APOSTILA FENÔMENOS DE TRANSPORTES 2017-1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
CCE0187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil 
2017/1 
 
Prof. Paulo Cesar Martins Penteado 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 2 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
CCE0187 
Aula 1 
 
Mensagem aos acadêmicos 
Este texto, uma seleção de tópicos e exercícios de diferentes fontes, tem por objetivo 
oferecer aos acadêmicos um breve resumo dos conceitos, leis e princípios a serem 
desenvolvidos durante o curso de Fenômenos de Transporte. Longe de pretender ser 
original, tem por objetivo apenas facilitar o estudo do acadêmico. É também importante 
destacar que o acadêmico deve ter sempre em mente que a consulta aos originais citados 
nas Referências Bibliográficas (abaixo), além de outros, é imprescindível para a evolução 
de seus estudos. 
 
Bibliografia Básica: 
 Hallyday, R.. Fundamentos de Física vol 2 . 8 ed. São Paulo: LTC, 2009. 
 Çengel, Y. A. et al. Mecânica dos fluidos: Fundamentos e Aplicações 1 ed.- AMGH, 
2008. 
 Assy, T. M.- Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações 1 ed.- Rio de 
Janeiro: LTC, 2004. 
 
Bibliografia Complementar: 
 Munson, B. R. et al- Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos 1 ed. - Rio de 
Janeiro: LTC, 2005. 
 McDonald, A.T.- Introdução à Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e 
Aplicações 6 ed. - Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 Cutnell, J. D.- Física vol. 1: Fundamentos e Aplicações 6 ed. - Rio de Janeiro: LTC, 
2006. 
 Tipler, P. A.- Física para cientistas e Engenheiros vol. 1 6 ed. - Rio de Janeiro: 
LTC, 2009. 
 Serway, R. A.- Princípios de Física vol. 2 1 ed.- Rio de Janeiro: Cangage Learning, 
2004. 
 
Ementa da disciplina: 
Fundamentos de Hidrostática (5 aulas) 
 Propriedades dos fluidos 
 Densidade e pressão 
 Pressão hidrostática 
 Teorema de Stevin 
 Princípio de Pascal 
 Princípio de Arquimedes 
Fundamentos de Hidrodinâmica (6 aulas) 
 Definição de Hidrodinâmica 
 Linhas de corrente 
 Equação de continuidade (Euler) 
 Tipos de escoamento e suas classificações segundo o critério de Reynolds 
 Equação de Bernoulli 
 Tensões e cargas em fluidos 
Processos de Propagação e Transmissão de Calor (4 aulas) 
 Definição de calor e seus modos de propagação 
 Propagação do calor por condução 
 Propagação do calor por convecção 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 3 
 
 Propagação do calor por irradiação 
Transmissão de massa (1 aula) 
 Primeira Lei de Fick da difusividade 
 
Horário das aulas: Aulas às sextas-feiras, das 20:50 às 22:30 
 
Data das avaliações presenciais: 
 
AV1 em 28/ABR AV2 em 09/JUN AV3 em 23/JUN 
 
Cronograma das aulas presenciais: 
 
Semana Data Atividade 
01 10/FEV Aula 1 INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
02 17/FEV Aula 2 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES 
03 24/FEV Aula 3 FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN 
04 03/MAR Aula 4 PRINCÍPIO DE PASCAL 
05 10/MAR Aula 5 TEOREMA DE ARQUIMEDES 
06 17/MAR Aula 6 HIDRODINÂMICA - REGIMES DE ESCOAMENTO 
07 24/MAR Aula 7 ANÁLISE DE VAZÕES E PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
08 31/MAR Aula 8 TEOREMA DE BERNOULLI E APLICAÇÕES 
09 07/ABR Aula 9 EQUAÇÃO DA ENERGIA E MÁQUINAS HIDRÁULICAS 
10 14/ABR FERIADO – SEXTA-FEIRA SANTA 
11 21/ABR FERIADO – TIRADENTES 
12 28/ABR AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1 
13 05/MAI Aula 10 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO I 
14 12/MAI Aula 11 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO II 
15 19/MAI Aula 12 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO III 
16 26/MAI Aula 13 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO I 
17 02/JUN Aula 14 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO II 
18 09/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2 
19 16/JUN Aula 15 TRANSMISSÃO DE CALOR: RADIAÇÃO 
20 23/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3 
21 30/JUN Aula 16 PRIMEIRA LEI DE FICK 
 
Conteúdo das aulas 
 
Aula 1 - INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
Introdução à disciplina e suas principais aplicações cotidianas e industriais; 
Apresentação dos tópicos de aula gerais; 
Critério de avaliação e condições para aprovação na disciplina; 
 
Aula 2 - PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES 
Definição de fluido; 
Apresentação das principais propriedades de um fluído (densidade, tensão superficial, 
capilaridade, viscosidade, etc.); 
Apresentação de métodos de conversão das principais unidades utilizadas ao longo do 
curso (comprimento, área, volume, massa, energia, pressão, etc.). 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 4 
 
Aula 3 - FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN 
Introdução à Hidrostática: principais conceitos e aplicações; 
Conceito de densidade de uma substância e densidade de misturas; 
Conceito de pressão normal, pressão hidrostática e pressão efetiva; 
Apresentação do teorema de Stevin e suas principais aplicações. 
 
Aula 4 - HIDROSTÁTICA- PRINCÍPIO DE PASCAL E SUAS PRINCIPAIS APLICACÕES 
O Princípio de Pascal e seu equacionamento; 
Principais aplicações do Princípio de Pascal. 
 
Aula 5 - HIDROSTÁTICA- TEOREMA DE ARQUIMEDES E SUAS PRINCIPAIS 
APLICACÕES 
Definição de Empuxo; 
Apresentação do teorema de Arquimedes; 
Conceito de peso aparente e peso real; 
Aplicações do teorema de Arquimedes. 
 
Aula 6 - INTRODUÇÃO À HIDRODINÂMICA E A REGIMES DE ESCOAMENTO 
Introdução à Hidrodinâmica e seus principais fundamentos e aplicações; 
Conceito de linhas de corrente e escoamento de fluidos; 
Apresentação dos principais tipos de escoamento existentes e suas características. 
 
Aula 7 - ANÁLISE DE VAZÕES 
Conceito de vazão; 
Apresentação das principais unidades de vazão e suas conversões; 
Cálculo de vazões em condutos abertos e forçados. 
 
Aula 8 - CÁLCULO DE VAZÕES E APLICACÕES DO PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
Conceito de vazão e metodologia de cálculo; 
Apresentação da Equação de Euler da continuidade e suas principais aplicações. 
 
Aula 9 - EQUACÃO DE BERNOULLI E SUAS APLICAÇÕES 
Conceito de perda de carga; 
Apresentação da equação de Bernoulli; 
Aplicações da equação de Bernoulli. 
 
Aula 10 - ESTUDO DE CASOS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Apresentação dos casos especiais da Equação de Bernoulli; 
Buracos em tanques de água; 
Medidores de Venturi 
Tubo de Pitot; 
Dimensionamento de asas de aviões. 
 
Aula 11 - ESTUDO DOS ESCOAMENTOS E CLASSIFICAÇÕES SEGUNDO O 
CRITÉRIO DE REYNOLDS 
Definição do número de Reynolds e sua importância na análise dos escoamentos; 
Classificação dos regimes de escoamento segundo o critério de Reynolds. 
Conceito e cálculo de perdas de carga. 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 5 
 
Aula 12 - TRANSMISSÃO DE CALOR (CONDUÇÃO I) 
Processos de transmissão de calor; 
A transmissão de calor por condução; 
Lei de Fourier em regime estacionário unidimensional; 
Condução em parede plana; 
Analogia com circuito elétrico e resistência térmica; 
Condução em paredes planas compostas. 
 
Aula 13 - TRANSMISSÃO DE CALOR (CONDUÇÃO II) 
Condução em parede cilíndrica e em parede esférica; 
Condução em paredes cilíndricas e esféricas compostas. 
 
Aula 14 - TRANSMISSÃO DE CALOR (CONVECÇÃO) 
Conceito de convecção térmica; 
Modelo de visualização da convecção térmica num líquido em aquecimento; 
Fenômenos climáticos relacionados ao processo de convecção térmica. 
 
Aula 15 - TRANSMISSÃO DE CALOR (RADIAÇÃO) 
Conceito de radiação térmica; 
Apresentação da Lei de Stefan- Boltzmann para cálculo de poder emissivo e suas 
principais aplicações. 
 
Aula 16 – LEI DE FICK 
Primeira Lei de Fick da difusividade 
Analogia com a lei de Fourier 
Analogia com a lei de resfriamento de Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 6 
 
Aula 2 
 
Introdução 
A Mecânica dos Fluidos é a parte da Mecânica Aplicada que se dedica à análise do 
comportamento doslíquidos e gases, tanto em equilíbrio como em movimento. 
Obviamente, o campo de estudo da mecânica dos fluidos abrange um vasto conjunto de 
problemas. Por exemplo, estes podem variar do estudo do escoamento de sangue nos 
capilares (que apresentam diâmetro da ordem de poucos mícrons) até o escoamento de 
petróleo através de um oleoduto (alguns com diâmetro igual a 1,2 m e comprimento de 
mais de 1000 km). Os princípios da mecânica dos fluidos são necessários para explicar 
porque o voo dos aviões com formato aerodinâmico e com superfícies lisas é mais 
eficiente e também porque a superfície das bolas de golfe deve ser rugosa. Muitas 
questões interessantes podem ser respondidas se utilizarmos modelos simples da 
mecânica dos fluidos. Por exemplo: 
 Como um foguete gera empuxo no espaço exterior (na ausência de ar para empurrá-lo)? 
 Por que você não escuta o ruído de um avião supersônico até que ele passe por cima 
de você? 
 Por que um rio escoa com uma velocidade significativa apesar do declive da superfície 
ser pequeno (o desnível não é detectado com um nível comum)? 
 Como as informações obtidas num modelo de avião podem ser utilizadas no projeto de 
um avião real? 
 Por que a superfície externa do escoamento de água numa torneira às vezes parece ser 
lisa e em outras vezes parece ser rugosa? 
 Qual é a economia de combustível que pode ser obtida melhorando-se o projeto 
aerodinâmico dos automóveis e caminhões? 
A lista das possíveis aplicações práticas, e também das perguntas envolvidas, é 
infindável. Mas, todas elas têm um ponto em comum – a mecânica dos fluidos. É muito 
provável que, durante a sua carreira de engenheiro, você utilizará vários conceitos da 
mecânica dos fluidos na análise e no projeto dos mais diversos equipamentos e sistemas. 
Assim, torna-se muito importante que você tenha um bom conhecimento desta disciplina. 
Nós esperamos que este texto lhe proporcione uma base dos aspectos fundamentais da 
mecânica dos fluidos. 
 
Algumas características dos fluidos 
Uma das primeiras questões que temos de explorar é ‒ o que é um fluido? Outra pergunta 
pertinente é ‒ quais são as diferenças entre um sólido e um fluido? Todas as pessoas, no 
mínimo, tem uma vaga ideia destas diferenças. Um sólido é “duro” e não é fácil deformá-
lo enquanto um fluido é “mole” e é muito fácil deformá-lo. Estas observações sobre as 
diferenças entre sólidos e fluidos, apesar de serem um tanto descritivas, não são 
satisfatórias do ponto de vista científico ou da engenharia. 
As análises da estrutura molecular dos materiais revelam que as moléculas de um 
material dito sólido (aço, concreto, etc.) são pouco espaçadas e estão sujeitas a forças 
intermoleculares intensas e coesivas. Esta configuração permite ao sólido manter sua 
forma e lhe confere a propriedade de não ser deformado facilmente. Entretanto, num 
material dito líquido (água, óleo, etc.), o espaçamento entre as moléculas é maior e as 
forças intermoleculares são fracas (em relação àquelas dos sólidos). Por estes motivos, 
as moléculas de um líquido apresentam maior liberdade de movimento e, assim, os 
líquidos podem ser facilmente deformados (mas não comprimidos), ser vertidos em 
reservatórios ou forçados a escoar em tubulações. Os gases (ar, oxigênio, etc.) 
apresentam espaços intermoleculares ainda maiores e as forças intermoleculares são 
desprezíveis (a liberdade de movimento das moléculas é ainda maior do que àquela dos 
líquidos). As consequências destas características são: os gases podem ser facilmente 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 7 
 
deformados (e comprimidos) e sempre ocuparão totalmente o volume de qualquer 
reservatório que os armazene. 
Apesar da estrutura molecular dos fluidos ser importante para distinguir um fluido de 
outro, não é possível descrever o comportamento dos fluidos, em equilíbrio ou em 
movimento, a partir da dinâmica individual de suas moléculas. Mais precisamente, nós 
caracterizaremos o comportamento dos fluidos considerando os valores médios, ou 
macroscópicos, das quantidades de interesse. Note que esta média deve ser avaliada em 
um volume pequeno, mas que ainda contém um número muito grande de moléculas. 
Assim, quando afirmamos que a velocidade num ponto do escoamento tem certo valor, na 
verdade, nós estamos indicando a velocidade média das moléculas que ocupam um 
pequeno volume que envolve o ponto. Este volume deve ser pequeno em relação às 
dimensões físicas do sistema que estamos analisando, mas deve ser grande quando 
comparado com a distância média intermolecular. 
Resumindo, fluidos são substâncias sem forma própria, isto é, adaptam-se à forma do 
recipiente que os contém. Ao ser confinado, o fluido reage aos esforços que as paredes 
do recipiente exercem sobre ele, obrigando-o a assumir a mesma forma delas; essa 
reação sobre as paredes do recipiente se traduz pela pressão exercida pelo fluido, 
grandeza que será estudada neste curso. 
 
Dimensões, Homogeneidade Dimensional e Unidades 
O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de grandezas. Assim, torna-se 
necessário desenvolver um sistema para descrevê-las de modo qualitativo e quantitativo. 
O aspecto qualitativo serve para identificar a natureza, ou tipo, da grandeza (como 
comprimento, tempo, massa, velocidade) enquanto o aspecto quantitativo fornece uma 
medida numérica para a grandeza. A descrição quantitativa requer tanto um número 
quanto um padrão para que as várias quantidades possam ser comparadas. O conjunto 
de padrões é denominado sistema de unidades. 
A descrição qualitativa é convenientemente realizada quando utilizamos certas 
quantidades (como o comprimento L, a massa M, o tempo T e a temperatura ) ditas 
grandezas fundamentais. 
Estas grandezas fundamentais podem ser combinadas e utilizadas para descrever, 
qualitativamente, outras quantidades ditas grandezas derivadas, por exemplo: [área] = 
L2; [velocidade] = LT‒1; [massa específica] = ML‒3. Os coclchetes [ ] são utilizados para 
indicar a dimensão da grandeza derivada em função das dimensões das grandezas 
fundamentais. 
É importante ressaltar que são necessárias apenas três grandezas fundamentais (M, L e 
T) para descrevr um grande número de grandezas derivadas da mecânica dos fluidos. 
Nós também podemos utilizar um sistema com grandezas fundamentais composto por L, 
T e F, em que F é a dimensão da força. Isto é possível porque a 2ª lei de Newton 
estabelece que a força é igual ao produto da massa pela aceleração. 
Assim, podemos descrever qualitativamente uma força como: [força] = MLT‒2 = F 
A descrição qualitativa de uma grandeza derivada é denominada equação dimensional 
da respectiva grandeza. 
Neste curso de Fenômenos de Transporte usaremos, principalmente, o Sistema 
Internacional de Unidades (SI), adotado oficialmente no Brasil. 
O SI, adota 7 grandezas fundamentais e 2 grandezas suplementares de caráter 
geométrico. O esquema a seguir mostra essas grandezas. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 8 
 
 
 
Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de 
prefixos representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos 
principais prefixos de acordo com regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, 
Qualidade e Tecnologia (Inmetro). 
 
Submúltiplo Múltiplo 
Prefixo Fator Símbolo Prefixo Fator Símbolo 
mili 10−3 m kilo 103 k 
micro 10−6 µ mega 106 M 
nano 10−9 n giga 109 G 
pico 10−12 p tera 1012 T 
 
Neste ponto, é importante destacar que, ao longo de nosso estudo, faremos uso de um 
grande número de grandezas físicas e muitas delas serão simbolizadas por letras 
minúsculas ou maiúsculas do alfabeto grego. 
 
ALFABETO GREGO 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 9 
 
Principais propriedades dos fluidos 
 Densidade 
A densidade ρ de um fluido, por definição, é dadapela relação entre sua massa m e o 
correspondente voluma V ocupado pelo fluido. Assim: 
V
m

 
No SI, a unidade de medida da densidade é o kg/m3. 
Para a água, a 4 °C e sob pressão de 1 atm: 
3
água kg/m1000
 
 
Quando a densidade se refere a um corpo homogêneo, líquido, gasoso ou sólido, usa-se 
também o termo massa específica, em vez de densidade. 
 
 Densidade relativa 
A densidade relativa (SG specific gravity) de um dado material é a grandeza adimensional 
dada pela relação entre a massa específica do material e a massa específica da água. 
Então: 
C4aágua 



SG
 
É importante destacar que o valor da densidade relativa não depende do sistema de 
unidades utilizado. 
 
 Peso específico 
O peso específico, representado pela letra grega  é, por definição, a relação entre o 
peso do corpo e seu volume. Temos, então: 


 g
V
m
V
gm  g 
 
No SI, o peso específico é medido em N/m3. 
 
 Tensão superficial 
A tensão superficial é um efeito físico que faz com que a camada superficial de um 
líquido venha a se comportar como uma membrana elástica. Este efeito é causado pelas 
forças de coesão entre moléculas semelhantes, cuja resultante vetorial é diferente na 
superfície. Enquanto as moléculas situadas no interior de um líquido são atraídas em 
todas as direções pelas moléculas vizinhas, as moléculas da superfície do líquido sofrem 
apenas atrações laterais e internas. Este desbalanço de forças de atração que faz a 
interface se comportar como uma película elástica como um látex. 
Devido à tensão superficial, alguns objetos 
mais densos que o líquido podem flutuar na 
superfície, caso estes se mantenham secos 
sobre a interface. Este efeito permite, por 
exemplo, que alguns insetos caminhem 
sobre a superfície da água, como mostrado 
na foto ao lado. 
 
 Capilaridade 
A tensão superficial também é responsável pelo efeito de capilaridade. 
A capilaridade é a propriedade física que permite aos fluidos subirem ou descerem em 
tubos extremamente finos. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 10 
 
Quando um líquido entra em contacto com uma superfície sólida, o líquido fica sujeito a 
dois tipos de forças que atuam em sentidos contrários: a força de adesão e a força de 
coesão. 
A força de adesão é a atração entre moléculas 
diferentes, ou seja, a afinidade das moléculas do 
líquido com as moléculas da superfície sólida. Atua 
no sentido de o líquido molhar o sólido. A força de 
coesão é a atração intermolecular entre moléculas 
semelhantes, ou seja, a afinidade entre as moléculas 
do líquido. Atua no sentido de manter o líquido em 
sua forma original. 
Se a força de adesão for superior à de coesão, o 
líquido vai interagir favoravelmente com o sólido, 
molhando-o, e formando um menisco. Se a 
superfície sólida for um tubo de raio pequeno, como 
um capilar de vidro, a afinidade com o sólido é tão 
grande que líquido sobe pelo capilar. No caso do 
mercúrio, acontece o contrário, pois este não tem 
afinidade com o vidro (a força de coesão é maior). 
 
 Viscosidade 
A viscosidade é uma medida da resistência interna de um fluido (gás ou líquido) ao fluxo, 
ou seja, é a resistência oferecida pelo líquido quando uma camada se move em relação a 
uma camada vizinha. Quanto maior a viscosidade, maior é a resistência ao movimento e 
menor é sua capacidade de escoar (fluir). Assim, um líquido como o mel, que resiste 
grandemente ao movimento, possui elevada viscosidade, ao contrário da água, na qual a 
viscosidade é muito menor, o que torna menor a sua resistência ao movimento. Em outras 
palavras, a viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o valor de sua 
resistência ao cisalhamento. É a propriedade principal de um lubrificante, pois está 
diretamente relacionada com a capacidade de suportar cargas. 
Para definir quantitativamente a visco-
sidade, vamos considerar um líquido 
preenchendo o espaço entre duas placas 
planas paralelas de área A cada uma e 
separadas por uma distância h. Supondo a 
placa inferior fixa, então é necessária uma 
força F para mover a placa superior, 
paralelamente à inferior, com velocidade U. 
Sob certas condições, pode-se obter uma 
distribuição linear de velocidades u dos 
pontos do líquido, como mostrado na figura 
ao lado. 
 
Neste caso, a força por unidade de área necessária para mover a placa, isto é, a tensão 
de cisalhamento  (medida em N/m2 = Pa) é diretamente proporcional a U e inversamente 
proporcional a h. 
Usando uma constante de proporcionalidade μ, isto pode ser escrito como: 
 
h
U
A
F
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 11 
 
A constante de proporcionalidade μ é denominada viscosidade absoluta (ou 
viscosidade dinâmica). 
A dimensão da viscosidade absoluta é [M·L-1·T-1] e, no SI, a unidade de medida da 
viscosidade é o kg/(m·s) = Pa·s. 
Também se usa o conceito de viscosidade cinemática, 𝝂, que é a razão entre a 
viscosidade absoluta e a densidade: 


 
. 
A dimensão da viscosidade cinemática é [L2/T]. No SI, a unidade de viscosidade 
cinemática é, portanto, m2/s. 
 
Exercícios 
 
1. Determine a equação dimensional das grandezas físicas relacionadas abaixo e a 
correspondente unidade de medida no SI. 
a) Área 
b) Volume 
c) Velocidade 
d) Aceleração 
e) Vazão (em volume) 
f) Vazão (em massa) 
g) Força 
h) Massa específica 
i) Peso específico 
j) Pressão 
k) Energia 
l) Potência 
 
2. Se p é uma pressão, V uma velocidade e ρ a massa específica de um fluido, quais 
serão, no sistema MLT, as dimensões de: 
a) p/ρ 
b) p·V·ρ 
c) p/(ρ·V2) 
 
3. A equação usualmente utilizada para determinar a vazão em volume, Q, do 
escoamento líquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é 
hgAQ  20,61
 
em que A é a área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da superfície 
livre do líquido em relação ao orifício. Verifique a homogeneidade desta equação. 
 
4. Uma joia feita com platina pura (ρ = 21,5 g/cm3) tem 50 g de massa. 
a) Determine o volume dessa joia. 
b) Se uma joia idêntica fosse feita de prata (ρ = 10,5 g/cm3), qual seria sua massa? 
 
5. Dois cilindros são aparentemente iguais, com 10 cm2 de área na base e 5,0 cm de 
altura. Entretanto, enquanto um deles é de ouro maciço (ρ = 19,3 g/cm3), o outro tem o 
interior vazio, tendo apenas as paredes de ouro, correspondendo a 10% de seu volume 
total. 
a) Compare percentualmente as massas dos dois cilindros. 
b) Calcule a densidade do segundo cilindro. 
 
6. a) Misturam-se 400 mL de um líquido A, de massa específica 1,50 g/cm3, com 300 mL 
de outro líquido B, de massa específica 0,80 g/cm3. Determine a densidade (média) da 
mistura assim obtida. 
b) Qual deve ser o volume de líquido B a ser misturado com 400 mL do líquido A, para 
que a mistura tenha densidade igual a 1,00 g/cm3? 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 12 
 
Aula 3 
 
Pressão 
 
Segure entre as mãos uma caneta esferográfica, das 
que têm a tampa mais afunilada, devidamente 
tampada, como mostra a figura ao lado. A seguir, 
aperte-a levemente entre as mãos. Não use muita 
força. Ao apertar a caneta, você perceberá que a 
extremidade mais afunilada deforma mais a palma da 
mão com a qual está em contato. 
A força que a caneta exerce em cada uma das palmas 
das mãos é a mesma. Entretanto, na extremidade 
afunilada essa força se distribui por uma superfície de 
área menor. Dizemos, então, que aí a pressão é maior 
que na outra extremidade. 
 
Podemos definir pressão (p) como a razão entre a intensidade de um diferencial de força 
dF que age perpendicularmente sobre uma superfície e um infinitésimo de área dA dessa 
superfície na qual a força se distribui: 
A
F
p
d
d

 
 
Sendo dada pela relação entre a intensidadede uma força, cuja unidade no SI é o newton 
(N), e a área de uma superfície, cuja unidade no SI é o metro quadrado (m2), a pressão 
tem como unidade o newton por metro quadrado (N/m2), unidade que recebe o nome de 
pascal (Pa), em homenagem ao matemático, físico e filósofo francês Blaise Pascal (1623-
1662). 
Portanto: 
Pa1
m
N
1
2

. 
É importante ressaltar que a pressão sempre atua perpendicularmente às superfícies. 
 
Relação de Stevin 
 
Sabemos intuitivamente que a pressão no interior de um líquido aumenta com a 
profundidade. Isto pode ser imediatamente percebido por aqueles que praticam mergulho. 
A lei fundamental da fluidostática foi elaborada pelo matemático, físico e engenheiro 
flamengo Simon Stevin (1548-1620). Esta lei permite calcular a diferença de pressão 
entre dois pontos de um fluido em equilíbrio. 
Para demonstrar esta lei, consideremos um líquido, de densidade ρ, em equilíbrio em um 
recipiente e, no interior do líquido, um cilindro desse mesmo líquido com altura h e área 
da base A, como mostra a figura a seguir. Seja um ponto 1 na base superior e um ponto 2 
na base inferior. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 13 
 
Devido à pressão exercida pelo líquido, as paredes 
do cilindro estarão submetidas a forças 
perpendiculares às superfícies. 
Na base superior do cilindro atua uma força Fsup = 
p1·A, vertical para baixo, e em sua base inferior a 
força Finf = p2·A, vertical para cima. 
Observe que na superfície lateral do cilindro as 
forças de pressão se anulam, pois atuam 
diametralmente em sentidos opostos. 
O peso P do cilindro de líquido é dado por: 
ghAPgVPgmP   
Para o equilíbrio do cilindro devemos ter: 
0 yF
 
Então: 
 ghAApApPFF 12supinf hhgpp  12 
Esta relação que fornece a diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em 
equilíbrio é conhecida como relação de Stevin. 
 
Observações 
 
 Pontos situados em um mesmo líquido e em um mesmo nível (mesma horizontal) 
estarão submetidos a uma mesma pressão. 
 
 A diferença de pressão entre dois pontos no interior do líquido depende apenas da 
natureza do líquido (de sua densidade ρ ou de seu peso específico  = ρ·g) e do desnível 
(h) entre os pontos. Essa diferença de pressão, devida apenas à coluna de líquido entre 
os pontos é denominada pressão hidrostática ou pressão relativa. 
 
 Para a pressão hidrostática p = ρ·g·h = ·h. A grandeza 

p
h 
 costuma ser chamada de 
carga de pressão. 
 
 Se tivéssemos considerado a base superior do cilindro coincidente com a superfície do 
líquido, então a pressão nesta base seria igual à pressão exercida pelo fluido em contato 
com ela. Se o fluido for o ar atmosférico, então esta pressão seria a pressão atmosférica, 
patm, e a pressão em um ponto à profundidade h seria: 
hgpp  atm
. 
 
 A soma da pressão atmosférica e da pressão relativa, ou seja, a pressão total é 
denominada pressão absoluta: 
relativaatmabs ppp 
. 
 
A experiência de Torricelli 
 
Quem, pela primeira vez, percebeu que o ar exercia pressão e propôs uma experiência 
para medir a pressão atmosférica foi o físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647). 
Torricelli encheu com mercúrio um tubo de vidro com cerca de 1 m de comprimento. 
Tampou com o dedo sua extremidade aberta e inverteu-o no interior de um recipiente 
contendo mercúrio. Verificou que, no local em que fez o experimento, a coluna de 
mercúrio desceu até se manter a 76 cm do nível de mercúrio no recipiente. Concluiu, daí, 
que a pressão exercida pelo ar, isto é, a pressão atmosférica no ponto A (pA), equivalia à 
pressão exercida no ponto B (pB) por uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 14 
 
 
Podemos usar a relação de Stevin para calcular o valor numérico da pressão atmosférica. 
Como os pontos A e B estão em um mesmo líquido e numa mesma horizontal, então, 
estão submetidos à mesma pressão. Mas, a pressão em A é a pressão atmosférica e a 
pressão em B é a pressão hidrostática da coluna de mercúrio, pois a pressão do vapor de 
mercúrio a baixa pressão é desprezível. Então: 
ghppp atmBA  Hg
 
Considerando ρHg = 13,6·10
3 kg/m3 e g = 9,8 m/s2, vem: 
Pa101,013259,80,761013,6 53  atmatm pp
 
 
Unidades práticas de pressão 
 
Existem algumas unidades práticas de pressão, derivadas da pressão hidrostática phidr 
exercida por colunas de líquido. As mais importantes derivam da clássica experiência de 
Torricelli. Conforme foi visto, uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura equilibra a 
pressão atmosférica patm ao nível do mar. Podemos dizer, então, que a pressão 
atmosférica ao nível do mar vale uma atmosfera (1 atm) ou 76 centímetros de mercúrio 
(76 cmHg) ou ainda 760 milímetros de mercúrio (760 mmHg). 
Essas unidades podem ser assim definidas: 
 atmosfera (atm): pressão que exerce na sua base uma coluna de mercúrio de 
76 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. 
 centímetro de mercúrio (cmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de 
mercúrio de 1 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. 
 milímetro de mercúrio (mmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de 
mercúrio de 1 mm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. Essa unidade é 
denominada torricelli (Torr) e vale 133,322 Pa. 
Usa-se também uma unidade de pressão denominada bar (símbolo bar) tal que: 
1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa 
No sistema britânico, a unidade de medida da pressão é o psi (pounds per square inch, ou 
libra-força/polegada2). Nesse sistema: 
1 atm ≈ 14,696 psi. 
Podemos ainda, de forma geral, medir pressões em quilograma-força por centímetro 
quadrado (kgf/cm2). Neste caso: 
1 atm = 1,033 kgf/cm² 
 
Força atuante em uma superfície plana submersa 
 
Nós sempre detectamos a presença de forças nas superfícies dos corpos que estão 
submersos nos fluidos. A determinação destas forças é importante no projeto de tanques 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 15 
 
para armazenamento de fluidos, navios, barragens e de outras estruturas hidráulicas. 
Também sabemos que o fluido, quando está em repouso, exerce uma fora perpendicular 
nas superfícies submersas, pois as tensões de cisalhamento não estão presentes, e que 
a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido se comportar como 
incompressível. 
Vamos apresentar agora o desenvolvimento de uma interpretação gráfica da força 
desenvolvida por um fluido numa superfície plana. 
Considere a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de um tanque com 
largura b e que contém um líquido de peso específico . Podemos representar a 
distribuição de pressão do modo mostrado na figura a seguir porque a pressão varia 
linearmente com a profundidade. 
 
Note que a pressão relativa é nula na superfície livre do líquido, igual a ·h na superfície 
inferior do líquido e que a pressão média ocorre num plano com profundidade h/2. Assim, 
a força resultante que atua na área retangular A = b·h é: 
b
h
Fhb
h
FApF RRmédR 
22
2. 
A distribuição de pressão da figura anterior é 
adequada para toda a superfíce vertical e, então, 
podemos representar tridimensionalmente a 
distribuição de pressão do modo mostrado na figura 
ao lado. A base deste “volume” no espaço pressão-
área é a superfície plana que estamos analisando e 
a altura em cada ponto é dada pela pressão. Este 
“volume” é denominado prisma das pressões e é 
claro que o módulo da força resultante que atua na 
superfície vertical é igual ao volume deste prisma: 
 
b
h
Fb
hh
FF RRR 


2
pressõesdasprismadovolume""
2N 
2
 
Observe que a linha de ação da força resultante precisa passar pelo centroide do prisma 
de pressões. O centroide do prisma mostrado acima está localizado no eixo verticalde 
simetria da superfície vertical e dista h/3 da base, pois o centroide de um triângulo está 
localizado a h/3 de sua base. 
O ponto de aplicação da força resultante é denominado centro de pressão (CP). 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 16 
 
A mesma abordagem gráfica pode ser 
utilizada nos casos em que a superfície 
plana está totalmente submersa, como 
mostrado na figura ao lado. 
Nestes casos, a seção transversal do prisma 
das pressões é um trapézio. Entretanto, o 
módulo da força resultante que atua sobre a 
superfície ainda é igual ao volume do prisma 
das pressões e sua linha de ação passa pelo 
centroide do volume. 
 
A figura ao lado mostra que o módulo da 
força resultante pode ser obtido 
decompondo o prisma das pressões em 
duas partes (ABDE e BCD). 
Deste modo: FR = F1 + F2 
E estas componentes podem ser 
determinadas facilmente. A localização da 
linha de ação de FR pode ser determinada a 
partir da soma de seus momentos em 
relação a algum eixo conveniente. 
Por exemplo, se considerarmos o eixo que 
passa pelo ponto A: FR· yA = F1 ·y1 + F2 · y2 
 
 
O prisma das pressões também pode ser 
desenvolvido para superfície planas 
inclinadas e, geralmente, a seção transversal 
do prisma será um trapézio, como mostrado 
na figura ao lado. Apesar de ser conveniente 
medir as distãncias ao longo da superfície 
inclinada, a pressão que atua na superfície é 
função da distância vertical entre o ponto 
que está sendo analisado e a superfície livre 
do líquido. 
A teoria desenvolvida até este ponto é muito útil quando a superfície plana submersa é 
retangular, pois o volume do prisma das pressões e a posição de seu centroide podem 
ser facilmente encontrados. Entretanto, quando o formato da superfície não é retangular, 
a determinação do volume e a localização do centroide podem ser realizadas por meio de 
integrações. 
 
Exercícios 
 
1. Para impedir que a pressão interna de 
uma panela de pressão ultrapasse certo 
valor, em sua tampa há um dispositivo 
formado por um pino acoplado a um tubo 
cilíndrico, como esquematizado na figura 
ao lado. 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 17 
 
Enquanto a força resultante sobre o pino for dirigida para baixo, a panela está 
perfeitamente vedada. Considere o diâmetro interno do tubo cilíndrico igual a 4 mm e a 
massa do pino igual a 48 g. Adotando g = 10 m/s2;  = 3 e 1 atm = 1·105 Pa, determine a 
pressão absoluta máxima no interior da panela, em atm, na situação em que apenas a 
força gravitacional, a pressão atmosférica e a exercida pelos gases na panela atuam no 
pino. 
 
2. O tubo em U da figura ao lado contém, no trecho 
destacado na ramificação da esquerda, uma coluna 
de óleo de 200 mm de altura e uma coluna de água 
de 120 mm. Determine a altura da coluna de água na 
ramificação direita do tubo. 
Dados: g = 9,8 m/s2; 
 ρágua = 1,0·10
3 kg/m3; 
 ρóleo = 8,0·10
2 kg/m3. 
 
3. A pressão em um reservatório de gás é 
medida por um tubo em U contendo mercúrio 
(Hg),manômetro de mercúrio. Considerando as 
medidas da figura ao lado e que a pressão 
atmosférica local é patm = 700 mmHg, determine 
a pressão do gás em: 
a) mmHg; 
b) Pa 
 
4. O tubo em U da figura ao lado contém água a uma 
distância de 12 cm de sua extremidade na parte superior. 
Colocando óleo na ramificação esquerda até seu limite 
máximo, determine a altura da coluna de óleo no final do 
preenchimento. 
Considere ρágua = 1,0·10
3 kg/m3 e ρóleo = 8,0·10
2 kg/m3. 
 
5. Um tubo em U está parcialmente cheio de água. 
Outro líquido que não se mistura com a água é 
colocado em um dos ramos do tubo até que sua 
superfície livre esteja a uma distância d acima do nível 
livre da água, no outro ramo, que, por sua vez, elevou-
se de uma altura L em relação ao seu nível primitivo, 
conforme a figura. Determine a densidade relativa do 
líquido em relação à água. 
 
6. Um tanque fechado, esboçado na figura ao 
lado, contém ar comprimido e um óleo que 
apresenta densidade 0,9 g/cm3. O fluido 
manométrico utilizado no manômetro em U, 
conectado ao tanque, é mercúrio (densidade 
igual a 13,6 g/cm3). 
Se h1 = 914 mm; h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, 
determine a leitura da pressão absoluta no 
manômetro localizado no topo do tanque. 
Adote: g = 9,81 m/s2. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 18 
 
7. A figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em 
volume em tubos, Q, assunto que estudaremos adiante. O bocal convergente cria uma 
queda de pressão pA ‒ pB no escoamento que está relacionada com a vazão em volume 
através da equção Q = K·( pA ‒ pB)
1/2, em que K é uma constante que é função das 
dimensões do bocal e do tubo. A queda de pressão normalmente é medida com um 
manômetro em U do tipo ilustrado na figura. 
 
a) Determine uma equação para pA ‒ pB em função do peso específico do fluido que 
escoa 1, do peso específico do fluido manométrico, 2, e das várias alturas indicadas na 
figura. 
b) Determine a queda de pressão se 1 = 9,80 kN/m
3; 2 = 15,6 kN/m
3; h1 = 1,0 m e 
h2 = 0,5 m. 
Sugestão: Tente relacionar pA e pB com as pressões nos pontos destacados (1), (2), (3), 
(4) e (5). 
 
8. No esquema representado ao lado, temos um 
reservatório fechado, cuja pressão é p0 = 100000 
N/m2. Sabendo que o fluido é água, com massa 
específica de 1000 kg/m3, e considerando g = 10 m/s2, 
determine: 
a) a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 que 
estão distantes verticalmente de 1 m; 
b) a pressão p1. 
 
9. No esquema representado ao lado, 
considere A1 = 0,1 m
2; A2 = 1 m
2; 
A3 = 0,5 m
2; A4 = 0,2 m
2; F1 = 100 N; 
patm = 0; p4 = 8000 N/m
2; ρágua = 1000 kg/m
3 
e g = 10 m/s2. Determine a altura h. 
 
 
10. A face vertical de uma barragem retém água à altura 
D, como mostra a figura ao lado. Seja W a largura da 
barragem. 
a) Determine a força resultante exercida pela água na 
barragem e o momento desta força em relação a O. 
b) Qual é a linha de ação desta força? 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 19 
 
11. A figura ao lado mostra o esboço de um tanque pressurizado 
que contém óleo (densidade 0,9 g/cm3). A plca de inspeção 
instalada no tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. 
Qual é o módulo, e a localização da linha de ação, da força 
resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topo do 
tanque é igual a 50 kPa? Admita que o tanque esteja exposto à 
pressão atmosférica e adote g = 9,81 m/s2. 
 
 
12. A figura ao lado mostra uma comporta rígida OAB, 
articulada em O, e que repousa sobre um suporte B. 
Qual é o módulo da mínima força horizontal P 
necessária para manter a comporta fechada? Admita 
que a largura da comporta é igual a 3 m e despreze 
tanto o peso da comporta quanto o atrito na articulação. 
Observe que a superfície externa da comporta está 
exposta à atmosfera. Considere: água = 10 kN/m
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 20 
 
Aula 4 
 
O princípio de Pascal 
 
O princípio de Pascal é uma lei física elaborada pelo físico, matemático, filósofo 
moralista e teólogo francês Blaise Pascal (1623-1662). 
Em Física, Pascal estudou a mecânica dos fluidos, e esclareceu os conceitos de pressão 
e vácuo, ampliando o trabalho de Evangelista Torricelli, além de aperfeiçoar seu 
barômetro. Um dos seus tratados sobre hidrostática, Traité de l'équilibre des liqueurs, só 
foi publicado um ano após sua morte (1663). Pascal também esclareceu os princípios 
barométricos da prensa hidráulica e da transmissibilidade de pressões. 
De acordo com o princípio de Pascal 
 
 
O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se 
integralmente a todos ospontos do líquido e às paredes do recipiente que o 
contém. 
 
 
Este princípio é a base para o funcionamento do freio hidráulico, do macaco hidráulico e 
da prensa hidráulica. 
 
Prensa hidráulica 
 
O dispositivo denominado prensa hidráulica tem seu funcionamento explicado pelo 
princípio de Pascal. Ele consta de dois recipientes com diâmetros diferentes ligados por 
sua parte inferior, formando assim um sistema de vasos comunicantes. Dentro dele é 
colocado um líquido e sobre as superfícies de cada lado são colocados êmbolos ou 
pistões. 
Sendo A1 a área do êmbolo menor e A2 a área 
do êmbolo maior, se aplicarmos uma força de 
intensidade F1 no primeiro êmbolo, o outro ficará 
sujeito a uma força de intensidade F2, como 
mostrado na figura ao lado. 
A variação de pressão Δp será a mesma nos 
dois lados, em vista do princípio de Pascal. 
Então: 
 
1
1
A
F
p 
 e 
2
2
A
F
p 
 
Igualando, vem: 
2
2
1
1
A
F
A
F

 
Dessa forma, na prensa hidráulica, a intensidade da força é diretamente proporcional à 
área do êmbolo. Por isso diz-se que a prensa hidráulica é um multiplicador de força, pois 
a intensidade da força transmitida ao segundo êmbolo será tantas vezes maior quantas 
vezes maior for a área deste. Essa propriedade é muito utilizada em postos de serviços 
automotivos, no elevador hidráulico, pois, exercendo-se uma força de pequena 
intensidade no êmbolo menor, consegue-se no outro êmbolo força de intensidade 
suficiente para levantar um automóvel. 
Observe, entretanto, que, ao deslocar o êmbolo menor para baixo, estaremos transferindo 
um determinado volume líquido para o cilindro maior e, consequentemente, o êmbolo 
maior terá que subir. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 21 
 
Os deslocamentos dos dois êmbolos da prensa hidráulica serão iguais? 
Vejamos. Da igualdade dos volumes transferidos, temos: 
 221121 hAhAVV
1
2
2
1
A
A
h
h

 
Dessa relação, concluímos que os deslocamentos dos êmbolos são inversamente 
proporcionais às suas áreas, ou seja, o êmbolo de maior área sofre um deslocamento 
menor. Por exemplo, se o êmbolo maior tiver uma área 100 vezes maior que a do êmbolo 
menor, seu deslocamento será 100 vezes menor. 
Podemos, portanto, concluir que a prensa hidráulica, apesar de ser uma multiplicadora de 
força, não multiplica trabalho. 
 
Exercícios 
 
1. Uma aplicação sempre citada do “Princípio de Pascal” é o elevador hidráulico (figura 
abaixo). 
 
Considerando que o carro do desenho tenha 1200 kg (correspondente a 1200 kgf) de 
massa e que a área sob o carro seja 15 vezes a área do êmbolo de acionamento do 
elevador, determine a força, em kgf, necessária para acionar o elevador. 
 
2. A figura abaixo mostra, de forma simplificada, o sistema de freios a disco de um 
automóvel. Ao se pressionar o pedal do freio, este empurra o êmbolo de um primeiro 
pistão que, por sua vez, através do óleo do circuito hidráulico, empurra um segundo 
pistão. O segundo pistão pressiona uma pastilha de freio contra um disco metálico preso 
à roda, fazendo com que ela diminua sua velocidade angular. 
 
Considerando o diâmetro d2 do segundo pistão duas vezes maior que o diâmetro d1 do 
primeiro, qual a razão entre a força aplicada ao pedal de freio pelo pé do motorista e a 
força aplicada à pastilha de freio? 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 22 
 
3. O esquema ilustra uma prensa hidráulica, operada manualmente, constituída de um 
sistema de vasos comunicantes 1 e 2, com êmbolos de áreas de seção transversal 
respectivas S1 e S2. O sistema é preenchido com um líquido homogêneo e viscoso. O 
êmbolo 2 é ligado a uma alavanca inter-resistente articulada em sua extremidade A. O 
operador aplica forças verticais F na extremidade B da alavanca para transmitir forças F1 
através do êmbolo 1. 
 
Determine a intensidade da força F, em função de F1, S1, S2, AB e AC, que permite obter 
vantagem mecânica. 
 
4. Um pistão de pequena área a da seção transversal é usado em prensa hidráulica, para 
exercer uma força f no líquido contido na prensa. Um tubo faz a ligação deste líquido com 
outro pistão, de área A maior, como mostra a figura. 
 
a) Que força F suportará o pistão de maior diâmetro? 
b) Se o pistão menor tem diâmetro de 4,0 cm e o maior de 50 cm, qual é a massa deve 
ser colocada sobre o menor para suportar 2,0 toneladas colocadas sobre o pistão maior? 
 
5. A figura representa uma prensa hidráulica rudimentar 
de uma pequena empresa rural, usada para compactar 
fardos de algodão. 
Por meio de uma alavanca, o operador exerce uma força 
de intensidade igual a 100 N no êmbolo menor da 
máquina, cuja área é de 400 cm2. Cada fardo é prensado 
por meio de um êmbolo de área seis vezes maior. 
a) Qual é a intensidade da força exercida sobre um fardo 
na sua prensagem? 
b) Qual é a variação de pressão que se transmite pelo 
fluido do dispositivo em cada operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 23 
 
6. O sistema esquematizado a seguir está na horizontal e em repouso. Os atritos são 
desprezíveis. 
 
Considerando A1= 20 cm
2, A2 = 4 cm
2, A3 = 50 cm
2, P1 = 20 N/cm
2, Patm = 0 e F = 200 N, 
determine a intensidade da força Fpistão aplicada ao pistão 3. 
 
7. O sistema esquematizado a seguir está na horizontal e em repouso. Os atritos são 
desprezíveis. 
 
Considerando A1= 20 cm
2, A2 = 5 cm
2, A3 = 50 cm
2, A4 = 30 cm
2, P1 = 20 N/cm
2, Patm = 0 e 
F = 400 N, determine o valor da pressão P4 do O2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 24 
 
Aula 5 
 
Introdução 
 
Você já deve ter reparado que, quando está flutuando na água de uma piscina, você se 
sente mais leve. Ou você pode ter se perguntado como um grande navio de aço, com 
algumas dezenas de toneladas, pode flutuar na água enquanto uma moedinha, quando 
colocada na água, simplesmente afunda. 
Qualquer pessoa que já tenha erguido uma grande pedra submersa para fora d’água deve 
ter percebido que essa é uma tarefa relativamente fácil enquanto a rocha estiver abaixo 
da superfície. Entretanto, quando erguida acima da superfície, a força requerida para 
erguê-la aumenta consideravelmente. O que provoca essa aparente mudança no peso da 
pedra? 
A resposta para essas perguntas está relacionada à pressão que os fluidos exercem nos 
corpos neles imersos. 
 
Empuxo – Teorema de Arquimedes 
 
Conta a história que, no século III a.C., Heron, rei da antiga cidade grega de Siracusa, 
mandou uma certa quantidade de ouro a um ourives da Corte para que lhe fizesse uma 
coroa. Ao receber a coroa já pronta, o rei Heron desconfiou que o ourives substituíra parte 
do ouro por prata. Pediu então a Arquimedes (298 a.C. -212 a.C.), um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos, para verificar se tal fato tinha realmente acontecido. 
Arquimedes resolveu o problema durante um banho quando, submerso na água, sentiu-se 
mais leve. Teria saído nu pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka, eureka!” (“Encontrei, 
encontrei!”). 
Arquimedes havia encontrado a sua lei de flutuação dos corpos: 
“Quando um corpo é mergulhado em água ele perde, em peso, uma quantidade que 
corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do corpo.” 
Isso se deve a uma resultante das forças de pressão que o líquido aplica no corpo. Esse 
mesmo tipo de força é a responsável pela flutuação de um grande navio de aço ou pela 
ascensão de um balão de ar quente. 
O teorema de Arquimedes, como enunciado hoje, estabelece que: 
 
 
Um corpo, total ou parcialmente, imerso em um fluido em equilíbrio recebe desse 
fluido uma força, vertical, de baixo para cima e com intensidade igual ao peso do 
fluido deslocado pela imersão do corpo, chamadaEMPUXO. 
 
 
Vamos agora determinar como podemos calcular a intensidade da força empuxo. 
Para isso, consideremos um recipiente qualquer completamente 
preenchido por um líquido em equilíbrio. No interior desse 
líquido consideremos, ainda, uma porção do mesmo fluido, de 
formato cilíndrico e com eixo vertical, como mostrado na figura 
ao lado. Logicamente esse último corpo cilíndrico, dentro do 
líquido, também estará em equilíbrio. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 25 
 
As forças devido à pressão exercida pelo restante do líquido e 
que agem horizontalmente sobre a porção cilíndrica que 
estamos considerando se equilibram, duas a duas, como 
podemos observar na figura ao lado. Na direção vertical, três 
forças atuam sobre o cilindro: 
1F
 na base inferior e 
2F
 na base 
superior, devidas à pressão do líquido, além, é claro, do peso 
fluidoP
 do corpo cilíndrico. 
Pfluido
F1
F2
 
Como tal corpo se encontra em equilíbrio, devemos ter: F1 = F2 + Pfluido 
A diferença entre as forças hidrostáticas (F1 – F2) é a força empuxo, que representaremos 
por E. 
Assim: 
gmEPEPFF  fluidofluidofluido21
 
Mas, m = ρ · V 
Então, finalmente, obtemos: 
gVE  deslocado fluidofluido 
 
É claro que se substituirmos o corpo cilíndrico de fluido por outro corpo sólido de mesmo 
formato e dimensões, o restante do fluido continuará a atuar sobre o corpo sólido com as 
mesmas forças hidrostáticas 
1F
 e 
2F
 , cuja resultante é o empuxo E . 
Nesse novo corpo atuam, então, o empuxo, 
E
 , e o peso próprio do corpo, 
P
 . Observe 
que o empuxo que atua em um corpo depende apenas da densidade do fluido e do 
volume de fluido que o corpo desloca. O empuxo não depende da massa do corpo e nem 
da profundidade em que o corpo é colocado no interior do fluido. 
Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo, podemos expressar 
esse peso em função da densidade e do volume do corpo: P = ρcorpo · Vcorpo · g. 
Para um corpo totalmente imerso em fluido devemos ter: Vcorpo = Vfluido deslocado. 
Então, se: 
 
 EPfluidocorpo 
 a força resultante sobre o corpo é dirigida para baixo 
e, por esse motivo, o corpo afundará. Tal força resultante R é, geralmente, denominada 
peso aparente e dada por R = P – E. 
 
 EPfluidocorpo 
 a força resultante sobre o corpo é nula e o corpo 
permanecerá em equilíbrio em qualquer posição quando abandonado no interior do fluido. 
 
 EPfluidocorpo 
 a força resultante R, denominada força ascensional 
e dada por R = E – P, é dirigida para cima e, devido a essa força ascensional o corpo 
subirá até atingir o equilíbrio, quando passará a flutuar, parcialmente imerso, na superfície 
do fluido. 
 
Peso aparente 
 
Considere um corpo cujo peso seja medido com um 
dinamômetro e obtém-se o valor P. 
Se este corpo for, agora, imerso em um líquido, a 
nova leitura de seu peso será menor que P, pois o 
corpo está sujeito agora a um empuxo E. 
Define-se peso aparente (Pap), para um corpo to-
talmente mergulhado em um fluido, como a di-
ferença entre as intensidades do peso do corpo e 
do empuxo recebido. 
 
Então: 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 26 
 
EPPap  
Dessa forma, a leitura do dinamômetro, para o corpo totalmente submerso, corresponderá 
ao peso aparente do corpo: 
 
Exercícios 
 
1. Um balão cheio de hidrogênio, de peso igual a 600 N, está preso por um fio vertical e 
encontra-se em equilíbrio estático. Seu volume é igual a 80,0 m3. 
Adote g =10 m/s2, ρar = 1,25 kg/m
3 e determine: 
a) o empuxo sofrido pelo balão; 
b) a intensidade da força tensora no fio que prende o balão. 
 
2. Um cilindro rola e cai dentro de uma pequena piscina, onde permanece flutuando, com 
30% de seu volume fora d'água. Se o volume d'água, na piscina, aumentou 2 m3, qual a 
massa do cilindro, em toneladas? Dados: massa específica da água = 1 g/cm3, 
aceleração da gravidade = 10 m/s2. 
 
3. Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha 
d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, 
qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor 
de 9,2 m? 
Observação: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a 
parte inferior do casco. 
 
4. Um corpo homogêneo de massa m e volume 
75 cm3 flutua no óleo com 1/5 de seu volume 
submerso (figura A). Um bloco de chumbo é 
colocado sobre o corpo, de modo que este 
fique com a metade de seu volume submerso 
(figura B). Considere a massa específica do 
óleo igual a 0,80 g/cm3 e a aceleração da 
gravidade 10 m/s2. Calcule o valor da massa do 
bloco de chumbo. 
figura A figura B 
 
5. Um cubo de aresta a, feito de material homogêneo, 
possui uma cavidade prismática, de base quadrada de 
lado b e altura c. Quando a cavidade está totalmente 
preenchida com um determinado líquido, o cubo flutua em 
equilíbrio num recipiente que contém esse mesmo líquido, 
de tal maneira que a face superior do cubo fica ao nível da 
superfície livre do líquido do recipiente. Retirando-se o 
líquido da cavidade o cubo aflora, flutuando com sua face 
superior a uma altura x dessa superfície. Determine x. 
a
a
b
c
x
 
 
6. Duas esferas A e B ligadas por um fio inextensível de massa e 
volume desprezíveis encontram-se em equilíbrio, imersas na água 
contida num recipiente conforme ilustra a figura. A esfera A possui 
volume de 20 cm3 e densidade igual a 5,0 g/cm3. 
A esfera B possui massa de 120 g e densidade igual a 0,60 g/cm3. 
Sendo de 1,0 g/cm3 a densidade da água, determine: 
a) o empuxo sobre a esfera B; 
A
B
Água
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 27 
 
b) a tração no fio que liga as esferas. 
 
7. Deseja-se que um corpo formado de madeira e aço fique flutuando em equilíbrio 
quando totalmente imerso em água. Sabendo-se que as massas específicas da madeira, 
água e aço são, respectivamente, 0,25 g/cm3, 1 g/cm3 e 8 g/cm3, calcule a relação entre o 
volume de madeira V1 e o volume de aço V2 do corpo, de modo que ocorra o equilíbrio. 
 
8. Um conjunto formado por dois cilindros impermeáveis, de mesma seção reta, colados 
base a base, é colocado na água, ficando 2 cm de sua altura fora da água. O cilindro que 
serve de lastro tem 1 cm de altura e foi construído com um material de massa específica 
igual a 8,6 g/cm3. O outro cilindro é de madeira maciça de massa específica igual a 
0,8 g/cm3. Com base nesses dados, e considerando que a massa específica da água é 
1 g/cm3 e a aceleração da gravidade 10 m/s2, calcule a altura do cilindro de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 28 
 
Aula 6 
 
Introdução 
Até este ponto do nosso curso de Fenômenos de Transporte temos estudado apenas o 
equilíbrio estático dos fluidos, denominado fluidostática ou hidrostática. 
Na hidrostática são discutidos, principalmente, os conceitos de pressão em um ponto no 
interior de um líquido em equilíbrio e o empuxo exercido em um corpo imerso em um 
fluido em repouso. 
Iremos agora fazer um estudo mais complexo, os fluidos em movimento. Nesse ramo da 
Física, denominado hidrodinâmica, muitos aspectos dos movimentos dos fluidos ainda 
estão sendo objeto de estudo. Entretanto, supondo algumas simplificações, podemos ter 
um bom entendimento sobre o assunto. 
 
Tipos de escoamento 
 
Para começar, vamos fazer uma rápida classificação dos diferentes tipos de escoamento 
de um fluido. 
Dizemos que um fluido escoa em regime estacionário (ou em regime permanente) 
quando a velocidade das partículas de fluido que passam em um ponto qualquer não 
varia com o passar do tempo. Assim, no regimepermanente, em qualquer ponto, a 
velocidade, a pressão e a densidade do fluido permanecem constantes. 
O esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime permanente. 
Nesse esquema, o nível da água permanece constante, no reservatório, apesar da saída 
de água pelas tubulações 1 e 2. 
 
Por outro lado, se a velocidade das partículas, em um dado ponto do escoamento, variar 
com o passar do tempo, teremos um escoamento em regime variado (ou em regime 
transitório). 
Mais uma vez, o esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime 
transitório. Observe que, neste exemplo, o nível de água no reservatório varia com o 
passar do tempo. 
 
Outra classificação a respeito do escoamento pode ser feita se observarmos, por 
exemplo, água, na qual estão dispersas partículas coloridas, fluindo através de um tubo 
de vidro. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 29 
 
Podemos perceber que, de modo bastante frequente, o fluido não se move em linhas 
paralelas às paredes do tubo, mas de uma maneira bastante irregular. Além do 
movimento ao longo do eixo do tubo, podemos observar que ocorrem movimentos na 
direção perpendicular ao eixo do tubo. Nesse caso, o fluxo é denominado fluxo 
turbulento. 
Entretanto, quando a velocidade de escoamento do fluido diminui abaixo de certo valor, 
que depende de uma série de fatores, as partículas do fluido passam a se movimentar em 
trajetórias paralelas às paredes do tubo. Nesse caso, o fluxo de fluido é suave e passa a 
ser denominado fluxo laminar. 
Em 1883, o físico irlandês Osborne Reynolds (1842-1912) identificou experimentalmente 
estes dois tipos de escoamento levando em consideração o efeito da viscosidade do 
fluido. Reynolds utilizou a montagem mostrada a seguir. 
 
Para identificar o tipo de escoamento, Reynolds estabeleceu uma grandeza adimensional, 
atualmente conhecida como número de Reynolds, dada por: 
 

dV
Re


 ou 

 dV
Re


 
 
Nessa relação, Re é o número de Reynolds (adimensional), V é a velocidade do fluido 
(m/s), 

 é a viscosidade cinemática do fluido (m2/s), ρ é a massa específica (kg/m3), μ é a 
viscosidade dinâmica (Pa·s) e d é o diâmetro do tubo (m). 
Lembre-se que a viscosidade cinemática 

 está relacionada à viscosidade dinâmica μ e à 
massa específica ρ: 


 
 
O parâmetro com dimensão de comprimento no número de Reynolds depende da 
geometria do sistema. 
Teremos, então, de acordo com o número de Reynolds: 
 
Re ≤ 2000 
(Escoamento laminar) 
 
 
2000 < Re < 2400 
(Escoamento de transição) 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 30 
 
Re ≥ 2400 
(Escoamento turbulento) 
 
 
 
O número de Reynolds pode ser interpretado como uma relação entre as forças de inércia 
e as forças viscosas existentes no escoamento. Num escoamento laminar, que ocorre 
para números de Reynolds baixos, tem-se que a turbulência é amortecida pelos efeitos 
viscosos. 
 
Linhas de corrente 
 
Na hidrodinâmica, visando facilitar a visualização do fluxo de um fluido, é útil o conceito 
de linha de corrente. 
Qualquer que seja o tipo de fluxo, a velocidade de uma partícula do fluido é uma 
quantidade vetorial, ou seja, apresenta módulo, direção e sentido. Assim, quando a 
partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular cujo formato é definido pela 
velocidade da partícula. A localização da partícula o longo da trajetória depende da 
posição ocupada pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo da 
trajetória. 
Se o escoamento é em regime permanente, isto é, se nada mudar ao longo do tempo 
em todo o escoamento, então, todas as partículas que passam num dado ponto P 
seguirão uma mesma trajetória. Para estes casos, a trajetória é uma linha fixa. As 
partículas vizinhas, que passam nas vizinhanças imediatas do ponto P, seguem outras 
trajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquele relativo às partículas que 
passam por P. 
A trajetória seguida pelas partículas do fluido recebe o nome de linha de corrente. 
Portanto, a linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é 
tangente ao vetor velocidade do fluido. Dessa maneira, a partir das linhas de corrente 
podemos visualizar o comportamento do fluido durante seu movimento. 
A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de fluido (por exemplo, ar) ao 
redor de um corpo (por exemplo, um aerofólio). Observe o comportamento das linhas de 
corrente no fluxo laminar e compare com o fluxo turbulento. 
 
 
 
É importante destacar que duas linhas de corrente nunca podem se cruzar, pois elas são 
linhas tangentes ao vetor velocidade das partículas em cada ponto do escoamento. 
A visualização das linhas de corrente em um escoamento geralmente é obtida com o 
auxílio de um fluido colorido, como mostrado na foto abaixo. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 31 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Conceitue escoamento laminar e escoamento turbulento. 
 
2. Descreva a experiência de Reynolds. 
 
3. Conceitue linha de corrente. 
 
4. A viscosidade da água a 20 °C é, aproximadamente, 

 = 1,01·10‒6 m2/s. Em um 
experimento, água deverá fluir através de uma tubulação de diâmetro 1 polegada 
(2,54 cm) em regime laminar. Determine a máxima velocidade do fluxo de água para que 
este tipo de regime de escoamento seja estabelecido. 
 
5. Um fluido, que apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N·s/m2 e densidade relativa 
0,91, escoa num tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do 
escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds e classifique o 
escoamento. 
 
6. O reservatório da figura seguinte é abastecido com 
água por uma tubulação com diâmetro de 25 mm. A 
velocidade do fluxo é de 0,3 m/s.. A viscosidade 
cinemática da água a 20 °C é 1,0·10‒6 m2/s. Determine o 
tipo de escoamento. 
 
 
7. Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm 
de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do 
fluído é 2·10‒3 Pa·s e a massa específica é de 800 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 32 
 
Aula 7 / Aula 8 
 
Vazão 
 
Em um escoamento, denomina-se vazão à grandeza que indica a quantidade de fluido 
que passa por uma seção de um conduto, livre ou forçado, na unidade de tempo. 
Assim, se considerarmos o volume de fluido, teremos a vazão volumétrica, Q, dada por: 
 
t
V
Q



 
 
No SI, ΔV é medido em m3, Δt medido em s e Q medido em m3/s. 
Consideremos, então, um fluido escoando, com velocidade constante v, por uma 
tubulação de seção transversal constante, com área A, como esquematizado a seguir. 
 
Observe que o volume de fluido que passa por uma dada seção, em um determinado 
intervalo de tempo é constante. 
Como V = A·Δx, teremos, então: 
t
xA
Q
t
V
Q






. 
Mas, a relação 
t
x


 é a velocidade v do escoamento. Portanto: 
vAQ 
 
 
A vazão também pode ser medida em termos de massa de fluido que passa pela seção. 
Nesse caso, a vazão correspondente passa a ser chamada de fluxo de massa, m , dada 
por: 
 
t
m
m



 
 
No SI, o fluxo de massa é medido em kg/s. 
 
A equação da continuidade 
 
A equação da continuidade é a equação que mostra a conservação da massa de líquido 
no conduto, ao longo de todo o escoamento. 
Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as 
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa: m1 = m2 = m = cte. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 33 
 
 
Consideremos um fluido em um fluxo laminar estacionário no interior de um tubo de 
diâmetro variável como o mostrado na figura a seguir.Vamos calcular o fluxo de massa do fluido através da secção transversal de área A1. 
Observe que o volume de fluido que passa através dessa secção transversal, no intervalo 
de tempo Δt é dado por A1·Δx1, em que Δx1 é a distância percorrida pelo fluido no 
intervalo de tempo Δt. 
Então, sendo ρ1 a densidade do fluido nessa região do tubo temos: 
111
11111 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm





 
De maneira análoga, na região do tubo onde a secção transversal tem área A2, teremos: 
222
22222 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm





 
Observe que a massa de fluido que passa por uma dada secção transversal do tubo, em 
um dado intervalo de tempo, é a mesma, qualquer que seja a posição do tubo em que a 
secção é considerada. 
Portanto, como o fluxo de massa é constante ao longo do tubo devemos ter: 
 
222111 vAvA   (Equação da continuidade) 
 
Se o fluido é incompressível, o que é uma excelente aproximação no caso dos líquidos na 
maioria das situações (e algumas vezes até mesmo para os gases), então ρ1 = ρ2 e a 
equação da continuidade torna-se mais simples: 
 
2211 vAvA 
 (quando ρ1 = ρ2) 
 
A partir dessa relação simplificada, podemos concluir que se o diâmetro do tubo diminuir, 
então a velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo deverá aumentar e vice-
versa. 
Isso faz sentido e pode ser observado no escoamento das águas de um rio. Nas regiões 
em que o rio é largo, a correnteza é mansa e a água flui calmamente. Entretanto, quando 
o rio se estreita e as margens estão mais próximas, a correnteza atinge velocidades bem 
maiores e a água flui de maneira turbulenta. 
Portanto, a equação da continuidade impõe que a vazão em volume através da tubulação 
seja constante em qualquer secção transversal que se considere. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 34 
 
Exercícios 
 
1. O raio da aorta é cerca de 1,0 cm e o sangue flui através dela com velocidade de 
30,0 cm/s. Calcule a velocidade média do sangue nos capilares dado que, cada capilar 
tem um diâmetro interno de cerca de 8·10-4 cm, e que existem literalmente bilhões deles, 
de modo que a área de secção transversal total dos capilares é de cerca de 2.000 cm2. 
 
2. Um líquido incompressível escoa através de uma mangueira cilíndrica de raio r e enche 
um recipiente de volume V em um intervalo de tempo Δt. A velocidade média de 
escoamento do líquido é: 
a) 
tr
V

 c) 
tr
V
 2
 e) 
t
rV

 2 
 
b) 
tr
V
2
 d) 
trV  2
 
 
3. Uma mangueira, com diâmetro interno de 8,0 cm, é usada para encher uma piscina 
circular com diâmetro de 2,4 m. A água flui através da mangueira com uma velocidade 
média de 0,5 m/s. Por quanto tempo essa mangueira deverá ser usada até a água na 
piscina atingir a profundidade de 0,6 m? 
 
4. Uma mangueira com diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros. 
a) Se leva 1 minuto para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela 
mangueira? 
b) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm, e 
acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira? 
 
5. Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A, com 200,0 m2 de área 
na secção transversal, onde a velocidade média da água é de 1,0 m/s; outra estreita B, 
com 40,0 m2 de área na secção transversal. Calcule: 
a) a vazão volumétrica do rio, em m3/s; 
b) a velocidade média da água do rio, em m/s, na região estreita B. 
 
6. Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 1,8 cm e está ligada a um irrigador 
que consiste apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um com diâmetro de 
0,12 cm. Se a velocidade da água na mangueira é de 0,90 m/s, qual sua velocidade ao 
sair dos orifícios? 
 
7. A figura abaixo mostra dois riachos, A e B, que se unem para formar um rio. O riacho A 
tem largura de 2,0 m, profundidade 0,50 m e a água flui com velocidade de 4,0 m/s. O 
riacho B tem largura 3,0 m, profundidade 1,0 m e, nesse riacho, a água flui a 2,0 m/s. 
 
Determine a profundidade do rio, sabendo-se que sua largura é de 5,0 m e que a 
velocidade de suas águas é de 2,5 m/s. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 35 
 
8. Qual deverá ser a área de secção transversal de uma tubulação, em que ar se move a 
3,0 m/s, de modo a permitir a renovação do ar, a cada 15 minutos, em um quarto com 
300 m3 de volume? Admita que a densidade do ar permaneça constante. 
 
9. Um duto circular, com raio de 15 cm, é usado para renovar o ar em uma sala, com 
dimensões 10 m × 5,0 m × 4,5 m, a cada 10 minutos. Qual deverá ser a velocidade média 
do fluxo de ar através do duto para que a renovação de ar ocorra conforme desejado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 36 
 
Aula 9 
 
Introdução 
 
Você já deve ter se perguntado como um grande avião, com muitas toneladas, pode 
permanecer no ar apesar de todo o seu peso? Ou como funciona um aerofólio de um 
carro de Fórmula 1? 
A resposta a essas perguntas está em um teorema estabelecido, em 1738, por Daniel 
Bernoulli (1700-1782), matemático e físico suíço e publicado em sua obra 
Hydrodynamica. 
O teorema de Bernoulli, em essência, estabelece que a energia, em um fluxo 
estacionário, é constante ao longo do caminho descrito pelo fluido. Este teorema não é, 
portanto, um princípio novo, mas uma relação obtida a partir das leis básicas da Mecânica 
Clássica. 
O teorema de Bernoulli pode ser deduzido a partir do teorema da energia cinética: "O 
trabalho da resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual à 
variação da energia cinética experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo." 
A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulação que se eleva 
gradualmente desde uma altura h1 até uma altura h2, medidas em relação a um plano 
horizontal de referência. Na região mais baixa, o tubo tem área de secção transversal A1, 
e na mais alta, área A2. A pressão do fluido na região inferior do tubo é p1 e na superior, 
p2. 
 
 
 
Consideremos, então, o deslocamento da porção sombreada de fluido desde a região 
mais baixa do tubo até a região mais alta. Nesse deslocamento, a porção de fluido 
assinalada com hachuras tracejadas permanece invariável. 
O trabalho realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado 
considerando-se que: 
 o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p1·S1 é p1·S1·Δx1; 
 o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p2·S2 é – p2·S2·Δx2 
(negativo, pois a força de pressão tem sentido oposto ao do deslocamento da porção 
fluida); 
 o trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura h1 até a altura 
h2 é igual a – m·g·(h2 – h1) (negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao 
da força peso). 
O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos 
considerados. Assim, temos: 
 
)(tan 12222111 hhgmxApxApteresul  
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 37 
 
Mas, observe que A1·Δx1 (= A2·Δx2) corresponde ao volume da porção de fluido 
considerado e pode ser expresso como a relação entre a massa de fluido e a sua 
densidade 







m
, em que ρ, a densidade do fluido, é suposta constante. 
Observe também que estamos considerando que o fluido seja incompressível, pois 
admitimos que A1·Δx1 = A2·Δx2 . 
Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como: 
  )(resultante 1221 hhgm
m
pp  
 
A variação da energia cinética do sistema é dada por: 
22
2
1
22 vmvmEc




 
 O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o 
sistema deve ser igual à variação de sua energia cinética. Temos, então: 
 
22
2
1
2
2
1221
vmvm
hhgm
m
pp



 )(
 
Multiplicando-se todos os termos da expressão por 
m

 e rearranjando-se as parcelas 
teremos, finalmente: 
 
22
2
2
22
2
1
11
v
hgp
v
hgp




 (Teorema de Bernoulli) 
 
Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos 
suprimi-los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que: 
 
constante
2



2v
hgp

 
 
Essa relação nos mostra –principalmente– que, em uma canalização horizontal, um 
estrangulamento implica –pela equação da continuidade– em um aumento na velocidade 
do fluxo e, consequentemente, em uma diminuição de pressão. 
Nessa relação, a soma 
hgp  
 é denominada pressão estática, já estudada 
anteriormente, enquanto o termo 
2
2v é a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em 
movimento. 
É importante ressaltar que a correta utilização da equação de Bernoulli está baseada nas 
hipóteses usadas em sua obtenção: 
 o fluido é incompressível; 
 o escoamento ocorre em regime uniforme e permanente; 
 o escoamento é invíscido, isto é, fluido sem viscosidade; 
 não há trocas de calor, ou seja, o escoamento é adiabático; 
 não existem máquinas –bombas ou turbinas- no trecho considerado. 
 aplicável a pontos em uma mesma linha de corrente. 
 
Observação: 
Se dividirmos a última equação de Bernoulli, obtida acima, pelo peso específico,  = ρ·g, 
do fluido, chegamos a: 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 38 
 
H
v
h
p



g2
2

 
 
Nessa relação, a constante H, denominada carga total, é, como veremos adiante, a 
energia total por unidade de peso do fluido. 
 
Exercícios 
 
1. Água quente circula pela tubulação de um sistema de aquecimento em uma casa. Se a 
água é bombeada, no térreo, com velocidade de 0,50 m/s através de um cano com 4,0 cm 
de diâmetro sob pressão de 3,0 atm, determine a velocidade de escoamento e a pressão 
da água em um cano com 2,6 cm de diâmetro, localizado no andar superior, 5 m acima do 
térreo. 
Considere: g = 10 m/s2, ρ = 1,0.103 kg/m3 e 1 atm = 1,0·105 N/m2. 
 
2. Determinar a velocidade média e a pressão na 
seção (2) de uma tubulação circular e horizontal, 
pela qual escoa um fluido incompressível e ideal 
em regime permanente. 
Dados: D1 = 15 cm; D2 = 10 cm; p1 = 50.000 N/m
2; 
V1 = 3 m/s; fluido=10.000 N/m
3 ; g = 10 m/s2. 
 
 
3. Um tanque contém água até a altura H; faz-se um 
orifício na sua parede lateral, à profundidade h abaixo 
da superfície da água. 
Determine: 
a) a velocidade v com que a água emerge pelo orifício; 
b) o alcance horizontal x do jato d'água ao atingir o 
piso. 
 
4. Água, cuja densidade é 103 kg/m3, escoa através de um tubo horizontal, com 
velocidade de 2 m/s, sob pressão de 2·105 N/m2. Em certo ponto, o tubo apresenta um 
estreitamento pelo qual a água flui à velocidade de 8 m/s. A pressão, nesse ponto, em 
N/m2, é: 
a) 0,5·105 c) 1,7·105 e) 8,0·105 
b) 1,0·105 d) 4,2·105 
 
5. Um galpão é coberto por um telhado com área de 400 m2. Um vento forte sopra a 
72 km/h sobre esse telhado. O ar dentro do galpão está em repouso e sob pressão de 
1 atm. Considerando que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3 e adotando 
1 atm = 1,0·105 N/m2, determine: 
a) a diferença de pressão do ar que circunda o telhado; 
b) a força resultante que atua sobre ele. 
 
6. Um tanque, com área de secção transversal S = 0,07 m2, 
contém água (ρ = 103 kg/m3). Um êmbolo, com massa total 
m = 10 kg, repousa sobre a superfície da água. Um orifício 
circular, com diâmetro 1,5 cm é aberto na parede lateral do 
reservatório a uma profundidade de 60 cm abaixo da 
superfície da água. Qual é a vazão inicial de água, em 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 39 
 
litros/s, através do orifício? Adote: g = 10 m/s2. 
 
7. A figura abaixo representa um grande reservatório de água de uma represa, com uma 
canalização nele acoplada, cujas áreas das secções são 900 cm2 em 1 e 600 cm2 em 2. 
 
Admita que a água possa ser considerada um fluido ideal e que escoe em regime 
permanente. Sabendo-se que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e que a pressão 
atmosférica é igual a 105 N/m2, pede-se: 
a) a velocidade, em m/s, com que a água flui no ponto 2; 
b) a vazão, em m3/s, da água; 
c) a pressão, em N/m2, no ponto 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 40 
 
Aula 10 
 
Aplicações do Teorema de Bernoulli 
 
O teorema de Bernoulli pode ser aplicado a um grande número de situações práticas. A 
seguir, analisaremos as principais aplicações desse teorema em situações do nosso dia-
a-dia e também em situações mais técnicas. 
 
 O Tubo de Venturi 
 
O Tubo de Venturi é um medidor de vazão formado por 3 partes importantes: o cone de 
entrada, a garganta e o cone de saída. 
Ele deve ser inserido em uma canalização de 
secção transversal A para se medir a velocidade 
de escoamento v1 de um fluido incompressível, 
de massa específica ρ, através dela. Um 
manômetro tem uma de suas extremidades 
inserida num estrangulamento, com área de 
secção transversal a, e a outra extremidade na 
canalização de área A. Seja ρm a densidade do 
líquido manométrico (mercúrio, por exemplo). 
 
Por simplificação, vamos considerar que a tubulação é horizontal. 
Pelo teorema de Bernoulli, devemos ter: 
22
2
2
2
2
1
1
v
p
v
p




 (I) 
Mas, pela equação da continuidade: 
a
A
vvvavA  1221
 (II) 
Então, substituindo (II) em (I) teremos: 
  




 
















2
222
1
21
22
1
21
2
1
2
221 1
a
aAv
pp
a
Av
ppvvpp
222
 (III) 
A relação de Stevin, da hidrostática, permite obter: 
    hgpphghHgpHgp mm   2121 (IV) 
 
Finalmente, substituindo (III) em (IV), chegamos a: 
 
 
 221 aA
hg
av m




2 
 
Os modelos industriais, como o da foto ao 
lado, são normalizados pela ISO 5167 sendo conhecidos 
como Venturi Clássico, tendo os seguintes tipos: 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente fundido 
(aplicação em tubulações de 100 a 800 mm); 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente usinado 
(aplicação em tubulações de 50 a 250 mm); 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente em chapa 
soldada (aplicação em tubulações de 200 a 1200 mm). 
Existem outros tipos de Tubo Venturi normalizados: o Venturi Excêntrico, o Venturi 
Truncado e os de Perfil Retangular. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 41 
 
 O tubo de Pitot 
 
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um 
gás –ar, por exemplo. Tal dispositivo está ilustrado na figura abaixo. 
As aberturas a são paralelas à direção de 
escoamento do ar e bastante afastadas da parte 
posterior para que a velocidade v do fluxo de ar e 
a pressão fora dela não sejam perturbadas pelo 
tubo. Seja pa a pressão estática do ar no ramo 
esquerdo do manômetro, que está ligado a essas 
aberturas. 
A abertura do ramo direito do manômetro é 
perpendicular à corrente e, em b, a velocidade 
reduz-se a zero; logo, nessa região a pressão 
total do ar é pb (maior que pa, como nos mostra a 
figura). 
 
O teorema de Bernoulli fornece, então: 
ba p
v
p 


2
2 (I) 
A relação de Stevin, aplicada ao líquido do manômetro, fornece: 
bma phgp  
 (II) 
Comparando(I) e (II), obtemos:. 


hg
v
m

2
2

 hg
v m


2 
 
O tubo de Pitot pode ser convenientemente 
calibrado de modo a fornecer o valor da 
velocidade v diretamente. Nesse caso, o 
tubo de Pitot torna-se um velocímetro e seu 
uso é bastante comum em aviões. 
Geralmente, o tubo de Pitot é colocado sob 
as asas do avião. 
 
 
 A bomba spray 
 
O esquema ao lado ilustra uma bomba spray (atomizador) do 
tipo utilizada em frascos de perfume. 
A bomba de borracha ao ser comprimida expele o ar, contido 
em seu interior, a uma alta velocidade. De acordo com o 
teorema de Bernoulli, a pressão do ar fluindo a alta velocidade 
através da região superior do tubo vertical é menor que a 
pressão atmosférica normal atuando na superfície do líquido 
contido no frasco. 
Dessa maneira, o líquido é empurrado tubo acima devido à diferença de pressão. Ao 
atingir o topo do tubo, a coluna líquida é fragmentada em pequenas gotículas (spray). 
Atualmente, existem diversos modelos de bomba spray para uso com produtos cotidianos, 
como perfumes, remédios, produtos de limpeza, etc. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 42 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma asa 
O empuxo dinâmico é a força exercida sobre um corpo devida ao movimento desse corpo 
em um fluido. 
Uma superfície aerodinâmica –como uma asa de avião ou um aerofólio de carro de 
corrida, ou mesmo as aletas de uma lancha– é desenhada de tal maneira que, ao se 
movimentar através de um fluido perturba-o de tal maneira que, em algumas regiões as 
linhas de corrente são mais próximas e em outras regiões elas não são afetadas. 
A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de ar nas proximidades de uma 
asa de avião, mostrada em corte. 
Observe que acima da asa as linhas de corrente estão mais comprimidas, indicando que 
nessa região a velocidade do fluido é maior. Assim, pelo teorema de Bernoulli 








 constante
2
2v
p
 , a pressão na região acima da asa deve ser menor e, portanto, 
existirá uma força resultante dirigida para cima (empuxo dinâmico). Esse empuxo 
dinâmico é, geralmente, chamado de sustentação. 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma bola girante 
O empuxo dinâmico também pode ser observado numa bola girante. Tal efeito é bastante 
explorado no mundo esportivo, principalmente no tênis, no golfe e no futebol. É muito 
comum no futebol, na cobrança de uma falta com bola parada, a bola, depois de chutada, 
descrever uma curva e enganar o goleiro. 
A figura seguinte mostra as linhas de corrente de um fluido em torno de uma bola que 
translada sem girar (I), as linhas de corrente em torno de uma bola que apenas gira (II) e 
a superposição dos dois movimentos (III). Note que o empuxo dinâmico, mostrado em 
(III), faz com que a bola seja desviada de sua direção original. 
 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma vela 
O teorema de Bernoulli também pode explicar como um veleiro pode se deslocar quase 
que contra o vento. Para melhor entender como isso acontece, observe a figura abaixo. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 43 
 
 
Quando navegando contra o vento, a vela mestra deve ser posicionada a meio ângulo 
entre a direção do vento e o eixo do barco (linha da quilha). Assim, a pressão atmosférica 
normal atrás da vela mestra é maior que a pressão à sua frente, onde a velocidade do 
fluxo de ar é maior devido ao estreitamento entre a bujarrona e a vela mestra, e isso 
origina uma força Fvento, conforme mostrado na figura, que impulsiona o barco. 
A força resultante no barco, devido ao vento e ao efeito de Bernoulli, atua quase que na 
perpendicular à vela e isso tenderia a deslocar o barco lateralmente se não houvesse uma 
porção da quilha estendendo-se verticalmente abaixo da linha d'água, a bolina. A água 
exerce, então, uma força quase que perpendicular à bolina (Fágua) , ou seja, quase 
perpendicular à quilha do barco. A resultante dessas duas forças, a força Fres, é quase 
que diretamente dirigida para a frente do barco, de modo que o barco desloca-se contra o 
vento. 
 
Observação: Deve-se ressaltar que o empuxo dinâmico é diferente do empuxo estático. 
O empuxo estático corresponde a uma força vertical e dirigida para cima, com intensidade 
igual ao peso de fluido deslocado e que atua em um corpo imerso em um fluido em 
repouso, como em um balão por exemplo. O empuxo dinâmico está sempre associado ao 
movimento relativo entre um corpo –uma asa de avião, um aerofólio, uma vela ou uma 
bola girante– e um fluido. 
 
Exercícios 
 
1. Em 5 minutos, um carro tanque 
descarrega 5.000 litros de gasolina, através 
de um mangote cuja seção transversal tem 
área igual a 0,00267 m2 (ver figura ao lado). 
 
Pergunta-se: 
a) Qual a vazão volumétrica média desse escoamento, em litros/segundo? 
b) Considerando os dados indicados na figura e g = 9,8 m/s2 , qual a vazão volumétrica, 
em litros/segundo, no início do processo de descarga do combustível, quando o nível de 
líquido no tanque está no ponto A? 
c) O valor obtido no item b deve ser maior, menor ou igual ao do item a? 
 
2. Uma bomba de recalque é usada para bombear água 
para fora de um navio. A mangueira da bomba tem um 
diâmetro de 3,0 cm e a bomba drena a água, através 
da mangueira, até a saída, 5 m acima da linha d'água, 
abandonando-a com velocidade de 4,0 m/s. Adote para 
a água ρ = 103 kg/m3 e considere 1 hp = 746 W. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 44 
 
Determine: 
a) a vazão de água através da mangueira; 
b) a diferença de pressão fornecida pela bomba de recalque; 
c) a potência da bomba. 
 
3. Na figura abaixo representamos um objeto de perfil triangular dentro de um túnel de 
vento. A área total do túnel de vento é 2·A, e a área acima do topo da seção triangular é 
B. Admitindo que o escoamento do ar é estacionário e que este se comporta como um 
fluido ideal (incompressível, sem atrito), responda as questões abaixo. 
 
a) A velocidade do ar no topo do triângulo (região 2) é maior ou menor que a velocidade 
do ar na parte inferior (região 1)? Explique. 
b) Utilizando a equação de Bernoulli, (
casoesteparaconstante,
2



2v
p
 ), calcule a 
relação entre as pressões nas regiões 1 e 2. 
c) Com base nas respostas dos itens a) e b) explique como um planador pode voar. 
 
4. Uma asa de avião tem área de 5 m2 e massa de 200 kg. A velocidade do fluxo de ar 
acima da face superior é de 70 m/s e sob a face inferior, 50 m/s. Considere que a 
densidade do ar seja igual a 1,29 kg/m3 e adote g = 10 m/s2. Determine: 
a) a diferença de pressão entre a face superior e a face inferior da asa; 
b) a força de sustentação da asa; 
c) a força resultante na asa. 
 
5. Um medidor de Venturi tem diâmetro de 10 cm no tubo e de 5,0 cm no estreitamento. A 
pressão da água no tubo é de 0,85 atm e no estreitamento é de 0,35 atm. Determine a 
vazão de água em litros/s. Considere 1 atm = 1,0·105 N/m2 e ρágua =1,0·10
3 kg/m3. 
 
6. Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. 
 
No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades da 
água uniformes. A seção (1) tem uma área de 20 cm2 enquanto a seção (2) é de 10 cm2. 
Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio (Hg = 136.000 N/m
3), é ligado entre 
as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Considerando que 
água = 10.000 N/m
3, pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 45 
 
7. Um tubo de Pitot é montado na asa de um avião, para determinar a velocidade da 
aeronave em relação ao ar. O tubo contém mercúrio (ρ = 13,6·103 kg/m3) e indica uma 
diferença de nível de 11 cm. 
Considerando que g = 10 m/s2 e que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3, qual é a 
velocidade do avião em relação ao ar, em km/h?Fenômenos de Transporte CCE 0187 46 
 
Aula 11 
 
Equação da energia para regime permanente 
 
Baseando-se no princípio da conservação da energia não é possível desenvolver uma 
equação que permitirá fazer o balanço das energias em um escoamento, da mesma 
forma como foi feito para as massas, ao deduzir a equação da continuidade. 
A equação que permite balanço é denominada equação da energia a qual permitirá 
resolver uma variedade de problemas práticos como, por exemplo, a determinação da 
potência de máquinas hidráulicas (bombas e turbinas) e a determinação de perdas em 
escoamento, 
Perda de carga pode ser definida como sendo a perda de energia que o fluido sofre 
durante o escoamento em uma tubulação. Essa perda de energia é devida ao atrito entre 
o fluido e a tubulação, quando o fluido está em movimento, mas que pode ser maior ou 
menor devido a outros fatores tais como o tipo de fluido (viscosidade do fluido), ao tipo de 
material do tubo (um tubo com paredes rugosas causa maior turbulência), o diâmetro do 
tubo e a quantidade de conexões, registros, etc. existentes no trecho analisado. 
As perdas de carga têm por consequência: 
 uma queda de pressão global, em uma rede por gravidade, 
 um gasto de energia suplementar com bombeamento, no recalque. 
 
Formas de energia de um fluido em um escoamento 
 
Numa quantidade de massa fluida escoando em uma tubulação existirão diferentes 
formas de energia que dependerá de sua posição, em relação ao um referencial, de seu 
movimento e da pressão atuante. 
 
 Energia potencial gravitacional (Ep) 
 
É a modalidade de energia devida à posição 
ocupada pela massa fluida no campo 
gravitacional, em relação a um plano horizontal 
de referencia (PHR). 
Essa energia é calculada por: 
hgmE p
. 
 
 Energia potencial de pressão (Epr) 
 
Considere na figura a seguir um fluido líquido escoando sob pressão num conduto. Ao 
instalar um piezômetro na parede superior do conduto uma coluna de fluido subirá uma 
altura (y). A magnitude da altura (y) dependerá da pressão interna do tubo. 
 
 
Neste caso o trabalho será realizado pela referida pressão, ou admitindo que a pressão 
seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido na interface de área A será: 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 47 
 
F = p · A. 
Num determinado intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um dx, sob a ação da 
força F, realizando um trabalho: 
dW = F · dx = p · A · dx = p · dV = dEpr 
A energia de pressão referente a toda área A será: 
VpdVpdVpE
VV
 pr
 
Como 
V
m

, ficamos com: 

m
pE pr
. 
 
 Energia cinética (Ec) 
 
É a modalidade de energia associada ao movimento do fluido. Para uma massa fluida m 
em movimento com uma velocidade v, a energia cinética é dada por: 
2
2
c
vm
E


. 
 
Energia total por unidade de massa fluida 
 
Observe que se considerarmos que o regime é permanente; sem nenhuma máquina 
hidráulica (bomba ou turbina) posicionada entre as seções que estão sendo analisadas; 
sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal; propriedades uniformes nas 
seções; fluido incompressível e sem trocas de calor, então a energia total se conserva e 
teremos: 
E = Ep + Epr + Ec = constante 
constante
2



2vmm
phgmE 
 
Dividindo esta relação pelo peso (m·g) do fluido, teremos a energia por unidade de peso 
da massa fluida, H, grandeza denominada, como vimos anteriormente, carga total: 
constante
g2
2





v
g
phH 
1 
Observações: 
 Se multiplicarmos todos os termos desta equação por ρ·g chegamos à equação de 
Bernoulli: 
constante
2
constante
g2
22









v
pgh
vg
g
g
pgh

 
 Na equação da energia por unidade de peso, h sendo uma cota, então será medida em 
unidade de comprimento (por exemplo, em metros); logo, tanto v2/(2·g) como p/(ρ·g) 
também serão medidos dessa forma. Não devemos esquecer que cada uma dessas 
parcelas tem o significado de energia por unidade de peso, ou seja, J/N. 
 
Equação de energia e máquinas hidráulicas 
 
Máquina hidráulica é qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do 
fluido, sob a forma de trabalho. 
As máquinas hidráulicas são classificadas como: 
 BOMBAS, quando fornecem energia ao fluido; 
 TURBINAS, quando retiram energia do fluido. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 48 
 
Nas figuras a seguir, consideramos uma máquina hidráulica instalada entre as seções (1) 
e (2). A energia total por unidade de peso nas seções (1) e (2) serão, respectivamente, H1 
e H2. Se a energia referente à máquina for HB, para a bomba, e HT, para a turbina, então a 
equação da energia fica: 
 
 
 
 
 
21 HHH B 
 
21 HHH T 
 
 
Potência da máquina hidráulica e rendimento 
 
A potência (P) de uma máquina hidráulica corresponde ao trabalho, realizado ou recebido 
pela máquina, por unidade de tempo. 
Uma vez que trabalho é uma energia (EM = energia referente à máquina), pode-se 
generalizar definindo potência como sendo a energia por unidade de tempo (t), assim: 
t
EMP
 
Dividindo e multiplicando esta equação pelo peso (P) da massa fluida deslocada pela 
máquina fica: 
t
P
P
EM P
 
Nessa expressão, 
P
EM
= HMP é a energia da máquina por unidade de peso do fluido e 
t
P
 é 
a vazão em peso. 
Mas: 
Q
t
P
 
, em que Q é a vazão em volume. 
Portanto: 
QHMP  P
 
 
Para uma bomba, esquematizada a seguir, a energia HMP = HB é a carga recebida pelo 
fluido e fornecida pela bomba. 
Então, a potência PRF, recebida pelo fluido ao 
passar pela bomba é: 
 
BRF HQ  P
 
 
O rendimento desta bomba é dado por: 
 
1,0


B
B
B
HQ
P

 
 
 
Para uma turbina, esquematizada a seguir, a energia HMP = HT é a carga retirada do fluido 
pela turbina. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 49 
 
Então, a potência PFT, fornecida pelo fluido ao 
passar pela turbina é: 
 
TFT HQ  P
 
 
O rendimento desta turbina é dado por: 
 
1,0


T
T
T
HQ
 P
 
 
 
Exercícios 
 
1. O diâmetro de uma tubulação cresce, gradativamente, de D1 = 175 mm para 
D2 = 500 mm. A vazão é de 200 L/s de álcool etílico ( = 8·10
3 N/m³). O centro da seção 
(2) está 420 cm acima do centro da seção (1). As pressões do álcool nesses pontos são 
p1 = 1,1·10
5 N/m² e p2 = 0,75 ·10
5 N/m². Determine: 
a) a energia em (1) e em (2); 
b) o sentido do escoamento; 
c) a perda de carga neste trecho. 
 
2. Um líquido com peso especifico  = 8000 N/m³, apresenta as pressões p1 = 4000 N/m² 
e p2 = 7200 N/m² nas seções de diâmetro D1 = 6 cm e D2 = 7,5 cm, respectivamente, de 
um tubo de eixo horizontal. Para uma vazão de 8 L/s, calcular 
a) as velocidades médias nas duas seções; 
b) a perda de carga no trecho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 50 
 
Aula 12 / Aula 13 
 
A condução de calor 
 
Imagine-se segurando a extremidade de um pedaço reto de arame que tem a outra ponta 
em contato com a chama de uma vela. O que você espera que aconteça? 
Não é preciso realizar esse experimento para concluir que a temperatura do arame 
aumenta gradativamente da extremidade em contato com a chama até a extremidade em 
contato com sua mão e que você corre o risco de queimar as pontas dos dedos, se não 
estiver usando uma luva protetora. 
Você poderia se perguntar como o calor da chama, distante de sua mão, chegou até as 
pontas de seus dedos. A única resposta é que o calor foi transmitido da chama até seus 
dedos através do arame, mas como isso aconteceu? 
O arame é constituído de partículas(átomos) que, como sabemos, estão em constante 
estado de agitação. Quanto mais intensa a agitação dessas partículas, maior a 
temperatura do arame. 
As partículas da extremidade do arame em contato direto com a chama da vela recebem 
energia térmica e, consequentemente, seu estado de agitação aumenta, ou seja, sua 
temperatura se eleva. Como a taxa de transferência de energia é constante, as partículas 
da extremidade do arame continuam a receber energia, aumentam seu estado de 
agitação e passam a colidir mais intensamente com as partículas vizinhas. Estas, por sua 
vez, também passam a se agitar mais intensamente. O processo se repete e, assim, a 
energia da chama é transmitida ao longo do arame, transferindo-se de uma partícula para 
outra, resultando em um aumento de temperatura de todo o arame. 
No processo de transmissão de calor por condução, a energia térmica é transmitida 
diretamente de uma partícula (átomo, molécula ou íon) para outra através material que 
constitui o corpo. 
A quantidade de calor transmitida por condução depende das ligações das partículas que 
formam o corpo. Alguns sólidos, por exemplo, são formados por átomos que possuem 
elétrons livres em sua estrutura, ou seja, elétrons cuja ligação com o núcleo do átomo é 
mais fraca. Esses elétrons livres podem transmitir mais facilmente a energia por meio de 
colisões. 
Os metais possuem muitos elétrons livres e por isso são bons condutores de calor e de 
eletricidade. Dentre os metais, a prata é o melhor condutor de calor, seguida do cobre, do 
alumínio e do ferro. 
Por outro lado, os materiais com poucos elétrons livres ou cujas partículas estão 
relativamente distantes umas das outras conduzem mal o calor. Os materiais maus 
condutores de calor também são chamados isolantes. 
Os gases são formados por partículas relativamente distantes umas das outras e são, 
portanto, maus condutores de calor. O ar seco é melhor isolante térmico que o ar úmido 
porque este último contém partículas de água, que conduz em melhor o calor que os 
gases do ar seco. Além dos gases, também podemos citar como exemplos de isolantes 
térmicos a madeira, o vidro, o isopor, os plásticos, o gelo, a lã. 
 
Hipóteses simplificadoras 
 
A partir deste ponto, vamos analisar com mais detalhes o processo da condução de calor. 
Adotaremos as seguintes hipóteses simplificadoras, visando facilitar o estudo da 
condução: 
 a taxa de transferência de calor é unidimensional, ou seja, ocorre em uma única direção; 
 as superfícies perpendiculares ao fluxo de calor são isotérmicas (T = cte) 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 51 
 
 o regime é permanente, logo o fluxo de calor é constante e a temperatura, em dado 
ponto, não muda com o tempo 
 
A lei de Fourier 
 
A condução é regida pela lei de Fourier, estabelecida 
experimentalmente pelo matemático e físico francês 
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) em 1811. 
Vamos considerar uma parede plana, de espessura L e 
área A, cujas faces sejam mantidas às temperaturas T1 e 
T2, com T1 > T2, como mostrado ao lado. 
 
L
A
T1
T2
T
x
T x( )
qx
.
0
 
De acordo com Fourier, a taxa de transferência de calor, 
Q
, através da barra é: 
 diretamente proporcional à diferença de temperaturas entre as extremidades da barra, 
isto é, 
21 TTQ 
 ; 
 diretamente proporcional à área da seção transversal, isto é, 
AQ 
 ; 
 inversamente proporcional ao comprimento da barra, isto é, 
L
Q
1


. 
Juntando estas conclusões, chegamos a: 
L
TTA
Q
)( 21 

 . 
Introduzindo-se uma constante de proporcionalidade, que leva em conta as características 
do material da barra, a lei de Fourier assume a forma: 
 
L
TTA
kQ
)( 21 
 (Lei de Fourier) 
 
A constante de proporcionalidade k é denominada condutividade térmica e depende de 
características do material. Na SI, a condutividade térmica é medida em W/(m·K). 
Observe que podemos expressar a lei de Fourier em função do fluxo de calor, 
A
Q
q



: 
L
TT
kq
)( 21 
 
 
Na forma diferencial, a lei de Fourier assume a forma: 
 
dx
dT
AkQ 
 e 
dx
dT
kq 
 
 
É importante destacar que o sinal negativo faz-se necessário, pois o fluxo de calor 
acontece no sentido da temperatura decrescente. 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 52 
 
Condutividade térmica 
 
A condutividade térmica é uma propriedade específica de cada material, e depende 
fortemente tanto da pureza como da própria temperatura na qual esse se encontra 
(especialmente em baixas temperaturas). Em geral, a condução de energia térmica nos 
materiais, aumenta à medida que a temperatura aumenta. 
Os materiais que apresentam altos valores de condutividade térmica são chamados 
condutores de calor, enquanto os materiais com baixos valores de condutividade térmica 
são denominados isolantes. 
A tabela abaixo mostra o valor da condutividade térmica k de alguns materiais em 
W/(m·K). 
 
Metais k em W/(m·K) Outros materiais k em W/(m·K) 
Aço Carbono 38,0 Vidro 0,79 (valor médio) 
Alumínio 237 Tijolo 0,6 (valor médio) 
Cobre 401 Madeira (pinho) 0,13 (valor médio) 
Ferro 80,2 Fibra de vidro 0,05 
Ouro 317 
Espuma de 
poliestireno 
0,03 
Prata 429 Polipropileno 0,25 
Tungstênio 174 
Espuma de 
poliuretano 
0,02 
 
Água 0,61 
 
Ar 0,03 
 
Analogia elétrica – Parede composta 
 
Podemos dizer que dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações 
semelhantes. Isto significa que a equação de descrição de um sistema pode ser 
convertida em uma equação para o outro sistema pela simples troca dos símbolos das 
variáveis. 
Sabemos que um resistor, com resistência elétrica R, 
quando submetido a uma diferença de potencial U é 
percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i 
dada pela lei de Ohm: 

R
U
i
R
VV
i BA


 (Lei de Ohm) 
 
A transmissão de calor por condução em regime permanente através de uma parede 
plana é análoga à passagem de corrente elétrica através de um resistor pois: 
 a taxa de transferência de calor, 
Q
, é análoga à corrente elétrica i (um movimento 
ordenado de cargas elétricas) 
 o gradiente de temperatura, TA ‒ TB, é análogo à diferença de potencial U = VA ‒ VB, que 
provoca o surgimento da corrente elétrica. 
A lei de Fourier estabelece que: 
L
TTA
kQ
)( 21 

 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 53 
 
Podemos reescrever a lei de Fourier como: 
Ak
L
TT
Q



 )( 21
 (Lei de Fourier) 
Por comparação, concluímos que a grandeza 
Ak
L

 é equivalente a uma resistência 
térmica, RT, imposta pela parede à passagem de calor através dela. Portanto: 
Ak
L
RT


 (resistência térmica) 
Apresentada esta analogia, é comum a 
utilização de uma representação semelhante à 
usada em circuitos elétricos quando 
apresentamos a resistência de uma parede à 
passagem de calor através dela, como mostra 
a figura ao lado. 
 
A vantagem de se trabalhar com a resistência térmica é que, no caso da transmissão de 
calor por um sistema constituído por diferentes materiais, com áreas e espessuras 
diferentes, podemos calcular a resistência térmica total da mesma maneira que o 
faríamos com uma associação de resistores, em série ou em paralelo. 
Em um conjunto de elementos em paralelo, mesmo tendo-se a transferência de calor 
bidimensional, geralmente é aceitável adotar condições undimensionais. Nestas 
condições, admite-se que as superfícies normais à direção x são isotérmicas. Porém, à 
medida que a diferença entre as condutividades térmicas das paredes aumenta, os efeitos 
bidimensionais tornam-se cada vez mais importantes. 
A figura abaixo mostra o circuito térmico correspondente a uma parede composta 
submetidaa uma diferença de temperatura, nas condições citadas no parágrafo anterior. 
 
 
A condução de calor radial em regime permanente 
 
A transferência de calor unidimensional em regime permanente pode ocorrer em 
geometrias em que o gradiente de temperatura é radial, caso dos cilindros e esferas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 54 
 
Condução de calor através de paredes cilíndricas 
 
Vamos considerar um tubo cilíndrico, de raio interno 
r1, raio externo r2 e comprimento L, submetido a um 
gradiente de temperatura entre a superfície interna e 
a superfície externa, como mostrado na figura ao 
lado. Se a temperatura da superfície interna for 
constante e igual a T1 e se a temperatura da 
superfície externa também for constante, mas igual a 
T2, teremos uma transferência de calor por condução 
no regime permanente na direção radial. 
T1 T2
r2 r1
r
L
T
 
A lei de Fourier, ainda pode ser utilizada para determinar a taxa de transferência de calor 
que atravessa a parede cilíndrica. Entretanto, deveremos utilizá-la na forma 
diferencial, �̇� = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 , pois a área através do qual o calor flui varia continuamente 
com o raio r. 
A área cilíndrica através da qual o calor flui é dada por: 𝐴 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 
Introduzindo essa área na lei de Fourier, ficamos com: �̇� = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 ∙
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
Rearranjando as variáveis, obtemos: �̇� ∙
𝑑𝑟
𝑟
= −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ 𝑑𝑇 
Integrando entre T1, em r1, e T2, em r2, vem: ∫ �̇� ∙
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= ∫ −𝑘 ∙ (2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿) ∙ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
Retirando as constantes dos integrandos, fica: �̇� ∙ ∫
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
Após a integração, teremos: �̇� ∙ (ln 𝑟)|𝑟1
𝑟2 = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ (𝑇|𝑇1
𝑇2 ) 
Substituindo os extremos de integração: �̇� ∙ (ln 𝑟2 − ln 𝑟1) = −𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝐿 ∙ (𝑇2 − 𝑇1) 
Usando a propriedade dos logaritmos e eliminando o sinal negativo: �̇� ∙ (ln
𝑟2
𝑟1
) = 𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙
𝐿 ∙ (𝑇1 − 𝑇2) 
Chegamos, então, à taxa de transferência de calor numa parede cilíndrica: 
 �̇� =
𝑘∙2∙𝜋∙𝐿∙(𝑇1−𝑇2)
(ln
𝑟2
𝑟1
)
 (Lei de Fourier) 
O conceito de resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da 
mesma forma como o fizemos para paredes planas compostas. 
Reescrevendo a expressão anterior, teremos: �̇� =
(𝑇1−𝑇2)
(ln
𝑟2
𝑟1
)
𝑘∙2∙𝜋∙𝐿
 
Note que o denominador dessa expressão corresponde à resistência térmica, RT, da 
parede cilíndrica. 
Então, para uma parede cilíndrica, a resistência térmica é dada por: 
 𝑅𝑇 =
(ln
𝑟2
𝑟1
)
𝑘∙2∙𝜋∙𝐿
 (Resistência térmica) 
Observe que a espessura da parede cilíndrica é dada pela diferença entre os raios, r2 ‒ r1. 
 
Condução de calor através de paredes esféricas 
 
Da mesma forma como fizemos há pouco, vamos 
considerar uma esfera oca, de raio interno r1, 
submetido a um gradiente de temperatura entre a 
superfície interna e a superfície externa, como 
mostrado na figura ao lado. Se a temperatura da 
superfície interna for constante e igual a T1 e se a 
temperatura da superfície externa também for 
r1
r2
T1
T2
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 55 
 
constante, mas igual a T2, teremos, mais uma vez, 
uma transferência de calor por condução no regime 
permanente na direção radial. 
Para determinar a taxa de transferência de calor que atravessa a parede esférica 
usaremos novamente a lei de Fourier na forma diferencial, �̇� = −𝑘 ∙ 𝐴 ∙
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 , pois, mais uma 
vez, a área através do qual o calor flui varia continuamente com o raio r. 
A área esférica através da qual o calor flui é dada por: 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 
Introduzindo essa área na lei de Fourier, ficamos com: �̇� = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
Rearranjando as variáveis, obtemos: �̇� ∙
𝑑𝑟
𝑟2
= −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑𝑇 
Integrando entre T1, em r1, e T2, em r2, vem: ∫ �̇� ∙
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟2
𝑟1
= ∫ −𝑘 ∙ (4 ∙ 𝜋) ∙ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
Rearranjando e retirando as constantes dos integrandos, fica: 
 �̇� ∙ ∫ 𝑟−2𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
Após a integração, teremos: �̇� ∙ (−𝑟−1)|𝑟1
𝑟2 = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇|𝑇1
𝑇2 ) 
Substituindo os extremos de integração: �̇� ∙ [−
1
𝑟2
− (−
1
𝑟1
)] = −𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇2 − 𝑇1) 
Que pode ser reescrita como: �̇� ∙ (
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) = 𝑘 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ (𝑇1 − 𝑇2) 
Chegamos, então, à taxa de transferência de calor numa parede esférica: 
 �̇� =
𝑘∙4∙𝜋∙(𝑇1−𝑇2)
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
 (Lei de Fourier) 
O conceito de resistência térmica pode ser usado para paredes esféricas compostas, da 
mesma forma como o fizemos para paredes planas e paredes cilíndicas compostas. 
Reescrevendo a expressão anterior, teremos: �̇� =
(𝑇1−𝑇2)
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
𝑘∙4∙𝜋
 
Novamente, o denominador dessa expressão corresponde à resistência térmica, RT, da 
parede esférica. 
Então, para uma parede esférica, a resistência térmica é dada por: 
 𝑅𝑇 =
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
𝑘∙4∙𝜋
 (Resistência térmica) 
Observe que a espessura da parede esférica é dada pela diferença entre os raios, r2 ‒ r1. 
Portanto, nos casos em que temos paredes compostas (planas, cilíndricas ou esféricas), a 
taxa de transferência de calor pode ser obtida fazendo-se: 
 �̇� =
Gradiente de temperatura
Resistência térmica equivalente
=
𝑇1 − 𝑇2
𝑅equivalente
 
 
Exercícios 
 
1. Uma barra de prata com comprimento 1,0 m e área 
de secção transversal igual 25 cm2 está isolada 
lateralmente. A extremidade A da barra é mantida em 
contato com a parede de um forno à temperatura 
constante de 200 °C e a extremidade B em gelo 
fundente a 0 °C. 
Sabendo-se que o coeficiente de condutividade 
térmica da prata vale aproximadamente 
1,0 cal/(s·cm·°C), determine: 
 
a) a função T = f(x), que fornece a temperatura T da barra ao longo de seu comprimento. 
b) a temperatura da barra no ponto C, a 30 cm da extremidade A; 
c) a taxa de transferência de calor através da barra; 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 56 
 
d) a massa de gelo que se funde em 10 minutos. 
 
2. Seja considerada a parede de um ambiente condicionado com 0,20 m de espessura. 
Admitindo-se que as temperaturas nas superfícies externa e interna são, respectivamente, 
36 °C e 20 °C determine: 
a) a equação da distribuição de temperatura; 
b) o fluxo de calor através da parede; 
c) a temperatura no centro da parede. 
Considerar: k = 0,72 W/(m·K) 
 
3. Uma barra metálica é aquecida conforme a 
figura; A, B e C são termômetros. Admita a 
condução em regime estacionário e no sentido 
longitudinal da barra. Quando os termômetros 
das extremidades indicarem 200 °C e 80 °C, qual 
será a indicação do termômetro intermediário? 
 
 
4. A condutividade térmica de certo vidro utilizado em vidraças é de 1,0 W/(m·°C). 
Calcular a taxa de transferência de calor através de uma vidraça de área 2,0 m2 e 
espessura 5,0 mm se a diferença de temperaturas entre as faces é de 20 °C. 
 
5. O fluxo térmico através de uma lâmina de madeira, com espessura de 50 mm, cujas 
temperaturas são de 40 °C e 20 °C, foi determinado como de 40 W/m2. Qual é a 
condutividade térmica da madeira? 
 
6. Deseja-se que o fluxo de calor através de um bloco de amianto (k = 0,74 W·m‒1·K‒1) 
seja de 5000 W/m², para uma diferença de temperatura de 200 °C entre as faces do 
bloco. Qual deve ser a espessura do bloco? 
 
7. Através de que distância deve fluir calor por condução dos capilares sangüíneos para a 
superfície da pele humana se a diferença de temperatura é de 0,50 °C? Considere que a 
condutibilidade térmica do tecido humano vale 0,2 W/(m·°C) e que 200 W devem ser 
transferidos atravésde toda a superfície do corpo cuja área total é de 1,5 m2. 
 
8. Um recipiente tem paredes com espessura 1,0 cm, área total efetiva de 3000 cm2 e é 
constituído por um material com condutividade térmica 2·10‒5 cal/(s·cm·°C). O recipiente 
contém oxigênio líquido na temperatura de ebulição (‒188 °C) e está em contato com ar 
atmosférico a 12 °C. Sabendo-se que o calor latente de vaporização do oxigênio é 60 
cal/g, determine a velocidade de vaporização (massa vaporizada por unidade de tempo) 
do mesmo. 
 
9. Uma casa tem cinco janelas, tendo cada uma um vidro de área 1,5 m2 e espessura 
3·10‒3 m. A temperatura externa é ‒5 °C e a interna é mantida a 20 °C, através da queima 
de carvão. Considerando que a condutividade térmica do vidro vale 0,72 kcal/(h·m·°C) e 
que o calor de combustão do carvão é de 6·103 cal/g, qual é a massa de carvão 
consumida no período de 12 h para repor o calor perdido apenas pelas janelas? 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 57 
 
10. Tem-se três cilindros de secções transversais iguais de cobre, 
latão e aço, cujos comprimentos são, respectivamente, 46 cm, 13 
cm e 12 cm. Soldam-se os cilindros, formando o perfil em Y, 
indicado na figura. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a 
100 °C, e os cilindros de latão e aço a 0 °C. 
Suponha que a superfície lateral dos cilindros esteja isolada 
termicamente. As condutividades térmicas do cobre, latão e aço 
valem, respectivamente: 
0,92, 0,26 e 0,12, expressas em cal·cm‒1·s‒1·°C‒1. 
No regime estacionário de condução, qual é a temperatura na 
junção? 
 
 
11. A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com 0,15 m de 
espessura, cuja condutividade térmica é 1,7 W/(m·K). Medidas efetuadas ao longo da 
operação em regime estacionário revelam temperaturas de 1400 e 1150 K nas paredes 
interna e externa, respectivamente. Determine: 
a) o fluxo térmico através da parede; 
b) a taxa de calor perdida através de uma parede que mede 0,5 m por 1,2 m. 
 
12. A parede da fornalha de uma caldeira é construída de tijolos refratários com 0,20 m de 
espessura e condutividade térmica de 1,3 W/(m·K). A temperatura da parede interna é de 
1127 °C e a temperatura da parede externa é de 827 °C. Determine a taxa de calor 
perdido através de uma parede com 1,8 m por 2,0 m. 
 
13. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de 
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 °C. As paredes da sala, de 25 cm de 
espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 kcal/(h·m·°C) e a área 
das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar 
até a 40 °C em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que 
estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador (em HP). 
Considere: 1 HP = 641,2 kcal/h. 
 
14. Uma parede de 2 cm de espessura é construída de um material com condutibilidade 
térmica de 0,35 W/(m·°C), de tal modo que a perda de calor por unidade de superfície não 
excede 1.830 W/m2. Admitindo que as temperaturas interior e exterior da parede isolada 
são, respectivamente, 1300 °C e 30 °C, determine a espessura de isolamento necessária. 
 
15. Uma câmara de congelador é um espaço cúbico de lado 2 m. Considere que a sua 
base seja perfeitamente isolada. Qual é a espessura mínima de um isolamento à base de 
espuma de estireno [k = 0,030 W/(m·K)] que deve ser usada no topo e nas paredes 
laterais para garantir uma carga térmica menor do que 500 W, quando as superfícies 
interna e externa estiverem a ‒10 °C e 35 °C? 
 
16. Através de uma placa de aço carbono (k = 60,5 W·m‒1·K‒1) de 50 por 75 cm, com 2 
cm de espessura, existe uma taxa de transferência de calor da ordem de 2500 W. A 
temperatura de uma face da placa é 250 °C. Calcule a temperatura da outra face da 
placa. 
 
17. A base de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e 0,20 m 
de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de 17 °C e 10 °C em 
suas superfícies superior e inferior, respectivamente. Se o concreto tiver uma 
condutividade térmica de 1,4 W/(m·K), qual é a taxa de perda de calor através da base? 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 58 
 
Se o porão é aquecido por um forno a gás operando com eficiência de 90% e o gás 
natural estiver cotado a R$ 0,0285/MJ, qual é o custo diário da perda térmica? 
 
18. Qual é a espessura requerida para uma parede de alvenaria com condutividade 
térmica igual a 0,75 W/(m·K), se a taxa de calor deve ser 80% da taxa através de uma 
parede estrutural composta com uma condutividade térmica de 0,25 W/(m·K) e uma 
espessura de 100 mm? A diferença de temperaturas imposta nas duas paredes é a 
mesma. 
 
19. Uma parede de alvenaria de 2,5 m por 3,0 m e espessura de 30 cm tem, entre suas 
faces, uma diferença de temperaturas de 30°C. Considere a condutividade térmica da 
alvenaria igual a 1,0 W/(m·K) e determine: 
a) a resistência térmica de condução da parede; 
b) a taxa de transferência de calor. 
 
20. Uma fornalha industrial tem parede de tijolo refratário com 0,2 m de espessura e 
k = 1,0 W/(m·K). Esta parede é revestida externamente com uma camada isolante de 
k = 0,07 W/(m·K). A superfície interna da fornalha está a 980 °C e a externa a 38 °C. 
Determine: 
a) a espessura do isolante que permite um fluxo de calor de 900 W/m2; 
b) a temperatura da junção da parede com o isolante. 
 
21. Um vidro duplo é composto por duas lâminas 
de vidro (k = 0,93 W·m‒1·K‒1) de 4 mm de 
espessura separadas por uma camada de 2 mm 
de ar (k = 0,024 W·m‒1·K‒1). De um lado do vidro 
a temperatura é 28 °C, do outro 21 °C, como 
indicado na figura ao lado. Determine: 
a) o fluxo de calor por condução através do vidro 
duplo; 
b) as temperaturas nos pontos B e C. 
 
 
22. As paredes de uma câmara frigorífica são construídas com uma placa de cortiça de 
10 cm de espessura comprimida entre duas placas de pinho com 1,3 cm de espessura 
cada uma. A face interna, em contato com o espaço resfriado está a ‒12 °C e a externa à 
temperatura ambiente de 27 °C. Considerando que as condutividades térmicas da cortiça 
e do pinho são, respectivamente, iguais a 0,036 kcal/(h·m·°C) e 0,092 kcal/(h·m·°C), 
determine: 
a) o fluxo de calor por condução através da parede composta; 
b) a temperatura na interface entre a placa externa e a cortiça. 
 
23. Uma parede plana de 2 cm de espessura deve ser construída com material que tem 
condutividade térmica de 1,3 W/(m·°C). A parede deve ser isolada com um material cuja 
condutividade térmica é 0,35 W/(m·°C), de tal forma que a perda de calor por m2 não seja 
superior a 1830 W. Considerando que as temperaturas das superfícies interna e externa 
da parede composta são 1300 °C e 30 °C, determine: 
a) a espessura mínima do isolante. 
b) a temperatura na interface parede-isolante. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 59 
 
24. Uma parede composta é formada por uma placa de cobre de 2,5 cm, uma camada de 
amianto de 3,2 mm e uma camada de fibra de vidro de 5 cm. A parede é submetida a uma 
diferença de temperatura de 560 °C. Calcule o fluxo de calor através da estrutura 
composta. 
Dados: kcobre = 401 W/(m·°C); kamianto = 0,166 W/(m·°C); kfibra vidro = 0,048 W/(m·°C). 
 
25. Um tubo de aço carbono (k = 60,5 W·m‒1·K‒1) de 10 cm de diâmetro externo e 2 cm 
de espessura conduz vapor de água superaquecido. Se a temperatura da parede interna 
do tubo é mantida a 200 °C e a superfície externa encontra-se a 20 °C, calcule a perda de 
calor por metro de comprimento de tubo. 
 
26. Uma fábrica de condutores elétricos produz fios de 3 mm de raio com resistência de 
10,3 /m nos quais deve passar uma corrente de 4 A. Deseja-se isolá-los térmica e 
eletricamente, usando um material plástico de condutividade 0,2 kcal/(h·m·°C). Sabendo-
se que o setor de engenharia fixou a temperaturade operação do fio em 65 °C e supondo 
que a temperatura externa do isolante seja 25 °C, determinar a espessura da capa 
isolante a ser utilizada. 
 
27. Um tubo metálico de 20 m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e 1,5 cm de 
espessura é feito de um material de condutividade k = 65 kcal/(h·m·°C). O tubo é 
revestido com um isolante térmico de k = 0.04 kcal/(h·m·°C), e espessura de 10 cm. 
Sabendo-se que as temperaturas interna e externa são 250 °C e 30 °C, respectivamente, 
calcular: 
a) a taxa de transferência de calor. 
b) a temperatura na superfície que separa o tubo do isolante. 
 
28. Um tubo de parede grossa de aço inoxidável (1,8%Cr; 8%Ni, k = 19 W/m oC) com 2 
cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 3 cm 
de isolamento de amianto (k= 0,2 W/m oC). Se a temperatura da parede interna do tubo é 
mantida a 600 oC e a superfície externa do isolamento a 100 oC, calcule a perda de calor 
por metro de comprimento, e a temperatura na interface aço inox/amianto. 
 
29. Uma tubulação de aço de 8 cm de diâmetro externo é revestida com uma camada de 
1,5 cm de amianto (k = 0,208 W·m‒1·K‒1). Cobrindo o amianto há uma camada de 5 cm de 
lã de vidro com condutividade k = 0,055 W·m‒1·K‒1. A temperatura da interface lã de vidro-
amianto é 182 °C. A temperatura da superfície mais externa é 40 °C. Determine: 
a) a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento; 
b) a temperatura na superfície externa da tubulação de aço; 
c) o raio da superfície isotérmica de 100 °C. 
 
30. Calcular a perda de calor e as temperaturas nas interfaces de uma tubulação de 1 
metro de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e diâmetro externo de 220 mm, de 
material com condutividade k = 50 W/(m·°C). Esta tubulação deverá ser isolada com 50 
mm de espessura de um material com k1 = 0,2 W/(m·°C) e, também, com 80 mm de 
espessura de material com k2 = 0,1 W/(m·°C). Prever que a temperatura interna no tubo 
será 327 °C e a externa no isolamento será 47 °C. 
 
31. Um reservatório esférico destinado a encerrar oxigênio líquido, tem raio interno igual a 
1,5 m e é feito de vidro com espessura igual a 0,03 m (k = 0,6 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). O 
reservatório é revestido externamente por uma camada de lã de vidro (k = 0,03 kcal·h‒
1·m‒1·°C‒1) de espessura igual a 0,35 m. A temperatura na face interna do vidro é ‒180 °C 
e na face externa do isolamento é 10 °C. Calcular: 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 60 
 
a) a taxa de transferência de calor através da parede; 
b) a temperatura na interface vidro-isolante. 
 
32. Um tanque de aço, k = 40 kcal/(h·m·°C), de formato esférico, raio interno de 0,5 m e 
espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha, k = 0,04 kcal/(h·m·°C). A 
temperatura da face interna do tanque é 220 °C e a da face externa do isolante é 30 °C. 
Após anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1½" 
de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para o 
ambiente. Determinar: 
a) a taxa de transferência de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; 
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; 
c) qual deve ser a espessura do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor 
antes trocado com a lã de rocha. 
 
33. Um tanque de oxigênio líquido tem diâmetro de 1,20 m, um comprimento de 6 m e as 
extremidades hemisféricas. O ponto de ebulição do oxigênio é ‒182,8 °C. Procura-se um 
isolante térmico que reduza a taxa de evaporação em regime permanente a não mais que 
10 kg/h. O calor de vaporização do oxigênio é 51,82 kcal/kg. Sabendo que a temperatura 
ambiente varia entre 15 °C (inverno) e 40 °C (verão) e que a espessura do isolante não 
deve ultrapassar 75 mm, qual deverá ser a condutividade térmica do isolante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 61 
 
Aula 14 
 
Introdução 
 
A convecção é o processo de transmissão do calor entre uma superfície sólida e um 
fluido no qual a energia térmica se propaga pela movimentação de massas líquidas ou 
gasosas, que alternam suas posições no meio devido à diferença de densidade. 
Por exemplo, quando você aquece um líquido numa 
chama, as camadas inferiores, ao se aquecer, ficam 
menos densas e sobem, enquanto as camadas 
superiores menos quentes descem, pois têm maior 
densidade. Dessa forma, vai ocorrendo a mistura das 
partes aquecidas com as menos aquecidas e o 
conjunto acaba por se esquentar como um todo. Se 
você colocar pequenas partículas (por exemplo, 
macarrão “estrelinha”) no líquido que está sendo 
aquecido dessa maneira, poderá ver as partículas se 
movimentando, acompanhando as correntes de 
convecção que se formam durante o aquecimento. 
 
Observe que esse processo de transferência de calor não pode ocorrer nos sólidos. Ele é 
exclusivo dos líquidos e gases (genericamente denominados fluidos). 
As brisas que ocorrem nas regiões litorâneas podem ser explicadas pela existência de 
correntes de convecção, associadas à diferença de aquecimento da terra e do mar no 
decorrer do dia. Durante o dia, a terra está mais quente que o mar, pois a água é uma 
substância que precisa de muito calor para se aquecer (veremos adiante que isso está 
associado a uma característica especial desse líquido: seu alto calor específico). Então o 
ar mais quente, em contato com a terra, sobe por convecção e produz uma região de 
baixa pressão que “aspira” o ar que está sobre o oceano. Sopra então a brisa marítima. 
À noite o processo se inverte, e agora a água, sem o aquecimento do Sol, demora mais 
para esfriar, mantendo-se mais quente que a terra. Então, o ar sobre o mar sobe por 
convecção, produzindo uma região de baixa pressão que “aspira” o ar que está sobre a 
terra. Sopra assim a brisa terrestre. 
 
 
Convecção natural e convecção forçada 
Consideremos o resfriamento de um bloco quente exposto ao ar frio. 
Na ausência de qualquer movimento da massa fluida, a transferência de calor entre a 
superfície sólida e o fluido adjacente se dá por condução. Esse calor é, então, 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 62 
 
transportado para longe da superfície por convecção, isto é, pelo efeito combinado de 
condução dentro do ar causado por movimentos aleatório das moléculas do ar e por 
movimento da massa macroscópica do ar, uqe remove o ar aquecido próximo à superfície 
e o substitui por ar mais frio. Dizemos que, nesse caso, o resfriamneto do bloco ocorreu 
por uma convecção natural. 
A convecção é chamada convecção forçada se o fluido é obrigado a fluir sobre a 
superfície do bloco por meios externos, com o uso de um ventilador, uma bomba ou 
mesmo com a presença de vento. 
 
Convecção natural Convecção forçada 
 
Processos de transferência de calor que envolvem mudança de estado físico de fluido são 
considerados convecção por causa do movimento de fluido induzido ao longo do 
processo, como a subida de bolhas de vapor durante a ebulição ou a queda de gotículas 
de líquido durante a condensação. 
 
A lei de Newton do refriamento 
Apesar da complexidade, observa-se que a taxa 
de transferência de calor por convecção, �̇�conv, 
depende, basicamente: 
 da diferença de temperatura entre a da 
superfície, TS, e a do meio externo longe da 
superfície, T∞; 
• da área de superfície As do corpo exposta ao 
fluido; 
• das condições do ambiente no qual este corpo 
foi colocado. 
Bloco quente
Q
.
Ts
TT
As
Variação da temperatura
do ar
 
Observe que, na superfície, a temperatura do fluido é igual à temperatura da superfície 
sólida. 
A expressão matemática dessa dependência foi proposta originalmente pelo físico inglês 
Isaac Newton em 1701 e é conhecida hoje como lei de resfriamento de Newton. 
De acordo com Newton: 
 �̇� = ℎ ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇∞)Nessa expressão, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção ou 
coeficiente de película. No SI, o coeficiente de transferência de calor por convecção é 
medido em W/(m2·K). 
Os engenheiros têm usado esta relação durante anos, ainda que ela seja uma definição 
de h, e não uma lei fenomenológica da convecção. A avaliação do coeficiente de película 
é difícil, porque a convecção é um fenômeno bastante complexo. 
O coeficiente de película h não é uma propriedade do fluido. Trata-se de um parâmetro 
determinado experimentalmente, cujo valor depende de todas as variáveis que 
influenciam a convecção, como geometria da superfície, natureza do movimento do fluido, 
propriedades do fluido e velocidade da massa de fluido. Como essas grandezas não são 
necessariamente constantes ao longo de toda a superfície, o coeficiente de transferência 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 63 
 
de calor por convecção também pode variar de ponto para ponto. Por esta razão, deve-se 
distinguir entre um coeficiente de transferência de calor por convecção médio e um local. 
Na maioria das aplicações de engenharia, estaremos interessados em valores médios de 
h, cujos valores típicos são apresentados na tabela a seguir. 
 
Tipo de convecção h [W/(m2·K)] 
Convecção natural de 
gases 
2-25 
Convecção natural de 
líquidos 
10-1.000 
Convecção forçada de 
gases 
25-250 
Convecção forçada de 
líquidos 
50-20.000 
Ebulição e condensação 2.500-
100.000 
 
Resistência térmica na convecção 
 
Da mesma forma como fizemos com a transferência de calor por condução, na 
transferência de calor por convecção também podemos fazer uma analogia com a 
passagem de corrente elétrica através de um resistor: 
 a taxa de transferência de calor, �̇�, é análoga à corrente elétrica i (um movimento 
ordenado de cargas elétricas) 
 o gradiente de temperatura, 𝑇𝑠 − 𝑇∞, é análogo à diferença de potencial, U = VA ‒ VB, 
que provoca o surgimento da corrente elétrica. 
A lei de Newton do resfriamento estabelece que: �̇� = ℎ ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
Podemos reescrever a lei de Newton como: 
 
�̇� =
(𝑇𝑠−𝑇∞)
1
ℎ∙𝐴𝑠
 (Lei de Newton) 
 
Por comparação, concluímos que a grandeza 
1
ℎ∙𝐴𝑠
 é equivalente a uma resistência térmica, 
RT, imposta pela parede à passagem de calor através dela. Portanto: 
 
 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
ℎ∙𝐴𝑠
 (resistência térmica) 
 
Mecanismos combinados de condução e convecção 
 
Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas, 
como mostrado na figura a seguir. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 64 
 
Se as temperaturas T1 e T4 dos fluidos são constantes, será estabelecido um fluxo de 
calor único e constante através da parede (regime permanente). 
Um bom exemplo desta situação é a transferência de calor gerado pela combustão dentro 
de um forno, que atravessa a parede por condução e se dissipa no ar atmosférico. 
Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de condução e 
convecção, a analogia com um circuito elétrico continua válida; sendo que a resistência 
total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando se por 
convecção ou condução. 
 
Exercícios 
 
1. Um fio elétrico de 2 m de comprimento e 0,3 cm de diâmetro se estende por uma sala a 
15 °C. Calor é gerado no fio como resultado do aquecimento da resistência. A medida da 
temperatura na superfície do fio é 152 °C, em funcionamento estável. Além disso, as 
medidas da queda de tensão e da corrente elétrica através do fio são 60 V e 1,5 A, 
respectivamente. Ignorando qualquer transferência por radiação, determine o coeficiente 
de transmissão de calor por convecção para a transferência de calor entre a superfície 
externa do fio e o ar da sala. 
 
2. Um condutor de uma linha de transmissão de 5000 A, com diâmetro de 1 polegada, 
comprimento de 1 m e resistência elétrica de 3,28·10‒6 Ω, dissipa calor no ambiente a 
35 °C. Considerando que o coeficiente de transmissão de calor por convecção para a 
transferência de calor entre a superfície externa do fio e o ar vale 10 W/(m2·°C), determine 
a temperatura externa do condutor. 
 
3. Por um fio de aço inoxidável de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 20 A. 
A resistividade do aço pode ser tomada como 70 Ω·m, e o comprimento do fio é 1 m. O 
fio está imerso num fluido a 110 °C e o coeficiente de transferência de calor por 
convecção é 4 kW/(m2·°C. Calcule a temperatura do fio. 
 
4. A superfície de uma placa de aço de 8 m2 é mantida a uma temperatura de 150 °C. 
Uma corrente de ar é soprada por um ventilador e passa sobre a superfície da placa. O ar 
se encontra a uma temperatura de 25 °C. Calcular a taxa de transferência de calor 
trocado por convecção entre a placa e o ar, considerando um coeficiente de troca de 
calorpor convecção de 150 W/(m2·K). 
 
5. Ar a 20 °C escoa sobre uma placa aquecida de 50 x 75 cm2, mantida a 250 °C. o 
coeficiente de transferência de calor por convecção é 25 W/(m2·°C). Calcule o taxa de 
calor transferido da placa para o ar. 
 
6. Uma placa de gelo com 10 mm de espessura e 300 mm em cada lado é colocada sobre 
uma superfície bem isolada. Na superfície superior, a placa está exposta ao ar ambiente 
em um local onde a temperatura é 25 °C e o coeficiente de película é 30 kcal/(h·m2·°C). 
Desprezando a transferência de calor pelas laterais da placa e supondo que a mistura 
gelo-água permanece a 0 °C, quanto tempo é necessário para a fusão completa da 
placa? A densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 kg/m3 e 80,3 kcal/kg, 
respectivamente. 
 
7. A parede de um reservatório tem 10 cm de espessura e condutividade térmica de 
5 kcal/(h·m·°C). A temperatura dentro do reservatório é 150 °C e o coeficiente de 
transmissão de calor na parede interna é 10 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente é 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 65 
 
20 °C e o coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 8 kcal/(h·m2·°C). 
Calcular a taxa de transferência de calor para 20 m2 de área de troca. 
 
8. A parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo refratário, com 
condutividade 1,2 kcal/(h·m·°C) e 0,13 m de tijolo isolante, com condutividade 
0,15 kcal/(h·m·°C). A temperatura dos gases dentro do forno é 1.700 °C e o coeficiente 
de película na parede interna é 58 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente é 27 °C e o 
coeficiente de película na parede externa é 12,5 kcal/(h·m2·°C). Desprezando a 
resistência térmica das juntas de argamassa, determine : 
a) o fluxo de calor por m2 de parede; 
b) a temperatura nas superfícies interna e externa da parede. 
 
9. A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um material de 
k = 1,31 W/(m·K). Em um dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas: 
temperatura do ar interior = 21,1 °C; temperatura do ar exterior = ‒9,4 °C; temperatura da 
face interna da parede = 13,3 °C; temperatura da face externa da parede = ‒6,9 °C. 
Determine: 
a) o fluxo de calor através da parede; 
b)Calcular os coeficientes de película interno e externo à parede. 
 
10. A parede de uma fornalha é constituída de três 
camadas: 10 cm de tijolo refratário (0,6 kcal·h‒1·m‒
1·°C‒1), 20 cm de amianto (0,09 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1) e 
5 cm de argamassa (3 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). A 
temperatura dentro da fornalha é de 1000 °C e o 
coeficiente de transmissão de calor na parede 
interna é 10 kcal/(h·m2·°C). A temperatura ambiente 
é 30 °C e o coeficiente de transmissão de calor na 
parede externa é 2 kcal/(h·m2·°C). 
 
Calcular a taxa de transferência de calor, sabendo-se que a área de troca é 30 m2. 
 
11. No exercício anterior, determine a espessura da camada de amianto de modo a 
reduzir a taxa de transferência de calor para 5.000 kcal/h. 
 
12. Um reator de paredes planas foi construídoem aço inox e tem formato cúbico com 2 
m de lado. A temperatura no interior do reator é 600 °C e o coeficiente de película 
interno é 45 kcal/(h·m2·°C). Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isolá-lo com lã 
de rocha, cuja condutividade é 0,05 kcal/(h·m·°C), de modo a reduzir a transferência de 
calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar 
ambiente está a 20 °C com coeficiente de película 5 kcal/(h·m2·°C), determine : 
a) a taxa de transferência de calor antes da aplicação do isolamento; 
b) a espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento 
na face externa deve ser igual a 62 °C; 
c) A redução (em %) da taxa de transferência de calor após a aplicação do isolamento. 
 
13. A parede plana de um tanque para armazenagem de produtos químicos é constituída 
de uma camada interna à base de carbono, k = 10 kcal/(h·m·°C), de 40 mm de espessura, 
uma camada intermediária de refratário, k = 0,14 kcal/(h·m·°C) e um invólucro de aço, 
k = 45 kcal/(h·m·°C) com 10 mm de espessura. 
Com a superfície interna da camada carbono a 190 °C e o ar ambiente a 30 °C, a 
temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C por motivos de 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 66 
 
segurança dos trabalhadores. Considerando que o coeficiente de película no ar externo é 
12 kcal/(h·m2·°C), determine: 
a) a espessura mínima do refratário; 
b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for trocada por 
uma de isolante com condutividade 0,03 kcal/(h·m·°C) de mesma espessura. 
 
14. Um delgado chip de silício de resistência térmica 
desprezível e uma base de alumínio de 8 mm de 
espessura, kalumíno = 238 W/(m·K), são separados por uma 
cola de epoxy de resistência térmica 0,9·10‒4 K/W. A face 
superior do chip e a face inferior da base de alumínio 
estão expostas ao ar na temperatura de 298 K e com 
coeficiente de película de 100 W/(m2·K). O chip dissipa 
calor na razão de 104 W por m2 de superfície (inferior e 
superior) e sua temperatura deve ser mantida abaixo de 
358 K (desprezar a transferência de calor pelas áreas 
laterais). 
 
a) Responda se a temperatura do chip ficará abaixo da máxima temperatura permitida. 
b) Calcule qual deveria ser a resistência da cola para que o limite de temperatura do chip 
seja ultrapassado em 1 K. 
 
15. Determine a perda de calor, por metro linear, de um tubo 
(diâmetro externo = 88,9 mm; diâmetro interno = 77,9 mm; 
k = 37 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1), coberto com isolação de amianto 
de 13 mm de espessura (k = 0,16 kcal·h‒1·m‒1·°C‒1). O tubo 
transporta um fluido a 150 °C com coeficiente de transmissão 
de calor interno de 195 kcal/(h·m2·°C), e está exposto a 
um meio ambiente a 27 °C, com coeficiente de transmissão 
de calor médio, do lado externo, de 20 kcal/(h·m2·°C). 
 
16. Para o tubo mostrado na figura ao lado são dados: 
L = 300 m; R1 = 10 cm; e1 = 1,8 cm; e2 = 15 cm; 
k1 = 50 kcal/(h·m·°C); k2 = 0,15 kcal/(h·m·°C); 
h1 = 10 kcal/(h·m
2·°C); h2 = 8 kcal/(h·m
2·°C) 
Determine: 
a) a taxa de transferência de calor; 
b) as temperaturas T1, T2 e T3 nas faces. 
 
 
17. Um recipiente esférico é usado para armazenar nitrogênio líquido a 77 K (ponto de 
ebulição). O recipiente tem 0,5 m de diâmetro interno e é isolado com uma camada de pó 
de sílica, k = 0,0017 W/(m·K). O isolamento tem 25 mm de espessura e sua superfície 
externa está exposta ao ar a 300 K. O coeficiente de película externo é 20 W/(m2·K). O 
calor latente de vaporização e a densidade do nitrogênio são 2·105 J/Kg e 804 kg/m3, 
respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das paredes 
metálicas do recipiente, calcule: 
a) a taxa de calor transferido para o nitrogênio; 
b) a taxa de evaporação do nitrogênio em litros/dia (existe um respiro para a saída dos 
gases). 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 67 
 
Aula 15 
 
Introdução 
 
A radiação pode se definida como o processo pelo qual calor é transferido de uma 
superfície em temperatura mais alta para um superfície em temperatura mais baixa 
quando tais superfícies estão separados no espaço, ainda que exista vácuo entre elas. A 
energia assim transferida é chamada radiação térmica e é feita sob a forma de ondas 
eletromagnéticas, com comprimentos de onda na faixa de 0,1 μm a 1 μm. 
O exemplo mais evidente que podemos dar é o próprio calor que recebemos do Sol. 
Neste caso, mesmo havendo vácuo entre a superfície do Sol (cuja temperatura é 
aproximadamente 5500 K) e a superfície da terra, a vida na terra depende desta energia 
recebida. Esta energia chega até nós na forma de ondas eletromagnéticas. 
As ondas eletromagnéticas são comuns a muitos outros fenômenos e o tipo de onda 
depende basicamente de sua frequência: ondas de rádio e TV, infravermelho, luz visível, 
ultravioleta, raios-X e raios gama, como mostrado no espectro eletromagnético a seguir. 
 
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
0,1 10
l  ( m)
Luz visível
Radiação térmica
Raios gama
e raios X
Microondas
e ondas de rádio
0,4 0,8
 
 
As emissões de ondas eletromagnéticas podem ser atribuídas a variações das 
configurações eletrônicas dos constituintes de átomos e moléculas, e ocorrem devido a 
vários fenômenos, porém, para a transferência de calor interessa apenas as ondas 
eletromagnéticas resultantes de uma diferença de temperatura (radiações térmicas). As 
suas características são: 
 Todos os corpos em temperatura acima do zero absoluto emitem continuamente 
radiação térmica; 
 A radiação térmica, concentrada na faixa de ultravioleta, visível e infravermelho, 
propaga-se na velocidade da luz (300.000 km/s); 
A intensidade da radiação varia com o comprimento de onda. 
 O poder de emissão ou poder emissivo (E) é a energia radiante total emitida por um 
corpo, por unidade de tempo e por unidade de área (kcal·h‒1·m‒2; W/m2), ou seja, 
corresponde ao fluxo de calor, �̇�. 
A análise espectroscópica mostra que a intensidade das radiações térmicas varia como 
mostrado na figura a seguir. O pico máximo de emissão ocorre para um comprimento de 
onda (lmáx), cuja posição é função da temperatura absoluta do corpo emissor (radiador). 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 68 
 
 
 
Do exposto até aqui, duas conclusões importantes podem ser tiradas: 
 ao contrário da condução e da convecção, não há necessidade de um meio material 
para ocorrer a transferência de calor por radiação; esta pode ocorrer até mesmo no 
vácuo; 
 qualquer corpo emite calor por radiação; quanto mais quente estiver o corpo, maior a 
quantidade de calor emitida por ele; 
 
Propriedades dos materiais em relação à radiação 
 
Quando uma energia radiante atinge a superfície de um corpo, parte da energia total é 
refletida, parte é absorvida, e parte é transmitida através do corpo como mostra a figura a 
seguir. 
 
Vamos considerar que: 
ρ - fração de energia refletida (refletividade) 
α - fração de energia absorvida (absortividade) 
 - fração de energia transmitida através do corpo (transmissividade) 
Aplicando o princípio da conservação da energia, tem-se que: ρ + α +  = 1 
A refletividade ρ, a absortividade α e a transmissividade τ são propriedades térmicas dos 
materiais. 
A maioria dos corpos sólidos não transmite radiação térmica (são opacos à esta 
radiação). Sendo assim, para muitos problemas aplicados, a transmissividade pode ser 
considerada igual a zero ( = 0). Assim: ρ + α = 1 
 
Lei de Stefan-Boltzmann ‒ Corpo negro e corpo cinzento 
 
Corpo negro é um conceito teórico padrão que estabelece um limite superior de 
radiação, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, com o qual as características 
de radiação dos outros meios são comparadas. Portanto, é uma superfície ideal que tem 
as seguintes propriedades: absorve toda a radiação incidente (α = 1), independente do comprimento de onda e da 
direção; 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 69 
 
 para uma temperatura e comprimento de onda dados, nenhuma superfície pode emitir 
mais energia do que um corpo negro; 
 embora a radiação emitida por um corpo negro seja uma função do comprimento de 
onda e da temperatura, ela é independente da direção, ou seja, o corpo negro é um 
emissor difuso. 
O limite superior para o poder emissivo de um corpo negro foi determinado 
experimentalmente em 1879 pelo físico esloveno Josef Stefan e matematicamente pelo 
seu aluno Ludwig Eduard Boltzmann em 1884: 
 
 𝐸𝑛 = 𝜎 ∙ 𝑇
4 (Lei de Stefan-Boltzmann) ⟹ �̇�𝑛 = 𝜎 ∙ 𝐴 ∙ 𝑇
4 
 
Na lei de Stefan-Boltzmann, T é a temperatura absoluta (K) na superfície do corpo negro 
e σ é a constante de Stefan-Boltzmann: 
 
 𝜎 = 5,669 ∙ 10−8
W
m2∙K
4
= 4,88 ∙ 10−8
kcal
h∙m2∙K
4
= 0,173 ∙ 10−8
Btu
h∙ft
2
∙R
4
 
 
Portanto, a máxima taxa de transferência de calor que um corpo pode emitir, de acordo 
com a Lei de Stefan-Boltzmann, é a de um corpo negro. 
Porém, no mundo físico real, nenhum material se comporta exatamente como um corpo 
negro. Alguns materiais podem chegar bem próximos deste comportamento. Outros 
materiais, porém, possuem um poder de emissão de radiação térmica bem inferior. Tais 
corpos são denominados corpos cinzentos. 
Corpo cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da energia 
emitida ou absorvida por um corpo negro, aproximando-se das características dos corpos 
reais, como mostra a figura seguinte. 
 
Desta maneira, torna-se necessário definir uma nova propriedade física do material, 
chamada emissividade, representada por ε. 
Fisicamente falando, a emissividade de uma superfície, representa a relação entre o 
poder emissivo desta superfície, e o poder emissivo de um corpo negro à mesma 
temperatura, ou seja: 𝜀 =
𝐸𝑐
𝐸𝑛
 , em que Ec é o poder emissor do corpo cinzento e En é o 
poder emissor de um corpo negro. 
A partir da lei de Kirchhoff do estado da radiação, pode-se provar que esta relação é 
igual à absortividade (α) da superfície ou do corpo. Ou seja, a capacidade de emissão de 
energia radiante de um corpo é igual à sua capacidade de absorção desta mesma 
energia. Assim: 𝜀 = 𝛼 . 
Assim como a absortividade, o valor da emissividade está na faixa 0 ≤ 𝜀 ≤ 1. Um corpo 
negro absorve toda a radiação incidente sobre ele. Isto é, um corpo negro é um perfeito 
absorvedor (α = 1) e um perfeito emissor ( = 1). Os corpos cinzentos têm emissividade 
() sempre menor que 1. 
Portanto, para um corpo cinzento: 𝐸𝑐 = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝑇
4 ⟹ �̇�𝑐 = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴 ∙ 𝑇
4 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 70 
 
As tabelas a seguir mostram os valores utilizados para a emissividade de alguns 
materiais. 
 
Tabela 1 – Emissividade de metais 
 
SUPERFÍCIE EMISSIVIDADE ε 
Alumínio 
película 0,04 
folha comercial 0,09 
placa polida 0,039 - 0,057 
oxidado 0,20 - 0,31 
anodizado 0,82 
 
Latão 
polido 0,03 
placa opaca 0,22 
 
Cobre 
polido 0,023 - 0,052 
placa, aquecida por muito tempo, coberta de óxido 0,78 
 
Aço, polido 0,066 
 
Ferro 
polido 0,14 - 0,38 
fundido 0,44 
fundido, aquecido 0,60 - 0,70 
 
Superfícies oxidadas 
placa de ferro, ferrugem vermelha 0,61 
ferro, superfície cinza-escuro 0,31 
folha de aço, fortemente oxidada 0,80 
 
Aço inoxidável 
polido 0,074 
comum, polido 0,19 
comum, limpo 0,24 
comum 0,54 - 0,63 
 
Zinco, placa de ferro galvanizada 0,23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 71 
 
Tabela 2 – Emissividade de materiais refratários e de construção, tintas e materiais 
diversos 
 
SUPERFÍCIE EMISSIVIDADE ε 
Amianto, placa 0,93 - 0,96 
 
Teflon 0,85 
 
Tijolos 
bruto, sem irregularidades (tijolo vermelho) 0,93 - 0,96 
refratário 0,75 
refratário de alumina 0,40 
refratário de magnésia 0,45 
 
Concreto 0,88 - 0,93 
 
Madeira 0,82 - 0,92 
Vidro 
liso, de janela 0,90 - 0,95 
pyrex 0,80 - 0,82 
 
Tintas 
negra 0,98 
branca (acrílica) 0,90 
branca, zincada (óxido de zinco) 0,92 
esmalte sobre ferro, branco 0,90 
laca preta brilhante sobre ferro 0,875 
 
Borracha 0,94 
 
Solo 0,93 - 0,96 
Areia 0,90 
Pedras 0,88 - 0,95 
Vegetação 0,92 - 0,96 
 
Asfalto 0,85 - 0,93 
 
Água 0,95 - 0,96 
Neve 0,82 - 0,90 
Gelo 0,95 - 0,98 
 
Pele humana 0,95 
 
Tecidos 0,75 - 0,90 
 
Papel 0,92 - 0,97 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 72 
 
A diferença entre as taxas de radiação emitida pela superfície e de radiação absorvida é a 
transferência de calor líquida por radiação. Se a taxa de absorção de radiação é maior do 
que a taxa de emissão da radiação, a superfície está ganhando energia. Caso contrário, 
a superfície está perdendo energia por radiação. Em geral, a determinação da taxa 
líquida de transferência de calor por radiação entre duas superfícies é uma questão 
complicada, uma vez que depende das propriedades das superfícies, das orientações de 
uma em relação às outras e da interação no meio entre as superfícies com radiação. 
Quando uma superfície de emissividade 𝜀 e área 
superficial As a uma temperatura termodinâmica Ts é 
completamente delimitada por superfície maior (ou 
negra) a uma temperatura termodinâmica Tcir separadas 
por um gás (como o ar) que não intervém na radiação, a 
taxa líquida de transferência de calor por radiação entre 
essas duas superfícies é dada por: 
 �̇�rad = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠
4 − 𝑇cir
4 ) 
Qemit
Qinc
Superfícies vizinhas em Tcir
, , A Ts s
Ar
 
Nesse caso específico, emissividade e área da superfície envolvente não tem nenhum 
efeito sobre a transferência de calor líquida por radiação. 
 
Mecanismos combinados de convecção e radiação 
 
A transferência de radiação de calor de ou para uma superfície cercada de gás, como o 
ar, ocorre paralelamente por condução (ou convecção, se houver um movimento da 
massa de gás) entre a superfície e o gás. Assim, a transferência total de calor é 
determinada pela adição das contribuições de ambos os mecanismos de transferênciade 
calor. 
Portanto, a taxa total de transferência de calor a partir de ou para uma superfície por 
convecção e por radiação é expressa como: 
 �̇�total = �̇�conv + �̇�rad 
 �̇�total = ℎconv ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇𝑐𝑖𝑟𝑐) + 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠
4 − 𝑇cir
4 ) (I) 
Por simplicidade e conveniência, isso é muitas vezes feito por meio da definição de um 
coeficiente combinado de transferência de calor hcombinado, que inclui tanto os efeitos 
da radiação quanto os da convecção. Então, podemos dizer que: 
 �̇�total = ℎcombinado ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇𝑐𝑖𝑟𝑐) (II) 
Da matemática básica, temos que: 𝑎4 − 𝑏4 = (𝑎2 + 𝑏2) ∙ (𝑎2 − 𝑏2) = (𝑎2 + 𝑏2) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙
(𝑎 − 𝑏) 
Então, comparando (I) e (II), obtemos: ℎcombinado = ℎconv + 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ (𝑇𝑠 + 𝑇𝑐𝑖𝑟) ∙ (𝑇𝑠
2 + 𝑇𝑐𝑖𝑟
2 ) 
Note que o coeficiente de transferência de calor combinado é essencialmente um 
coeficiente de transferência de calor por convecção modificado para incluir os efeitos da 
radiação. 
Em geral, a radiação é significativa em relação à condução ou à convecção natural, mas 
insignificante em relação à convecção forçada. Assim, em aplicações de convecção 
forçada, a radiação é geralmente ignorada, sobretudo quando as superfícies têm 
emissividade baixa e temperatura baixa a moderada. 
 
Exercícios 
 
1. A superfície de uma placa de aço polido, de 8 m² de superfície, é mantida a uma 
temperatura de 150 °C. O ar, bem como o ambiente que a cerca, se encontra a uma 
temperatura de 25 °C. Considere que a emissividade do aço polido vale 0,07. Calcule a 
taxa de transferência de calor trocado por radiação, entre a placae o ar. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 73 
 
2. Considere uma pessoa em pé em uma sala mantida a 22 °C durante todo o tempo. As 
superfícies interiores de paredes, pavimento e teto estão em uma temperatura média de 
10 °C no inverno e 25 °C no verão. Determine a taxa de transferência de calor por 
radiação entre essa pessoa e as superfícies ao seu redor, se a área e a temperatura 
média das superfíces expostas da pessoa são 1,4 m2 e 30 °C, respectivamente. 
Considere que a emissividade da pessoa vale 0,95. Dado: σ = 5,67·10‒8 W·m‒2·K‒4. 
 
3. Considere uma pessoa em pé em uma sala a 20 °C. Determine a taxa total de 
transferência de calor dessa pessoa considerando que a superfície exposta e a 
temperatura da superfície da pessoa são 1,6 m2 e 29 °C, respectivamente. O coeficiente 
de transferência de calor por convecção é de 6 W/(m2·K) e a emissividade da pessoa é 
0,95. Dado: σ = 5,67·10‒8 W·m‒2·K‒4. 
 
4. Uma fina placa metálica é isolada na parte traseira e exposta à radiação solar na 
superfície frontal. A superfície exposta da placa tem absortividade de 0,6 para radiação 
solar. Considerando que a radiação solar incide sobre a placa a uma taxa de 700 W/m2 e 
a temperatura do ar nas vizinhanças é de 25 °C, determine a temperatura da superfície da 
placa quando a perda de calor por convecção e radiação iguala-se à energia solar 
absorvida pela placa. Assuma o coeficiente combinado de transferência de calor por 
convecção e radiação de 50 W/(m2·K). 
 
5. Uma tubulação de vapor d’água sem isolamento térmico atravessa uma sala na qual o 
ar e as paredes se encontram a 25 °C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a 
temperatura de sua superfície é de 200 °C e esta superfície tem emissividade 0,8. 
a) Quais são os valores do fluxo de calor emitido por radiação pela superfície do tubo e a 
recebida das paredes da sala? 
b) Sendo o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da 
superfície para o ar de 15 W/(m2·K), qual é a taxa de calor perdida pela superfície por 
unidade de comprimento do tubo? 
 
6. Um tubo longo, de 10 cm de diâmetro, que conduz vapor d'água, fica exposto em uma 
casa de máquinas, onde a temperatura ambiente é 25 °C. A temperatura da parede 
externa do tubo é medida em 120 °C. Calcule a taxa de transferência de calor total do 
tubo para o ambiente. O comprimento total de tubo que percorre a casa de máquinas é de 
6 m. A emissividade do tubo é 0,7, e o coeficiente de transferência de calor por convecção 
para essa situação é de 8,5 W/(m²·K). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 74 
 
Aula 16 
 
Introdução 
 
Quando há um desequilíbrio de uma substância no meio, a natureza tende a redistribuí-la 
até que o “equilíbrio” ou “igualdade” seja estabelecido. Essa tendência é muitas vezes 
referida como força motriz, que é o mecanismo subjacente a muitos fenômenos de 
transporte que ocorrem naturalmente. 
Se definirmos a quantidade da substância por unidade de volume como a concentração 
dessa substância, podemos dizer que o fluxo da substância ocorre sempre no sentido da 
redução da concentração, isto é, a partir da região de alta concentração para a região de 
baixa concentração. A substância simplesmente se espalha durante a redistribuição, 
portanto o fluxo é um processo de difusão. 
A taxa de fluxo da substância é proporcional ao gradiente de concentração, dC/dx, que é 
a mudança de concentração C por unidade de comprimento na direção do fluxo x e a área 
A normal à direção do fluxo. 
Introduzindo-se uma constante de proporcionalidade, kdif, que leva em conta a rapidez 
com a qual a substância é difundida no meio, podemos escrever: 
 
dx
dC
AkQ dif 
 
 
Observe que esta expressão tem a mesma forma que a lei de Fourier da condução. 
 
Analogia entre transferência de calor e transferência de massa 
 
A partir deste ponto poderemos usar nossos conhecimentos sobre transferência de calor 
para estabelecer uma analogia com a transferência de massa. 
 
● Temperatura 
 
A força motriz para a transferência de calor 
é a diferença de temperatura. Em 
contrapartida, a força motriz para a 
transferência de massa é a diferença de 
concentração. Da mesma forma que não 
ocorre transferência de calor sem um 
gradiente de temperatura, não ocorre 
transferência de massa se não houver um 
gradiente de concentração. 
70 °C
70%
CO2
10 °C
Calor
Massa
10%
CO2 
 
● Condução 
 
Já sabemos que o calor é transferido por condução, convecção e radiação. A massa, 
porém, é transferida apenas por condução (chamada difusão) e convecção, não havendo 
“radiação de massa”. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 75 
 
Corpo
quente
Massa
Radiação térmica
Sem radiação
de massa
 
 
Em 1855, o médico e biofísico alemão Adolf Eugen Fick propôs, de forma análoga à lei de 
Fourier para a transferência de calor por condução, que a taxa de difusão de massa �̇�𝑑𝑖𝑓 
da espécie química A no meio estacionário na direção x é proporcional ao gradiente de 
concentração dC/dx nessa direção e é expressa por: 
 
dx
dC
ADm AABdif 
 ou 
dx
dC
DJ AAB 
 (Lei de Fick da difusão) 
 
Nessa expressão, DAB é o coeficiente de difusão (ou difusividade de massa) da 
espécie na mistura e CA é a concentração da espécie na mistura nesse local. A grandeza 
dt
dm
AA
m
J difdif 

1 é denominada fluxo de difusão de massa. 
É importante destacar que a lei de Flick da difusão é válida em um regime estacionário e 
que o sinal negativo faz-se necessário, pois o fluxo de massa acontece no sentido da 
concentração decrescente. 
 
● Convecção 
 
A taxa de convecção de massa pode ser obtida por analogia com a lei de resfriamento de 
Newton, �̇� = ℎ ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑇𝑠 − 𝑇∞). Assim, para a convecção de massa temos: 
 
 

 CCAhm ssmassaconv
 
 
Nessa expressão, hmassa é o coeficiente de transferência de massa, As é a área da 
superfície e (Cs − C∞) é a diferença de concentração. 
É importante destacar que devemos ter muito cuidado com as unidades de medida a 
serem utilizadas. O fluxo de difusão de massa, J, pode ser medido, por exemplo, em 
kg/(m2∙s) ou em mol/(cm2∙min) ou em número de átomos/(m2∙h). 
 
Exercícios 
 
1. Uma placa de ferro é exposta a uma atmosfera carbonetante (rica em carbono) por um 
de seus lados, e uma atmosfera descarbonetante pelo outro lado, a 700°C. Se uma 
condição de estado estacionário é atingida, calcule o fluxo de difusão do carbono através 
da placa, sabendo-se que as concentrações de carbono nas posições a 5 mm e a 10 mm 
abaixo da superfície carbonentante são de 1,2 kg/m3 e 0,8 kg/m3, respectivamente. 
Suponha um coeficiente de difusão de 3∙10−11 m2/s a essa temperatura. 
Resp.: J = 2,4∙10−9 kg/(m2∙s) 
 
2. Uma mistura gasosa contendo H2, N2, O2 e vapor d’água é pressurizada contra uma 
lâmina de 6 mm de espessura de paládio cuja área é 0,25 m2 a 600 °C. O coeficiente de 
difusão é DH/Pd(600ºC) = 1,7∙10
−8 m2/s e as concentrações no lado da placa de alta e baixa 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 76 
 
pressão são, respectivamente, 2,0 e 0,4 kgH2/m
3
Pd e a difusão acontece em estado 
estacionário. H2 é purificado por difundir-se mais rapidamente que os demais gases, 
atingindo a outra face da lâmina que esta mantida sob pressão atmosférica. Calcular o 
fluxo de difusão do H2 (purificação) em kg/hora. 
Resp.: J = 4,08∙10−3 kg/h 
 
3. Você está trabalhando para a Intech e seu trabalho é endurecer titânio pela difusão do 
carbono. A concentração de carbono a 1 mm abaixo da superfície da placa de titânio é de 
0,25 kg /m3 e a 3 mm a concentração é de 0,68 kg /m3. A temperatura do ambiente de 
cementação é 925 °C, e a taxa à qual o carbono está a entrar nesta região 2 mm de 
espessura é 1.27∙10−9 kg/(m2∙s).Qual é o coeficiente de difusão para este tratamento em 
particular? 
Resp.: D = 5,91∙10−12 m2/s 
 
4. Uma lâmina de ferro com 1,0 mm de espessura é exposta, a 725 °C, a um gás de 
cementação em um lado e a um gás descarbonatado do outro. Após atingir o estado 
estacionário, a lâmina de ferro é resfriada à temperatura ambiente e as concentrações de 
C em cada lado da lâminaa são 0,270 kg/m3 (0,012% em peso) e 1,688 kg/m3 (0,075% 
em peso). Calcular o coeficiente de difusão, se o fluxo de difusão for igual a 1.4∙10−8 
kg/(m2∙s). 
Resp.: D = 9.87∙10−12 m2/s 
 
5. O diclorometano (CH2Cl2) é um ingrediente comum em decapantes de tintas. Além de 
causar irritações, pode ser absorvido pela pele. Deve-se usar luvas de proteção quando 
manipular este decapante. Usando-se luvas de borracha butílica, com 0,04 cm de 
espessura, qual é o fluxo de diclorometano através da luva? 
Dados: Coeficiente de difusão em borracha butílica: 110∙10−12 m2/s 
Concentrações superficiais: C1 = 440 kg/m
3 e C2 = 20 kg/m
3 
Resp.: J = 1,16∙10−4 kg/(m2∙s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 77 
 
Respostas e Soluções dos Exercícios 
 
Aula 2 
 
1. a) [Área] = L2 
b) [Volume] = L3 
c) [Velocidade] = LT‒1 
d) [Aceleração] = LT‒2 
e) [Vazão (em volume)] = L3T‒1 
f) [Vazão (em massa)] = MT‒1 
g) [Força] = MLT‒2 
h) [Massa específica] = ML‒3 
i) [Peso específico] = ML‒2T‒2 
j) [Pressão] = ML‒1T‒2 
k) [Energia] = ML2T‒2 
l) [Potência] = ML2T‒3 
 
2. a) [p/ρ] = 
22
3
21
TL
ML
TML 



 
b) [p·V·ρ] = ML‒1T‒2 · LT‒1 · ML‒3 = M2L‒3T‒3 
 
c) [p/(ρ·V2)] = 
nal)(adimensioTLM
TML
TML
)(LTML
TML 000
21
21
213
21




 
 
3. A equação é homogênea se a equação dimensional do 1º membro for igual à equação 
dimensional do 2º membro. 
O primeiro membro da equação, Q, tem dimensão: 
[Q] = L3T‒1 
O segundo membro, 
hgA  20,61
, tem dimensão: 
      13122122   TLLTLLLTLhgA /
 
Portanto, a equação é homogênea. 
 
4. a) 
3cm2,32
50
21,5  V
VV
m
 
b) 
g24,4
2,32
10,5  m
m
V
m
 
 
5. Dois cilindros são aparentemente iguais, com 10 cm2 de área na base e 5,0 cm de 
altura. Entretanto, enquanto um deles é de ouro maciço (ρ = 19,3 g/cm3), o outro tem o 
interior vazio, tendo apenas as paredes de ouro, correspondendo a 10% de seu volume 
total. 
a) Compare percentualmente as massas dos dois cilindros. 
b) Calcule a densidade do segundo cilindro. 
 
a) O volume de ambos os cilindros é de 50 cm3. 
Para o cilindro maciço, temos: 
g965
50
19,3  maciço
maciço
m
m
V
m . 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 78 
 
Para o cilindro oco, o volume de ouro é de 5 cm3, correspondendo a 10% de seu volume 
total. Então: 
g96,5
5
19,3  oco
oco m
m
V
m
. 
Logo, a massa do cilindro oco é 10% da massa do cilindro maciço. 
b) Para o cilindro oco: 
3
ocooco g/cm1,93
50
96,5
 
V
m
 
 
6. a) Para o líquido A, temos: 
g600
400
1,50  A
A m
m
V
m
. 
E, para o líquido B: 
g240
300
0,80  B
B m
m
V
m
. 
Então, para a mistura: 
3
mm g/cm1,20
300400
240600



 
V
m
. 
b) Se a densidade média da mistura é de 1,00 g/cm3, então: 
mL1000
400
0,804001,50
1,00 





 B
B
B
BA
BBAA
mistura V
V
V
VV
VV  
 
Aula 3 
 
1. No pino atuam quatro forças: seu peso P (vertical, para baixo), a força 
F0 exercida pela pressão atmosférica (vertical para baixo), a força F 
exercida pelos gases no interior da panela (vertical, para cima), e a 
reação normal do apoio N (vertical, para cima), conforme mostra a figura 
ao lado. 
Para o equilíbrio do pino, estas forças devem se anular, isto é: 
F + N = P + F0. 
Entretanto, como o peso P do pino e F0 são constantes, à medida que a 
pressão p no interior da panela aumenta, a força F também aumenta e, 
consequentemente, a reação normal do apoio N deve diminuir. 
 
Quando a pressão no interior da panela atingir o valor máximo, F atinge seu valor 
máximo, a força N anula-se e o pino fica na iminência de se movimentar e liberar vapor. 
Então, lembrando que p = F/A, teremos: 
F = P + F0  pmáx.· A = m · g + p0 · A  pmáx.= m · g/A + p0 
Com os valores fornecidos, teremos: 
pmáx.= = (48 · 10
-3 · 10)/[3 · (2 · 10-3)2] + 105  
pmáx.= 0,4 · 10
5 + 105  pmáx. = 1,4 · 10
5 N/m2 = 1,4 atm 
 
2. Apliquemos a relação de Stevin aos pontos A e B, no mesmo líquido e na mesma 
horizontal, conforme a figura abaixo: 
 
Teremos: pA= pB  patm + ρóleo·g·hóleo + ρágua·g·hágua = patm + ρágua·g·h’água 
Com os valores fornecidos, vem: 0,8·200 + 1,0·120 = 1,0· h’água  h’água = 280 mm 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 79 
 
3. Vamos aplicar a relação de Stevin aos pontos A e 
B, destacados na figura ao lado pressão atmosférica 
local é patm = 700 mmHg, determine a pressão do gás 
em: 
a) pA = pB  pGás = patm + pcoluna de Hg  
 pGás = 700 + (200 ‒ 40)  pGás = 860 mmHg 
b) pGás = ρHg·g·hHg  pGás = 13,6·10
3·9,8·0,860  
 pGás = 1,146·10
5 Pa 
 
 
4. Ao atingir a borda do ramo esquerdo (limite máximo), o 
óleo provocará um rebaixamento do nível da água no ramo 
esquerdo e um aumento no ramo direito conforme a figura 
ao lado. Da relação de Stevin, aplicada aos pontos A e B, 
vem: pA = pB  patm + ρóleo·g·hóleo = patm + ρágua·g·hágua  
 8,0·102· (12 + x) = 1,0·103·2·x  x = 8 cm 
Portanto, a coluna de óleo terá altura de 20 cm. 
 
 
5. Da relação de Stevin, aplicada aos pontos A e B, vem: 
pA = pB 
patm + ρlíquido·g·hlíquido = patm + ρágua·g·hágua 
ρlíquido·(2·L + d) = ρágua·2·L 
dL
L



2
2
água
líquido

 
 
 
6. Vamos considerar o ponto A localizado na interface de separação óleo-mercúrio no 
ramo da esquerda do tubo em U e o ponto B, no mesmo nível e no ramo da direita do 
tubo em U. 
A pressão no ponto A é dada pela soma da pressão do ar comprimido e a pressão 
hidrostática da coluna de óleo: pA = par + ρóleo · g · H 
A pressão no ponto B é dada pela soma da pressão atmosférica e a pressão hidrostática 
da coluna de mercúrio: pB = patm + ρHg · g · h 
Então: pA = pB  par + ρóleo · g · H = patm + ρHg · g · h 
Com os valores fornecidos, obtemos: 
par + 0,9 · 10
3 · 9,81 ·(0,914 + 0,152) = 1,013 · 105 + 13,6 · 103 · 9,81 · 0,229  
par + 9,41 · 10
3 = 1,013 · 105 + 30,55 · 103 
par ≈ 1,22 · 10
5 N/m2 
 
7. a) Apesar de o fluido no tubo estar escoando, o que está contido no manômetro está 
em repouso. Portanto, as variações de pressão nos tubos do manômetro são 
hidrostáticas. Teremos, então: 
pA = p1 + 1·h1 (I) 
p1 = p2 = p3 (II) 
p3 = p4 + 2·h2 (III) 
p4 = p5 (IV) 
pB = p5 + 1·(h1 + h2) (V) 
Com (IV) em (V), vem: pB = p4 + 1·(h1 + h2) 
Com (III): pB = p3 ‒ 2·h2 + 1·(h1 + h2) 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 80 
 
Com (II) e (I): pB = pA ‒ 1·h1 ‒ 2·h2 + 1·(h1 + h2) 
Portanto: pA ‒ pB = 1·h1 + 2·h2 ‒ 1·(h1 + h2)  pA ‒ pB = (2 ‒ 1)·h2 
b) Com os valres fornecidos, teremos: 
pA ‒ pB = (15,6 ‒ 9,80)·10
3·0,5  pA ‒ pB = 2,90·10
3 Pa 
 
8. a) 10 kPa; b) 105 kPa. 
 
9. h = 0,68 m 
 
10. Seja  o peso específico da água. O prisma de pressões 
está representado na figura abaixo. 
a) A força resultante exercida pela água na barragem tem 
módulo igual ao “volume” do prisma de pressões: 
22
WD
FW
DD
F




2 
 
O momento deta forã em relação ao ponto O é: 
632
WD
M
DWD
MdFM OOO




32  
b) A linha de ação dessa força está situada perpendicularmente ao plano de simetria da 
barragem e a uma altura D/3 em relaçãoà base (ver figura anterior). 
 
11. Como a pressão indicada pelo manômetro é relativa, não 
devemos considerar a pressão atmosférica que atua na face 
externa da janela. 
A pressão num dado ponto da placa é composta por uma 
parcel devida à pressão do ar comprimido na superfície do 
óleo, ps = 50 kPa, e outra devida à presença do óleo, pressão 
esta que varia linearmente com a profundidade, sendo óleo·h1, 
na borda superior, e óleo·h2, na borda inferior. 
A figura ao lado mostra o prisma de pressões que atua na 
janela de inspeção. 
 
O peso específico do óleo é: óleo = 0,9·10
3·9,81  óleo = 8,83·10
3 kN/m3. 
Na borda superior: p1 = 50·10
3 + 8,83·103·2  p1 = 67,66·10
3 Pa 
Na borda inferior: p1 = 50·10
3 + 8,83·103·2,6  p1 = 72,96·10
3 Pa 
A força resultante é, numericamente, igual ao volume do prisma de pressões: 
kN25,3N311250,60,6
2
1067,66)(72,96 3


 FFF
 
 
12. A pressão a uma profundidade h é, de acordo com a relação de Stevin, dada por: 
p = ρ·g·h = ·h. 
A figura abaixo mostra os prismas de pressões que atuam na parede vertical, OA, e na 
parede horizontal, AB, da comporta, com 3 m de largura, e as correspondentes forças 
atuantes nas paredes. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 81 
 
 
O módulo da força de pressão é numericamente igual ao volume do prisma de pressões. 
Observe que, na parede vertical dividimos o prisma em duas partes: um de seção 
retangular e outro de seção triangular. 
Para garantir o equilíbrio da comporta, devemos impor 
que o momento resultante das forças, em relação a 
qualquer ponto, é nulo. A figura ao lado mostra as 
forças que atuam na comporta OAB. 
Impondo o equilíbrio dos momentos em relação ao 
ponto O, temos: 
 0OM
 
 0414204
3
2
2402360 P
 
kN445 P
 
 
Aula 4 
 
1. O princípio de Pascal estabelece que quando um líquido incompressível está confinado 
num recipiente, todo acréscimo de pressão sobre o líquido é igualmente transmitido a 
todas as outras partes do líquido e também para as paredes do recipiente que o contém. 
Dessa forma: 
2
2
1
1
A
F
A
F


2
2
2 A
F
A15
1200


  F2 = 80 kgf 
 
2. Seja F1 a força aplicada ao pedal do freio e F2 a força aplicada à pastilha de freio. De 
acordo com o princípio de Pascal: F1/A1 = F2/A2, em que A1 e A2 são as áreas dos 
respectivos pistões. 
Como o diâmetro do segundo pistão é duas vezes maior que o do primeiro, sua área será 
quatro vezes maior, pois A =  · d2/4. Então: 
4
1
F
F
A4
F
A
F
2
1
1
2
1
1 


 
 
3. Para o equilíbrio da alavanca AB, teremos, ao impor o equilíbrio de rotação em torno do 
ponto A: F · AB = F2 · AC  F2 = F · (AB/AC) 
Para a prensa hidráulica, pelo princípio de Pascal: F2/S2 = F1/S1 
Então: F · (AB/AC)/ S2 = F1/S1  F = F1 · (S2/S1) · (AC/AB) 
 
4. a) Pelo princípio de Pascal: 
a
A
fF
A
F
a
f

. 
b) Considerando g = 10 m/s2, a força exercida sobre o êmbolo maior será: F = 2,0·104 N. 
Então: 
Nf
f
A
F
a
f
128
25
102,0
2 2
4
2





 
 
Essa força corresponde ao peso de uma massa de 12,8 kg. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 82 
 
5. a) Pelo princípio de Pascal: 
2
2
1
1
A
F
A
F


4006
F
400
100 2


  F2 = 600 N 
b) A variação de pressão é dada por: 
Pa2500
m10400
N100
24




pp
 
 
6. A força F1 que o ar exerce no êmbolo 1 é: 
N400
20
20  1
1 F
F
 
Como o sistema formado pelos êmbolos 1 e 2 está em equilíbrio, então, a força exercida 
pela água sobre o êmbolo 1 tem intensidade tal que: 
N200200400 águaáguaágua  FFFFF1 
Mas, com a força aplicada pela água sobre o êmbolo 1 podemos calcular a pressão P2: 
2
22
1
água
2 N/cm12,5
4-20
200


 PP
AA
F
P
2 
Finalmente, no êmbolo 3: 
N625
50
12,5 pistão
pistão
3
pistão
2  F
F
A
F
P
 
 
7. Com os dados fornecidos, podemos determinar a força F1 exercida pelo ar sobre o 
êmbolo 1 e a pressão P2 da água: 
N400
20
20 1
1
1
1
1  F
F
A
F
P
 e 
2
22
3
2 N/cm8
50
400
 PP
A
F
P
 
Para o equilíbrio do sistema de êmbolos 1-2-4 devemos ter: 
  N2805208400 O2O2água  FFFFF O21 
Finalmente, para o êmbolo 4: 
2
44
4
O2
4 N/cm9,33
30
280
 PP
A
F
P
 
Aula 5 
 
1. a) O empuxo é dado por: E = ρ·V·g. 
Então: E = 1,25·80,0·10  E = 1000 N 
b) O balão tende a subir, pois o empuxo é maior que seu peso. Como o fio mantém o 
balão em equilíbrio, a força tensora T, no fio, é tal que: P + T = E. 
Então: 600 + T = 1000  T = 400 N 
 
2. O empuxo exercido pela água equilibra o peso do cilindro. Então: P = E. 
Assim: mcilindro·g = ρágua·Vdeslocado·g. 
Com os valores fornecidos, teremos: mcilindro = 1·10
3·2  mcilindro = 2·10
3 kg = 2,0 t 
 
3. O aumento no valor do empuxo, ao aumentar o calado de 9 m para 9,2 m, deverá ser, 
em módulo, igual ao peso da carga adicional. 
Então: 
ΔP = ΔE  ΔP = ρ·ΔV·g  ΔP = ·ΔV  ΔP = 10·103·3000·0,2  ΔP = 6·106 N 
Considerando g = 10 m/s2, a massa correspondente será de 6·105 kg, ou seja, 600 t. 
 
4. O aumento no valor do empuxo exercido pelo óleo sobre o corpo equilibra o peso 
adicional do bloco de chumbo. 
Para o corpo: V1 = 0,2·75 cm
3 = 15 cm3 e V2 = 0,5·75 cm
3 = 37,5 cm3. 
Então: P = ΔE  m·g = ρ·ΔV·g  m = (37,5 ‒ 15)·0,80  m = 18 g 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 83 
 
5. Com a cavidade vazia: Pcorpo = E  Pcorpo = ρL·a
2·(a ‒ x)·g (I) 
Com a cavidade cheia de líquido: Pcorpo + PL = ρL·a
3·g (II) 
Mas: PL = ρL·b
2·c·g (III) 
Com (I) e (III) em (II), vem: 
ρL·a
2·(a ‒ x)·g + ρL·b
2·c·g = ρL·a
3·g  
2
2
2
233
2
23
a
cb
x
a
cbaa
a
cba
ax 




 
 
6. a) Para a esfera B, temos: 
3cm200
120
0,60  B
B
V
VV
m
. 
Então, o empuxo sobre ela será: EB = 1,0·10
3·200·10‒6·10  EB = 2 N 
b) Para que a esfera B se mantenha em equilíbrio, devemos ter: T + PB = EB. 
Então: T + 0,120·10 = 2  T = 0,8 N 
 
Observação: para a esfera A, teríamos: mA = 100 g; PA = 1 N e EA = 0,2 N. 
E, para esta esfera ficar em equilíbrio: EA + T = PA  T = 0,8 N 
 
7. Usando a definição de densidade de um corpo: temos: m1 = 0,25·V1 e m2 = 8·V2. 
Para o corpo ficar em equilíbrio quando totalmente imerso, o empuxo exercido pela água 
deverá equilibrar seu peso. Isto equivale a dizer que a densidade do corpo deverá ser 
igual à densidade da água. 
Então: 
3
28
7
4
3
80,25
80,25
1 



2
1
212121
21
21
V
V
VVVVVV
VV
VV
 
 
8. Sejam x a altura imersa do cilindro de madeira e S a área da base comum dos cilindros. 
Para o equilíbrio, devemos ter: Pmadeira + Plastro = E. 
Então: 0,8·(x + 2)·S·g + 8,6·1·S·g = 1·(1 + x)·S·g  
 0,8·(x + 2) + 8,6·1 = 1· (1 + x)  x = 46 cm. 
Portanto, a altura do cilindro de madeira é de 48 cm. 
 
Aula 6 
 
1. Escoamento laminar: caracterizado pelo movimento do fluido em lâminas ou 
camadas, não havendo mistura macroscópica de camadas de fluido adjacentes. As 
diferentes secções do fluido se deslocam em planos paralelos e o vetor velocidade é 
aproximadamente constante em cada ponto do fluido 
Escoamento turbulento: caracterizado pelo movimento tridimensional aleatório das 
partículas do fluido sobreposto ao movimento da corrente. A velocidade apresenta 
componentes transversais ao movimento geral do conjunto e as partículas do fluido 
descrevem trajetórias que variam de instante a instante. 
 
2. Na experiência de Reynolds, um fluido colorido é liberado no interiorde um tubo por 
onde escoa outro fluido. Dependendo das características do fluido e do escoamento pode 
se observar três situações: 
 no regime laminar, o filete colorido permanece íntegro e retilíneo; 
 no regime de transição, o filete colorido começa a oscilar e a se espalhar; 
 no regime turbulento, o filete colorido se desfaz totalmente 
 
3. A linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é tangente ao 
vetor velocidade do fluido e correspondem diretamente à trajetória da partícula do fluido. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 84 
 
O conjunto de todas as linhas de corrente que passam por uma pequena curva fechada é 
definido como um tubo de corrente. 
 
4. Para que o escoamento seja laminar, o número de Reynolds deverá ser menor que 
2000. Então Re ≤ 2000  
m/s0,0802000
101,01
0,0254
2000
6






V
VdV
 
Portanto, a velocidade máxima do fluxo de água deverá ser de 0,08 m/s, ou seja, 8 cm/s. 
 
5. São dados: μ = 0,38 N·s/m2; ρ = 0,91·1·103 kg/m3, d = 0,025 m e V = 2,6 m/s. 
Então: 
155,6
0,38
0,0252,6100,91 3




 ReRe
dV
Re 
 
Como Re = 155,6 ≤ 2000, o escoamento ocorre em regime laminar. 
 
6. Temos: d = 25 mm = 0,025 m; V = 0,3 m/s;  = 1,0·10‒6 m2/s. 
Então: 
7500
101
0,0250,3
6







ReRe
dV
Re 
 
Como Re > 2400, então o escoamento ocorre em regime turbulento. 
 
7. Temos: d = 30 cm = 0,30 m; μ = 2·10‒3 Pa·s e ρ = 800 kg/m3. 
Para que o escoamento seja laminar, o número de Reynolds deve ser tal que: Re ≤ 2000. 
Então: 
m/s0,0172000
102
0,30800
2000
3







V
VdV
Re 
 
Portanto, a velocidade máxima do escoamento deverá ser de 0,017 m/s, ou seja, 17 cm/s. 
 
Aula 7 e Aula 8 
 
1. Seja A1 = ·r 
2, em que r = 1,0 cm, a área da secção transversal da aorta e v1 a 
velocidade do fluxo sanguíneo através dela. Para os capilares, seja A2 a área de secção 
transversal total e v2 a velocidade do fluxo sanguíneo através de cada capilar. Pela 
equação da continuidade devemos ter: 
2211 vAvA 
 
Então: 
 2
2 2.00030,01,0 v mm/s0,5cm/s0,05 2v 
 
2. Pela equação da continuidade: 
tr
V
v
t
V
vr
t
x
AvrvAvA







211
22
21
2
2211 
 
A resposta encontra-se na alternativa c. 
 
3. Pela equação da continuidade: 
t
V
vr
t
x
AvrvAvA





 1
22
21
2
2211 
Então: 
min18s1080
0,61,2
0,50,04
2
2 


 t
t
 
 
4. a) A vazão Q da mangueira é de 20 L/min, o que corresponde a 20·10‒3 m3/min. 
Então: Q = A·v  
m/s1,060,01
60
1020 2
3

 
vv 
b) Se a área de saída é reduzida, então a velocidade do fluxo aumenta, mas a vazão 
permanece a mesma. Então: Q = A·v  
m/s170,0025
60
1020 2
3

 
vv 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 85 
 
 
5. a) A vazão volumétrica é dada por: Q = A·v. 
Então: Q = 200·1,0  Q = 200 m3/s 
b) Na região estreita: Q = A·v  200 = 40,0·v2  v2 = 5,0 m/s 
 
6. Pela equação da continuidade: 
2vAvA  211
 
Então: 
m/s8,40,0006240,900,009 22  22 vv 
 
7. A vazão do rio é igual à soma das vazões dos riachos. Então: Ario·vrio = AA·vA + AB·vB. 
Com os valores dados, teremos: 5,0·hrio·2,5 = 2,0·0,50·4,0 + 3,0·1,0·2,0  hrio = 0,80 m 
 
8. Podemos aplicar a equação da continuidade a esse problema se admitirmos que o 
ambiente seja parte da tubulação através da qual o ar irá fluir. 
Pela equação da continuidade: 
t
V
vA
t
x
AvAvAvA




 211
2
211211 2
. 
Usando os valores numéricos fornecidos no enunciado, obtemos: 



6015
300
3,01A
2
1 m0,11A
 
Se a tubulação tiver uma secção transversal circular, então A = ·r 2, e encontramos que o 
raio da tubulação a ser usada deve ser de, aproximadamente, 0,19 m ou 19 cm. 
 
9. Semelhante ao anterior. Temos: 




6010
4,5510
0,15 1
2 v
 v1 = 5,3 m/s 
 
Aula 9 
 
1. A velocidade de escoamento no andar superior pode ser obtida com a equação da 
continuidade: 
2vAvA  211
 
Teremos: ·22·0,50 = ·1,32·v2  v2 = 1,18 m/s 
A pressão na água, no pavimento superior, é obtida com o teorema de Bernoulli. 
Tomando como nível de referência (h = 0) o pavimento inferior, teremos: 




 2
2
2
21 hgρ
vρ
phgρ
vρ
p
22
2
1
1
 
    21 hhg
vv
pp 
2
2
2
2
1
12
 
     5010101,0
2
1,180,50101,0
103,0 3
223
5
2p
atm2,5N/m102,49 252  p
 
 
2. A velocidade média na seção 2 é obtida com a equação da continuidade. 
Teremos, então: 
2vAvA  211
  ·7,52·3 = ·52·v2  v2 = 6,75 m/s 
Como fluido = 10.000 N/m
3, e g = 10 m/s2, então ρfluido = 10
3 kg/m3. Além disso, como o 
trecho é horizontal, as pressões hidrostáticas (ρ·g·h) são iguais nas duas seções. 
Pelo teorema de Bernoulli: 




 2
2
2
21 hgρ
vρ
phgρ
vρ
p
22
2
1
1
 
Então, com os dados fornecidos: 





2
6,7510
2
310
50000
23
2
23
p
 p2 = 31.720 N/m
2 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 86 
 
3. a) Seja o ponto 1 do líquido um ponto de sua superfície livre e o ponto 2, um ponto do 
líquido junto à abertura lateral do recipiente. 
Se considerarmos que o recipiente é bastante largo, então a velocidade da água na 
superfície livre do líquido (ponto 1) é praticamente nula (v1 = 0). Adotaremos o nível de 
referência passando pelo orifício de saída o que torna h2 = 0 e h1 = h. Note ainda que, 
devido ao fato de os pontos 1 e 2 do líquido estarem em contato com o ar atmosférico, 
devemos ter p1 = p2 = patm. Para a determinação da velocidade v da água na saída do 
orifício (ponto 2), devemos aplicar o teorema de Bernoulli. Então, temos: 




 2
2
2
21
2
1
1 hg
v
phg
v
p 
22



2atmatm
2v
phgp

 
hgv  2
 
b) O alcance horizontal x do jato pode ser facilmente calculado a partir da teoria do 
lançamento horizontal. Observe que, na direção vertical, a água cai com aceleração igual 
à aceleração gravitacional g. Para cair de uma altura (H – h) levará um tempo t dado por: 
   
g
hH
ttghHtgtvy


2
2
1
(MUV)
2
1 22
0
 
Na direção horizontal, a velocidade da água é constante, pois a aceleração é nula. Então, 
no intervalo de tempo Δt = t, com velocidade v, o jato percorre uma distância Δx = x dada 
por: 
 






g
hH
x
hg
t
x
v
2
2)MU(
 hHhx  2
 
 
4. Como o tubo está disposto na horizontal, h1 = h2. Com a equação de Bernoulli obtemos: 
25
2
23
2
23
5 N/m101,7
2
810
2
210
102
22








 pp
v
p
v
p
2
2
2
2
1
1
 
A resposta corresponde à alternativa C. 
 
5. a) Considerando h1 = h2 e com a equação de Bernoulli, obtemos: 
2
2
N/m258
2
201,29
222








 2121
2
2
21
2
2
2
2
1
1 pppp
v
pp
v
p
v
p
 
b) A pressão no interior do galpão é maior que a pressão externa e, portanto, a força 
resultante é dirigida para cima. Sua intensidade é dada por: 
F = Δp·A  F = 258·400  F = 103,2 kN 
 
6. Vamos considerar o nível de referência horizontal passando pelo orifício (ponto 1)e 
que, no instante inicial, a velocidade do êmbolo é desprezível. 
A aplicação da equação de Bernoulli ao ponto 1 e ao ponto 2, ponto do fluido em contato 
com o êmbolo, fornece: 
m/s3,850,601010
0,07
10102
10
2 1
3
2
1
32
1
atm 







 v
v
hgρ
A
gm
p
vρ
p atm 2
 
Com a equação da vazão Q, obtemos: 
Q = v·A  Q = ·0,00752·3,5  Q = 6,8·10‒4 m3/s = 0,68 L/s 
 
7. a) Consideremos o nível de referência passando pelo ponto 2. Vamos aplicar a 
equação de Bernoulli ao ponto 2 e a um ponto na superfície do reservatório: 




 2
2
2
21
2
1
1 hg
v
phg
v
p 
22
 



2sup
2
2vhg

 
m/s25
2
v10
31,251010 2
2
2
3
3 

 v
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 87 
 
b) Aplicando a equação da vazão Q ao ponto 2, temos: 
Q = v·A  Q = 25·600·10‒4  Q = 1,5 m3/s 
c) A velocidade do escoamento na seção 1 pode ser obtida com a equação da 
continuidade: A1·v1 = A2·v2  900·v1 = 600·25  v1 = 16,7 m/s 
Com o NHR no ponto 1, vamos aplicar a equação de Bernoulli ao ponto 1 e a um ponto na 
superfície: 



2sup
2
2
2
v
phgpatm

 
25
23
35 N/m101,106
2
16,710
151010101 

 11 pp
 
 
Aula 10 
1. a) A vazão volumétrica média é dada por: 
L/s16,7
s300
L5000



 QQ
t
V
Q
 
b) A equação de Bernoulli aplicada aos pontos A e C e com o NHR em C, temos: 




 C
C
CA
A
A hg
v
phg
v
p 
22
22 
Mas pA = pC = patm; vA = 0 e hC = 0. Então: 
m/s7
2
2,59,8 2
2
c  v
v
 
Com a equação da vazão: Q = 0,00267·7  Q = 0,0187 m3/s = 18,7 L/s 
c) O valor obtido no item b é maior que o obtido no item a, pois no início do processo de 
descarga (nível da gasolina no ponto A) a velocidade na saída do mangote é 7 m/s e, ao 
final do processo (com o nível da gasolina no ponto B), a velocidade na saída diminui para 
5,4 m/s (vC = 
m/s5,4m/s1,59,82 
). Dessa forma, a vazão média assume um valor 
intermediário entre o da vazão inicial e o da vazão final. 
 
2. a) Pela equação da vazão: 
Q = A·v  Q = ·0,0152·4,0  Q = 2,83·10‒3 m3/s = 2,83 L/s 
b) Seja um ponto 1 na entrada da mangueira e 2 um ponto na saída desta. Com o NHR 
na entrada da mangueira, h1 = 0, e sendo v1 = 0, com a equação de Bernoulli obtemos: 




 2
2
2
21
2
1
1 hg
v
phg
v
p 
22
 


 2
2
2
21 hg
v
pp 
2
 
243
23
N/m105,851010
2
410


 2121 pppp
 
c) A potência Pot da bomba é dada pela relação entre o trabalho por ela realizado e o 
correspondente intervalo de tempo: 
t
vhgV
t
mvhgm
Pot






)/2()2/( 22  
Como 
Q
t
V


, ficamos com: 
)/2( 2vhgQPot   . 
Então: Pot = 103·2,83·10‒3·(10·5 + 42/2)  Pot = 164 W = 0,22 hp 
 
3. a) A velocidade do ar na região 2 é maior que na região 1. 
A equação da continuidade, aplicada à região superior da asa, estabelece que: 
 
1221 v
B
A
vBvAv 
 
Então, como A > B, podemos concluir que v2 > v1. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 88 
 
b) O teorema de Bernoulli estabelece que a soma da pressão estática (p) com a pressão 
dinâmica 





 2
2
1
v
deve ser constante. Então, como no ponto 2 a pressão dinâmica é maior 
(devido à maior velocidade do fluxo de ar), concluímos que a pressão estática será 
menor, isto é: p2 < p1. 
c) Na região inferior da asa a pressão estática é maior. Assim, a força de pressão do ar é 
maior na região inferior da asa quando comparada à força de pressão que atua na região 
superior. A resultante dessas forças de pressão, a sustentação, é uma força dirigida para 
cima. 
 
4. a) Seja o ponto 1 acima da asa e o ponto 2 abaixo dela. A equação de Bernoulli 
fornece: 
2
501,29
2
701,29
22
22 






 212
2
2
21
2
1
1 pphg
v
phg
v
p  
Portanto: p2 ‒ p1 = 1548 N/m
2 
b) A força de sustentação é devida à diferença de pressão já calculada. 
Então: Fsust = (p2 ‒ p1)·A  Fsust = 1548 · 5  Fsust = 7740 N (dirigida para cima) 
c) A força resultante é dada pela diferença entre a força de sustentação e o peso P. 
Então: FR = 7740 ‒ 200·10  FR = 5740 N (dirigida para cima) 
 
5. A área do tubo é quatro vezes maior que a área do estreitamento. Então, pela equação 
da continuidade, temos: 4·A·v1 = A·v2  v2 = 4·v1 
Pela equação de Bernoulli, temos: 









2
)4(101
101,00,35
2
101
101,00,85
22
3
5
3
5
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
vvv
p
v
p
 
 v1 = 2,58 m/s 
Portanto: Q = A·v  Q = ·0,052·2,58  Q = 0,020 m3/s = 20 L/s 
 
6. Com a equação deduzida, temos:  
 221 aA
hg
av m




2 . 
Então:  
  m/s2,90)10(10)10(20101
0,10100001360002
1010
24243
4 





11 vv
 
Portanto: Q = A·v  Q = 20·10‒4·2,90  Q = 5,8·10‒3 m3/s = 5,8 L/s 
 
7. Para o tubo de Pitot: 

 hg
v m


2
. 
Então: 
km/h548m/s152,3
1,29
0,11101013,62 3


 vv
 
 
Aula 11 
 
1. a) Como conhecemos a vazão volumétrica e os diâmetros das seções, podemos obter 
as velocidades do fluido nas respectivas seções. 
Como: Q= A·v  
m/s8,32
4
0,175
0,200
2
 11 vv
, para a seção (1). 
E, para a seção (2): 
m/s1,02
4
0,500
0,200
2
 22 vv
. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 89 
 
A carga (energia por unidade de peso do fluido) é dada por: 
g2
2


vp
zH

 
Então, para a seção (1): 
m17,21
20
8,32
108
101,1
0
2
3
5



 11 HH
. 
E, para a seção (1): 
m13,63
20
1,02
108
100,75
4,2
2
3
5



 22 HH
. 
b) Como não existe uma máquina hidráulica no trecho entre (1) e (2), o sentido do fluxo é 
da maior para a menor carga (diminuição da energia por unidade de peso do fluido). 
Assim, o fluxo ocorre da seção (1) para a seção (2). 
c) A perda de carga hf no trecho é dada por: 
hf = H1 ‒ H2  hf = 17,21 ‒ 13,63  hf = 3,58 m 
 
2. a) A partir da equação da vazão, Q = A·v, temos: 
m/s2,83
4
0,06
0,008
2
 11 vv
 e 
m/s1,81
4
0,075
0,008
2
 22 vv
 
b) Aplicando-se a equação da carga total, 
g2
2


vp
zH

,obtemos: 
m0,16
102
1,81
8000
7200
0
102
2,83
8000
4000
0
22




 ff hh
 
 
Aula 12 / Aula 13 
 
1. a) T = 200 ‒ 200·x, com x em m e T em °C); b) 140 °C; c) 50 cal/s; d) 375 g. 
 
2. a) T = 36 ‒ 80·x, com x em m e T em °C; b) 57,6 W/m2; c) 28 °C. 
 
3. 125 °C 
 
4. 8.000 W 
 
5. 0,10 W/(m⋅K) 
 
6. 3 cm 
 
7. 0,75 mm 
 
8. 0,2 g/s 
 
9. 90 kg 
 
10. 40 °C 
 
11. a) 2.833 W/m2; b) 1.700 W. 
 
12. 7.020 W 
 
13. 2 HP 
 
14. 24,3 cm 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 90 
 
 
15. 54 mm 
 
16. 247,8 °C ou 252,2 °C. 
 
17. 4.312 W; R$ 11,80. 
 
18. 375 mm 
 
19. a) 0,04 K/W; b) 750 W. 
 
20. a) aproximadamente 5,9 cm; b) 800 °C. 
 
21. a) 76,1 W/m2; b) 27,67 °C e 21,33 °C. 
 
22. a) 12,7 kcal(h·m2); b) 25,2 °C. 
 
23. a) 24 cm; b) 1272 °C. 
 
24. 528 W/m2 
 
25. 133,9 kW/m 
 
26. 1,26 mm 
 
27. a) 882 kcal/h; b) 249,9 °C. 
 
28. 680 W; 595,8 °C. 
 
29. a) 1380 W/m; b) 252 °C; c) 8 cm. 
 
30. 296,7 W; 326,9 °C; 238,5 °C. 
 
31. a) 585,5 kcal/h; b) ‒178,98 °C. 
 
32. a) 687,40 kcal/h; b 42,2 mm = 1⅔" 
 
33. 0,0072 kcal/(h·m·°C)] 
 
Aula 14 
 
1. 34,9 W/m2·K 
 
2. 138 °C 
 
3. 215 °C 
 
4. 150 kW 
 
5. 2,16 kW 
 
6. 1 h 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 91 
 
 
7. 10.608 kcal/h 
 
8. a) 1480,6 kcal/(h·m2); b) 1675 °C; 145 °C 
 
9. a) 86,76 W/m2; b) 11,12 W/(m2·K) e 34,72 W/(m2·K)]10. 9.682 kcal/h 
 
11. 45,3 cm 
 
12. a) 62.640,4 kcal/h; b) 12,73 cm; c) 91,95% 
 
13. a) 50 mm; b) 37,6 °C 
 
14. a) Sim, ficará. b) 5,607·10‒3 k/W 
 
15. 296 kcal/h 
 
16. a) 48.900 kcal/h; b) 174 °C; 173,9 °C; 32 °C 
 
17. a) 13,06 W; b) 7 L/dia 
 
Aula 15 
 
1. 765,6 W 
 
2. 152 W, no inverno, e 40,9 W, no verão. 
 
3. 168 W 
 
4. 33,4 °C 
 
5. a) 2.270 W/m2; 447 W/m2; b) 998 W/m 
 
6. Resp: 2716,6 W 
 
Aula 16 
 
1. J = 2,4∙10−9 kg/(m2∙s) 
 
2. J = 4,08∙10−3 kg/h 
 
3. D = 5,91∙10−12 m2/s 
 
4. D = 9.87∙10−12 m2/s 
 
5. J = 1,16∙10−4 kg/(m2∙s) 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 92