Introdução à Mecânica dos Sólidos

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
1) INTRODUÇÃO/TENSÕES 
 
 
O objetivo primário de um curso de mecânica dos sólidos é o 
desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo não-rígido e 
as resultantes solicitações internas e deformações provocadas no corpo. Sempre, 
desde o tempo de Galileo Galilei (1564-1642), os cientistas têm estudado 
assiduamente o problema da capacidade de carga de elementos de estruturas e 
de máquinas, e a análise matemática das solicitações internas e deformações 
produzidas por cargas aplicadas. Antes das suas investigações sobre o 
comportamento dos corpos sólidos sob a ação das cargas, os construtores 
seguiam exemplos precedentes ou regras empíricas. Galileo foi o primeiro a 
tentar explicar o comportamento de alguns elementos estruturais submetidos a 
cargas segundo uma base racional. A experiência e a observação dos cientistas e 
engenheiros nos últimos três séculos constituem a herança do engenheiro de hoje, 
provendo o conhecimento fundamental para o desenvolvimento de teorias e 
técnicas que permitem ao engenheiro moderno projetar, com competência e 
segurança, estruturas e máquinas de tamanho e complexidade sem precedentes. 
A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais forma a base para a 
solução de três tipos gerais de problemas, como se segue: 
a) Dada uma certa função a executar (a transposição de um rio por meio de 
uma ponte, o transporte de instrumentos científicos para Marte num veículo 
espacial, a conversão do potencial hidráulico em energia elétrica), de que 
materiais deveria ser construída a máquina ou a estrutura, e quais deveriam ser as 
dimensões e proporções dos vários elementos ? Esta é a tarefa do projetista e, 
obviamente, não há solução única para qualquer problema dado. 
b) Dado um projeto completo, é ele adequado ? Isto é, perfaz a função 
economicamente e sem deformações excessivas ? Este é o problema da 
verificação. 
 2
c) Dada uma estrutura ou máquina, qual é a sua capacidade de carga ? A 
estrutura pode ter sido projetada para alguma finalidade distinta desta na qual será 
usada agora. É ela adequada para o uso proposto ? Por exemplo, um edifício 
pode ter sido projetado para escritórios, porém mais tarde descobre-se ser 
preferível seu uso como depósito. Neste caso, qual é o máximo carregamento 
que o piso suporta com segurança ? Este é o problema de avaliação. 
Como a abordagem completa destes problemas é muito extensa, 
restringimos ao estudo de elementos isolados e estruturas de máquinas muito 
simples. Para a consideração da estrutura ou máquina por inteiro, pesquisas 
bibliográficas proverão o conhecimento essencial para a análise completa dos três 
problemas descritos. 
Os princípios e métodos usados para encontrar o objetivo estabelecido no 
início deste capítulo dependem bastante, como pré-requisitos, de conhecimentos 
de matemática e de mecânica, suplementados ainda com conhecimentos 
adicionais de teoria da elasticidade e de propriedades da engenharia de materiais. 
As equações de equilíbrio da estática são usadas extensivamente, principalmente 
nos diagramas de corpo livre; nominalmente, a maioria dos corpos livres é isolada 
seccionando-se um elemento em vez da remoção de vínculos ou alguma outra 
ligação. Os esforços transmitidos pela seção cortada são solicitações internas. 
As intensidades destas solicitações internas (força por unidade de área) são 
chamadas tensões. 
 Será freqüentemente constatado que as equações de equilíbrio (ou 
movimento) não são suficientes para determinar todas as solicitações ou reações 
desconhecidas atuando num corpo. Em tais casos é necessário considerar a 
geometria (variação em tamanho ou forma) do corpo após a aplicação das cargas. 
A deformação por unidade de comprimento em qualquer direção ou dimensão é 
chamada deformação linear específica. Em alguns casos, a máxima deformação 
permitida, e não a máxima tensão admissível, limitará o carregamento máximo 
que um elemento pode suportar. Algum conhecimento de física e propriedades 
mecânicas dos materiais é requerido com o fim de se criar um projeto, avaliar um 
 3
projeto dado, ou mesmo escrever a correta relação entre uma carga aplicada e a 
deformação resultante em um elemento carregado. 
 
1.1) ESTRUTURAS / OBJETIVOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Estrutura é a parte resistente de uma construção. Uma estrutura se compõe 
de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior, de modo a formar um 
conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, 
absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde elas encontrarão 
seu sistema de forças equilibrante (Sussekind, J. Carlos). 
Os tipos de peças estruturais são: 
i) blocos (blocos de fundação, barragens, etc.) 
ii) placas (planas – lajes) e cascas (curvas – abóbodas) 
iii) barras (vigas, pilares). 
 
Neste curso, somente as barras serão analisadas. Uma barra fica 
caracterizada por um eixo e uma seção transversal. O eixo (reto, poligonal ou 
curvo) é o lugar geométrico dos baricentros das seções transversais. A seção 
transversal é normal ao eixo (constante ou lentamente variável). Fibra é o sólido 
gerado pelo deslocamento paralelo ao eixo de um elemento de área da seção 
transversal. Camada é qualquer conjunto de fibras. 
As solicitações externas (forças internas ativas, cargas externas, 
carregamento, cargas) são: 
i) peso próprio, sobrecargas, pressão do vento, empuxo da água, cargas 
móveis, cargas decorrentes da variação da temperatura e do movimento 
dos apoios, etc. 
ii) pré-dimensionamento e avaliação das cargas de acordo com as NB 
(Normas Brasileiras), organizadas pela ABNT (Assoc. Bras. Normas 
Técnicas), que constituem a legislação da engenharia. 
 
 4
iii) classificações das cargas: cargas fixas ou móveis, cargas permanentes 
ou acidentais, cargas concentradas ou distribuídas e cargas estáticas ou 
dinâmicas. 
 
1.1.a) Condições de Estabilidade de uma Peça Estrutural 
 
a) Equilíbrio Estático: sistema de forças exteriores (cargas e reações) em 
equilíbrio, isto é, resultante e momento resultante nulos. A peça deve ter apoios 
(vínculos) suficientes. 
 i) peça hipostática: apoios insuficientes (existem graus de liberdade). 
Equilíbrio (instável) sob certas condições (somente carga F1 , no exemplo). Não 
há equilíbrio para certos carregamentos (carga F2 no exemplo); 
 
 ii) peça isostática: apoios estritamente necessários para impedir os graus 
de liberdade. Equilíbrio estável para qualquer carregamento (reações de apoio 
calculadas usando exclusivamente as equações de equilíbrio da Estática). 
 
 5
 iii) peça hiperestática: excesso de apoios. Equilíbrio estável para qualquer 
carregamento. Para calcular as reações de apoio é necessário usar equações de 
compatibilidade de deformações, além das equações de equilíbrio da Estática. 
 
b) Resistência: capacidade de transmitir as forças internamente (molécula por 
molécula) dos pontos de aplicação aos apoios. Necessário analisar as forças e os 
esforços internos (o que é feito na Estática) e também as tensões internas (o que 
é feito na Resistência dos Materiais). 
c) Rigidez: capacidade de não deformar excessivamente, o que 
comprometeria o funcionamento ou aspecto da peça. Necessário avaliar as 
deformações (o que é feito na Resistência dos Materiais). 
 
Em resumo: Estática: cálculo das reações e esforços internos; 
 Resistência dos Materiais: cálculo de tensões internas e deformações. 
 
1.1.b) Cálculo de uma Estrutura (bem simplificada) 
 
Primeira fase: projeto arquitetônico, escolha do sistema estrutural, pré-dimen- 
 sionamento e avaliação das cargas. 
Segunda fase: cálculo das reações de apoio e dos esforços internos, pressu-pondo haver resistência e rigidez (Estática). 
Terceira fase: dimensionamento das peças para que fiquem dotadas de resis- 
 tência e rigidez (Resistência dos Materiais), com segurança e 
 economia. 
 6
1.1.c) Os Problemas mais comuns da Resistência dos Materiais 
 
Conhecidas as propriedades mecânicas dos materiais, especificadas uma 
tensão admissível (sempre) e uma deformação admissível (eventualmente), 
temos: 
• Dimensionamento: conhecidos os esforços internos, calcular as 
dimensões da peça. 
• Avaliação: conhecidas as dimensões da peça, calcular as cargas 
admissíveis. 
• Verificação (da estabilidade): conhecidas os esforços internos e as 
dimensões da peça, verificar se ela é estável. 
 
1.1.d) Outras Considerações 
 
A Resistência dos Materiais é desenvolvida a partir de análises teóricas e de 
resultados experimentais: 
• Análises teóricas do comportamento mecânico das peças em modelos 
idealizados que devem ter razoável correlação com a realidade. 
• Testes (ensaios) experimentais em laboratório que visam determinar as 
propriedades de resistência e rigidez dos materiais, usando corpos de 
prova adequados. 
 
O desenvolvimento da Resistência dos Materiais é feito a partir de postulados 
fundamentais seguintes: 
i) Continuidade física: a matéria apresenta distribuição contínua (estrutura 
compacta, o que permite usar os recursos do Cálculo); 
ii) Desagregação (equilíbrio das partes): se um corpo está em equilíbrio, 
também está em equilíbrio qualquer elemento seu, isolado e submetido às 
ligações com seus vizinhos (ver diagrama de corpo livre); 
iii) Estado Natural: não existem tensões internas e deformações na ausência 
de forças aplicadas; 
 7
iv) Pequenas deformações: as deformações devem ser bastante pequenas, 
comparadas com as dimensões da peça; 
v) Conservação da seção transversal: as seções transversais permanecem 
planas, normais ao eixo, com as formas primitivas; 
vi) Lei de Hooke: dentro de certos limites, as deformações são proporcionais 
aos esforços; 
vii) Princípio da superposição de efeitos: os efeitos causados por um sistema 
de forças internas são a soma dos efeitos produzidos por cada força, agindo 
independente e isoladamente das outras; 
 
 
 
RA = RA1 + RA2 
RB = RB1 + RB2 
HB = HB1 + HB2 
 
viii) Princípio de Saint-Venant: Sistemas de forças equivalentes causam 
idênticos efeitos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação dos 
mesmos; 
ix) Homogeneidade: o material é homogêneo, isto é, manifesta as mesmas 
propriedades em todos os pontos; 
x) Isotropia: o material é isótropo, isto é, manifesta a mesma propriedade em 
todas as direções. 
 
Além dos postulados fundamentais, a fim de tornar equacionáveis problemas 
de muitas variáveis, fazemos certas idealizações e adotamos Hipóteses 
Simplificadoras (HS) e Simplificações de Cálculo (SC): 
• Idealizações: os postulados acima, a idéia de carga concentrada, etc. 
 8
• HS: desprezar a ação do vento ou o peso próprio (em certos casos) ou os 
efeitos da variação da temperatura, etc. 
• SC: valores aproximados das grandezas, desprezar infinitésimos de 2ª 
ordem (ε + ε2 ≅ ε), efetuar certas equivalências de infinitésimos (tg α= sen α 
= α (rd) para α pequeno), conservação da geometria da peça e dos pontos 
de aplicação das forças externas, etc. 
 
A fim de compensar erros inevitáveis ou decorrentes da adoção dos 
pressupostos, idealizações, HS e SC (erros estes supostos pequenos, mas não 
quantificados), é prevista na NB a adoção de coeficientes de segurança (n > 1). 
Consiste em multiplicar as cargas por n ou dividir por n os parâmetros que 
expressam as propriedades dos materiais. 
 
1.2) BARICENTRO E MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES 
PLANAS 
 
 1.2.1) Momento Estático de uma Superfície 
 
Antes de apresentarmos o conceito de momento estático, vamos apresentar 
o conceito de momento de uma força em relação a um ponto. O momento de uma 
força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial de um vetor 
deslocamento por um vetor força: 
 
FrM ∧= (1) 
 
Onde: 
r : Vetor posição, ver figura a seguir; 
F : Vetor força, ver figura a seguir. 
 
 9
 
Representação dos vetores posição e força no plano XY. 
 
 
 
A equação (1) pode ser reescrita, como o produto vetorial entre 2 vetores é 
igual ao produto dos seus módulos, vezes o seno do ângulo formado entre eles. 
 
( )ααααsenFrFrM ××=∧= (2) 
 
Quando α= 90º , temos: 
 
M = r x F 
 
O momento da área em relação a um ponto ao a um eixo será: 
 
 
 
Momento de uma área em relação a um sistema de eixos. 
 
 10
Em relação ao eixo X, temos: 
 
dAydMX ×= (3) 
 
Em relação ao eixo Y, temos: 
 
dAxdMY ×= (4) 
 
Os momentos estáticos da área da figura em relação aos eixos x e y, serão 
dados pelas integrações das expressões (3) e (4), respectivamente: 
 
∫ ∫==
A
XX dAydMM . (5) 
 
∫ ∫==
A
YY dAxdMM . (6) 
 
 
Exemplo 1: 
 
Determinar o momento estático de um retângulo em relação aos eixos X e Y: 
 
Momento estático em relação ao eixo X: 
 
 
 
 
 
dA = b . dy 
 
2
0
22
22
0
2
00
hbhbybdyybdybyM
h
hh
X =





−==== ∫∫ 
 11
 
Analogamente, o momento estático em relação ao eixo Y será dado por: 
 
 
 
dA = h . dx 
 
2
0
22
22
0
2
00
bhbhxhdxxhdxhxM
b
bb
Y =





−==== ∫∫ 
 
 
 
 1.2.2) Centro de Gravidade de uma Superfície Plana 
 
 
O centro de gravidade ou baricentro de uma figura plana ou uma superfície 
é o ponto por onde passam todas as retas, do plano da superfície, em relação às 
quais é nulo o momento estático. 
Portanto, as coordenadas do centro de gravidade ou baricentro de uma 
figura plana ou superfície são dadas pelas coordenadas: 
 
dAx
AA
M
x
A
Y ∫==
1
 (7) 
 
dAy
AA
My
A
X ∫==
1
 (8) 
 
Nota: Para algumas figuras, é obvio a posição do centro de gravidade, quando a 
figura é simétrica, coincide com o centro geométrico ou centróide da figura. 
 12
Exemplo 2: 
 
Determinar o centro de gravidade do retângulo do exemplo 1. 
 
Empregando as expressões 7 e 8 acima, temos: 
 
A = b . h 
 
2
2
2
b
bh
hb
A
M
x Y === 
 
2
2 h
bh
bh
A
My X ===
 
 
Exemplo 3: Determinar a área e o centro de gravidade de um triângulo (para 
casa). 
 
 1.2.3) Momento de Inércia de uma Superfície 
 
 
É dado pelo produto, da área do elemento, pelo quadrado da distância ao 
eixo considerado. Veja a figura a seguir. 
 
 
 
Sistema de eixos passando pelo centro de gravidade da figura plana ou superfície. 
 
 
 
 13
Os momentos de inércia da área da figura plana ou superfície em relação 
aos eixos x e y que passam pelo seu centro de gravidade, serão dados pelas 
expressões (7) e (8), respectivamente: 
dAyJ cgX ∫=
2
 (7) 
 
dAxJ cgY ∫=
2
 (8) 
 
 
Exemplo 3: Determinar o momento de inércia de um retângulo em relação aos 
eixos X e Y, que passam pelo seu centro de gravidade: 
 
Momento de inércia em relação ao eixo X: 
 
 
 
2/
2/
3
2/
2/
22/
2/
22
3
h
h
h
h
h
hcgX
ybdyybdybydAyJ
−
−−
==== ∫∫∫ 
 
 






+=











−−=














−−





=
883883223
333333 hhbhhbhhbJ cgX 
 
128
2
3
33 bhhbJ cgX =





= 
 
Momento de inércia em relação ao eixoY: 
 
 14
 
 
 
2/
2/
3
2/
2/
22/
2/
22
3
b
b
b
b
h
hcgY
xhdxxhdxhxdAxJ
−
−−
==== ∫∫∫ 
 
 






+=











−−=














−−





=
883883223
333333 bbhbbhbbhJ cgY 
 
128
2
3
33 hbbhJ cgY =





= 
 
 
 
1.2.4) Momento de Inércia em Relação a um Sistema de Eixos Qualquer 
 
 
Para a determinação dos momentos de inércia em relação a um sistema de 
eixos qualquer (veja figura a seguir), devemos usar o teorema dos eixos paralelos, 
também, conhecido como Teorema de Steiner: 
 
 
 15
 
Momento de Inércia em Relação a um Sistema de Eixo Qualquer. 
 
 
Momento de Inércia em Relação ao Eixo X: 
 
dAyydddAydJ IIIX ])(2[)( 222 ++=+= ∫∫ 
 
∫∫ ∫ ++= dAydAyddAdJ IIX 22 )(2 
 
∫∫ ∫ ++= dAydAyddAdJ IIX 22 )(2 
 
Na expressão acima temos: 
 
• O 1º termo é igual a distância (d) entre os eixos multiplicada pela área da figura 
(A); 
 
• O 2º termo é igual a zero, visto que o termo na integral é igual ao momento 
estático da figura em relação a um eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade; 
 
• O 3º termo é igual ao momento de inércia em relação a um eixo que pelo 
centro de gravidade da figura (JXcg). 
 
 16
Então podemos escrever a expressão para os momentos de inércia em relação ao 
eixo X qualquer: 
 
cgX JxAdJ += 2 
 
Exemplo: Determinar o momento de inércia em relação aos eixos X e Y de um 
retângulo de dimensões 2 x 4 cm, conforme está mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
Dimensões do retângulo: 
 
b = 2 cm ; h = 4 cm 
 
Área do retângulo: A = b x h = 2 x 4 = 8 cm2 
 
Momento de inércia em relação Xcg: 
 
( ) 433 667.10
12
42
12
cm
cmcmbhJxcg =
×
== 
 
Momento de inércia em relação Ycg: 
 
( ) 433 667.2
12
42
12
cm
cmcmhbJycg =
×
== 
 
Momento de inércia em relação X, usando o teorema dos eixos paralelos: 
 
 17
cgX JxAdJ += 2 
 
( ) 422 667.1082 cmcmcmJ X +×= 
 
4667.42 cmJ X = 
 
Momento de inércia em relação Y, usando o teorema dos eixos paralelos: 
 
cgY JyAdJ += 2 
( ) 422 667.281 cmcmcmJY +×= 
 
4667.10 cmJY = 
 
 
1.2.5) Centro de Gravidade e Momento de Inércia das Principais Figuras 
 Planas 
 
 
Na tabela 1 a seguir estão apresentadas as informações, centro de 
gravidade e momento de inércia as principais figuras planas: 
 
 
Figuras 
Posição do Centro de 
Gravidade 
Momentos de Inércia em 
Relação aos Eixos X e Y e 
XCG e YCG. 
XCG YCG JX/ JXCG JY/ JYCG 
 
 
2
b
 
2
h
 
 
 
3
3bhJX = 
 
12
3bhJ CGX = 
 
 
3
3hbJY = 
 
12
3hbJ CGY = 
 18
 
3
b
 
3
h
 
 
 
12
3bhJX = 
 
36
3bhJ CGX = 
 
 
 
12
3hbJY = 
 
36
3hbJ CGY = 
 
 
 
R 
ou 
2
D
 
 
R 
ou 
2
D
 
64
4DJXCG
pipipipi
= 
 
64
4DJYCG
pipipipi
= 
 
 
 
R 
ou 
2
D
 
 
 
pipipipi3
4 4R
 
 
 
128
4DJX
pipipipi
= 
 
 
128
4DJYCG
pipipipi
= 
 
 
 
 
 
pipipipi3
4 4R
 
 
 
 
pipipipi3
4 4R
 
 
 
256
4DJX
pipipipi
= 
 
 
256
4DJY
pipipipi
= 
 
 
 
Para a determinação do Centro de Gravidade e Momento de Inércia de 
figuras planas qualquer tente, se for possível, decompô-la em figuras planas 
simples, tais como retângulos, triângulos, círculos etc, cujo centro de gravidade e 
momentos de inércia são conhecidos, devemos fazê-lo. 
 
 
 
 19
1.3) EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL E DE UM CORPO RÍGIDO 
 
Antes de apresentarmos as condições de equilíbrio de um ponto material e 
de um corpo rígido, vamos recordar o conceito de força. Força é uma grandeza 
vetorial, conseqüentemente, possui módulo, direção e sentido. 
 
Exemplo: Como especificar ou definir uma força (F ) 
 
Módulo : 100 kN 
Direção : Vertical 
Sentido : Norte ou para cima. 
 
Quando temos uma força, podemos decompô-la em um sistema cartesiano, 
do seguinte modo: 
)cos(θθθθFFx = 
 
)(θθθθsenFFY = 
 
 
Decomposição de uma Força. 
 
 
Quando temos mais de uma força atuando em um ponto material, dizemos 
que temos um sistema de força, e, neste caso, a decomposição será: 
)cos()cos( 21 ββββθθθθ FFFx += 
 
)()( 21 ββββθθθθ senFsenFFY += 
 
 20
 
 Sistema de forças. 
 
 
 
Para que um ponto material esteja em equilíbrio, devemos ter a resultante 
(R ) do sistema de forças igual a zero. 
 
0=R 
0=∑ xF 
0=∑ YF 
 
 
Exemplo: 
 
Verificar se o sistema de forças, mostrado na figura a seguir, está em equilíbrio. 
 
 
Sistema de forças atuante em ponto material. 
 
Direção x: 
 
F1 cos (45º) – F2 cos (60º) = 106 . 0,7071 – 150 . 0,5 ≈ 0 
 
Direção y: 
 
F1 sen (45º) + F2 sen (60º) – F3 = 106 . 0,7071 + 150 . 0,8660 - 205 ≈ 0 
 
 21
 
Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio, devemos ter a resultante (R ) 
e o momento resultante do sistema de forças igual a zero. 
 
 
0=R 
0=∑ xF (Somatório das forças na 
horizontal igual a zero) 
0=∑ YF (Somatório das forças na 
vertical igual a zero) 
0=ZM ou 0=oM 
 
Momento das forças em relação ao um 
ponto qualquer O no plano XY deverá 
ser igual a zero 
 
 
Exemplo: Uma barra está submetida ao sistema de forças mostrado na figura a 
seguir. Verificar se a barra está em equilíbrio. 
 
 
 Sistema de forças atuante em corpo rígido. 
 
 
As forças F1 e F2 serão decompostas nas direções x e y: 
 
F1x = F1.cos (45º) = 100 x 0,7071 = 70,7 kN 
 
F1y = F1.sen (45º) = 100 x 0,7071 = 70,7 kN 
 
F2x = F2.cos (45º) = 100 x 0,7071 = 70,7 kN 
 
F2y = F2.sen (45º) = 100 x 0,7071 = 70,7 kN 
 
 
 
 22
Na direção x, temos: 
 
F1x – F2x = 70,7 – 70,7 = 0 , não haverá translação na direção x 
 
Na direção y, temos: 
 
F1y – F2y = 70,7 – 70,7 = 0 , não haverá translação na direção y 
 
 
Então, podemos afirmar que a barra está em equilíbrio? 
 
Resp.: Não, conforme já mencionado para um corpo devemos ter resultante igual 
a zero e momento resultante, também, igual a zero. 
 
Vamos verificar se o momento resultante é igual a zero: 
 
O momento das componentes F1x e F2x em relação ao ponto O será igual a zero, 
visto que as linhas de ação das componentes passam pelo ponto O. 
 
O momento das componentes F1y e F2y em relação ao ponto O, será igual a: 
 
MO = F1y x 5 + F2y x 5 = 70,7 x 5 + 70,7 x 5 = 707,0 kN.m, então a barra irá sofrer 
rotação em torno do eixo z. Conseqüentemente, podemos afirmar que a barra não 
está em equilíbrio. 
 
 
1.4) MÉTODO AS SEÇÕES/ESFORÇOS E TENSÕES INTERNAS 
 
1.4.1) O Método das Seções 
 
Seja uma barra em equilíbrio sob a ação das forças iF
v
 ( ,...,, 321 FFF
vvv ), cargas 
ou reações. 
 23
 
 
Para determinar os esforços e tensões em uma seção S, genérica, 
consideramos a barra desmembrada pela seção S em duas partes, E e D, cada 
uma delas em equilíbrio sob a ação das forças iF
v
 e de uma infinidade de forças 
moleculares em S. 
 
1.4.2) Esforços Internos 
 
Seja o sistema de forças moleculares em S reduzido ao baricentro da seção. 
 
 
 
 
 24
Em E: resultante R
v
 e momento resultante M
v
 
Em D: resultante 'R
r
 e momento resultante 'M
r
 
As direções e sentidos destes esforços são quaisquer no espaço. 
Analisando o equilíbrio das partes E e D conclui-se: 
 
 
 Sistema de forças iF
r
 equilibramSistema de forças iF
r
 
em E equivalem a em D equivalem a 
( 'Rr , 'Mr ) ( Rr , Mr ) 
 
 
 
Portanto, 'R
r
= - R
r
 e 'M
r
 = - M
r
. O par de forças 'R
r
 e R
r
 e o par de 
momentos opostos 'M
r
 e M
r
 são os esforços internos em S. Um elemento de 
volume da barra de seção S e comprimento elementar dx está em equilíbrio sob a 
ação dos esforços internos. 
 
 
 Para melhor analisar os efeitos dos esforços internos no elemento de 
volume, eles serão decompostos segundo os seguintes referenciais: 
 25
 
para decomposição de R
r
e M
r
 para decomposição de 'R
r
e 'M
r
 
 
eixos x normal a S e eixos y e z no plano de S 
 
zyx RRRR
rrrr
++= e zyx MMMM
rrrr
++= as componentes são os esforços 
simples, que podem ser expressos por seus valores algébricos. 
 xR
r
 é a soma dos valores algébricos das componentes segundo o eixo x 
das forças iF
r
 à direita de S ( yR
r
 e zR
r
 têm definições semelhantes). 
xM
r
 é a soma dos valores algébricos dos momentos segundo o eixo x das 
forças iF
r
 à direita de S ( yM
r
 e zM
r
 têm definições semelhantes). 
Adotando o referencial oposto para decomposição de 'R
r
e 'M
r
, os valores 
algébricos serão os mesmos, bastando, nas definições acima, trocar direita por 
esquerda. Assim, cada esforço simples fica definido por um só valor algébrico e 
pode ser calculado com as forças situadas à direita ou à esquerda da seção. 
 
1.4.3) Classificação dos Esforços Simples 
 
RX = N = esforço normal (tração, se positivo e compressão, se negativo), 
produz o alongamento ou o encurtamento da dimensão dx do sólido elementar. 
Ry = Qy e Rz = Qz = esforços cortantes, produzem o deslizamento de uma 
face do sólido em relação à outra. O esforço cortante resultante será zy QQQ
rrr
+= 
Mx = Mt = T = momento torçor, produz a rotação em torno do eixo x de uma 
face em relação à outra. 
 26
My e Mz = momentos fletores, produzem a rotação em torno do eixo y ou z 
de uma face em relação à outra. O momento fletor resultante será zy MMM
rrr
+= 
Importante notar que os momentos fletores determinam alterações da 
dimensão dx do sólido elementar. Na figura abaixo, o momento fletor Mz positivo. 
 
 
 
 
1.4.4) Tensões Internas 
 
 
Sejam P um ponto genérico de S, ∆A um elemento de área em torno de P e 
∆ F
r
 a força elementar em ∆A (direção e sentido quaisquer no espaço). A tensão 
média em ∆A é A
F
tm ∆
∆
=
r
r
 e a tensão no ponto P é dA
Fd
A
F
t A
rr
r
=
∆
∆
= →∆ 0lim . A 
 27
decomposição segundo o referencial indicado vale zyx tttt
rrrr
++=
. As 
tensões passam a ser conhecidas pelos seus valores algébricos: 
 tx = σx = tensão normal, sendo tração positiva e compressão negativa 
 ty = τxy e tz = τxz = tensões tangenciais ou tensões de cisalhamento (de 
corte). A resultante, no plano da seção, é xzxy τττ
rrr
+=
 . 
 
Observações: 
 a) σx é a tensão normal na seção normal ao eixo x, direção do eixo x 
τxy é a tensão tangencial na seção normal ao eixo x, direção do eixo y 
τxz é a tensão tangencial na seção normal ao eixo x, direção do eixo z. 
Quando não houver possibilidade de confusão, os índices podem ser 
abandonados (σ , τ) e às vezes a tensão é expressa pelo módulo e uma indicação 
do sentido. 
b) Tensão é força por unidade de área. Seu dimensional é F.L-2. 
Unidades usuais: sistema técnico kgf/cm2, kgf/mm2, tf/cm2, tf/mm2; 
 sistema internacional (SI): 1 Pa = 1 N/m2 
 1 kPa = 103 Pa; 1 MPa = 106 Pa; 1 GPa = 109 Pa 
sendo 1 kgf/cm2 = 0,0981 MPa e 1 MPa = 10,2 kgf/cm2 
 
 c) Os valores das tensões normal e tangencial em um ponto P variam com 
a direção da seção que passa por P, caracterizando um estado de tensões em 
torno do ponto P. 
 
 
1.4.5) Relações entre Esforços e Tensões 
 
 Sejam os vetores unitários ji rr, e kr segundo os eixos x, y e z. Se 
dAtFd .
rr
=
 e kjit xzxyx
rrrr
... ττσ ++= , então 
 28
kdAjdAidAFd xzxyx
rrrr )..()..()..( ττσ ++= . Os componentes de Fd
r
, em valores 
algébricos, são: dAdF xx .σ= , dAdF xyy .τ= e dAdF xzz .τ= 
 
 
 
 Sejam y e z as coordenadas do ponto P, no plano yGz. De acordo com os 
conhecimentos de Mecânica, conclui-se que: 
 
∫ ∫===
A A
xxx dAdFNR .σ
 � ∫=
A
x dAN .σ
 
∫ ∫===
A A
xyyyy dAdFQR .τ
 � ∫=
A
xyy dAQ .τ
 
∫ ∫===
A A
zyzzz dAdFQR .τ
 � ∫=
A
xzz dAQ .τ
 
∫ −==
A
zyx ydFzdFTM )..(
 � ∫ −=
A
xzxyx dAyzM )...( ττ
 
∫ −=
A
xy zdFM ).(
 � ∫−=
A
xy dAzM ..σ
 
∫=
A
xy ydFM ).(
 � ∫=
A
xz dAyM ..σ
 
 
 29
 As propriedades acima permitem calcular as tensões se forem conhecidos 
os esforços e não houver problemas nas soluções das integrais. Por exemplo, se 
σx for constante em S, σx = σ (constante), então ∫ ∫ ===
A A
AdAdAN .. σσσ
 e, 
então 
A
N
=σ . 
 As propriedades acima deixam claro que o esforço normal e os momentos 
fletores produzem tensões normais, enquanto que os esforços cortantes e o 
momento torçor produzem tensões tangenciais. 
 
Exercício 1) Em uma seção quadrada de lado a não existem tensões tangenciais e 
as tensões normais variam de acordo com o diagrama espacial dado. Calcule os 
esforços simples na seção. AA’BB’CD é o “sólido de tensões” e A’B’CD é a 
“superfície de tensões”. 
(respostas: N = σ0.a2/2, Mz = σ0.a3/12, demais esforços nulos) 
 
 
 30
Equação da reta: x = Ay + B 
 x = 0 -> y = -a/2 e x = σ0 -> y = a/2 
Então: 02
=+




 −
= BaAx
 ∴ 
a
BA .2=
 
 
02
. σ=+




 BaA ∴ 02.
.2
σ=+










 Ba
a
B
 ∴ 2
0σ
=B
 e 
a
A 0σ=
 
e a equação é: 2
.
00 σσ += y
a
x
 
 
O esforço normal será: ∫
−






+=
2/
2/
00
..
2
.
a
a
dyay
a
N σσ
 , com área dA = a.dy 
 
∴
2
.
.
2
.
22
..
2
1
44
.
2
.
2
.
2
.
2
0
00
44
02/
2/0
2/
2/
2
0
a
a
aaa
a
aayayN aa
a
a
σ
σσ
σ
σσ ==










 −
−+










 +
−=+=
−−
 
 
∫
−






+=
2/
2/
00
..
2
..
a
a
z dyay
a
yM σσ
 
 
∫ ∫
− −
−−
+=+=
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2
0
2/
2/
3
0
0
20
2
.
2
.
3
...
2
...
a
a
a
a
a
a
a
az
yay
a
dyyadyy
a
M σσσσ
 
 
∴ 12
.
24
..2
444
.
2424
2
0
3
0
22
0
33
0 aa
a
aaaaa
a
M z
σσ
σ
σ
==










 +
−+











−−=
 
 
 
 31
Exercício 2) Em uma seção retangular b x h não existem tensões tangenciais e as 
tensões normais variam de acordo com o sólido de tensões dado. Calcule os 
esforços simples na seção. 
 (resposta: Mz = σ0.b.h2/6, demais esforços nulos) 
 
 
 
 
Equação: yh
x .
.2 0σ
=
 e, então 
∫
−
−
=










+
−===
2/
2/
22
02/
2/
2
00 0
88
..2
2
.
..2
..
.2h
h
h
h
hh
hby
h
bdyby
h
N σσσ
 
 
 32
=










 −
−===





= ∫ ∫
− −
−
2/
2/
2/
2/
33
02/
2/
3
0200
2424
..2
3
.
..2
.
..2
..
..2
.
h
h
h
h
h
hz
hh
h
by
h
bdyy
h
bdyb
h
yyM σσσσ
 
6
..
12
..2 2030 hbh
h
b σσ
=





=
 
 
Exercício 3) Idem ao exercício 2, para a figura abaixo. 
 
 respostas: N = σ0.b.h/3, Mz = σ0.b.h2/9, demais esforços nulos 
 
equação: 





+= 1.4
3
0 y
h
x
σ
 
 
Obs: Adote o seguinte referencial: 
 
 33
1.5) TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO / COMPRESSÃO 
SIMPLES (barras sujeitas apenas a esforços normais) 
 
Seja uma barra prismática AB de comprimento L e área A de seção 
transversal (no estado neutro), sujeita à carga axial P, de tração ou compressão. 
Seja a seção genérica S, de abscissa x (0 ≤ x ≤ L). Então N = P ou N = -P, 
constante de A até B. 
 
 
 
 
1.5.1) Tensões Normais 
 
 As treliças são elementos estruturais cujas barras estão sujeitas somente 
ao esforço normal constante. Admite-se, então, que uma seção esteja sob tensão 
normal constante: σx = σ = N/A = P/A (se compressão, - P/A). 
Conseqüentemente, a tensão é também constante de A até B (vide figura abaixo). 
 
 
Sólido de tensões, vista longitudinal e variação de A até B para a tração. 
 
 34
i) Se o corpo está sujeito somente ao esforço normal, a tensão é constante nesta 
seção. Se a tensão normal não for constante na seção, então o quociente N/A 
representa a tensão normal média na seção. 
ii) Se o esforço normal Nx e a área da seção transversal Ax variam com a abcissa 
x, então a tensão normal em cada seção é σx = Nx /Ax (constante em S, mas 
variável com x). 
iii) Uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das 
forças aplicadas P passar pelo baricentro da seção considerada. 
 
1.5.2) Tensões de Cisalhamento 
 
 Quando as forças P são aplicadas a uma barra AB na direção perpendicular 
a esta, ocorre um tipo de tensão muito diferente. 
 
 
 
 Se passarmos uma seção transversal pelo ponto C entre os pontos de 
aplicação das forças, concluímos que devem existir forças internas na seção 
transversal (vide figura) e que a resultante deve se igualar a P. 
 
 
Esta resultante, de intensidade P, chama-se força cortante na seção. Ao 
dividirmos a força cortante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão 
média de cisalhamento da seção. A tensão de cisalhamento ou de corte, é 
 35
indicada pela letra τ (tau). Podemos escrever, então: A
P
=τ
, sendo 
4
.
2dA pi= , 
d é o diâmetro nominal do parafuso ou rebite. 
Este valor é a média das tensões de cisalhamento. Ao contrário das 
tensões normais, a distribuição das tensões de cisalhamento na seção não pode 
ser assumida como uniforme. 
A tensão de cisalhamento ocorre normalmente em parafusos, rebites e 
pinos que ligam diversas partes das máquinas e estruturas. Os rebites e 
parafusos provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao 
longo da superfície de contato. Essas tensões, também chamadas de tensões de 
apoio, são calculadas, tomando como referência o plano diametral dos parafusos: 
dt
P
a
.
=σ
 , onde t é a espessura da chapa e d é o diâmetro nominal do 
parafuso ou rebite. 
Exercício 1) Consideremos 2 chapas A e B ligadas pelo rebite CD. Ao 
aplicarmos uma força de tração P, aparecerão tensões na seção do rebite 
correspondente ao plano EE’. 
 
Se as chapas forem de 5/8” e o conector de 7/8”, calcular a capacidade da 
ligação para o aço A24 e utilizando o rebite A502 tipo 1. 
Dados referentes ao rebite A502 tipo 1 (tabelado): 
• Limite admissível para tensão de corte tipo apoio: τ = 10,5 kgf/mm2; 
• Limite de pressão de apoio: σa = 28 kgf/mm2; 
• Limite de tração: σt = 14 kgf/mm2; 
 36
Rebite 7/8”: d = 22,2 mm e área = pi.d2/4 = 388 mm2; 
Chapa 5/8”: t = 15,8 mm 
Capacidade do rebite por apoio: 15,8 mm x 22,2 mm x 28 kgf/mm2 = 9921 kgf = 
97,3 kN 
Esforço admissível de corte: 388 mm2 x 10,5 kgf/mm2 = 4074 kgf = 40,0 kN 
 
 
 
Então, a capacidade de corte é determinante. A capacidade admissível da ligação 
será 4 rebites x 40,0 kN = 160 kN. 
 
Exercício 2) Idem do exercício 1 para a chapa abaixo: 
 
 
 Neste caso, o rebite está trabalhando com seção dupla e então: 
 
 
A
P
.
2
1
=τ
 (corte), dt
P
.
.
2
1
1
1 =σ (apoio) e dt
P
.2
2 =σ
 (apoio) 
 
Se t1 = 1/2" = 12,7 mm , t2 = 5/8" = 15,8 mm e d = 7/8” = 22,2 mm, teremos: 
 
 37
Capacidade admissível de apoio: 
Chapa 1: 2. t1 .d. σ1 = 2 x 12,7 mm x 22,2 mm x 28 kgf/mm2 = 15788 kgf = 155 kN 
Chapa 2: t2 .d. σ2 = 15,8 mm x 22,2 mm x 28 kgf/mm2 = 9821,3 kgf = 96,3 kN 
Sendo a área do parafuso igual a 388 mm2 , a capacidade admissível de corte é 
P = 2 x 388 x 10,5 kgf/mm2 = 8148 kgf = 79,9 kN 
Neste exemplo, a capacidade de corte também é determinante. 
 
 
 
A capacidade de carga da ligação abaixo é 3 rebites x 79,9 kN = 239,7 kN 
 
Exemplo: 
A viga rígida BCD está ligada por parafusos à barra de controle em B, ao 
cilindro hidráulico em C e ao suporte fixo em D (veja figura abaixo). Os diâmetros 
dos parafusos usados são dB = dD = 8 mm, dC = 12 mm. Cada parafuso está 
sujeito a corte duplo, e é constituído de aço com tensão de cisalhamento última τU 
= 300 MPa. A barra de controle AB, com 9 mm de diâmetro, é feita de aço com 
tensão última de tração σU = 450 MPa. Determinar a maior força que o cilindro 
hidráulico pode aplicar, de baixo para cima, no ponto C, adotando para toda a 
estrutura o coeficiente de segurança 3,0. 
 38
 
 
Solução: O coeficiente de segurança deve ser maior ou igual a 3,0 para cada um 
dos três parafusos, como também para a barra de controle. Vamos considerar 
separadamente cada um dos quatro casos. 
 
Corpo Livre: Viga BCD. Primeiramente determinamos a força em C em função da 
força em B e em função da força em D. 
 
 ΣMD = 0: -B. (350 mm ) + C.(200 mm) = 0 ∴ C = 1,75 B 
 ΣMB = 0: D. (350 mm ) - C.(150 mm) = 0 ∴ C = 2,33 D 
 
• Barra de controle: Para o coeficiente de segurança 3,0 vamos ter 
 
MPaMPa
SC
U
adm 1500,3
450
..
===
σ
σ
 
 A força admissível na barra de controle é 
 B = σadm.(A) = (150 MPa).pi/4.(9 mm)2 = 9,54 kN 
 39
 Como C = 1,75 B, então, o maior valor possível em C será C = 1,75.(9,54 kN) 
 ∴ C = 16,70 kN 
• Parafuso no ponto B: 
 τadm = τU/C.S. = (300 MPa)/3 = 100 MPa 
 Como o parafuso está sujeito a corte duplo, a força admissível em B é 
 B = τadm.(2A) = (100 MPa).2.pi/4.(8 mm)2 = 10,05 kN 
 Como C = 1,75 B, então C = 1,75.(10,05 kN) ∴ C = 17,59 kN 
• Parafuso no ponto D: Este parafuso é igual ao do ponto B e a força 
admissível é D = B = 10,05 kN. 
 Como C = 2,33 D, então C = 2,33.(10,05 kN) ∴ C = 23,4 kN 
• Parafuso no ponto C: Novamente temos τadm = 100 Mpa e escrevemos 
C = τadm (2A) = (100 Mpa).2. pi/4.(12 mm)2 = 22,6 kN 
 
Resumo: Obtivemos separadamente para cada caso quatro valores 
admissíveis para a força em C. Devemos escolher o menor desses valores, 
de modo a satisfazer os quatro casos, ou seja, C = 16,70 kN. 
 
 
1.5.3) Deformações Longitudinais (alongamento para tração e encurtamento para 
compressão) 
 
Seja um elemento de volume genérico de seção S e comprimento 
elementar dx: 
 
 
 estado neutro barra tracionada 
 
 40
Deformação longitudinal total da barra: ∆L = δ (dimensional: L); 
Deformação longitudinal do elemento de volume: du (dimensional:L); 
Deformação longitudinal específica (deformação por unidade de comprimen 
 to): dx
du
=ε
 (adimensional); 
Então: dxdu .ε= e ∫ ∫==∆
L L
x dxduL
0 0
.ε
, onde εx varia com x, de um 
modo geral. No caso particular do item 1.3, εx = ε é constante de A até B, 
portanto, ∆L = ε.L e, então ε = ∆L/L. 
Analisamos, por enquanto, somente as deformações longitudinais. Mais 
tarde, analisaremos as deformações transversais. 
As deformações podem ser elásticas (regridem se a barra for 
descarregada) ou plásticas (permanentes). 
 
1.5.4) O Teste ou ensaio de Tração 
 
O objetivo é determinar as propriedades dos materiais ou verificar a 
qualidade dos mesmos. Na barra tracionada do item 1.3, façamos a carga P 
aumentar lenta e gradualmente (carga estática). Medindo em cada instante do 
ensaio a carga P e a deformação total ∆L,obtém-se o diagrama P x ∆L (carga 
x deformação total) e, a partir deste, o diagrama σ x ε (tensão por deformação 
específica), onde σ = P/A e ε = ∆L/L. Os aspectos mais comuns do diagrama 
σ x ε são os seguintes: 
 41
 
(a) material frágil (se rompem com pequenas deformações): ε < 5 % em R (no 
instante da ruptura). Exemplos: concreto, vidro, ferro fundido; 
(b) e (c) materiais dúteis (suportam grandes deformações antes de chegar a 
ruptura): ε >> 5 % em R. Exemplos: aço, alumínio; 
(b) material dútil sem escoamento definido. Exemplo: aços especiais; 
(c) material dútil com patamar definido (trecho AB = patamar de escoamento, 
em que há aumento de deformação com a tensão aproximadamente constante). 
Exemplo: aço comum. 
 
A relação que envolve tensão (σ) e deformação específica (ε) é conhecida como 
Lei de Hooke : 
 
εεεεσσσσ *E=
 
 
 
onde : E é o Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young, com o 
mesmo dimensional e mesmas unidades práticas de tensão, sendo uma constante 
de cada material, obtido através de ensaios, como mostrado no item a seguir. 
 Se o esforço normal é P ou –P e a tensão normal é A
P
x == σσ , a 
deformação total será EA
PL
E
LLL ===∆ σε .
 
 
 42
1.5.5) Detalhes do Diagrama σ x ε para o aço comum (diagrama convencional 
com aspecto simplificado) 
 
 
 
0 – 1: fase elástica proporcional (diagrama linear), obedecendo a Lei de Hooke: 
σ/ε = const = tg α = E σ/ε = E, então, ε = σ/E. 
 σ1 = limite de proporcionalidade onde as deformações são elásticas. 
1 – 2: fase elástica não proporcional (reduzida). O material já não obedece à Lei 
de Hooke e as deformações, a partir daí, serão plásticas, ou seja, mesmo que 
sejam aliviadas as cargas, o material não irá retornar a sua forma inicial. 
(para fins práticos, consideramos 0 – 2 como fase elástica) 
2 – 3: fase plástica pré-escoamento (reduzida ou inexistente); 
3 – 4: patamar de escoamento (tensão de escoamento σe = σy = fy ). O material 
se deforma com pequenos acréscimos de tensões. 
4 – 5: encruamento ou endurecimento. O ponto 5 corresponde a tensão máxima 
do ensaio ou limite de resistência do material (σR); 
(para fins práticos, consideramos 2 – 5 como fase plástica) 
5 – 6: fase de ruptura ou estricção, em que a diminuição da carga P e uma 
diminuição mais acentuada da área A (em uma determinada seção), chamada 
fuso de estricção. 
 43
 
 
Em 5, a tensão de ruptura vale σR = fst (max). Em 6, há a ruptura definitiva. 
Este diagrama tensão x deformação é típico de ligas metálicas de baixa 
dureza, como aço com baixo teor de carbono (aço doce) e o alumínio. 
 
 
Material sem Patamar de Escoamento Definido: 
 
 
 Diagrama σσσσ x εεεε 
 
 
Assim como no diagrama anterior, este diagrama tensão x deformação é 
linear até o ponto B, também denominado limite de proporcionalidade, ou seja, 
neste trecho o material obedece a Lei de Hooke e as deformações são elásticas; 
 
Não há patamar definido, como no caso anterior, a tensão de escoamento 
(σy) é definida por uma reta correspondente a 2‰ paralela ao segmento linear do 
diagrama; 
 
Este diagrama tensão x deformação é típico de materiais com alta dureza, 
como aço com alto teor de carbono , ferro fundido etc. 
 
 44
Ambos os diagramas apresentados, são chamados de convencionais, ou 
seja, ao longo de todo o ensaio as tensões são obtidas com a área inicial do corpo 
de prova. Caso fossem obtidos com a área real do corpo de prova, os diagramas 
teriam as seguintes formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O dado mais importante obtido da curva tensão x deformação é o módulo 
de elasticidade longitudinal do material (E), que é igual a inclinação da reta OB. 
 
• O diagrama convencional admite σ = P/A constante, porém o diagrama real 
σ’ = P/A’, em que a área é variável, diminuindo na tração, por exemplo. 
 
 
 45
• Descarga e Recarga: na fase elástica, o retorno é pelo mesmo diagrama 
da carga. Na fase plástica, o retorno se dá por uma paralela a 0 – 1 (vide 
figura abaixo), significando que a deformação total é parcialmente elástica e 
parcialmente plástica: εt = εe + εp . No início do escoamento: εe = 0,2 % 
 
 
 aço comum (classe A) aço especial (classe B) 
 
O limite de escoamento convencional para o aço especial (tipo B) é a tensão 
para a qual a deformação permanente é εp = 0,2 %. 
1.8.7) Outros Tipos de Diagramas para Diferentes Materiais 
 
 
 (a) (b) (c) (d) 
(a) material perfeitamente elástico 
 46
(b) material perfeitamente plástico 
(c) material elástico perfeitamente plástico 
(d) material elástico-plástico 
 
Abaixo segue outra figura onde é mostrado cada parte do diagrama σ x ε. 
 
 
 
1.6 UNIÕES SOLDADAS 
 
As uniões entre chapas metálicas, tubos, cantoneiras e perfis, com 
frequência, são executadas por soldagem, através da fusão de material que 
preenche o espaço entre as partes a serem ligadas ou para formar um cordão. 
A figura abaixo mostra alguns exemplos de ligações através do uso da 
solda, sendo (a) ligação de topo, (b) ligação de topo com solda em “V” e (c) cordão 
de solda. 
 47
 
 
O material fundido deve ser isolado da atmosfera para evitar formação de 
impurezas na solda. O isolamento pode ser feito de diversas maneiras; as mais 
comuns são indicadas na figura abaixo: 
a) Eletrodo manual revestido. O revestimento é consumido juntamente com 
o eletrodo, transformando-se parte em gases inerte, parte em escória. 
b) Arco submerso em material granular fusível. O eletrodo é um fio 
metálico, porém o arco voltaico e o metal fundido ficam isolados pelo 
material granular. 
c) Arco elétrico com proteção gasosa (também conhecido como MIG/MAG 
– Metal Inert Gas/Metal Active Gas). O eletrodo é um arame sem 
revestimento, e a proteção da poça de fusão é feita pelo fluxo de um gás 
(ou mistura de gases) lançado pela tocha de soldagem. 
d) Arco elétrico com fluxo no núcleo. O eletrodo é um tubo fino preenchido 
com o material que protege a poça de fusão. 
 
A solda de eletrodo de eletrodo manual é a mais utilizada na indústria. 
Apresenta enorme versatilidade, podendo ser empregado tanto em instalações 
industriais pesadas quanto em pequenos serviços de campo. 
 
 48
 
 
 
 
 
 
 
 Os eletrodos utilizados nas soldas por arco são varas de aço-
carbono ou aço de baixa liga. Os eletrodos com revestimento são designados 
segundo a norma ASTM por expressões do tipo E70XY, onde: 
E = eletrodo; 
70 = resistência à ruptura da solda em ksi; 
 49
X = número que se refere à posição de soldagem satisfatória (1 – qualquer 
 posição; 2 – somente posição horizontal); 
Y = númeroque indica tipo de corrente e de revestimento do eletrodo. 
 
Os principais tipos de eletrodos empregados na indústria são: 
E60 = fruptura = 60 ksi = 415 MPa 
E70 = fruptura = 70 ksi = 485 MPa 
 
A norma NBR 7165 apresenta os símbolos gráficos de solda, baseado na 
American Welding Society: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 50
 
 
Soldas de Filete: 
 
 
 
 
O formato da seção transversal do cordão de solda tipo filete se assemelha 
a um quadrante de círculo, porém, devido ao brusco resfriamento, sua superfície 
em contato com a atmosfera sofre fissuras, fazendo com que apenas a parte em 
forma de triângulo retângulo isósceles seja considerada íntegra para resistir aos 
esforços cisalhantes. 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra um cordão de solda tipo filete. A garganta do 
cordão, no plano segundo o qual a tensão de cisalhamento é máxima, ocorre 
porque a área é mínima, dada por: 
ohaA 45cos..=
 
 
 51
 
 
Tabela 1 - Dimensões Mínimas de Filetes de Solda (AISC, NBR 8800) 
 
Espessura da 
chapa mais 
fina em mm 
Perna do filete 
(bmin) 
Até 6,3 3 mm 
6,3 – 12,5 5 mm 
12,5 – 19 6 mm 
> 19 8 mm 
 
 
Tabela 2 - Dimensões máximas de Filetes de Solda (AISC, NBR 8800) 
 
 
 
Tabela 3 - Tensões Admissíveis de cisalhamento (MPa) em soldas de filete 
 
 AISC AASHO NB117 
Aço A36, A242, Eletrodo E60 93,2 - 88,3 
Aço A36, Eletrodo E70 107,9 85,3 88,3 
Aço A242, Eletrodo E70 107,9 101,0 - 
 
 
 
 52
Exemplo 1: A cantoneira de abas desiguais está submetida a um estado de 
tração pura, pela força P = 200 kN, aplicada no centroide da área da seção 
do perfil. Pede-se determinar os comprimentos dos dois cordões de solda de 
forma a que a tensão cisalhante despertada na união não ultrapasse 30 MPa. 
 
 
Solução: o equilíbrio das forças atuantes na cantoneira nos permite escrever: 
ΣF = 0 -> F1 + F2 = 200 kN 
Momento no CG -> F1 x 160 mm = F2 x 40 mm 
Portanto, F1 = 40 kN e F2 = 160 kN 
 
Os comprimentos dos cordões são calculados escrevendo-se: 
τ = F2/Área2 = F1/Área1 onde Área = a x h x cos 45o 
τ = 30 x 106 =160
 
x 103 / a2 x 10 x 0,707 x 10-6 = 40 x 103 / a1 x 10 x 0,707 x 
10-6 
obtendo-se, finalmente: a1 = 189 mm e a2 = 754 mm. 
 
 53
 Caso um terceiro cordão fosse 
acrescentado na extremidade da cantoneira, 
uma força F3 seria adicionada, permitindo a 
diminuição dos comprimentos dos dois 
cordões laterais. 
 Admitindo que o terceiro cordão (com a 
mesma dimensão de 10 mm) se estenda 
pelos 200 mm da alma da cantoneira e que a 
tensão nele presente atinja o valor admissível 
de 30 MPa, teremos (ver nota 1): 
 
 
F3 = 30 x 106 x 200 x 10 x 0,707 x 10-6 e F3 = 42,4 kN. 
Tomando os momentos em relação à quina A: 
200 x 40 = F1 x 200 + 42,4 x 100 e F1 = 18,8 kN enquanto F2 = 138,8 kN, 
já que ΣF = 0, ou seja F1 + F2 + F3 = 160 + 40. 
Os novos comprimentos dos cordões laterais seriam dados por: 
τ = 30 x 106 =18,8
 
x 103 / a1 x 10 x 0,707 = 138,8 x 103 / a2 x 10 x 0,707 e 
portanto, a1 = 88,6 mm e a2 = 654,4 mm. 
Note que, nos dois casos, a soma dos comprimentos dos cordões é a mesma: 189 + 
754 = 88,6 + 654,4 + 200 = 943 mm. 
 
Nota 1: Apesar de a resistência de um cordão de solda transversal seja 30 % maior 
que a de um cordão longitudinal, adotaremos valores iguais, mantendo o 
multiplicador 0,707 nos cálculos. 
 
Exemplo 2: A coluna circular de diâmetro D é soldada em sua base por um 
cordão de solda circunferencial de largura b e submetido a um torque T. 
Calcule o valor admissível para o torque, supondo uma tensão tangencial 
admissível na solda de valor τ (supor a dimensão b muito pequena na 
presença de D). 
 54
 
Solução: Admitindo que a tensão tangencial é 
uniformemente distribuída ao longo da garganta 
circunferencial da solda, podemos escrever (já que 
D>>b – ver Nota 2): 
Momento = Torque T = F x distância d 
τ = F/A ∴ F = τ.A ∴T/d = τ.A ∴T= τ.A.d 
sendo Área = b.h/2 = (b/2).(D/2) onde h = raio e 
d = raio x θ , então variação de d = D/2.dθ 
..)4/()2/)(2/)()(2/.( 2
2
0
bDDbdDT τpiθτ
pi
∫ ==
 
 distância x área 
 
Nota 2: ao admitirmos a área da garganta como uma superfície cônica de raio D/2, e 
não (D/2)+ (b/4).cos 45º , estaremos utilizando uma área um pouco menor que a 
verdadeira, obtendo um valor de T admissível um tanto menor que o máximo (a 
favor da segurança). 
 
Exemplo 3) Dimensionar a ligação com solda de filete indicada na figura (a) 
abaixo, para o aço A24 e eletrodo E60, para o esforço estático de 294,3 kN. 
 
 
 
 Tratando-se de chapas de espessura 5/8” (15,87 mm), vemos na Tabela 1 
que o lado mínimo do filete de solda é 6 mm. Na tabela 2, verificamos que o 
filete não deve ultrapassar a dimensão bmáx = 15,87 mm – 1,5 mm = 14,37 
 55
mm. Construtivamente, o lado do filete de solda pode ser adotado com 
qualquer valor entre 6 mm e 14,4 mm. 
 Vamos inicialmente supor a solda, como é indicado na figura (b), com lado 
do filete 8 mm e eletrodo E60. Desprezando os prolongamentos da solda nos 
cantos, a área de solda (garganta) será: 
 
2
11 ..31,11707,0.8..245cos.. mmlmmlhaA o === 
 Segundo a tabela 3, a tensão admissível da solda pela NBR 117 para o aço 
A24 (ou A242), eletrodo E60 vale 88,3 MPa. O comprimento l1 é calculado 
de acordo com a expressão: 11,31. l1 x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ l1 = 
294,7 mm ≈ 30 cm 
 Na figura (c) há uma outra disposição da solda. A área de solda (na 
garganta), será neste caso, ainda com filete de 8 mm: 
[11,31. l2 + (178 mm x 8 mm x 0,707)] x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ 
(11,31. l2 + 1006,8) x 88,3 N/mm2 = 294300 N ∴ l2 = 205,7 mm ≈ 21 cm 
Vemos que a disposição da figura c produz uma ligação mais compacta que 
a da figura b. 
 
Exemplo 4) Dimensionar a ligação com solda de filete indicada na figura (a) 
abaixo, para a carga admissível à tração da cantoneira L 5 x 3 ½ x ½ em aço 
Corten C (σadm = 196,2 MPa), com eletrodo E70 tipo baixo hidrogênio. Dado: área 
da cantoneira = 2580 mm2 
 
 
 
 56
Carga admissível à tração da cantoneira: 2580 mm2 x 196,2 N/mm2 = 506196 
N = 506,2 kN. 
Pelas tabela acima, o cordão de solda fica condicionado por dois limites: 
Lado mínimo para chapa 5/8” : 6 mm (tabela 1) 
Lado máximo para a chapa 1/2": 12,7 mm – 1,5 mm = 11,2 mm (tabela 2) 
 
Adotaremos o filete de 8 mm. Pela Tabela 3, a tensão admissível da solda 
de filete, segundo a norma AISC vale τ = 107,9 MPa. 
Considerando a distribuição mostrada em (b) da figura anterior, procuraremos 
determinar l1 e l2 de maneira que a resultante dos esforços da solda coincida 
com a projeção do centro de gravidade da cantoneira no plano da solda. 
Admitimos que o eixo do filete de solda coincida com o bordo do perfil. 
Escrevemos duas equações de equilíbrio: 
 
 
Σ Fhoriz = 0 ∴ 8 mm x 0,707 x 107,8 N/mm2 (l1+l2) 
 = 506196 N 
Σ MA = 0 ∴(103,9 mm x l1) = (23,1 mm x l2) 
 
Resolvendo o sistema, encontramos: 
l1 = 151 mm = 15,1 cm 
l2 = 679,2 mm = 68 cm 
 
Tomemos, agora, a distribuição apresentada em (c) na figura, mantendo o 
filete de 8 mm. As equações de determinação de l3 e l4 são: 
 Σ Fhoriz = 0 ∴ 8 mm x 0,707 x 107,8 N/mm2 (l3+l4 + 127 mm) = 506196 N 
 Σ MA = 0 ∴(103,9 mm x l3) = (23,1 mm x l4) + 127 mm x (127/2 mm – 23,1 
mm) 
 Resolvendo o sistema, encontramos: 
 l3 = 170 mm = 17 cm , l4 = 534 mm = 53,4 cm 
 57
 
 Note que a soma dos comprimentos dos filetes de solda é o mesmo: 15,1 cm + 68 
cm = 17 cm + 12,7 cm + 53,4 cm. 
Os comprimentos de solda poderiam ser reduzidos adotando-se um filete de maior 
lado, por exemplo, b = 10 mm. 
Segue a simbologiadas soldas segundo NBR 7165. 
 58
 
 59
1.7) Deformação Transversal 
 
Na Figura a seguir, se tivermos σz = σy = 0 e somente σx ≠ 0, podemos 
imaginar que as deformações específicas εy e εz são também iguais a zero. Isto, 
entretanto, não ocorre. Em todos os materiais, o alongamento produzido por uma 
força P na direção dessa força é acompanhado por uma contração em qualquer 
direção transversal. 
 
Estado múltiplo de tensões. 
 
Assumimos que o material em estudo é homogêneo, isto é, consideramos 
que suas várias propriedades mecânicas são independentes do ponto 
considerado. Vamos, agora, assumir que o material é isotrópico, isto é, 
consideramos que suas várias propriedades mecânicas são também 
independentes da direção considerada. Com esta suposição adicional, a 
deformação específica deve ser a mesma para qualquer direção transversal: εx = 
εy. Este valor é chamado de deformação específica transversal. O valor absoluto 
da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica 
longitudinal é chamado coeficiente de Poisson (ν), relacionando, então, as 
deformações específicas entre as direções x, y e z. 
 
 O coeficiente de Poisson é definido como: 
 
 ν =  deformação espe. transv._ 
  deformação específica  
 60
 
 e 
xz
xy
νε−=ε
νε−=ε
 
 
Nas fórmulas acima o sinal de menos, representa fisicamente o que ocorre 
com a deformação transversal, ou seja se há um alongamento na direção x, nas 
direções y e z haverá um encurtamento dos lados da seção transversal. 
 
• A deformação transversal é dada como se segue: 
a = dimensão transversal original; 
∆a = deformação transversal total correspondente (tração: ∆a < 0 – diminui a 
 espessura e compressão: ∆a > 0); 
εa= ∆a/a = deformação específica. 
εa é proporcional a εx, isto é, εa = - ν. εx, onde ν é o coeficiente de Poisson, dês 
 crito anteriormente e constante para cada material. (εy = - ν. εx e εz = - ν. εx). 
 
seção transversal 
Exemplo: Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de 
comprimento e 16 mm de diâmetro. Sob a ação axial de 12 kN, o seu 
comprimento aumenta de 300 µ m e seu diâmetro se reduz de 2,4 µm. 
Determinar o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. 
 61
 
 
 
A área da seção transversal da barra é A = pi.r2 = pi.( 8 x 10-3 m)2 = 201 x 10-6 m2 
Consideremos o eixo x coincidente com o eixo da barra para escrevermos então 
(vide figura): 
 
MPa
mx
Nx
A
P
x 7,5910201
1012
26
3
===
−
σ
 
610600
500
300
−
=== x
mm
m
L
x
x
µδ
ε
 
610150
16
4,2
−
−=
−
== x
mm
m
d
y
y
µδ
ε
 
 
Da Lei de Hooke, σx = E. εx, obtemos: 
 
 
GPa
x
MPaE
x
x 5,99
10600
7,59
6 === −ε
σ
 
 
e, então: 25,010600
10150
6
6
=
−
=−=
−
−
x
x
x
y
ε
ε
ν
 
 
 
 62
1.8) Estados Múltiplos de Carregamento 
 
 
Nosso estudo até agora limitou-se à análise das barras delgadas submetidas 
a cargas axiais, isto é, dirigidas ao longo de um eixo somente. Considerando esse 
eixo como o eixo x e chamando a força interna de P, calculamos as componentes 
da tensão, que são σx = P/A, σy = 0 e σz = 0. 
 
 
Passamos a considerar elementos estruturais sujeitos à ação de 
carregamentos que atuam nas direções dos três eixos coordenados, produzindo 
tensões normais σx , σy e σz , todas diferentes de zero. Temos, então, um estado 
múltiplo de carregamento ou um carregamento multiaxial. Devemos notar que 
este não é o caso geral de tensões, pois não estão incluídas as tensões de 
cisalhamento entre aquelas indicadas na figura acima. 
Vamos representar um cubo elementar de um certo material, adotando para 
suas dimensões arestas de comprimento unitário. Sob a ação do carregamento 
multiaxial, o cubo elementar se deforma, tornando-se um paralelepípedo-retângulo 
cujos lados têm comprimentos, respectivamente 1 + εx, 1 + εy e 1 + εz. εx , εy e εz 
são as deformações específicas nas direções dos três eixos coordenados (vide 
 63
figura). Devido às deformações que aparecem em elementos vizinhos do mesmo 
material, o cubo elementar pode também sofrer uma translação, que no momento 
não interessa considerar, uma vez que estudamos apenas a deformação do 
próprio elemento, e não um deslocamento qualquer que ele possa ter como corpo 
rígido. 
Queremos escrever, agora, as componentes de deformação εx, εy e εz em 
função das componentes de tensão σx, σy e σz . 
 
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
σσσσνσνσνσνσνσνσνσνσ
εεεε
νσνσνσνσσσσσνσνσνσνσ
εεεε
νσνσνσνσνσνσνσνσσσσσ
εεεε
+−−=
−+−=
−−=
 
 
 
As equações acima exprimem a generalização da Lei de Hooke para 
carregamento multiaxial. Os resultados são válidos para o caso de tensões que 
não excedam o limite de proporcionalidade do material e deformações pequenas. 
Um valor positivo de deformação específica significa expansão na direção 
respectiva e um valor negativo indica contração. 
 
Exemplo: A figura abaixo mostra um bloco de aço submetido à ação da 
pressão uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, 
que foi de 24 µm. Determinar: a) a variação de comprimento das outras duas 
arestas; b) a pressão aplicada p às faces do bloco. Adotar E = 200 Gpa e ν = 
0,29. 
 64
 
 
a) alteração no comprimento de outras arestas: Substituindo σx = σy = σz = -p 
nas equações que generalizam a Lei de Hooke, verificamos que as três 
componentes de deformação específica têm um valor comum (valor negativo 
porque todas as forças são de compressão): 
 εx = εy = εz = ( )ν21−− E
p
 
 
Como εx = δx/AB = - 24 µm/80 mm = - 300 µ, vamos ter εx = εy = εz = - 300 µ, 
donde segue que δy = εy(BC) = (-300 µ)(40 mm) = -12 µm 
 δz = εz(BD) = (-300 µ)(60 mm) = -18 µm 
 
b) Pressão: da equação do item (a), escrevemos: 
( )( ) MPaGPaEp x 9,142
58,01
300.200
21
.
=
−
−
−=
−
−=
µ
ν
ε
 
 
1.8.1) Ensaio de Compressão 
 O corpo de prova deve ter dimensões adequadas, para se evitar a 
flambagem. No caso do aço, o comportamento é o mesmo do ensaio de tração, 
 65
exceto a estricção. Em valor absoluto, o mesmo diagrama σ x ε e os mesmos 
parâmetros (E, ν, σe , σR). 
1.8.2) Tensões Admissíveis ou Tensões de Projeto (σ ou σadm) 
 
As tensões admissíveis são obtidas através da tensão de escoamento (σy) 
ou da tensão ruptura (σR) do material divididas por um coeficiente de segurança. 
Sendo este fator de segurança um número maior que 1 (um), usado para corrigir 
incertezas nas forças atuantes e nas resistências dos materiais. 
Então, 
1n
yσσ =
 para materiais dúteis e 
2n
yσσ =
 para materiais frágeis, sendo 
que n2 > n1 > n, sendo estes coeficientes de segurança com valores menores do 
que 1, onde σy é a tensão de escoamento. Também adota-se coeficiente de 
segurança para tensão de ruptura 
3n
Rσσ =
. 
Temos, então, que Coeficiente de Segurança = C.S. = __Carga de ruptura___ 
 Carga admissível 
 
ou, se a correspondência linear for entre a carga aplicada e a tensão provocada 
pela carga, o coeficiente de segurança pode ser expresso por: 
 
Coeficiente de Segurança = C.S. = __Tensão de ruptura___ 
 Tensão admissível 
 
 Não sendo indicado o contrário, a tensão admissível será menor do que o 
limite de proporcionalidade e as deformações serão elásticas proporcionais. 
1.9) TensõesTérmicas 
 
Um corpo submetido a uma variação de temperatura irá sofrer um 
alongamento, se houver um acréscimo de temperatura (∆T positivo) ou um 
 66
encurtamento, se houver um decréscimo de temperatura (∆T negativo) dado pela 
expressão: 
TLL ∆α=∆
 
 
Onde: 
∆L : Alongamento ou encurtamento sofrido pelo corpo; 
α : Coeficiente de dilatação linear; 
L : Comprimento inicial do corpo; 
∆T : Variação de temperatura, dado por TF - TI . 
 
Caso a condição de vinculação do corpo impeça a deformação devida à variação 
de temperatura, aparecerá tensão axial dada pela expressão: 
 
TE ∆= αααασσσσ 
 
1.10) Sistema Estaticamente Indeterminado 
 
São aqueles em que o número de equações disponíveis é menor que o 
número de incógnitas. Para a solução de tais problemas empregaremos além das 
equações da estática as obtidas na teoria da Resistência dos Materiais. 
 
O exemplo a seguir irá esclarecer: 
 
O elemento estrutural cilíndrico é constituído por um núcleo de alumínio 
com módulo de elasticidade igual a Eal e seção transversal igual a Aal, e um tubo 
externo de aço, com módulo de elasticidade igual a Eaço e seção transversal igual 
a Aaço. Este elemento estrutural suporta uma carga P de compressão, ver Figura 
abaixo. Quais as parcelas da carga P que serão absorvidas pelo aço e pelo 
alumínio, respectivamente. 
 
 67
 
Elemento estrutural constituído de Aço e Alumínio. 
 
 
Solução: 
 
Da estática, temos : P = Paço + Pal (1) 
 
Da resistência dos materiais, temos: ∆L = ∆Laço = ∆Lal (2) 
 
De (2), temos: 
açoaço
alal
açoal
alal
al
açoaço
aço
AE
AEPP
AE
LP
AE
LP
=→= , substituindo em (1), 
vem: 
 








+
=








+
=
alalaçoaço
alal
al
alalaçoaço
açoaço
aço
AEAE
AEPP
AEAE
AEPP
 
 
 
 
 
1.11) Concentração de Tensões 
 
 O valor das tensões nas proximidades dos pontos de aplicação de cargas 
concentradas é muito maior que a tensão média ao longo da peça. Quando a 
 68
peça estrutural contém descontinuidades, como furos ou variação brusca da 
seção, podem ocorrer altos valores de tensões nesses pontos de descontinuidade. 
 
 A figura acima se refere ao caso da variação brusca de seção, mostrando a 
distribuição de tensões na seção crítica. Trata-se de uma barra chata que 
consiste de duas seções transversais diferentes, com frisos efetuando a transição 
da forma da seção; a figura mostra a distribuição de tensões na parte mais estreita 
da transição, onde ocorrem as maiores tensões. 
Tais resultados foram obtidos experimentalmente através de método 
fotoelástico. O engenheiro que tiver de projetar ou estudar peças deste tipo não 
necessitará levar a efeito uma análise fotoelástica, pois os resultados obtidos são 
independentes das dimensões das peças e do material usado; eles dependem 
unicamente das relações entre os parâmetros geométricos envolvidos, isto é, da 
relação r/d no caso do furo circular e das relações r/d e D/d no caso de frisos (veja 
figura abaixo). Além disso, interessa ao projetista o valor máximo da tensão em 
certa seção, sendo a distribuição real de tensões um dado de menor importância, 
pois o dimensionamento é conduzido buscando-se evitar que o valor máximo de 
tensão ultrapasse os valores admissíveis para o material. Por isso, define-se a 
relação 
méd
máxK
σ
σ
=
 entre a tensão máxima e a tensão média calculada na seção 
crítica (mais estreita) de descontinuidade. Essa relação é chamada de coeficiente 
de concentração de tensões para a descontinuidade em estudo. Os coeficientes 
 69
de concentração de tensões podem ser determinados uma única vez, e expressos 
em termos de relações entre os parâmetros geométricos envolvidos. Os 
resultados obtidos são colocados em forma de tabelas ou gráficos como o da 
figura abaixo. Assim, para determinação da tensão máxima atuante nas 
proximidades de um ponto de descontinuidade, o projetista determina a tensão 
média σméd = P/A na seção crítica, e multiplica o resultado obtido pelo coeficiente 
de concentração de tensões K apropriado. Este procedimento é válido para 
valores de tensão σmáx que não ultrapassem o limite de proporcionalidade do 
material, pois os valores de K marcados na Figura abaixo foram obtidos adotando-
se uma relação linear entre as tensões e deformações específicas. 
 
 
 
Coeficientes de concentração de tensões para barras chatas sob carga axial. A 
tensão média deve ser calculada para a seção menor: σméd = P/td, onde t é a 
espessura da chapa. 
 
 
Exemplo: Uma barra chata de aço é constituída de duas partes de 10 mm de 
espessura, uma com 40 mm e outra com 60 mm de largura, ligadas por uma 
região de transição com frisos de 8 mm de raio (r). Determinar a máxima carga 
 70
axial P que pode ser suportada com segurança pela barra, sendo a tensão 
admissível do material que a compõe σadm = 165 MPa. 
Inicialmente calculamos as reações: 
 
Do gráfico acima, usando a curva correspondente a w/h = 1,50, encontramos o 
valor do coeficiente de concentração de tensões para r/h = 0,20: K = 1,72 
Então se 
méd
máxK
σ
σ
=
, então 72,1
máx
méd
σ
σ =
 , porém σmáx não pode exceder a 
tensão admissível σadm = 165 MPa. Adotando este valor para σmáx encontramos 
que a tensão média na parte mais estreita (d = 40 mm) na barra não pode exceder 
o valor MPa
MPa
méd 9672,1
165
==σ
. Lembrando que σméd=P/A, temos 
P = A. σméd = (40 mm).(10 mm).(96Mpa) = 38,4 kN 
 
1.12) Deformações Plásticas 
 
 Os resultados a que chegamos até aqui foram baseados na suposição de 
uma relação linear entre tensões e deformações específicas. Dizendo de outro 
modo, assumimos que o limite de proporcionalidade do material não foi atingido 
em nenhum dos casos vistos. Para os fins práticos o limite de proporcionalidade 
coincide com o limite de elasticidade e com a tensão de escoamento do material, 
de modo que também assumimos que o material se comportou como elástico, 
voltando à forma inicial uma vez retirado o carregamento. Se, por qualquer razão, 
a tensão de escoamento do material é excedida em qualquer ponto da peça em 
estudo, ocorrem deformações plásticas, e a maior parte dos resultados obtidos 
anteriormente deixam de ter validade. Se isso ocorrer, devemos levar a efeito 
uma análise mais minuciosa do problema, baseada em relações não lineares entre 
tensões e deformações. 
 71
 Uma análise que leve em conta as relações reais envolvendo tensões e 
deformações está fora do escopo deste curso, mas podemos adentrar um pouco 
no estudo do comportamento plástico dos materiais, considerando um material 
elasto-plástico ideal, para o qual o diagrama tensão-deformação consiste de dois 
segmentos de reta como mostra a figura abaixo. 
 O diagrama tensão-deformação para o aço doce, na região de elasticidade 
e na zona plástica, é parecido com esta idealização. Enquanto a tensão σ não 
excede a tensão de escoamento σy, o material se comporta como elástico e 
obedece à Lei de Hooke, σ = E.ε. Quando σ atinge o valor de σy, o material 
começa a escoar, e se deforma plasticamente sob carregamento constante. 
 
 
 
 
 Se o carregamento é removido, a linha de descarregamento no diagrama é 
a reta CD, paralela à porção inicial AY da curva de carregamento. O segmento 
AD do eixo horizontal leva à deformação plástica permanente, que se obtém a 
partir do carregamento e descarregamento do material. Apesar de que nenhum 
material se comporta exatamente como mostrado na figura acima, esse diagrama 
tensão-deformação será útil na análise de deformações plásticas dos materiais 
dúcteis, como o aço doce. 
 
 72
Exemplo 1: Uma barra de comprimento L = 500 mm e área da seção transversalA = 60 mm2 é feita de material elasto-plástico, com módulo de elasticidade E = 
200 GPa na zona elástica e tensão de escoamento σy = 300 MPa. A barra está 
submetida à carga axial até que seu alongamento atinja o valor de 7 mm, quando 
o carregamento é removido. Qual é a deformação permanente resultante ? 
 
De acordo com o gráfico acima, vemos que a máxima deformação específica, 
representada pela abscissa do ponto C, é: 
31014
500
7
−
=== x
mm
mm
L
C
C
δ
ε
 
Por outro lado, a deformação específica no escoamento representada pela 
abscissa do ponto Y, é: 
3
9
6
105,1
10200
10300
−
=== x
Pax
Pax
E
Y
Y
σ
ε
 
A deformação específica após o descarregamento é representada pela abscissa 
εD do ponto D. Vemos, pelo gráfico, que 
 εD = AD = YC = εC - εY = 14 x 10-3 – 1,5 x 10-3 = 12,5 x 10-3 
A deformação permanente é δD, correspondente à deformação específica εD. 
Temos, então, δD = εD.L = (12,5 x 10-3).(500 mm) = 6,25 mm 
 
Exemplo 2: Uma barra circular de 800 mm de comprimento e área da seção 
transversal Ab = 45 mm2 é colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento e 
área de seção transversal At = 60 mm2. As extremidades do tubo e da barra são 
presas a um apoio fixo e a uma placa rígida como mostra a seção longitudinal da 
figura abaixo. A barra e o tubo são de material elasto-plástico, com módulos de 
elasticidade Eb = 200 GPa e Et = 100 GPa, e tensões de escoamento (σb)y = 200 
MPa e (σt)y = 250 MPa. Desenhar o diagrama força-deformação do conjunto 
barra-tubo, quando uma força P é aplicada à placa. 
 73
 
 
Inicialmente determinamos o esforço interno e o alongamento da barra quando 
começa o escoamento: (Pb)y = (σb)y.Ar = (200 MPa)(45 mm2) = 9 kN 
( ) ( ) ( ) mmmm
GPa
MPaL
E
L
b
yb
ybyb 8,0)800.(200
200
.. ====
σ
εδ
 
Como o material é elasto-plástico, o diagrama força-deformação da barra consiste 
em uma reta inclinada e uma reta horizontal, como mostra a figura abaixo. 
 
 
Adotando a mesma seqüência para o tubo, temos: 
 (Pt)y = (σt)y.At = (250 MPa)(60 mm2) = 15 kN 
( ) ( ) ( ) mmmm
GPa
MPaL
E
L
t
yt
ytyt 2)800.(100
250
.. ====
σ
εδ
 
O diagrama carga-deslocamento apenas do tubo é mostrado no gráfico a seguir. 
 74
 
O carregamento e o alongamento do conjunto barra-tubo são, respectivamente, 
P = Pb + Pt δ = δb + δt 
 
Desenhamos, então, o diagrama força-deslocamento desejado, somando as 
ordenadas dos diagramas obtidos para a barra e para o tubo separadamente: 
 
 
 Os pontos Yb e Yt correspondem ao início do escoamento na barra e no 
tubo, respectivamente. Quando se somam as deformações (0,8 + 0,8 = 1,6), o 
carregamento resultante é a soma (9 + 12 = 21). 
 
 75
1.13) ESTADO DE TENSÕES 
 
 
O estado de tensão em torno de um ponto está definido quando as tensões 
estão perfeitamente determinadas para qualquer orientação do elemento de 
superfície a que se refiram. No entanto para se ter o estado de tensão em torno de 
um ponto não é necessário conhecer todas as tensões referentes a esse ponto e 
sim conhecer algumas capazes de permitir a determinação de todas as outras 
através de expressões simples, que mostraremos no item seguinte com o auxílio 
do círculo de Mohr. 
 
 
 
Notação usada: 
 
a) Tensão normal : O índice indica a direção 
b) Tensões tangenciais : O 1o índice indica a direção normal à faceta em que 
atua a tensão tangencial e o 2o índice indica a direção da tensão tangencial. 
 
Convenção de Sinal: 
Uma tensão é positiva, quando referindo-se a uma face positiva, tiver ela própria a 
direção positiva, ou quando referida a uma face negativa, tiver sentido negativo. 
 
A determinação das Tensões Usando o Círculo de Mohr, seguem algumas regras 
para o seu traçado: 
 
 76
1) Consideremos um ponto P onde o estado de tensão está definido por σx, σy e τx. 
Vamos tomar um sistema de eixos coordenados σ x τ e marquemos dois pontos: 
M : (σx, -τx) 
M’ : (σy , τy) 
 
2) Liguemos M a M’ determinando o ponto C sobre o eixo das abcissas; 
 
3) Tracemos um círculo com centro no ponto C e raio CM=CM’ , que cortará o eixo 
dos Oσ em A e B. 
 
Círculo de Mohr. 
 
 
No círculo de Mohr podemos obter: 
22
yxyx
yc
σ+σ
=
σ−σ
+σ=σ 
Cálculo do Raio: 
 
 77
Do triângulo CEM, temos: 2
2
2
2 x
yxR τ+




 σ−σ
= 
 
( ) 222 4*
4
1
4
1
xYxR τ+σ−σ= 
 
( ) 22 4
2
1
xYxR τ+σ−σ= 
 
Tensões e Direções Principais 
 
Os pontos B e A definem as direções I e II, respectivamente. 
 
( ) 22 4
2
1
2 xYx
yx
i
cI RROCOB
τ+σ−σ+
σ+σ
=σ
+σ=σ⇒+=
 
 
( ) 22 4
2
1
2 xYx
yx
iI
cII RROCOA
τ+σ−σ−
σ+σ
=σ
−σ=σ⇒−=
 
 
Temos que a direção principal I e dada pelo ângulo MAB = αI 
 
Da figura, temos: 
( )
( )
yx
x
I
yx
xI CEeEMondeCE
EM
σ−σ
τ
=α
σ−σ
=τ==α
2
2tan
2
,2tan
 
 
90+α=α III 
 
 
 
 
 
 
 
 78
 
 
2) ESFORÇO NORMAL 
 
 
Vamos estudar barras de eixo reto sujeitas somente a cargas axiais de tração 
ou compressão simples. 
 
2.1) Barra Prismática com Esforço Normal Constante 
 
 
 
Admite-se o peso próprio desprezível (adotado, na prática, em barras de treliça) e 
as deformações elásticas são proporcionais (σ < σ1, válida a lei de Hooke). O 
comprimento L e a área da seção A estão no estado neutro e a carga aplicada 
axial é P (tração ou compressão). O esforço normal vale N = P ou N = -P 
(constante de A até B). A tensão normal vale σx = σ = N/A (constante na seção e 
constante de A até B), a deformação específica vale εx = ε = σ/E (constante de 
A até B, sendo E o módulo de elasticidade longitudinal) e a deformação total será, 
então, EA
PL
E
LLL ===∆ σε .
. 
 
 Observações: 
 a) condições de estabilidade da barra: 
 i) Equilíbrio estático; 
 ii) Resistência: σσ ≤ , onde σ é a tensão admissível 
 iii) Regidez: εε ≤ ou LL ∆≤∆ , se for estabelecida uma deformação 
admissível ε ou L∆ 
 79
b) Os problemas mais comuns da Resistência dos Materiais (supondo 
especificada somente a tensão admissível σ ) 
 i) Dimensionamento: conhecidos N e σ , calcula-se 
σ
NA ≥ , onde A é a 
área mínima da seção; 
 ii) Avaliação: conhecidos A e σ , calcula-se σ.ANadm ≤ , onde Nadm é o 
esforço normal máximo na seção; 
 iii) Verificação da estabilidade: conhecidos N, A eσ , calcula-se A
N
=σ
 
estável se σσ ≤ ) ou calcula-se σ.AN adm ≤ (estável se N ≤ Nadm) ou calcula-
se 
σ
NA ≥min (estável se A ≥ Amin). 
Esta análise é semelhante se for especificada a deformação admissível. As 
estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas 
deformações, que não ultrapassam os valores de diagrama tensão – deformação 
correspondentes ao trecho reto do diagrama. 
 
Exemplo 1) Calcular o diâmetro de uma barra de aço sujeita a uma carga 
axial de tração de P = 50 kN e calcular a correspondente deformação total. 
Dados: comprimento L = 4,5 m, módulo de elasticidade E = 206 GPa, sendo a 
tensão admissível σ = 147 MPa e deformação admissível L∆ = 0,4 cm. 
 
 
 
2
1
.147000000.50000
m
N
A
N
A
P
===σ
 ∴ A1 = 0,00034 m2 = 3,4 cm2 (min) 
 
 80
m
A
m
N
mN
EA
PLLL .004,0
.10.206
.5,4..50000
22
9
===∆=∆
 ∴ A2 = 0,000273 m2 = 2,73 cm2 (min) 
 
Então: A = 3,4 cm2 
4,3
4
.
2
=
dpi
 ∴ d = 2,08 cm (d = 2,08 cm ≈ 21 mm ⇒ A = 3,46 cm2) 
σσ <== MPa
mm
N
.5,144
.346
.50000
2 
 
Lcmmm
mm
N
mm
mm
N
E
LL ∆<====∆ 32,016,3
.10.206
.4500..5,144
2
3
2σ
 
 
Exemplo 2) Calcular a carga