geometria plana

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
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Geometria Plana – EP02 – Gabarito 
 
Prezado(a) aluno(a), 
O conteúdo da Semana 2 está na Aula 1: Conceitos Básicos, da pa´gina 28 até a pa´gina 45. 
Atenção: 
- É importante desenvolver a visão geométrica. 
- Procure criar o hábito de representar suas próprias figuras antes de verificar a figura da resposta. 
- Faça um resumo do conteu´do abordado por aula. 
- Observe como deve ser a justificativa através da solução do Gabarito do EP01. 
Preencher somente os valores na figura não e´ justificativa. 
- Utilize a Sala de Tutoria para postar suas dúvidas com a solução parcial. 
Exercício 1: Considere o triângulo PMK. 
 
Quantos triângulos tem na figura ao lado? 
 
 
 
Solução: 
Considere os vértices conforme figura: P, M, K, H, D e R. Vamos escrever todas as possíveis combinações de 3 letras, 
já que um triangulo possui três vértices, e comparar com a figura: 
PMK, PMH, PMD, PMR, PKH, PKD, PKR, PHD, PHR, PDR, MKH, MKD, MKR, MHD, HMR, RDM, KHD, KRH, RDK e RHD. 
Vamos retirar as combinações que não formam triângulos: 
 
i. PKR, PMH, RDM e KHD, pois são pontos colineares. 
ii. PHD, PMD, PDR e PKD, pois não são triângulos da figura. 
 
Daí na figura temos 12 triângulos. São os seguintes: 
PMK, PMR, PKH, PHR, MKH, MKD, MKR, MHD, HMR, KRH, RDK e RHD. 
 
Exercício 2: [OBMEP2015 - adaptado] Pedrinho está brincando com três peças triangulares I, II e III , conforme 
figura abaixo. Ele pode juntar duas peças se colar exatamente os lados de mesmo tamanho. Por exemplo, ele pode 
juntar o lado 10 da peça I, com o lado 10 da peça II, mas não pode juntar o lado 10 da peça I com o lado 8 da peça 
III, pois não possuem mesmo tamanho. Qual é o maior perímetro que Pedrinho pode obter juntando as três peças? 
Recorte os triângulos, da folha em anexo e tente juntar os triângulos de tal maneira que o perímetro 
seja o maior possível. 
 
Geometria Plana 2 
 
 
EP02 - Gabarito 
Solução: 
As três peças triangulares I, II e III tem, respectivamente, perímetros 
5 + 8 + 10 = 23, 5 + 10 + 12 = 27 e 5 + 8 + 12 = 25 
Se juntarmos duas peças, por exemplo, as peças I e II por um dos lados, podemos juntar pelo lado de medida 10 ou 
pelo lado de medida 5. Qual deles teria o maior perímetro? Observe a figura a seguir. Quais são os perímetros 
resultantes (das peças coladas)? 
 
Pelo lado de medida 10, o perímetro resultante é 
 (5 + 8 + 10) + (5 + 10 + 12) − 10 − 10 = 5 + 8 + 5 + 12 = 30 
Pelo lado de medida 5, o perímetro resultante é 
 (5 + 8 + 10) + (5 + 10 + 12) − 5 − 5 = 10 + 8 + 10 + 12 = 40 
 
Observe que para obter o maior perímetro possível deve se fazer as junções nos menores lados, já que a soma dos 
perímetros é subtraída em dobro do lado escolhido para junção. 
Então devemos escolher a ordem das junções dos menores lados para os maiores. 
 
Portanto iniciamos com a junção do lado de medida 5 e depois do lado de medida 8. Obtemos como resultado : 
(5 + 8 + 10) + (5 + 10 + 12) + (5 + 8 + 12) − 5 − 5 − 8 − 8 = 23 + 27 + 25 − 10 − 16 = 75 − 26 = 49. 
Segue dois exemplos de figura formada com as peças triangulares cujo perímetro é o maior possível. 
 
Tente encontrar outras figuras cujo perímetro é o maior possível. 
 
 
Exercício 3: As medidas sexagesimais de dois ângulos colaterais internos formados por duas retas, a e b, paralelas 
com uma transversal c, diferem de 47o23’18”. Calcule a medidas desses ângulos colaterais internos. 
 
Geometria Plana 3 
 
 
EP02 - Gabarito 
Solução: Do enunciado temos duas retas paralelas a e b e uma reta transversal c. 
Sejam x e y os ângulos colaterais internos. Como a//b, ou seja, 
a e b são retas paralelas então: x + y = 180° (1). 
Tome x > y, do enunciado temos que os dois ângulos colaterais 
internos diferem de 47°23’18”, ou seja, x − y = 47°23’18” (2) 
De (1) e (2) vem 2x = 227°23’18” ⇒ x = 113°41’39” (3) 
De (1) e (3) vem y = 180° − x = 180° − 113°41’39” = 179°59’60 − 113°41’39” = 
66°18’21”. 
Logo as medidas dos ângulos colaterais pedidos são 113°41’39” e 66°18’21”. 
 
Exercício 4: Na figura, sabendo que a reta 𝐴𝐵 ⃡ é 
paralela a reta 𝐶𝐷 ⃡ , determine a medida do ângulo x. 
 
 
 
Atenção: 
Não use Teorema angular de Tales para resolver essa questão. 
Use somente propriedades de retas paralelas da página 35. 
 
Solução: 
Trace as retas r e s paralelas a reta AB (ou CD), onde M ∈ s e P ∈ r, 
conforme figura: 
Como r//AB e r//CD, 
dos ângulos correspondentes α e θ, vem 
x = α + θ (1) 
Como s//AB e s//CD, 
dos ângulos alternos internos, 2α e 2θ, vem 
2α + 2θ = 180° − 3x ⇒ 180° − 3x = 2(α + θ) (2) 
Substituindo (1) em (2), temos que 180° − 3x = 2x ⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36°. 
 
 
Exercício 5: Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas. 
Dois ângulos correspondentes são sempre congruentes. 
Geometria Plana 4 
 
 
EP02 - Gabarito 
Solução: A afirmação é FALSA. Considere as retas r, s e t, distintas, onde r não é paralela a s, 
conforme figura. 
Os ângulos θ e β são correspondentes, mas não são congruentes 
porque as retas r e s não são paralelas! 
Note no exemplo da figura que θ = 145° e β = 126°. 
 
 
 
Exercício 6: Na figura a seguir as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Determine a medida 
do ângulo α, em graus. Justifique suas respostas. 
 
 
Solução: 
Considere na figura dada os vértices A, B, C, D e E. 
Temos que m(𝐵𝐴�̂�) =90°. 
m(𝐵𝐴�̂�) = 20°, ângulo oposto pelo vértice. 
α = m(𝐴𝐵�̂�) = m(𝐵𝐶�̂�), 
ângulos correspondentes, onde m//n. 
Logo no ΔABE, 
α + 20° = 90° ⇒ α = 70°. 
 
Exercício 7: Considere a figura ao lado, onde A, B e D são colineares. 
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando 
cada uma das suas respostas. 
a) ( ) O triângulo ABC é equilátero. 
b) ( ) O triângulo ABC é isósceles. 
c) ( ) O triângulo ACD é isósceles. 
d) ( ) O triângulo ACD é equilátero. 
e) ( ) α − (γ + β) é divisível por 2. 
 
Geometria Plana 5 
 
 
EP02 - Gabarito 
Solução: 
a) Verdadeiro, pois no ΔABC 60° + 60° + θ = 180° ⇒ θ = 180 – 120° ⇒ θ = 60°. Daí o triangulo ABC é 
equilátero. 
b) Verdadeiro, pois m(𝐶𝐵�̂�)= m(𝐶𝐴�̂�) = 60°, logo o triângulo ABC é isósceles. 
c) Verdadeiro, pois α + 60° = 180° ⇒ α = 180° − 60° = 120°. Temos θ + β + 90° = 180° ⇒ 
β = 180° − 90° − 60° = 180° − 150° ⇒ β = 30°. No ΔACD, α + β + γ = 180° ⇒ 
γ = 180° − 120°− 30° = 180° − 150° = 30°. Daí o triangulo ACD é isósceles. 
d) Falso, pois α = 120° ≠ 60°. 
e) Verdadeiro, pois α − (γ + β) = 120° − (30° + 30°) = 120° − 60° = 60° que e´ divisível por 2. 
Exercício 8: [ Adaptado do artigo de Tinoco, L e Silva, M.M.: Argumentação no ensino de Matemática - VIII ENEM -
2004] Considere o enunciado da questão (*): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segue abaixo 6 figuras com indicações de 6 soluções distintas, a partir de (*). Para cada uma das 6 figuras escreva 
as diferentes soluções para (*) com justificativa e identificando as propriedades: 
 
Atenção: Observe que em todos os itens há um traçado para encontrar a solução. 
Somente a figura preenchida (conforme acima) não é solução da questão. 
Somente em 6) pode usar o resultado: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, que será estudado 
na Aula 3. 
(*) Na figura ED//BC. Encontre a medida do ângulo 𝐴𝐸�̂�. 
 
 
 
Geometria Plana 6 
 
 
EP02 - Gabarito 
 
 
Solução:Vamos a solução para cada uma das figuras. 
1) Prolongue a reta 𝐸𝐷 ⃡ que intercepta AB em G, 
conforme figura ao lado. Como ED//BC, temos que: 
os ângulos 𝐴𝐵�̂� e 𝐴𝐺�̂� são correspondentes e congruentes. 
Então m(𝐴𝐵�̂�) = m(𝐴𝐺�̂�) = 30°. 
No triângulo AGE, pelo Teorema angular de Tales, 
temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 
 
Logo m(𝐴𝐺�̂�) + m(𝐺𝐴�̂�) + m(𝐴𝐸�̂�) = 180° ⇒ m(𝐴𝐸�̂�) = 180° − (30° − 80°) = 70°. 
Os ângulos 𝐴𝐺�̂� e 𝐴𝐸�̂� = x são suplementares. Logo x = 180° − m(𝐴𝐺�̂�) = 180° − 70° = 110°. 
 
 
2) Prolongue a reta 𝐸𝐷 ⃡ que intercepta AB em G, 
conforme figura ao lado. Como ED//BC, temos que: 
os ângulos 𝐴𝐵�̂� e 𝐴𝐺�̂� são correspondentes e 
congruentes. Então m(𝐴𝐵�̂�) = m(𝐴𝐺�̂�) = 30°. 
No triangulo AGE, x é ângulo externo, 
logo x = m(𝐺𝐴�̂�) + m(𝐴𝐺�̂�) = 80° + 30° = 110°. 
 
Corolário: Em todo triangulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos 
não adjacentes a ele. 
 
Geometria Plana 7 
 
 
EP02 - Gabarito 
3) Trace por E uma reta 𝐻𝐾 ⃡ paralela a AB e 
que intercepta BC em H, conforme figura ao lado. 
Como AB//HE, temos que: 
os ângulos 𝐴𝐵�̂� e 𝐸𝐻�̂� são correspondentes e congruentes. 
Então m(𝐴𝐵�̂�) = m(𝐸𝐻�̂�) = 30°. 
De forma análoga ED//BC, então 
m(𝐾𝐸�̂�) = m(𝐸𝐻�̂�) = 30°. 
Além disso temos os ângulos alternos internos congruentes, pois AB//HE. 
Logo m(𝐵𝐴�̂�) = m(𝐴𝐸�̂�) = 80°. Portanto x = m(𝐴𝐸�̂�) + m(𝐾𝐸�̂�) = 80° + 30° = 110°. 
 
4) Prolongue a reta 𝐴𝐸 ⃡ que intercepta BC em L, 
conforme figura ao lado. Como ED//BC, temos que: 
os ângulos 𝐴𝐸�̂� e 𝐴𝐿�̂� são correspondentes e congruentes. 
Logo m(𝐴𝐸�̂�) = m(𝐴𝐿�̂�) = x. 
No triangulo ABL, pelo Teorema angular de Tales, temos que 
m(𝐴𝐵𝐿̂ ) + m(𝐿𝐴�̂�) + m(𝐵𝐿�̂�) = 180° ⇒m(𝐵𝐿�̂�) = 180° − (30° + 80°) = 70°. 
Os ângulos 𝐵𝐿�̂� e 𝐴𝐿�̂� são suplementares. Logo x = m(𝐴𝐿�̂�) = 180° − m(𝐵𝐿�̂�) = 180° − 70° = 110°. 
 
5) Prolongue a reta 𝐴𝐸 ⃡ que intercepta BC em L, 
conforme figura ao lado. Como ED//BC, temos que: 
os ângulos 𝐴𝐸�̂� e 𝐴𝐿�̂� são correspondentes e congruentes. 
Logo m(𝐴𝐸�̂�) = m(𝐴𝐿�̂�) = x. 
No triangulo ABL, 𝐴𝐿�̂� é ângulo externo. 
Logo, de maneira análoga a 2), temos que : 
m(𝐴𝐵𝐿̂ ) + m(𝐿𝐴�̂�) = m(𝐴𝐿�̂�) = 80° + 30° = 110°. 
 
6) Trace EM perpendicular a BC. Então os ângulos 
𝐸𝑀�̂� e 𝐸𝑀𝐶̂ são retos Como ED//BC, temos que: 
o ângulos 𝑀𝐸�̂� também é reto. Usando o resultado 
que vamos ver na Aula 3, que a soma dos ângulos internos do 
quadrilátero ABME é 360°, vem: 
m(𝐴𝐸�̂�) = 360° − 30° − 80° − 90° = 360° − 200° = 160°. 
Além disso x +m(𝐴𝐸�̂� )+m(𝑀𝐸�̂�) = 360° ⇒ x = 360°− 160° − 90° = 360°− 250° = 110°. 
 
Exercício 9: Na figura os dois triângulos são equiláteros. 
Determine os valores de x e y. 
 
 
Solução: 
Considere a figura com os triângulos ABC e DEF . 
 
G e H pontos de interseção entre os triângulos, onde 𝐺𝐻𝐶̂ = x e 𝐻𝐺�̂� = y. 
Como ΔABC e ΔDEF são equiláteros, 
 
Geometria Plana 8 
 
 
EP02 - Gabarito 
 
𝐵𝐴�̂�= 60° = 𝐺𝐷�̂� = 𝐻𝐶�̂�. Do triangulo AGD, temos: 
 
𝐺𝐴�̂�= 180° − 75° − 60° = 45° 
𝐺𝐷�̂� = 180° − 60° − 65° = 55° 
𝐴𝐺�̂� = 180° − 45° − 55° = 80° 
 
Do ângulo externo 
y = 𝐻𝐺�̂� = 𝐺𝐴�̂� + 𝐺𝐷�̂� = 45° + 55° = 100° 
 
Além disso, dos ângulos opostos pelo vértice, vem 𝐴𝐺�̂� = 𝐻𝐶�̂�= 80°. 
Em ΔCGH, vem x + 80° + 60° = 180° ⇒ x = 180° − 140° = 40°. 
 
Exercício 10: ABC é um triângulo no qual a medida do ângulo �̂� é 60°e a medida do ângulo 𝐶 é 48°. Traçam-se a bissetriz do 
ângulo 𝐴 e a bissetriz do ângulo agudo formado pela bissetriz anterior e o lado BC. 
 
a) Calcule a medida do ângulo ADB. 
 
b) Calcule a medida do ângulo agudo que a 
segunda bissetriz forma com o lado AB. 
 
Atenção: AC não é paralela a ED. 
 
 
 
Solução: 
Do enunciado temos m(𝐴𝐵�̂�) = 60° e m(𝐴𝐶�̂�) = 48°, 
então m(𝐵𝐴�̂�) = 180° − (60° + 48°) = 180° − 108° = 72°. 
 
a) Seja AD a bissetriz de A. Então 
m(𝐶𝐴�̂�) = m(𝐵𝐴�̂�) = 
72°
2
 = 36° 
No triangulo ADB temos que 
m(𝐴𝐷�̂�) = 180◦ − m(𝐷𝐴�̂�) − m(𝐴𝐵�̂�) = 180° − 36° − 60° = 180° − 96° = 84° 
 
 
b) Do enunciado temos que encontrar a medida do ângulo agudo que a segunda bissetriz forma com o lado AB. 
Seja DE tal bissetriz, então a medida pedida é m(𝐷𝐸�̂�) = x. Observe que m(𝐷𝐸�̂�) não é ângulo agudo. 
 
Como x = m(𝐷𝐴�̂�) + m(𝐴𝐷�̂�), ângulo externo e DE é bissetriz, então 
m(𝐴𝐷�̂�) = m(𝐸𝐷�̂�) =
m(𝐴𝐷�̂�) 
2
=
84°
2
=42° 
 
Logo x = m(𝐴𝐷�̂�) + m(𝐴𝐷�̂�) = 42° + 36° = 78°. 
 
 
Geometria Plana 9 
 
 
EP02 - Gabarito 
Exercício 11: Na figura temos 𝐴𝐸̅̅̅ = 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐸̅̅ ̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ . 
Considere que m(𝐴𝐵�̂�) = α e m(𝐵𝐶�̂�) = β. 
Determine o valor da razão 
𝑚(𝛼)
𝑚(𝛽)
 
Nota: Use o fato de que em um triângulo isósceles os ângulos da base 
são congruentes. Este fato será provado na Aula 2. 
 
Solução: Como CE̅̅ ̅ = CD̅̅ ̅, o triangulo CDE é isósceles de base DE, temos 
 m(𝐶𝐸�̂�) = 
180°− 20°
2
=
160°
2
 = 80° 
Mas BE̅̅ ̅ = CE̅̅ ̅, então m(𝐶𝐵�̂�) = β. Como 𝐶𝐸�̂� é ângulo externo do triangulo BCE 
2β = 80° ⇒ β = 40° (1) 
Mas AE̅̅ ̅ = BE̅̅ ̅. De maneira análoga temos que o ângulo 𝐵𝐸�̂� é ângulo externo do triângulo ABE. 
m(𝐶𝐸�̂�) = 180° − 80° = 100°, então 
2α = 100° ⇒ α = 50° (2) 
De (1) e (2) vem 
𝑚(𝛼)
𝑚(𝛽)
=
50°
40°
=
5
4
 
Obs: Para encontrar (2) pode-se usar que m(𝐵𝐸�̂�) = m(𝐶𝐸�̂�), pois são opostos pelo vértice. 
Então 2α + 80° = 180° ⇒ α = 50°. 
Exercício 12: No triângulo ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐸̅̅ ̅ = 𝐶𝐴̅̅ ̅ 
Se a medida do ângulo 𝐷𝐴�̂� é 40° quanto mede, em graus, o ângulo 𝐵𝐴�̂� ? 
Solução: Sejam α = m(𝐵𝐴�̂�) e β = m(𝐶𝐴�̂�), conforme figura: 
m(𝐷𝐴�̂�) = 40°, como 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , então o 
triangulo ABD é isósceles. Logo m(𝐵𝐷�̂�) = 40° + α. 
De forma análoga, ΔACE é isósceles, pois 𝐶𝐸̅̅ ̅ = 𝐶𝐴̅̅ ̅ . 
Então m(𝐴𝐸�̂�) = 40° + β. 
Do ΔAED vem 40°+ (40° + α) + (40° + β) = 180° 
Então α + β = 180° − 120° ⇒ α + β = 60°. 
Como m(𝐵𝐴�̂�) = 40° + α + β, logo m(𝐵𝐴�̂�) = 40° + 60° = 100°.