Problemas de Mecânica - Vetores e Cinemática

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Universidade Federal de Viçosa
Campus Rio Paranaíba
Int. à Mecânica (CRP 215-1) - 2o S./2019
Prof. Lindomar Soares dos Santos
Segunda Lista de Problemas Página 1 de 3
1. Uma partícula tem um vetor posição dado por
~r = (30t)ˆi+(40t−5t2)jˆ, em que r está em metros
e t em segundos. Encontre os vetores velocidade
instantânea e aceleração instantânea como fun-
ções do tempo t.
Resposta:
~v = 30ˆi+ (40− 10t)jˆ, ~a = (−10 m/s2)jˆ
2. Uma partícula tem uma aceleração constante
~a = (6, 0 m/s2)ˆi + (4, 0 m/s2)jˆ. No tempo
t = 0, a velocidade é zero e o vetor posição é
~r0 = (10 m)ˆi.
(a) Encontre os vetores velocidade e posição em
função do tempo t.
(b) Encontre a equação da trajetória da partí-
cula no plano xy e esboce a trajetória.
Resposta:
(a) ~v = [(6, 0 m/s2)ˆi + (4, 0 m/s2)jˆ]t,
~r = [(10 m) + (3, 0 m/s2)t2 ]ˆi +
[(2, 0 m/s2)]t2jˆ,
(b) y = 2
3
x− 20
3
m. Esboço...
3. O carro A está viajando para leste a 20 m/s ao
encontro de um cruzamento. Enquanto o carro A
está passando pelo cruzamento, o carro B parte
do repouso 40 m ao norte do cruzamento e viaja
para o sul, ganhando rapidez uniformemente a
2,0 m/s2. Seis segundos depois de A ter passado
pelo cruzamento, encontre
(a) a posição de B em relação a A,
(b) a velocidade de B em relação a A,
(c) a aceleração de B em relação a A.
Dica: Faça os vetores unitários iˆ e jˆ apontarem
para o leste e o norte, respectivamente, e expresse
suas respostas usando iˆ e jˆ.
Resposta:
(a) ~rAB(6, 0 s) = (1, 2 × 102 m)ˆi +
(4, 0 m)jˆ,
(b) ~vAB(6, 0 s) = (−20 m/s)ˆi− (12 m/s)jˆ,
(c) (−2, 0 m/s2)jˆ
4. (a) Qual é o período e a rapidez de uma pessoa
em um carrossel se a pessoa tem uma acele-
ração com magnitude de 0,80 m/s2 quando
situada a 4,0 m do eixo?
(b) Qual é a magnitude de sua aceleração e qual
é a sua rapidez se ela se desloca até uma
distância de 2,0 m ao centro do carrossel
e o carrossel segue girando com o mesmo
período?
Resposta:
(a) 14 s, 1,8 m/s,
(b) 0,89 m/s, 0,40 m/s2
5. Na Figura 1, qual é a rapidez inicial mínima que
o dardo deve ter para atingir o macaco antes que
este chegue ao chão, que está a 11,2 m abaixo da
posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10
m? (Ignore a resistência do ar.)
Resposta:
34 m/s
6. O Coiote (Carnivorus femelicus) está perse-
guindo o Papa-léguas (Ligeiribus ariscus). Na
corrida, eles chegam a um profundo desfiladeiro,
com 15,0 m de largura e 100 m de profundidade.
Papa-léguas se lança a um ângulo de 15◦ acima
da horizontal e chega do outro lado com 1,5 m
de folga.
Prof. Lindomar Soares dos Santos e-mail: xxxxxxxxxxx@ufv.br
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Figura 1: Problema 5.
(a) Qual foi a rapidez de lançamento do Papa-
léguas?
(b) O Coiote também pula para cruzar o des-
filadeiro, com a mesma rapidez inicial, mas
a um ângulo diferente. Para seu desespero,
ele vê que erra o outro lado por 0,50 m.
Qual foi seu ângulo de lançamento? (Supo-
nha este ângulo menor que 15◦.)
Resposta:
(a) 18 m/s,
(b) 13◦
7. Um projétil é disparado do topo de uma colina
de 200 m de altura, sobre um vale (Figura 2).
Sua velocidade inicial é de 60 m/s, a 60◦ acima
da horizontal. Onde o projétil cai? (Ignore a
resistência do ar.)
Resposta:
∆x = 0, 41 km
8. Determine dR/dθ0 a partir de R =
(v20/g)sen(2θ0) e mostre que, fazendo
dR/dθ0 = 0, você obtém θ0 = 45◦ para o
alcance máximo.
Figura 2: Problema 7.
Resposta:
dR
dθ0
=
2v20
g
cos(2θ0). Demonstração...
9. Um projétil é lançado a um ângulo θ acima do
nível do chão. Um observador, parado no ponto
do lançamento, vê o projétil em seu ponto de
altura máxima e mede o ângulo φ mostrado na
Figura 3. Mostre que tanφ = 12 tanθ. (Ignore a
resistência do ar.)
Figura 3: Problema 9.
Resposta:
Dica para a demonstração: usar tanφ =
h
1
2R
, em que h é a altura máxima atingida
pelo projétil e R é seu alcance.
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10. Uma pedra é atirada do topo de um edifício de
20 m de altura a um ângulo de 53◦ acima da
horizontal.
(a) Se o alcance horizontal é igual à altura do
prédio, com que rapidez a pedra foi atirada?
(b) Quanto tempo ela fica no ar?
(c) Qual é a velocidade da pedra justo antes de
atingir o chão?
(Ignore a resistência do ar.)
Resposta:
(a) 11 m/s,
(b) 3,1 s,
(c) ~v = (6, 5 m/s)ˆi+ (−22 m/s)jˆ