EP01_PreCalculoEng_tutor

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EP 01 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
1. Quais dos seguintes números são inteiros? 
a. b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Veja só como as aparências enganam! 
a. 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ambos os números são inteiros. 
 
Lembre-se! 
 
 
 
2. Quantos números inteiros existem tais que ? 
Solução: 
Primeiramente, note que é um número inteiro positivo, pois , ou seja, 
. 
Temos que: 
 
Como é um número inteiro, então, pois . Portanto, existe apenas um 
número inteiro que satisfaz . 
 
 
 
Lembre-se! 
Se e , então, 
4
1
2
5
7
1


3
7
21
7
20
7
1
4
7
5
7
1
4
18
5
7
1
4
1
2
5
7
1





cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a



n
nn
3
5,0
2

n
n
3
5,0 
n
3
5,00 
2
n
< 0,5 <
3
n
Þ
2
n
<
1
2
<
3
n
Þ
2
n
<
1
2
e
1
2
<
3
n
porque n > 0¾ ®¾¾¾ 4 < n e n < 6
n n= 5 4 < n< 6
n
nn
3
5,0
2

b> 0 d > 0
EP 01 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
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3. Considere a fração . Quais os dois menores números inteiros positivos que podemos 
adicionar ao numerador e ao denominador sem alterar o valor da fração? 
Solução: 
Sejam inteiros positivos, tais que . 
De , segue que, . Temos que, 
 ( ) ( ) 
 
Da igualdade , segue que: 
I. é divisor de , e como não é divisor de , então é divisor de , ou 
seja, é um múltiplo de . 
II. é divisor de , e como não é divisor de , então é divisor de , ou 
seja, é um múltiplo de . 
Como procuramos os dois menores números inteiros positivos, então e . 
De fato, e . 
Note que, . 
 
 
4. Determine o número de elementos do conjunto dos múltiplos positivos de que são menores 
do que . 
Solução: 
Vamos lembrar que: 
Os múltiplos de um número inteiro são os números da forma , onde , ou seja, 
são os números: 
 
Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana temos: . 
Como . Assim, é o maior múltiplo 
de que é menor que . 
Assim sendo, os múltiplos de procurados são: 
, , , , ,...................., . 
Portanto, o conjunto em questão tem exatamente elementos. 
 
 
5. A soma de cinco números pares consecutivos vale 150. Qual é o maior desses números? 
a
b
<
c
d
Û ad < bc
6
14
ba ,
b
a



6
14
6
14
b
a



6
14
6
14 )14(6)6(14 ab 
7 a3 7 3 7 a
a 7
3 b7 3 7 3 b
b 3
7a 3b
7337 
9
21
36
714
6
14




9
21
33
73
3
7
23
72
6
14







3
2317
k kn n
...,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,... kkkkkkkkkk 
137722317 
37732319231723163772  23163772 
3
2317
3
31 32  3´ 3 34  35  3772 
772
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Solução: 
 
Seja um número par. Repare que o próximo número par é . Portanto, os cinco números 
pares consecutivos são 
 
Como a soma dos cinco números pares consecutivos vale 150, podemos escrever 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Assim, . 
Logo, . 
Sendo assim,, 
 
 
 
Portanto, o maior desses números será . 
 
 
6. Use a Divisão Euclidiana e determine o número inteiro mais próximo de: 
a. b. c. 
 
Solução: 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana temos: 
Dividindo esta igualdade por temos 
 
Vemos então que a soma está entre os números inteiros e , 
uma vez que o número é 8 mais . 
Agora, precisamos indicar se esse número está mais próximo de 8 ou de 9. 
Observe a figura. 
 
Logo o número inteiro mais próximo de é . 
 
_________________ 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana temos: . 
Portanto: . 
85
42
+
43
21
+
29
14
+
15
7 3
2
5
7
2
1
10
11

4
139

.21428348 
42
7
2
8
42
21
8
42
21
42
428
42
348



7
15
14
29
21
43
42
85

8 9
2
7
7
15
14
29
21
43
42
85

8
1327 
13)2(7 
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Não podemos esquecer que o resto na Divisão Euclidiana é sempre positivo ou nulo. 
Para obtermos o resto na Divisão Euclidiana de por , subtraímos e somamos o 
divisor na igualdade e obtemos: 
 
Assim, na Divisão Euclidiana de por temos quociente e resto 
2
. 
Dividindo a igualdade por temos 
 
Observe a figura. 
 
Logo o número inteiro mais próximo de é . 
 
_________________ 
 
 
c. 
Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana temos: . 
Portanto, . 
Não podemos esquecer que o resto na Divisão Euclidiana é sempre positivo ou nulo. 
Para obtermos o resto na Divisão Euclidiana de por , subtraímos e 
somamos o divisor na igualdade e obtemos: 
. 
 
Assim, na Divisão Euclidiana de por temos quociente e resto . 
Dividindo a igualdade por temos 
 
Observe a figura. 
 
Logo o número inteiro mais próximo de é . 
7 3
3 13)2(7 
23)3(1333)2(7 
7 3 3
23)3(7  3
3
2
3
3
2
3
3)3(
3
7




3
2
5
7
2
1
10
11

3434139 
34)34(139 
139 4
4 34)34(139 
14)35(3444)34(139 
139 4 35 1
14)35(139  4
4
1
35
4
1
4
4)35(
4
139




4
139
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7. Determine um número irracional entre os números racionais
33,4
e
25
108
. 
Solução:__________________________________________________________________________ 
Observe que 
32,4
25
108

. Estamos então, procurando um número irracional 
w
, tal que, 
33,432,4  w
. Se queremos que o número 
w
seja irracional, então a sua parte decimal não 
pode ser finita nem infinita periódica. Existem inúmeras escolhas para essa parte decimal, uma delas 
é, por exemplo, 
...32999932999329932932,4