AD1 Questão 1 2018 2 Gabarito Métodos Determinísticos I

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 1 (2,5 pontos) Um banco oferece treˆs produtos: conta corrente, conta investimento
e caderneta de poupanc¸a. Sabe-se que
• Uma conta investimento so´ pode ser contratada quando se contrata uma conta corrente,
embora seja poss´ıvel contratar uma conta corrente sem uma conta investimento.
• E´ poss´ıvel contratar uma caderneta de poupanc¸a independentemente de se contratar uma
conta investimento ou uma conta corrente.
Ao analisar os dados de seus 720 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se
que:
• Os clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram conta investimento, um quarto dos clientes que contrataram conta corrente
e um quinto dos que contrataram caderneta de poupanc¸a.
• Todos os clientes que contrataram ambos a caderneta de poupanc¸a e a conta corrente,
tambe´m contrataram uma conta investimento.
(a) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situac¸a˜o descrita, representando por C o
conjunto dos clientes que contrataram uma conta corrente, por I o conjunto dos que contra-
taram uma conta investimento e por P os que contrataram uma caderneta de poupanc¸a.
Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os treˆs produtos e, a partir
da´ı, complete todas as partes do diagrama em func¸a˜o de x.
(b) Cada cliente pode contratar, no ma´ximo, um produto de cada tipo. Isto e´, na˜o e´ poss´ıvel um
cliente contratar mais de uma conta corrente, mais de uma conta investimento ou mais
de uma caderneta de poupanc¸a. Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram
contratados. Observe que a soma destas quantidades deve ser maior que 720, pois este e´ o
nu´mero de clientes, na˜o de produtos contratados, e alguns clientes contrataram mais de um
produto.
(c) O nu´mero de contratac¸o˜es de contas correntes corresponde a que percentual do total de
produtos contratados? (Observe que a pergunta e´ relativa ao total de produtos contratados,
na˜o ao nu´mero de clientes.)
Soluc¸a˜o:
(a) Como o todos os clientes que contrataram conta investimento tambe´m contrataram conta
corrente, o conjunto I esta´ contido no conjunto C, logo podemos desenhar o diagrama de Venn
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como abaixo:
Na˜o nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, ja´ que a situac¸a˜o se refere apenas
a clientes que, como explicado, contrataram pelo menos um dos produtos. Se quise´ssemos
representar este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto e´,
fora dos conjuntos C, I e P , como abaixo:
Assim, na˜o vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A ana´lise dos clientes mostrou
que “todos os clientes que contrataram ambos a caderneta de poupanc¸a e a conta cor-
rente, tambe´m contrataram caderneta de poupanc¸a”, logo, na˜o existem clientes no conjunto
(P ∩ C)− I, logo podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama.
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram conta investimento, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram conta
investimento e´ 2x. Como x deles ja´ esta˜o representados na intersec¸a˜o I ∩ C ∩ P , o restante
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do conjunto I possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quarto dos clientes que
contrataram conta corrente, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram conta corrente
e´ 4x. Assim, a parte do conjunto C que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa
4x− x− x− 0 = 2x clientes. Temos enta˜o o diagrama:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quinto dos clientes que
contrataram caderneta de poupanc¸a, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram
caderneta de poupanc¸a e´ 5x. Assim, a parte do conjunto P que ainda na˜o possui valor, no
diagrama, representa 5x− x = 4x clientes. Atualizando o diagrama, temos
(b) Vamos determinar, no diagrama da questa˜o anterior, o valor de x. Observando o diagrama e
sabendo que ha´ um total de 720 clientes, temos
x+ x+ 2x+ 4x = 720 ∴ 8x = 720 ∴ x = 90.
Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados:
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• contas correntes: 4x = 4 · 90 = 360 contratac¸o˜es
• contas investimento: 2x = 2 · 90 = 180 contratac¸o˜es
• cadernetas de poupanc¸a: 5x = 5 · 90 = 450 contratac¸o˜es
(c) O total T de produtos contratados e´ dado por
360 + 180 + 450 = 990.
Assim, as 360 contratac¸o˜es de contas correntes, em relac¸a˜o ao total de produtos, a
360
990
=
4
11
= 0,36363636... ≡ 36,36%.
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