excentricidade da elipse (е =
𝑐
𝑎
 , com 𝑐 = √𝑎² − 𝑏²). 
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Ca´lculo II - Lista 2: Curvas parametrizadas e 
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Professora: Daniele da Costa Fonseca. 
 
 
 
 
6. Mostre que a equação polar 𝑟 = 𝑎 sin 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃 , para a qual 𝑎𝑏 ≠ 0 , representa um 
círculo e calcule seu centro e o raio. 
7. Esboce a curva (𝑥2 + 𝑦2)3 = 4𝑥2𝑦2. 
8. Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. 
a) 𝑟 = 3 cos 𝜃 
b) 𝑟 = 1 + cos 𝜃 
9. Calcule o comprimento exato da curva polar: 
a) 𝑟 = 2 cos 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
b) 𝑟 = 𝜃² ,, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
10. Encontre a excentricidade. Identifique a cônica. Dê uma equação da diretriz e esboce 
a cônica. 
a) 𝑟 =
4
5−4sin𝜃
 
b) 𝑟 =
1
1+sin𝜃
 
c) 𝑟 =
9
6+2cos𝜃
 
d) 𝑟 = 
3
4−8cos𝜃
 
11. Calcule os limites: 
a) lim𝑡→0 (𝑒
−3 𝑖 +
𝑡²
𝑠𝑖𝑛2𝑡
𝑗 ⃑⃑⃑ + cos 2𝑡�⃑⃑�) 
b) lim𝑡→0 〈
1+𝑡² 
1−𝑡²
 , 𝑡𝑔−1𝑡
1−𝑒−2𝑡 
𝑡
 〉 
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12. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 está no 
cone 𝑧² = 𝑥² + 𝑦² , use o fato para esboçar a curva. 
13. Determine a derivada da função vetorial. 
a) 𝑟 ⃑⃑ (𝑡) = 𝑖 ⃑-𝑗 +𝑒4𝑡�⃑� 
b) 𝑟 ⃑⃑ (𝑡) = 𝑒𝑡²𝑖 ⃑ − 𝑗 + ln (1 + 3𝑡)�⃑� 
14. Calcule as integrais: 
a) ∫ (3 sin² 𝑡 cos 𝑡𝑖 + 3 sin 𝑡 cos ²𝑡𝑗 + 2 sin 𝑡 cos 𝑡 �⃑� )𝑑𝑡
𝜋
2
0
 
b) ∫(𝑒𝑡 𝑖 + 2𝑡𝑗 ⃑⃑ + 𝑙𝑛𝑡�⃑� ) 𝑑𝑡 
15. Reparametrize a curva: 
𝑟 ⃑⃑ (𝑡) = (
2
𝑡²+1
− 1) 𝑖 +
2𝑡
𝑡²+1
𝑗 em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto 
(1,0) na direção crescente de t. 
16. Encontre a curvatura: 
a) 𝑟 ⃑⃑ (𝑡) = 𝑡³𝑗 + 𝑡²�⃑� 
b) 𝑟 ⃑⃑ (𝑡) = 3𝑡𝑖 + 4 sin 𝑡 𝑗 ⃑⃑ + 4 cos 𝑡�⃑� 
17. Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura 
quando 𝑥 → ∞? 
𝑦 = ln 𝑥