Estabilidade de cargas críticas

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Estabilidade e 
Carga Crítica
Engenharia 
Mecânica 
Sempre que se projeta um elemento 
estrutural, é necessário que ele satisfaça 
requisitos específicos de:
ü Resistência
ü Deflexão
ü Estabilidade
Estabilidade e Instabilidade
Condição Estável Condição Instável Condição Neutra
Elementos estruturais sujeitos a cargas de compressão, 
se forem compridos e esbeltos (colunas) , podem 
apresentar uma deflexão ou uma oscilação lateral 
denominada FLAMBAGEM (Buckling).
Muitas vezes leva à falha 
repentina e dramática de uma 
estrutura ou mecanismo.
Flambagem
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na 
iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica (𝑷𝒄𝒓). 
Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna e, portanto, 
deflexão lateral.
Carga Crítica
Instabilidade e condições de equilíbrio
Considere um mecanismo 
composto por duas barras sem 
peso, rígidas e conectadas por 
pinos nas extremidades
1 – Equilíbrio inicial 
Barras na vertical e força P 
aplicada no topo de uma 
delas.
Instabilidade e condições de equilíbrio
Efeitos:
Força Restauradora (𝑭𝒓)
Mola F=k Δ
Força Perturbadora (𝑭𝒑)
Carga aplicada – duas 
componentes horizontais 𝑷𝒙 =𝑷 𝐭𝐚𝐧𝜽 (tende a empurrar a barra 
para fora do equilíbrio)
Se 𝜃 é pequeno:𝜃 = tan 𝜃 e ∆≈ 𝜃𝐿/2𝐹8 => 𝐹 = 𝑘𝜃𝐿/2𝐹: => 2𝑃< = 2𝑃𝜃
2 – Perturbação – Pino A deslocado em Δ
Instabilidade e condições de equilíbrio
Efeitos:
Se a força restauradora for maior que 
a força perturbadora: 
2 – Perturbação – Pino A deslocado em Δ
𝑃 < 𝑘𝐿4 Equilíbrio Estável𝜃 é cancelado e a barra permanece no estado inicial
Instabilidade e condições de equilíbrio
Três condições de equilíbrio
𝑭𝒓 > 𝑭𝒑
𝑭𝒓 = 𝑭𝒑
𝑭𝒓 < 𝑭𝒑
Instabilidade e condições de equilíbrio
Representação gráfica das três condições de 
equilíbrio
Coluna ideal suportada por pinos
Condição inicial: 
ü Coluna perfeitamente reta antes da carga, 
ü Feita de material homogêneo 
ü A carga é aplicada no centroide da seção transversal
ü Material no regime linear elástico
Flambagem ocorre em um único plano.
Se a coluna é reta, a carga axial P poderia ser aumentada até 
ocorrer falha por ruptura ou escoamento do material. 
Quando a carga crítica Pcr é 
atingida, a coluna está na 
iminência de tornar-se instável!
Uma pequena força lateral F , fará com que ela 
permaneça na posição defletida quando F for 
removida.
Qualquer ligeira redução na carga axial P em 
relação a Pcr fará com que a coluna endireite-se. 
Qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse 
Pcr provocará aumentos adicionais na deflexão 
lateral.
Mas...
Coluna ideal suportada por pinos
O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se instável quando 
sujeita a uma carga axial dependerá de sua capacidade de 
restauração, que é baseada em sua resistência à flexão.
Para determinar a carga crítica e a forma da coluna quando 
flambada, pode ser aplicada a equação que relaciona o momento 
interno na coluna com sua forma defletida (pode ser usada para 
pequenas deflexões):
Coluna ideal suportada por pinos
Quando a coluna está em posição defletida 
(Fig.a), o momento fletor interno pode ser 
determinado pelo método das seções (Fig.b).
Obs.: a deflexão 𝜐 e o momento interno M são
mostrados na direção positiva.
Somando momentos, o momento interno é𝑀 = −𝑃𝜐
Então:
Coluna ideal suportada por pinos
A solução desta equação diferencial será:
As duas constantes C1 e C2 são determinadas pelas 
condições de contorno nas extremidades da coluna. 𝜐 = 0 𝑒𝑚 𝑥 = 0 → 𝐶I = 0𝜐 = 0 𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿 →
Duas soluções possíveis: 𝐶J = 0 exige que a coluna permaneça sempre reta, ainda que a carga faça com que a coluna torne-se 
instável.
satisfeita se ou
Coluna ideal suportada por pinos
𝐶J ≠ 0
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de modo que a carga crítica 
(ou Carga de Euler) para a coluna é, portanto:
A forma flambada correspondente é definida 
pela equação
ü A deflexão máxima 𝜐Lá< - ocorre no ponto médio da 
coluna 
ü Não é possível obter valores específicos para 𝐶J , uma vez 
que a forma defletida exata da coluna é desconhecida 
após a flambagem.
Coluna ideal suportada por pinos
n - representa o número de 
ondas na forma defletida da 
coluna. 
Se n = 2: haverá duas ondas na 
forma flambada (fig.c), e a coluna 
suportará uma carga crítica de 
4Pcr, imediatamente antes da 
flambagem. 
Como esse valor é quatro vezes a 
carga crítica e a forma defletida é 
instável, na
prática, essa forma de flambagem
não existirá.
Coluna ideal suportada por pinos
Observações
A carga crítica é independente da 
resistência do material. Ela depende somente 
das dimensões da coluna (I e L) e da rigidez ou 
do módulo de elasticidade do material, E. 
Ex.: Para flambagem elástica: aço de alta resistência = aço de 
resistência mais baixa, ambos tem mesmo E.
A capacidade de carga de uma coluna 
aumentará à medida que o momento de 
inércia da seção transversal aumentar. 
Observações
Colunas eficientes são projetadas de 
modo que a maior parte da área da 
seção transversal da coluna esteja 
localizada o mais longe possível dos 
eixos principais do centroide da seção. 
Por isso as seções ocas como tubos são 
mais eficientes do que as maciças. Além 
do mais, as seções de abas largas e 
colunas 'construídas' com perfis em U, 
cantoneiras, placas etc. são melhores do 
que as maciças e retangulares.
Observações
Uma coluna sofrerá flambagem em torno 
do eixo principal da seção transversal 
que tenha o menor momento de inércia
(o eixo menos resistente).
Em engenharia, geralmente é perseguido o 
equilíbrio mantendo os mesmos momentos de 
inércia em todas as direções. 
Então, em termos geométricos:
§ Tubos dariam excelentes colunas.
§ Tubos quadrados ou formas para as quais 𝐼O = 𝐼< também são formas bastante 
utilizadas como colunas.
Resumindo
equação da flambagem para 
uma coluna comprida e 
esbelta apoiada por pinos
Onde:
Pcr = carga crítica (não deve ser suficiente para que a tensão na coluna exceda o limite 
de proporcionalidade)
E = módulo de elasticidade para o material
I = menor momento de inércia para a área da seção transversal da coluna 
L = comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades estejam presas por pinos
Raio de Giração e Indice de Esbeltez
O momento de inércia da seção (I) pode ser também expresso 
pela expressão:
r = menor raio de giração da 
coluna, dado por 𝑟 = 𝐼/𝐴
(I=menor momento de 
inércia da seção). 
𝐼 = 𝐴𝑟I
área da seção transversal
raio de giração da área da 
seção transversal.
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎: tensão média na 
coluna imediatamente antes da 
flambagem. Essa é uma tensão elástica 
e menor que a tensão de escoamento 
do material!
Raio de Giração e Indice de Esbeltez
índice de esbeltez
É uma medida da flexibilidade da coluna e 
pode ser usada para classificar colunas em:
Compridas
Intermediárias
Curtas.
A flambagem ocorrerá em torno do
eixo no qual esse índice tiver o maior valor.
Raio de Giração e Indice de Esbeltez
Exemplo 1
Um tubo ele aço A-36 com 7,2 m de comprimento e a seção 
transversal mostrada na figura e deve ser usado como uma coluna 
presa por pinos na extremidade. Determine a carga axial admissível 
máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem.
Solução
Considerando Eaço=200GPa
Como 𝜎]8 < 𝜎^ = 250𝑀𝑃𝑎, a aplicação ela equação de
Euler é adequada.
Colunas com vários tipos de apoio
Colunas podem ser apoiadas de diversos modos 
além do uso de pinos. Por exemplo, será 
considerada uma coluna engastada na base e livre 
no topo
o momento interno
Diferentemente da Equação 13.2,essa é não 
homogênea por causa do termo não nulo no 
lado direito. A solução é:
Colunas com vários tipos de apoio
Neste caso após determinadas as constantes C1 e C2, 
será obtido:
Considerando que a deflexão no topo da coluna é 𝛿, isto é, 
em 𝑥 = 𝐿, 𝜐 = 𝛿, exige-se
𝛿 = 0 → indica que não ocorre nenhuma flambagem, 
independentemente da carga P.
A menor carga crítica ocorre quando n 1, de 
modo que
ou
Colunas com vários tipos de apoio
Por comparação, observa-se que uma coluna engastada 
na base e livre no topo suportará apenas um quarto da 
carga crítica que pode ser aplicada a uma coluna apoiada 
por pinos em ambas as extremidades.
Colunas com vários tipos de apoio
Fórmula de 
Euler
Desenvolvida para o caso de 
uma coluna com extremidades 
presas por pinos ou livres para 
girar. 
L na equação representa a distância 
sem apoio entre os pontos de momento 
nulo.
Para outros tipos de apoio, é possível 
estabelecer uma distância que 
representa a distância entre pontos de 
momento nulo. 
Essa distância é denominada 
comprimento efetivo da coluna, Le.
Para coluna presa por
pinos nas extremidades Le=L
Para coluna com uma 
extremidade engastada e a 
outra livre, a curva de deflexão é 
metade da curva para uma coluna 
acoplada por pinos com 
comprimento 2L
Ao invés de usar Le, pode ser usado um 
coeficiente adimensional K (fator de 
comprimento efetivo).
Colunas com vários tipos de apoio
Assim, podemos calcular a carga crítica e a tensão crítica utilizando o 
fator K:
Uma 
extremidade 
livre e outra 
engastada
Duas 
extremidades 
presas por pinos
Uma extremidade 
engastada e a 
outra presa por 
pinos
Ambas as 
extremidades 
engastadas
K=1K=2 K=0,7 K=0,5
Onde (KL/r) é o índice de 
esbeltez efetivo da seção.
e
Colunas com vários tipos de apoio
Assim, podemos calcular a carga crítica e a tensão crítica utilizando o fator K:
K=1 K=2K=0,7K=0,5
Onde (KL/r) é o índice de 
esbeltez efetivo da seção.
e
Colunas com vários tipos de apoio
Uma coluna de aço W150x24 tem 8 m de comprimento e as extremidades 
engastadas, como mostrado na figura a. Sua capacidade é aumentada pelas 
escoras de reforço em torno do eixo y-y (fraco). Consideramos que estas 
escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da altura da coluna. 
Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o 
material ultrapasse a tensão de escoamento.
Considere Eaço=200GPa e 𝜎^ = 410𝑀𝑃𝑎
Solução:
Devido as escoras de reforço, o comportamento de 
flambagem será diferente para os eixos.
Em torno do eixo x-x, o comprimento 
efetivo será de (KL)=0,5*8m=4m
Em torno do eixo y-y, o comprimento 
efetivo será de (0,7*4m)=2,8m
Solução:
Para o perfil W150x24,os momentos de inércia são (Apendice B): 
Ix=13,4x106mm4 Iy=1,83x106mm4
a flambagem ocorrerá torno do eixo y-y.
Para a área de seção transversal de 3060mm2 , a tensão 
média atuante será de :
Esta tensão está abaixo da tensão de escoamento, então a flambagem
ocorrerá antes do escoamento do material.
A flambagem ocorre em torno do eixo que tem o maior índice de esbeltez, como 
pode ser confirmado pelo cálculo:
Obrigado
Leitura recomendada: Hibbeler cap. 13
Exercícios:
13.3
13.10
13.12
13.26
13.32
13.35