Álgebra Vetorial

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Álgebra Vetorial
O Vetor
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
Comprimento (denominado módulo)
Direção
Sentido (de A para B)
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!
Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo: 
O Vetor Oposto
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.
O Vetor Unitário (Versor)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja: 
| u | = u = 1.
O Vetor Nulo
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
A Projeção de um Vetor Sobre um Eixo
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo 
 com o eixo r. 
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a 
ux = u . cos . Observe que se  = 90º , teremos cos = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula. 
A Notação de Grassmann Para os Vetores
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.
Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u.
Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A 
Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos, permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na seqüência deste trabalho.
Um Vetor no Plano Como um Par Ordenado
Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u
u = P - O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte, O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y). Substituindo acima, vem:
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).
Portanto, u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:
Um Vetor no Plano, em Função dos Versores dos Eixos Coordenados
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y, conforme figura abaixo:
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como: u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz, conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaçoseria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Operações com Vetores
Adição 
1º Modo: Regra do paralelogramo
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.
Obtemos o vetor u + v acima da seguinte maneira:
Transportamos a e b de modo que suas origens coincidam, sem modificar seus módulos, direções e sentidos;
Pela extremidade da cada vetor traça-se uma reta paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetor soma u + v corresponde à diagonal desse paralelogramo, com origem na origem comum de u e v.
	
	Observação
	
	
	
	
	Para aplicar a regra do paralelogramo na adição de mais que dois vetores, devemos adiciona-los dois a dois. O vetor soma dos dois primeiros é adicionado com o terceiro e assim sucessivamente.
2º Modo: Regra do polígono	
Neste caso obtemos o vetor u + v acima da seguinte maneira:
Transportamos u e v de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direções e sentidos;
Ligamos a origem de u com a extremidade final de v. O vetor assim obtido e o vetor soma u + v.
	
	Observação
	
	
	
	
	Quando tivermos mais que dois vetores sendo adicionados, a regra do polígono é aplicada colocando-se os vetores consecutivamente, isto é, a extremidade do primeiro coincidindo com a origem do segundo, a extremidade do segundo coincidindo com a origem do terceiro... O vetor soma é obtido ligando-se a origem do primeiro com a extremidade do último.
Casos particulares:
Vetores de mesma direção e sentido:
O vetor soma apresenta mesma direção e o mesmo sentido dos vetores parcelas e o seu módulo é igual à soma dos módulos.
Vetores de mesma direção e sentidos opostos:
O vetor soma apresenta mesma direção dos vetores parcelas e o sentido do vetor de maior módulo. O seu módulo é dado pela diferença dos módulos.
 
Vetores de direções ortogonais:
A direção e o sentido do vetor soma são dados pela regra do polígono (ou do paralelogramo). O módulo é calculado pela aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo acima.
Módulo do vetor soma
 
	EXERCÍCIOS
Efetue graficamente a adição dos vetores indicados abaixo, utilizando a regra do polígono e a regra do paralelogramo.
Dada a figura: 
Assinale a relação vetorial correta:
x + y = z
x = y + z
x + z = y
x + y + z = 0 (vetor nulo)
y + z = - x
Dados os vetores:
É correto afirmar que:
a = c 
a = b = c = d
b = d
b = -c
c = -a
Escreva a fórmula vetorial que corresponde ao diagrama abaixo:
Determine o vetor soma graficamente nos casos abaixo é calcule o seu módulo:
	.
	b)
	c)
	d)
	GABARITO 
1) 
Polígono:
Paralelogramo:
B
E 
Não tem
Não tem
Subtração
Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos definir a diferença u - v , como sendo igual à soma u + ( -v ).
Veja a figura abaixo:
Multiplicação por um Escalar
Dado um vetor u e um escalar ( R, define-se o vetor  .u, que possui:
Direção: a mesma direção de u 
Sentido: mesmo de u se  > 0 e sentido oposto se  < 0 
Módulo: do vetor .u será igual a ||.|u|.
Produto Interno ou Produto Escalar
Dados dois vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2), define-se o produto interno desses vetores como segue:
u
v = x1 . x2 + y1 . y2
Propriedades:
u
v = v 
 u 
u
 (v + w)= u
v + u
w
u
u = | u |2
Interpretação geométrica:
u
v = |u| . |v| . cos 
Onde e 
 o ângulo formado entre os vetores u e v.
Observação
Se u
v = 0 então os dois vetores são perpendiculares, (
 = 90º e cos 90º = 0).
Se u
v = |u| . |v| então os dois vetores são paralelos, (
 = 0º e cos 0º = 1) 
Se u
v = - |u| . |v| então os dois vetores têm sentidos opostos (
 = 180º e cos 180º = ( 1)
Se os vetores u =(x1,y1, z1) e v =( x2,y2, z2) teremos:
u
v = x1. x2 + y1. y2 + z1. z2
u
v = |u| . |v| . cos
	EXERCÍCIOS
Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:
o vetor soma u + v
o módulo do vetor u + v
o vetor diferença u – v
o vetor 3 u - 2 v
o produto interno u . v
o ângulo formado pelos vetores u e v
Determine o ângulo formadopelos vetores u =(3,0) e v = (-2 , 
).
Determine o ângulo formado pelos vetores u = 3i + j e v = i + 2j .
A partir de agora considere apenas os vetores pertencentes ao espaço R3.
	GABARITO 
a) 3i-4j
b) 5
c) i-6j
d) 4i-17j
e) –3
120°
45°
	Produto Vetorial
 	Dados dos vetores u = (x1, y1,z1) e v = (x2, y2,z2), define-se o produto vetorial u 
 v como sendo um terceiro vetor w, obtido através do seguinte determinante:
w = u 
 v = 
 onde 
 
=(1,0,0) ,
=(0,1,0) e 
=(0,0,1)
	Como w = u 
 v é um vetor temos:
Direção de u 
 v: perpendicular ao plano de u e v.
Sentido de u 
 v: regra da mão direita. Fechando a mão direita de u para v, o sentido de u 
 v será o mesmo do polegar direito.
Módulo de u 
 v: | u 
 v |=|u|.|v|.sen ß
u
v = -(v
u ) .
Se os vetores u e v são paralelos então ß= 0º e portanto | u
v |= u.v.sen 0º = u.v.0 = 0, logo o vetor w = u
v será o vetor nulo.
Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos.
Observe a tabela:
	i 
 i = 0
	i 
 j = k
	j 
 j = 0
	j 
 k = i
	k 
 k = 0
	k 
 i = j
 	
Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor é paralelo a si próprio e portanto, i // i, j // j e k // k)e também lembrar que os vetores i, j, k são perpendiculares entre si dois a dois.
Interpretação geométrica
Área do paralelogramo
S = | u 
 v | = |u|.|v|.sen ß
Área do triângulo
O triângulo limitado pelos vetores u e v que formam entre si o ângulo ß, terá uma área igual a metade da área S do paralelogramo da dada por 
 
ST =
 | u 
 v | =
 |u|.|v|.sen ß
	EXERCÍCIOS
Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,1,-1), B(1,-1,0) e C(-1,1,2). Dica encontre as coordenadas dos vetores AB e AC abaixo:
AB = B – A = (1,-1,0) – (2,1,-1) = (-1,-2,1)
AC = C – A = (-1,1,2) – (2,1,-1) = (-3,0,3)
Determine a área do triângulo de vértices 
P(3,2,4), Q(1,1,1)e R(2,1,0).
	GABARITO 
aproximadamente 4,2 unidades de área ou 4,2 u.a.
aproximadamente 2,6 u.a.
	Produto Misto
Dados os vetores u = (x1 , y1, z1), v = (x2 , y2, z2) e w = (x3 , y3, z3), tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u, v e w ao número real u
(v
w). Indica-se o produto misto por (u, v , w) ou [u, v , w] e determinaremos seu valor através da expressão:
Exemplo: 
Dados os vetores u = (2,3,5), v =(-1,3,3) e w=(4,-3,2),
Propriedades do produto misto
(u, v , w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares ou se os três são coplanares.
O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é:
(u, v , w) = (w, u,v ) = (v,w, u)
Podemos permutar os sinais 
e 
entre si no produto misto de três vetores:
u
(v
w) = (u
v) 
w
O produto vetorial e o produto misto não são definidos no R2.
Interpretação geométrica do produto misto
Volume de um paralelepípedo:
	
V = |(u, v , w)| = | u
(v
w)|
Volume do prisma de base triangular
V = |(u, v , w)| . 1/2 = | u
(v
w)| .1/2
Volume da Pirâmide de base triangular:
 
V = |(u, v , w)| . 1/6 = | u
 (v
w)| .1/6
Volume da Pirâmide de base quadrada:
V = |(u, v , w)| . 1/3 = | u
 (v
w)| .1/3
�
�
�
�
�
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura ao lado:
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .
�
�
O módulo do vetor
u = x.i + y.j + z.k 
será dado por:
e+f
f
e
c+d
c
d
b
 â
a+b
â
a+b
b
 c +d
d
c
e+f
f
e
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