Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão

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<p>Números inteiros,</p><p>relação de divisibilidade</p><p>e algoritmo da divisão</p><p>Profa. Denise Candal</p><p>Descrição</p><p>Você vai ver a apresentação do desenvolvimento dos axiomas dos</p><p>números inteiros, sequência de números naturais e axiomas de Peano,</p><p>bem como do princípio da indução.</p><p>Propósito</p><p>Para trabalhar com matemática e ciências aplicadas, é de extrema</p><p>importância o conhecimento em: axiomas dos números inteiros,</p><p>sequências de números naturais, axiomas de Peano, relação de</p><p>divisibilidade no conjunto dos números inteiros, algoritmo da divisão e</p><p>paridade de um número inteiro. São conhecimentos que nos levam a</p><p>resultados palpáveis, que muitas vezes utilizamos no dia a dia.</p><p>Objetivos</p><p>Módulo 1</p><p>Números inteiros, números naturais e axioma</p><p>de Peano</p><p>Reconhecer os axiomas dos números inteiros, sequências de</p><p>números naturais e os axiomas de Peano.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 1/74</p><p>Módulo 2</p><p>Indução matemática</p><p>Demonstrar resultados utilizando a indução matemática.</p><p>Módulo 3</p><p>Relação de divisibilidade no conjunto dos</p><p>números inteiros</p><p>Discutir a relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros.</p><p>Módulo 4</p><p>Algoritmo da divisão e paridade de um</p><p>número inteiro</p><p>Aplicar o algoritmo da divisão, identificando a paridade de um</p><p>número inteiro.</p><p>Introdução</p><p>Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda as</p><p>propriedades numéricas de números inteiros e sua relação com a</p><p>divisibilidade.</p><p></p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 2/74</p><p>Material para download</p><p>Clique no botão abaixo para fazer o download do</p><p>conteúdo completo em formato PDF.</p><p>Download material</p><p>1 - Números inteiros, números naturais e axioma de Peano</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os axiomas dos números inteiros,</p><p>sequências de números naturais e os axiomas de Peano.</p><p>Axiomas e sequências de números</p><p>inteiros e números naturais</p><p>Neste vídeo você entenderá os axiomas e sequências, e a importante</p><p>representação dos números naturais a partir do axioma de Peano.</p><p>Assista!</p><p>Axiomas dos números inteiros</p><p>Os números inteiros</p><p>Definimos o conjunto como o</p><p>conjunto dos números inteiros, cujos elementos são chamamos de</p><p>números inteiros.</p><p>Z = {⋯ , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 3/74</p><p>javascript:CriaPDF()</p><p>Podemos apontar alguns subconjuntos importantes do conjunto dos</p><p>números inteiros :</p><p>: Conjunto dos inteiros não nulos, ou seja, diferentes de zero</p><p>.</p><p>.</p><p>: Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, dos maiores ou</p><p>iguais a zero .</p><p>.</p><p>Conjunto dos inteiros não positivos, ou seja, dos menores ou</p><p>iguais a zero .</p><p>.</p><p>: Conjunto dos inteiros positivos .</p><p>.</p><p>: Conjunto dos inteiros negativos .</p><p>.</p><p>O conjunto dos inteiros positivos</p><p>é conhecido também como</p><p>conjunto dos inteiros naturais ou simplesmente dos números naturais</p><p>.</p><p>No conjunto dos números inteiros podemos definir duas operações.</p><p>Adição</p><p>Associa a todo par de números inteiros a soma .</p><p>Multiplicação</p><p>Associa a todo par de números inteiros, o produto .</p><p>Vamos avançar! Mas antes, observe esta informação.</p><p>Atenção!</p><p>O produto pode ser representado somente por .</p><p>Axiomas dos números inteiros</p><p>O conjunto dos números inteiros , com essas duas operações de</p><p>adição e multiplicação, apresenta algumas propriedades relevantes,</p><p>sendo apresentadas como axiomas.</p><p>Chamamos de axiomas aquelas afirmações que são sempre</p><p>verdadeiras e não são demonstradas, sendo utilizadas como suporte</p><p>Z</p><p>Z∗</p><p>(≠ 0)</p><p>Z∗ = {x ∈ Z ∣ x ≠ 0} = {⋯ , −3. −2. −1, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>Z+</p><p>(≥ 0)</p><p>Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>Z− :</p><p>(≤ 0)</p><p>Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0} = {⋯ , −3, −2, −1, 0}</p><p>Z∗</p><p>+ (> 0)</p><p>Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0} = {1, 2, 3, ⋯}</p><p>Z∗</p><p>− (< 0)</p><p>Z∗</p><p>− = {x ∈ Z ∣ x < 0} = {⋯ , −3, −2, −1}</p><p>Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0} = {1, 2, 3, ⋯}</p><p>N = Z∗</p><p>+</p><p>Z</p><p>(a, b) a + b ∈ Z</p><p>(a, b) a ⋅ b ∈ Z</p><p>a ⋅ b ab</p><p>Z</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 4/74</p><p>para a concepção, a elaboração de uma teoria. Consideremos</p><p>.</p><p>Axiomas da adição</p><p>(A0) Fechamento</p><p>A adição de dois números inteiros resulta em um número inteiro</p><p>, então temos que .</p><p>(A1) Comutativa</p><p>A adição de dois números inteiros é comutativa, ou seja, para quaisquer</p><p>, temos que:</p><p>(A2) Associativa</p><p>A adição de dois números inteiros é associativa, ou seja, para quaisquer</p><p>, temos que:</p><p>(A3) Elemento neutro</p><p>Existência e unicidade do elemento neutro da adição.</p><p>Para qualquer , temos que:</p><p>Dizemos então que o zero é o elemento neutro da adição, sendo o único</p><p>elemento em que apresenta essa propriedade.</p><p>(A4) Elemento inverso ou oposto</p><p>Existência e unicidade do oposto da adição. Para cada inteiro , existe</p><p>um único inteiro, , chamado o oposto ou inverso aditivo de , de</p><p>forma que a soma do número com seu inverso resulta no elemento</p><p>neutro da adição.</p><p>Axiomas da multiplicação</p><p>(M0) Fechamento</p><p>A multiplicação de dois números inteiros resulta em um número inteiro</p><p>, então temos que .</p><p>a, b, c ∈ Z</p><p>a, b ∈ Z a + b ∈ Z</p><p>a, b ∈ Z</p><p>a + b = b + a</p><p>a, b ∈ Z</p><p>(a + b) + c = a + (b + c)</p><p>a ∈ Z</p><p>a + 0 = a</p><p>Z</p><p>a</p><p>−a a</p><p>a + (−a) = 0</p><p>a, b ∈ Z a ⋅ b ∈ Z</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 5/74</p><p>(M1) Comutativa</p><p>A multiplicação de dois números inteiros é comutativa, ou seja, para</p><p>quaisquer , temos que:</p><p>(M2) Associativa</p><p>A multiplicação de dois números inteiros é associativa, ou seja, para</p><p>quaisquer , temos que:</p><p>(M3) Elemento neutro</p><p>Existência e unicidade do elemento neutro da multiplicação. Para</p><p>qualquer , temos que:</p><p>Dizemos que 1 é o elemento neutro da multiplicação ou elemento</p><p>unidade, sendo o único elemento em que apresenta essa propriedade.</p><p>Axioma de distributividade</p><p>Este axioma relaciona a adição e a multiplicação.</p><p>Considerando , definimos que:</p><p>(D1) Distributividade da multiplicação com relação à adição</p><p>Para quaisquer , temos que:</p><p>O conjunto dos números inteiros , com as duas operações de adição e</p><p>multiplicação e esses oito axiomas - ou seja, o terno ) - é dito</p><p>anel comutativo e com elemento unidade, que chamamos de anel dos</p><p>inteiros.</p><p>Teorema: solução única</p><p>a, b ∈ Z</p><p>ab = ba</p><p>a, b ∈ Z</p><p>(ab)c = a(bc)</p><p>a ∈ Z</p><p>a ⋅ 1 = a</p><p>Z</p><p>a ∈ Z</p><p>a, b ∈ Z</p><p>a(b + c) = ab + ac</p><p>Z</p><p>(Z; +; :</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 6/74</p><p>Sejam dois inteiros arbitrários e . A equação tem solução</p><p>única .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: uso do elemento neutro</p><p>Seja um inteiro arbitrário . Então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: elemento oposto a adição</p><p>Sejam um inteiro arbitrário . Então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>a b a + x = b</p><p>x = (−a) + b</p><p>a a ⋅ 0 = 0</p><p>a −a = (−1) ⋅ a</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 7/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: ação distributiva</p><p>Sejam dois inteiros arbitrários e . Então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1</p><p>Teorema:</p><p>2</p><p>Passo 1 e</p><p>distributiva</p><p>3</p><p>Passo 2 e</p><p>teorema:</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: oposto do oposto</p><p>Sejam um inteiro arbitrário . Então .</p><p>Demonstração</p><p>divisor primo, ele mesmo,</p><p>obtemos 1 como resultado.</p><p>2. Encontrando os divisores</p><p>Após a decomposição, à direita dos fatores primos, após outro traço</p><p>vertical, criamos uma terceira coluna, na qual estarão os divisores do</p><p>número. Na primeira posição colocamos o número 1, por ser divisor de</p><p>qualquer número.</p><p>Multiplicamos agora cada fator primo pelos divisores já obtidos,</p><p>colocando esses produtos na terceira coluna, ao lado do fator primo que</p><p>utilizamos, eliminando valores duplicados – ou seja, aqueles divisores</p><p>que já tenhamos encontrado.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 52/74</p><p>Prosseguimos dessa forma até terminarmos com os fatores primos do</p><p>número:</p><p>Repare que o último produto é o próprio número, o maior divisor possível</p><p>dele mesmo. Encontramos, então, os divisores positivos; basta incluir os</p><p>negativos, que são os simétricos desses números. (Já provamos o</p><p>teorema: se é um divisor de , então também é um divisor de .)</p><p>Assim, : divide 30, se e somente se, existir um inteiro de</p><p>modo que , ou seja,</p><p>.</p><p>Resultado: como sabemos que se é um divisor de , então - também</p><p>é um divisor de , temos que .</p><p>Exemplo 4</p><p>Os divisores de -8:</p><p>De fato, divide , se e somente se, existir um inteiro</p><p>de modo que , ou seja, .</p><p>De�nição: divisores triviais</p><p>Chamamos de divisores triviais de um número inteiro os números</p><p>. De fato, como e</p><p>, temos que são divisores de .</p><p>Convém ressaltar que o inteiro 1 possui somente os divisores triviais. O</p><p>mesmo ocorre com o número -1.</p><p>Resultado</p><p>Qualquer que seja o número inteiro não nulo, , se , então</p><p>. Ainda temos que . Ou seja, os divisores</p><p>a b −a b</p><p>x ∣ 30 x q</p><p>30 = xq</p><p>{−30, −15, −10, −6, −5, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}</p><p>a b a</p><p>b D(a) = D(−a)</p><p>D(−8) = {x ∈ Z ∗|x|(−8)} = {−8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8}</p><p>x ∣ (−8) : x (−8) q</p><p>−8 = xq {−8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8}</p><p>a</p><p>1, −1, a, −a D(a) = D(−a)</p><p>a = a ⋅ 1 = (−a) ⋅ (−1) 1, −1, a, −a a</p><p>a ≠ 0 x ∣ a</p><p>−a ≤ x ≤ a D(a) ⊂ [−a, a]</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 53/74</p><p>de um número estão entre e , além disso, o número possui</p><p>um número finito de divisores.</p><p>Divisores comuns de dois números</p><p>inteiros</p><p>Chamamos de divisor comum de dois números inteiros e todo</p><p>número inteiro de modo que e . Observe que isso</p><p>significa que os divisores comuns pertencem, ao mesmo tempo, aos</p><p>dois conjuntos de divisores, e .</p><p>O conjunto de divisores comuns de dois números inteiros e é dado</p><p>por:</p><p>Ainda, podemos dizer que:</p><p>Sendo assim, temos que o conjunto dos divisores comuns de dois</p><p>inteiros é o conjunto interseção dos dois conjuntos dos divisores:</p><p>.</p><p>O conjunto de divisores comuns de dois números inteiros e nunca</p><p>será vazio, ou seja, . De fato, como são divisores de</p><p>quaisquer inteiros, -1 e 1 aparecem no conjunto dos divisores comuns</p><p>de todos os inteiros.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos determinar o conjunto dos divisores comuns entre e</p><p>.</p><p>Em que:</p><p>a −a a, e a</p><p>a b</p><p>d ≠ 0 d ∣ a d ∣ b</p><p>D(a) D(b)</p><p>a b</p><p>D(a, b) = {x ∈ Z ∗|x| a e x ∣ b}</p><p>D(a, b) = {x ∈ Z ∗ ∣ x ∈ D(a) e x ∈ D(b)}</p><p>D(a, b) = D(a) ∩ D(b) = D(b) ∩ D(a)</p><p>a b</p><p>D(a, b) ≠ ∅</p><p>a = −12</p><p>b = 20</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 54/74</p><p>Exemplo 2</p><p>Mostre que se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>Suponha e . Pela definição, existe um inteiro de modo que</p><p>, com . Pelo teorema do valor absoluto do produto, temos</p><p>que:</p><p>Já que , temos que ou ainda:</p><p>Teoria na prática</p><p>Mostre que se e se , então .</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Sobre a relação de divisibilidade em , somente é correto afirmar</p><p>que</p><p>D(20) = {−20, −10, −5, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 5, 10, 20}</p><p>D(−12) = D(12) = {−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}</p><p>D(−12, 20) = {−4, −2, −1, 1, 2, 4, }</p><p>a ∣ b b ≠ 0 |a| ≤ |b|</p><p>a ∣ b b ≠ 0 q1</p><p>b = aq q ≠ 0</p><p>|b| = |a||q|</p><p>q ≠ 0 q ≥ 1</p><p>|b| = |a||q| ≥ |a| ⋅ 1</p><p>|b| ≥ |a|</p><p>_black</p><p>a ∣ b c ∣ d ac ∣ bd</p><p>Mostrar solução</p><p></p><p>Z</p><p>A .2 ∤ 20</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 55/74</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3Ea)%20%5C(10%20%5Cmid%202%5C)%20errado.%20%5C(10%20%5Cnmid%202%5C)%2C%20poi</p><p>paragraph'%3Eb)%20%5C(-10%20%5Cmid%202%5C)%20errado.%20%5C(-10%20%5Cnmid%202%5C)%2C%20po</p><p>10%20q%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3</p><p>paragraph'%3Ec)%20%5C(-18%20%5Cmid%205%5C)%20errado.%20%5C(-18%20%5Cnmid%205%5C)%2C%20po</p><p>18%20q%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3</p><p>paragraph'%3Ed)%20%5C(2%20%5Cnmid%2010%5C)%20errado.%20%5C(2%20%5Cmid%2020%5C)%20pois%2</p><p>paragraph'%3Ee)%20%5C(2%20%5Cmid%2020%5C)%20correto%20%5C(2%20%5Cmid%2020%5C)%2C%20pois</p><p>Questão 2</p><p>Determinando os divisores de – 12 obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVeja%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D(-12)%3</p><p>12%2C-6%2C-4%2C-3%2C-2%2C-</p><p>1%2C1%2C2%2C3%2C4%2C6%2C12%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>paragraph'%3EDe%20fato%2C%20%5C(x%20%5Cmid(-12)%3A%20x%5C)%20divide%20%5C((-12)%5C)%2C%20</p><p>12%2C-6%2C-4%2C-3%2C-2%2C-</p><p>1%2C1%2C2%2C3%2C4%2C6%2C12%5C%7D%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 3</p><p>B .8 ∣ 2</p><p>C .−8 ∣ 2</p><p>D .−18 ∣ 3</p><p>E .2 ∣ 20</p><p>A .{−12, −6, −4, −3, −2, −1}</p><p>B .{1, 2, 3, 4, 6, 12}</p><p>C .{−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}</p><p>D .{−6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6}</p><p>E .{−6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6}</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 56/74</p><p>Um divisor comum de dois números inteiros e é todo número</p><p>inteiro de modo que e . Assim, determinando os</p><p>divisores comuns de 8 e -10, obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVeja%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>8%2C-4%2C-2%2C-</p><p>1%2C1%2C2%2C4%2C8%5C%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>10%2C-5%2C-2%2C-</p><p>1%2C1%2C2%2C5%2C10%5C%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>2%2C-</p><p>1%2C1%2C2%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%</p><p>Questão 4</p><p>Temos diversos resultados sobre a relação de divisibilidade no</p><p>conjunto dos números inteiros. Sobre esses resultados, analise as</p><p>afirmativas a seguir.</p><p>I) Se é um divisor de , então - também é um divisor de .</p><p>II) Se e se , então .</p><p>III) Se e se , então ou .</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>a b</p><p>d ≠ 0 d ∣ a d ∣ b</p><p>A .{−8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8}</p><p>B .{−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}</p><p>C .{1, 2, 4, 5, 8, 10, 12}</p><p>D .{−2, −1, 1, 2}</p><p>E</p><p>.{−10, −8, −6, −5, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 0}</p><p>a b a b</p><p>a ∣ b b ∣ c a ∣ c</p><p>a ∣ b b ∣ a a = b a = −b</p><p>A apenas I.</p><p>B apenas II.</p><p>C apenas III.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 57/74</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-</p><p>paragraph%20u-title--</p><p>medium%22%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da</p><p>video-</p><p>player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D6b3010430855495</p><p>video-</p><p>player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 5</p><p>Leia as assertivas a seguir.</p><p>I) O inteiro 3 divide 0, pois .</p><p>II) O inteiro divide .</p><p>III) O inteiro 1 divide .</p><p>Sobre a relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros,</p><p>assinale a alternativa correta.</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EA%20assertiva%20I)%20%C3%A9%20verdadeira%20porque%20o%20inteiro%203%20divide%200</p><p>Questão 6</p><p>Sobre as afirmativas relativas à divisibilidade em , somente é</p><p>correto afirmar que</p><p>D II e III.</p><p>E todas.</p><p>0 = 0 ⋅ 3</p><p>n n, ∀n ∈ N</p><p>n, ∀n ∈ N</p><p>A I e III.</p><p>B I e II.</p><p>C II e III.</p><p>D apenas II.</p><p>E todas.</p><p>Z</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 58/74</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20%5C(30%20%5Cnmid-</p><p>10%5C)%2C%20pois%20n%C3%A3o%20existe%20um%20inteiro%20%5C(q%5C)%20de%20modo%20que%20%</p><p>paragraph'%3EMas%20%5C(2%20%5Cnmid%2055%5C)%2C%20pois%20n%C3%A3o%20existe%20um%20inteir</p><p>10%5C)%2C%20uma%20vez%20que%20n%C3%A3o%20existe%20um%20inteiro%20%5C(q%5C)%20de%20mod</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Determinando os divisores de -25, obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>A .30 ∣ −10</p><p>B .2 ∣ 55</p><p>C .10 ∣ 100</p><p>D .3 ∣ 16</p><p>E .50 ∣ −10</p><p>A .{1, 5, 25}</p><p>B .{5, −1, 1, 5}</p><p>C .{−25, −5, −1}</p><p>D .{−25, −5, −1, 1, 5, 25}</p><p>E .{−5, −1}</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 59/74</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVale%20lembrar%20que%20se%20%5C(a%5C)%20%C3%A9%20um%20divisor%20de%20%5C(b%</p><p>a%5C)%20tamb%C3%A9m%20%C3%A9%20um%20divisor%20de%20%5C(b%5C).%20Assim%2C%20temos%20</p><p>a)%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%2</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D(-25)%3</p><p>25%2C-5%2C-</p><p>1%2C1%2C5%2C25%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>Questão 2</p><p>Sobre as afirmativas relativas à divisibilidade em , somente é</p><p>correto afirmar que</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20%5C(3%20%5Cmid-</p><p>30%5C)%2C%20pois%20%5C(-30%3D3%20%5Ccdot(-10)%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EMas%20%5C(2%20%5Cnmid%2021%5C)%2C%20pois%20n%C3%A3o%20existe%20um%20inteir</p><p>120%20%5Cnmid%2010%5C)%2C%20haja%20vista%20que%20n%C3%A3o%20existe%20um%20inteiro%20%5C</p><p>120%20q%20%3B%203%20%5Cnmid%2019%5C)%2C%20j%C3%A1%20que%20n%C3%A3o%20existe%20um%2</p><p>4 - Algoritmo da divisão e paridade de um número inteiro</p><p>Z</p><p>A .3 ∣ −30</p><p>B .2 ∣ 21</p><p>C .−120 ∣ 10</p><p>D .3 ∣ 19</p><p>E .20 ∣ 10</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 60/74</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o algoritmo da divisão, identi�cando a</p><p>paridade de um número inteiro.</p><p>O algoritmo da divisão</p><p>Assista ao vídeo para compreender o funcionamento do algoritmo de</p><p>divisão e aprender como aplicá-lo a números inteiros e naturais.</p><p>Se temos dois inteiros e , então existem inteiros e ,</p><p>únicos, que satisfazem as condições:</p><p>Demonstração</p><p>Considere o conjunto de todos os inteiros não negativos da forma</p><p>:</p><p>Sabemos que o conjunto não é vazio. De fato, como , temos que</p><p>. Assim, para , ficamos com:</p><p>Pelo princípio da boa ordenação, existe elemento mínimo no conjunto</p><p>. Dessa forma:</p><p>e</p><p>Comparando e , poderíamos ter as situações: .</p><p>Na verdade, teremos que , uma vez que se tivéssemos :</p><p>a b, com b > 0 q r</p><p>a = bq + r</p><p>0 ≤ r < b</p><p>S</p><p>a − bx,x ∈ Z</p><p>S = {a − bx ∣ x ∈ Z e a − bx ≥ 0}</p><p>S b > 0</p><p>b ≥ 1 x = −|a|</p><p>a − bx = a + b|a| ≥ a + |a| ≥ 0</p><p>r</p><p>S</p><p>r ≥ 0</p><p>r = a − bq ou a = bq + r,  com q ∈ Z</p><p>r b r < b, r = b, r ≥ b</p><p>r < b r ≥ b</p><p>r ≥ b ∴ r − b ≥ 0 ∴ 0 ≤ r − b ∴ 0 ≤ a − bq − b ∴ 0 ≤ a − b(q + 1) ∴ 0</p><p>≤ a − b(q + 1) < r</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 61/74</p><p>Assim, não seria o elemento mínimo de . Dessa forma, sabemos que</p><p>.</p><p>Com relação à unicidade de e , vamos supor a existência de dois e</p><p>mostraremos que são iguais. Consideremos a existência, além de e ,</p><p>de dois outros inteiros positivos e , de modo que:</p><p>Temos então:</p><p>Ou seja:</p><p>Mas temos que:</p><p>E temos também:</p><p>Assim:</p><p>Ficamos então com:</p><p>Ou ainda:</p><p>Uma vez que e:</p><p>Temos que:</p><p>r S</p><p>r < b</p><p>q r</p><p>q r</p><p>q1 r1</p><p>a = bq + r,  com 0 ≤ r < b</p><p>a = bq1 + r1,  com 0 ≤ r1 < b</p><p>bq1 + r1 = bq + r ∴ r1 − r = bq − bq1 ∴ r1 − r = b (q − q1)</p><p>b ∣ (r1 − r)</p><p>0 ≤ r < be − b < −r ≤ 0</p><p>0 ≤ r1 < b</p><p>−b < r1 − r ≤ b ∴ |r1 − r| < b</p><p>b ∣ (r1 − r) e  |r1 − r| < b</p><p>r1 − r = 0 ∴ r1 = r</p><p>b ≠ 0</p><p>r1 − r = b (q − q1)</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 62/74</p><p>Vamos ao corolário dessa definição!</p><p>Corolário</p><p>Se temos dois inteiros e , com , então existem inteiros e ,</p><p>únicos, que satisfazem as condições:</p><p>Demonstração do corolário</p><p>Já foi demonstrado no algoritmo da divisão. Precisamos mostrar</p><p>agora para .</p><p>Temos que . Dessa forma, pelo algoritmo da divisão, os inteiros</p><p>e existem e são únicos, de modo que:</p><p>Mas como , ficamos com:</p><p>Ou seja, existem inteiros e , únicos, que satisfazem as</p><p>condições:</p><p>Dizemos que, na divisão de por , o inteiro é o quociente e o inteiro</p><p>é o resto. Além disso, é divisor de se e somente se o resto for zero</p><p>. Dessa forma, ficamos com , sendo uma divisão exata</p><p>de por , cujo quociente é .</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos determinar o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.</p><p>Realizando a divisão dos valores absolutos de e , ficamos com:</p><p>q − q1 = 0 ∴ q = q1</p><p>a b b ≠ 0 q r</p><p>a = bq + r com 0 ≤ r < |b|</p><p>b > 0</p><p>b < 0</p><p>|b| > 0</p><p>q1 r</p><p>a = |b|q1 + r com 0 ≤ r < |b|</p><p>|b| = −b</p><p>a = |b|q1 + r ∴ a = (−b)q1 + r ∴ a = b (−q1) + r</p><p>q = −q1 r</p><p>a = bq + r com 0 ≤ r < |b|</p><p>a b q r</p><p>b a</p><p>(r = 0) a = bq</p><p>a b q = a</p><p>b = a/b</p><p>q r a = 59</p><p>b = −14</p><p>a b</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 63/74</p><p>Em que:</p><p>Ou ainda:</p><p>Assim, temos que o quociente e o resto .</p><p>Exemplo 2</p><p>Vamos determinar o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão. Realizando</p><p>a divisão dos valores absolutos de e , ficamos com:</p><p>Em que:</p><p>Ou ainda:</p><p>Mas o resto não satisfaz a condição:</p><p>Vamos somar e subtrair 11 da igualdade:</p><p>59 = 14 ⋅ 4 + 3</p><p>59 = (−14) ⋅ (−4) + 3,  com 0 ≤ 3 < | − 14|</p><p>q = −4 r = 3</p><p>q r a = −81</p><p>b = 11</p><p>a b</p><p>81 = 11 ⋅ 7 + 4</p><p>−81 = 11 ⋅ (−7) − 4</p><p>r = −4</p><p>0 ≤ r < 11</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 64/74</p><p>Assim, temos que o quociente e o resto .</p><p>Exemplo 3</p><p>Vamos determinar o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.</p><p>Exemplo 4</p><p>Vamos determinar o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.</p><p>Exemplo 5</p><p>Vamos determinar o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.</p><p>Paridade de um inteiro</p><p>Quando dividimos um número inteiro qualquer por , temos como</p><p>possíveis restos e . Eles podem ser chamados de número</p><p>par ou ímpar, entenda!</p><p>Par</p><p>Se , o inteiro é da forma . Nesse caso o</p><p>número é chamado par.</p><p>Ímpar</p><p>−81 = 11 ⋅ (−7) − 4 + 11 − 11 ∴ −81 =</p><p>11 ⋅ (−7) − 11 − 4 + 11 ∴ −81</p><p>= 11 ⋅ (−8) + 7</p><p>q = −8 r = 7</p><p>q r a = 1</p><p>b = −7</p><p>1 = (−7) ⋅ 0 + 1,  com 0 ≤ 1 < | − 7|</p><p>q = 0 er  = 1</p><p>q r a = −2</p><p>b = −7</p><p>−2 = (−7) ⋅ 1 + 5,  com 0 ≤ 5 < | − 7|</p><p>q = 1 e r = 5</p><p>q r a = 61</p><p>b = −7</p><p>61 = (−7) ⋅ (−8) + 5 com 0 ≤ 5 < | − 7|</p><p>q = −8 e r = 5</p><p>a b = 2</p><p>r = 0 r = 1</p><p>r = 0 a a = 2q + 0 = 2q</p><p>a</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 65/74</p><p>Se , o inteiro é da forma . Nesse caso o número é</p><p>chamado ímpar.</p><p>Vamos avançar! Mas antes, observe esta informação.</p><p>Atenção!</p><p>Consideremos um inteiro a e o seu quadrado:</p><p>O resto da divisão do quadrado de um inteiro por 4 é 0 ou 1.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos mostrar que o quadrado de qualquer inteiro ímpar é da forma</p><p>. Dependendo do resto, utilizando o algoritmo da divisão,</p><p>qualquer inteiro deve ser de uma das seguintes formas:</p><p>e .</p><p>Observando essas formas de expressar os números pelo algoritmo da</p><p>divisão, são inteiros ímpares: e .</p><p>Calculando os quadrados desses inteiros ímpares, temos:</p><p>Exemplo 2</p><p>Considerando o inteiro ímpar 5. Temos que:</p><p>Exemplo 3</p><p>Considerando o inteiro ímpar 7. Temos que:</p><p>Exemplo 4</p><p>r = 1 a a = 2q + 1 a</p><p>a2 = (2q)2 = 4q2</p><p>a2 = (2q + 1)2 = 4q2 + 4q + 1 = 4 (q2 + q) + 1</p><p>a2 a</p><p>8k + 1</p><p>4q, 4q + 1, 4q + 2 4q + 3</p><p>4q + 1 4q + 3</p><p>(4q + 1)2 = 16q2 + 8q + 1 = 8 (2q2 + q) + 1 = 8k + 1</p><p>(4q + 3)2 = 16q2 + 24q + 9 = 8 (2q2 + 3q) + 8 + 1 = 8 (2q2 + 3q + 1) + 1</p><p>= 8 (2q2 + 3q + 1) + 1</p><p>52 = 25 = 8 ⋅ 3 + 1</p><p>72 = 49 = 8 ⋅ 6 + 1</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 66/74</p><p>Considerando o inteiro ímpar 9. Temos que:</p><p>Exemplo 5</p><p>Considerando o inteiro ímpar 11. Temos que:</p><p>Exemplo 6</p><p>Considerando o inteiro ímpar 13. Temos que:</p><p>Exemplo 7</p><p>Vamos mostrar que o produto de dois inteiros ímpares é um inteiro</p><p>ímpar.</p><p>Demonstração</p><p>Suponha e inteiros ímpares:</p><p>Ou seja:</p><p>Assim, é ímpar.</p><p>Teoria na prática</p><p>92 = 81 = 8 ⋅ 10 + 1</p><p>112 = 121 = 8 ⋅ 15 + 1</p><p>132 = 169 = 8 ⋅ 21 + 1</p><p>a b</p><p>a = 2k + 1 e b = 2k′ + 1</p><p>a ⋅ b = (2k + 1) (2k′ + 1) = 4kk′ + 2k + 2k′ + 1 = 2 (2kk′ + k + k′) + 1</p><p>a ⋅ b = 2q + 1</p><p>a ⋅ b</p><p>_black</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 67/74</p><p>Considerando um inteiro qualquer, mostre que .</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Determinando os inteiros positivos menores que 150, que divididos</p><p>por 39 deixam resto igual ao quociente, obtemos somente</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EUtilizando%20o%20algoritmo%20da%20divis%C3%A3o%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%2</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%3</p><p>paragraph'%3ETemos%20ent%C3%A3o%20que%20%5C(n%5C)%20%C3%A9%20m%C3%BAltiplo%20de%2040.%</p><p>Questão 2</p><p>Sabe-se que, na divisão de dois inteiros positivos (dividendo e</p><p>divisor), o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Determine o</p><p>dividendo e o divisor, respectivamente, considerando que a soma</p><p>desses dois números seja 341.</p><p>a 2 ∣ a(a + 1)</p><p>Mostrar solução</p><p></p><p>A 40.</p><p>B 40 e 80.</p><p>C 40, 80 e 120.</p><p>D 40, 80 e 150.</p><p>E 39 e 150.</p><p>A 322 e 19.</p><p>B 19 e 322.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 68/74</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EConsiderando%20%5C(a%5C)%20o%20dividendo%20e%20%5C(b%5C)%20o%20divisor%2C%20%</p><p>1%5C).%20Utilizando%20o%20algoritmo%20da%20divis%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>1%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%20a%3D17%20b-</p><p>1%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%3D341-</p><p>b%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%2017%20b-</p><p>1%3D341-</p><p>b%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%2018%20b%3D341%2B1%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5</p><p>b%3D341-</p><p>19%3D322%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathere</p><p>Questão 3</p><p>Quaisquer que sejam dois inteiros e considerando os números</p><p>inteiros e , marque a seguir a alternativa correta.</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EConsiderando%20%5C(q%5C)%20o%20quociente%20e%20%5C(r%5C)%20o%20resto%20da%20</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C</p><p>paragraph'%3ESomando%20%5C(-2%20b%5C)%20aos%20dois%20lados%20da%20igualdade%3A%3C%2Fp%3E</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C</p><p>2%20b%3D2%20q%2Br-</p><p>2%20b%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a-</p><p>b%3D2(q-</p><p>C 16 e 322.</p><p>D 322 e 16.</p><p>E 320 e 16.</p><p>a b</p><p>a + b a − b</p><p>A</p><p>Os números inteiros e tem a mesma</p><p>paridade.</p><p>a + b a − b</p><p>B Um deles é par e o outro é ímpar.</p><p>C Os números inteiros e sempre são pares.a + b a − b</p><p>D</p><p>Os números inteiros e sempre são</p><p>ímpares.</p><p>a + b a − b</p><p>E</p><p>Não é possível determinar a paridade desses</p><p>números.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 69/74</p><p>b)%2Br%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7</p><p>paragraph'%3EAmbos%20deixam%20o%20mesmo%20resto%20na%20divis%C3%A3o%20por%202%20e%2C%2</p><p>Questão 4</p><p>Determinando o quociente e o resto da divisão de 83 por -8 ,</p><p>satisfazendo as condições do algoritmo da divisão, quais</p><p>resultados obtemos?</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20ent%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2083%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20q%3</p><p>10%20%5Ctext%20%7B%20e%20%7D%20r%3D3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 5</p><p>Determinando o quociente e o resto da divisão de -83 por 8,</p><p>satisfazendo as condições do algoritmo da divisão, quais</p><p>resultados obtemos?</p><p>q r</p><p>A e .q = −10 r = 3</p><p>B e .q = 10 r = −3</p><p>C e .q = −3 r = 10</p><p>D e .q = 10 r = 3</p><p>E e .q = 11 r = 0</p><p>q r</p><p>A e .q = 11 r = 5</p><p>B e .q = −10 r = 3</p><p>C e .q = −11 r = 5</p><p>D e .q = 10 r = 3</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 70/74</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%</p><p>video-</p><p>player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D8cf0ebab1fa94c87</p><p>video-</p><p>player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 6</p><p>Determinando o quociente e o resto da divisão de -112 por -42,</p><p>satisfazendo as condições do algoritmo da divisão, quais</p><p>resultados obtemos?</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20ent%C3%A3o%20que%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20112</p><p>paragraph'%3EMultiplicando%20a%20igualdade%20por%20-</p><p>1%20%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-</p><p>112%3D42%20%5Ccdot(-2)%2B(-28)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>paragraph'%3ESomando%20e%20subtraindo%20%5C(b%3D42%5C)%20para%20eliminar%20o%20sinal%20de%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>112%3D42(-2)%20%26%20%2B(-28)%2B42-</p><p>42%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad-112%3D42(-2)-42-</p><p>28%2B42%20%5Cquad%20%5Ctherefore-</p><p>112%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%26%</p><p>1)%2B(-28%2B42)%20%5Cquad%20%5Ctherefore-</p><p>112%3D42(-3)%2B14%20%5Ctherefore-</p><p>112%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%26%</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>E e .q = 11 r = 8</p><p>q r</p><p>A e .q = 2 r = 28</p><p>B e .q = −112 r = 42</p><p>C e .q = −14 r = 5</p><p>D e .q = 3 r = 14</p><p>E e .q = −3 r = 14</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 71/74</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Determine o quociente e o resto na divisão de por</p><p>, satisfazendo as condições do algoritmo da divisão.</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20%5C(-59%3D(-7)%20%5Ccdot%209%2B4%5C)%2C%20com%20%5C(0%20%5C</p><p>7%7C%5C).%20Assim%2C%20%5C(q%3D9%5C)%20e%20%5C(r%3D4%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%</p><p>Questão 2</p><p>Um inteiro qualquer da forma é da forma</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%2C%20ent%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>q r a = −59</p><p>b = −7</p><p>A e .q = 9 r = 4</p><p>B e .q = 4 r = 9</p><p>C e .q = −59 r = −7</p><p>D e .q = 9 r = 0</p><p>E e .q = −9 r = 4</p><p>6k + 5</p><p>A .3k</p><p>B .3k + 1</p><p>C .3k + 2</p><p>D .3k + 7</p><p>E .3k + 8</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 72/74</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%3D6%20k%2B</p><p>Considerações �nais</p><p>Vimos os axiomas dos números inteiros, as sequências de números</p><p>naturais e os axiomas de Peano, demonstrando os diversos resultados.</p><p>Em termos de demonstração, utilizamos a indução matemática para</p><p>provar resultados envolvendo os números inteiros.</p><p>Discutimos, por fim, a relação de divisibilidade no conjunto dos números</p><p>inteiros, aplicamos o algoritmo da divisão, e identificamos e</p><p>demonstramos resultados relativos à paridade de um número inteiro.</p><p>Explore +</p><p>Entenda mais sobre o uso do axioma de Peano lendo o artigo Uma</p><p>interpretação epistemológica do processo de modelagem matemática:</p><p>implicações para a matemática, de José Carlos Cifuentes e Leônia</p><p>Gabardo Negrelli.</p><p>Referências</p><p>AIRES, F. C. Introdução à teoria dos números. Fortaleza: EdUECE, 2015.</p><p>ALENCAR FILHO, E. de. Teoria elementar dos números. São Paulo:</p><p>Nobel, 1981.</p><p>BARTLE, R. G. Elementos de análise real. Rio de Janeiro: Campos, 1983.</p><p>HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.</p><p>SANTOS, J. P. de O. Introdução a teoria dos números. Rio de Janeiro:</p><p>IMPA, 2020.</p><p>VIEIRA, V. L. Um curso básico em teoria dos números. São Paulo:</p><p>Livraria da Física, 2020.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 73/74</p><p>Material para download</p><p>Clique no botão abaixo para fazer o download do</p><p>conteúdo completo em formato PDF.</p><p>Download material</p><p>O que você achou do conteúdo?</p><p>Relatar problema</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 74/74</p><p>javascript:CriaPDF()</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1</p><p>Elemento</p><p>oposto da</p><p>adição</p><p>2 Passo 1 e</p><p>fechamento</p><p>a b −(a + b) = (−a) + (−b)</p><p>−a = (−1) ⋅ a</p><p>−(a + b) = (−1)(a + b)</p><p>−(a + b) = (−1)a + (−1)b)</p><p>−a = (−1) ⋅ a</p><p>−(a + b) = (−a) + (−b)</p><p>a −(−a) = a</p><p>(−a) + a = 0</p><p>−(−a) + ((−a) + a) = −(−a) +</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 8/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>adição</p><p>3</p><p>Passo 2 e</p><p>associativa</p><p>adição</p><p>4</p><p>Passo 3 e</p><p>elemento</p><p>oposto</p><p>adição</p><p>5</p><p>Passo 4 e</p><p>elemento</p><p>neutro</p><p>adição</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: múltiplos negativos iguais</p><p>Temos, então, .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1</p><p>Teorema:</p><p>com</p><p>2</p><p>Passo 1 e teorema:</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: múltiplos negativos</p><p>diferentes</p><p>Sejam dois inteiros arbitrários e . Então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>(−(−a) + (−a)) + a = −(−a) +</p><p>0 + a = −(−a) + 0</p><p>a = −(−a)</p><p>(−1) ⋅ (−1) = 1</p><p>−a = (−1) ⋅ a</p><p>a = −1</p><p>−(−1) = (−1) ⋅ (−1)</p><p>−(−a) = a</p><p>1 = (−1) ⋅ (−1)</p><p>a b (−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 9/74</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: produto nulo</p><p>O produto de dois inteiros somente é nulo quando pelo menos um dos</p><p>fatores é zero, ou seja, para quaisquer , temos que se ,</p><p>então ou .</p><p>Saiba mais</p><p>A prova desse teorema para números reais encontra-se em Elementos</p><p>de análise real, de Robert Bartle (1983, p. 41).</p><p>Ordem e valor absoluto</p><p>Relação de ordem entre números</p><p>inteiros</p><p>O conjunto dos números inteiros estritamente positivos, ou seja, o</p><p>conjunto dos inteiros positivos, , satisfaz as</p><p>seguintes propriedades:</p><p>(01) Se , então .</p><p>(O2) Se , então .</p><p>(O3) (Tricotomia) Se , então é válida somente uma das</p><p>seguintes relações: .</p><p>Se é um número inteiro estritamente positivo: .</p><p>Se é um número inteiro positivo: .</p><p>Se é um número inteiro estritamente negativo: .</p><p>Se , é um número inteiro negativo: .</p><p>Vamos agora verificar uma série de definições e teoremas que explicam</p><p>as condições dos números inteiros.</p><p>a, b ∈ Z ab = 0</p><p>a = 0 b = 0</p><p>Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0}</p><p>a, b ∈ Z∗</p><p>+ a + b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a, b ∈ Z∗</p><p>+ a ⋅ b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a ∈ Z</p><p>a ∈ Z∗</p><p>+, a = 0, −a ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a ∈ Z∗</p><p>+, a a > 0</p><p>a ∈ Z+, a a ≥ 0</p><p>−a ∈ Z∗</p><p>+, a a < 0</p><p>−a ∈ Z+ a a ≤ 0</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 10/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>De�nição</p><p>Utilizando a noção de pertencer a , considere .</p><p>Se , sabemos que e, denotamos .</p><p>Se , sabemos que . Assim,</p><p>, ou seja, e, portanto, .</p><p>Se , sabemos que e, portanto, .</p><p>Se , sabemos que . Assim,</p><p>, ou seja, e, portanto, .</p><p>Podemos escrever ( é menor que ) ou ( é maior que</p><p>). Também podemos escrever ( é menor ou igual a ) ou</p><p>( é maior ou igual a ).</p><p>Se e , é possível escrever . O mesmo vale quando</p><p>utilizamos o sinal de maior ou igual ou mesmo menor ou igual .</p><p>De�nição: consideração de um número menor</p><p>Considere .</p><p>Dizemos que é menor que (ou que é maior que</p><p>), se existe um inteiro positivo , ou seja, , tal que</p><p>.</p><p>Dizemos que é menor ou igual a (ou que é maior ou</p><p>igual a : ), se ou . Ainda, se existe um inteiro</p><p>não negativo , ou seja, , tal que .</p><p>Teorema: transitividade</p><p>Sejam . Se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Z∗</p><p>+ a, b ∈ Z</p><p>a − b ∈ Z∗</p><p>+ a − b > 0 a > b</p><p>−(a − b) ∈ Z∗</p><p>+ −a + b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>b − a ∈ Z∗</p><p>+ b − a > 0 a > b</p><p>a − b ∈ Z+ a − b ≥ 0 a ≥ b</p><p>−(a − b) ∈ Z+ −a + b ∈ Z+</p><p>b − a ∈ Z+ b − a ≥ 0 a ≥ b</p><p>b < a b a a > b a b</p><p>b ≤ a b a a ≥ b</p><p>a b</p><p>a < b b < c a < b < c</p><p>(≥) (≤)</p><p>a, b ∈ Z</p><p>a b : a < b b</p><p>a : b > a c c ∈ Z∗</p><p>+</p><p>b = a + c</p><p>a b : a ≤ b b</p><p>a b ≥ a a < b a = b</p><p>c c ∈ Z+ b = a + c</p><p>a, b, c ∈ Z a > b b > c a > c</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 11/74</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: validade de relações</p><p>Sejam . Somente uma das relações é válida:</p><p>.</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Tricotomia</p><p>Só é válida uma das</p><p>relações</p><p>2</p><p>Passo 1 e</p><p>definição</p><p>Só é válida uma das</p><p>relações</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: hipótese de igualdade</p><p>Sejam . Se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Hipótese e</p><p>2 Suponhamos por absurdo</p><p>3</p><p>Teorema: somente uma</p><p>das relações é válida:</p><p>Vale ou</p><p>4</p><p>Passos 3 e 1, contradição e</p><p>passo 2</p><p>Denise Candal.</p><p>a, b ∈ Z</p><p>a > b, a = b, a < b</p><p>(a − b) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a − b) = 0</p><p>−(a − b) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a > b</p><p>a = b</p><p>a < b</p><p>a, b ∈ Z a ≥ b b ≥ a a = b</p><p>a ≥ b b ≥ a</p><p>a ≠ b</p><p>a > b, a = b, a < b</p><p>a > b</p><p>a < b</p><p>a = b</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 12/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>Teorema: indução por comparação I</p><p>Sejam . Se , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Hipótese</p><p>2 Passo 1 e definição</p><p>3</p><p>Passo 2 e</p><p>fechamento</p><p>4</p><p>Passo 3</p><p>comutativa e</p><p>associativa</p><p>5 Passo 4 e definição</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: indução por comparação II</p><p>Sejam . Se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Hipótese e</p><p>2 Passo 1 e definição</p><p>3</p><p>Passo 2 e</p><p>fechamento</p><p>4</p><p>Passo 3</p><p>comutativa e</p><p>associativa</p><p>5 Passo 4 e definição</p><p>Denise Candal.</p><p>a, b, c ∈ Z a > b a + c > b + c</p><p>a > b</p><p>a − b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a − b) + c − c ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a + c) − (b + c) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a + c > b + c</p><p>a, b, c ∈ Z a > b c > d a + c > b + d</p><p>a > b c > d</p><p>a − b ∈ Z∗</p><p>+e</p><p>c − d ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a − b) + (c − d) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a + c) − (b + d) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a + c > b + d</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 13/74</p><p>Teorema: indução por comparação III</p><p>Sejam . Se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Hipótese e</p><p>2 Passo 1 e definição</p><p>3 Passo 2 e fechamento</p><p>4</p><p>Passo 3 comutativa e</p><p>associativa</p><p>5 Passo 4 e definição</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: indução por comparação IV</p><p>Sejam . Se e , então .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Hipótese e</p><p>2 Passo 1 e definição</p><p>3</p><p>Passo 2 e</p><p>fechamento</p><p>4</p><p>Passo 3 e</p><p>distributiva</p><p>5</p><p>Passo 4 e o</p><p>teorema:</p><p>a, b, c ∈ Z a > b c > 0 ac > bc</p><p>a > b c > 0</p><p>a − b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>c ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a − b)c ∈ Z∗</p><p>+</p><p>ac − bc ∈ Z∗</p><p>+</p><p>ac > bc</p><p>a, b, c ∈ Z a > b c < 0 ac < bc</p><p>a > b c < 0</p><p>a − b ∈ Z∗</p><p>+e</p><p>−c ∈ Z∗</p><p>+</p><p>(a − b)(−c) ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a(−c) + ((−b)(−c)) ∈ Z</p><p>(−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b</p><p>bc − ac ∈ Z∗</p><p>+</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 14/74</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>6 Passo 5 e definição</p><p>Denise Candal.</p><p>Se , então temos que ou e , ou e .</p><p>Saiba mais</p><p>A prova desse teorema para números reais encontra-se em Elementos</p><p>de análise real, de Robert Bartle (1983, p. 45).</p><p>Valor absoluto de um inteiro</p><p>A tricotomia nos diz que se um número inteiro é diferente de zero, ele</p><p>será estritamente positivo ou o seu simétrico - será estritamente</p><p>positivo. O valor absoluto de um inteiro será o elemento estritamente</p><p>positivo entre .</p><p>Chamamos de valor absoluto de um inteiro :</p><p>Exemplo 1</p><p>Podemos ainda dizer que , que significa que</p><p>desejamos o maior dos dois inteiros e .</p><p>Ainda, o valor absoluto de um inteiro a também pode ser</p><p>expresso como</p><p>, sendo a raiz quadrada não negativa de .</p><p>Exemplo 2</p><p>Teorema: módulo nulo</p><p>Temos se e somente se .</p><p>ac < bc</p><p>ab > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a e − a</p><p>a</p><p>|a| = { a  se  a ≥ 0</p><p>−a  se  a < 0</p><p>|4| = 4</p><p>| − 7| = 7</p><p>|a| = max(−a, a)</p><p>a −a</p><p>|a| = √a2 √a2 a2</p><p>| − 9| = √(−9)2 = √81 = 9</p><p>| − 9| = max(−9, 9) = 9</p><p>|a| = 0 a = 0</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 15/74</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: comparação entre módulos</p><p>Para todo , temos que .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1</p><p>Caso 1,</p><p>definição</p><p>, então</p><p>2</p><p>Caso 2,</p><p>definição</p><p>, então</p><p>3</p><p>Caso 3,</p><p>definição</p><p>, então</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: valor absoluto do produto</p><p>Para todo , temos que .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>a ∈ Z | − a| = |a|</p><p>a = 0</p><p>0| = 0 = | − 0 ∣</p><p>a > 0</p><p>a| = a = | − a ∣</p><p>a < 0</p><p>|a| = −a = | − a|</p><p>a ∈ Z |ab| = |a| ⋅ |b|</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 16/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema: intervalo de existência</p><p>Se , então se e somente se .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>Veja a versão acessível da tabela!</p><p>Teorema</p><p>Para todo , temos que .</p><p>Demonstração</p><p>É apresentado da seguinte forma.</p><p>c ≥ 0 |a| ≤ c −c ≤ a ≤ c</p><p>a ∈ Z −|a| ≤ a ≤ |a|</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 17/74</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/Tabelas.pdf</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1</p><p>Primeiramente</p><p>consideramos</p><p>2</p><p>Se , então se</p><p>e somente se</p><p>Denise Candal.</p><p>Teorema: propriedades de soma de valores</p><p>absolutos</p><p>Se temos dois inteiros e , então .</p><p>Demonstração</p><p>A partir da definição de módulo de um número inteiro , temos que:</p><p>Somando essas duas desigualdades termo a termo, ficamos com:</p><p>Ou seja:</p><p>Corolário</p><p>Se temos dois inteiros e , então .</p><p>Demonstração</p><p>Sequência de números naturais e os</p><p>axiomas de Peano</p><p>c = |a|</p><p>c = |a| ≥ 0</p><p>c ≥ 0 |a| ≤ c</p><p>−c ≤ a ≤ c</p><p>−|a| ≤ a ≤ |a|</p><p>a b |a + b| ≤ |a| + |b|</p><p>a</p><p>−|a| ≤ a ≤ |a| e  − |b| ≤ b ≤ |b|</p><p>−|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b| ∴ −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|</p><p>|a + b| ≤ |a| + |b|</p><p>a b |a − b| ≤ |a| + |b|</p><p>|a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + | − b| = |a| + |b|</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 18/74</p><p>Fatorial</p><p>Chamamos de fatorial de um inteiro não negativo !) ao</p><p>inteiro de tal forma que:</p><p>Exemplo 1</p><p>Podemos escrever ! como:</p><p>... e assim por diante.</p><p>Quando operamos expressões que envolvem fatorial, precisamos</p><p>pensar que o fatorial tem precedência sobre as demais operações</p><p>básicas.</p><p>Exemplo 2</p><p>Exemplo 3</p><p>Vamos demonstrar que :</p><p>Número binomial</p><p>Considere dois inteiros positivos e de modo que .</p><p>n ∈ Z+(n</p><p>n! = { 1  se  n = 0 ou n = 1</p><p>n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1  se  n ≥ 2</p><p>6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720</p><p>n</p><p>n! = n ⋅ (n − 1)!</p><p>n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)!</p><p>4! + 5! = (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) + (5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 24 + 120 = 144</p><p>8! − 6! = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) − (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 40.320 − 720</p><p>= 39.600</p><p>(n − 1)![(n + 1)! − n!] = (n!)2</p><p>(n − 1)![(n + 1)! − n!] = (n − 1)![(n + 1)n! − n!] = (n − 1)![n!((n + 1) − 1]</p><p>= (n − 1)![n! ⋅ n] = n(n − 1)! ⋅ n! = n! ⋅ n! = (n!)2</p><p>n > 0 k 0 ≤ k ≤ n</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 19/74</p><p>Chamamos número binomial de numerador e classe o inteiro</p><p>de modo que:</p><p>Em que:</p><p>Esse número binomial, em análise combinatória, representa o número</p><p>de combinações de elementos tomados a .</p><p>Podemos expressar os números binomiais simplificando a definição:</p><p>Alguns números binomiais particulares:</p><p>Exemplo 1</p><p>Temos:</p><p>Exemplo 2</p><p>Temos:</p><p>n k ( )n</p><p>k</p><p>( ) =</p><p>n!</p><p>k!(n − k)!</p><p>n</p><p>k</p><p>n k k</p><p>( ) =</p><p>n!</p><p>k!(n − k)!</p><p>=</p><p>n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ⋯ (n − k + 1)(n − k)!</p><p>k!(n − k)!</p><p>=</p><p>n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ⋯ (n − k + 1)</p><p>k!</p><p>n</p><p>k</p><p>( ) =</p><p>n!</p><p>0!(n − 0)!</p><p>=</p><p>n!</p><p>n!</p><p>= 1</p><p>( ) =</p><p>n!</p><p>1!(n − 1)!</p><p>=</p><p>n(n − 1)!</p><p>(n − 1)!</p><p>= n</p><p>( ) =</p><p>n!</p><p>n!(n − n)!</p><p>=</p><p>n!</p><p>n!0!</p><p>=</p><p>n!</p><p>n!</p><p>= 1</p><p>n</p><p>0</p><p>n</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>( ) =</p><p>7!</p><p>2!5!</p><p>=</p><p>7 ⋅ 6 ⋅ 5!</p><p>2 ⋅ 1 ⋅ 5!</p><p>=</p><p>7 ⋅ 6</p><p>2</p><p>= 21</p><p>7</p><p>2</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 20/74</p><p>Chamamos de números binomiais complementares dois números</p><p>binomiais que apresentam o mesmo numerador e cuja soma dos</p><p>denominadores é igual ao numerador cujo valor é comum aos dois</p><p>números.</p><p>Exemplo 3</p><p>Temos:</p><p>Teorema: números binomiais complementares</p><p>Dois números binomiais complementares são iguais.</p><p>Demonstração</p><p>Consideremos dois números binomiais complementares: e .</p><p>Pela definição de números binomiais complementares, temos que:</p><p>A sequência dos números naturais</p><p>Vamos trabalhar agora, especificamente, com o conjunto dos inteiros</p><p>positivos, ou seja, com o conjunto dos números naturais:</p><p>Axioma de fechamento</p><p>O conjunto dos inteiros positivos é fechado em relação às</p><p>operações de adição e multiplicação, ou seja, a soma e o produto de</p><p>inteiros positivos são sempre inteiros positivos.</p><p>Para quaisquer temos que:</p><p>( ) =</p><p>5!</p><p>3!2!</p><p>=</p><p>5 ⋅ 4 ⋅ 3!</p><p>3! ⋅ 2!</p><p>=</p><p>5 ⋅ 4</p><p>2</p><p>= 10</p><p>5</p><p>3</p><p>( ) e ( )13</p><p>6</p><p>13</p><p>7</p><p>( )n</p><p>k</p><p>( )n</p><p>h</p><p>k + h = n ∴ k = n − h</p><p>( ) = ( ) =</p><p>n!</p><p>(n − h)!(n − (n − h))!</p><p>=</p><p>n!</p><p>(n − h)!h!</p><p>= ( )n</p><p>k</p><p>n</p><p>n − h</p><p>n</p><p>h</p><p>N = Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0} = {1, 2, 3, ⋯}</p><p>Z∗</p><p>+(= N)</p><p>a, b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 21/74</p><p>A sequência dos números naturais nos permite efetuar a operação de</p><p>contagem. Podemos comparar essa sequência com um conjunto de</p><p>objetos, o que nos proporciona a noção de quantidade.</p><p>A teoria dos números naturais pode ser elaborada partindo-se de quatro</p><p>“afirmativas” as quais chamamos de axiomas de Peano. O</p><p>conhecimento efetivo dessa sequência de números – os números</p><p>naturais – se deve a Giuseppe Peano (1858-1932).</p><p>Assim, a partir dessas quatro premissas do conjunto dos números</p><p>naturais, os axiomas de Peano, conseguimos obter todos os enunciados</p><p>válidos sobre esses números, como consequências lógicas.</p><p>Os axiomas de Peano</p><p>Quando lidamos com uma teoria matemática, um método axiomático,</p><p>precisamos aceitar alguns termos da teoria sem um significado formal,</p><p>os conceitos primitivos. Também são necessárias algumas proposições</p><p>que chamamos axiomas, assumidas como verdadeiras, sem</p><p>demonstrações. A partir daí, todas as demais proposições podem ser</p><p>demonstradas.</p><p>Os axiomas formulados foram:</p><p>. Existe uma função , que associa a cada um</p><p>elemento , chamado o sucessor de .</p><p>. A função , é injetiva.</p><p>. Existe um único elemento 1 no conjunto , tal que</p><p>para todo .</p><p>. Se um subconjunto é tal que e (ou</p><p>seja, , então .</p><p>A notação é o sucessor do número natural e podemos pensar no</p><p>sucessor de como</p><p>Em termos de linguagem corrente, os axiomas de Peano podem ser</p><p>expressos como:</p><p>. Todo número natural tem um único sucessor, também um</p><p>número natural.</p><p>. Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.</p><p>Ou seja: números que têm o mesmo sucessor são iguais.</p><p>. Existe um único número natural que não é sucessor de</p><p>nenhum outro número, chamado de "número um" e representado</p><p>por " 1 ".</p><p>. Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e</p><p>se esse conjunto contém o sucessor de cada um de</p><p>seus</p><p>a + b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>a ⋅ b ∈ Z∗</p><p>+</p><p>P1 s : N  →  N n ∈ N</p><p>s(n) ∈ N n</p><p>P2 s : N → N</p><p>P3 N 1 ≠ s(n)</p><p>n ∈ N</p><p>P4 X ⊂ N 1 ∈ N s(X) ⊂ X</p><p>n ∈ X → s(n) ∈ X) X = N</p><p>s(n) n</p><p>n n + 1</p><p>P1′</p><p>P2′</p><p>P3′</p><p>P4′</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 22/74</p><p>elementos, então esse subconjunto é o próprio conjunto dos</p><p>números naturais .</p><p>A partir daí chamamos o sucessor de 2, o sucessor de 2, 3, e assim por</p><p>diante:</p><p>Podemos sinalizar a sequência dos números utilizando o diagrama com</p><p>as flechas ligando cada número natural ao seu sucessor por intermédio</p><p>da função “sucessor”:</p><p>Uma vez que o número não é sucessor de ninguém, não há flecha</p><p>apontando para ele.</p><p>Vamos agora demonstrar que se , então temos que .</p><p>Passo Justificativa Desenvolvimento</p><p>1 Tricotomia</p><p>Se , então</p><p>ou</p><p>2</p><p>Passo 1 e teorema: se</p><p>e , então</p><p>Se , então</p><p>3</p><p>Passo 2 e teorema: Se , então</p><p>4</p><p>Passo 1 e o teorema:</p><p>se e ,</p><p>então</p><p>Se , então</p><p>5</p><p>Passo 4 e teorema: Se , então</p><p>Denise Candal.</p><p>Teoria na prática</p><p>Dados e , demonstre que se , então .</p><p>N</p><p>2 = s(1); 3 = s(2); 4 = s(3); 5 = s(4); ⋯</p><p>x ≠ 0 0 < x2</p><p>x ≠ 0</p><p>x < 0 x > 0</p><p>a < b c < 0</p><p>ac > bc</p><p>x < 0</p><p>0 ⋅ x < x ⋅ x</p><p>0 ⋅ a = 0</p><p>x < 0</p><p>0 < x2</p><p>a < b 0 < c</p><p>ac < bc</p><p>x > 0</p><p>0 ⋅ x < x ⋅ x</p><p>0 ⋅ a = 0</p><p>x > 0</p><p>0 < x2</p><p>_black</p><p>a b ∈ Z a + b = 0 a = −b</p><p>Mostrar solução</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 23/74</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Considere as afirmativas a seguir, sobre o conjunto dos números</p><p>inteiros e seus subconjuntos relevantes.</p><p>I)</p><p>II)</p><p>III)</p><p>Está correto o que está afirmado em</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EDe%20fato%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>3%22%3EConjunto%20dos%20inteiros%20n%C3%A3o%20nulos%20(diferentes%20de%20zero)%3A%3C%2Fli%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmat</p><p>3%20.-2%20.-1%2C1%2C2%2C3%2C%20%5Ccdots%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>3%22%3EConjunto%20dos%20inteiros%20n%C3%A3o%20negativos%20(maiores%20ou%20iguais%20a%20zer</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmat</p><p>3%22%3EConjunto%20dos%20inteiros%20n%C3%A3o%20positivos%20(menores%20ou%20iguais%20a%20zer</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmat</p><p>%7D%3D%5C%7Bx%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cmid%20x%20%5Cleq%200%5C%7D%3D%5C%7</p><p>3%2C-2%2C-</p><p>1%2C0%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3</p><p>Questão 2</p><p>Considerando o conjunto dos números inteiros , com as duas</p><p>operações de adição e multiplicação e os axiomas da adição e da</p><p>multiplicação, analise as afirmativas a seguir.</p><p></p><p>Z</p><p>Z∗ = {x ∈ Z ∣ x ≠ 0}</p><p>Z− = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0}</p><p>Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}</p><p>A I.</p><p>B II.</p><p>C III.</p><p>D I e II.</p><p>E I e III.</p><p>Z</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 24/74</p><p>I) A subtração de dois inteiros é comutativa.</p><p>II) A adição de dois inteiros é comutativa.</p><p>III) A multiplicação de dois inteiros é comutativa.</p><p>Agora, assinale a opção que apresenta somente afirmativas</p><p>verdadeiras.</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVejamos%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>3%22%3EPropriedade%20comutativa%20-</p><p>%20A%20adi%C3%A7%C3%A3o%20de%20dois%20n%C3%BAmeros%20inteiros%20%C3%A9%20comutativa%2</p><p>3%22%3EPropriedade%20comutativa%20-</p><p>%20A%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20de%20dois%20n%C3%BAmeros%20inteiros%20%C3%A9%20comuta</p><p>paragraph'%3EA%20subtra%C3%A7%C3%A3o%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20comutativa.%20Observe%20que</p><p>b%5C)%20nem%20sempre%20ser%C3%A1%20igual%20a%20%5C(b-</p><p>a%5C).%20Exemplo%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%204-</p><p>3%20%5Cneq%203-</p><p>4%20%5Ctext%20%7B.%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 3</p><p>Considerando os conceitos e resultados de valor absoluto de um</p><p>inteiro , analise as afirmativas a seguir.</p><p>I) .</p><p>II) Se , então .</p><p>III) Se , então .</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>A Apenas I.</p><p>B Apenas II.</p><p>C Apenas III.</p><p>D II e III.</p><p>E I e III.</p><p>a</p><p>|a| = max(−a, 1)</p><p>a < 0 |a| = −a</p><p>a > 0 |a| = a</p><p>A Todas.</p><p>B I e III.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 25/74</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVejamos%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C</p><p>a%20%26%20%5Ctext%20%7B%20se%20%7D%20%26%20a%3C0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2</p><p>a%2C%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgather</p><p>paragraph'%3EDesejamos%20o%20maior%20dos%20dois%20inteiros%20%5C(a%5C%3B%20e%20-</p><p>a%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 4</p><p>Considere um inteiro e leia as afirmações a seguir.</p><p>I) , quando .</p><p>II) , quando .</p><p>III) !.</p><p>A alternativa correta é</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVejamos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>b%20!%3Da%20!-(a-1)%20!%3Da(a-1)%20!-(a-1)%20!%3D(a-1)%20!(a-</p><p>1)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7Ba%</p><p>1)%20!%7D%3D%5Cfrac%7Ba(a-1)%20!%7D%7B(a-</p><p>1)%7D%3Da%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfr</p><p>C II e III.</p><p>D I e II.</p><p>E Apenas II.</p><p>a > 1</p><p>a! − b! = (a − 1)!(a − 1) b = a − 1</p><p>a!</p><p>b! = a b = a − 1</p><p>a!</p><p>a</p><p>= (a − 1)</p><p>A I, II e III.</p><p>B I e II.</p><p>C I e III.</p><p>D II e III.</p><p>E III.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 26/74</p><p>1)%20!%7D%7Ba%7D%3D(a-</p><p>1)%20!%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7</p><p>Questão 5</p><p>Considere a equação a seguir.</p><p>Resolvendo-a, obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20ou%20os%20denominadores%20s%C3%A3o%20iguais%2C%20ou%20os%20</p><p>paragraph'%3EDenominadores%20iguais%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5E2-</p><p>x%3D2%20x-</p><p>2%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%20x%5E2-2%20x-</p><p>x%2B2%3D0%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%20x%5E2-</p><p>3%20x%2B2%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24</p><p>paragraph'%3EResolvendo%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20do%20segundo%20grau%2C%20temos%20que</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5E2-</p><p>x%2B2%20x-</p><p>2%3D7%20%5Cquad%20%5Ctherefore%20%5Cquad%20x%5E2%2Bx-</p><p>9%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3C%2Fp%</p><p>paragraph'%3EResolvendo%20essa%20equa%C3%A7%C3%A3o%2C%20ela%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20sat</p><p>Questão 6</p><p>Dados e , se , então .</p><p>Agora observe a tabela a seguir.</p><p>Passo Justificativa Desenvolvim</p><p>1 Hipótese</p><p>2 Passo 1 e fechamento da</p><p>adição: , então</p><p>( ) = ( )7</p><p>x2 − x</p><p>7</p><p>2x − 2</p><p>A ou .x = 2 x = 3</p><p>B ou .x = −1 x = −2</p><p>C ou .x = 3 x = 4</p><p>D ou .x = 1 x = 3</p><p>E ou .x = 1 x = 2</p><p>a b ∈ Z a + b = b a = 0</p><p>a + b = b</p><p>a, b ∈ Z</p><p>(a + b) + (−</p><p>23/04/2024, 19:15 Números</p><p>inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 27/74</p><p>Passo Justificativa Desenvolvim</p><p>3</p><p>Passo 2 e associativa da</p><p>adição:</p><p>4 Justificativa = ?</p><p>6</p><p>Passo 5 e elemento neutro</p><p>da adição:</p><p>Denise Candal.</p><p>Assinale a justificativa do passo 4:</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-</p><p>paragraph%20u-title--</p><p>medium%22%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da</p><p>video-</p><p>player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3Df72df5ce5a224d95aff8</p><p>video-</p><p>player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Resolvendo a equação ! obtemos</p><p>a + b ∈ Z</p><p>(a + b) + c = a + (b + c)</p><p>a + (b + (−</p><p>a + 0 = 0</p><p>a + 0 = a</p><p>a = 0</p><p>A Passo 3 e elemento neutro da adição: .a + (−a) = 0</p><p>B</p><p>Passo 3 e elemento inverso ou oposto da adição:</p><p>.a + (−a) = 0</p><p>C Passo 3 e fechamento da adição: .a + (−a) = 0</p><p>D Passo 3 e comutativa da adição: .a + (−a) = 0</p><p>E Passo 3 e associativa da adição: .a + (−a) = 0</p><p>(x + 2)! = 72 ⋅ x</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 28/74</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EObserve%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>(x%2B1)%20x%20!%3D72%20%5Ccdot%20x%20!%20%5Cquad%20%5Ctherefore(x%2B2)</p><p>(x%2B1)%3D72%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5</p><p>70%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%</p><p>paragraph'%3EResolvendo%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%2C%20temos%20%5C(x%3D-</p><p>10%5C)%20e%20%5C(x%3D7%5C).%20Como%20o%20valor%20de%20%5C(x%5C)%20deve%20ser%20inteiro%</p><p>Questão 2</p><p>Determinando os valores inteiros positivos de modo que</p><p>tenhamos como um quadrado perfeito, obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVeja%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>table%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cli%20</p><p>3%22%3E%5C(n%3D1%20%3B%201%20!%2B1%3D2%5C)%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20quadrado%20perfeito</p><p>3%22%3E%5C(n%3D2%20%3B%202%20!%2B1%3D3%5C)%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20quadrado%20perfeito</p><p>3%22%3E%5C(n%3D3%20%3B%203%20!%2B1%3D(3%20%5Ccdot%202%20%5Ccdot%201)%2B1%3D7%5C)%20</p><p>A 4.</p><p>B 5.</p><p>C 6.</p><p>D 7.</p><p>E 8.</p><p>n ≤ 5</p><p>n! + 1</p><p>A 2 e 4.</p><p>B 4 e 5.</p><p>C 4 e 9.</p><p>D 1 e 2.</p><p>E 1 e 4.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 29/74</p><p>3%22%3E%5C(n%3D4%20%3B%204%20!%2B1%3D(4%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%202%20%5Ccdot%201)%</p><p>3%22%3E%5C(n%3D5%20%3B%205%20!%2B1%3D(5%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%202%2</p><p>paragraph'%3EOs%20valores%20inteiros%20positivos%20%5C(n%20%5Cleq%205%5C)%2C%20de%20modo%2</p><p>2 - Indução matemática</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de demonstrar resultados utilizando a indução</p><p>matemática.</p><p>Elemento mínimo, PBO e indução</p><p>Neste vídeo, você entenderá os conceitos de indução matemática,</p><p>considerando o elemento mínimo e o PBO. Assista!</p><p>A indução matemática</p><p>Elemento mínimo</p><p>Consideremos um subconjunto do conjunto dos números inteiros .</p><p>Se e se , dizemos que é uma cota</p><p>inferior de um subconjunto de .</p><p>Ainda, se possui cota inferior, dizemos que é limitado</p><p>inferiormente.</p><p>Se é cota inferior de , ou seja, se , e se</p><p>, dizemos que é elemento mínimo do subconjunto , ou</p><p>A Z</p><p>n ∈ Z n ≤ a, ∀ a ∈ A ⊂ Z n ∈ Z</p><p>A Z</p><p>A A</p><p>a0 A a0 ≤ a, ∀a ∈ A ⊂ Z</p><p>a0 ∈ A a0 A ⊂ Z</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 30/74</p><p>ainda, .</p><p>Teorema</p><p>Se , então é único. Vamos demonstrar.</p><p>Supomos então que . Precisamos mostrar que é único.</p><p>Vamos supor ainda que existe outro de modo que .</p><p>Provaremos, assim, que . Como , temos que</p><p>, e como , fazendo , temos que .</p><p>Mas sabemos que . Dessa forma, , fazendo</p><p>, e, assim, . Dessa forma, como temos simultaneamente</p><p>e , é fato que .</p><p>Exemplo 1</p><p>Observe que o conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos,</p><p>possui elemento mínimo.</p><p>: Conjunto dos inteiros positivos</p><p>De fato, .</p><p>Exemplo 2</p><p>Considere o subconjunto . O</p><p>conjunto possui elemento mínimo: , pois .</p><p>Exemplo 3</p><p>Considere o subconjunto conjunto</p><p>não tem elemento mínimo. Não existe um elemento que seja menor que</p><p>todos os demais.</p><p>Exemplo 4</p><p>Considere o conjunto . O conjunto possui</p><p>elemento mínimo: 16 , pois .</p><p>Princípio da boa ordenação (PBO)</p><p>a0 = minA</p><p>a0 = minA a0</p><p>a0 = minA a0</p><p>a′ ∈ A a′ = minA</p><p>a0 = a′ a0 = minA</p><p>∀b ∈ A, a0 ≤ b a′ ∈ A b = a′ a0 ≤ a′</p><p>a′ = minA ∀b ∈ A, a′ ≤ b</p><p>b = a0 a′ ≤ a0</p><p>a0 ≤ a′ a′ ≤ a0 a′ = a0</p><p>Z∗</p><p>+ (> 0)</p><p>N = Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0} = {1, 2, 3, ⋯}</p><p>min N = 1</p><p>∀x ∈ N, 1 ≤ x</p><p>A = {x ∈ N ∣ 5 < x < 10} ⊂ Z</p><p>A minA = 6 ∀x ∈ A, 6 ≤ x</p><p>A = {⋯ − 4, −3, −2} ⊂ Z.0 A</p><p>A = {x ∈ R ∣ x > 15} A</p><p>minA = ∀x ∈ A, 16 ≤ x</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 31/74</p><p>Todo conjunto não vazio de inteiros não negativos</p><p>possui elemento mínimo.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos considerar o conjunto dos números inteiros positivos pares.</p><p>é um subconjunto não vazio do conjunto dos</p><p>inteiros não negativos .</p><p>Pelo princípio da boa ordenação, temos que o conjunto dos números</p><p>inteiros positivos pares possui elemento mínimo.</p><p>De fato, .</p><p>Exemplo 2</p><p>Consideremos o conjunto dos números inteiros primos.</p><p>é um subconjunto não vazio do conjunto dos</p><p>inteiros não negativos .</p><p>Pelo princípio da boa ordenação, temos que o conjunto dos inteiros</p><p>primos possui elemento mínimo. De fato,</p><p>.</p><p>Teorema: propriedade arquimediana</p><p>Apesar de se chamar propriedade arquimediana, a princípio foi</p><p>enunciada por Eudoxo.</p><p>Essa propriedade nos assegura que, considerando dois inteiros e ,</p><p>com , então algum múltiplo de é maior que .</p><p>Propriedade arquimediana</p><p>Se temos dois inteiros positivos quaisquer e , então existe um inteiro</p><p>positivo de modo que . Vamos demonstrar.</p><p>Consideremos dois inteiros positivos e . Suponhamos, por absurdo,</p><p>que , inteiro positivo, . Assim, .</p><p>Tomando o conjunto , temos que os</p><p>elementos desse conjunto são inteiros positivos.</p><p>Assim, pelo princípio da boa ordenação, o conjunto possui elemento</p><p>mínimo.</p><p>Seja então . Mas e, ainda, como os</p><p>elementos de são da forma , temos que</p><p>.</p><p>A</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>Se A ⊂ Z+eA ≠ ∅, então ∃ minA</p><p>A = {2, 4, 6, 8, ⋯}</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>A = {2, 4, 6, 8, ⋯}</p><p>2 = minA</p><p>P = {2, 3, 5, 7, 11, ⋯}</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>P = {2, 3, 5, 7, 11, ⋯}</p><p>2 = minP</p><p>a b</p><p>a ≠ 0 a b</p><p>a b</p><p>n na ≥ b</p><p>a b</p><p>na < b, ∀n Z∗</p><p>+ 0 < b − na</p><p>S = {b − na ∣ n ∈ N = Z∗</p><p>+}</p><p>S</p><p>minS = b − ka b − ka ∈ S</p><p>S {b − na ∣ n ∈ N = Z∗</p><p>+}</p><p>b − (k + 1)a ∈ S</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 32/74</p><p>Ou seja, encontramos um elemento do conjunto menor que o mínimo</p><p>do conjunto, chegando a uma contradição. Assim, temos que .</p><p>Exemplo</p><p>Se e , então existe de modo que .</p><p>Princípio da indução �nita</p><p>Considere um subconjunto do conjunto dos números inteiros</p><p>positivos (naturais ). Considere ainda que satisfaz as seguintes</p><p>condições:</p><p>I. 1 pertence ao conjunto .</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se k pertence a , então</p><p>também pertence a .</p><p>Nesses termos, temos então que é o conjunto dos números inteiros</p><p>positivos (naturais . Simbolicamente:</p><p>I. .</p><p>II. Se , então .</p><p>Temos</p><p>então que . Mas, para demonstrar, considere um</p><p>subconjunto do conjunto dos números inteiros positivos (Naturais</p><p>) e que satisfaz as seguintes condições:</p><p>I. .</p><p>II. Se , então .</p><p>Vamos supor, por absurdo, que , ou seja, que não é o</p><p>conjunto dos inteiros positivos.</p><p>Seja o conjunto de todos os inteiros positivos que não pertencem ao</p><p>conjunto .</p><p>Assim, temos que é um subconjunto não vazio dos inteiros positivos</p><p>(naturais). Pelo princípio da boa ordenação, sabemos que existe</p><p>elemento mínimo para o conjunto .</p><p>Seja . Como a condição (I) nos diz que</p><p>, temos que . Assim, é um inteiro positivo que não</p><p>pertence a , pois sabemos que . Se , temos</p><p>que .</p><p>b − (k + 1)a = b − ka − a = (b − ka) − a < b − ka</p><p>S</p><p>na ≥ b</p><p>a = 3 b = 13 n = 5 5 ⋅ 3 > 13</p><p>S</p><p>Z∗</p><p>+ N S</p><p>S</p><p>k S k + 1</p><p>S</p><p>S</p><p>Z∗</p><p>+ N)</p><p>1 ∈ S</p><p>∀k ∈ S k + 1 ∈ S</p><p>S = Z∗</p><p>+</p><p>S Z ∗</p><p>+</p><p>N S</p><p>1 ∈ S</p><p>∀ k ∈ S k + 1 ∈ S</p><p>S ≠ Z∗</p><p>+ = N S</p><p>X</p><p>S</p><p>X = {x ∣ x ∈ N e x ∉ S} = N − S</p><p>X</p><p>X</p><p>x0 = minX,x0 ∈ X = N − S</p><p>1 ∈ S x0 > 1 x0 − 1</p><p>X x0 = minX x0 − 1 ∉ X</p><p>x0 − 1 ∈ S</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 33/74</p><p>A condição (II) nos assegura que se , então . Assim,</p><p>como , temos que ou, ainda, que</p><p>, o que é uma contradição, uma vez que . Dessa</p><p>forma, temos que e que .</p><p>Indução matemática: teorema</p><p>O teorema da indução matemática, ou princípio da indução matemática,</p><p>é um instrumento dos mais eficientes para demonstrar resultados</p><p>relativos aos números naturais. Quando utilizamos esse princípio,</p><p>dizemos que é uma demonstração por indução matemática.</p><p>Teorema: princípio da indução matemática</p><p>Considere uma proposição associada a cada inteiro positivo .</p><p>Considere ainda que essa proposição satisfaz as duas condições:</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se é verdadeira, então</p><p>é verdadeira.</p><p>Nesses termos, temos então que a proposição é verdadeira para</p><p>todo inteiro positivo .</p><p>Vamos agora demonstrar o princípio da indução matemática. Seja</p><p>uma proposição associada a cada inteiro positivo . Considere ainda</p><p>que:</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se é verdadeira, então</p><p>é verdadeira.</p><p>Consideremos então o conjunto é verdadeira .</p><p>Como por (I) sabemos que é verdadeira, temos que .</p><p>Como por (II), para todo inteiro positivo , se é verdadeira,</p><p>então é verdadeira, temos que se sabemos que</p><p>então .</p><p>Dessa forma, o conjunto satisfaz as condições do princípio da</p><p>indução finita e, portanto, a proposição é verdadeira para todo</p><p>inteiro positivo (natural) .</p><p>Quando precisamos demonstrar se é válida determinada proposição</p><p>utilizando a demonstração por indução matemática, devemos</p><p>analisar e comprovar a validade das duas condições (I) e (II). De modo</p><p>geral, a primeira condição é trivial de ser demonstrada, bastando</p><p>substituir o valor de por 1 .</p><p>∀k ∈ S k + 1 ∈ S</p><p>x0 − 1 ∈ S (x0 − 1) + 1 ∈ S x0 ∈ S</p><p>x0 ∈ X = N − S</p><p>X = N − S = ϕ S = Z∗</p><p>+ = N</p><p>P(n) n</p><p>P(n)</p><p>P(1)</p><p>k P(k) P(k + 1)</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>P(n)</p><p>k P(k) P(k + 1)</p><p>S = {n ∈ N ∣ P(n) }</p><p>P(1) 1 ∈ S</p><p>k P(k)</p><p>P(k + 1) k ∈ S</p><p>k + 1 ∈ S</p><p>S</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 34/74</p><p>Para a segunda condição, precisamos demonstrar uma implicação.</p><p>Supomos que a proposição vale para (hipótese de</p><p>indução) e mostramos que vale para 1 (etapa indutiva).</p><p>Exemplo 1</p><p>Mostrar que para .</p><p>I. Para é válido. De fato, ou, ainda, .</p><p>II. Hipótese de indução: supomos que a propriedade vale para .</p><p>Para , vale:</p><p>III. Etapa indutiva: precisamos mostrar que vale para . Observe</p><p>que é interessante visualizar aonde precisamos chegar. Para isso,</p><p>temos que substituir por</p><p>.</p><p>Precisamos chegar em</p><p>Partiremos do lado esquerdo dessa equação</p><p>e buscaremos chegar ao lado direito</p><p>. Mas, pela hipótese de indução, temos que</p><p>. Vamos substituir então:</p><p>Colocando em evidência, temos:</p><p>.</p><p>Colocando o último parênteses no mesmo denominador:</p><p>Ou ainda:</p><p>Dessa forma, pelo princípio da indução matemática,</p><p>para .</p><p>Exemplo 2</p><p>Mostre que a soma dos primeiros números naturais ímpares é , ou</p><p>seja,</p><p>P(n) n = k</p><p>n = k+</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n+1)</p><p>2 n ≥ 1</p><p>n = 1 1 = 1(1+1)</p><p>2 1 = 1</p><p>n = k</p><p>k ≥ 1 1 + 2 + 3 + ⋯ + k = k(k+1)</p><p>2</p><p>k + 1</p><p>k k + 1em</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k = k(k+1)</p><p>2</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) = (k+1)((k+1)+1)</p><p>2</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1)</p><p>(k+1)((k+1)+1)</p><p>2 1 + 2+</p><p>3 + ⋯ + k = k(k+1)</p><p>2</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) =</p><p>k(k + 1)</p><p>2</p><p>+ (k + 1) =</p><p>k</p><p>2</p><p>(k + 1) + (k + 1)</p><p>(k + 1)</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) = (k + 1) ( k</p><p>2 + 1)</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) = (k + 1)( k</p><p>2</p><p>+ 1) = (k + 1)( k + 2</p><p>2</p><p>)</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + k + (k + 1) =</p><p>(k + 1)(k + 2)</p><p>2</p><p>=</p><p>(k + 1)(k + 1 + 1)</p><p>2</p><p>1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n+1)</p><p>2 n ≥ 1</p><p>n n2</p><p>P(n) = 1 + 3+ 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2, ∀ n ∈ N</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 35/74</p><p>I. é verdadeira. De fato, .</p><p>II. Hipótese de indução: supomos que a propriedade vale para .</p><p>Desejamos chegar aqui:</p><p>Muitas vezes é interessante desenvolver um pouco a expressão à qual</p><p>queremos chegar para compreender o que devemos fazer.</p><p>III. Etapa indutiva: vamos iniciar então a prova, somando a</p><p>ambos os lados da hipótese de indução.</p><p>Repare que é o número ímpar após o ímpar</p><p>. Temos então que:</p><p>Ou, ainda, fatorando o termo à direita, ficamos com:</p><p>Mostramos, então, que é válida. Dessa forma, pelo princípio</p><p>da indução matemática,</p><p>ou, ainda, a</p><p>soma dos primeiros números naturais ímpares é .</p><p>Outras formas da indução</p><p>matemática</p><p>Considere um número inteiro positivo fixo . Seja uma proposição</p><p>associada a cada inteiro que satisfaz às condições:</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se é verdadeira, então</p><p>é verdadeira.</p><p>P(1) 1 = 12</p><p>n = k</p><p>P(n) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) = k2</p><p>1 + 3 + 5 + ⋯ + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2</p><p>1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k + 1 ∴ 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k + 1 = k2 + 2k + 1</p><p>2k + 1</p><p>1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)</p><p>2k + 1</p><p>2k − 1 : 2k + 1 = (2k − 1) + 2</p><p>1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)</p><p>1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2</p><p>P(k + 1)</p><p>P(n) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2, ∀n ∈ N</p><p>n n2</p><p>r P(n)</p><p>n ≥ r</p><p>P(r)</p><p>k ≥ r P(k)</p><p>P(k + 1)</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 36/74</p><p>Nesses termos, temos então que a proposição é verdadeira para</p><p>todo inteiro positivo .</p><p>Para demonstrar, considere o conjunto dos números inteiros positivos</p><p>para os quais a proposição é verdadeira.</p><p>Sabemos, por conta da condição (I) que, para , a proposição é</p><p>verdadeira, ou seja, é verdadeira. Com sendo</p><p>verdadeira, .</p><p>Pela condição (II) temos que, se é verdadeira, então</p><p>é verdadeira. Mas</p><p>. Ou seja, a proposição</p><p>vale para .</p><p>Dessa forma, se , temos então que , e pelo princípio da</p><p>indução finita é o conjunto dos números inteiros positivos</p><p>. Assim, a proposição é verdadeira</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos mostrar que vale a proposição .</p><p>I. é verdadeira. De fato, .</p><p>Repare que a proposição não é válida para , somente a partir</p><p>de .</p><p>! não é válido.</p><p>não é válido.</p><p>não é válido.</p><p>II. Hipótese de indução: considere que a proposição é válida para .</p><p>III. Etapa indutiva: vamos demonstrar que a proposição é válida para</p><p>.</p><p>Precisamos mostrar que , ou seja, que</p><p>1)</p><p>Vamos iniciar então a prova.</p><p>Para , temos que . Utilizando a hipótese de indução</p><p>, ficamos com:</p><p>P(n)</p><p>n ≥ r</p><p>S</p><p>P(r + n − 1)</p><p>S = {n ∈ N ∣ P(r + n − 1) é verdadeira }</p><p>n = 1</p><p>P(r + 1 − 1) P(1)</p><p>1 ∈ S</p><p>P(r + k − 1)</p><p>P((r + k − 1) + 1)</p><p>P((r + k − 1) + 1) = P(r + (k + 1) − 1)</p><p>k + 1</p><p>k ∈ S k + 1 ∈ S</p><p>S</p><p>S = Z∗</p><p>+ = N P(r + n − 1) ∀n ≥ r</p><p>P(n) : 2n < n!, ∀ n ≥ 4</p><p>P(4) 24 = 16 < 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24</p><p>n = 1, 2, 3</p><p>n =</p><p>4</p><p>P(1) : 21 < 1</p><p>P(2) : 22 = 4 < 2! = 2 ⋅ 1 = 2</p><p>P3 : 23 = 8 < 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6</p><p>k</p><p>P(k) : 2k < k!, k ≥ 4</p><p>k + 1</p><p>2k+1 < (k + 1) !</p><p>2k ⋅ 2 < (k + 1)(k + 1− (k + 1 − 1 − 1)! = (k + 1)k(k − 1) !</p><p>k ≥ 4 2 < k + 1</p><p>P(k) : 2k < k !</p><p>2k ⋅ 2 < k! ⋅ (k + 1) ∴ 2k+1 < (k + 1)!</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 37/74</p><p>Temos então que a proposição é verdadeira. Nesses termos,</p><p>a proposição é verdadeira para todo inteiro positivo</p><p>.</p><p>Exemplo 2</p><p>Vamos demonstrar que é válida.</p><p>Demonstração</p><p>Vamos checar se, de fato, a proposição não é válida para e 2.</p><p>não é válido.</p><p>não é válido.</p><p>I. é válida.</p><p>II. Hipótese de indução: considere válida a proposição para</p><p>.</p><p>III. Etapa indutiva: precisamos chegar em</p><p>. Vamos à prova, então.</p><p>Pela hipótese de indução, temos que:</p><p>Temos então que a proposição é verdadeira. Nesses termos,</p><p>a proposição é verdadeira para todo inteiro</p><p>positivo .</p><p>Teorema</p><p>Considere uma proposição associada a cada número inteiro</p><p>positivo e que satisfaça as condições a seguir.</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se são</p><p>verdadeiras, então é verdadeira.</p><p>P(k + 1)</p><p>P(n) : 2n < n !</p><p>n ≥ 4</p><p>P(n) : n2 > 2n + 1, ∀ n ≥ 3</p><p>n = 1</p><p>P(1) : 12 = 1 > 2(1) + 1 = 3</p><p>P(2) : 22 = 4 > 2(2) + 15</p><p>P(3) : 32 = 9 > 2(3) + 1 = 7</p><p>n = k, k ≥ 3</p><p>P(k) : k2 > 2k + 1</p><p>P(k + 1) : (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 ></p><p>2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3</p><p>k2 > 2k + 1</p><p>k2 + (2k + 1) > (2k + 1) + (2k + 1) = 2k + 2 + 2k</p><p>(k + 1)2 > 2(k + 1) + 2k ≥ 2(k + 1) + 2(3) = 2(k + 1) + 6 > 2(k + 1) + 1</p><p>P(k + 1)</p><p>P(n) : n2 > 2n + 1</p><p>n ≥ 3</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>P(1)</p><p>k P(1),P(2),P(3), ⋯P(k)</p><p>P(k + 1)</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 38/74</p><p>Assim, temos então que a proposição é verdadeira para todo</p><p>inteiro positivo .</p><p>Demonstração</p><p>Seja uma proposição associada a cada número inteiro positivo</p><p>e sejam as condições válidas.</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se são</p><p>verdadeiras, então é verdadeira.</p><p>Considere o conjunto de todos os inteiros positivos de modo que a</p><p>proposição é válida. Vamos supor, por absurdo, que</p><p>.</p><p>Considere o conjunto dos números inteiros positivos que não</p><p>pertencem a .</p><p>Temos então que é um subconjunto não vazio de .</p><p>Pelo princípio da boa ordenação, possui elemento mínimo em</p><p>. Como a condição (I) nos afirma que é verdadeira,</p><p>temos que e, ainda, . Como sabemos que é o menor</p><p>inteiro positivo que não pertence a (pois pertence a e ,</p><p>temos que são válidas as proposições</p><p>.</p><p>Mas, pela condição (II), é verdadeira, o que nos leva a uma</p><p>contradição, uma vez que , mas afirmar que é</p><p>verdadeira, significa que . não pode pertencer ao mesmo tempo</p><p>a e a .</p><p>Desse modo, temos que a proposição é verdadeira para todo</p><p>inteiro positivo .</p><p>Agora, vamos considerar um inteiro positivo fixo. Considere ainda uma</p><p>proposição associada a cada inteiro , satisfazendo as</p><p>condições:</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se é verdadeira para todo</p><p>inteiro de modo que , então é verdadeira.</p><p>Nesses termos, temos então que a proposição é verdadeira para</p><p>todo inteiro positivo .</p><p>Para demonstrar tal definição, consideremos um inteiro positivo fixo e</p><p>ainda uma proposição associada a cada inteiro ,</p><p>satisfazendo as condições:</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>P(n) n</p><p>P(1)</p><p>k P(1),P(2),P(3), ⋯P(k)</p><p>P(k + 1)</p><p>S n</p><p>P(n)</p><p>S ≠ N = Z∗</p><p>+</p><p>X</p><p>S</p><p>X = {x ∣ x ∈ N e x ∉ S} = N − S</p><p>X N</p><p>X</p><p>X : minX = j P(1)</p><p>1 ∈ S j > 1 j</p><p>S X X = N− S)</p><p>P(1),P(2),P(3), ⋯P(j − 1)</p><p>P(j)</p><p>minX = j, j ∈ X P(j)</p><p>j ∈ S j</p><p>X S</p><p>P(n)</p><p>n</p><p>r</p><p>P(n) n ≥ r</p><p>P(r)</p><p>k > r P(m)</p><p>m r ≤ m < k P(k)</p><p>P(n)</p><p>n ≥ r</p><p>r</p><p>P(n) n ≥ r</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 39/74</p><p>I. é verdadeira.</p><p>II. Para todo inteiro positivo , se é verdadeira para todo</p><p>inteiro de modo que , então é verdadeira.</p><p>Seja o conjunto dos inteiros para os quais a proposição é</p><p>falsa. Suponha, por absurdo, que não é vazio. Pelo princípio da boa</p><p>ordenação, existe elemento mínimo de . Como pela condição (I)</p><p>é verdadeira, temos que , com . Assim, para todo</p><p>inteiro , de modo que , temos que é verdadeira.</p><p>A condição (II) nos diz que, para todo inteiro positivo , se é</p><p>verdadeira para todo inteiro de modo que , então é</p><p>verdadeira. Dessa forma, é válida e , o que é uma</p><p>contradição, já que sabemos que .</p><p>Assim, temos que o conjunto é vazio, e a proposição é</p><p>verdadeira para todo inteiro .</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos demonstrar que para</p><p>não é válido.</p><p>não é válido.</p><p>I. Para é válido. De fato, , ou ainda, .</p><p>II. Hipótese de indução: vale para . Para , vale .</p><p>III. Etapa indutiva: precisamos mostrar que vale para</p><p>.</p><p>Da hipótese:</p><p>Usando o resultado , para :</p><p>Exemplo 2</p><p>Mostre que para todo .</p><p>I. Para é válido. De fato, .</p><p>II. Hipótese de indução: supomos que vale para . Para</p><p>.</p><p>P(r)</p><p>k > r P(m)</p><p>m r ≤ m < k P(k)</p><p>S n ≥ r P(n)</p><p>S</p><p>j S</p><p>P(r) r ∉ S j > s</p><p>m r ≤ m < j P(m)</p><p>k > r P(m)</p><p>m r ≤ m < k P(k)</p><p>P(j) j ∉ S</p><p>j ∈ S</p><p>S P(n)</p><p>n ≥ r</p><p>2n + 1 < 2n n ≥ 3</p><p>P(1) : 2(1) + 1 < 21</p><p>P(2) : 2(2) + 1 < 22</p><p>n = 3 2(3) + 1 < 23 7 < 8</p><p>k k ≥ 3 2k + 1 < 2k</p><p>k + 1 : 2(k + 1) + 1 < 2k+1</p><p>2k + 1 + 2 < 2k + 2</p><p>n + 2 < 2n n ≥ 3</p><p>2(k + 1) + 1 < 2k + 2 < 2k ⋅ 2 ∴ 2(k + 1) + 1 < 2k+1</p><p>2n > n n ∈ N</p><p>n = 1 21 > 1</p><p>n = k</p><p>k ≥ 1, 2k > k</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 40/74</p><p>III. Etapa indutiva: precisamos mostrar que vale para</p><p>.</p><p>Partiremos do lado esquerdo dessa equação, , e buscaremos</p><p>chegar ao lado direito 1.</p><p>Começaremos por utilizar a propriedade do produto de potências de</p><p>mesma base: . Pela hipótese de indução, temos que</p><p>. Vamos substituir então:</p><p>Mas, e, ainda, . Assim, temos:</p><p>Ficamos então com , provando que a propriedade vale</p><p>para .</p><p>Dessa forma, pelo princípio da indução matemática, temos que</p><p>para todo .</p><p>Teoria na prática</p><p>Mostre que, para , é válido que</p><p>.</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Com relação aos subconjuntos dos números inteiros, e a noção de</p><p>elemento mínimo de um conjunto, analise as afirmativas abaixo:</p><p>I) O subconjunto possui</p><p>elemento mínimo: , pois, e .</p><p>II) O subconjunto possui</p><p>elemento mínimo: , pois, e .</p><p>III) O subconjunto possui</p><p>elemento mínimo: , pois, e .</p><p>k + 1 : 2k+1 > k + 1</p><p>2k+1</p><p>k+</p><p>2k+1 = 2k ⋅ 2</p><p>2k > k</p><p>2k+1 = 2k ⋅ 2 > k ⋅ 2</p><p>2k = k + k k ≥ 1</p><p>2k+1 = 2k ⋅ 2 > k ⋅ 2 = k + k ≥ k + 1</p><p>2k+1 > k + 1</p><p>k + 1</p><p>2n > n</p><p>n ∈ N</p><p>_black</p><p>∀ n ∈ N</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + n3 = ( n2</p><p>4 )(n + 1)2</p><p>Mostrar solução</p><p></p><p>A = {x ∈ N ∣ 5 < x < 10} ⊂ Z</p><p>minA = 6 6 ∈ A ∀x ∈ A, 6 ≤ x</p><p>A = {x ∈ N ∣ 3 < x < 15} ⊂ Z</p><p>minA = 3 3 ∈ A ∀x ∈ A, 3 ≤ x</p><p>A = {x ∈ N ∣ 7 ≤ x < 15} ⊂ Z</p><p>minA = 8 8 ∈ A ∀x ∈ A, 8 ≤ x</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 41/74</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20%5C(a_0%5C)%20%C3%A9%20um%20elemento%20m%C3%ADnimo%20do%2</p><p>paragraph'%3EI)%20Verdadeiro.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EII)%20Falso%2C%20pois%20%5C(3%20%5Cnotin%20A%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EIII)%20Falso.%20Existe%20um%20elemento%20de%20%5C(A%5C)%20que%20%C3%A9%20men</p><p>Questão 2</p><p>Considerando o princípio da boa ordenação, analise as afirmativas</p><p>a seguir.</p><p>I) O conjunto dos inteiros positivos é um</p><p>subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos</p><p>. Pelo princípio da boa ordenação, não</p><p>possui elemento mínimo.</p><p>II) O conjunto dos inteiros negativos é um</p><p>subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos</p><p>, não</p><p>possui elemento mínimo.</p><p>III) é um subconjunto não vazio do conjunto</p><p>dos inteiros não negativos . Pelo princípio da</p><p>boa ordenação, o conjunto possui elemento mínimo, .</p><p>Assinale a seguir a opção correspondente às afirmativas</p><p>verdadeiras.</p><p>A apenas I.</p><p>B I e II.</p><p>C apenas II.</p><p>D apenas III.</p><p>E II e III.</p><p>Z∗</p><p>+ = {x ∈ Z ∣ x > 0}</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>Z∗</p><p>− = {x ∈ Z ∣ x < 0}</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>A = {3, 9, 27, ⋯}</p><p>Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}</p><p>A 3 = minA</p><p>A Apenas III.</p><p>B Apenas II.</p><p>C Apenas I.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 42/74</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3ETemos%20que%20%5C(a_0%5C)%20%C3%A9%20elemento%20m%C3%ADnimo%20do%20subco</p><p>paragraph'%3EI)%20Falso.%20O%20conjunto%20dos%20inteiros%20positivos%20%5C(%5Cmathbb%7BZ%7D%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmat</p><p>paragraph'%3EII)%20Verdadeiro.%20O%20conjunto%20dos%20inteiros%20negativos%20%5C(%5Cmathbb%7B</p><p>%7D%5E*%3D%5C%7Bx%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cmid%20x%3C0%5C%7D%5C)%20%C3%A9</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmat</p><p>%7D%5E*%3D%5C%7Bx%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cmid%20x%3C0%5C%7D%3D%5C%7B%5C</p><p>3%2C-2%2C-</p><p>1%5C%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3C%2F</p><p>paragraph'%3EIII)%20Verdadeiro.%20%5C(A%3D%5C%7B3%2C9%2C27%2C%20%5Ccdots%5C%7D%5C)%20%C</p><p>Questão 3</p><p>Utilizando indução matemática para mostrar que , temos</p><p>que , analise as</p><p>afirmativas a seguir.</p><p>l) Para é válido. De fato, .</p><p>II) A hipótese de indução nos afirma que vale para :</p><p>.</p><p>III) Na etapa indutiva precisamos mostrar que vale para :</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>D I e III.</p><p>E II e III.</p><p>∀n ∈ N</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + n3 = ( n2</p><p>4 )(n + 1)2</p><p>n = 1 13 = ( 1</p><p>4 )(1 + 1)2 = 1</p><p>k</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 = ( k2</p><p>4 )(k + 1)2</p><p>(k + 1)</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = ( k+1</p><p>4 )(k + 2)</p><p>A apenas I.</p><p>B apenas II.</p><p>C I e II.</p><p>D III.</p><p>E I, II e III.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 43/74</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVamos%20mostrar%20que%20%5C(%5Cforall%20%5C%3Bn%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7</p><p>(n%2B1)%5E2%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EI)%20Para%20%5C(n%3D1%5C)%20%C3%A9%20v%C3%A1lido.%20De%20fato%2C%20%5C(1%5</p><p>(1%2B1)%5E2%3D1%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>paragraph'%3EII)%20Hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%3A%20vale%20para%20%5C(k%5C).%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%5</p><p>(k%2B1)%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3C</p><p>paragraph'%3EIII)%20Etapa%20indutiva%3A%20precisamos%20mostrar%20que%20vale%20para%20%5C(k%2B</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%5E3%</p><p>(k%2B1%2B1)%5E2%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B(k%2B1)%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)</p><p>(k%2B2)%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3C</p><p>Questão 4</p><p>Utilizando indução matemática, mostramos que se</p><p>é uma progressão aritmética de razão ,</p><p>temos que . Com essa informação, analise as</p><p>afirmativas a seguir.</p><p>I) Temos que é válido. De fato: .</p><p>II) A hipótese de indução nos afirma que vale para</p><p>.</p><p>III) Na etapa indutiva precisamos mostrar que vale para , ou</p><p>seja,</p><p>.</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EVamos%20mostrar%2C%20utilizando%20indu%C3%A7%C3%A3o%2C%20que%20se%20%5C(%5</p><p>1)%20r%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C</p><p>paragraph'%3EI)%20Temos%20que%20%5C(P(1)%5C)%20%C3%A9%20v%C3%A1lido.%20De%20fato%3A%20%</p><p>1)%20r%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C</p><p>paragraph'%3EII)%20Hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%3A%20vale%20para%20%5C(n%3Dk%</p><p>1)%20r%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C</p><p>paragraph'%3EIII)%20Etapa%20indutiva%3A%20precisamos%20mostrar%20que%20vale%20para%20%5C(n%3D</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_%</p><p>1)%20r%3Da_1%2Bk%20%5Ccdot%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>(a1, a2, ⋯ , an, ⋯) r</p><p>an = a1 + (n − 1)r</p><p>P(1) a1 = a1 + (1 − 1)r</p><p>k : ak = a1 + (k − 1)r</p><p>(k + 1)</p><p>ak+1 = ak + r = a1 + (k − 1)r + r = a1 + kr − r + r = a1 +</p><p>A apenas I.</p><p>B apenas II.</p><p>C I e II.</p><p>D apenas III.</p><p>E todas.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 44/74</p><p>paragraph'%3EIniciando%2C%20temos%20que%2C%20pela%20defini%C3%A7%C3%A3o%20de%20progress%C</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_%</p><p>paragraph'%3EPela%20hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_%7Bk%</p><p>1)%20r%2Br%3Da_1%2Bk%20r-</p><p>r%2Br%3Da_1%2Bk%20r%3Da_1%2B(k%2B1-</p><p>1)%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%24%3C%2Fp%</p><p>Questão 5</p><p>Utilizando indução matemática para mostrar que , temos</p><p>que . Com essa</p><p>informação, analise as afirmativas a seguir.</p><p>I) Para é válido. De fato, .</p><p>II) Hipótese de indução: vale para</p><p>.</p><p>III) Etapa indutiva: precisamos mostrar que vale para .</p><p>Iniciando a prova, somamos aos dois lados da igualdade</p><p>na hipótese de indução:</p><p>Colocando em evidência:</p><p>E a partir daí...</p><p>∀n ∈ N</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + n3 = ( n2</p><p>4 )(n + 1)2</p><p>n = 1 13 = ( 1</p><p>4 )(1 + 1)2 = 1</p><p>k : 13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 = ( k2</p><p>4 )(k + 1)2</p><p>k + 1</p><p>(k + 1)3</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = ( k2</p><p>4 )(k + 1)2 + (k + 1</p><p>(k + 1)2</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [( k2</p><p>4 ) + (k +</p><p>A</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [</p><p>B</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [</p><p>=(k + 1)2 1</p><p>4</p><p>(k2</p><p>C</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [</p><p>= (k + 1)2 (k2 + 4k + 4) = (k + 1)2(</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 45/74</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D%22c-</p><p>paragraph%20u-title--</p><p>medium%22%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da</p><p>video-</p><p>player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Dc1a25d099c9b427</p><p>video-</p><p>player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>Questão 6</p><p>A indução matemática possui teoremas utilizados para mostrar que</p><p>determinada proposição é válida, não a partir do 1, mas sim a partir</p><p>de um inteiro maior que 1. Encontrando o menor valor para o qual a</p><p>desigualdade é válida, obtemos</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EObserve%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3E%5C(P(1)%3D3-</p><p>1%3D2%5C).%20N%C3%A3o%20%C3%A9%20maior%20que%2020.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20</p><p>paragraph'%3E%5C(P(2)%3D3%20%5Ccdot%202%5E2-</p><p>2%3D10%5C).%20N%C3%A3o%20%C3%A9%20maior%20que%2020.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%2</p><p>paragraph'%3E%5C(P(3)%3D3%20%5Ccdot%203%5E2-</p><p>3%3D24%3E20%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20</p><p>D</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [</p><p>= (k + 1)(k +</p><p>E</p><p>13 + 23 + 33 + ⋯ + k3 + (k + 1)3 = (k + 1)2 [</p><p>=</p><p>(k + 1)</p><p>4</p><p>(k + 2)2</p><p>3n2 − n > 20</p><p>A 1.</p><p>B 2.</p><p>C 3.</p><p>D 4.</p><p>E 5.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 46/74</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Utilizando indução matemática para mostrar que , temos</p><p>que . Agora,</p><p>analise as afirmativas a seguir.</p><p>l) Para é válido. De fato,</p><p>.</p><p>II) Hipótese de indução: vale para</p><p>.</p><p>III) Etapa indutiva: precisamos mostrar que vale para</p><p>.</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EComo%20%5C(%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5C)%2C%20temos%20que%</p><p>(n%2B1)</p><p>(2%20n%2B1)%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EI)%20Para%20%5C(n%3D1%5C)%20%C3%A9%20v%C3%A1lido.%20De%20fato%2C%20%5C(1%5</p><p>(1%2B1)</p><p>(2%2B1)%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B6%7D%3D1%5C).%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>paragraph'%3EII)%20A%20hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%20vale%20para%20%5C(k%5C).%</p><p>paragraph'%3EIII)%20Na%20etapa%20indutiva%2C%20precisamos%20mostrar%20que%20vale%20para%20%5</p><p>paragraph%20c-</p><p>table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegi</p><p>(k%2B1%2B1)</p><p>(2(k%2B1)%2B1)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%</p><p>(k%2B2)</p><p>(2%20k%2B3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgath</p><p>∀n ∈ N</p><p>12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 = ( n</p><p>6 )(n + 1)(2n + 1)</p><p>n = 1</p><p>12 = ( 1</p><p>6 )(1 + 1)(2 + 1) = 6</p><p>6 = 1</p><p>k : 12 + 22 + 32 + ⋯ + k2 = ( k</p><p>6 )(k + 1)(2k + 1)</p><p>(k + 1) : 12 + 22 + 32 + ⋯ + k2+</p><p>(k + 1)2 = ( k+1</p><p>6 )(k + 2)(2k + 3)</p><p>A apenas I.</p><p>B apenas II.</p><p>C I e II.</p><p>D apenas III.</p><p>E todas.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 47/74</p><p>Questão 2</p><p>Utilizando indução matemática para mostrar que para</p><p>, considere as afirmações a seguir.</p><p>I) A desigualdade não vale para 1, 2, 3 e 4, mas sim para . De</p><p>fato, ou, ainda, .</p><p>II) A hipótese de indução nos afirma que vale para , vale</p><p>.</p><p>III) Na etapa indutiva precisamos mostrar que vale para</p><p>.</p><p>É correto o que está afirmado em</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-</p><p>paragraph'%3EMostrando%20que%20%5C(n%5E2%3C2%5En%5C)%20para%20%5C(n%20%5Cgeq%205%5C)%2</p><p>paragraph'%3EI)%20Para%20%5C(n%3D5%5C)%20%C3%A9%20v%C3%A1lido.%20De%20fato%2C%20%5C(5%5</p><p>paragraph'%3EII)%20Hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%3A%20vale%20para%20%5C(k%5C).%</p><p>paragraph'%3EIII)%20Etapa%20indutiva%3A%20vale%20para%20%5C(k%2B1%3A(k%2B1)%5E2%3C2%5E%7Bk</p><p>paragraph'%3EPartindo%20do%20lado%20esquerdo%20da%20desigualdade%20e%20usando%20produtos%20</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(k%</p><p>paragraph'%3EUsando%20a%20hip%C3%B3tese%20de%20indu%C3%A7%C3%A3o%2C%20%5C(k%5E2%3C2%5</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(k%</p><p>paragraph'%3EUsando%20o%20resultado%20%5C(2%20k%2B1%3C2%5Ek%5C)%20para%20%5C(k%20%5Cgeq</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(k%</p><p>paragraph'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(k%</p><p>n2 < 2n</p><p>n ≥ 5</p><p>n = 5</p><p>52 < 25 25 < 32</p><p>k ≥ 5</p><p>k2 < 2k</p><p>(k + 1) : (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 < 2k + 2k < 2 ⋅ 2k < 2k+1</p><p>A apenas I.</p><p>B II e III.</p><p>C I e II.</p><p>D apenas III.</p><p>E todas.</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 48/74</p><p>3 - Relação de divisibilidade no conjunto dos números inteiros</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de discutir a relação de divisibilidade no conjunto dos</p><p>números inteiros.</p><p>Conjuntos dos inteiros e divisibilidade</p><p>Descubra neste vídeo o que são os conjuntos dos números inteiros e</p><p>como os critérios de divisibilidade se aplicam a esse conjunto.</p><p>Relação de divisibilidade em</p><p>Consideremos dois inteiros e , sendo . Podemos dizer que</p><p>divide , se e somente se, existe um inteiro de modo que .</p><p>Se divide é um divisor de , ou é múltiplo de , ou é um fator</p><p>de ou, ainda, é divisível por .</p><p>Utilizamos a notação para sinalizar que divide , sendo .</p><p>Já a notação é utilizada para sinalizar que não divide , sendo</p><p>.</p><p>Exemplo</p><p>Temos:</p><p>, pois .</p><p>Z</p><p>a b a ≠ 0 a</p><p>b q b = aq</p><p>a b, a b b a a</p><p>b b a</p><p>a ∣ b a b a ≠ 0</p><p>a ∤ b a b</p><p>a ≠ 0</p><p>2 ∣ 10 10 = 2 ⋅ 5</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 49/74</p><p>, pois .</p><p>, pois .</p><p>, pois não existe um inteiro de modo que .</p><p>Importante observar que as notações e são distintas. Enquanto</p><p>significa que 2 divide 6, em temos a fração que resulta na</p><p>divisão de 6 por 2 resultando em 3.</p><p>Com isso, podemos afirmar que, se é um divisor de , então</p><p>também é um divisor de . Para demonstrar tal afirmação, suponha</p><p>um divisor de . Então, pela definição, existe um inteiro de modo que</p><p>.</p><p>Ou ainda, temos que . Assim, existe um inteiro de</p><p>modo que . Dessa forma, também é um divisor de .</p><p>Toda essa discussão nos faz crer que os divisores de um inteiro</p><p>qualquer são agrupados dois a dois iguais, em valores absolutos e</p><p>simétricos. Para que entendamos melhor, vamos olhar os teoremas</p><p>descritos a seguir.</p><p>Teoremas</p><p>Considere e inteiros quaisquer. Temos que:</p><p>Vimos então que a relação de divisibilidade apresenta as propriedades</p><p>reflexiva e transitiva. No entanto, não podemos dizer que a divisibilidade</p><p>é simétrica. De fato, por exemplo, ainda que saibamos que , temos</p><p>que .</p><p>−5 ∣ 20 20 = (−5) ⋅ (−4)</p><p>3 ∣ −18 −18 = 3 ⋅ (−6)</p><p>2 ∤ 19 q 19 = 2q</p><p>2 ∣ 6 6</p><p>2</p><p>2 ∣ 6 6</p><p>2</p><p>a b −a</p><p>b a</p><p>b q</p><p>b = aq</p><p>b = (−a)(−q) (−q)</p><p>b = (−a)(−q) −a b</p><p>a, b c</p><p>(1) a ∣ 0 </p><p>(2) 1 ∣ a </p><p>(3) Propriedade reflexiva: a ∣ a </p><p>(4) Se , então ou a ∣ 1 a = 1 a = −1 </p><p>(5) Propriedade transitiva: Se e se , então a ∣ b b ∣ c a ∣ c </p><p>(6) Se e se , então ou a ∣ b b ∣ a a = b a = −b </p><p>(7) Se e se , então a ∣ b a ∣ c a ∣ (bx + cy), ∀x, y ∈ Z </p><p>2 ∣ 10</p><p>10 ∤ 2</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 50/74</p><p>Divisores de um inteiro</p><p>Conjunto dos divisores de um número</p><p>inteiro</p><p>Chamamos de conjunto dos divisores de um inteiro qualquer ao</p><p>conjunto dos números inteiros não nulos que dividem :</p><p>Exemplo 1</p><p>Os divisores de 1:</p><p>De fato, divide 1, se e somente se, existir um inteiro de modo</p><p>que , ou seja, .</p><p>Exemplo 2</p><p>Os divisores de 2:</p><p>De fato, divide 2, se e somente se, existir um inteiro de modo</p><p>que , ou seja, .</p><p>Exemplo 3</p><p>Os divisores de 30:</p><p>Para os divisores de 30, utilizaremos um dispositivo prático. Para</p><p>determinarmos os divisores positivos de um número, precisamos,</p><p>primeiramente, decompor o número em fatores primos. Vamos então às</p><p>etapas para definir esses divisores positivos.</p><p>1. Decomposição do número em fatores primos</p><p>D(a) a</p><p>a</p><p>D(a) = {x ∈ Z∗|x|a}</p><p>D(1) = {x ∈ Z∗|x|1} = {−1, 1}</p><p>x ∣ 1 : x q</p><p>1 = xq {−1, 1}</p><p>D(2) = {x ∈ Z∗|x|2} = {−2, −1, 1, 2}</p><p>x ∣ 2 : x q</p><p>2 = xq {−2, −1, 1, 2}</p><p>D(30) = {x ∈ Z∗|x|30}</p><p>23/04/2024, 19:15 Números inteiros, relação de divisibilidade e algoritmo da divisão</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/40913/index.html?brand=estacio# 51/74</p><p>Criamos duas colunas, de modo que, na coluna à esquerda fiquem os</p><p>quocientes obtidos, abaixo do número que estamos fatorando, e, na</p><p>coluna à direita, os divisores primos.</p><p>Vamos iniciar colocando o número a ser fatorado, o 30, na coluna à</p><p>esquerda. Dividindo o número pelo seu menor divisor primo, no caso, o 2</p><p>(colocado na coluna à esquerda ao lado do 30), obtemos o quociente 15</p><p>(colocado na coluna à esquerda abaixo do 30). A seguir, dividimos o</p><p>quociente obtido, 15, pelo seu menor divisor primo, o 3.</p><p>Continuamos esse procedimento até que encontremos um quociente</p><p>primo. Quando o dividimos pelo seu menor</p>