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Vetores e Geometria Analítica
Caderno de Exercícios - 2017.1
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
1 Dependência e Independência Linear
1. Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um
desenho ilustrando tal situação.
2. Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u −
#«v e #«u + #«v + #«w também são LI.
3. Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u/2 + 5 #«v } é LD ou LI. Justifique.
4. Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que:
(a) Se { #«u , #«v , #«w} é LI, então { #«u + #«v + #«w, #«u − #«v , 3 #«v } também é LI.
(b) { #«u − 2 #«v + #«w, 2 #«u + #«v + 3 #«w, #«u + 8 #«v + 3 #«w} é LD.
5. Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 # «BM = 7 # «MC . Verifique que
os vetores # «AM , # «AB e # «AC são LD.
Sugestão: Escreva o vetor # «AM em função de # «AB e # «AC .
6. Sejam ABC um triângulo arbitrário,M o ponto médio do lado AB e N um
ponto em AC . SabendoMN é paralelo ao lado BC , mostre queN é o ponto
médio do lado AC .
7. Seja { #«u , #«v , #«w} LI. Mostre que são LI:
(a) { #«u + #«v + #«w, #«u − #«v , 3 #«v }
(b) { #«u + #«v , #«u − #«w, #«v + #«w}
8. Mostre que { #«u − 2 #«v + #«w, 2 #«u + #«v + 3 #«w, #«u + 8 #«v + 3 #«w} é LD, quaisquer
que sejam #«u , #«v , #«w ∈ V3.
1
2 Base
1. SejaE uma base deV3. Dado um vetor #«u , mostre que existe uma única tripla
ordenada (a, b, c) de números reais tais que
#«u = (a, b, c)E.
2. Fixemos uma base E de V3. Dados #«u = (a1, b1, c1)E , #«v = (a2, b2, c2)E e
α ∈ R, mostre que:
(a) #«u + #«v = (a1 +a2, b1 + b2, c1 +
c2)E
(b) α #«u = (αa1, αb1, αc1)E
3. Seja E uma base de V3. Sendo #«u = (1,−1, 3)E , #«v = (2, 1, 3)E e #«w =
(−1,−1, 4), verifique se #«w é combinação linear de #«u e #«v .
4. Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD:
(a) #«u = (1, 2, 3) e #«v = (2, 1, 1) (b) #«u = (1, 7, 1) e #«v =
(1/2, 7/2, 1/2)
5. Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e
#«w = (x3, y3, z3)E são LI se, e somente se,∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
6. Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2, 1)E , #«v = (0, 1, 3)E e
#«w = (0,−1, 3)E são LI ou LD.
7. Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e
#«
f 1 = 2
#«e 1 − #«e 2, #«f 2 = #«e 1 − #«e 2 + 2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1 + 2 #«e 3,
pode-se dizer que ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) também é base de V3? Justifique.
8. Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e
#«
f 1 =
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«
f 2 =
#«e 1 +
#«e 2,
#«
f 3 =
#«e 3,
decida se F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
2
9. (Teorema de Pitágoras) Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e
somente se,
‖ #«u + #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 + ‖ #«v ‖2
10. Seja E uma base ortonormal. Dado #«u = (a, b, c)E , mostre que ‖ #«u‖ =√
a2 + b2 + c2.
11. Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1, 2, 2) seja combinação
linear de #«v = (m − 1, 1,m − 2) e #«w = (m + 1,m − 1, 2). Em seguida,
determine m para que { #«u , #«v , #«w} seja LD.
12. Seja OABC um tetraedro, eM o ponto médio de BC .
(a) explique por que ( # «OA, # «OB, # «OC) é uma base.
(b) determine as coordenadas de # «AM nesta base.
3 Mudança de base
1. Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base de V3, e defina
#«
f 1 =
#«e 1 − #«e 2
#«
f 2 =
#«e 3
#«
f 3 =
#«e 2 +
#«e 3
(a) Mostre que F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
(b) Encontre a matriz de mudança de E para F .
(c) Se #«v = (1,−1, 3)F , determine as coordenadas de #«v na base E .
(d) Se #«u = (1,−1, 3)E , determine as coordenadas de #«u na base F .
2. Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se que M é a matriz de mudança de E
para F , mostre queM é inversível e queM−1 é a matriz de mudança de F
para E .
3. Sejam E , F e G bases de V3 e suponha queMEF eMFG são as matrizes de
mudança de E para F e, de F para G, respectivamente. SeMEG é a matriz
de mudança de E para G, mostre que
MEG = MEF ·MFG.
3
4. Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3)
são bases, onde
#«e 1 =
#«
f 1 + 2
#«
f 2
#«e 2 =
#«
f 1 − #«f 3
#«e 3 =
#«
f 2 +
#«
f 3
e

#«g 1 =
#«e 1 − 2 #«e 2
#«g 2 =
#«e 1 +
#«e 3
#«g 3 =
#«e 2 − #«e 3
Encontre as matrizes de mudanças de
(a) E para F ;
(b) F para G;
(c) E para G;
(d) F para E ;
(e) G para F ;
(f) G para E .
5. Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina
#«
f 1 =
#«e 1 − 3 #«e 2
#«
f 2 =
#«e 2 +
#«e 3
#«
f 3 =
#«e 1 − #«e 2
(a) Mostre que F = ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
(b) Sendo #«u = 3 #«e 1 +4 #«e 2− #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação
à base F .
6. Amatriz demudança da baseE = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) para a baseF = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3)
é
M =
1 0 10 1 0
1 0 −1
 .
(a) Exprima os elementos de F em termos da base E .
(b) Exprima os elementos de E em termos da base F .
4 Ângulo entre vetores e Produto Escalar
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal.
1. Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que
#«u ·( #«v+ #«w) = #«u · #«v+ #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade)
2. Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0.
4
3. Se #«u = (2, 1,−1) e #«v = (1,−1, 2), encontre um vetor não nulo #«w tal que
#«u · #«w = #«v · #«w = 0.
4. Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais:
(a) #«u = (x+ 1, 1, 2), #«v = (x− 1,−1,−2);
(b) #«u = (x, x, 4), #«v = (4, x, 1);
(c) #«u = (x,−1, 4), #«v = (x,−3, 1).
5. Seja #«v = (2, 3,−1) e #«w = (2,−4, 6).
(a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖ #«u‖ = 3√3, #«u⊥ #«v e
#«u⊥ #«w .
(b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o
vetor (1, 0, 0)?
6. Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
7. Se A,B,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
# «
AB · # «BC + # «BC · # «CA+ # «CA · # «AB.
8. Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖ #«u‖ = 3/2, ‖ #«v ‖ = 1/2, ‖ #«w‖ = 2, calcule
#«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u .
9. (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈ V3. Mostre que
| #«u · #«v | ≤ ‖ #«u‖ · ‖ #«v ‖
10. Seja ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal. Dado #«u ∈ V3, mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1 + ( #«u · #«e 2) #«e 2 + ( #«u · #«e 3) #«e 3.
11. Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um
único par ( #«w1, #«w2) de vetores tal que #«w1// #«v , #«w1 ⊥ #«v e #«w1 + #«w2 = #«w ;
#«w1 chama-se projeção de #«w na direção de #«v (ou sobre #«v ). Notação: #«w1 =
proj #«v
#«w .
12. Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v
#«w =
#«w · #«v
‖ #«v ‖2
#«v . Conclua
que proj #«v
#«w = ( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário.
5
13. Dada uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), mostre que, para todo #«u ∈ V3,
#«u = proj #«e 1
#«u + proj #«e 2
#«u + proj #«e 3
#«u
14. Dada a base ( #«e 1, #«e 2, #«u ), onde #«e 1 e #«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha
uma vetor #«e 3 tal que ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é uma base ortonormal.
15. (Processo de ortonormalizaçãodeGram-Schmidt) Dada a base ( #«f 1,
#«
f 2,
#«
f 3),
encontre uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que #«e 1 ‖ #«f 1 e #«e 2 seja com-
binação linear de #«f 1 e
#«
f 2.
16. Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se MM t = M tM =
I (matriz identidade). Sejam E e F bases ortonormais de V3. Mostre que
a matriz de mudança de E para F é ortogonal. Conclua que, neste caso,
MFE = M
t
EF e | detMEF | = 1.
17. (Trabalho) O produto escalar é uma importante ferramenta para a Física, uma
vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seuemprego, como, por
exemplo, o trabalho. O trabalho realizado por uma força constante #«F ao longo
de um determinado deslocamento #«d é definido como o produto escalar dessa
força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada.
A grandeza física trabalho, denotada por W , é uma grandeza escalar e tem
como unidade de medida no Sistema Internacional o joule, denotado por J .
A expressão para o cálculo do trabalhoW é
W = #«F · #«d = ‖ #«F ‖·‖ #«d ‖ cos θ e 1 J = 1 N · m (1 Newton vezes 1 metro)
18. Observando a figura acima, calcule o trabalho realizado pela força #«F para
deslocar a caixa de vermelho deA atéB, sabendo que ‖ #«F ‖ = 10N , ‖ # «AB‖ =
20m e θ = pi/6.
6
5 Orientação
6 Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal
positiva.
1. (Identidade de Lagrange) Prove que ‖ #«u ∧ #«v ‖2 = ‖ #«u‖2‖ #«v ‖2 − ( #«u · #«v )2.
2. Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que
‖ #«u ∧ #«v ‖ = ‖ #«u‖ · ‖ #«v ‖ sin θ
3. Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são
LD.
4. Mostre que #«u ∧ #«v = − #«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈ V3. [O produto
vetorial não é comutativo]
5. Calcule ( #«j ∧ #«j ) ∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não
é associativo.
6. Demonstre as seguintes propriedades:
(a) #«u ∧ ( #«v 1 + #«v 2) = #«u ∧ #«v 1 + #«u ∧ #«v 2
(b) ( #«u 1 + #«u 2) ∧ #«v = #«u 1 ∧ #«v + #«u 2 ∧ #«v
(c) #«u ∧ (λ #«v ) = (λ #«u ) ∧ #«v = λ( #«u ∧ #«v )
7. Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v .
(b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente inde-
pendentes.
(c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3.
8. Calcule ‖ #«u‖ sabendo-se que ‖ #«u ∧ #«v ‖ = 4√2, ‖ #«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u
e #«v é 45◦.
9. Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1, 1, x)
e #«v = (−1, 1, 0) é igual a √22, encontre o valor de x.
10. Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
7
11. Calcule a área do triângulo ABC, sendo # «AC = (−1, 1, 0) e # «AB = (0, 1, 3).
12. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖ # «AB ∧ # «AC‖.
13. Calcule o momento em relação ao ponto O da força #«F = (−1, 3, 4), aplicada
ao ponto P tal que # «OP = (1, 1, 1) [este momento é # «OP ∧ #«F ].
14. Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3, 1) e a #«v = (−3, 3, 3).
15. Dados #«u = (1, 1, 1), #«v = (0, 1, 2), ache uma base ortonormal positiva
( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) tal que
(i) #«e 1// #«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que #«u .
(ii) #«e 2 é combinação linear de #«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva.
16. Prove que ( #«u + #«v ) ∧ ( #«u − #«v ) = 2( #«u ∧ #«v ).
17. Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que
#«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 .
Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente.
18. Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede
h =
‖ # «AB ∧ # «AC‖
‖ # «AB‖
19. Seja F uma base qualquer de V3 e considere #«u = (a1, b1, c1)F e #«v =
(a2, b2, c2)F . Calcule #«u ∧ #«v .
20. (Torque) O torque é uma grandeza vetorial, representado por #«τ , e está re-
lacionado com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu
movimento de rotação.
O vetor torque é definido como o produto vetorial (observe a figura):
#«τ = #«r ∧ #«F .
O torque é definido como o módulo do vetor torque, ou seja,
‖ #«τ ‖ = ‖ #«r ‖‖ #«F ‖ sin θ,
onde θ é o ângulo entre #«r e #«F .
Observando a figura acima, calcule o torque sobre a barra AB, na qual # «AB =
#«r = 2
#«
j (em metros), #«F = 10 #«i (em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.
8
7 Duplo Produto Vetorial
8 Produto Misto
Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do
determinante. Também fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva.
9 Sistema de Coordenadas
10 Estudo da reta
11 Estudo do Plano
12 Posições relativas de retas e planos
13 Perpendicularidade e Ortogonalidade
14 Ângulos
Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O, #«i , #«j , #«k ) de coorde-
nadas.
1. Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
(a) X = (−5/2, 2, 0) + λ(1/2, 1, 1) e s :
{
3x− 2y + 16 = 0
3x− z = 0
(b) r : x = 1− y
2
=
z
3
e s :
{
3x+ y − 5z = 0
2x+ 3y − 8z = 1
2. Ache a medida em radianos do ângulo entre reta e plano nos casos:
(a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometri-
camente.
(b)

x = 1 + λ
y = λ
z = −2λ
e x+ y − z − 1 = 0
(c)
{
y = 2− x
x = 1 + 2z
e
√
45/7x+ y + 2z = 10
9
3. Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos:
a) 2x+ y − z − 1 = 0 x− y + 3z − 10 = 0;
b) X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0). x+ y + z = 0.
4. Ache a reta que intercepta as retas r : x− 1
3
=
y − 1
2
= −z
3
e

x = −1 + 5λ
y = 1 + 3z
z = λ
e forma ângulos congruentes com os eixos coordenados.
5. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,−2, 3) e que forma ângulos de 45◦ e
60◦, respectivamente, com o eixo dos x e dos y.
6. Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x + y + z = 0 e
que forma 45◦ com o plano pi2 : x− y = 0.
7. Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces.
8. Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0
e forma com o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus.
9. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta
r :
{
3z − x = 1
y − 1 = 1
e forma com s : X = (1, 1, 0)+λ(3, 1, 1) um ângulo cujamedida em radianos
é θ = arccos 2
√
30
11
.
10. A diagonal BC de um quadrado ABCD está contida na reta r : X =
(1, 0, 0)+λ(0, 1, 1). Sabendo queA = (1, 1, 0), determine os pontosB,C,D.
15 Distâncias
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #«i , #«j , #«k ) de coor-
denadas.
1. Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
(a) P = (0,−1, 0) e r :{
x = 2z − 1
y = z + 1
.
(b) P = (1,−1, 4) e r : x− 2
4
=
y
−3 =
z − 1
−2 .
10
2. Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s :
{
2x− z = 3
y = 2
, con-
corrente com t : X = (−1, 1, 1) + λ(0,−1, 2), e que dista 1 do ponto
P = (1, 2, 1).
3. Um quadrado ABCD tem a diagonal BD contida na reta r :
{
x = 1
y = z
.
Sabendo que A = (0, 0, 0), determine os vértices B,C e D.
4. Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das
retas r :
{
x+ z = 1
y = 0
e s :
{
x+ y = 1
z = 0
. Descreva o lugar geométrico.
5. Sejam P = (1, 0, 2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação
geral do plano pi que contém r e dista 2 do ponto P .
6. Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax + by + cz + d = 0,
mostre que
d(P, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
7. Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0, 0, 2) + λ(−2, 1/2, 1) e
x− 1
−2 =
y
1/2
= z.
8. Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y + 2z + 9 = 0 e 4x−
2y + 4z − 21 = 0.
9. Calcule a distãncia entre as retas r :

x = 2− λ
y = 1 + λ
z = −λ
e s :
{
x+ y + z = 0
2x− y − 1 = 0 .
10. Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
11. Ache os pontos da reta y = 2x+1 que estão situados a distância 2 da origem.
12. Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+ 2y − 2z = 0
13. Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y + z
que distam
√
14/3 de s : x = y = z+ 1.
11
14. Obtenha uma equação vetorial da reta t, paralela ao plano pi : z = 0, que
dista 3 dele, e é concorrente com as retas
r : X = (1,−1,−1) + λ(1, 2, 4) e s :
{
x− y = 1
3y − 2z + 6 = 0 .
15. Ache os pontosda reta r :
{
y = 2− x
x = y + z
que distam
√
6 de pi : x−2y−z =
1.
16. Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1), Q =
(2, 1, 1) e que dista 1 da reta r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).
17. Dê uma equação vetorial da reta r, contida no plano pi : x+y = 0, que forma
um ângulo de 30◦ com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x.
18. Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em
(a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c), prove que:
1
d2
=
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
.
16 Mudança de Coordenadas
Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #«i , #«j ) de coorde-
nadas em E2.
1. Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′,
#«
f1,
#«
f2,
#«
f3) dois sistemas de coordena-
das tais que #«f1 = #«e1 + #«e2,
#«
f2 =
#«e2,
#«
f3 =
#«e2 +
#«e3 eO′ = (1, 1, 1)Σ1 . Obtenha
as equações paramétricas da reta r : [X = (0, 0, 0)+λ(0, 1, 1)]Σ1 no sistema
Σ2.
2. Seja pi : [2x− y+ z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral de pi no sistema Σ2
do exercício anterior.
3. Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P =
(
√
3, 1) sejam (
√
3,−1).
4. Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x+ 3y−2 = 0 passe pela
(nova) origem, sabendo que esta tem abscissa −1.
5. Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+2y+1 = O fique paralela
ao (novo) eixo das abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes.
12
6. Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio
r > 0. Mostre que C , em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem
equação u2 + v2 = r2.
7. Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações:
(a) 9x2−4y2−18x−16y−7 = 0;
(b) 4x2−24xy+11y2+56x−58y+
95 = 0;
(c) 16x2−24xy+9y2−85x−30y+
175 = 0;
(d) 4x2 + y2 + 8x− 10y+ 13 = 0;
(e) x2 − 6x− 5y + 14 = 0;
(f) x2 + 2y2 − 4x− 4y − 1 = 0;
(g) 8x2−2xy+8y2−46x−10y+
11− 0;
(h) 12x2+8xy−3y2+64x+30y =
0;
(i) 2x2−12xy+7y2 +8x+20y−
14 = 0;
(j) 25x2+20xy+4y2+30x+12y−
20 = 0;
(k) 4x2 − 4xy + y2 − 8√5x −
16
√
5y = 0;
(l) x2 + xy + y2 − 1 = 0;
(m) 4x2 − 12xy + 9y2 − 8√13x−
14
√
13y + 117 = 0;
(n) 3x2 − 2xy + 3y2 + 2√2x −
6
√
6y + 2 = 0.
8. Considere a equação do segundo grau
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (16.1)
que após uma mudança de coordenadas em E2 é escrita na forma
A′u2 +B′uv + C ′v2 +D′u+ E ′v + F ′ = 0 (16.2)
(a) Mostre que [
D′
E ′
]
=
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
D
E
]
.
(b) Prove que os números A+C e B2 − 4AC são invariantes por rotação,
isto é, se (16.1) é transformada em (16.2) por meio de uma rotação, então
A+ C = A′ + C ′ e B2 − 4AC = B′2 − 4A′C ′.
(c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A− λ B/2B/2 C − λ
∣∣∣∣ = 0, (16.3)
são reais, quaisquer que sejam A,B e C .
13
(d) Mostre ainda que λ1 = λ2 apenas se A = C e B = 0, e neste caso,
λ1 = λ2 = A = C .
(e) Conclua que, se A2 +B2 + C2 6= 0 não pode ocorrer λ1 = λ2 = 0.
(f) Mostre queA+C é a soma da raízes de (16.3) e−B
2 − 4AC
4
é o produto
delas.
(g) Conclua queA′ eC ′ são raízes de (16.3), escolhido θ de modo a eliminar-
se o termo misto.
9. Prove que os números A+C e B2− 4AC são invariantes por uma mudança
de coordenadas da forma[
x
y
]
=
[
h
k
]
+
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
] [
u
v
]
.
Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação se-
guida de uma rotação (roto-translação).
17 Cônicas
1. Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1, 0), F2 =
(1, 0) e o eixo maior medindo 10.
2. Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num
dos eixos coordenados, e passa por A e B.
(a) A = (3, 2); B = (1, 4) (b) A = (5, 2); B = (2, 4)
3. Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos,
inscrito na elipse 9x2 + 16y2 = 100.
4. Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
(a) os vértices (±2, 0), e os focos
(±3, 0);
(b) os vértices (±15, 0), e as assín-
totas 5y = ±4x;
(c) b = 4, e as assíntotas 2y = ±3x
(focos no eixo Oy);
(d) os focos (±5, 0), e as assíntotas
2y = ±x;
(e) as assíntotas y = ±x, e um
ponto da hipérbole, (5, 9);
(f) os focos (±5, 0), e o compri-
mento L = 9
2
da corda por um
dos focos, perpendicular aF1F2.
14
5. Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir.
Faça um esboço.
(a) y2 = 16x;
(b) y2 + 28x = 0;
(c) x2 + 40y = 0;
(d) 5y2 = 12x;
(e) 2x2 = 7y;
(f) 7x2 = 15y.
6. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
(a) A = (2, 3), x = 0 (b) A = (3, 1), y +
3 = 0
(c) A = (−4,−2),
2x+ y = 3
Sugestão: Use translações e rotações.
7. Determine a equação da circunferência em cada caso:
(a) que passa pelos pontos (1, 2), (2, 1) e (−1, 1)
(b) circunscrito ao triângulo de vértices (7, 3), (2, 8) e (5, 7).
(c) concêntrico ao círculo 4x2 + 4y2 − 16x + 20y + 25 = 0 e tangente à
reta 5x+ 12y = 1.
(d) que tem seu centro sobre a reta 4x − 5y = 3 e é tangente às retas
2x− 3y = 10 e 3x− 2y = −5.
(e) que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x− 5y+ 18 = 0 uma
corda de comprimento 6.
8. Esboce e reconheça as cônicas no Exercício 7 da Seção 16.
9. O ponto (3, 1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a
reta y+ 6 = 0. Determine a equação de E sabendo que sua excentricidade é
c
a
=
√
2
2
.
10. Determine os pontos da elipse x
2
100
+
y2
36
= 1 cuja distância ao foco que se
acha sobre o semi-eixo OX positivo seja igual a 14.
11. Determine a equação da família de elipses com centro (2, 3), reta focal paralela
ao eixo OX e excentricidade c
a
=
1
2
.
12. Determine a equação da elipse que passa por (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − √3/2)
e (−3, 3), sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
15
13. Verifique que a equação da reta tangente à elipse E : b2x2 + a2y2 = a2b2 em
um ponto (x0, y0) ∈ E é b2x0x+ a2y0y = a2b2.
14. Mostre que as retas tangentes aos pontos extremos de um diâmetro de uma
elipse são paralelas.
15. Determine as equações das retas tangentes à elipse x
2
20
+
y2
5
= 1 que passam
pelo (10/3, 20/3).
16. Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e
passa pelo ponto (2, 1).
17. Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2, 1) e (4, 1) e excen-
tricidade c
a
=
2√
3
.
18. Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x
2
4
− y
2
9
= 1
e a reta 9x+ 2y = 24.
19. O ponto (1,−2) pertence a uma hipérbole em que um dos focos é (−2, 2),
tendo a diretriz correspondente a esse foco por equação 2x − y − 1 = 0.
Determine a equação da hipérbole.
20. Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto
(2, 3) e um dos focos no ponto (2, 5).
21. Determine os valores de k de modo que a equação (x− 4)
2
9 + k
+
y2
5 + k
= 1
represente uma hipérbole. Esboce a curva para k = −7 e dê os focos, a
excentricidade e = c
a
e as assíntotas.
22. Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta
a curva em apenas um ponto.
23. Verifique que a reta tangente à hipérbole b2x2 − a2y2 = a2b2 em qualquer
ponto (x0, y0) sobre a curva tem por equação b2x0x− a2y0y = a2b2.
24. Verifique que o ponto de contato de qualquer tangente a uma hipérbole é o
ponto médio do segmento da tangente delimitado pelas assíntotas.
25. Considere a hipérboleH : x
2
9
− y
2
36
= 1. Determine os valores dem de modo
que a reta y = 5
2
x+m
16
(a) intersecta H em dois pontos distintos.
(b) é tangente a H.
(c) não intersecta H.
26. Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola
x2 +16y = 0. Verifique que a diretriz da parábola tangencia a circunferência.
27.Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela in-
terseção da reta x− 2y + 3 = 0 com a parábola.
28. Dê a equação da parábola de vértice (2, 1) e diretriz 4x+ 3y = 1.
29. Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1.
30. Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixo OX e
passa pelos pontos (3
2
,−1), (0, 5) e (−6, 7).
31. Identifique os principais elementos das parábolas em cada caso:
(a) x2 − 8y = 0;
(b) 2y2+5x+8y−7 =
0;
(c) 3y2 + 7y − 6 = 0;
(d) 9x2 − 42x+ 49 =
0;
(e) 3y2 − 2y + 1 = 0.
32. Determine a equação da parábola com:
(a) Foco F = (−3/4, 0) e diretriz
x = 3/4.
(b) Vértice V = (−1,−3) e diretriz
x = −3.
33. Verifique que a equação do segundo grau 10y2 + 8x − 30y − 9 = 0 é uma
parábola, determine o vértice, o foco e a equação da diretriz.
34. Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos equi-
distantes à circunferência x2 + y2 = 1 e ao eixo-OX .
35. Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que
são centros das circunferências tangentes simultaneamente à reta y = 1 e à
circunferência x2 + y2 = 9.
17
18 Superfícies Esféricas
1. Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1
2
, 1
2
,
√
2
2
),
(0, 0, 1).
2. Encontre uma equação geral do plano pi, tangente à superfície esférica S :
x2 + y2 + z2 − 2x− 1 = 0 pelo ponto T = (1,−1, 1).
3. Determine uma equação geral do plano pi, que contém a reta
s :
{
x+ y + z = 0
2x− 6y + 3z − 49 = 0
e é tangente à superfície esférica S de centro na origem e raio 7.
4. Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica
S : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 1 = 0
que são paralelos ao plano pi : x− y − 2z − 2 = 0.
5. Obtenha equações da circunferência E , de centro P = (1, 1,−2) e que passa
pelos pontos Q = (2, 3, 0) e R = (−1,−1,−1).
6. Obtenha equações da circunferência que tem diâmetro AB e passa por C ,
sendo dados A = (3,−2, 5), B = (−1, 6,−3) e C = (1,−4, 1).
7. O plano 3x+ 2y + 6z = 6 intercepta os eixos coordenados nos pontos A,B
e C . Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo ABC .
8. Ache uma equação da superfície esférica que tem centro na reta r :
{
x = 2z − 3
y = z − 1
e passa pelos pontos A = (6,−1, 3) e B = (0, 7, 5).
9. Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10x− 2y +
4z − 1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x2 + y2 + z2 +
2x− 6y + z − 11 = 0.
10. Calcule a distância do ponto P = (1,−1, 3) à superfície esférica
S : x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 10z − 62 = 0
(isto é, a distância mínima de P aos pontos de S).
11. Mostre que, se k < 0, a equação x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + k = 0
representa uma superfície esférica, quaisquer que sejam a, b, c reais.
18
12. Prove que, se uma superfície esférica de centro C = (a, b, c) é tangente aos
três planos coordenados então |a| = |b| = |c|.
13. Mostre que o plano tangente a S : x2 +y2 +z2 = r2 no ponto P = (a, b, c) ∈
S tem equação ax+ by + cz = r2.
14. Mostre que para todo φ ∈ R e para todo θ ∈ R, o ponto de coordenadas x =
a sinφ cos θ, y = a sinφ sin θ e z = a cosφ pertence à superfície esférica de
centro na origem e raio a > 0. Faça uma figura e descubra o que são φ e θ.
Você já ouviu falar em coordenadas esféricas?
15. Encontre os planos tangentes à superfície esférica (x−1)2 +(y−2)2 +z2 = 1
que são paralelos ao plano 2x+ y − z = 0.
16. Ache os planos tangentes à superfície esférica x2 + y2 + z2 = 1 que contém
a reta r :
{
x+ y + z = 0
x− y − z − 2 = 0 .
17. Uma corda PQ da superfície esférica S : x2+y2+z2−4x+2y−8z+10 = 0
está contida na reta
{
x = 2z − 1
y = 1− z . Determine os planos tangentes em P e
Q.
18. Encontre o centro e o raio da circunferência interseção do plano 2x − 2y −
z + 9 = 0 com a superfície esférica x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 2z − 86 = 0.
19. Obtenha equações da circunferência que passa pelos pontosA = (3,−1,−2),
B = (1, 1,−2) e C = (−1, 3, 0).
20. Dados A = (3,−1,−2) e B = (1, 1,−2), obtenha equações do lugar geo-
métrico dos pontos X tais que o triângulo ABX seja equilátero. Interprete
geometricamente.
21. Dê equações gerais dos planos paralelos ao plano x− 2y − z = 0, que inter-
ceptam a superfície esférica S : x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 2z = 0, segundo
circunferências de raio
√
3/2.
22. Um hexágono regular inscrito na circunferência E :
{
x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y + 2z − 3 = 0
x+ y + z = 1
tem um vértice na reta X = (−1, 1, 1/3) + λ(2,−1, 1). Determine seus seis
vértices.
23. Verifique se as superfícies esféricas
S1 : x
2+y2+z2−2x−2y−2z+2 = 0 e S2 : x2+y2+z2+2x+2y+2z−4 = 0
19
são secantes. Em caso afirmativo, ache o centro e o raio da circunferência
S1∩S2 (observe que subtraindo as equações de S1 e S2 obtém-se uma equação
do plano que contém S1 ∩ S2: por quê?).
24. Ache λ real tal que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam tangentes:
S1 : (x−1)2+(y−3)2+z2 = 1 e S2 : x2+y2+z2−2λx+4λy+4λz = 0.
25. Dê uma equação da superfície esférica tangente ao plano z = 0 no ponto
(1,−2, 0), que tangencia externamente a superfície esférica x2 + y2 + z2 −
6x− 8y − 2z + 1 = 0.
26. Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro (1, 0, 1) que
tangenciam interiormente a superfície esférica S : x2+y2+z2−2x+y−10 =
0.
19 Superfícies Cilíndricas, Cônicas, Quádricas e de Revo-
lução
1. Ache uma equação da superfície cílindrica de diretriz C cujas geratrizes são
paralelas à reta ∆ (faça um esboço!), onde:
(a) C :
{
x2 + y2 = z
x− y + z = 0 e ∆ :
x = 1 + λ
y = 2− λ
z = 3− λ
(b) C :
{
x2 − xy + 1 = 0
z = 0
e
∆ :
{
x = 2z
y = z + 3
(c) C :
{
xy = z
x+ y − z = 0 e ∆ :
x = y = z
(d) C :
{
x+ y + xy = 0
z = 0
e ∆ :
x = y = z
2. Encontre uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a #«v =
(3,−2, 1) circunscrita à superfície esférica de centro (1,−2, 2) e raio √3.
3. Mostre que uma relação do tipo F (X, Y ) = 0 em E3, é equação de uma
superfície cilíndrica S de diretriz C :
{
F (x, y) = 0
z = 0
.
4. Ache uma equação da superfície cônica de vértice V cuja diretriz é a curva C
(faça um esboço!), onde:
20
(a) C :
{
x2 − 2z + 1 = 0
y − z + 1 = 0 e
V = (0, 0, 0).
(b) C :
{
x2 + y2 − x = 0
z = 0
e
V = (0, 0, 1).
(c) C :
{
xz = 1
y = 1
e V =
(0, 0, 0).
(d) C :
{
x2 − z2 + 1 = 0
y = 1
e
V = (0, 0, 0).
5. Determine uma equação da superfície cônica tendo a origem como vértice, e
circunscrita à superfície esférica S : x2 + y2 + z2 − 3x− y + 2 = 0.
6. Ache uma equação da superfície cônica circular reta de vértice V = (1, 1, 1),
sabendo que as geratrizes formam ângulo medindo 60◦ com o eixo, que é a
reta
r :

x = 1 + λ
y = 1 + 2λ
z = 1− λ
7. Encontre uma equação da superfície de rotação gerada pela curvaC :
{
x2 + y2 = 1
x+ z = 0
em torno da reta
r :

x = λ
y = λ
z = λ
(λ ∈ R)
8. Ache uma equação da superfície gerada pela rotação da curvaC :
{
f(x, y) = 0
y = 0
em torno do eixo Oz.
9. Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C em torno da
reta r (faça um esboço!), onde:
(a) C :
{
x− 1 = y
z = 0
e r : x =
y = z.
(b) C :
{
x− 1 = y
z = 0
e r : x −
y = z = 0.
(c) C :
{
3z2 + 3x = 1
y = 0
e r :
eixo Oz.
(d) C :
{
x2 + z2 = 1
y = 0
e r : eixo
Oz.
(e) C :
{
(x− 1)2 + (z − 2)2 = 1
y = 0
e r : eixo Oz.
(f) C :
{
3z2 + 3x = 1
y = 0
e r :
eixo Ox.
(g) C :
{
x2 + z2 = 1
y = 0
e r : eixo
Ox.
21
(h) C :
{
(x− 1)2 + (z − 2)2 = 1
y = 0
e r : eixo Ox.
(i) C :
{
z − y2 = −1
x = 0
e r :
eixo Oy.
(j) C :
 z
2
a2
+
y2
b2
= 1
x = 0
e r :
eixo Oy/Oz.
(k) C :

x = α
y = α2
z = α2
(α ∈ R) e
r : eixo Oz.
10. Obtenhauma equação da superfície definida como reunião das retas que se
apoiam no eixo Ox e na circunferência C :
{
x2 + y2 = 1
z = 2
matendo-se
paralelas ao plano Oyz (esta não é uma superfície cilíndrica, nem cônica, e
tampouco de rotação; no entanto você pode adaptar as técnicas que aprendeu
nesses casos para resolver o exercício).
11. Ache as equações das seguintes superfícies:
(a) O cilindro com geratriz perpendicular ao plano xy e cuja diretriz é a
parábola y = x2.
(b) O elipsóide obtido girando a elipse x2
2
+ y
2
4
= 1 ao redor do eixo maior.
(c) O cone obtido girando a reta y = ax + b, z = 0 ao redor dos eixo dos
y.
(d) O cone obtido girando a reta x = t, y = 2t, z = 3t ao redor da reta
x = −t, y = t, z = 2t.
12. Mostre que, se dois dos números a, b, c são iguais, o elipsóide
E : x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Especifique o eixo de rotação em cada caso.
13. Mostre que se a = b, o hiperbolóide de uma folha
H : x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
14. Mostre que se a = b, o hiperbolóide de duas folhas
H : −x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
22
15. Mostre que se a = b, o parabolóide elíptico
P : z = x
2
a2
+
y2
b2
é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação?
16. A equação de um parabolóide hiperbólico S : z = −x
2
a2
+
y2
b2
pode ser escrita
na forma
z =
(
−x
a
+
y
b
)(x
a
+
y
b
)
.
(a) Mostre que, dado c 6= 0, a reta
rc :

x
a
+
y
b
= c
−x
a
+
y
b
=
z
c
está contida em S. Também, dado d 6= 0, a reta
rd :

x
a
+
y
b
=
z
d
−x
a
+
y
b
= d
está contida em S.
(b) Prove que por cada ponto P de S de cota z 6= 0 passa uma única reta
da forma rc, e uma única reta da forma rd.
17. Mostre que a superfície de equação z = xy é um parabolóide hiperbólico, efe-
tuando umamudança de coordenadas de (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3) para (O′,
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3),
sendo O′ = O, #«f 1 =
#«e 1 +
#«e 2√
2
, #«f 2 =
#«e 2 − #«e 1√
2
e #«f 3 = #«e 3. Faça uma
figura.
18. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano
pi : x = 2 e do ponto P = (−2, 0, 0). Reconheça esse lugar geométrico.
19. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam
das retas r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (0, 1, 0) + λ(0, 0, 1).
Descreva esse lugar geométrico.
20. Identificar as quádricas cujas equações sejam:
23
(a) x2 − y2 + z2 = 0
(b) x2 − y2 + z2 = 1
(c) x2−y2 +z2 = −1
(d) x2 − 4y2 = 0
(e) x2 − 4y2 = 4
(f) 2x = y2 + z2
(g) 9y = x2
(h) 4z = y2 − x2
(i) x2 + 4y2 + 9z2 =
25
(j) x2 − y2 = z
21. Usando as translações e rotações dos eixos, identifique as superfícies cujas
equações sejam:
(a) 4x2+y2+4z2−8x−2y−24z+
44 = 1
(b) 2x2+4y2+z2−8y−z+ 61
4
= 0
(c) 4x2 +y2−z2 +12x−2y+4z =
12
(d) 2x2 − y2 + 3z2 + 1 = 0
(e) y2 + 2x− z = 0
24
Cálculo Diferencial
20 Limites e Continuidade
1. Prove, usando a definição, que a função dada é contínua nos pontos dados.
(a) f(x) = 4x− 3 em p = 2;
(b) f(x) = −3x em p = 1;
(c) f(x) = x4 em p = −1;
(d) f(x) =
√
x em p = 0 e em
p = 4;
(e) f(x) = 3
√
x em p = 1;
(f) f(x) = x3 + x em p = 1;
2. Encontre os limites indicados se existirem:
(a) lim
x→1
(
x3 + x2 + 5x+ 1
)
R:
8
(b) lim
x→2
x2 + 5x− 4
x2 − 5 R:-10
(c) lim
x→6
x2 − 36
x− 6 R:12
(d) lim
x→2
x− 2√
2x− 4 R: 0
(e) lim
x→0
x
2−√4− x R: 4
(f) lim
x→1
2−√3 + x
x− 1 R: -1/4
(g) lim
x→2
√
2x2 − 3x+ 2− 2√
3x2 − 5x− 1− 1 R:
5/14
(h) lim
x→a
x2 − (a+ 1)x+ a
x3 − a3 R:
(a− 1)/3a2
(i) lim
x→1
(
1
1− x −
3
1− x3
)
R:
-1
(j) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1 R: 3/2
(k) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 R: 1/2
(l) lim
x→64
√
x− 8
3
√
x− 4 R: 3
(m) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 R: 4/3
(n) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2 R: 1/9
(o) lim
x→3
√
x2 − 2x+ 6−√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3
R: -1/3
(p) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x R: -1/3
3. Prove que lim
x→p
f(x) = 0 se, e somente se, lim
x→p
|f(x)| = 0.
4. Mostre que lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, lim
h→0
f(p+ h) = L.
25
5. (Conservação do sinal) Suponha que lim
x→p
f(x) = L , com L > 0. Mostre que
existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df :
0 < |x− p| < δ =⇒ f(x) > 0.
6. Seja f : I ⊆ R −→ R uma função Lipschitziana, isto é, existe M > 0 tal
que
|f(x)− f(y)| ≤M |x− y|
para quaisquer x, y ∈ I . Mostre que f é contínua.
7. Prove (pela definição) que f : R∗ −→ R dada por f(x) = 1
x
, é contínua em
todo p ∈ R∗.
8. Considere f(x) =
{
1, x ∈ Q
−1, x ∈ R−Q . Mostre que f é descontínua em
todos os números reais.
9. Detemine os valores de a e b para os quais a função f(x) =

x2 − 4, x < −1
ax+ b, −1 ≤ x < 2
4− x2, x ≥ 2
é contínua, qualquer que seja x ∈ R.
10. Seja f : R → R a função definida por f(x) =
{
2(x− 4), se x < 1
kx, se x ≥ 1 .
Determine k, de modo que f seja contínua em x = 1.
11. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:
(a) f(x) = x
2 − 9
x− 3 em x = 3.
(b) f(x) = 3x− 5 em x = 2.
12. Determine lim
x→2
f(x) em cada caso:
(a) lim
x→2
[f(x)− x] =
10
(b) lim
x→2
[xf(x)] = 8 (c) lim
x→2
4x
f(x)
=
12
5
13. Mostre que se f : [a, b] → R é uma função contínua então |f | : [a, b] → R
é contínua, isto é, se f é contínua então o módulo de f também o é. Mostre
através de um exemplo que a recíproca não é verdadeira.
14. Seja f(x) =
{
x+ 1 se x ∈ Q
−x+ 1 se x ∈ R−Q . Verifique se esta função possui
limite em algum ponto. Justifique sua resposta.
26
21 Limites Laterais
1. Calcule caso exista. Jusfique em caso de não existência.
(a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
(b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
(c) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 em que f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 1
2x se x < 1
(d) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 em que f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1
(e) lim
x→1
g(x)− g(2)
x− 2 em que g(x) =
{
x se x ≥ 2
x2
2
se x < 2
(f) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1
2. Determine os pontos para os quais a função dada por
f(x) =
|x|
x
possui limite. A função tem limites laterais em x = 0.?
3. Seja f(x) =
{ √
2−x
4
, se x < 2
0, se x = 2 . Verifique se esta função possui limite em
x = 2. Caso não possua, justifique sua resposta.
4. Dada uma função f : Df −→ R, suponha que existe δ > 0 tal que
0 < |x− p| < δ =⇒ x ∈ Df .
Mostre que lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, os limites laterais de f existem
em x = p e
lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) = L.
5. A afirmação
“ lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) =⇒ f é contínua em p′′
é verdadeira ou falsa? Justifique.
27
6. Dê exemplo de uma função definida em R, que não seja contínua em 2, mas
que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x)
7. Para cada uma das funções a seguir, calcule f(x0), lim
x→x−0
f(x) e lim
x→x+0
f(x):
(a) f(x) =
{ |x|
x
, x 6= 0
0, x = 0
, x0 =
0.
(b) f(x) =

x− 1, x < 0
5, x = 0
8− x x > 0
,
x0 = 3.
(c) f(x) =

x2 + 1, x > 2
5, x = 2
7x− 9, x < 2
,
x0 = 2
22 Limites de função composta
1. Calcule
(a) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
R: 3
√
3
(b) lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1 R: 1/4
(c) lim
x→1
3
√
x+ 7− 2
x− 1 R: 1/12
(d) lim
x→1
3
√
3x+ 5
x2 − 1 R: 1/8
2. Seja f : R −→ R uma função tal que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c)
lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1
(d) lim
x→0
f(7x)
3x
23 Teorema do Confronto1. Sejam f, g : I ⊆ R −→ R tais que:
(i) lim
x→p
f(x) = 0. (ii) g é limitada.
Mostre que
lim
x→p
f(x)g(x) = 0
Dê um exemplo em que o teorema possa ser aplicado.
28
2. Suponha que, para todo x, |g(x)| ≤ x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
3. Seja n um número inteiro positivo. Demonstre que limx→0 xn sin
(
1
x
)
= 0.
4. Sejam f : R −→ R uma função e p ∈ R tais que, para todo x,
|f(x)− f(p)| ≤M |x− p|2
Calcule, caso exista,
lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p .
5. Seja g(x) =
{ −1, se x ∈ Q
1, se x /∈ Q . Calcule limx→0x
2g(x).
6. Sejam f, g : R −→ R tais que [f(x)]4+[g(x)]4 = 4 para todo x real. Calcule:
(a) lim
x→0
x3g(x). (b) lim
x→3
f(x)
3
√
x2 − 9.
7. Sejam a, b, c números reais fixos e suponha que, para todo x, |a+ax+bx2| ≤
|x|3. Prove que
|a| = |b| = |c| = 0
8. Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0
f(x).
9. Suponha que 2−x2 ≤ g(x) ≤ 2 cosx para todo x real. Determine lim
x→0
g(x).
24 Limite e Continuidade das funções trigonométricas
1. Mostre que as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, secante, cos-
secante e cotangente são contínuas onde estiverem definidas.
2. (Limite Fundamental) Mostre que limx→0
sinx
x
= 1 e, em seguida, calcule
lim
x→0
x2
sinx
.
3. Encontre os limites indicados se existirem:
(a) lim
x→0
1− cosx
x2
R: 1/2 (b) lim
x→a
sinx− sin a
x− a ;
29
(c) lim
x→a
cosx− cos a
x− a ;
(d) lim
h→0
sin(x+ h)− sinx
h
;
(e) lim
x→0
1−√cosx
x2
.
(f) lim
x→0
sin 3x
2x
R: 3/2
(g) lim
x→0
sinx
4x
R: 1/4
(h) lim
x→0
tan 2x
3x
R: 2/3
(i) lim
x→0
tan 3x
tan 5x
R: 3/5
(j) lim
x→0
sin 3x− sin 2x
sinx
R: 1
(k) lim
x→0
sin 4x
sin 3x
R: 4/3
(l) lim
x→0
1− cosx
sinx
R: 0
(m) lim
x→0
1− cos 2x
sin 3x
R: 0
(n) lim
x→0
1− cos 4x
x
R: 0
(o) lim
x→0
tan 3x
sin 4x
R: 3/4
(p) lim
x→0
3x2
tanx sinx
R: 3
(q) lim
x→0
sin
(
x2 +
1
x
)
− sin 1
x
x
R: 0
(r) lim
x→0
x+ sinx
x2 − sinx R: -2
(s) lim
x→0
x− tanx
x+ tanx
R: 0
(t) lim
x→1
sin pix
x− 1 R: −pi
(u) lim
x→0
tanx− sinx
x3
R: 1/2
(v) lim
x→0
arctan 2x
sin 3x
R: 2/3
(w) lim
x→0
cotan (2x)cotan
(pi
2
− x
)
R: 1
(x) lim
x→0
arcsinx
x
R: 1
(y) lim
x→1
sin pix
x− 1 R: −pi
(z) lim
x→1
cos
pix
2
1−√x R: Não existe.
4. (a) Prove que existe r > 0 tal que
cosx− 1 < sinx
x
− 1 < 0
para 0 < |x| < r.
(b) Calcule lim
x→0
x− sinx
x2
. (c) Calcule lim
x→0
6x− sin 2x
2x+ 3 sin 4x
.
25 Limites Infinitos e Limites no infinito
1. Encontre os limites indicados se existirem:
30
(a) lim
x→+∞
(
5x3 − 3x) R: +∞
(b) lim
x→−∞
2x2 − 1
x2 − 1 R: 2
(c) lim
x→−∞
3x
x2 − 3 R: 0
(d) lim
x→−∞
x2 + x+ 1
(x+ 1)3 − x3 R:
1
3
(e) lim
x→+∞
(√
x2 + 3x+ 4− x
)
R: 3
2
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(g) lim
x→+∞
√
x− 3√x
x2 + 3
(h) lim
x→+∞
[x−
√
x2 + 1]
(i) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
(j) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(k) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x+ 1
(l) lim
x→+∞
[
√
x+ 1−√x+ 3]
2. Suponha que lim
x→p+
f(x) = 0 e que existe r > 0 tal que f(x) > 0 sempre que
p < x < p+ r. Prove que
lim
x→p+
1
f(x)
= +∞
Solução. Seja � > 0 arbitrário. Como lim
x→p+
f(x) = 0, existe δ > 0, com
δ ≤ r, tal que
p < x < δ =⇒ 0 < f(x) < 1
�
.
Isto implica que 1
f(x)
> � sempre que p < x < δ, e portanto, lim
x→p+
1
f(x)
=
+∞.
3. Suponha lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→+∞
g(x) = +∞. Mostre que
(a) lim
x→+∞
(f(x) + g(x)) = +∞ (b) lim
x→+∞
f(x)g(x) = +∞
4. Suponha lim
x→+∞
f(x) = L ∈ R e lim
x→+∞
g(x) = +∞. Mostre que
(a) lim
x→+∞
f(x)g(x) = +∞, se L >
0.
(b) lim
x→+∞
f(x)g(x) = −∞, seL <
0.
5. Calcule:
31
(a) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
(b) lim
x→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1
(c) lim
x→+∞
x+ 1
x2 − 2
(d) lim
x→+∞
2x+ 3
3 + 2x
6. Prove que lim
x→+∞
n
√
x = +∞, onde n > 0 é um inteiro.
7. Calcule:
(a) lim
x→+∞
[2x−
√
x2 + 3]
(b) lim
x→−∞
[√
x+
√
x−√x− 1
]
(c) lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
(d) lim
x→+∞
[
x− 3
√
2 + 3x3
]
(e) lim
x→−∞
3
√
4x2 + 6x+ 3
x2 − 5
(f) lim
x→+∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
8. Calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→0
(1 + x)3 − (1 + 3x+ 3x2)
x4 + x3
;
(b) lim
x→2
x2 − 4
x3 − 2x2 + x− 2;
(c) lim
x→a
x2 − (a+ 1)x+ a
x3 − a3 ;
(d) lim
x→1
( 1
1− x −
3
1− x3
)
;
(e) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
.
(f) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1;
(g) lim
x→1
√
x− 1
3
√
x− 1;
(h) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
;
(i) lim
h→0
√
x+ h−√x
h
;
(j) lim
h→0
3
√
x+ h− 3√x
h
.
(k) lim
x→∞
2x2 − 3x− 4
4
√
x2 + 1
;
(l) lim
x→∞
100x
x2 − 1; ;
(m) lim
x→∞
x2 − 5x+ 1
3x+ 7
;
(n) lim
x→∞
x2
10 + x
√
x
;
(o) lim
x→∞
2x+ 3
x+ 3
√
x
.
(p) lim
x→∞
2x2 − 3x− 4
4
√
x2 + 1
;
(q) lim
x→∞
100x
x2 − 1; ;
(r) lim
x→∞
x2 − 5x+ 1
3x+ 7
;
(s) lim
x→∞
x2
10 + x
√
x
;
(t) lim
x→∞
2x+ 3
x+ 3
√
x
.
32
9. Calcule:
(a) lim
x→1/2+
3x+ 1
4x2 − 1
(b) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(c) lim
x→2−
3x
x− 2
(d) lim
x→1−
2x+ 3
x2 − 1
(e) lim
x→0+
sinx
x3 − x2
(f) lim
x→pi+
1 + cos x
x− pi
26 Sequências
1. (Critério da Comparação) Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências reais e supo-
nha que, para algum n1 > 0 natural:
n > n1 =⇒ bn ≤ an
Mostre que, se lim
n→+∞
bn = +∞ então lim
n→+∞
an = +∞.
2. Verifique se a sequência cujo termo geral é an =
n∑
k=1
1
k
, para n ≥ 1, é
convergente.
Solução. Dado n natural, seja bn o único número inteiro que satisfaz
2bn−1 < n ≤ 2bn (26.1)
Em particular, segue do Critério da Comparação que lim
n→+∞
bn = +∞. Por
outro lado, da desigualdade (26.1) obtemos
1
2bn
≤ 1
n
<
1
2bn−1
,
e portanto, podemos escrever:
an =
1
20
+
(
1
21
+
1
3
)
+
(
1
22
+
1
5
+
1
6
+
1
7
)
+· · ·+
(
1
2bn
+
1
2bn + 1
+ · · ·+ 1
n
)
Observe que a j-ésima parcela na soma acima é igual a
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1
Esta soma é composta por 2j−1 parcelas e cada uma delas é maior que 1
2j
, e
portanto,
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1 > 2
j−1 · 1
2j
,
33
ou seja,
1
2j−1
+
1
2j−1 + 1
+ · · ·+ 1
2j − 1 >
1
2
.
Além disso,
an >
1
20
+
(
1
21
+
1
3
)
+
(
1
22
+
1
5
+
1
6
+
1
7
)
+· · ·+
(
1
2bn−1
+
1
2bn−1 + 1
+ · · ·+ 1
2bn − 1
)
Nesta última desigualdade, o lado direito é composto por uma soma com bn
parcelas e, como vimos acima, cada parcela é maior que 1/2, de onde segue-se
que
an >
bn
2
Como lim
n→+∞
bn
2
= +∞, o Critério da Comparação implica que
lim
n→+∞
an = +∞
3. Dado um número real a, mostre que:
(a) lim
n→+∞
an = 0, se 0 ≤ a < 1. (b) lim
n→+∞
an = +∞, se a > 1.
4. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
n→+∞
2n + 1
3n + 2
(b) lim
n→+∞
n∑
k=0
(
1
1, 5
)n (c) limn→+∞
[
(−1)n
2
+ 2
]
(d) lim
n→+∞
1 + 5n
2 + 3n
(e) lim
n→+∞
n2 + 2
2n3 + n− 1
(f) lim
n→+∞
n∑
k=1
1
k
5. Supondo 0 < a < 1, mostre que lim
n→+∞
n∑
k=1
ak =
a
1− a .
6. Considere a função dada por f(x) = x, para x ∈ R, e defina
Sn = f
(
1
n
)
1
n
+ f
(
2
n
)
2
n
+ · · ·+ f
(
n− 1
n
)
n− 1
n
+ f
(n
n
) n
n(a) Calcule S3 e interprete o resultado geometricamente.
(b) Calcule lim
n→+∞
Sn e compare com o resultado esperado geometricamente.
34
7. Mostre que
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e calcule lim
n→+∞
1
n3
n∑
k=1
k2.
8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com aceleração constante a > 0.
Suponha que no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante
t é, então, v(t) = at. Divida o intervalo [0, T ] em n intervalos de amplitudes
iguais a T
n
. No instante T
n
a velocidade será aT
n
, no instante 2T
n
será 2aT
n
,
e assim por diante. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido
entre os instantes T
n
e 2T
n
será aproximandamente aT
n
· T
n
(por quê?); entre
os instantes 2T
n
e 3T
n
o espaço percorrido será aproximandamente 2aT
n
· T
n
,
e assim por diante.
(a) Calcule lim
n→+∞
[
aT
n
· T
n
+
2aT
n
· T
n
+ · · ·+ (n− 1)aT
n
· T
n
]
(b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.
9. Considere a sequência de termo geral an = 1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
.
(a) Prove que (an)n∈N é crescente.
(b) Mostre que, para todo n ≥ 1, 1 + 1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
< 2.
(c) Prove que lim
n→+∞
(
1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
)
existe e que é menor que
2.
10. (ENADE-2011) Considere a sequência numérica definida por a1 = a,an+1 = 4an
2 + a2n
, para n ≥ 1
Use o princípio de indução finita e mostre que an <
√
2, para todo número
natural n ≥ 1 e para 0 < a < √2, seguindo os passos indicados nos itens a
seguir:
(a) escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada;
(b) mostre que s := 4a
2 + a2
> 0, para todo a > 0;
(c) prove que s2 < 2, para todo 0 < a <
√
2;
35
(d) mostre que 0 < s <
√
2;
(e) suponha que an <
√
2 e prove que an+1 <
√
2;
(f) conclua a prova por indução.
11. Dada uma função f : Df ⊆ R −→ R, suponha que lim
x→p
f(x) = L. Seja
(an)n∈N uma sequência em Df tal que lim
n→+∞
an = p e an 6= p para todo n.
Mostre que
lim
n→+∞
f(an) = L
12. Considere a função f definida por f(x) =
{
cos( 1
x
) sin( 1
x
), se x 6= 0
0, se x = 0 .
Verifique se f é contínua em p = 0. Justifique.
Solução. Considere a sequência (an) cujo termo geral é dado por
2
an
= 2pin+
pi
2
, n ∈ N.
Então, para cada n ∈ N, an = 4
(4n+ 1)pi
e portanto,
lim
n→+∞
an = 0.
E ainda,
lim
n→+∞
f(an) = lim
n→+∞
sin(2/an)
2
= lim
n→+∞
1
2
=
1
2
.
Como lim
n→+∞
f(an) 6= f(0), segue-se que f não é contínua em p = 0.
13. Seja f : Df ⊆ R −→ R uma função e suponha que existem duas sequências
(an) e (bn) em Df , com lim
n→+∞
an = lim
n→+∞
bn = p, an 6= p e bn 6= p para
todo n, tais que
lim
n→+∞
f(an) 6= lim
n→+∞
f(bn)
Mostre que f não é contínua em p ∈ Df .
14. Prove que lim
x→0
sin
(
1
x
)
e lim
x→+∞
cosx não existem.
15. Seja f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x /∈ Q . Calcule limx→0 f(x) e mostre que limx→p f(x)
não existe, qualquer que seja p ∈ R.
36
16. Considere a sequência de termo geral an positivo. Sabendo-se que lim
n→+∞
an =
a (real) e que an+1 =
1
1 + an
para todo n, calcule a.
17. Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequên-
cas an e bn convergindo a p, com an e bn pertencentes a Df para todo n, tais
que
lim
n→+∞
f(an) = L e lim
n→+∞
f(bn) = L.
Podemos afirmar, então, que lim
x→p
f(x) = L? Por quê?
18. Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, . . . é
convergente e calcule seu limite.
19. Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2 +
√
2, a3 =
√
2 +
√
2 +
√
2,
. . . é convergente e calcule seu limite.
27 O número neperiano
1. (Constante de Neper) Para n ≥ 1 inteiro, defina
an =
(
1 +
1
n
)n
(a) Prove que an ≤
n∑
k=0
1
k!
para todo n ≥ 1.
(b) Verifique que 2n ≤ (n+ 1)! para todo n ≥ 0
(c) Mostre que an < 3 para todo n ≥ 1.
(d) Prove que (an)n∈N é crescente.
(e) Conclua que (an)n∈N é convergente. O limite desta sequência, denotado
por e ≈ 2, 7182818 . . ., é chamado constante de Neper.
(f) Calcule lim
n→+∞
(
2 + 3n
5n
)n/2
.
(g) Calcule lim
n→+∞
(
2n+ 3
2n+ 1
)n+1
37
2. (ENADE-2011) Sabe-se que, para todo inteiro n > 1, tem-se
n n
√
e
e
<
n
√
n! <
n n
√
ne
e
Nesse caso, se lim
n→+∞
n
√
n! = a então:
(a) a = 0 (b) a = 1
e
(c) a = 1 (d) a = e (e) a =
+∞
28 Teoremas do Anulamento, do Valor Intermediário e de
Weierstrass
1. (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b] −→ R uma função contí-
nua. Seja c um número real entre f(a) e f(b). Mostre que existe x0 ∈ [a, b]
tal que f(x0) = c.
2. Dada uma função contínua f : [a, b] −→ R, mostre que existe c ∈ [a, b] tal
que
f(c) =
f(a) + f(b)
2
3. (ENADE-2011) O Teorema do Valor Intermediário é uma proposição muito
importante da análise matemática, com inúmeras aplicações teóricas e prá-
ticas. Uma demonstração analítica desse teorema foi feita pelo matemático
Bernard Bolzano [1781 – 1848]. Nesse contexto, faça o que se pede nos itens
a seguir:
(a) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma
variável real;
(b) Resolva a seguinte situação-problema.
O vencedor da corrida de São Silvestre-2010 foi o brasileiro Mailson
Gomes dos Santos, que fez o percurso de 15 km em 44 min e 7 seg.
Prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velo-
cidade instantânea de Mailson era de 5 metros por segundo.
(c) Descreva uma situação real que pode ser modelada por meio de uma
função contínua f , definida em um intervalo [a, b], relacionando duas
grandezas x e y, tal que existe k ∈ (a, b) com f(x) 6= f(k), para todo
x ∈ (a, b), x 6= k. Justifique sua resposta.
38
4. (Teorema do Anulamento) Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua tal
que f(a)f(b) ≤ 0. Use o TVI para provar que existe x0 ∈ [a, b] tal que
f(x0) = 0.
5. Seja f(x) = x5+x+1. Mostre que f possui pelo menos uma raiz no intervalo
[−1, 0].
6. Prove que a equação x3 − 4x+ 2 = 0 admite três raízes reais distintas.
7. Seja α a menor raiz positiva da equação x3−4x+2 = 0. Determine intervalos
de amplitudes 1
2
, 1
4
e 1
8
que contenham α.
8. Prove que a equação x3 − 1
1 + x4
= 0 admite ao menos uma raiz real.
9. (Teorema de Weierstrass) Dada uma função f : [a, b] −→ R contínua,
mostre que existem x1, x2 ∈ [a, b] tais que
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)
para todo x ∈ [a, b]. Neste caso, f(x1) é o valor mínimo e f(x2) é o valor
máximo da função f no intervalo [a, b].
10. Prove que o conjunto
{
x2 +
1
x
;
1
2
≤ x ≤ 2
}
admite máximo e mínimo.
11. Considere o conjunto A =
{
x2 + x
1 + x2
; −1 ≤ x ≤ 1
}
. Prove que:
(a) A admite máximo e mínimo;
(b) o máximo de A é 1;
(c) existe x1 ∈ (−1, 0) tal que A atinja o valor mínimo em x1.
12. Mostre que a função f : (0, 1] −→ R dada por f(x) = 1/x é contínua,
admite valor mínimo, mas não valor máximo. Isso contradiz o Teorema de
Weierstrass? Justifique.
13. Considere a função f : [0, pi] −→ R definida por f(x) =
{
secx, se x 6= pi/2
0, se x = pi/2 .
Mostre que f não admite valor mínimo nem máximo. Isso contradiz o Teo-
rema de Weierstrass? Justifique.
14. Suponha que f : [0, 1]→ R é contínua, f(0) = 1 e que f(x) é racional para
todo x em [0, 1]. Prove que f(x) = 1, para todo x em [0, 1].
39
15. (Teorema do ponto fixo) Seja f : [0, 1] → R contínua e tal que, para todo
x ∈ [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Prove que existe c em [0, 1] tal que f(c) = c.
16. É verdade que se você esticar um elástico movendo uma ponta para a direita
e a outra para a esquerda, algum ponto do elástico continuará em sua posição
original?
17.Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua
caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite.
Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo
caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema
do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o
monge vai cruzar exatamente namesma hora do dia em ambas as caminhadas.
18. Seja f contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Suponha que quaisquer que
sejam s e t em [a, b],
s 6= t⇒ f(s) 6= f(t).
Prove que f é crescente em [a, b].
Observação: f é crescente em [a, b] se:
∀s, t ∈ [a, b], s < t⇒ f(s) < f(t).
19. Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única
raiz a. Suponha ainda, que existe x0 em I , com x0 > a, tal que f(x0) > 0.
Prove que, para todo x em I , com x > a, f(x) > 0.
20. Considere a função f dada por f(x) = 2x3 −√x2 + 3x.
(a) Verifique que f é contínua em [0,+∞).
(b) Mostre que 1 é a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que
f(1
2
) < 0.
(c) Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).
21. Seja f : I ⊆ R −→ R uma função contínua e suponha que a e b são as
únicas raízes de f no intervalo I , com a < b. Dados x0, x1 e x3 em I com
x0 < a, a < x1 < b e b < x2, estude o sinal de f em I , a partir dos sinais de
f(x0), f(x1) e f(x2). Justifique.
29 Exponencial natural
1. (A função exponencial) Seja a um número real positivo e diferente de 1. Mos-
tre que existe uma função f : R −→ R contínua tal que:
40
(i) f(r) = ar , para todo r ∈ Q.
(ii) f é decrescente, se 0 < a < 1.
(ii) f é crescente, se a > 1.
2. (O número neperiano) Mostre que lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e. Conclua que
lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
= ea para a ∈ R.
3. Encontre os limites indicados se existirem:
(a) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
R: e2
(b) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x/3
R: 3
√
e
(c) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x−3
R: e
(d) lim
x→+∞
(
1 +
1
x2
)x
R: 0
(e) lim
x→0
(1 + 4x)1/x R: 2/3
(f) lim
x→0−
21/x R: 0
(g) lim
x→+∞
1− 2x
1− 3x R: 0
(h) lim
x→0−
4
1 + 21/x
R: 4
(i) lim
x→1
3(x−1)/4 − 1
sin[5(x− 1)]
4. Mostre que se a > 1 e β ∈ R, então
(a) lim
x→+∞
ax
x
= +∞ (b) lim
x→+∞
ax
xβ
= +∞
5. Mostre que lim
n→+∞
n
√
n = 1 e calcule lim
n→+∞
3
3√n. Mostre ainda que lim
n→+∞
n
√
a =
1 para todo a > 0.
Solução. Mostraremos lim
n→+∞
n
√
n = 1. Primeiro observe que, para n > 1
temos n
√
n > 1 e portanto, o número cn := n
√
n − 1 é positivo para cada
n > 1. Por outro lado, pelo Binômio de Newton
n = ( n
√
n)n = (1 + cn)
n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ckn >
(
n
2
)
c2n =
n(n− 1)
2
c2n,
isto é, c2n <
2
n− 1 sempre que n > 2. Como cn > 0 para n > 2, devemos
ter
0 < cn <
√
2
n− 1 ,
41
e portanto, lim
n→+∞
cn = 0. Logo,
lim
n→+∞
n
√
n = lim
n→+∞
(1 + cn) = 1
30 Função Logarítmica
1. (O logaritmo) Seja a um número real positivo e diferente de 1. Dado um
número real β > 0, mostre que existe um único γ ∈ R tal que
aγ = β
O número γ é chamado logaritmo de β na base a e indica-se γ = loga β. Em
particular,
γ = loga β ⇐⇒ aγ = β
2. Dados a > 0 e β ≥ 1 números reais, mostre que lim
n→+∞
loga n
nβ
= 0.
3. Calcule.
(a) lim
x→+∞
log3 x.
(b) lim
x→0+
lnx.
(c) lim
x→0+
log 1
3
x.
(d) lim
x→+∞
ln
x
x+ 1
.
(e) lim
x→+∞
[ln(2x+ 1)− ln(x+ 3)]
(f) lim
x→+∞
[x ln 2− ln(3x + 1)]
(g) lim
x→1
ln
x2 − 1
x− 1
(h) lim
x→0
ln
sinx
x
(i) lim
x→0
xsinx R: 1
(j) lim
x→pi/4
(sin 2x)tan
2 2x.
(k) lim
x→pi/2
(tanx)tan 2x.
4. Seja a um número real positivo e diferente de 1. Mostre que lim
h→0
ah − 1
h
=
ln a.
5. Calcule
(a)
lim
x→0
e2x − 1
x
(b)
lim
x→0
ex
2 − 1
x
(c) lim
x→0
5x − 1
x
(d) lim
x→0
3x − 1
x
42
6. Calcule os limites abaixo, caso existam:
(a) lim
x→2
sinx
x
;
(b) lim
x→0
sinx lnx;
(c) lim
x→+∞
sinx
x
;
(d) lim
x→+∞
(x− 1
x+ 1
)x
;
(e) lim
x→0
(2 + x
3− x
)x
;
(f) lim
x→+∞
( x
x+ 1
)x
;
(g) lim
x→1
( x− 1
x2 − 1
)x+1
;
(h) lim
x→+∞
( 1
x2
) 2x
x+1
.
(i) lim
x→0
(1 + sin x)
1
x .
(j) lim
x→0
(cosx)
1
x ;
(k) lim
x→0
(cosx)
1
x2 ;
(l) lim
x→0
eαx − eβx
x
;
(m) lim
x→0
eαx − eβx
sin(αx)− sin(βx) .
(n) lim
n→+∞
n(a1/n − 1).
(o) lim
x→0
[ln tanx− ln 2x].
(p) lim
x→+∞
(
1 +
1
x2
)x
R: 0
(q) lim
x→0+
(1 + sin 2x)cossecx R:
e
√
2
(r) lim
x→+∞
(1 + sin pix)cotanpix
(s) lim
x→+∞
(
2x2 + 3
2x2 + 5
)8x2+3
(t) lim
x→a
(
sinx
sin a
)1/(x−a)
, a 6= kpi.
(u) lim
x→+∞
(
1 + 3x
2 + 3x
)(1−√x)/(1−x)
.
(v) lim
x→+∞
(
x2 + 2x− 1
2x2 − 3x− 2
)(2x−1)/(x−1)
.
(w) lim
x→0
(
1
x
ln
√
1 + x
1− x
)
.
7. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
tanhx
(b) lim
x→−∞
tanhx
(c) lim
x→0−
1
1 + e1/x
(d) lim
x→0+
1
1 + e1/x
(e) lim
x→−∞
ln(1 + ex)
x
(f) lim
x→0
log(1 + 10x)
x
(g) lim
x→0
coshx− 1
x2
31 A derivada
1. A quantidade de oxigênio que pode ser dissolvido em água depende da tem-
peratura da água. (Logo, a poluição térmica influencia o nível de oxigênio da
43
água). O gráfico mostra como a solubilidade do oxigênio S varia em função
da temperatura T da água.
(a) Qual o significado da derivada S ′(T )? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor S ′(16) e interprete-o.
2. Seja f(x) =
{
x2 sin( 1
x
), se x 6= 0
0, se x = 0 . Calcule, caso exista, f
′(0).
3. Mostre que f(x) = |x| não é derivável em x = 0.
4. Prove que toda função f : Df ⊆ R −→ R derivável é contínua.
5. Seja f uma função derivável em p ∈ Df . Mostre que existe uma função
ρ : Df −→ R tal que
f(x) = f(p) + f ′(p)(x− p) + ρ(x)(x− p),
para todo x ∈ Df , e
lim
x→p
ρ(x) = 0
Conclua que ρ é uma função contínua.
6. Calcule f ′(p), pela definição, sendo dados:
(a) f(x) = x2 + x e p = 1
(b) f(x) =
√
x e p = 4
(c) f(x) = 5x− 3 e p = −3
(d) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1
44
7. Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados:
(a) f(x) = 3
√
x e p = 2
(b) f(x) = 1/x e p = 1
(c) f(x) = x2 + x e p = −1
(d) f(x) = x/(x+ 1) e p = −2
8. Mostre que a função dada por
g(x) =
{
2x+ 1, se x < 1
−x+ 4, se x ≥ 1
não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g.
9. Para a função g cujo gráfico é dado, arrume os seguintes números em ordem
crescente e explique seu raciocínio.
0 g′(−2) g′(0) g′(2) g′(4)
10. Seja g(x) =
{
2, se x ≥ 0
x2 + 2, se x < 0 .
(a) Esboce o gráfico de g.
(b) g é derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule g′(0).
11. Seja f : R −→ R uma função tal que quaisquer que sejam x e t,
|f(x)− f(t)| ≤ |x− t|2.
Calcule f ′(x).
12. Em cada caso, calcule g′(x).
45
(a) g(x) = x6 (b) g(x) = 1/x3 (c) g(x) = x−7
13. Determine a equação da reta ao gráfico de f(x) = 1/x2 no ponto de abscissa
2. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
14. Em cada caso, calcule g′(x).
(a) g(x) = 4
√
x (b) g(x) = 3
√
x (c) g(x) = 5
√
x
15. Seja f(x) = x5. Calcule f ′(x) e determine a equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abscissa 1.
16. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex no ponto de
abscissa 0. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
17. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ln x no ponto de
abscissa 1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
18. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 é constante. Mostre que f ′(x) = x ln a.
19. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1 é constante.Mostre que g′(x) =
1
x ln a
.
20. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = sinx no ponto
de abscissa 0. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
21. Seja f e g funções deriváveis em p ∈ Df∩Dg e suponha que as retas tangentes
aos gráficos de f e g, no ponto de abscissa p, sejam perpendiculares. Mostre
que
f ′(p)g′(p) = −1
22. Suponha que f é uma função derivável em p ∈ Df . Sabendo-se que a reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p é paralela à reta
r : ax+ by + c = 0,
mostre que
a = −bf ′(p)
23. Seja f(x) = cos x. Calcule:
46
(a) f ′(x) (b) f ′(0) (c) f ′(pi/3) (d) f ′(−pi/4)
24. Calcule f ′(x) sendo: (a) f(x) = tanx; (b) f(x) = secx; (c) f(x) = cotanx;
(d) f(x) = cossec x.
25. Seja f uma função derivável em p. Mostre que f é contínua em p.
26. A função f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2, se x > 1 é derivável em p = 1? Por quê?
27. A função f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
1, se x > 1 é contínua 1? É derivável em 1?
32 Regras de Derivação
1. Calcule f ′(x) em cada caso.
(a) f(x) = (3x2 +
1)ex
(b) f(x) = sinx
x+ 1
(c) f(x) = 2x+ 3
x2 + 1
(d) f(x) = x3 + lnx
(e) f(x) = x+
√
x
(f) f(x) = 5 + 3x−2
(g) f(x) = 6x3 + 3
√
x
(h) f(x) = 2x + 1
x
+
2
x2
(i) f(x) = 3
√
x+
√
x
(j) f(x) =
√
x
x+ 1
(k) f(x) = x+
4
√
x
x
√−3
(l) f(x) =
√
x secx
(m) f(x) = xcotanx
(n) f(x) = 4 sec x +
5cotanx
(o) f(x) = x
cossecx
(p) f(x) = x+ sinx
x− cosx
(q) f(x) = x2 +
3x tanx
2. Seja g(x) = x3 + 1
x
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g
no ponto (1, g(1)).
3. Seja f(x) = x2 sinx+ cosx, para 0 ≤ x ≤ 2pi. Calcule:
(a) f ′(x) (b) f ′(0) (c) f ′(3a) (d) f ′(x2)
4. Calcule f ′(x).
(a) f(x) = x2ex
(b) f(x) = 3x+5 lnx
(c) f(x) = ex cosx
(d) f(x) = lnx
x
(e) f(x) = x2 lnx +
2ex
(f) f(x) = x+ 1
x lnx
47
(g) f(x) = e
x
1 + x
(h) f(x) = 1 + e
x
1− ex
5. Calcule g′(x).
(a) g(x) = xex cosx
(b) g(x) = x2(cosx)(1 + ln x)
(c) g(x) = (1 +
√
x)ex tanx
(d) g(x) = ex sinx cosx
6. Esboce os gráficos de f , f ′ e f ′′.
(a) f(x) = x2|x| (b) f(x) =
{
x2 + 3x, se x ≤ 1
5x− 1, se x > 1
7. Determine a derivada de ordem n.
(a) f(x) = ex (b) f(x) =
sinx
(c) f(x) =
cosx
(d) f(x) =
lnx
8. Seja x = t2 sin t. Calcule: (a) dx
dt
; (b) dx
dt
∣∣∣
t=pi
.
9. Seja y = u2, onde u = u(x) é uma função derivável. Verifique que
dy
dx
= 2u
du
dx
10. Seja y = 3x3 − 6x+ 2. Calcule: (a) d
2y
dx2
; (b) d
2y
dx2
∣∣∣
x=0
.
11. Seja y = t3x onde x = x(t) é uma função derivável até 2ª ordem. Verifique
que:
(a) dy
dt
= 3t2x+ t3
dx
dt
(b) d
2y
dt2
= 6tx+ 6t2
dx
dt
+ t3
d2x
dt2
12. Seja y = t2x, onde x = x(t) é uma função derivável. Calcule dy
dt
∣∣∣
t=1
supondo
dx
dt
∣∣∣
t=1
= 2 e x = 3 para t = 1.
13. Considere a função y = t
x+ t
, onde t = t(x) é uma função derivável. Calcule
dy
dx
∣∣∣
x=1
sabendo que dt
dx
∣∣∣
x=1
= 4 e que t = 2 para x = 1.
48
14. Seja y = ex cosx. Verifique que d
2y
dx2
− 2dy
dx
+ 2y = 0.
15. Seja y = tet. Verifique que d
2y
dt2
− 2dy
dt
+ y = 0.
16. Suponha que y = y(r) seja derivável até 2ª ordem. Verifique
d
dr
[
(r2 + r)
dy
dr
]
= (2r + 1)
dy
dr
+ (r2 + r)
d2y
dr2
17. Suponha que x = x(t) seja derivável ate a 2ª ordem. Verifique que:
(a) d
dt
(
t2
dx
dt
)
= 2t
dx
dt
+ t2
d2x
t2
(b) d
dt
(
x
dx
dt
)
=
(
dx
dt
)2
+ x
d2x
dt2
33 Regra da Cadeia
1. Derive.
(a) y = xe3x
(b) y = e−x sinx
(c) y = (cos 2x +
sin 3x)3
(d) f(t) =
te2t
ln(3t+ 1)
(e) y = sin(cosx)
(f) g(t) = e
t − e−t
et + e−t
2. Seja f : R −→ R uma função derivável e considere g(x) = f(cosx). Calcule
g′(pi
3
) supondo f ′(1
2
) = 4.
3. Seja g uma função derivável. Verifique que
(a)
[
eg(x)
]′
= eg(x)g′(x)
(b) [ln g(x)]′ = g(x)
g′(x)
(c) [cos g(x)]′ = −g′(x) sin g(x)
(d) [sin g(x)]′ = g′(x) cos g(x)
4. Seja f : R −→ R uma função derivável até 2ª ordem e seja g dada por
g(x) = f(x2). Calcule g′′(2), supondo f ′(4) = 2 e f ′′(4) = 3.
5. Seja f : R −→ R uma função derivável e g uma função dada por g(x) =
f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0).
49
6. A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ Df ,
xf(x) + sin f(x) = 4
Mostre que
f ′(x) = − f(x)
x+ cos f(x)
para todo x ∈ Df , com x+ cos f(x) 6= 0.
7. Seja y = eαx, em que α é uma raiz da equação λ2 + aλ + b = 0, com a e b
constantes. Verifique que
d2y
dx2
+ a
dy
dx
+ by = 0.
8. Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo aberto I , com 1 ∈ I .
Suponha f(1) = 1 e que, para todo x em I ,
f ′(x) = x+ [f(x)]3.
(a) Mostre que f ′′(x) existe para todo x em I ;
(b) Calcule f ′′(1);
(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abs-
cissa 1.
9. Considere o polinômio
P (x) = A0 + A1(x− x0) + A2(x− x0)2 + A3(x− x0)3,
onde A0, A1, A2, A3 e x0 são números reais fixos. Mostre que
P (x) = P (x0) + P
′(x0)(x− x0) + P
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + P
′′′(x0)
3!
(x− x0)3
10. Considere o polinômio
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3,
onde a0, a1, a2 e a3 são números reais fixos. Seja x0 um número real fixo.
(a) Mostre que existem A0, A1, A2 e A3 tais que
P (x) = A0 + A1(x− x0) + A2(x− x0)2 + A3(x− x0)3
[Sugestão: Faça x = (x− x0) + x0]
50
(b) Conclua que
P (x) = P (x0)+P
′(x0)(x−x0)+P
′′(x0)
2!
(x−x0)2+P
′′′(x0)
3!
(x−x0)3
(33.1)
Dizemos que (33.1) é o desenvolvimento de Taylor do polinômio P (x)
em potências de x− x0.
(c) Determine o desenvolvimento de Taylor de P (x) = x3 + 2x + 3, em
potências de (x− 1).
11. (L’Hospital) Sejam f e g funções deriváveis em p tais que f(p) = g(p) = 0.
Supondo g′(p) 6= 0, mostre que
lim
x→p
f(x)
g(x)
=
f ′(p)
g′(p)
.
Em seguida, calcule os limites:
(a) lim
x→0
ln(x+ 1)
x2 + sinx
(b) lim
x→pi/2
e2x−pi − 1
2 sinx+ sin 6x− 2
(c) lim
x→−1
x 3
√
x+ 1
sin pix2
(d) lim
x→0
x+ 3
√
x2 + sin 3x
ln(x2 + x+ 1)
(e) lim
x→0
e−x
2
+ x− 1
ex4 + x5 − 1
(f) lim
x→1
sin(sinpix)
2−√x− 3√x2
12.
34 Derivada de f (x)g(x)
1. Calcule a derivada.
(a) f(x) =
5x + log3 x
(b) f(x) =
(2x+ 1)x
(c) f(x) =
xsin 3x
(d) y = xxx
(e) y = (1 +
x)e
−x
(f) y = (4 +
sin 5x)x
(g) y = (x2 +
1)pi
(h) y = (3 +
pi)x
2
35 Derivação de Função Implícita
1. Expresse dy
dx
em termos de x e y, em que y = f(x) é uma função diferenciável
dada implicitamente pela equação
51
(a) x2− y2 = 4
(b) y3 + x2y =
x+ 4
(c) xy2 + 2y =
3
(d) y5 + y = x
(e) x2 + 4y2 =
3
(f) xy+y3 = x
(g) xey + xy =
3
(h) y+ ln(x2 +
y2) = 4
(i) 5y +
cos y = xy
(j) 2y+sin y =
x
2. A função y = f(x) é dada implicitamente pela equação xy+ 3 = 2x. Mostre
que x dy
dx
= 2− y. Calcule dy
dx
|x=2.
3. A função y = f(x), y > 0, é dada implicitamente por x2 + 4y2 = 2. Deter-
mine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1.
4. Suponha que y = f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela
equação y3 + 2xy2 + x = 4. Suponha ainda 1 ∈ Df .
(a) Calcule f(1);
(b) Determine a equação da reta
tangente ao gráfico de f no
ponto de abscissa 1.
5. A figura mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo y e
uma sombra originada pela região elíptica x2 + 4y2 ≤ 5. Se o ponto (−5, 0)
estiver na borda da sombra, qual a altura da lâmpada acima do eixo x?
6. Determine uma reta paralela a x+y = 1 e tangente à curva y3 +xy+x3 = 0
em um ponto (x0, y0), com x0 < 0 e y0 < 0.
7. Determine uma reta que seja tangente à elipse x2 + 2y2 = 9 e que intercepta
o eixo y no ponto de ordenada 9/4.
8. Seja y = f(x) definidae derivável num intervalo contendo 1 e suponha que
f seja dada implicitamente pela equação y3 + x2y = 130. Determine as
equações das retas tangente e normal ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1.
52
9. Determine a para que as circunferências x2 + y2 = 1 e (x− a)2 + y2 = 1 se
interceptem ortogonalmente.
10. Mostre que, para todo a, as curvas y = ax2 e x2 + 2y2 = 1 se interceptam
ortogonalmente.
11. Mostre que, na astróide x2/3 + y2/3 = a2/3 o segmento tangente, compreen-
dido entre os eixos coordenados, tem comprimento constante a.
12. Um ponto move-se sobre a espiral de Arquimedes:
r = aϕ
(a = 10 cm), de tal forma, que a velocidade angular de rotação de seu raio
polar é constante e igual a 6◦ por segundo. Determine a velocidade com que
se alonga o raio polar r, no momento em que r = 25 cm.
36 Diferencial
1. Utilizando a diferencial calcule um valor aproximado para 3
√
2.05
2. Seja y = x2 + 3x.
(a) Calcule a diferenciall.
(b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de
∆y por dy. Interprete graficamente.
3. Seja A = pir2 (Área de uma circunferência).
(a) Calcule a diferencial de A = A(r).
(b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de
∆A por dA.
4. Seja V = 4
3
pir3, r > 0.
(a) Calcule a diferencial.
(b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de
∆V por dV . (Lembre-se que V é o volumete da esfera de raio r e 4pir2
é a área da superfície esférica de raio r).
37 Velocidade e Aceleração. Taxas relacionadas
1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = 3 + 2t−
t2, t ≥ 0.
53
(a) Qual a velocidade no instante t?
(b) Qual a aceleração no instante t?
(c) Estude a variação do sinal de
v(t).
(d) Esboce o gráfico da função de
posição.
2. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o
tempo segundo a equação
x =
v0
k
(1− e−kt), t ≥ 0,
em que v0 e k são constantes posítivas.
(a) Qual a velocidade no instante t?
(b) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: "a função é crescente".
(c) Qual a aceleração no instante t?
(d) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: "o gráfico da função tem
a concavidade voltada para baixo".
(e) Calcule lim
t→+∞
v0
k
(1− e−kt)
(f) Esboce o gráfico da função.
3. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0, 2 m/s
e 0, 1 m/s, respectivamente. A que taxa está variando a área do retângulo no
instante em que x = 1 m e y = 2 m?
4. A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas
constantes de 0, 1 m/s e 0, 3 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando
o volume do cone no instante em que h = 0, 5 m e r = 0, 2 m?
5. Num determinado instante θ = pi/3 e está variando, neste instante, a uma
taxa de 0, 01 radianos por segundo (veja figura).
54
(a) A que taxa está variando o ângulo α neste instante?
(b) Supondo pi/2 < α < pi, expresse dα
dt
em termos de θ e dθ
dt
.
6. Uma piscina tem 10mde largura, 20mde comprimento, 1mde profundidade
nas extremidades e 3 m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois
planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de 0, 3 m3/min. Seja
h a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade h
estará variando no instante em que h = 1 m? (veja figura).
Figura 1: piscina
7. Um ponto P move-se sobre a parábola y = 3x2 − 2x. Suponha que as
coordenadas x(t) e y(t) de P são deriváveis e que dx
dt
6= 0. Pergunta-se:
em que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P é o triplo da
velocidade da abscissa x de P ?
8. Um ponto desloca-se sobre a hipérbole xy = 4 de tal modo que a velocidade
de y é dy
dt
= β, com β constante. Mostre que a aceleração da abscissa x é
d2x
dt2
=
β2
8
x3.
9. Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam, respectiva-
mente, 5 cm e 3 cm. Suponha, ainda, que θ esteja variando a uma taxa cons-
tante de 0, 5 rad/s. Determine a velocidade de A, quando θ = pi/2 rad (veja
figura).
55
10. Uma escada de 8m está enconstada em uma parede. Se a extremidade inferior
da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s,
com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em
que a inferior estiver a 3 m da parede?
11. Um ponto move-se sobre a semicircunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha
dx
dt
> 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro
da de x.
12. O pontoP = (x, y) está fixo à roda de raio 1m, que rola, sem escorregamento,
sobre o eixo x. O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s.
Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ (veja
figura).
13. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto invertido,
de água a uma taxa de 0,1 m3/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo
é de 10 m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em
que h = 5 m.
56
14. A quantidade de carga Q, em coulombs (C), que passa através de um ponto
em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por
Q(t) = t3 − 2t2 + 6t+ 2.
Encontre a corrente quando (a) t = 0, 5 s e (b) t = 1 s. Em que instante a
corrente é mais baixa?
15. A Lei de Gravitação de Newton diz que a intensidade F da força exercida por
um corpo de massa m sobre um corpo de massaM é
F =
GmM
r2
em que G é a constante gravitacional e r é a distância entre os corpos.
(a) Se os corpos estão se movendo, encontre dF/dr e explique seu signifi-
cado. O que o sinal de menos indica?
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma força
que decresce a uma taxa de N/km quando r = 20000 km. Quão rápido
essa força varia quando r = 10000?
16. Se p(x) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma
fábrica, então produtividade média da força de trabalho da fábrica é
A(x) =
p(x)
x
(a) Encontre A′(x). Por que a companhia precisa empregar mais trabalha-
dores se A′(x) > 0?
(b) Mostre que A′(x) > 0 se p′(x) for maior que a produtividade média.
17. Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1, 5 m/s.
Um holofote localizado no chão a 6 m do caminho é mantido focalizado no
homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 8 m do
ponto do caminho mais próximo da luz?
18. Se dois resistores com resistências R1 e R2 estão conectados em paralelo,
como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0, 3 Ω/s e 0, 2 Ω/s, respectivamente,
quão rápido estará variando R quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω.
57
19. Seja C(t) a concentração de uma droga na corrente sanguínea. À medida
que o corpo elimina a droga, C(t) diminui a uma taxa que é proporcional à
quantidade da droga presente naquele instante. Assim, C ′(t) = kC(t), em
que k é um número positivo chamado constante de eliminação da droga.
(a) Se C0 for a concentração no instante t = 0, encontre a concentração no
instante t.
(b) Se o corpo eliminar a metade da droga em 30 horas, quanto tempo levará
para eliminar 90% da droga?
38 Funções Inversas
1. Seja f uma função inversível com inversa g. Mostre que
(a) f(g(x)) = x para todo x ∈ Dg (b) g(f(x)) = x para todo x ∈ Df
2. Seja f uma função inversível com inversa g. Suponha que f é contínua em p.
Mostre que g é contínua em f(p).
3. Mostre que a função f(x) = arcsin x, x ∈ [−1, 1], é contínua.
4. Prove que a função f(x) = arctan x, x ∈ R, é contínua.
5. Qual a função inversa de f(x) = 1
x
?
6. Mostre que a função f dada por f(x) = x+ex é inversível. Esboce os gráficos
de f e de sua inversa.
7. Determine a derivada.
(a) y = x arctanx
(b) y = e3x arcsin 2x
(c) y = x arctanx
cos 2x
(d) y = e−3x +
ln(arctanx)
(e) y = sin 3x
arctan4x
(f) y = e
−x arctan ex
tanx
58
8. Sejam f(x) = x+ ex e g, a inversa de f . Mostre que g é derivável e que
g′(x) =
1
1 + eg(x)
E ainda, calcule g′(1) e g′′(1).
9. Seja f(x) = x+ lnx, para x > 0. Mostre que f admite função inversa g, que
g é derivável e que g′(x) = g(x)
1 + g(x)
. Em seguida, esboce os gráficos de f e
g, e calcule g(1), g′(1) e g′′(1).
10. Verifique que:
(a) d
dx
[
x arctanx− 1
2
ln(1 + x2)
]
= arctanx
(b) d
dx
[
x3
3
arcsinx+
x2 + 2
9
√
1− x2
]
= x2 arcsinx
(c) d
dx
[(x+ 1) arctan
√
x−√x] = arctan√x
(d) d
dx
[
−1
2
arcsin
(
2− x
x
√
2
)]
=
1
x
√
x2 + 4x− 4
(e) d
dx
[√
27x2 + 6x− 1
x
− 3 arcsin
(
1− 3x
6x
)]
=
1
x2
√
27x2 + 6x− 1
(f) d
dx
[
−
√
2
3
arctan
√
2(3− x)
3(x− 2)
]
=
1
x
√
5x− 6− x2
(g) d
dx
[
1
36
x(9x2 − 2)√4− 9x2 + 2
27
arcsin
3x
2
]
= x2
√
4− 9x2
39 Estudo da variação das funções
1. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua e, suponha
que f é derivável em ]a, b[. Se f(a) = f(b), mostre que existe c ∈]a, b[ tal
que f ′(c) = 0.
2. (Teorema do Valor Médio de Lagrange) Seja f : [a, b] −→ R uma função
contínua e, suponha que f é derivável em ]a, b[. Mostre que existe c ∈]a, b[
tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
59
3. (Teorema do Valor Médio de Cauchy) Sejam f, g : [a, b] −→ R contínuas
e deriváveis em ]a, b[. Se g′(x) 6= 0 para todo x em ]a, b[, mostre que existe
c ∈]a, b[ tal que
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
4. Seja f : R −→ R uma função derivável tal que f(0) = −3 e f ′(x) ≤ 5 para
todo x. Qual é o maior valor possível para f(2)?
5. Suponha que f ′(x) = 0 para todo x em ]a, b[. Mostre que f é constante.
6. Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo x em ]a, b[. Mostre que existe uma
constante c tal que f(x) = g(x) + c para todo x.
7. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, e esboce o gráfico.
(a) f(x) = x
2
x2 − 1
(b) f(x) = x3+2x2+
x+ 1
(c) f(x) = e−x2
(d) y = xex
(e) f(x) = lnx
x
(f) y = 3x
2 + 4x
1 + x2
(g) g(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1)
(h) g(x) = x− ex
(i) y = −x4 + 4x3 −
4x2 + 2
8. Suponha que f ′′ é positiva no intervalo ]a, b[ e que existe c ∈]a, b[ tal que
f ′(c) = 0. Prove que f é decrescente em ]a, c[ e crescente em ]c, b[.
9. Mostre que o polinômio p(x) = 8x3 + 30x2 + 24x + 10 admite uma única
raiz real a, com −3 < a < −2.
10. Determine a, para que a equação
x3 + 3x2 − 9x+ a = 0
admita uma única raiz real.
11. (a) Mostre que ex > x para todo
x ≥ 0.
(b) Prove que ex > x2/2 para todo
x ≥ 0.
(c) Conclua que lim
x→+∞
ex
x
= +∞.
12. Mostre que, para todo x > 0:
60
(a) sinx < x− x
3
3!
+
x5
5!
. (b) 0 < sinx−
[
x− x
3
3!
]
<
x5
5!
.
13. Suponha que f tenha derivada contínua no intervalo I e que f ′ nunca se anula
em I . Prove que f é crescente em I ou decrescente em I .
14. Seja f uma função tal que f ′′′(x) > 0 para todo x em ]a, b[. Suponha que
existe c em ]a, b[ tal que f ′′(c) = f ′(c) = 0. Mostre que f é decrescente em
]a, b[.
15. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Em
seguida, esboce o gráfico.
(a) y = x
1 + x2
(b) f(x) = e−x2/2
(c) x(t) = t2 − 1/t
(d) f(x) = x4−2x3+
2x
(e) y = x
3
1 + x2
(f) f(x) = x lnx
16. Seja f uma função derivável até 3a ordem no intervalo aberto I . Suponha que
p ∈ I satisfaz f ′′(p) = 0, f ′′′(p) 6= 0 e que f ′′′ é contínua em p. Mostre que
p é um ponto de inflexão.
17. Seja f : I ⊆ R −→ R uma função derivável tal que:
f(1) = 1 e f ′(x) = x2 + [f(x)]2, x ∈ I.
(a) Mostre que, para todo x em I , f ′′(x) existe e que f ′′ é contínua em I .
(b) Mostre que existe r > 0 tal que f ′(x) > 0 e f ′′(x) sempre que |x−1| <
r.
(c) Esboce o gráfico de f no intervalo ]1− r, 1 + r[.
40 Regras de L’Hospital
1. Calcule:
(a) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(b) lim
x→0+
xe
1
x
(c) lim
x→+∞
e3x
x2
(d) lim
x→+∞
lnx
e3x
(e) lim
x→0+
sinx lnx
(f) lim
x→0+
(1 −
cosx) lnx
(g) lim
x→+∞
(x2 + 1)
1
ln x
(h) lim
x→0+
1
x
+ lnx
(i) lim
x→0−
(1− cosx) 1x
61
(j) lim
x→0
tan 3x− sinx
sin3 x
(k) lim
x→0
sec3
1 cosx
(l) lim
x→+∞
x3e−4x
(m) lim
x→+∞
x −
3
√
x3 − x
(n) lim
x→1−
e
1
x2−1
x− 1
(o) lim
x→+∞
(
x
x2 + 1
)x
(p) lim
x→0+
(cos 3x)
1
sin x
(q) lim
x→0+
xtanx
2
(r) lim
x→1
x4 − 2x3 + 2x− 1
x2 − 2x+ 1
(s) lim
x→0+
x2 + tan3 x
sin3 x
(t) lim
x→+∞
e2x
x3
(u) lim
x→0
x− tanx
x3
2. Sejam f(x) = x2 sin 1
x
e g(x) = x. Verifique que lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0,
lim
x→0
f(x)
g(x)
= 0 e que lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
não existe. Há alguma contradição com a 1ª
regra de L’Hospital?
41 Gráficos
1. Esboce o gráfico.
(a) f(x) = x3−3x2+
3x
(b) f(x) = x3−x2+1
(c) y =
√
x2 − 4
(d) y = x
x+1
(e) y = x2
x+1
(f) g(x) = xe−3x
(g) f(x) = 2x + 1 +
e−x
(h) f(x) = e−x2
(i) y = x4
4
− 3x2
2
+
2x+ 1
(j) f(x) = 3
√
x3 − x
(k) y = x3
x2+4
(l) y = x3
x2−1
(m) y = x3−x+1
x2
(n) y = ex − e3x
(o) f(x) = x4 − 2x2
(p) y =
√
x2 + 2x+ 5
(q) y = x−1
x2
(r) y = x2
x2−x−2
(s) y = x2−x+1
x2
(t) y = 4x+3x2
1+x2
42 Máximos e mínimos
1. Determine dois números reais positivos cuja soma seja igual a 4 e tal que a
soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima.
2. Seja f(x) = x3−3x2 +3. Encontre os máximos e mínimos de f e determine
os valores máximo e mínimo de f no intervalo [−2, 3]. Em que pontos esses
valores são atingidos?
3. Construa um cilindro circular reto de área total S dada e cujo volume seja
máximo.
62
4. Determine o ponto da parábola y = 1− x2 que se encontra mais próximo da
origem.
5. Dado o triângulo retângulo de catetos 3 e 4, determine o retângulo de maior
área nele inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa.
6. Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 (b) f(x) = x2e−x
7. De um tronco redondo de diâmetro d deve-se cortar uma viga de seção retan-
gular. Quais deverão ser a largura x e a altura y desta seção para que a viga
tenha resistência máxima possível:
(a) na compressão? (b) na flexão?
Observação: A resistência da viga à compressão é proporcional à área de sua
seção transversal e a resistência à flexão é proporcional ao produto da largura
desta seção pelo quadrado de sua altura.
8. Uma faixa de lata de largura a deve ser encurvada em forma de canalete
cilíndrico aberto (veja figura). Que ângulo central φ deve-se tomar para que o
canalete tenha a maior capacidade possível?
43 Polinômios de Taylor
1. Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x0
dado.
63
(a) f(x) = 3
√
x, x0 =
8
(b) f(x) = ex, x0 = 0 (c) f(x) = cos 3x,
x0 = 0
2. Sejam f : I −→ R uma função derivável até a 2a ordem no intervalo I e
x0 ∈ I . Dado x ∈ I , mostre que existe c entre x e x0 tal que
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(c)
2
(x− x0)2.
3. Suponha que f é derivável até a 2a ordem no intervalo I e, seja x0 ∈ I . Se
|f ′′(x)| ≤M para todo x ∈ I , mostre que
|f(x)− T (x)| ≤ M
2
|x− x0|2,
onde T (x) é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de x0.
4. Calcule um valor aproximado e avalie o erro.
(a) ln 0, 99 (b) sin 0, 02 (c) e0,001 (d)
√
4, 001
5. Determine os polinômios de Taylor, de ordens 1 e 2, de f em torno de x0.
Esboce os gráficos de f e dos polinômios.
(a) f(x) = ln(1 + x),
x0 = 0
(b) f(x) = 1
1− x2 ,
x0 = 0
(c) f(x) = cosx,
x0 = 0
6. Sejam f : I −→ R uma função derivável até a 3a ordem no intervalo I e
x0 ∈ I . Dado x ∈ I, mostre que existe c entre x e x0 tal que
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + f
′′′(c)
3!
(x− x0)3.
7. Suponha que f é derivável até a 3a ordem no intervalo I e, seja x0 ∈ I . Se
|f ′′′(x)| ≤M para todo x ∈ I , mostre que
|f(x)− T2(x)| ≤ M
3!
|x− x0|3,
onde T2(x) é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0.
8. Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0, calcule um
valor aproximado e avalie o erro.
64
(a) ln 1, 03 (b) 3
√
7, 9 (c) e0,03 (d) cos 0, 2
9. Mostre que, para todo x,
(a) | sinx− x| ≤ 1
3!
|x3| (b)
∣∣∣∣cosx− (1− x22
)∣∣∣∣ ≤ 13! |x3|
10. Mostre que, para todo 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ ex −
(
1 + x+
x2
2
)
≤ x
3
2
11. Verifique que
(a) ex = 1 + x+ 1
2
x2 + o(x2)
(b) cosx = 1− 1
2
x2 + o(x2)
(c) sinx = x+ o(x2)
(d) lnx = (x − 1) − 1
2
(x − 1)2 +
o((x− 1)2)
12. Sabendo-se que sinx = x+ o(x2), calcule:
(a) lim
x→0
sinx− x
x2
(b) lim
x→0+
sinx− x2
x2
13. Seja f(x) =
{
x8 sin
1
x2
, se x 6= 0
0, se x = 0
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 = 0.
(b) Dado um número real a > 0, mostre que não existe M > 0 tal que
|f ′′′(x)| ≤M para todo x ∈ [0, a].
14. Sejam f : I −→ R uma função derivável até a 2a ordem no intervalo I e
x0 ∈ I . Mostre que existe um infinitésimo ϕ(x) para x→ x0 tal que
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2 + ϕ(x)(x− x0)2.
15. Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x0.
(a) f(x) = ex, n = 4 e x0 = 0.
(b) f(x) = ln x, n = 3 e x0 = 1.
(c) f(x) = arctanx, n = 5 e
x0 = 0.
(d) f(x) = (1 + x)α, n = 10! e
x0 = 0.
65
16. (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange) Sejam f : I −→ R uma função
n+ 1 vezes derivável no intervalo I e x0 ∈ I . Dado x ∈ I , mostre que existe
c entre x e x0 tal que
f(x) = Tn(x) +
f (n+1)(c)
(n+ 1)!
(x− x0)n+1,
onde Tn(x) é o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x0.
17. Sejam f : I −→ R uma função n+ 1 vezes derivável no intervalo I e x0 ∈ I .
Mostre que
f(x) = Tn(x) + o((x− x0)n),
onde Tn(x) é o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x0.
18. Sejam f : I −→ R uma função n+ 1 vezes derivável no intervalo I e x0 ∈ I .
Suponha que existeM > 0 tal que |f (n+1)(x)| ≤M para todo x ∈ I . Mostre
que, para todo x ∈ I ,
|f(x)− Tn(x)| ≤ M
(n+ 1)!
|x− x0|n+1.
19. (a) Mostre que, para todo x em [0, 1],∣∣∣∣ex − (1 + x+ x22 + x33! + · · ·+ xnn!
)∣∣∣∣ ≤ 3(n+ 1)!xn+1
(b) Avalie e com erro, em módulo, inferior a 10−5.
(c) Use o Teorema do Confronto para concluir que
e = lim
n→+∞
[
1 + 1 +
1
2
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
]
Referência:
1. Boulos, P., Camargo, I., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª Edi-
ção, Makron Books, 2004.
2. Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, 6ª Edição,
Mir Moscou, 1987.
66
3. Ginzburg, A. Calculus: problems and solutions. 1ª Edição, Dover, 2011.
4. Guidorizzi, H.L. Um curso de Cálculo. 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
5. Klymchuk, S. Counterexamples in Calculus. 1st. Edition, MAA, 2010.
6. Maron, I.A., Problems in Calculus of One Variable, 1st Edition, Mir Moscou,
1973.
7. Piskunov, N., Cálculo Diferencial e Integral, Tomo I, 3ª Edição, Mir Moscou,
1977.
8. Spivak, M.,Cálculo Infinitesimal. 2ª Edição, Editora Reverté, 1996.
9. Stewart, J. Cálculo. 7ª Edição, Cengage, 2013.
67