Cálculo Vetorial e Equações Paramétricas

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 1: Cálculo Vetorial e Equações Paramétricas
Apresentação
Nesta aula, abordaremos as funções vetoriais, observando suas variações e algumas de suas representações.
Para isso, apresentaremos alguns conteúdos introdutórios de vetores e posteriormente a aplicação de alguns conceitos de
Cálculo, presente na disciplina Análise Matemática para Engenharia I.
Objetivos
Reconhecer uma função vetorial e sua representação;
Analisar um grá�co de linha e suas possíveis oscilações;
Aplicar os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral em uma função vetorial.
Funções vetoriais
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A Análise Matemática para Engenharia II preza pelo entendimento de conteúdos inerentes às disciplinas do Cálculo Diferencial e
Integral e do Cálculo Vetorial de uma maneira na qual os assuntos são trabalhados simultaneamente.
 Fonte: Billion Photos / Shutterstock
Até o presente momento foram usadas funções de valores reais para expressar grá�cos e situações problemas, a partir desta
aula, veremos outro tipo, as Funções Vetoriais, cujos valores são vetores.
Essas funções são responsáveis por fazer a descrição de curvas e superfície no espaço, assim como a sua aplicação na Física
pode ser vista para se deduzir as leis de Kepler, o que não é o nosso objeto de estudo, portanto passemos às de�nições e suas
aplicações.
De�nição de Funções Vetoriais
A cada elemento do seu domínio é associado um único elemento da sua imagem, quando abordamos função vetoriais a de�nição
não é muito diferente.
Uma função vetorial é aquela cujos valores do domínio são reais e estão associados a um
conjunto de vetores na sua imagem.
Para fazer essa associação das funções vetoriais, são associadas as funções r cujos valores são tridimensionais, signi�cando
que para qualquer número t no domínio r, será associado a um vetor no R3 que denotamos como sendo r(t).
Com isso, temos a seguinte de�nição:
Se f(t), g(t), e h(t) são componentes do vetor r(t), então f, g, h são funções a valores reais chamados funções componentes de r,
tendo a sua representação da seguinte forma:
→
𝒓 𝒕 = 〈𝒇 𝒕 , 𝒈 𝒕 , 𝒉 𝒕 〉 = 𝒇 𝒕 
→
𝒊 + 𝒈 𝒕 
→
𝒋 + 𝒉 𝒕 
→
𝒌 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 Figura 1: Representação gráfica de uma função vetorial.
Exemplo
Exemplo 1:
Sendo a função vetorial: 
→
𝑟 𝑡 = 〈𝑡2, ln − 2 + 𝑡 , √𝑡〉, temos que as funções componentes são:
𝑓 𝑡 = 𝑡2
𝑔(𝑡) = ln ( − 2 + 𝑡)
ℎ(𝑡) = √𝑡
Exemplo 2:
Sendo a função vetorial: 
→
𝑟 𝑡 = 〈𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , cos𝑡〉, temos que as funções componentes são:
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑡 
𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡 
ℎ(𝑡) = cos𝑡
Exemplo 3:
Sendo a função vetorial: 
→
𝑟 𝑡 = 〈1 + 𝑡2, 𝑡𝑒 − 𝑡 ,
𝑠 𝑒 𝑛 𝑡
t 〉, temos que as funções componentes são:
𝑓 𝑡 = 1 + 𝑡2
𝑔 𝑡 = 𝑡𝑒 − 𝑡
ℎ 𝑡 =
𝑠 𝑒 𝑛 𝑡
t
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Como exemplo de grá�co de uma função vetorial, temos:
 Figura 2: Gráfico de uma função paramétrica.
A �gura 2 é conhecida como hélice, essa mesma �gura pode ser comparada com a representação do DNA, sendo ele uma hélice
dupla.
 Figura 3: Representação do DNA.
As funções vetoriais foram muito importantes no desenvolvimento das leis das órbitas desenvolvidas por Kepler, e isso será
falado um pouco mais na próxima aula. Assim, observa-se que há aplicação das funções vetoriais também na área da Física.
Função Vetorial representada por Funções Paramétricas
Outra representação possível para as funções vetoriais é a seguinte:
→
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 
→
𝑖 + 𝑦 𝑡 
→
𝑗 + 𝑧 𝑡 
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( )
Com isso, as funções paramétricas podem representar também uma função vetorial, como no exemplo abaixo.
Relembrando uma função paramétrica temos que a sua representação se dá da seguinte maneira:
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑦0 + 𝑏𝑡𝑧 𝑡 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
{ ( )( ) ( )
Onde:
𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 são pontos;
(a,b,c) são vetores.
( )
Exemplo
Dada a representação paramétrica da função: 
𝑥(𝑡) = 3 + 𝑡
𝑦(𝑡) = 2𝑡𝑧(𝑡) = 𝑡 , escreva a sua respectiva função vetorial.
Resolução:
→
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 
→
𝑖 + 𝑦 𝑡 
→
𝑗 + 𝑧 𝑡 
→
𝑘 
→
𝑟 𝑡 = 3 + 𝑡
→
𝑖 + 𝟐𝒕
→
𝑗 + 𝑡
→
𝑘 
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo01.pdf> .
{
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Derivada de uma função vetorial
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Ao fazermos a abordagem de uma derivada de uma função vetorial, devemos ter em mente que seja uma função clássica ou uma
função vetorial, a abordagem é a mesma, respeitando os seus conceitos, as suas de�nições e regras de derivação.
A derivada de uma função vetorial r, representada por r’ (erre linha) tem a sua de�nição da mesma maneira que as funções de
valores reais:
dr
dr =
→r ´ t = lim h→ 0 
→
𝑟 𝑡 + ℎ −
→
𝑟 𝑡
h , caso exista o limite:( ) ( ) ( )
Geometricamente falando, o vetor derivada é tangente à trajetória feita pelo vetor, sendo assim, tangente à curva.
Repare que essa é uma de�nição bem parecida com a de derivada para função de valores reais, conforme dito anteriormente.
As �guras abaixo ilustram três momentos da representação geométrica de uma função vetorial:
a) É a representação inicial da função vetorial:
limh→ 0 
→
𝑟 𝑡 + ℎ −
→
𝑟 𝑡
h .
( ) ( )
b) Temos o valor da função começando a tender a 0, o que
está transformando o vetor secante em vetor tangente.
c) Já temos o vetor tangente no ponto t , ou seja, a
derivada no ponto.
0
Resumidamente temos que, se r(t) é uma função vetorial tal que:
→
𝑟 𝑡 = 〈𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 〉 = 𝑓 𝑡 
→
𝑖 + 𝑔 𝑡 
→
𝑗 + ℎ 𝑡 
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Onde:
f, g e h são funções diferenciáveis
Então:
→
𝑟 ′ 𝑡 = 〈𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 〉
→
𝑟 ′ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 
→
𝑖 + 𝑔′ 𝑡 
→
𝑗 + ℎ′ 𝑡 
→
𝑘 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
As regras de derivação da função vetorial são as mesmas das funções de valores reais:
 𝑑
dt = 𝑢 𝑡 + 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 + 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( )
 𝑑
𝑑 t = 𝑐𝑢 𝑡 = 𝑐𝑢′ 𝑡[ ( )] ( )
 
𝑑
𝑑 t = 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
 
𝑑
𝑑 t = 𝑢 𝑡 . 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 . 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
 
𝑑
𝑑 t = 𝑢 𝑡 𝑥 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 𝑥 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 𝑥 𝑣′ 𝑡[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
 𝑑
𝑑 t = 𝑢 𝑓 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 𝑢′ 𝑓 𝑡 — Regra da Cadeia [ ( ( ))] ( ) (( ( ))
Aplicação das derivadas vetoriais
Exemplo
Determine a derivada de 
→
𝑟 𝑡 = 𝑡2 + 3 
→
𝑖 + 3𝑡
→
𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
→
𝑘 
Resolução:
A derivada da função r(t) deve ser feita para cada componente da função vetorial, sendo assim, temos:
𝑓 𝑡 = 𝑡2 + 3 ⟶ 𝑓′ 𝑡 = 2𝑡 
𝑔(𝑡) = 3𝑡 ⟶ 𝑔′ (𝑡) = 3
ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ⟶ ℎ′ (𝑡) = 2 cos 2𝑡
→
𝑟 ′ 𝑡 = 2𝑡
→
𝑖 + 3
→
𝑗 + 𝟐𝑐𝑜𝑠 2𝑡
→
𝑘 
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo02.pdf> .
( ) ( )
( ) ( )
( )
Integral de uma função vetorial
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Quando falamos da integral de uma função vetorial, assim como dito na derivada de uma função vetorial, a maneira da
abordagem da integral se assemelha à integral das funções de valores reais, sendo a integral das funções vetoriais calculada em
cada uma das suas componentes; assim como nas derivadas, seu resultado é um vetor.
A representação de um integral vetorial pode ser representada da mesma forma que a integral de uma função real.
∫ba
→r t d t = limn→ ∞ ∑ni - 1 
→r ti * ∆ t = limn→ ∞ 
n
∑ f
i - 1
 ti * ∆ t i + ∑n
i - 1 g ti * ∆ t j + 
n
∑ 
i - 1
 h ti * ∆ t k( ) ( ) [( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ]
Ou de uma forma mais conhecida:
∫ba 
→r t dt = ∫ba f t i + ∫
b
a g t j + ∫
b
a h t k ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
Essa última maneira mostra que podemos fazer a integração de uma função
vetorial integrando cada uma das suas componentes.
O teorema fundamental do cálculo, que é aplicado a funções reais, também pode ser estendido a funções vetoriais.
∫ba 
→r t dt = R t ]ba = R b - R a( ) ( ) ( ) ( )
Sendo R uma primitiva de r, ou seja, R’(t) = r(t) e sendo a notação ∫𝑟(𝑡)𝑑𝑡 utilizada para as
integrais inde�nidas.
Exemplo
Integrar a função vetorial ∫ cost
→
𝑗 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑗 + 2
→
𝑘 𝑑𝑡.
Resolução:
Essa integral pode ser feita integrando cada uma das componentes dessa função vetorial representada da seguinte maneira:
∫ cost 
→
i dt - ∫ sen 
→
j dt + ∫ 2
→
k dt
Integrando cada uma das componentes temos:
𝑠𝑒𝑛 𝑡 − ( − 𝑐𝑜𝑠𝑡 ) + 2𝑡 + 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝑡
→
𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 + 2𝑡
→
𝑘 + 𝑐
Repare que na integral inde�nida, assim como na integral de uma função de valores reais, temos, ao �nal da integração, o valor da
constante C.
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo03.pdf> .
( )
( ) ( )
Na próxima aula, continuaremos com a abordagem de funções vetoriais, igualmente com a aplicação das derivadas nessas
funções.
Antes disso, vamos fazer algumas atividades. Aproveite para rever o conteúdo e refazer os exercícios quantas vezes achar
necessário. Isso o ajudará a internalizar os conceitos com mais propriedade. A�nal, quando aliada à teoria, a prática exercita o
conhecimento.
Atividade
1. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelo ponto D e tem como direção o vetor 
→
𝐷𝑅, sendo D =
(1,-1,-2) e R = (2,1, 0), encontramos como resposta:
a) 
→
𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 
→
𝑖 + − 1 − 2𝑡 
→
𝑗 + − 2 − 2𝑡 
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( )
b) 
→
𝑟 𝑡 = − 3𝑡 
→
𝑖 + − 1 − 2𝑡
→
𝑗 + − 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( )
c) 
→
𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 
→
𝑖 − 2𝑡
→
𝑗 + − 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
d) 
→
𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 
→
𝑖 + − 1 − 2𝑡
→
𝑗 +
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
e) 
→
𝑟 𝑡 = 1 − 3𝑡 
→
𝑖 + − 1 − 2𝑡
→
𝑗 + 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
2. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelos A (0,1,2) e possui como direção o vetor 
→
𝑣 = 3
→
𝑖 − 4
→
𝑗 − 2
→
𝑘 , temos como resposta:
a) 
→
𝑟 𝑡 = 3
→
𝑖 + 1 − 4𝑡
→
𝑗 + 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
b) 
→
𝑟 𝑡 = 3𝑡 
→
𝑖 − 4𝑡
→
𝑗 + 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
c) 
→
𝑟 𝑡 = 3𝑡
→
𝑖 + 1 − 4𝑡
→
𝑗 + 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( )
d) 
→
𝑟 𝑡 = 3𝑡
→
𝑖 + 1 − 4𝑡
→
𝑗 + 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( ) ( )
e) 
→
𝑟 𝑡 = 3𝑡
→
𝑖 + 4𝑡
→
𝑗 + 2 − 2𝑡
→
𝑘 ( ) ( ) ( )
3. Ao determinarmos a derivada da função vetorial 
→
𝑓 𝑡 = − cos3 𝑡
→
𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑗 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡
→
𝑘 , temos como resposta:( )
a) 
→
𝑓′ 𝑡 = 3cos3 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 
→
𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑘 ( ) ( )
b) 
→
𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 
→
𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑘 ( ) ( )
c) 
→
𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 
→
𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑘 ( ) ( )
d) 
→
𝑓′ 𝑡 = - 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 
→
𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑘 ( ) ( )
e) 
→
𝑓′ 𝑡 = 3cos2 𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡 
→
𝑖 - 𝑐𝑜𝑠𝑡
→
𝑗 - 2𝑐𝑜𝑠𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡
→
𝑘 ( ) ( )
4. A derivada da função vetorial 
→
𝑟 𝑡 = 3 − 𝑡2 
→
𝑖 + 𝑡2
→
 𝑗 − 1 /𝑡2 
→
𝑘 tem como resposta:( ) ( )
a) 𝑟 ⃗ ′ ( 𝑡 ) = − 2𝑡
→
𝑖 − 2𝑡
→
𝑗 +
2
𝑡3
 
→
𝑘 
b) 𝑟 ⃗ ′ ( 𝑡 ) = + 2𝑡
→
𝑖 + 2𝑡
→
𝑗 +
2
𝑡3
 
→
𝑘 
c) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡
→
𝑖 + 2𝑡
→
𝑗 +
2
𝑡2
 
→
𝑘 ( )
d) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡
→
𝑖 + 2𝑡
→
𝑗 +
1
𝑡3
 
→
𝑘 ( )
e) 𝑟 ⃗ ′ t = - 2𝑡
→
𝑖 + 2𝑡
→
𝑗 +
2
𝑡3
 
→
𝑘 ( )
5. Ao resolvermos a integral da função vetorial ∫
1
20
→
f t dt → 
→
f t = 5t2 - 2 
→
i - e t
2→
j + 2
→
k temos como resposta:( ) ( ) ( )
a) 
41
3
→
 i +
1
2 . e
2 1
2 . e
2 - 1 
→
j - 2
→
k( ) ( ( ))
b) -
41
3
→
 i +
1
2 . e
2 1
2 . e
2 - 1 
→
j - 2
→
k( ) ( ( ))
c) 
41
3
→
 i +
1
2 . e
2 1
2 . e
2 + 1 
→
j - 2
→
k( ) ( ( ))
d) 
41
3
→
 i +
1
2 . e
2 1
2 . e
2 - 1 
→
j - 2
→
k( ) ( ( ))
e) 
41
3
→
 i +
1
2 . e
2 1
2 . e
2 - 1 
→
j + 2
→
k( ) ( ( ))
Notas
Referências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
Próxima aula
Curvas no espaço;
Aplicação da derivada vetorial na Física.
Explore mais
Nos links abaixo você poderá usufruir de objetos de aprendizagem, eles darão uma visão mais ampla do conteúdo apresentado
até aqui:
BARBOZA, Rafael de Oliveira. Funções paramétricas. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/FTqXnG3f
<https://www.geogebra.org/m/FTqXnG3f> . Acesso em: 31 out. 2018.
KHANACADEMY. Derivação de equações paramétricas. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-
derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation <https://pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation> . Acesso em: 31 out.
2018.
LEMKE, Raiane. Equações paramétrica para as quádricas. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy
<https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy> . Acesso em: 31 out. 2018.