Cálculo e Geometria Analítica

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Cálculo e Geometria Analítica
 Introdução
 Tabela
 Tratamento Geométrico
O conceito de derivada está intimamente relacionado
à taxa de variação instantânea de uma função, o qual
está presente no nosso cotidiano, através, por
exemplo da determinação da:
 taxa de crescimento de uma certa população,
 taxa de crescimento econômico do país, 
 taxa de redução da mortalidade infantil,
 taxa de variação de temperaturas, 
 velocidade de corpos ou objetos em movimento. 
Poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que
apresentam uma função variando e que a medida
desta variação se faz necessária em um determinado
momento.
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
secantef(x)
Um problema que se apresenta é 
a determinação da equação da
reta tangente a curva de f(x) no 
ponto P=(x0,f(x0))
Seja h um acréscimo na variável x e considerando o ponto Q=(x0+h,f(x0+h))
fica assim determinada a reta secante PQ
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
secante
s
f(x)
R
O coeficiente angular ms dessa
reta pode ser calculado no 
triângulo retângulo PRQ
 stgms
s

ca
co

PR
QR    
 



00
00
xhx
xfhxf    



00
00
xhx
xfhxf
   
h
xfhxf
ms 00


P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
secantef(x)
Quando h tende a zero, o ponto Q tende ao ponto P
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
f(x)
Quando h tende a zero, o ponto Q tende ao ponto P
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
f(x)
Quando h tende a zero, o ponto Q tende ao ponto P
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
tangente
t
f(x)
Quando h tende a zero, o ponto Q tende ao ponto P, e a Reta Secante PQ 
tende a ser a reta tangente a curva no ponto P
P
f(x0)
x0
y
x
Q
x0+h
f(x0+h)
tangente
t
f(x)
mslimmt
0h

   
h
xfhxf
limmt 00
0h



Logo o coeficiente angular da Reta Tangente mt será:
   
h
xfhxf
ms 00


Vimos, pela definição: 
f(x)=x² → f’(x) = 2x
Se tivermos as derivadas das principais funções
elementares...
Poderemos achar as derivadas de muitas
funções sem termos de recorrer à definição
(que muitas vezes pode ser trabalhoso).
 Derivada da função constante
Se f(x) = c ,então f’(x) = 0, para todo x
nx
 Derivada da função potência
Se f(x) = 1nx.n ,então f’(x) = 
 Para outras funções – ver TABELA DE DERIVADAS 
(Pág. 19)
Sejam f e g funções deriváveis e seja k  R 
então valem as regras. 
  )x(g)x(f)x(g)x(f 
  )x(f.k)x(f.k 
Regra da Soma
x
1
xx)x(f 34 
Regra da constante x função
2x.3)x(f)a  x.6)x(f)b 