TABELA de Cônicas, Superfícies Quádricas e Mudança de Coordenadas

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
CÔNICAS 
a)Parábola 
2 2px y=
 
2 2py x=
 
2( h) 2p( k)x y− = −
 
2( k) 2p( h)y x− = −
 
2a b cy x x= + +
 
2a b cx y y= + +
 Eq. Explícitas 
b)Elipse e Circunferência 
1
ba 2
2
2
2
=+
yx
 
2 2
2 2 1b a
x y
+ =
 
2 2
2 2
( h) ( k) 1
a b
x y− −
+ =
 
2 2
2 2
( h) ( k) 1
b a
x y− −
+ =
 
2 2 2a b c= +
 
2 2 2
= rx y+
 , r = raio cfa. 
c)Hipérbole 
2 2
2 2 1a b
x y
− =
 
2 2
2 2 1a b
y x
− =
 
2 2
2 2
( h) ( k) 1
a b
x y− −
− =
 
2 2
2 2
( k) ( h) 1
a b
y x− −
− =
 
2 2 2c a b= +
 
2 2a b c d +f = 0x y x y+ + +
 
b
a
y x= ±
 
a
b
y x= ±
 
bk ( h)
a
y x− = ± −
 
ak ( h)
b
y x− = ± −
 Assíntotas, na mesma ordem das Equações 
 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
a)Elipsóides e Esfera 
2 2 2
2 2 2 1b b c
x y z
+ + =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
+ + =
 
2 2 2
2 2 2
( h) ( k) ( n) 1
a b c
x y z− − −
+ + = Centro C(h, k, n). 2 2 2 2ax y z+ + = ,a = raio 
b)Hiperbolóide de Uma Folha 
2 2 2
2 2 2 1b b c
x y z
+ − =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
+ − =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
− + =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
− + + =
 
c)Hiperbolóide de Duas Folha 
2 2 2
2 2 2 1b b c
x y z
− − + =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
− − + =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
− − =
 
2 2 2
2 2 2 1a b c
x y z
− + − =
 
d)Parabolóide Elíptico 
2 2
2 2b b
x y
z = +
 
2 2
2 2a b
x y
z = +
 
2 2
2 2a c
x zy = +
 
2 2
2 2b c
y z
x = +
 
e)Parabolóide Hiperbólico 
2 2
2 2a b
x y
z = −
 
2 2
2 2a c
x zy = −
 
2 2
2 2b c
y z
x = −
 
2 2
2 20; 0 0, Duas retas.a b a b a b
x y x y x y
z
  
= − =  − + =  
  
 
f)Superfície Cônica 
2 2
2
2 2b b
x y
z = +
 
2 2
2
2 2a b
x y
z = +
 
2 2
2
2 2a c
x zy = +
 
2 2
2
2 2b c
y z
x = +
 
 
COORDENADAS POLARES 
cos( )
 sen( )
x r
y r
θ
θ
=

=
 
2 2r x y= ± +
 
 θ arc tg( )y x=
 
 
COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
2 2
(r,θ, ) ( , , ) r cos(θ), y r sen(θ), 
( , , ) (r,θ, ) r , tg(θ) , 
z x y z x z z
x y z z x y y x z z
 = = =
 = + = =
 
r 0
0 θ 2π
≥
 ≤ ≤
 
2 2
(ρ,θ, ) (r,θ, ) ρ sen( ), θ θ, ρ cos( )
(r,θ, ) (ρ,θ, ) ρ r , θ θ, tg( ) r
z r z
z z z
φ φ φ
φ φ
 = = =
 = + = =
 
r 0, ρ 0
0 θ 2
0
π
πφ
≥ ≥
 ≤ ≤
 ≤ ≤
 
2 2 2 2 2 2
(ρ,θ, ) ( , , ) ρ sen( ) cos(θ), ρ sen( ) sen(θ), ρ cos( )
( , , ) (ρ,θ, ) ρ , tg(θ) , cos( )
x y z x y z
x y z x y z y x z x y z
φ φ φ φ
φ φ
 = = =
 = + + = = + +
 
r 0, ρ 0
0 θ 2
0
π
πφ
≥ ≥
 ≤ ≤
 ≤ ≤