08_Autovalores_Autovetores

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2020/Sem_02 
NOTAS DE AULA 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Autovalores e Autovetores 
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
ii 
Índice 
8 Autovalores e Autovetores ....................................................................................... 1 
8.1 Determinação dos autovalores e autovetores .................................................... 1 
8.2 Diagonalização de operadores .......................................................................... 3 
8.3 Exercícios Propostos ......................................................................................... 5 
Referências ................................................................................................................. 7 
 
 
 
 
 
Prof. Nunes 1 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
8 Autovalores e Autovetores 
Definição: Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑉 um operador linear. Se existirem 𝑣 ∈ 𝑉,  𝑣 ≠ 0 e 𝜆 ∈ ℜ, tais que: 
𝑇(𝑣) = 𝜆 ⋅ 𝑣, 
o número real 𝜆 é denominado autovalor (valor característico ou valor próprio) de T e v é 
chamado de autovetor (vetor característico ou vetor próprio) associado ao autovalor 𝜆. 
Observações: 
1) Pela definição, um vetor  𝑣 ≠ 0 é um autovetor, se a imagem 𝑇(𝑣) for um múltiplo de v; 
2) No ℜ2 e ℜ3, temos que v e 𝑇(𝑣) têm a mesma direção. 
Exemplos: 
1) O vetor 𝑣 = (5,2) é um autovetor associado ao autovalor 𝜆 = 6, do operador 𝑇:ℜ2 → ℜ2, 
tal que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 𝑦), pois: 
𝑇(𝑣) = 𝑇(5,2) = (30,12) = 6 ⋅ (5,2) = 6 ⋅ 𝑣 
8.1 Determinação dos autovalores e autovetores 
Sejam 𝜆 e v , respectivamente, autovalor de T e autovetor assoiaado à 𝜆. Considere ainda A a 
matriz associada à T, considerando as bases canônicas. Então temos: 
𝑇(𝑣) = 𝜆 ⋅ 𝑣 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑣 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝑣 − 𝜆 ⋅ 𝑣 = 0 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝑣 − 𝜆 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝑣 = 0 ⇒ (𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑣 =
0. 
Esta última expressão (𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑣 = 0 é um sistema de equações lineares homogêneas. Para 
que o mesmo admita soluções não nulas, devemos ter 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) = 0 que é denominada 
equação característica do operador T. As raízes desta equação são os autovalores do operador 
T. 
Exemplos: 
1) Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 𝑇:ℜ2 → ℜ2, representado pela 
matriz canônica [
4 5
2 1
]. 
Resolução: 
Se o operador é representado pela matriz [
4 5
2 1
], isto significa que a regra do mesmo é: 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 𝑦) 
Primeiro passo: Encontrar os autovalores de T. 
𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) = 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 [
4 − 𝜆 5
2 1 − 𝜆
] = 0 ⇒ 𝜆2 − 5𝜆 − 6 = 0 ⇒ {
𝜆1 = 6
𝜆2 = −1
 
Segundo passo: Para cada autovalor, encontrar os autovetores associados. 
Considerando 𝑣 = [
𝑥
𝑦] e (𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑣 = 0, obtemos: 
[
4 − 𝜆 5
2 1 − 𝜆
] ⋅ [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] (I) 
(i) substituindo 𝜆 por 6 na equação (I) obtemos: 
Prof. Nunes 2 
 
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[
−2 5
2 −5
] ⋅ [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] ⇒ {
−2𝑥 + 5𝑦 = 0
2𝑥 − 5𝑦 = 0
⇒ 𝑦 =
2
5
𝑥 
Assim, os vetores do tipo 𝑣1 = (𝑥,
2
5
𝑥) ou 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,
2
5
), 𝑥 ≠ 0, ou ainda 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (5,2), 𝑥 ≠
0, são os autovetores associados ao autovalor 𝜆1 = 6. 
(ii) substituindo 𝜆 por −1 na equação (I) obtemos: 
[
5 5
2 2
] ⋅ [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] ⇒ {
5𝑥 + 5𝑦 = 0
2𝑥 + 2𝑦 = 0
⇒ 𝑦 = −𝑥 
Assim, os vetores do tipo 𝑣2 = (𝑥, −𝑥) ou 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1, −1), 𝑥 ≠ 0, são os autovetores 
associados ao autovalor 𝜆2 = −1. 
Resposta: 
= 61 𝑣1 = (𝑥,
2
5
𝑥) ou 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,
2
5
), 𝑥 ≠ 0 
−= 12 𝑣2 = (𝑥,−𝑥) ou 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1, −1), 𝑥 ≠ 0 
2) Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 𝑇:ℜ3 → ℜ3, tal que 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(3𝑥 − 𝑦 + 𝑧,−𝑥 + 5𝑦 − 𝑧, 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧) 
Resolução: 
Primeiro passo: Encontrar os autovalores de T. 
A matriz canônica do operador T é: 𝐴 = [
3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
] 
𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) = 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 [
3 − 𝜆 −1 1
−1 5 − 𝜆 −1
1 −1 3 − 𝜆
] = 0 ⇒ 𝜆3 − 11𝜆2 + 36𝜆 − 36 = 0 ⇒ 
(𝜆 − 2) ⋅ (𝜆2 − 9𝜆 + 18) = 0 ⇒ {
𝜆1 = 2
𝜆2 = 3
𝜆3 = 6
 
Segundo passo: Para cada autovalor, encontrar os autovetores associados. 
Considerando 𝑣 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] e (𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑣 = 0, obtemos: 
[
3 − 𝜆 −1 1
−1 5 − 𝜆 −1
1 −1 3 − 𝜆
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] (I) 
(i) substituindo 𝜆 por 2 na equação (I) obtemos: 
[
1 −1 1
−1 3 −1
1 −1 1
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] ⇒ {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
⇒ {
𝑧 = −𝑥
𝑦 = 0
. 
Assim, os vetores do tipo 𝑣1 = (𝑥, 0, −𝑥) ou 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,0, −1), 𝑥 ≠ 0, são os autovetores 
associados ao autovalor 𝜆1 = 2. 
(ii) substituindo 𝜆 por 3 na equação (I) obtemos: 
[
0 −1 1
−1 2 −1
1 −1 0
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] ⇒ {
−𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 = 0
⇒ {
𝑦 = 𝑥
𝑧 = 𝑥
. 
Prof. Nunes 3 
 
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Assim, os vetores do tipo 𝑣2 = (𝑥, 𝑥, 𝑥) ou 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1,1,1), 𝑥 ≠ 0, são os autovetores 
associados ao autovalor 𝜆2 = 3. 
(iii) substituindo 𝜆 por 6 na equação (I) obtemos: 
[
−3 −1 1
−1 −1 −1
1 −1 −3
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] ⇒ {
−3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0
⇒ {
𝑦 = −2𝑥
𝑧 = 𝑥
. 
Assim, os vetores do tipo 𝑣3 = (𝑥, −2𝑥, 𝑥) ou 𝑣3 = 𝑥 ⋅ (1, −2,1), 𝑥 ≠ 0, são os autovetores 
associados ao autovalor 𝜆3 = 6. 
Resposta: 
= 21 𝑣1 = (𝑥, 0, −𝑥) ou 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,0, −1), 𝑥 ≠ 0 
= 32 𝑣2 = (𝑥, 𝑥, 𝑥) ou 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1,1,1), 𝑥 ≠ 0 
= 63 𝑣3 = (𝑥, −2𝑥, 𝑥) ou 𝑣3 = 𝑥 ⋅ (1, −2,1), 𝑥 ≠ 0 
8.2 Diagonalização de operadores 
Teorema: 
Autovetores associados à autovalores distintos de um operador linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉, são linearmente 
independentes (L.I.). 
Teorema: 
Se o operador linear 𝑇:ℜ3 → ℜ3, admite três autovalores distintos 𝜆1, 𝜆2  𝑒  𝜆3, então os 
autovetores 𝑣1,  𝑣2  𝑒  𝑣3, associados a estes autovalores, respectivamente, formam uma base 
do ℜ
3
. 
Neste caso, o operador T pode ser representado, na base 𝐵 = {𝑣1,  𝑣2,  𝑣3}, pela matriz 
diagonal: [𝑇]𝐵
𝐵 = [
𝜆1 0 0
0 𝜆2 0
0 0 𝜆3
]. 
Definição: 
Dizemos que uma matriz quadrada A (matriz canônica de um operador linear), é diagonalizável, 
se existe uma matriz P, tal que 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 seja diagonal. 
Nesse caso, dizemos que a matriz P diagonaliza a matriz A, ou que P é a matriz diagonalizadora. 
Esta mesma definição pode ser escrita de modo equivalente como: 
Um operador 𝑇: 𝑉 → 𝑉 é diagonalizável, se existe uma base de V formada por autovetores de 
T. 
Exemplos: 
1) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz 𝐴 = [
3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Resolução: 
O primeiro passo é encontrar os autovalores e autovetores do operador associado a esta matriz 
canônica A. Isto já foi feito do exemplo 1 da seção 8.1, onde obtivemos: 
= 21 𝑣1 = (1,0, −1) 
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= 32 𝑣2 = (1,1,1) 
= 63 𝑣3 = (1,−2,1) 
Assim, a matriz P terá as colunas formadas pelos autovetores obtidos: 
𝑃 = [
1 1 1
0 1 −2
−1 1 1
] ⇒ 𝑃−1 =
[
 
 
 
 
1
2
0 −
1
2
1
3
1
3
1
3
1
6
−
1
3
1
6 ]
 
 
 
 
. 
𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 =
[
 
 
 
 
 
1
2
0 −
1
2
1
3
1
3
1
3
1
6
−
1
3
1
6 ]
 
 
 
 
 
⋅ [
3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
] ⋅ [
1 1 1
0 1 −2
−1 1 1
] = [
2 0 0
0 3 0
0 0 6
] 
Repare que esta última matriz é uma matriz diagonal e os elementos são os autovalores de A. 
2) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz [
4 5
2 1
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Resolução: 
O primeiro passo é encontrar os autovalores e autovetores do operador associado a esta matriz 
canônica A. Isto já foi feito do exemplo 2 da seção 8.1, onde obtivemos: 
= 61 𝑣1 = (1,
2
5
), ou 𝑣1 = (5,2) 
−= 12 𝑣2 = (1,−1) 
Assim, a matriz P terá as colunas formadas pelos autovetores obtidos: 
𝑃 = [
5 1
2 −1
] ⇒ 𝑃−1 = [
1
7
1
7
2
7
−
5
7
]. 
𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 = [
1
7
1
7
2
7
−
5
7
] ⋅ [
4 5
2 1
] ⋅ [
5 1
2 −1
] = [
6 0
0 −1
] 
Repare que esta última matriz éuma matriz diagonal e os elementos são os autovalores de A. 
3) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz 𝐴 = [
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Resolução: 
O primeiro passo é encontrar os autovalores e autovetores do operador associado a esta matriz 
canônica A. 
A equação característica deste operador é: 
𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) = 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 [
2 − 𝜆 1 0
0 1 − 𝜆 −1
0 2 4 − 𝜆
] = 0 ⇒ {
𝜆1 = 𝜆2 = 2
𝜆3 = 3
 
= 21 𝑣1 = (1,0,0) 
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= 32 𝑣2 = (1,1, −2) 
Como só existem dois autovetores L.I. do ℜ
3
, então não existe uma matriz P que diagonaliza o 
operador representado por A. 
4) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz 𝐴 = [
3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Resolução: 
O primeiro passo é encontrar os autovalores e autovetores do operador associado a esta matriz 
canônica A. 
A equação característica deste operador é: 
𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆 ⋅ 𝐼) = 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 [
3 − 𝜆 0 −4
0 3 − 𝜆 5
0 0 −1 − 𝜆
] = 0 ⇒ {
𝜆1 = 𝜆2 = 3
𝜆3 = −1
 
Para 𝜆1 = 𝜆2 = 3: 
[
0 0 −4
0 0 5
0 0 −4
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] ⇒ {
−4𝑧 = 0
5𝑧 = 0
−4𝑧 = 0
⇒ {
𝑥,  𝑦 quaisquer  (𝑥,  𝑦 ≠ 0)
𝑧 = 0
 
Assim, os vetores são do tipo 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 0). Neste caso, podemos obter dois vetores L.I., (1,0,0) 
e (0,1,0), que são os autovetores associados ao autovalor 𝜆1 = 𝜆2 = 3. 
Para 𝜆3 = −1: 
[
4 0 −4
0 4 5
0 0 0
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
] ⇒ {
4𝑥 − 4𝑧 = 0
4𝑦 + 5𝑧 = 0
𝑧 qualquer (𝑧 ≠ 0)
⇒ {
𝑥 = 𝑧
𝑦 = −
5
4
⋅ 𝑧, (𝑧 ≠ 0)
 
Assim, os vetores do tipo 𝑣3 = (𝑥, −
5
4
𝑥, 𝑥) ou 𝑣3 = 𝑥 ⋅ (4, −5,4), 𝑥 ≠ 0, são os autovetores 
associados ao autovalor 𝜆3 = −1. 
Assim, a matriz P terá as colunas formadas pelos autovetores obtidos: 
𝑃 = [
1 0 4
0 1 −5
0 0 4
] ⇒ 𝑃−1 = [
1 0 −1
0 1
5
4
0 0
1
4
]. 
𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 =
[
 
 
 
 
1 0 −1
0 1
5
4
0 0
1
4 ]
 
 
 
 
⋅ [
3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
] ⋅ [
1 0 4
0 1 −5
0 0 4
] = [
3 0 0
0 3 0
0 0 −1
] 
Repare que esta última matriz é uma matriz diagonal e os elementos são os autovalores de A. 
Observação: Embora neste caso existam somente 2 autovalores distintos, existe uma base do 
ℜ
3
 formada por autovetores. Assim, mesmo quando os autovalores não são todos distintos, é 
possível que eventualmente o operador seja diagonalizável. 
8.3 Exercícios Propostos 
1) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: 
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a) T:  →2 2 tal que T (x, y) = (2y, x) 
b) T:  →2 2 tal que T (x, y) = (x + y, 2x + y) 
c) T:  →4 4 tal que T (x, y, z, t) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + t) 
Respostas: 
a) 
Se 𝜆1 = √2 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,
√2
2
), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆2 = −√2 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1,−
√2
2
), 𝑥 ≠ 0 
b) 
Se 𝜆1 = 1 + √2 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1, √2), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆2 = 1 − √2 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (1, −√2), 
c) 𝜆 = 1 𝑣 = 𝑥 ⋅ (0,0,0,1). 
2) Dado o operador linear T: 𝑅2 → 𝑅2 tal que T(x, y) = (x − 2y , −y), ache os autovalores de T. 
Resposta: Autovalores: {
𝜆1 = 1
𝜆2 = −1
 Autovetores: (𝑥, 0),  𝑥 ≠ 0 e (𝑥, 𝑥),  𝑥 ≠ 0 
3) Sejam 










=
1- 0 0
1 1- 0
1 2 1
A e 










=
3 0 0
0 2 0
1 3 1
B matrizes invertíveis. 
a) Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos. 
b) Encontre os autovalores de AB e os de BA. O que você observa? 
c) Encontre os autovetores de AB e os de BA. O que você nota? 
Respostas: 
a) 𝐴 ⋅ 𝐵 = [
1 7 4
0 −2 3
0 0 −3
] e 𝐵 ⋅ 𝐴 = [
1 −1 3
0 −2 2
0 0 −3
]. São distintos. 
b) Nos dois casos os autovalores são iguais: 𝜆 = 1,−2,−3 
c) 
Autovetores de 𝐴 ⋅ 𝐵: 
Se 𝜆1 = 1 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,0,0), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆2 = −2 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (−7,3,0), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆3 = −3 𝑣3 = 𝑥 ⋅ (
17
4
, −3,1), 𝑥 ≠ 0 
Autovetores de 𝐵 ⋅ 𝐴: 
Se 𝜆1 = 1 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (1,0,0), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆2 = −2 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (
1
3
, 1,0), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆3 = −3 𝑣3 = 𝑥 ⋅ (−
5
4
, −2,1), 𝑥 ≠ 0 
4) Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 𝑇:ℜ3 → ℜ3, representado pela 
matriz canônica [
4 2 0
−1 1 0
0 1 2
]. 
Respostas: 
Se 𝜆1 = 𝜆2 = 2 𝑣1 = 𝑥 ⋅ (0,0,1), 𝑥 ≠ 0 
Se 𝜆3 = 3 𝑣2 = 𝑥 ⋅ (−2,1,1), 𝑥 ≠ 0. 
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5) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz [
2 1
0 1
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Respostas: 𝑃 = [
−1 1
1 0
], 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 = [
1 0
0 2
] 
6) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz 𝐴 = [
2 −2 −1
−2 2 1
−1 1 3
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Respostas: 
𝑃 = [
1 −1 1
−1 1 1
2 1 0
], 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃 = [
2 0 0
0 5 0
0 0 0
] 
7) Encontrar a matriz P que diagonaliza a matriz 𝐴 = [
0 1 0
0 0 1
1 −3 3
] e calcular 𝑃−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑃. 
Respostas: A não é diagonalizável. 
Referências 
 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. 
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-
Hill do Brasil, 1990.