A partícula em uma caixa PESQUISA

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA
QUÍMICA QUÂNTICA
PROFESSOR: SÉRGIO LAZARO
PARTICULA NA CAIXA
ALUNA: Luciana Moreira
PONTA GROSSA, 08 DE NOVENBRO DE 2017
A partícula em uma caixa
 As funções de onda estacionárias e os níveis de energia de um sistema de uma partícula em uma dimensão são obtidas resolvendo a equação de Schrödinger independentemente do tempo. A resolução analítica exata da equação de Schrõdinger só é possível para sistemas materiais tão simples como o átomo de hidrogénio ou iões hidrogenóides. A obtenção de Para regiões de V(x) = 0: energias e funções de estado de sistemas atómicos e moleculares mais complexos terá de ser feita por intermédio de métodos numéricos de aproximação, como o perturbacional e o variacional, que conduzem a soluções não exatas.
 Existem, Existem, no entanto, certos modelos que permitem a resolução analítica da equação de Schrõdinger e que se revelam bastante úteis na compreensão de certos fenómenos de natureza química. Um desses modelos é o da partícula numa caixa ou poço de potencial.
Partícula na caixa unidimensional
O problema da partícula na caixa unidimensional é um dos modelos mais simples possíveis na mecânica quântica, consistindo na descrição de uma partícula de massa m confinada a uma região do espaço entre x=0 e x=L na qual o potencial V(x) é constante (por conveniência, atribui-se o valor zero para o potencial no interior da caixa, mas qualquer potencial constante forneceria as mesmas funções de onda para os estados estacionários e os níveis de energia seriam apenas deslocados todos por um valor constante). 
Para x < 0 e x > L, o potencial é infinito, de modo que a partícula tenha probabilidade nula de ser encontrada fora da caixa, ou seja, ψ(x<0) =0 e ψ(x>L) = 0.
No interior da caixa, a função de onda é obtida resolvendo a equação de Schrödinger com V(x) = 0:
ou
Tanto as funções sen(ax) quanto cos(bx) são soluções matematicamente aceitáveis, visto que ao serem derivadas duas vezes retornam a própria função multiplicada por uma constante. Desse modo, uma combinação linear das duas fornece uma solução geral para a equação diferencial:
Como a função de onda deve ser contínua e essa vale zero fora da caixa, deve-se ter, em x=0 e x=L a função de onda igual a zero. Como sen(0) = 0 e cos(0) = 1, para que ψ(0) = 0 deve-se ter B = 0, logo:
Para que ψ(L) = 0, não podemos fazer A=0 pois isso faria com que a função de onda se anulasse completamente, deve-se então definir um valor de a tal que:
Onde n pode ser qualquer número inteiro. Assim,
Onde n = 1, 2, 3… é um número quântico. A constante A é determinada pela condição de normalização da função de onda:
A integral acima apresenta solução analítica dada por:
De modo que:
E as funções de onda para os estados estacionários da partícula na caixa são:
As funções de onda para os 4 primeiros estados da partícula na caixa unidimensional estão representadas na Figura 1. Repare que essas soluções são totalmente análogas ao problema clássico de ondas estacionárias em um tubo fechado ou em uma corda com extremidades fixas e que para cada estado n existem n-1 nós (pontos onde ψ = 0) no interior da caixa.
Figura 1 – Funções de onda dos 4 primeiros estados da partícula na caixa com m = 9,109.10⁻³¹ kg (massa do elétron) e L = 1 nm.
Substituindo as funções de onda encontradas na Equação de Schrödinger são obtidos os níveis de energia correspondentes aos estados estacionários da partícula na caixa:
Onde
É a constante de Planck
 Problema da partícula na caixa com barreira de potencial e método variacional
Considere agora que a partícula ainda está confinada dentro da caixa, com potencial infinito para x<0 e x>L, porém agora com o potencial no interior da caixa não sendo constante, existindo uma região entre x1 e x2 (com 0 ≤ x1 < x2 ≤ L) onde V(x) = B enquanto V(x) = 0 no restante da caixa. Se B for positivo, tal situação corresponde a uma barreira de potencial no interior da caixa, e se B for negativo corresponde a um poço de potencial, o procedimento numérico que será usado para resolver o problema é igualmente válido nas duas situações, mas focaremos nos exemplos no caso em que temos uma barreira de potencial. Tal potencial é ilustrado na Figura 2.
Figura 2 – Representação do potencial para uma partícula na caixa com uma barreira entre x1 e x2.
Ao invés de tentar uma solução analítica para tal problema, usaremos um procedimento numérico para isso para ilustrar por meio de um problema relativamente simples como métodos variacionais usando expansões da função de onda em termos de funções de bases são usados para resolver problemas mais sofisticados em química quântica.
O método variacional parte do princípio de que, para um problema qualquer descrito por um Hamiltoniano Ĥ, qualquer função tentativa Ф que seja função das mesmas variáveis que descrevem a função de onda real e que tenha todas as propriedades exigidas para uma função de onda coerente (ser contínua, quadraticamente integrável e apresentar derivadas contínuas onde a função potencial também for contínua), então a energia W obtida ao tomar o valor médio do operador Hamiltoniano real empregando a função tentativa Ф deve ser necessariamente maior ou igual a energia real do estado fundamental do sistema, E1 que seria obtida caso Ф fosse a função de onda correta para o estado fundamental, ψ1:
Onde dτ indica que a integração é feita sobre todas as coordenadas do sistema enquanto Ф* e ψ1* indicam os complexos conjugados das funções tentativa e da função de onda real do sistema. As integrais nos denominadores são iguais a 1 caso ambas as funções estejam normalizadas. Nesse caso, e supondo que as funções não contenham termos imaginários, de modo que Ф* = Ф e ψ1* = ψ1, como será o caso das funções que trabalharemos aqui, essa equação se simplifica para:
Se incluirmos algum parâmetro ajustável à função Ф podemos ajustá-lo de modo a minimizar o valor da integral ∫ФĤФ dτ, reduzindo assim o valor da energia obtida, a energia estará então mais próxima da energia real do estado fundamental e a função de onda Ф tenderá a se aproximar da função de onda real.
Um método conveniente para introduzir funções de onda tentativa com parâmetros ajustáveis consiste em expandi-las em funções de base conhecidas f, sendo que os coeficientes ci na expansão são ajustados de modo a minimizar W:
Onde q corresponde a todas as coordenadas espaciais do problema. Em princípio, o somatório deveria incluir um número infinito de funções de base, nesse caso espera-se que a função tentativa Ф se iguale a função de onda verdadeira, entretanto, numericamente é impossível trabalhar com somatórios infinitos, sendo esse truncado em algum ponto. De modo geral, quanto maior o conjunto de funções de base, melhor tende a ser o resultado, como em qualquer situação que envolva a expansão em séries de uma função matemática, mas maior o tempo gasto para solucionar o problema.
As funções de base f i poderiam em princípio ser qualquer função matemática que cumpra os requisitos para uma função de onda fisicamente aceitável, não precisam ser soluções de nenhum problema específico, entretanto, é conveniente trabalhar com funções de base que sejam soluções de algum problema correlacionado ou então que sejam semelhantes às soluções desses problema. No caso do tratamento de átomos polieletrônicos e moléculas, os orbitais atômicos ou orbitais moleculares podem ser expandidos em termos dos orbitais atômicos obtidos como soluções exatas para os átomos hidrogenoides, entretanto, por conveniência matemática, são empregadas funções que se assemelham as soluções do átomo de hidrogênio, como somas de funções gaussianas. Nesse caso, é conveniente usar como funções de base as soluções analíticas da partícula na caixa unidimensional, desse modo:
Cada coeficiente ci é interpretado como a contribuiçãoda função de onda estado i do problema simples (partícula na caixa sem a barreira de potencial) para a função de onda do problema a ser resolvido (partícula na caixa com barreira de potencial). Note que alteramos a notação para os estados da partícula na caixa de n para i pois usaremos aqui n para nos referirmos aos estados quânticos da partícula na caixa com a barreira de potencial.
REFERÊNCIAS 
https://kalilbn.wordpress.com/metodo-variacional-e-particula-na-caixa-com-barreira-de-potencial/
http://www.lpeqi.quimica.ufg.br/up/426/o/Cap%C3%ADtulo_2-_A_part%C3%ADcula_em_uma_caixa.pdf?1365793126
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/carlad/materiais/06_Part__culaNaCaixa.pdf