Autovalores e Autovetores em Álgebra Linear

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Introdução e Motivação 
Definição e notação 
Autovalores, Autovetores e 
Autoespaço 
 
 
 
 Álgebra Linear estuda transformações lineares, 
que são representados por matrizes agindo sobre 
vetores. 
 Autovalores, autovetores e auto-espaços são 
propriedades de uma matriz. Eles capturam todas 
as propriedades essenciais da matriz ou a 
correspondente transformação. 
Historicamente, a importância de autovalores e 
de autovetores correspondentes surgiu a partir de 
estudos em física e no estudo das formas 
quadráticas e equações diferenciais. 
 Estes têm aplicações em diversas áreas da 
ciência, em particular, na economia, engenharia 
mecânica, finanças, matemática e estatística. 
Muitas das aplicações envolvem o uso de 
autovalores e autovetores no processo de 
transformar uma determinada matriz em uma 
matriz diagonal. 
Matrizes diagonais são interessantes porque elas 
são fáceis de trabalhar - elas comportam-se 
como escalares quando são somadas ou 
multiplicadas. 
Diagonalização significa transformar uma matriz 
não diagonal em uma matriz que é equivalente 
ao uma matriz diagonal. 
Seja 𝐴 uma matriz 𝑛 x 𝑛. O número real 𝜆 é um 
autovalor de A se existe um vetor não-nulo 𝒙 
em ℝ𝑛 tal que 
𝑨𝒙 = 𝝀𝒙 
Todo vetor 𝒙 satisfazendo essa equação é 
chamado um autovetor de 𝐴 associado ao 
autovalor 𝜆. 
De modo que 𝒙 =
1
1
 é um autovetor de A 
associado ao autovalor 𝜆 = 3. 
 
𝒖 é autovetor de 𝑇 
 pois  ∈ ℝ | 𝑇(𝒖) = 𝒖. 
 𝒗 não é autovetor de 𝑇 
 pois não  ∈ ℝ|𝑇(𝒗) = 𝒗. 
 
























 1
1
3
3
3
1
1
41
12
Um autovetor é um vetor que mantém sua 
direção depois de passar por uma 
transformação linear. 
Uma autovalor é o valor escalar que o autovetor 
foi multiplicado para transformação linear. 
Este sistema homogêneo tem que ser 
indeterminado, pois queremos 𝒙 ≠ 𝟎. 
  0
00


xIA
IxAxxAxxAx



Questão: Como determinar os autovalores e os 
autovetores de uma matriz? 
Se o sistema 𝐴 − 𝜆𝐼 𝒙 = 𝟎 é indeterminado, 
tem-se 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝟎 
onde 
 
 𝐴 − 𝜆𝐼 é a denominada matriz característica 
 de A, 
 
 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 é o polinômio característico de A, e 
 
 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝟎 é a equação característica de A. 
 
 Os autovalores são as raízes do polinômio 
característico. 
 Seja 𝐴 =
1 1
−2 4
. Queremos encontrar os 
autovalores de A e seus autovetores 
associados. Kolman pág 239. 
 
O conjunto de todos os autovetores associados 
ao mesmo autovalor é um subespaço vetorial 
que se designa subespaço associado ao 
autovalor 𝜆 representado por 𝑉𝜆. 
 
 Chamamos multiplicidade algébrica de um 
autovalor a quantidade de vezes que ele 
aparece como raiz do polinômio 
característico. 
 
 Chama-se multiplicidade geométrica de um 
autovalor 𝜆 a dimensão do subespaço 𝑉𝜆 de 
autovetores associados a 𝜆. 
 
 
 Seja 𝐴 =
 1 0 0
 3 −3 1
−12 0 −3
. Queremos encontrar os 
autovalores de A e seus autovetores associados. 
Resolvendo a equação 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝟎 obtemos: 
 
𝑝 𝜆 = 1 − 𝜆 −3 − 𝜆 2 
 = −𝜆3 − 5𝜆2 − 3𝜆 + 9 
onde 𝜆1 = 1 com MA = 1 e MG = 1 
 𝜆2 = −3 com MA = 2 e MG = 1 
 
Se A é uma matriz 𝑛 𝑥 𝑛, 
 Para qualquer autovalor de A, a 
multiplicidade geométrica é menor ou 
igual a multiplicidade algébrica. 
 
 A é diagonalizável se e somente se, para 
qualquer autovalor, a multiplicidade 
geométrica é igual a multiplicidade 
algébrica. 
 KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com 
aplicações, Editora Prentice-Hall do Brasil 
Ltda, 1998. 
 
 BOLDRINI, J. I., COSTA, S. I. R. C., 
FIGUEIREDO, V. L. WETZLER, H. G. – Álgebra 
Linear. Editora Harbra Ltda, 3ª edição, são 
Paulo, 1986. 
 
 LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4ª 
edição. Editora LTC, Rio de janeiro, 1999.