Métodos Determinísticos AD1 QUESTÃO 1 2019 2 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019-2
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Na bolsa de valores de um determinado pa´ıs, sa˜o negociados ac¸o˜es de 90
empresas. Estas empresas pode ter suas ac¸o˜es de posse do governo, de investidores privados, ou de
ambos. Sabe-se que:
i. Apenas empresas com ac¸o˜es somente na ma˜o de investidores privados podem fazer publicidade
na imprensa.
ii. 2/3 das empresas que poderiam fazer publicidade na imprensa de fato o fazem.
iii. Metade das empresas com investidores privados fazem publicidade na imprensa.
iv. O nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo e´ a metade do nu´mero das que na˜o
possuem.
v. Toda empresa possui ac¸o˜es com o governo, com investidores privados ou ambos, na˜o havendo
empresas sem investidor.
(a) Represente a situac¸a˜o por meio de uma diagrama de Venn, chamando de P o conjunto das
empresas com ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, de G o conjunto das empresas com ac¸o˜es
na ma˜o do governo e de I o conjunto das empresas que fazem publicidade na imprensa.
(b) Chame de x o nu´mero de empresas que fazem publicidade na imprensa. Escreva, em func¸a˜o de
x, o nu´mero de empresas que poderiam fazer publicidade na imprensa mas na˜o fazem.
(c) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com investidores
privados quanto com o governo.
(d) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com o governo.
(e) Determine quantas empresas fazem publicidade na imprensa.
Soluc¸a˜o:
(a) A situac¸a˜o pode ser descrita pelo diagrama abaixo:
Note que na˜o representamos um conjunto-universo U exterior aos conjuntos P e G, uma vez que
toda empresa possui ac¸a˜o com investidores privados ou com o governo, na˜o havendo empresa
que na˜o tenha algum destes investidores. Ale´m disso, o conjunto I das empresas que fazem
publicidade na imprensa esta´ totalmente contida em P −G, pela informac¸a˜o i acima.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2019-2 2
(b) Chamando de x o nu´mero de empresas que fazem publicidade na imprensa, temos, pela afirmac¸a˜o
ii que x e´ 2/3 do nu´mero total t de empresas que poderiam fazer publicidade. Assim,
x =
2
3
t,
logo, t = 3
2
x. Lembramos que este e´ o total de empresas que poderiam fazer publicidade na
imprensa. Logo, o nu´mero de empresas que poderiam mas na˜o fazem e´ dado por
t− x = 3
2
x− x = 3x− 2x
2
=
x
2
.
Representando no diagrama:
(c) Vamos chamar de p o nu´mero total de empresas com investidores privados. Assim, pela afirmac¸a˜o
ii, temos que
x =
p
2
∴ p = 2x.
Assim, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com investidores privados quanto com
o governo e´
p− x− x
2
= 2x− x− x
2
=
4x− 2x− x
2
=
x
2
.
Representando no diagrama:
(d) O nu´mero de empresas que na˜o possuem ac¸o˜es com o governo e´ dado por
x+
x
2
=
2x+ x
2
=
3x
2
.
Chame de g o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo. Pela afirmac¸a˜o iv, temos
g =
1
2
· 3x2 = 3x
4
.
Note que este e´ o total de empresas com ac¸o˜es com o governo. As que possuem ac¸o˜es apenas
com o governo sera˜o, portanto,
g − x
2
=
3x
4
− x
2
=
3x− 2x
4
=
x
4
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2019-2 3
Representando no diagrama:
(e) Para descobrir o nu´mero x de empresas que fazem publicidade, utilizaremos o fato de existem,
no total, 90 empresas nesta bolsa. Assim, utilizando o diagrama completo do item acima, temos
x+
x
2
+
x
2
+
x
4
= 90 ∴ 4x+ 2x+ 2x+ x
4
= 90 ∴ 9x
4
= 90 ∴ x = 4
9
· 90 = 40.
Assim, 40 empresas fazem publicidade na imprensa.
Apenas para confirmar, vejamos o diagrama totalmente preenchido, a partir do valor conhecido
de x:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ