Lista de exercícios 14

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3100 - Pre´-ca´lculo
14a lista de exerc´ıcios (18/06/2018 a 29/06/2018)
1. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
senx = 0.(a) senx = 1.(b)
senx =
1
2
.(c) senx = 0, x ∈ [−pi/2, pi/2].(d)
senx = 1, x ∈ [−pi/2, pi/2].(e) senx = 1
2
, x ∈ [−pi/2, pi/2].(f)
2. A func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2] −→ [−1, 1] dada por f(x) = senx e´ bijetora (verifique atrave´s gra´fico) e,
portanto, possui inversa. Sua inversa f−1 : [−1, 1] −→ [−pi/2, pi/2] e´ denotada por f−1(x) = arcsen x
(a`s vezes tambe´m e´ denotada por f−1(x) = sen−1 x). Por exemplo, arcsen(−1) e´ igual ao u´nico nu´mero
pertencente [−pi/2, pi/2] cujo seno e´ igual a −1 e, portanto, arcsen(−1) = −pi/2. Como outros exemplos,
temos arcsen 0 = 0 e arcsen(1/2) = pi/6 (compare com as equac¸o˜es resolvidas no exerc´ıcio anterior).
Calcule o que se pede.
arcsen 1.(a) arcsen(
√
3/2).(b) arcsen(
√
2/2).(c)
arcsen(−1/2).(d) arcsen(−√2/2).(e) arcsen(−√3/2).(f)
3. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = arcsen x.
4. Calcule o que se pede.
sen(arcsen(−1/2)).(a) sen(arcsen(1/2)).(b) sen(arcsen(√3/2)).(c)
sen(arcsen(1/5)).(d) sen(arcsenx).(e) arcsen(sen(pi/6)).(f)
arcsen(sen(−pi/2)).(g) arcsen(sen(4pi/3)).(h) arcsen(sen(−7pi)).(i)
arcsen(sen(20pi/17)).(j) arcsen(senx).(k)
5. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
cosx = 0.(a) cosx = 1.(b)
cosx = −
√
2
2
.(c) cosx = 0, x ∈ [0, pi].(d)
cosx = 1, x ∈ [0, pi].(e) cosx = −
√
2
2
, x ∈ [0, pi].(f)
6. A func¸a˜o f : [0, pi] −→ [−1, 1] dada por f(x) = cos x e´ bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 : [−1, 1] −→
[0, pi] e´ denotada por f−1(x) = arccos x (a`s vezes tambe´m e´ denotada por f−1(x) = cos−1 x). Calcule o
que se pede.
1
arccos 1.(a) arccos(
√
3/2).(b) arccos(
√
2/2).(c)
arccos(1/2).(d) arccos 0.(e) arccos(−1/2).(f)
arccos(−√2/2).(g) arccos(−√3/2).(h) arccos(−1).(i)
7. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = arccos x.
8. Calcule o que se pede.
cos(arccos(−1/2)).(a) cos(arccos(√3/2)).(b) cos(arccos(1/34)).(c)
cos(arccosx).(d) arccos(cos(pi/6)).(e) arccos(cos(−pi/2)).(f)
arccos(cos(4pi/3)).(g) arccos(cos(20pi/17)).(h) arccos(cosx).(i)
9. Resolva as equac¸o˜es abaixo.
tg x = 0.(a) tg x = 1.(b)
tg x =
√
3.(c) tg x = 0, x ∈ (−pi/2, pi/2).(d)
tg x = 1, x ∈ (−pi/2, pi/2).(e) tg x = √3, x ∈ (−pi/2, pi/2).(f)
10. A func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2] −→ R dada por f(x) = tg x e´ bijetora (verifique!). Sua inversa f−1 : R −→
[−pi/2, pi/2] e´ denotada por f−1(x) = arctg x (a`s vezes tambe´m e´ denotada por f−1(x) = tg−1 x).
Calcule o que se pede.
arctg
√
3.(a) arctg 1.(b) arctg(
√
3/3).(c)
arctg 0.(d) arctg(−√3/3).(e) arctg(−1).(f)
arctg(−√3).(g)
11. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = arctg x.
12. Baseado no gra´fico acima, qual e´ o valor aproximado de arctg(10000000)?
13. Calcule o que se pede.
tg(arctg
√
3).(a) tg(arctg(−1)).(b) tg(arctg(−361)).(c)
tg(arctg x).(d) arctg(tg(pi/6)).(e) arctg(tg(−2pi/3)).(f)
arctg(tg(4pi/3)).(g) arctg(tg(20pi/17)).(h) arctg(tg x).(i)
14. Seja x ∈ [−1, 1]. Determine o valor de:
cos(arcsenx);(a) sen(arccosx).(b)
15. A partir da fo´rmula sen2 x+ cos2 x = 1, deduza as seguintes relac¸o˜es:
sec2 x = 1 + tg2 x;(a) cossec2 x = 1 + cotg2 x.(b)
16. Observe os gra´ficos das func¸o˜es trigonome´tricas e verifique quais sa˜o pares e quais sa˜o ı´mpares. A partir
disso, reescreva as expresso˜es abaixo, conforme item (a).
sen(−x) = − senx, isto e´, a func¸a˜o seno e´ ı´mpar.(a)
cos(−x).(b) tg(−x).(c)
cotg(−x).(d) sec(−x).(e)
cossec(−x).(f)
2
17. Reescreva as expresso˜es abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique. Observe o
item (a) como modelo.
cosx+ tg x senx.
Soluc¸a˜o. cosx+
(senx
cosx
)
senx =
cos2 x+ sen2 x
cosx
=
1
cosx
= secx.
(a)
cosx tg x.(b) senx secx.(c)
tg2 x− sec2 x.(d) senx+ cotg x cosx.(e)
secx− cosx
senx
.(f)
senx secx
tg x
.(g)
cos3 x+ sen2 x cosx.(h)
secx− cosx
tg x
.(i)
1 + sen x
cosx
+
cosx
1 + sen x
.(j)
2 + tg2 x
sec2 x
− 1.(k)
18. Verifique que as igualdades abaixo sa˜o identidades trigonome´tricas. Observac¸a˜o. Quando uma igual-
dade com inco´gnitas e´ fornecida, podemos perguntar sobre o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Quando
esse conjunto soluc¸a˜o corresponde a todos os poss´ıveis valores das inco´gnitas, dizemos que a igualdade
fornecida e´ uma identidade. Por exemplo, a igualdade cos2 x = 1 − sen2 x e´ verdadeira para todo
x ∈ R e, portanto, e´ uma identidade matema´tica. Por outro lado, a igualdade senx = cosx na˜o e´
uma identidade pois, por exemplo, na˜o e´ verdadeira para x = 0. Um dos caminhos para se verificar
uma identidade e´ manipular um dos lados da igualdade ate´ obter o outro (observe esse procedimento
no item (a)). Para mostrar que uma igualdade na˜o e´ uma identidade, basta encontrar substituic¸o˜es
nume´ricas para as inco´gnitas para as quais a igualdade na˜o e´ verdadeira.
cosx(secx− cosx) = sen2 x.
Soluc¸a˜o. Vamos manipular o lado esquerdo da igualdade ate´ chegar ao lado direito.
cosx(secx− cosx) = cos x
(
1
cosx
− cosx
)
= cosx
(
1− cos2 x
cosx
)
= 1− cos2 x = sen2 x.
(a)
cosx
secx senx
= cossecx− senx.(b) cotg x secx
cossecx
= 1.(c)
(senx+ cosx)2 = 1 + 2 senx cosx.(d)
1− senx
1 + sen x
= (secx− tg x)2.(e)
sen4 x− cos4 x = sen2 x− cos2 x.(f)
19. Utilize as fo´rmulas para soma de arcos para calcular:
sen 75◦;(a) cos 105◦;(b) tg 15◦;(c)
sen(19pi/12);(d) cos(17pi/12);(e) tg(−pi/12).(f)
20. Utilize as fo´rmulas para soma de arcos para verificar as igualdades abaixo.
sen(x− pi/2) = − cosx.(a) tg(x− pi) = tg x.(b)
cos(x+ pi/6) + sin(x− pi/3) = 0.(c) tg(x− pi/4) = tg x− 1
tg x+ 1
.(d)
21. A partir das informac¸o˜es em cada item, calcule sen(2x), cos(2x) e tg(2x).
3
senx =
5
13
e x pertence ao primeiro quadrante.(a)
tg x = −4
3
e x pertence ao segundo quadrante.(b)
cosx =
4
5
e cossec x < 0.(c)
cossecx = 4 e tg x < 0.(d)
22. Utilize sa fo´rmulas para a metade do arco para calcular:
sen 15◦;(a) cos 15◦;(b) tg 15◦;(c)
cos 165◦;(d) sen 22,5◦;(e) cos(pi/8);(f)
sen(3pi/8);(g) tg(5pi/12).(h)
23. A partir das informac¸o˜es em cada item, calcule sen(x/2), cos(x/2) e tg(x/2).
senx =
3
5
e x pertence ao primeiro quadrante.(a)
cosx = −4
5
e x pertence ao terceiro quadrante.(b)
24. Reescreva os produtos como somas:
sen(2x) cos(3x);(a) senx sen(5x);(b)
cos(5x) cos(3x);(c) sen(4x) cosx.(d)
25. Reescreva as somas como produtos:
sen(5x) + sen(3x);(a) sen(x)− sen(4x);(b)
cos(4x)− cos(6x);(c) cos(9x) + cos(2x).(d)
26. Resolva as equac¸o˜es:
√
2 senx+ 1 = 0;(a) 4 cosx+ 1 = 0;(b)
3 tg2 x− 1 = 0;(c) 9 sen2 x− 1 = 0;(d)
(tg2 x− 3)(2 cosx+ 1) = 0;(e) 3 sen2 x− 7 senx+ 2 = 0;(f)
2 cos2 x+ senx = 1;(g) tg2 x− 2 secx = 2;(h)
2 cos(3x) = 1;(i) tg(x/4) +
√
3 = 0;(j)
3 cos
(
3x− 3pi
2
)
=
3
2
;(k) sen(2x) + cos x = 0;(l)
senx+ sen(3x) = 0.(m)
Sugesta˜o. No u´ltimo item, utilize a fo´rmula para transformar soma em produto.
27. Os sistemas de alimentac¸a˜o ele´trica que chegam a`s nossas casas sa˜o sistemas de corrente alternada.
Pode-se modelar a tensa˜o pela func¸a˜o
E(t) = E0 cos(ωt),
em que t e´ medido em segundos, E(t) e´ medido em volts, E0 e´ o maior valor poss´ıvel para a tensa˜o e
o per´ıodo da func¸a˜o e´ 2pi/ω. A tensa˜o nominal em cada regia˜o (110V ou 220V ) representa a me´dia
quadra´tica do valor ma´ximo da tensa˜o, que e´ calculada dividindo o valor ma´ximo da tensa˜o por
√
2.
Ja´ a frequeˆncia nominal em cada regia˜o (50Hz ou 60Hz) e´ o inverso do per´ıodo. Qual e´ a func¸a˜o E(t)
em Floriano´polis, onde a tensa˜o e frequeˆncia nominais sa˜o 220V e 60Hz, respectivamente?
4
28. Considere um sistema massa mola ideal (isto e´, sem atrito). Denote por m a massado sistema e por k
a constante ela´stica da mola. A mola e´ esticada a uma distaˆncia a do seu ponto de repouso e, enta˜o,
e´ solta. Usando Ca´lculo e as leis f´ısicas, e´ poss´ıvel mostrar que a posic¸a˜o x do objeto (considerando o
ponto de repouso como origem) em func¸a˜o do tempo t e´ dada por
x(t) = a cos
(√
k
m
t
)
.
Determine a equac¸a˜o em um sistema em que m = 0,01 kg, k = 3 kg/s2 e a = 0,05m.(a)
Determine a frequeˆncia em termos de k e m.(b)
O que acontece com a frequeˆncia a` medida que a massa aumenta?(c)
O que acontece com a frequeˆncia a` medida que a rigidez da mola aumenta (isto e´, k aumenta)?(d)
29. Uma escada de comprimento 6m e´ apoiada a uma parede (perpendicular ao solo). Sabendo que a
distaˆncia entre a base da escada e a parede e´ de 2m, determine o aˆngulo de elevac¸a˜o da escada.
30. Dois diapaso˜es ideˆnticos sa˜o colocados para vibrar, um deles uma frac¸a˜o de tempo apo´s o outro. Os
sons produzidos por eles podem ser modelados por f1(t) = C sen(ωt) e f2(t) = C sen(ωt+ α). As duas
ondas sofrem interfereˆncia uma da outra dando origem a uma u´nica onda descrita por
f(t) = f1(t) + f2(t) = C sen(ωt) + C sen(ωt+ α).
Utilize a fo´rmula para o seno da soma de arcos e mostre que f(t) pode ser escrita na forma
f(t) = f1(t) + f2(t) = A sen(ωt) +B cos(ωt),
em que A e B dependem apenas de C e α.
(a)
A Suponha que C = 10 e que α = pi/3. Determine constantes k e φ tais que f(t) = k sen(ωt+φ).(b)
31. Um retaˆngulo ABCD e´ inscrito em uma circunfereˆncia de raio 10 cm. Denote por θ o aˆngulo entre o
lado AB e a diagonal AC.
Mostre que a a´rea do retaˆngulo e´ A = 200 sen(2θ).(a)
Mostre que dentre todos os retaˆngulos inscritos na circunfereˆncia, a maior a´rea poss´ıvel e´ 200 cm2.(b)
32. Quando um proje´til e´ lanc¸ado a uma velocidade v0 formando um aˆngulo θ com a horizontal, seu alcance
(isto e´, a distaˆncia horizontal percorrida) e´ dada por
R(θ) =
v20 sen(2θ)
g
,
em que g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Se v0 = 30m/s, qual deve ser o aˆngulo θ para que o alcance seja
de 79,5m? Utilize g = 9,8m/s2.
Lista de exerc´ıcios parcialmente retirada e adaptada de
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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