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Prof. Joares Junior UNIDADE IV Física Moderna Mesmo obtendo vários sucessos, a antiga teoria quântica (1900 - 1920) tinha sérios problemas conceituais. Na verdade, era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica. Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário sobre a teoria de Broglie. Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron, se não havia nenhuma equação de onda. Na sequência, Erwin Schrödinger publicou a sua equação que governa a propagação das ondas de matéria. Essa equação, hoje tão famosa, permitiu prever corretamente resultados experimentais em física atômica, molecular e nuclear. A equação de Schrödinger Para uma dimensão a equação de Schrödinger deve ser compatível com os postulados de Broglie: Com a relação para a energia: A equação de Schrödinger para uma dimensão é: A equação de Schrödinger A solução da equação de Schrödinger é a função de onda: Ψ(x,t). As funções de onda que satisfazem a equação de Schrödinger não são necessariamente reais. Esse fato indica que não devemos atribuir às funções de onda uma existência física. A função de onda Ψ(x,t) que satisfaz a equação de Schrödinger não é uma função diretamente mensurável. As funções de onda possuem todas as informações, respeitadas as leis da mecânica quântica, que podemos saber a respeito de um sistema físico. Função de onda - Interpretação de Born A densidade de probabilidade é a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula próxima a x no tempo t. De acordo com Max Born: O postulado de Born pode ser escrito como: “se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda Ψ(x,t), então a probabilidade P(x,t)dx de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx é igual a Ψ* (x,t) .Ψ(x,t) dx”. Função de onda - Interpretação de Born Uma partícula deve necessariamente estar em alguma coordenada (x, para uma dimensão), assim temos uma condição que a função de onda deve satisfazer: Apesar de a integral acima estar relacionada à probabilidade, essa condição permite impor uma restrição matemática às possíveis soluções da equação de Schrödinger. Função de onda - Interpretação de Born - Normalização Para situações em que a energia potencial não depende da variável tempo, a parte da variável tempo e da variável espaço na equação de onda pode ser separada. Levada na equação de Schrödinger podemos escrever a solução para a parte temporal: Função de onda - Separação das funções de tempo e espaço A equação de Schrödinger independentemente do tempo: As soluções dessa equação são chamadas de autofunções e devem satisfazer a condição: Equação de Schrödinger independente do tempo As condições que as autofunções (𝜓 𝑥 ) devem satisfazer são: 1) ψ (x) deve existir e satisfazer a equação de Schrödinger; 2) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem existir e serem contínuas; 3) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem existir e serem finitas; 4) ψ (x) e (dψ(x) )/dx devem ser unívocas; 5) ψ (x) deve ser quadraticamente integrável, para satisfazer a condição de normalização. Equação de Schrödinger independente do tempo - Autofunções Considere as seguintes funções ψ (x)= x (0<x< ∞), ela: a) pode ser uma autofunção. b) não é contínua. c) não é definida no intervalo. d) não pode ser uma autofunção por não ser quadraticamente integrável. e) não possui a primeira derivada. Interatividade d) não pode ser uma autofunção por não ser quadraticamente integrável. Verificando se a função é quadraticamente integrável: Por não ser quadraticamente integrável a função dada não pode ser uma autofunção na região considerada. Resposta Essa situação também é chamada de partícula em uma caixa. Matematicamente podemos considerar a função de energia potencial da seguinte forma: Como a energia potencial é infinita do lado de fora do poço isso significa que a partícula não pode deixar o poço. A função de onda deverá ser necessariamente nula nessa região. O Poço quadrado infinito Fonte: Livro-texto Para a região interna do poço, ou seja, para 0<x<L. Condições de contorno: A equação de Schrödinger para a região interna do poço: Comparando com a equação do MHS: Fazendo: O Poço quadrado infinito - Solução 𝜓 0 = 𝜓 𝐿 = 0 Solução proposta: a mesma do MHS. Os valores das constantes de integração (A e B) são determinados pelas condições de contorno dadas. Para a condição teremos: Assim a função de onda passa a ser: O Poço quadrado infinito - Solução Para a condição teremos: Essa condição para os valores de k levam à quantização da energia da partícula dentro do poço: Para n=1 assim podemos escrever: O Poço quadrado infinito - Solução O diagrama de energia do poço quadrado infinito é: O sistema pode passar do nível n para um m, de energia menor, emitindo um fóton de energia: O nível de energia mais baixa é chamado de estado fundamental. O Poço quadrado infinito - Solução Fonte: Livro-texto Energia 25E1 16E1 9E1 4E1 E1 0 n 5 4 3 2 1 V=0 L x Para determinar a constante de normalização, considerando: Usando substituição trigonométrica: O Poço quadrado infinito - Solução As autofunções que são soluções do poço quadrado infinito são: O número quântico “n” (inteiro) especifica a autofunção de onda e a sua energia correspondente. O Poço quadrado infinito - Solução - Autofunções Fonte: Livro-texto Considere um elétron de massa 9,11 × 10−31𝑘𝑔 confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L=0,1 nm (aproximadamente o tamanho de um átomo) no seu nível fundamental. A energia desse nível será: a) 37,9 eV b) 2,2 eV c) 158,7 eV d) 9,4 KeV e) 0,783 MeV Interatividade a) 37,9 eV Para encontrarmos esse valor, voltemos à expressão: Para o nível fundamental n=1, assim: Resposta Consideremos uma partícula submetida a uma energia potencial do tipo função degrau. Considerando a condição que a energia da partícula seja menor que o “degrau”. O degrau de potencial Fonte: Livro-texto Fonte: Livro-texto Imaginemos que a partícula esteja se movendo na região em que x<0 em direção a x=0, na qual o potencial muda abruptamente. Temos que encontrar a solução da equação de Schrödinger para E<V0 nas duas regiões. Para a região x<0, temos a equação: Para a região x>0, temos a equação: O degrau de potencial Para a região x<0, a solução da equação é da forma de funções harmônicas que podem ser escritas como funções exponenciais complexas: Para a região x>0, a solução é do tipo função exponencial, como: O degrau de potencial Estudemos o comportamento das soluções para as duas regiões: Para 𝑥 → +∞ (x>0), a função de onda deve tender a zero, por causa dessa condição, a constante C deve ser nula (C=0), assim teremos: Para a continuidade, temos que estudar o comportamento da função de onda e de sua primeira derivada em x=0. O degrau de potencial Para a continuidade da derivada da função, teremos: Para x=0, implica: Resolvendo o sistema formado pelas duas equações em função do parâmetro D, escrevemos: O degrau de potencial Para a região x<0, temos uma onda harmônica se propagando em sentido da posição x=0 (como se a partícula se encaminhasse para essa posição) e outro termo relacionado a uma onda harmônica se propagando no sentido de x decrescente (como se a partícula tivesse sido refletida na barreira depotencial). Coeficiente de reflexão: a razão da amplitude das ondas refletidas pela amplitude das ondas incidentes. O degrau de potencial Isso significa que para uma partícula incidente sobre o degrau de potencial, com energia menor do que a altura do degrau, tem probabilidade igual a um de ser refletida (ou seja, é sempre refletida). Essa afirmação é compatível com as ideias da Física Clássica. Mas, quanticamente nem todas as partículas serão refletidas exatamente em x=0. Ocorre o fenômeno de penetração da região classicamente proibida. É importante entendermos que a penetração não significa que a partícula seja mantida na região classicamente proibida. O degrau de potencial Fonte: Livro-texto Como a razão é que e-2k2x cai rapidamente a zero quando x é muito maior que aproximamos: O comprimento de penetração na barreira de potencial é: O degrau de potencial Fonte: Livro-texto Considere uma partícula de poeira com massa, aproximadamente, igual a 4,0.10-14 kg, se movendo com velocidade muito baixa, próxima de 10-2 m/s. Se essa partícula atinge um degrau de potencial de altura duas vezes a sua energia cinética, vinda da região à esquerda do potencial (livre de sua ação), ela penetrará um comprimento próximo de: a) 2.10-19 m b) 7. 10-16 m c) 3. 10-12 m d) 6 . 10-11 m e) 2 . 10-10 m Interatividade a) 2.10-19 m Calculando a energia cinética: Usando a expressão: Resposta Na mecânica quântica, a função de onda solução da equação de Schrödinger está relacionada à densidade de probabilidade. O valor esperado de qualquer função f(x) é definido como: Como a função de onda contém informações a respeito do comportamento quântico da partícula, precisamos, a partir da função de onda, extrair informações de grandezas mensuráveis associadas à partícula. Valores esperados e operadores A partir da função de onda, precisamos extrair informações de grandezas mensuráveis associadas à partícula, para tal, definimos o operador. O operador é, como o nome diz, uma operação que deve ser feita na função de onda e representa a grandeza física observável. Por exemplo, para o momento linear, o operador é: Para calcular o valor esperado do momento linear de uma partícula, devemos “operar” na função de onda da seguinte forma: Valores esperados e operadores Tabela com operadores da MQ: Valores esperados e operadores Símbolo Grandeza Operador f(x) Qualquer função de x, como posição x ou a energia potencial V(x) f(x) px Componente x do momento py Componente y do momento pz Componente z do momento Ec Energia cinética H Hamiltoniano (energia total) dependente do tempo H Hamiltoniano (energia total) independentemente do tempo Fonte: livro-texto Exemplo: considere a função de onda do poço de potencial infinito no estado fundamental (n = 1). Determine o valor esperado do momento linear. Como, para esse estado, a partícula possui probabilidade igual de se mover para a esquerda e para a direita, o momento médio é nulo. Valores esperados e operadores Para o estado fundamental da função de onda do poço de potencial infinito, o valor esperado da energia cinética é: a) b) Interatividade c) d) e) a) Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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