Processos estocásticos

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Professor: Kairo de Barros Guimarães 
PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
Unidade 1 
PÓS AULA U1S3 
Distribuição Poisson 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
• Distribuição de Poisson: 
Seja X o número de eventos que ocorrem 
durante uma unidade de tempo especificada. 
Dado que  é uma constante conhecida, a 
função de distribuição de Poisson, é definida 
por 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
 
𝑘 = 0, 1, 2, … 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
• Distribuição de Poisson: 
A média e a variância da distribuição de 
Poisson, são: 
E(X) =  
Var(X) =  
A fórmula para a média revela que  deve 
representar a taxa à qual os eventos ocorrem. 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
Exemplo 1: Pequenos motores chegam para 
conserto em uma oficina mecânica de modo 
totalmente aleatório a uma taxa de 10 por dia. 
 
a) Qual é o número médio de motores para 
conserto recebido diariamente na oficina? 
 
O número médio de motores recebido por dia é 
igual a  = 10 serviços por dia. 
 
 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
b) Qual é a probabilidade de não chegar nenhum 
motor para conserto em 1h, considerando que a 
oficina está aberta 8h por dia? 
 
Para calcular a probabilidade de nenhum motor 
chegar em uma hora, precisamos calcular a taxa de 
chegada por hora, ou seja: 
 
hora = 10/8 = 1,25 serviços por hora. 
 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
Assim, 
𝑃 nenhuma chegada por hora
=
(𝜆ℎ𝑜𝑟𝑎)
0𝑒−𝜆ℎ𝑜𝑟𝑎
0!
 
Ou seja, 
 
𝑃 𝑋 = 0 =
(1,25)0𝑒−1,25
0!
= 0,2865 
 
Exemplo 2: Clientes chegam a uma prestadora de 
serviços conforme uma distribuição de Poisson à 
taxa de 4 por minuto. Qual é a probabilidade de, no 
mínimo, 1 cliente chegar em qualquer intervalo de 
30 segundos? 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
Temos que calcular a taxa de chegada em 30 
segundos: 
30s = 0,5min 
Logo, 
𝜆30𝑠 = 𝜆𝑚𝑖𝑛 × 0,5𝑚𝑖𝑛 
𝜆30𝑠 = 4 × 0,5 = 2 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
Logo, 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 
2𝑥𝑒−2
𝑥!
∞
𝑥=1
 
Ou, 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −
20𝑒−2
0!
 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑒−2 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 0,8646 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
Exemplo 3: Clientes chegam aleatoriamente a 
uma caixa registradora à taxa de 20 por hora (). 
(a) Determine a probabilidade de a caixa estar 
desocupada. 
(b) Qual é a probabilidade de haver, no mínimo, 
duas pessoas na fila esperando atendimento? 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
(a) 
𝑃 𝑋 = 0 =
200𝑒−20
0!
 
𝑃 𝑋 = 0 = 𝑒−20 
𝑃 𝑋 = 0 ≅ 0 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
(b) Para que, pelo menos duas pessoas 
estejam na fila, é necessário que uma 
esteja sendo atendida. Portanto, o sistema 
deve estar com, no mínimo, três clientes. 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
(b) 
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) 
 
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 
20𝑥𝑒−20
𝑥!
2
𝑥=0
 
Revisão: Probabilidade e Estatística 
(b) 
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) 
 
𝑃 𝑋 ≥ 3
= 1 −
200𝑒−20
0!
+
201𝑒−20
1!
+
202𝑒−20
2!
 
𝑃 𝑋 ≥ 3 ≅ 1 
Revisão: Probabilidade e Estatística