APOSTILA- FENÔMENOS DE TRANSPORTE 2015

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1 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
Professor: Rosemberg 
 
 
 
 
 
 
2015 
 
2 
 
 
Capítulo I – Definição e propriedades dos fluidos 
I.1-Definição de fluido 
A matéria apresenta-se no estado sólido ou no estado fluido, este abrangendo os 
estados líquido e gasoso. O espaçamento e a atividade intermoleculares são maiores 
nos gases, menor nos líquidos e muito reduzido nos sólidos. 
 
Figura 1 – Configuração das moléculas nas três fases da matéria 
 Os sólidos cristalinos tem tipicamente superfícies planas bemdefinidas, chamadas 
de faces do cristal, que fazem ângulos definidos umas com as outras. Essas faces são 
formadas por camadas ordenadas de átomos. Sólidos amorfos não têm faces bem-
definidas a menos que tenham sido cortados ou molhados. 
 
Figura 2 – Arranjos cúbicos de sólidos 
 
3 
O arranjo de átomos, íons e moléculas dentro de um cristal é determinado 
por difração de Raios –X. Cada arranjo mostrado acima possibilita um empacotamento 
dos átomos levando a densidades diferentes. 
 
Figura 3 – Densidade atômica dos arranjos cúbicos de sólidos 
 
Fluido é qualquer substância que se deforma continuamente quando 
submetido a uma tensão de cisalhamento, ou seja, ele escoa isso implica se o fluido 
permanece estático não existirão forças de cisalhamento atuando. 
 Fluidos existem como líquido (água, gasolina), gás (ar, hidrogênio) e como 
uma combinação de líquido e gás (vapor úmido). 
Todos os fluidos possuem certo grau de compressibilidade e oferecem 
pequena resistência à mudança de forma. 
A força ∆F que age em uma área ∆A pode ser decomposta em uma componente 
normal ∆F
n 
e uma componente tangencial ∆Ft, como mostra a Figura abaixo. 
A força dividida pela área na qual ela age é chamada tensão. O vetor força dividida 
pela área é o vetor de tensão, a componente normal da força dividida pela área é a 
tensão normal e a força tangencial dividida pela área é a tensão de cisalhamento. 
 
 
Figura 4 – Representação esquemática dos tensores sobre uma superfície. 
A Tensão de Cisalhamento é a razão entre a o módulo da componente tangencial da 
força é a área da superfície sobre a qual a força está sendo aplicada. 
 
 
 
 
 
 Equação 01 
 
 
4 
 
 
I.2-Propriedades dos fluidos 
As propriedades dadas no presente material são aquelas gerais de fluidos que são de 
interesse em Engenharia: Massa específica, peso específico, densidade, viscosidade 
cinemática, viscosidade dinâmica. 
 
I.2.1 – Viscosidade absoluta ou dinâmica(µ) 
� Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a 
placa superior em um dado instante passe a se movimentar sob a ação de uma força 
tangencial. 
� A força Ft, tangencial ao fluido, gera uma tensão de cisalhamento. 
� O fluido adjacente à placa superior adquire a mesma velocidade da placa (princípio da 
aderência) 
� As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for 
a distância da placa superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Também pelo 
princípio da aderência, a velocidade do fluido adjacente à placa inferior é zero. 
� Como existe uma diferença de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrerá então 
uma deformação contínua do fluído sob a ação da tensão de cisalhamento. 
 
As partículas fluidas juntas ás superfícies sólidas adquirem as velocidades dos pontos 
das superfícies com as quais estão em contato, fenômeno denominado Princípio da 
aderência. 
 
 
 
Figura 5 – Deformação de um fluido entre duas placas 
 
A definição de viscosidade está relacionada com a Lei de Newton: 
“A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à variação de velocidade ao 
longo da direção normal as placas” 
 
 
 
Na medida em que afasta da parede, a velocidade do fluido relativa à parede 
aumenta, variando desde a velocidade da superfície (zero) até um valor máximo finito 
(V0). 
Essa variação de velocidade é chamado de perfil de velocidade ou gradiente de 
velocidade. 
 
5 
 
 
 
 
A relação de proporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma 
constante, dando origem à equação 1 ( Lei de Newton ). 
 
 
 
 Equação 02 
 
 
A viscosidade dinâmica ( µ ) é o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão de 
cisalhamento e o gradiente de velocidade. O seu significado físico é a propriedade do 
fluidoatravés da qual ele oferece resistência às tensões de cisalhamento. Os fluidos 
que apresentam esta relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de 
deformação são denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos. 
 
O valor da viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em 
particular, esta viscosidade depende muito da temperatura. Os gases e líquidos tem 
comportamento diferente com relação à dependência da temperatura, conforme 
mostra a Tabela 1: 
 
 
 
A Tabela 2 abaixo mostra a relação entre a viscosidade absoluta e o comprimento de 
cadeia de 
Hidrocarbonetos. 
 
 Tabela 2 – Valores de viscosidade de alguns hidrocarboneto. 
 
 
As unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns são : 
6 
 
CGS : 
[µ] poise = dina x s / cm2 { poise = 100 cetipoise (cp) } 
 
Métrico Gravitacional ( MK*S ) : 
[µ] = kgf × s/ m2 
 
Sistema Internacional ( SI ) : 
[µ] = N x s / m2 {1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)} 
 I.2.2 - Massa específica (ρ), Peso específico(γ) e densidade relativa(d) 
 
� Massa específica é a razão entre a massa do fluido e o volume que contém esta massa. 
 
 Equação 03 
 
Onde: 
ρ = massa específica ou densidade absoluta; 
m = massa do fluido; 
V = volume do fluido. 
 
A Tabela 3 mostra a massa específica para alguns fluidos e sólidos a 20ºC. 
 
Tabela 3 - massa específica para alguns fluidos e sólidos a 20ºC 
 
 
As unidades de massa específica nos sistemas de unidades mais comuns são: 
 
No CGS: 
 
7 
 
No SI: 
 
No MKS: 
� Peso específicoé a é a razão entre o peso do fluido e o volume que contém esta quantidade 
de matéria. 
 
 
 Equação 04 
 
 
 
As unidades de Peso específico nos sistemas de unidades mais comuns são: 
 
No CGS: 
 
No SI: 
 
No MKS: 
 
� Densidade relativa é a razão entre a massa específica do fluido em questão e a 
massa específica de uma substância de referência numa temperatura definida, sendo 
assim uma grandeza adimensional. Se o fluido for líquido a substância de 
referência é a água a 25ºC e se o fluido for um gás a substância de referência é o 
ar a 25ºC. 
 
 
 Equação 05 
 
 
 
Na indústria do petróleo, a densidade relativa de derivados do petróleo é geralmente 
dado em termos de uma escala hidrométrica chamada °API. é uma escala arbitrária 
que mede a densidade dos líquidos derivados do petróleo. Foi criada 
pelo American Petroleum Institute - API, juntamente com a National Bureau o 
fStandards.Quanto maior densidade o óleo tiver, menor será seu grau API. O º 
API é calculado segundo a expressão: 
 
8 
 Equação 06 
 
 
Petróleos com °API maior que 30 são considerados leves; entre 22 e 30 °API, são 
médios; abaixo de 22 °API, são pesados; com °API igual ou inferior a 10, são 
petróleos extra pesados. 
Obs: A indústria do petróleo elegeu a temperatura de 60°F (15,5°C) como a 
temperatura padrão. 
 
 
I.2.3– Viscosidade cinemática( ) - É a razão entre a viscosidade absoluta e a massa 
específica do fluido, ou seja: 
 
 
 Equação 07 
 
As unidades de Viscosidade cinemática nos sistemas de unidades maiscomuns são:No CGS: (Stokes) 
 
No SI: 
 
No MKS: 
 
Exercícios resolvidos 
1) Um reservatório reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg tem uma 
capacidade de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e densidade 
do óleo. 
9 
 
 
2) Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massaespecífica 
de 0,85kg/dm3. Determinar asua viscosidade cinemática. 
 
 
3) Duas placas planas paralelas estão situadas a 3mm de distância. A placa superior 
move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior está imóvel. Considerando que 
um óleo(v=0,15Stokes e ρ=905Kg/m3) ocupa o volume entre elas, determinar a tensão 
de cisalhamento que agirá sobre o óleo. 
 
V=0,15Stokes=0,15cm2/s=1,5m2/s 
 
Como x905=0,0136(N.s)/m2 
 
Logo: ou seja =18,1Pa 
 
 
10 
Capítulo I I – Fundamentos da Hidrostática 
 
II.1 – Introdução 
Considera-se um fluido em repouso quando não há velocidade diferente de zero em 
nenhum dos seus pontos e, neste caso, esta condição de repouso é conhecida por 
Hidrostática. Os princípios da Hidrostática ou Estática dos Fluidos envolvem o 
estudo dos fluidos em repouso e das forças sobre objetos submersos. 
II.2 – Lei de Stevin 
Considere um elemento de fluido em repouso num referencial inercial conformeo 
esquema mostrado na figura 6. 
 
Figura 6 – Elemento de um fluido em repouso 
Em cada uma das faces do elementoo vetor tensão t tem módulo igual a pressão p 
orientado normalmente`a face no sentido de compressão, e o elemento está sujeito ao 
seu peso (força do corpo) na direção vertical. Obviamente, nas direções x e y as 
forças de superfície nas faces opostas devem se equilibrar. A resultante das forças 
desuperfície na direção z é: 
 
Equação 8 
e a força peso(gravitacional) 
 Equação 9 
 
11 
Uma vez que a resultante total deve ser nula (caso contrário o fluido aceleraria) tem-
se: 
 
Eq. 10 
 
Dividindo (Eq. 10) pelo volume do elemento ∆x∆y∆z: 
 
Equação 11 
 
 
Tomando-se o limite quando ∆z → 0, tem-se a Equação Diferencial da 
Hidrostática: 
 
 Equação 12 
 
Conclusões: 
1 – A diferença de pressões entre 2 pontos de uma massa líquida em equilíbrio é igual 
à diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico. 
2 – No interior de um fluido em repouso, pontos de uma mesma profundidade 
suportam a mesma pressão. 
 
II.3 – Princípio de Pascoal 
Segundo Pascal: 
“A pressão exercida sobre a superfície da massa líquida é transmitida no seu 
interior, integralmente e em todas as direções.” 
A Figura 7 mostra como este princípio é aproveitado através do funcionamento de 
uma prensa hidráulica. Quando uma força F1 é exercida para baixo sobre o pistão 
menor de área A1 (ramo da esquerda), o líquido (incompressível) contido no 
dispositivo exerce uma força para cima de módulo F2 sobre o pistão maior de área A2 
(ramo da direita). A fim de manter o sistema em equilíbrio, uma carga externa (não 
mostrada) deve exercer uma força para baixo no valor de F2 sobre o pistão menor. A 
variação de pressão ∆P produzida pela força de entrada F1 exercida pelo pistão 
12 
menor é transferida ao pistão maior, sobre o qual passa a atuar uma força de saída 
F2. A equação que segue relaciona estas grandezas: 
 
 
Figura 7 – Prensa hidráulica 
 
 Equação 13 
 
Como A2 > A1, pela relação acima fica claro que a força de saída F2 exercida sobre a 
carga é maior que a força de entrada F1. 
Exemplo:Uma prensa hidráulica tem dois êmbolos de áreas iguais a 10 cm2 e 80 cm2. 
Calcular a força transmitida ao êmbolo maior, quando se aplica ao menor uma força 
de 120 N. 
 
 
 
 
 
 
II.3 – Princípio de Arquimedes 
13 
“Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido em equilíbrio recebe uma força 
vertical para cima denominada empuxo, de intensidade igual, mas de sentido contrário 
ao peso da porção deslocada de fluido e aplicada no ponto onde estava localizado o 
centro de massa desta porção de fluido.” 
 
Figura 8 – Corpo imerso em um fluido estático 
 
Esta força denominada empuxo será tanto maior quanto mais denso for o líquido e sua 
origem está relacionada com o fato da pressão no líquido aumentar com a 
profundidade (Princípio de Stevin). Considere um objeto totalmente imerso em um 
fluido estático, como na Figura 8. Considere, também, elementos finitos de volume 
que serão utilizados para determinação da força vertical sobre o corpo em função da 
pressão hidrostática. Da Equação 12 tem-se: 
 
 Equação 14 
 
A força vertical dFE resultante sobre o volume elementar é igual a: 
 
Observe que (h2-h1)dA = dV é volume do elemento cilíndrico. A força total FB 
denominada força de empuxo é obtida por integração sobre todo o volume do objeto, 
ou seja: 
Equação 15 
Onde V é o volume do objeto. Como ρliq é a densidade do líquido (e não do objeto), 
temos que ρliq.V corresponde à massa do líquido deslocado pela imersão do objeto e 
14 
então pode-se anunciar o resultado anterior (equação 2.20) como Princípio de 
Arquimedes. 
II.3.1 - Equilíbrio de corpos imersos e flutuantes 
Seja um corpo mergulhado em um líquido. Sabemos que apenas duas forças agem 
sobre ele: o seu peso P e o empuxo E. 
Distinguem-se três casos, que veremos a seguir: 
1° caso: O peso é maior que o empuxo (P > E). 
Neste caso o corpo descerá com aceleração constante (condições ideais). 
Verificando-se as expressões de P e E, conclui-se que isso acontecerá se a densidade 
do corpo for maior que a densidade do líquido. 
 
2° caso: O peso é menor que o empuxo (P < E). 
Neste caso o corpo subirá com aceleração constante até ficar flutuando na superfície 
do líquido. Isso acontecerá quando a massa específica do corpo for menor que a 
massa específica do líquido, isto é, 
 
Quando o corpo, na sua trajetória de subida, aflorar na superfície do líquido, o empuxo 
começará a diminuir, pois diminuirá a parte submersa e, portanto, o volume do líquido 
deslocado. O corpo subirá até que o empuxo fique igual ao peso do corpo, que é 
constante. Nesta condição (P = E) o corpo ficará em equilíbrio, flutuando no líquido. 
3° caso: O peso é igual ao empuxo (P = E). 
Neste caso o corpo ficará em equilíbrio, qualquer que seja o ponto em que for 
colocado. Isso acontecerá quando a massa específica do corpo for igual a massa 
específica do líquido, isto é, 
 
Exemplo 1: Um cubo de madeira de densidade 0,2 g/cm3 e aresta 20 cm flutua na 
água. Determinar a altura da parte imersa do cubo. Considere a densidade da água 
igual a 1 g/cm3. 
Como Vc = Vl 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo III – Fundamentos da Hidrodinâmica. 
 
16 
A hidrodinâmica estuda o comportamento dos fluidos em movimento, abrangendo uma 
gama enorme de fenômenos comuns do nosso dia-a-dia. As equações desenvolvidas é a 
base para o dimensionamento de bombas, compressores, tubulações, válvulas, tanques, 
torres, entre outros inúmeros equipamentos que trabalham com o escoamento de um 
fluido, seja ele líquido ou gasoso. 
 
III. 1 – Definições 
 
III.1.1 – Linha de corrente 
 
Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades de diferentes partículas no 
mesmo instante. 
 
 
 
Figura 8 – Representação de linha de corrente em escoamento de fluido 
 
No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente, definidas por 
suas partículas fluidas. 
 
III.1.2 – Movimento permanente 
 
Quando fixado um ponto num sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do 
tempo, não mudam as propriedades. 
 
17 
 
 O nível do reservatório não muda com o tempo. 
 
Figura 9 – Representação de um movimento permanentede um fluido 
 
III.1.3 - Movimento Transiente ou não permanente 
 
Quando fixado um ponto num sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do 
tempo, mudam as propriedades. 
 
 
 
 
18 
 O nível do reservatório diminui com o tempo. 
Figura 10 – Representação de um movimento transiente 
 
 
III.1.4 –Vazão volumétrica (Q) 
 
É o volume de fluido que atravessa uma secção transversal por unidade de tempo e pode 
ser calculado segundo a equação: 
 
t
VQ = Equação 16 
Velocidade média é uma velocidade fictícia constante na seção tal que multiplicada 
pela área resulta na vazão do líquido. 
 
Q = A.Vm Equação 17 
 
 
 
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas: 
 
19 
• sistema CGS: cm3/s (centímetro por segundo); 
 
• sistema MKS (técnico): m3/s (metro cúbico por segundo); 
 
• sistema SI: m3/s (metro cúbico por segundo); 
 
 
III.1.5 –Vazão Mássica (Qm) 
 
É o massa de fluido que atravessa uma secção transversal por unidade de tempo e pode 
ser calculado segundo a equação: 
 
t
mQ = Equação 18 
 
 
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas: 
 
• sistema CGS: g/s (grama por segundo); 
 
• sistema MKS (técnico): utm/s (unidade técnica de massa por segundo); 
 
• sistema SI: Kg/s (Quilograma por segundo); 
 
 
 
A vazão mássica relaciona-se com a vazão volumétrica segundo a equação: 
 
QQm .ρ= Equação 19 
 
 
 
20 
 
III.1.6 – Escoamento compressível e incompressível 
 
Os escoamentos onde as variações de densidade do fluido são desprezíveis 
denominam-se incompressíveis. Quando estas variações não podem ser 
desprezadas os escoamentos são ditos compressíveis. 
Para a maioria dos casos práticos os escoamentos de líquidos são 
incompressíveis. 
Os gases também podem se comportar como fluidos incompressíveis desde que a 
velocidade do escoamento seja pequena em relação à velocidade do som neste gás. 
 
C
vM = Equação 20 
 
M = número de Mach, 
V = velocidade do fluido, 
C = velocidade do som 
 
Para M < 0,3, a variação da massa específica é inferior a 5% e o escoamento pode ser 
considerado incompressível. 
 
III.2 – Equação da Continuidade 
 
 
 
 
Figura 11 – Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares. 
 
21 
Pelo Princípio da conservação de massa aplicado ao volume de controle da Figura 11 
temos: 
0
 controle de volume
 dointerior no
 massa da Variação
controle de 
superfície da através
 massa de fluxo O
=












+










 
Matematicamente temos: 
 
0... =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
tz
w
y
v
x
u ρρρρ
 Equação 21 
 
 
Aplicando o princípio de conservação da massa para um escoamento permanente 
unidimensional de um fluido em uma tubulação sem bifurcação temos: 
 
 
Figura 12 – Conservação de massa em escoamento de fluido em tubulação. 
 
 
222111 .... vAvA ρρ = Equação 22 
 
Para fluidos incompressíveis a equação 22 pode ser simplificada em: 
2211 .. vAvA = Equação 23 
22 
 
Exemplo 1 - Ar escoa num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 cm² e a 
da menor é 10 cm². A massa específica do ar na seção 1 é 0,12 utm/m³ enquanto que na 
seção 2 é 0,09 utm/m³. 
Sendo a velocidade na seção 1 de 10 m/s, determinar a velocidade na seção 2 e 
a vazão em massa. 
 
 
Aplicando a equação da continuidade ao sistema temos: 
 
Como mQvAvA == 222111 .... ρρ temos: 
 
 
III.3 – Classificação do escoamento 
Em 1883, Osborne Reynolds publicou um estudo sobre os escoamentos que 
atualmente é conhecido como Experimento de Reynolds, que consiste 
23 
basicamente na injeção de um corante líquido na posição central de um 
escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transparente. O 
comportamento do filete de corante ao longo do escoamento no tudo define três 
características distintas (Gomes, M. H. R). 
Os escoamentos viscosos são classificados como escoamentos laminar e 
turbulento tendo por base a sua estrutura. O escoamento laminar se caracteriza 
pelo movimento suave e em lâminas ou camadas de fluidos. O escoamento 
turbulento é caraterizado por movimentos aleatórios, tridimensionais de partículas 
fluidas adicionadas ao movimento principal. No escoamento laminar é válida a 
relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade (lei de 
viscosidade de Newton). Para o escoamento turbulento flutuações aleatórias e 
tridimensionais da velocidade transportam quantidade de movimento através das 
linhas de corrente do escoamento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. 
Desta forma nos escoamentos turbulentos não existe uma relação universal entre 
o campo de tensões e o campo de velocidades. 
 Segundo Reynolds o escoamento pode ser classificado em: Laminar ou 
Turbulento. 
 
Figura 13 – Representação esquemática do experimento de Reynolds(. 
Para caracterizar se um escoamento é laminar ou turbulento existe um parâmetro 
adimensional denominado número de Reynolds (Re): 
 Equação 24 
Onde: 
V é uma velocidade característica do escoamento; 
ρ _ é a massa específica; 
D – é o diâmetro da tubulação 
µ é a viscosidade dinâmica do fluido; 
v é a viscosidade cinemática do fluído. 
 
A partir das conclusões de Reynolds temos: 
Re ≤ 2000 - tem-se o escoamento laminar; 
 2000 < Re < 2400 - tem-se o escoamento em transição; 
 Re >2400 tem-se o escoamento turbulento. 
24 
Exemplo 1- Água flui por um tubo de 1in de diâmetro interno. A viscosidade 
cinemática da água é10–5ft2/s. Determinar a maior vazão possível em que o fluxo 
ainda seja laminar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar 
ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa 
água com uma velocidade de 0,05m/s. Dados: µ = 1,0030 × 10−3 Ns/m² e 
ρ=1000kg/m3 
 
 
 Re=1994 (Escoamento laminar) 
II.4 – Equação da conservação de Energia para um Volume de Controle 
 
 A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação de energia aplicado a um 
sistema. Esse princípio de conservação afirma que a soma algébrica de toda energia que 
cruza a fronteira do sistema deve ser igual à variação na energia do sistema. Como calor (Q) 
25 
e trabalho (W) são as únicas formas de energia (E) que podem atravessar uma fronteira de 
sistema, pode-se escrever a primeira lei (para um processo que conduz o sistema do estado 
1 para um estado 2): 
 
Q 1→ 2 Calor trocado com o sistema durante o processo 1 → 2, ou apenas Q 
W1→ 2 Trabalho trocado com o sistema durante o processo 1 → 2, ou apenas W 
 
 O sinal negativo do trabalho é proveniente da convenção de sinais: 
 
 Q – calor: é definido como a energia em transito devido à diferença de temperaturas 
e que não esta associada com transferência de massa. 
Calor não é energia armazenada ou possuída por um sistema ou volume de controle, ou 
seja, não é uma propriedade (propriedade é qualquer característica observável do 
sistema). 
A troca de calor de ou para um sistema necessariamente exige uma mudança de estado 
daquele sistema e a quantidade de calor trocada é uma função do caminho que o sistema 
segue durante o processo que causa a mudança de estado. 
W – trabalho: forma de energia em transito não associada com transferência de 
massa, e devido à diferença de um potencial que não seja temperatura. Do mesmo 
modo que o calor não é uma propriedade do sistema. 
 
 
O volume de controle (∀C)ilustrado abaixo (em linha tracejada) é usado para 
obtenção da equação da conservação da energia. Uma quantidade de massa, ou seja, 
um sistema, que ocupa diferentes regiões nos instantes t e t + ∆t é mostrado 
atravessando o volume de controle. 
Equação 25 
26 
 
 
Em um determinado instante de tempo t a energia do volume de controle é )(tEVC e 
corresponde a soma da energia interna, cinética e potencial gravitacional da massa 
contida no volume de controle. Passado um intervalo de tempo ∆t, o fluido contido na 
região (1) indicada na figura, entra completamente no volume de controle. 
Simultaneamente outra quantidade de fluido (que estava no volume de controle) sai 
pela região (2). Para os dois instantes no tempo a energia do sistema é: 
 
(sistema formado pela região 1 e o volume de controle) 
 
(sistema formado pela região 2 e o volume de controle) 
Durante o intervalo de tempo em que há escoamento, calor e trabalho são trocados 
com o meio. A massa e energia dentro do volume de controle podem variar, e as 
massas, m
1 
e m
2 
não são necessariamente iguais. Usando a equação da conservação 
de energia para o sistema (Eq.25) temos: 
WQtEttE −=−∆+ )()( Equação 28 
Substituindo as equações Eq.26 e Eq.27 na Eq.28: 
 
Rearranjando a última equação: 
 
Dividindo pelo intervalo de tempo ∆t: 
Equação 27 
Equação 26 
Equação 27 
Equação 28 
27 
 
 
 
Tomando o limite para o intervalo de tempo tendendo a zero: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
Generalizando para diversas entradas e saídas: 
 
 
 
 
 
II.4 – Equação de Bernoulli 
 
 
Considerando o desenvolvimento de um escoamento em regime permanente, na 
ausência de trocas de calor, máquinas e perdas 21,0,0 uuWQ vc ===
 
e 
..
2
.
1 mmm == 
ainda fluido incompressível ( 21 ρρ = ) 
 
 
 
Simplificando: 
 
 
 
Dividindo pela aceleração da gravidade: 
Equação 29 
Equação 30 
Equação 31 
Equação 32 
Equação 33 
Equação 33 
28 
 
A equação Eq.34 é conhecida como Equação de Bernoulli. 
 
Muitos livros texto adotam a nomenclatura “carga” (H): 
 
 
 
 
Deste modo, a equação de Bernoulli pode ser escrita da seguinte forma: 
 
21 HH = 
 
 
Exemplo 1 : Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório 
de grandes dimensões mostrado na figura. Considere ρ=1000Kg/m3 e g=10m/s2 
 
 
 Aplicando a Equação de Bernoulli entre os ponto 1 e 2 temos: 
 
Conclui-se que: 2
2
1 **2 zgV = ∴ 21 **2 zgV = Substituindo temos: 
5*10*21 =V V1= 10m/s 
 
Equação 34 
Equação 35 
Equação 36 
29 
Fundamentos da Transferência de Calor 
 
Índice 
 
Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais 
 
Capítulo 2 – Equações Básicas da Transferência de 
Calor por Condução 
 
Capítulo 3 – Condução de Calor Unidimensional em 
Regime Permanente 
 
Capítulo 4 – Condução de calor bidimensional em 
regime permanente 
 
Capítulo 5 - Condução de calor em regime transitório 
 
Capítulo 6 - Transferência de calor por convecção 
 
 
30 
Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais 
 
1.1 - INTRODUÇÃO 
Sabe-se da prática que um objeto quente em contato com um objeto frio torna-
se mais frio, enquanto o objeto frio torna-se mais quente. A explicação mais aceitável é 
que alguma “entidade” é transferida do corpo quente para o corpo frio, e chamamos 
esta “entidade” de calor, Q. Assim dizemos que o calor sempre passa no sentido do 
corpo de maior temperatura para o corpo de menor temperatura. Isso leva ao conceito 
de temperatura como sendo a força motriz para a transferência de energia na forma de 
calor. 
A taxa com que o calor é transferido de um corpo para outro é proporcional a 
diferença de temperatura entre os dois corpos, sendo assim, quando não há diferença 
de temperatura entre os corpos não há transferência de calor. Segundo a 
termodinâmica, calor nunca é visto como estocado no interior de um corpo. Assim 
como trabalho, ele só existe como energia em trânsito de um corpo para outro, ou 
entre o sistema e sua vizinhança. Quando energia na forma de calor é adicionada a um 
corpo, ela é armazenada não na forma de calor, mas como energia cinética e potencial 
dos átomos e moléculas que constituem o corpo. 
 A termodinâmica trata das transições quantitativas e das transformações de 
energia em calor nos sistemas materiais. A transferência de calor é a ciência que trata 
das taxas de troca de calor entre um corpo quente denominado fonte e um corpo frio 
denominado receptor. 
Transmissão de calor é a denominação dada à passagem da energia térmica ( 
que durante a transferência recebe o nome de calor) de um corpo para outro ou de 
uma parte para outra de um mesmo corpo. Essa transmissão pode se processar de 
três mecanismos diferentes: condução, convecção e radiação. Entretanto no dia a 
dia esses mecanismos ocorrem simultaneamente. 
1.2 – Mecanismo e Equações Básicas da Transferência de Calor. 
A - CONDUÇÃO 
 É o processo de transmissão de calor em que a energia térmica passa de um local 
para outro através das partículas do meio que os separa. Na condução a passagem da 
energia de uma região para outra se faz da seguinte maneira: na região mais quente, 
as partículas têm mais energia, vibrando com mais intensidade; com esta vibração 
cada partícula transmite energia para a partícula vizinha, que passa a vibrar mais 
intensamente; esta transmite energia para a seguinte e assim sucessivamente. Neste 
mecanismo de transferência de calor o transporte se dá através de um material fixo, 
como a parede indicada na figura abaixo. 
31 
 Verifica-se experimentalmente, que o fluxo de calor( a quantidade de calor que flui 
através da placa) é proporcional à área transversal da placa normal ao fluxo de calor A, 
à diferença de temperatura entre os meios (1) e (2) que ela separa e é 
inversamente proporcional à espessura da placa x. Se T for a temperatura em 
qualquer parte da placa e x for a espessura da placa na direção do fluxo de calor, a 
quantidade de calor que flui será dada pela conhecia equação de Fourier: 






−=
dx
dTkAdQ 
 (1) 
O termo dx
dT
− denomina-se gradiente de temperatura e possui sinal negativo 
quando supomos que a temperatura mais elevada seja a da face da placa para x=0 e 
que a temperatura mais baixa corresponda à face para x= X. A constante de 
proporcionalidade k é peculiar aos processos de transferência de calor por condução e 
é conhecida como condutividade térmica. Os metais são muito bons condutores de 
calor, logo, apresentam k maior, enquanto a madeira é péssima condutora de calor, 
logo, apresenta k menor. 
 
 
 
Figura 1 – Transferência de calor em placa. 
Unidades e dimensões 
[ ] [ ][ ][ ][ ][ ]TA
LqK
.
.
θ
= 
No sistema Internacional(SI) temos: 






Km
WK
.
 
32 
No sistema inglês temos: 






Ffth
BtuK
..
 
 B- CONVECÇÃO 
Na convecção ocorre a transferência de calor entre uma porção quente e uma 
quantidade fria de um fluido por meio movimento do próprio fluido, que constitui uma 
corrente de convecção. Um fluido aquecido localmente em geral diminui a densidade e, 
por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por fluido 
mais frio, o que gera naturalmente, o que denominamos, corrente de convecção. 
Consideremos uma sala na qual se liga um aquecedor elétrico em sua parte inferior. O 
ar em torno do aquecedor se aquece, tornando-se menos denso que o restante. Com 
isto ele sobe e o ar frio desce, havendo uma troca de posição do ar quente que sobe e 
o ar frio que desce. A esse movimento de massas de fluido chamamosconvecção 
natural e as correntes de ar formadas são correntes de convecção. 
 Caso a agitação seja provocada por qualquer outra mecanismo, como por exemplo um 
agitador, a convecção é denominada convecção forçada. Portanto, convecção é um 
movimento de massas de fluido, trocando de posição entre si. Este tipo de 
transferência de calor pode ser descrito pela equação que imita a equação da 
condução e é dada por: 
hAdTdQ = 
 (2) 
A constante de proporcionalidade h é um termo que é influenciado pela 
natureza do fluido e pela natureza da agitação. Esta constante é denominada 
coeficiente de transferência de calor. Quando a equação 2 é escrita na forma integral, 
ela é denominada lei de Newton do resfriamento. 
 
2) À beira-mar, a areia, tendo calor específico sensível muito menor que o da água, se 
aquece mais rapidamente que a água durante o dia e se resfria mais rapidamente 
durante a noite. 
DURANTE O DIA: O ar próximo da areia fica mais quente que o restante e sobe, 
dando lugar a uma corrente de ar da água para a terra. É o vento que, durante o dia, 
sopra do mar para a terra. 
 
 
 
DURANTE A NOITE: O ar próximo da superfície da água se resfria menos. Com isto 
33 
ele fica mais quente que o restante e sobe, dando lugar a uma corrente de ar da terra 
para a água. É o vento que, durante a noite, sopra da terra para o mar. 
 
Figura 2 – Convecção de calor a beira mar. 
 Nas geladeiras o congelador é sempre colocado na parte superior, para que o ar se 
resfrie na sua presença e desça, dando lugar ao ar mais quente que sobe.As 
prateleiras são feitas em grades (e não inteiriças) para permitir a convecção do ar 
dentro da geladeira. 
 
 
Figura 3 – Convecção de calor em uma geladeira. 
 
34 
 
C - RADIAÇÃO 
 É o processo de transmissão de calor através de ondas eletromagnéticas 
(ondas de calor). A energia emitida por um corpo (energia radiante) se propaga até o 
outro, através do espaço que os separa. Entretanto, uma parte da energia é absorvida 
pelo receptor e outra parte é refletida pelo receptor. Na condução de calor através de 
um sólido, o mecanismo consiste de um mecanismo de transmissão de calor através 
de um corpo, cujas moléculas, exceto vibrações, permanecem sempre em posições 
fixas. 
 Na convecção, o calor é inicialmente absorvido de uma fonte pelas partículas 
do fluido imediatamente adjacente a ela e é então transferido para o interior do fluido 
misturando-se com ele. Ambos mecanismos necessitam da presença de um meio para 
conduzir o calor de uma fonte até o receptor. A transmissão de calor por radiação não 
necessita de um meio intermediário, e o calor pode ser transmitido por radiação 
através do vácuo absoluto. 
Quando uma radiação incide sobre um material, parte dessa radiação é 
absorvida, parte é refletida e parte é transmitida, conforme mostra a Figura abaixo: 
 
Pelo princípio de conservação de energia temos: 
 
Boltzmann verificou que o fluxo máximo de radiação que uma superfície pode emitir é 
proporcional a temperatura absoluta elevada a quarta potência, ou seja: 
4AdTdQ σε=
 (3) 
Esta relação ficou conhecida como a lei da quarta potência, na qual T é a 
temperatura absoluta. σ é uma constante de Stefan-Boltzmann e ε é um fator 
peculiar a cada radiação e denominada-se emissividade. 
35 
 
 
 
Unidades e dimensões 
No sistema Internacional(SI) temos: 
42
8
.
10.67051,5
Km
W
−
=σ 
No sistema inglês temos: 
42
8
..
10.173,0
Ffth
Btu
−
=σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Equações Básicas da Transferência de 
Calor por Condução. 
36 
2.1 – Introdução 
A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da 
natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor 
resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por 
exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das 
extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a 
Figura abaixo. 
 
 
 Figura 4 – Transferência de calor em barra metálica 
 
 
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de 
temperatura e a distância entre as extremidades, chega-se a seguinte relação de 
proporcionalidade: 
dx
dTAKQ ..−=
•
 
 (1) 
onde, k, condutividade térmica do material; 
 
 
Essa relação ficou definida como sendo a Lei de Fourier pode ser enunciada da 
seguinte maneira: A quantidade de calor transferida por condução, por unidade de 
tempo, em um material, é igual ao produto das seguintes quantidades: 
k, condutividade térmica do material; A , área transversal ao sentido do fluxo de calor e 
ao gradiente de temperatura. 
37 
A condutividade térmica dos sólidos é muito maior do que a dos líquidos, por 
sua vez é maior que a dos gases, conforme pode ser observado na Figura 5. 
Conseqüentemente é mais fácil transmitir calor em um sólido do que em um líquido do 
que em um gás. A condutividade térmica dos sólidos pode crescer ou decrescer com a 
temperatura, enquanto a condutividade térmica da maioria dos líquidos decresce com o 
aumento de temperatura, embora a água seja uma exceção notável. As Figuras a 
seguir explicitam bem essas caracteristicas 
 
Figura 5 – Comparação da condutividade de diversos materiais(Incropera, F. P) 
 
38 
 
Figura 6 – Comportamento da condutividade de 
diversos sólidos com a temperatura(Incropera, F. 
P) 
 
2.2 – Equação Geral da Condução de calor 
2.2.1 – Balanço de energia em coordenadas cartesianas 
Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede 
plana submetida a uma diferença de temperatura. Um bom exemplo disto é a 
transferência de calor através da parede de um forno, como pode ser visto na figura 
1.7, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com material de 
condutividade térmica k. Do lado de dentro do forno uma fonte de calor mantém a 
temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 enquanto que a 
temperatura da superfície externa permaneça igual a T2. 
 
39 
 
Figura 7 – Transferência de calor em coordenadas cartesianas 
Aplicado a equação de Fourier, tem-se: 
dx
dTAKQ ..−=
•
 
Fazendo a separação de variáveis, obtemos : 
dTAKdxQ ..−=
•
 
Na Figura 7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura é T1 e na face 
externa ( x=L ) a temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o calor 
transferido não varia com o tempo. Para a área transversal da parede “A” e a 
condutividade “k” constante, a integração da equação 1.2, fica assim: 
 
∫∫ −=
• 2
1
..
0
T
T
l
dTAKdxQ
 
∴
 
).(.)0( 12 TTAKLQ −−=−
•
 
Considerando que ( T1 - T2 ) é a diferença de temperatura entre as faces da 
parede (.∆T ), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é : 
 
T
L
AKQ ∆=
•
.
 (2) 
 
� Analogia entre Resistência Térmica e Resistência Elétrica 
 
40 
Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. 
Por exemplo, a equação 2 que fornece o fluxo de calor através de uma parede plana 
pode ser colocada na seguinte forma: 
AK
L
T
Q
.
∆
=
•
 
O denominador e o numerador da equação acima podem ser entendidos assim: 
 
∆T , a diferença entre a temperatura é o potencial que causa a transferência de 
calor; 
 
K.A
L
, é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à 
transferência de calor; 
 
 Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte 
forma : 
R
TQ ∆=
•
 
 (3) 
onde: ∆T é potencial térmico; 
R é a resistênciatérmica da parede. 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas 
a uma diferença de temperatura. Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor 
contínuo no regime permanente através desta parede composta. 
Analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode 
ser composta de uma camada interna de refratário (condutividade k1 e espessura L1), 
uma camada intermediária de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e 
uma camada externa de chapa de aço ( condutividade k3 e espessura L3). A figura 
abaixo ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura desta parede composta: 
 
 
41 
 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada 
uma das paredes planas individualmente: 
)(. 21
1
11 TT
L
AKQ −=
•
 ; )(
.
32
2
22 TT
L
AKQ −=
•
; 
)(. 43
3
33 TT
L
AKQ −=
•
 
 
Colocando em evidência as diferenças de temperatura nas equações acima e 
somando membro a membro obtemos: 
11
1
21
.
.
AK
LQTT
•
=− 
22
2
32
.
.
AK
LQTT
•
=− ; 
11
1
43
.
.
AK
LQTT
•
=−
 
 
Somando as equações acima temos: 
( )
11
1
22
2
11
1
433221
.
.
.
.
.
.
AK
LQ
AK
LQ
AK
LQTTTTTT
•••
++=−+−+−
 
 
Rearranjando os termos da equação acima temos: 
( )








++=−
•••
11
1
22
2
11
1
41
.
.
.
.
.
.
AK
L
AK
L
AK
LQTT , ou seja: 
 
42 
( ) ( )32141 RRRQTT ++=− ∴ 
 
 
( )
( )321
41
RRR
TTQ
++
−
=
•
 
 (4) 
 
 
2.2.2 - Balanço de energia em coordenadas cilíndricas 
 
Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura 
entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na Figura 8. 
 
 
Figura 8 – Transferência de calor em coordenada cilíndrica. 
O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da 
equação de Fourier, ou seja : 
dr
dTAKQ ..−=
•
 , onde o termo dr
dT
− é o gradiente de temperatura na 
direção radial. 
Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : 
LrA ..2pi=
 
Substituindo na equação de Fourier, obtemos: 
43 
dr
dTLrKQ )...2.( pi−=
•
 
Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2 chega-
se a: 
∫∫ −=
2
1
2
1
.2.
T
T
r
r
dTLK
r
drQ pi , ou seja: ( ) ( )121 ...2lnln 2 TTLKrQ −−=− pi 
Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos: 
( )12
1
2
...2ln TTLK
r
rQ −−=





pi
 
O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então : 
( )12
1
2ln
...2 TT
r
r
LKQ −






−
=
• pi
 
 (5) 
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. 
Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cilíndrica também 
pode ser representado como: 
 
R
TQ ∆=
•
 
onde: ∆T é potencial térmico; 
R é a resistência térmica da parede cilíndrica 
 
Então para a parede cilíndrica, obtemos: 
 
44 
R
TT
r
r
LKQ ∆=∆






−
=
•
1
2ln
...2 pi
 ∴ LK
r
rLn
R
...2
1
2
pi






=
 
 
� Para o caso geral em que temos uma associação de n paredes cilíndricas associadas 
em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por : 
total
total
R
TQ )(∆=
•
 
 
onde: n
n
oi
it RRRRR ...21 ++== ∑
=
 
 
2.2.3 - Condução de Calor Através de uma Configuração Esférica 
Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre 
a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na Figura 9. 
 
Figura 9 – Transferência de calor em coordenada esférica 
 
O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da 
equação de Fourier, ou seja: 
dr
dTAKQ ..−=
•
 , onde o termo dr
dT
− é o gradiente de temperatura na direção 
radial. 
45 
Para configurações esféricas a área é uma função do raio : 2..4 rA pi= . 
Substituindo na equação de Fourier, obtemos: 
dr
dT
rKQ )..4.( 2pi−=
•
 
Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, 
chega-se a seguinte expressão : 
∫∫ −=
−
• 2
1
2
1
)..4.( 22
T
T
r
r
dTrKdrrQ pi
 ∴ ( )12
21
..411 TTK
rr
Q −−=














−−
∗
pi
 
Rearranjando a equação acima temos: 
 
( )21
21
..411 TTK
rr
Q −=





−
∗
pi
 
 
O fluxo de calor através de uma parede esférica será então: 
 
( )21
21
11
..4 TT
rr
KQ −






−
−
=
• pi
 
 (6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Exercícios 
 
1) Considere um aquecedor elétrico de superfície que dissipa 500W uniformemente 
sobre um lado, com área de 0,5m2, de uma placa de gesso, com isolamento térmico 
perfeito do lado oposto, conforme mostrado na Figura abaixo. A placa tem icm de 
espessura e a temperatura na superfície externa é de 27°C. Determine a temperatura 
do gesso na superfície que faceia o aquecedor. Dados: K= 0,79W/m.K 
 
 
 
2)Um processo de transferência de calor em regime permanente ocorre através de um 
envólucro com uma espessura de 5mm e K= 0,35w/m.K cuja temperatura intyerna é 
desconhecida e a temperatura da superfície é de 85C para uma área de troca e 4cm2. 
O lado externo esta exposto a um fluido com T∞ =25C e h = 25W/m2 K e ε = 0,9. 
Determine a taxa de calor transferida por convecção e radiação e a temperatura T1 
necessária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de 
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de 
48 
espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a 
área das janelas são consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode 
estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e teto, 
que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em 
HP ). Dado: 1HP = 641,2 Kcal/h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo refratário 
(k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura 
da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do 
isolante é 145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule: 
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
b) a temperatura da interface refratário/isolante. 
 
 
 
 
49 
 
 
 
5)Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem diâmetro externo de 3”, espessura de 0,2”, 
150 m de comprimento e transporta amônia a -20 oC ( convecção na película interna 
desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas opções: isolamento de borracha ( 
k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3” de espessura ou isolamento de isopor ( k = 0,24 
kcal/h.m.oC ) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor 
não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do 
isolamento é 40 oC, pede-se : 
 
a) As resistências térmicas dos doisisolamentos; 
b) Calcule o fluxo de calor para cada opção de isolante e diga qual isolamento deve ser 
usado; 
c) Para o que não deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura mínima para 
atender o limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Equação da Difusão de calor 
3.1- Coordenadas cartesianas 
50 
 
Consideremos o fluxo de calor através de um elemento de volume de lados dx, dy e dz, 
representado pelo cúbico da figura abaixo. 
 
 
Figura 11- difusão de calor em um elemento de volume de coordenadas cartesianas 
 
Para tal sistema temos que: 
dx
x
qqq xxdxx ∂
∂
+=+ 
(1) 
 
dy
y
q
qq yydyy ∂
∂
+=+ 
 (2) 
 
dz
z
qqq zzdzz ∂
∂
+=+ 
 (3) 
 
51 
A equação 1 afirma que a componente x da taxa de transferência de calor no 
ponto x + dx é igual ao valor da componente em x mais o produto da variação da taxa 
em relação a x por dx. 
Levando em consideração que no interior do elemento de volume pode haver 
uma fonte de energia que proporciona um termo referente à taxa de geração de calor. 
Este termo pode ser representado por: 
dxdydzqEg
••
=
 
 (4) 
onde : 
•
q é a taxa de geração de energia por unidade de volume do meio(w/m3). 
Considerando ainda que pode ocorrer variação quantidade de calor que é acumulada 
pelo material no interior do volume de controle. Esse termo pode ser equacionado pela 
expressão: 
dxdydz
t
TCpEac ∂
∂
=
•
.ρ
 
 (5) 
onde: 
t
TCp
∂
∂
.ρ corresponde a taxa de variação, em função do tempo, da energia 
interna do meio, por unidade de volume. 
Aplicando a equação de balanço de energia para o volume de controle temos: 
acsge EEEE
••••
=−+
 
 (6) 
Considerando as expressões que representam cada uma dos termos da 
equação 6 temos: 
dxdydz
t
TCpqqqdxdydzqqqq dzzdyydxxzyx ∂
∂
=−−−+++ +++
•
.ρ
 
 (7) 
 
Substituindo as equações 1, 2, 3 na equação 7 temos: 
52 
dxdydz
t
TCp
z
dzqqdy
y
q
qdx
x
qqdxdydzqqqq zz
y
y
x
xzyx ∂
∂
=
∂
∂
−−
∂
∂
−−
∂
∂
−−++++
•
.ρ
 (8) 
 
Rearranjando a equação 8 temos: 
dxdydz
t
TCp
z
dzqdy
y
q
dx
x
qdxdydzq zyx
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
•
.ρ
 
 (9) 
 
Como as taxas de condução de calor podem ser representadas pela equação 
de Fourier, ou seja: 
x
TKdydzqx ∂
∂
−= 
 (10) 
y
TKdxdzqy ∂
∂
−= 
 (11) 
 
 
z
TKdxdyqz ∂
∂
−= 
 (12) 
 Substituindo as equações 10, 11 e 12 na equação 10 e dividindo pelas 
dimensões do volume de controle temos: 
t
TCpq
z
TK
zy
TK
yx
TK
x ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ •
.ρ
 
 (13) 
Caso a condutividade térmica possa ser considerada constante para o estudo 
em questão a equação 13 pode ser simplificada: 
53 
t
T
K
q
z
T
y
T
x
T
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•
α
1
2
2
2
2
2
2
 
 (14) 
onde : 
Cp
k
.ρ
α = é denominada difusividade térmica 
 Para sistemas que operam em regime permanente não pode haver variação da 
energia acumulada, logo temos: 
0=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ •q
z
TK
zy
TK
yx
TK
x
 
 (15) 
Para um sistema onde a transferência de calor for unidimensional(por exemplo na 
direção x) e se não houver geração de energia a equação 15 resume-se em: 
0=





dx
dTK
dx
d
 
 (16) 
ou seja: 
0
"
=
dx
dq x
 
 (17) 
 
3.1.1 – Propriedades relevantes dos materiais 
No estudo da transferência de calor são empregadas várias propriedades dos 
materiais. Essas propriedades são denominadas propriedades termofísicas e 
constituem uma combinação entre as propriedades de transporte e as propriedades 
termodinâmicas. As primeiras incluem os coeficientes de difusão de calor, como por 
exemplo, a condutividade térmica(K) enquanto as segundas referem-se ao estado de 
equilíbrio do sistema. Um exemplo destas propriedades, exaustivamente empregadas 
na análise termodinâmicas de sistemas, são a densidade(ρ) e a capacidade 
calorífica(Cp). O produto dessas duas propriedades (ρ.Cp),expresso em [J/m3 K], mede 
54 
a capacidade do material em armazenar energia térmica, e é denominado capacidade 
calorífica volumar. 
As substâncias com densidade elevada apresentam calores específicos 
pequenos, como conseqüência, sólidos e líquidos, que são meios muito bons para 
armazenar energia, apresentam capacidade calorífica volumar 
comparáveis(ρ.Cp>1MJ/m3.K), conforme pode ser observado na Tabela A3. Em 
contrapartida, os gases que apresentam baixa densidade são pouco apropriados para 
armazenar energia térmica(ρ.Cp~1KJ/m3.K) 
No estudo da transferência de calor, a difusividade térmica é uma propriedade 
que mede a relação entre a capacidade de o material conduzir energia térmica e a sua 
capacidade de armazenar energia térmica. Essa propriedade é expressa segundo a 
equação: 
Cp
K
.ρ
α = 
 (18) 
Os materiais com α grande respondem rapidamente as variações do ambiente 
térmico, enquanto os materiais com α pequeno respondem mais lentamente e levam 
mais tempo para atingir uma nova condição de equilíbrio. 
 
Exemplo: 
Calcular difusividade térmica para os seguintes materiais , nas condições 
mencionadas, mediante aos valores de K, ρ e Cp da Tabela A. 
a) Alumínio puro a 300K 
 
 
b) Alumínio puro a 700K 
 
 
 
55 
 
 
 
 
 
 
c) Carbeto de silício a 1000K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Uretana 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
3.2 – Coordenadas Cilíndricas 
Consideremos o fluxo de calor através de um elemento de volume de lados dr, dΦ e 
dz, representado pela figura abaixo. 
 
 
Figura 12 – difusão de calor em um elemento de volume de coordenada cilíndrica. 
 
Quando a difusão de calor é expressa em coordenada cilíndrica, o vetor de fluxo de 
calor apresenta a seguinte forma geral: 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=∇−=
z
TkT
r
j
r
TiKTKq φ
1
.'
 
 (19) 
onde: 
57 
r
TKq r ∂
∂
−='
 φφ ∂
∂
−=
T
r
Kq'
 
z
TKq z ∂
∂
−='
 
 (20) 
São as componentes do fluxo de calor nas direções radial, circunferencial e axial, 
respectivamente. Aplicando a equação de balanço de energia para o volume de 
controle temos expresso pela figura 12, obtém-se a seguinte equação geral: 
t
TCpq
z
TK
z
TK
rr
TKr
rr ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ •
.
11
2 ρφφ 
 (21) 
Exemplo. 
A distribuição de temperatura em uma parede de 1m de espessura, num certo instante 
é dado por: 
2)( cxbxaxT ++= 
onde T é a temperatura em ºC e x, em metros, enquanto a=900ºC, b=-300ºC/m e c=-
50ºC/m2. Uma geração de calor uniforme 3/1000 mWq =
•
, atua na parede, numa área 
de 10m2. As propriedades da parede são: ρ=1600Kg/m3, K=40w/m e Cp= 4Kj/Kg.K. 
a)Determinar a taxa de transferência de calor afluente á parede(x=0) e efluente (x=1m) 
 
 
 
 
 
b) A taxa de variação da energia acumulada na parede. 
 
 
 
58 
c)A variação de temperatura com o tempo em x=0,025 e 0,5m 
 
59 
 
60 
 
 
 
61 
 
 
62 
 
 
 
3.3 – Condução com geração de energia térmica em estadoestacionário 
63 
 
 Nesta secção iremos monitorar o efeito de processos que estão ocorrendo no 
interior do volume de controle, sobre a distribuição de temperatura. Particularmente 
iremos estudar sistemas nos quais há geração de energia térmica oriunda da 
conversão de alguma outra forma de energia. 
A geração de energia térmica envolve a conversão de energia elétrica em 
térmica no interior de um condutor. A taxa de geração de energia, pela passagem de 
uma corrente elétrica (i) através de um meio de resistência elétrica (R) é dado segundo 
a expressão: 
 
2
.iRE =
•
 
 (22) 
 
Se tal geração de potência (W) ocorrer uniformemente em um meio de volume 
V, tem-se que a taxa de geração volumar é dado segundo a expressão: 
 
V
iR
V
Eq
2
.
==
•
•
 
 (23) 
 
A geração de energia pode ocorrer em função da desaceleração e absorção de 
nêutrons, ou em função de reações exotérmicas ou endotérmicas que ocorrem no 
interior do volume de controle. 
 
3.4.1- Geração de energia em sistemas com coordenadas cartesianas. 
 
Imagine uma parede plana na qual há geração de energia por unidade de 
volume de tal forma que as superfícies se mantém a temperaturas T1 e T2. 
 
64 
 
Figura 13 – Condução de calor em geometria plana com geração 
 
Admitindo que a condução ocorre em regime permanente tem-se: 





= 0
dt
dT
 
Para coordenadas cartesianas tem-se: 





≅ 0
dy
dT
 e 





≅ 0
dz
dT
 
Admitindo que a condutividade térmica(K) mantém-se constante na faixa de 
temperatura de operação, a equação de difusão de calor pode ser simplificada em: 
 
22
11
2
2
)(2
)(1
0
TxTcc
TxTcc
K
q
dx
Td g
=⇒
=⇒
=+
•
 
 (24) 
 
Integrando a equação 24 temos: 
1CxK
q
dx
dT g +−=
•
 
 (25) 
 
Integrando a equação acima temos a solução geral da equação, em termos da 
temperatura do sistema: 
65 
21
2
2
)( CxCx
K
q
xT g ++−=
•
 
 (26) 
 
Aplicando a cc1 a equação 26 temos: 
1211
2
11 2
)( TCxCx
K
q
xT g =++−=
•
 
 (27) 
 
A equação 27 mostra que para a condução de calor em regime permanente, 
com geração de calor, a distribuição de temperatura apresenta um perfil parabólico, 
conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 14 perfil de temperatura 
 
 
Aplicando a cc2 a equação 26 temos: 
2221
2
22 2
)( TCxCx
K
q
xT g =++−=
•
 
 (28) 
 
Subtraindo a equação 28 da equação 27 temos: 
66 
 
121211
22
2 )()(2 TTxxCxxK
qg
−=−+−−
•
 
 (29) 
 
A partir da equação 29 pode-se concluir que: 
 
 
( )










−+−
−
=
•
11
22
212
12
1 )(2)(
1
xx
K
q
TT
xx
C g 
 (30) 
 
Substituindo a equação 30 na equação 28 temos: 
 
 










−+−
−
−+=
••
)()(2
2
1
2
212
12
12
112 xxK
q
TT
xx
x
x
K
q
TC gg 
 (31) 
 
Para um processo de condução de calor em regime permanente, com geração 
de calor em coordenadas cartesianas a equação de Fourier se apresenta da seguinte 
forma: 
 
dx
dTKAq −=
•
 
 
Substituindo a equação 25 na equação acima temos: 
 
67 










+−−=
•
•
1CxK
q
KAq g ou seja: 
 




−=
••
KCxqAq g 1 
 (32) 
 
Exercício 
 
1) Um longo cilindro maciço de 10cm de raio, consiste de um material nuclear 
reativo, cuja condutividade térmica é 0,5W/mK e gera 2400W/m3 uniformemente 
em seu volume. Esse cilindro é encapsulado em outro cilindro oco com raio 
externo de 20cm e condutividade térmica de 4W/mK. Determine a temperatura 
na superfície externa da cápsula, sabendo que a temperatura ambiente é de 
100C e a h=20W/m2K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.1- Geração de energia em sistemas radiais. 
 
A geração de calor pode se dá em diferente geometria radial. Considerando o 
cilindro maciço, representado na figura abaixo. 
 
 
69 
 
 
 
 
Figura 15 – Condução de calor em cilindro maciço com geração de energia térmica. 
 
 Consideremos o sistema representado pela figura 15, que opera em regime 
permanente e com condutividade térmica do material constante na faixa de 
temperatura de trabalho. Aplicando a equação da condução de calor para o sistema de 
coordenada cilíndrica (equação 21) ao sistema representado pela figura 15 e fazendo 
as devidas considerações tem-se: 
 
01 =+





•
K
q
dr
dT
r
dr
d
r
g
 
 (33) 
 
Rearranjando a equação acima temos: 
 
r
K
q
dr
dT
r
dr
d g
•
−=





 
 
Integrando a expressão acima, admitindo que a geração de calor é uniforme temos: 
70 
1
2
2
Cr
K
q
dr
dT
r
g +−=
•
 
 (34) 
 
Rearranjando a equação 34 temos: 
 
r
C
r
K
q
dr
dT g 1
2
+−=
•
 
 
 
 Integrando a expressão acima, admitindo que a geração de calor é uniforme 
temos: 
 
21
2
ln
4
.)( CrC
K
rq
rT g ++−=
•
 
 (35) 
 
 A equação 35 representa a solução geral para a distribuição de temperatura 
para o sistema em estudo. 
 Considerando as condições de contorno abaixo é possível determinar os 
valores das constantes C1 e C2 , ou seja: 
 
0
0
=





=rdr
dT
 e sTrT =)( 0 
 
 Aplicando a primeira condição de contorno a equação 34 temos: 
 
C1 =0 
 (36) 
 
71 
Aplicando a segunda condição de contorno a equação 35 temos: 
 
Quando r=r0 T(r0)=Ts , ou seja: 
 
201
2
0 ln
4
.
CrC
K
rq
T gs ++−=
•
 
Trabalhando a equação acima temos: 
 
K
rq
TC gs 4
2
0
2
•
+= 
 (37) 
 
Substituindo a equação 37 na equação 35 temos: 
 
 
s
g T
r
r
K
rq
rT +







−=
•
2
0
22
0 1
4
.)(
 
 (38) 
 
Calculando a temperatura no eixo mediante a equação 38 e dividindo a equação 38 
pelo resultado obtido, tem-se: 
 
2
00
1
)(






−=
−
−
r
r
TT
TrT
s
s
 
 (39) 
 
onde T0 é a temperatura no eixo. 
 
72 
A equação 38 possibilita determinar a taxa de transferência de calor como 
função da distância ao eixo. 
 
A relação entre a temperatura de superfície(TS )e a temperatura do fluido(TS ) 
pode ser determinada pelo balanço de energia na superfície ou seja: 
 
))(2()( 020 ∞
•
−= TTLrhLrq spipi ou 
 
h
qrTTs 2
•
∞
+=
 
 (40) 
 
 
 
3.4.2 – Condições de contorno e condição inicial 
 
 
A distribuição de temperatura em um meio pode ser determinada através da 
resolução da equação de transferência de calor por condução para o sistema em 
estudo. Entretanto, essa solução depende das condições físicas estabelecidas nas 
fronteiras do meu sistema e do instante inicial, quando o fenômeno for dependente 
do tempo. A primeira é denominada condição de contorno e a segunda é 
denominada condições iniciais. Como a expressão de difusão de calor por 
condução é uma equação de segunda ordem nas coodernadas espaciais, há 
necessidade de duas condições de contorno para cada coordenada. Entretanto 
essa mesma expressão é de primeira ordem em relação ao tempo, necessitando 
apenas de uma condição inicial.Na tabela abaixo se verifica a principal condição 
de contorno encontrada no estudo da transferência de calor. 
Tabela 1 – Principais condições de contorno estudadas em transferência de 
calor 
73 
 
 
 
 
A primeira condição de contorno faz referência à situação na qual a superfície( 
em x=0) apresenta temperatura constante(Ts). Essa situação é verificada na pratica 
quando a superfície encontra-se em contato com um sólido ou um líquido em transição 
de fase. Essa condição é denominada condição de Dirichlet ou condição de contorno 
de primeira espécie. 
A segunda condição de contorno, na qual a superfície(x=0) apresenta um fluxo 
constante de calor( 
sq
•
 ). Na prática essa situação pode ser verificada quando a 
superfície encontra-se em conato com um calefator elétrico, sendo que, quando o fluxo 
de calor é nulo, é um caso especial dessa segunda condição de contorno. Essa 
condição de contorno é denominada condição de Newmann, ou contorno de contorno 
de segunda espécie. 
As condições de contorno de terceira espécie são aquelas nas quais a 
superfície encontra-se aquecida ou resfriada por um fluxo convectivo, sendo 
necessário um balanço de energia na superfície para seu equacionamento. 
3.5 – Transferência de calor em superfícies expandidas. 
74 
 
 Superfícies expandidas ou aletas consiste de um sólido que sofre transferência 
de energia por condução no interior de suas fronteiras e também transferência de 
energia por convecção ou radiação, ou por ambos entre as suas fronteiras e as 
vizinhanças. 
 Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na 
transferência de calor consideremos um exemplo prático. Imaginemos que se pretende 
aumentar a taxa de transferência de calor de um sistema de aquecimento que utiliza 
água quente que escoa por uma tubulação. O fluxo de calor transferido para o 
ambiente pode ser obtido pela seguinte expressão: 
 
321 RRR
TTq ei
++
−
=
•
 
 (41) 
 
onde: 
ii Ah
R
.
1
1 = ; LK
r
r
R i
e
..2.
ln
2
pi






= e 
ee Ah
R
.
1
3 = 
 
 
 As principais formas de promover esse aumento são: 
 
� Aumentar a velocidade de escoamento do fluido; 
� Aumentar a diferença de temperatura entre o fluido e a superfície; 
� Substituir o material por outro que apresente maior termocondutividade(K); 
� Aumentar a área interna (alterar dimensão); 
� Aumentar a área externa (colocar aletas) 
 
 
 sistema representado pela figura 16 
 
Imaginemos. 
 
 A necessidade de se aumentar a taxa de transferência de calor fez com que o 
homem promovessem alterações nos sistemas em estudo 
75 
 
 
4.0 – Condução de calor bidimensional em regime permanente 
 
4.1 - Introdução 
 
Nos capítulos anteriores do nosso estudo de calor nos preocupamos apresentar 
soluções para problemas cujo gradiente de temperatura era predominante na direção 
de uma única coordenada. Em muitos problemas práticos, a consideração de uma 
condução unidimensional é insatisfatório, necessitando uma abordagem mais realista, 
que leve em conta os efeitos multidimensionais. Neste capítulo iremos estudar uma 
técnica para o equacionamento de condução bidimensional de calor em regime 
permanente. 
 
4.2- Equacionamento 
 
Imaginemos um sólido prismático, comprido onde uma condução bidimensional 
de calor se processa, conforme mostra a figura 1. Considere que duas das quatro 
superfícies estão isoladas e as outras se encontram a temperaturas constantes T1 e T2 
sendo que 21 T T > . A transferência de calor de calor por condução ocorrerá da 
superfície 1 para a superfície 2 e segundo a equação de Fourrier, fluxo de calor é um 
vetor em todos os pontos normal as isotermas. As direções do vetor de fluxo de calor 
são representados pelas linhas de fluxo térmico e o vetor é a resultante das 
componentes do fluxo térmico nas direções x e y, conforme mostra a Figura 1. 
 
76 
 
Figura 1 – Condução de calor bidimensional em sólido prismático. 
 
O primeiro objetivo a ser alcançado consiste em determinar a distribuição de 
temperatura no meio, T(x,y), o que para o sistema em estudo, passa pela resolução da 
equação de difusão de calor. Na condução bidimensional de calor, sem geração de 
calor e em regime permanente, esta equação toma o seguinte arranjo: 
 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
T
x
T
 
 (1) 
Superando a dificuldade de se resolver a equação 1, podemos nos 
empenharmos na determinação das componentes do fluxo de calor, por meio da 
equação das taxas: 
x
TKq x ∂
∂
−=
" ; 
y
TKq y ∂
∂
−=
" ; 
z
TKq z ∂
∂
−=
" ; (2) 
A solução da equação 1 pode ser feita com base numa resolução analítica, 
gráfica ou numérica, entretanto vamos nos determos na solução analítica. Para tal 
devemos adotar o método da separação de variáveis. 
 
4.3 – Método da Separação das Variáveis. 
 
O método de Separação de Variáveis se aplica diretamente à solução de um 
problema simulado por uma equação diferencial parcial e com condições de contorno 
lineares e homogêneas, com exceção de uma condição de contorno que é linear e 
não-homogênea. Para introduzirmos a aplicação do Método de Separação das 
Variáveis, na resolução de problemas de condução bidimensional de calor, 
consideraremos o sistema da Figura 2. 
77 
 
 
Figura 2 – Condução bidimensional de calor numa chapa retangular 
 
 Estamos interessados na distribuição de temperatura no meio, e para 
simplificarmos a resolução, vamos introduzir uma variável: 
 
12
1
TT
TT
−
−
=θ 
 (3) 
 
Transformando a equação 1 por meio da equação 3 temos: 
 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
θθ
 
 (4) 
Como a expressão acima é uma equação derivada de segunda ordem em 
relação a x e a y, para sua solução são necessária duas condições de contorno para 
cada coordenada x e y: 
 
0),0( =yθ e 0)0,( =xθ 
 
0),( =yLθ e 1),( =wxθ 
 
78 
Verifique que por meio da transformação da equação 3, três das quatro condições de 
contorno são homogêneas e o valor de θ encontra-se entre 0 e 1. 
 
 
 Aplicando a técnica da separação das variáveis e admitindo que solução possa 
ser expressa pelo produto de duas funções (X e Y), sendo que uma é dependente de x 
e a outra é dependente de y temos: 
 
)().(),( yYxXyx =θ 
 (5) 
 
Derivando a equação 5 com base na equação 4 temos: 
 
22
2 11
dy
Yd
Ydx
Xd
X
=−
 
 (6) 
 
Como a equação 6 é de variáveis separáveis, ou seja, cada um dos dois termos da 
equação depende de uma de variáveis diferentes, a igualdade dó é verdadeira(para 
qualquer valor de x e de y) se os dois membros forem iguais a uma mesma constante. 
Se arbitrarmos um valor para tal constante, λ2 temos: 
 
022
2
=+ X
dx
Xd λ
 
 (7) 
 
022
2
=− Y
dy
Yd λ
 
 (8) 
 
As soluções gerais para as equações 7 e 8 são respectivamente: 
 
79 
xsenCxCX λλ 21 cos += 
 (9) 
 
yy eCeCY λλ +− += 43 
 (10) 
 
Sendo assim a solução geral para a condução bidimensional em regime permanente 
sem geração torna-se: 
 
))(cos( 4321 yy eCeCxsenCxC λλλλθ ++= − 
 (11) 
 
 Para determinarmos a solução específica devemos substituir as condições de 
contorno. Aplicando a condição de contorno 0),0( =yθ , temos que C1=0. 
 Aplicando a condição ed contorno 0)0,( =xθ na equação 11 temos: 
0)( 432 =+ CCxsenC λ 
A expressão acima só pode ser satisfeita se 43 CC −= , uma vez que se C2 =0 elimina-
se a dependência comvariável x, o que contradiz a essência do problema. 
 Aplicando a condição 0),( =yLθ na equação 11 temos: 
 
0)(42 =− − yy eeLsenCC λλλ 
 
Para que a expressão acima satisfaça uma das soluções para a equação, consiste em 
fazer λ assumir valores discretos par os quais 0=Lsenλ . Estes valores devem 
satisfazer a equação: 
L
npiλ = ,...3,2,1=n 
 (12) 
 
Levando em consideração a equação 12 a solução desejada torna-se: 
80 
 








−=
−
L
yn
L
xn
ee
L
xn
senCC
pipi
piθ 42 
 (13) 
 
Combinando as constantes e considerando que a nova constante pode depender de n , 
logo temos: 
 
L
yn
senh
L
xn
senCyx n
pipiθ =),(
 
 (14) 
 
A expressão acima apresenta um número infinito de soluções que satisfazem a 
equação diferencial e as condições de contorno. Uma solução mais adequada é obtida 
pela superposição com a forma: 
L
yn
senh
L
xn
senCyx
n
n
pipiθ ∑
∞
=
=
1
),(
 
 (15) 
 
A solução da equação acima passa pela determinação da constante segundo a 
expressão: 
 
( )[ ]
( )LwnsenhnC
n
n /
112 1
pipi
+−
=
+
 ...3,2,1=n 
 (16) 
 
Substituindo a equação 16 na equação 11 temos: 
 
( ) ( )
( )Lwnsenh
Lynsenh
L
xn
sen
n
yx
n
/
/112),(
1
pi
pipi
pi
θ ∑
+−
=
+
 
 (17) 
 
81 
A equação 17 é uma série convergente, na qual θ pode ser calculado para 
qualquer valor de x e de y. Os resultados aparecem na forma de isotermas numa 
chapa retangular, conforme indicado na figura 3. 
 
 
Figura 3 – Isotermas de condução bidimensional numa chapa retangular 
 
 
4.3 – O fator de forma da condução 
 
A configuração de um sistema que participa da transferência de calor influencia 
na taxa de transporte de energia térmica, conforme indicado na equação abaixo: 
 
TSKq ∆=
 
 (18) 
 
onde: S é o fator forma de condução. 
 
 O fator forma foi calculado para numerosos sistemas bidimensionais e 
encontram-se resumidos na Tabela abaixo. 
 
 
82 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
84 
Exercícios 
 
1) Uma chapa retangular bidimensional está sujeita a condição de contorno com 
temperatura constante, conforme a figura indica. Calcular a temperatura no 
centro da chapa, considerando os 5 primeiros termos não nulos da série infinita 
que deve ser somada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Um furo cilíndrico, com diâmetro D=0,3m,é broqueado ao longo do eixo de u bloco 
soído, com secção reta quadrática, com lado W=2m. O furo é paralelo ao comprimento 
do bloco, que vale L=2m. A condutividade térmica do material do bloco é k=300w/mK. 
Um fluido quente que passa através do furo mantém uma temperatura da superfície 
interna T1=175C, enquanto a superfície externa é mantida a T2=25C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
 
 
 
3) Dois oleodutos paralelos, separados por 0,5m, estão enterrados num solo de 
condutividade térmica 0,5W/mK. Os diâmetros externos dos dutos são respectivamente 
100 e 75mm e as temperaturas são 175 e 5C. Estimar a taxa de transferência de calor, 
entre os dutos, por unidade de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 06 – Transferência de Calor por Convecção. 
 
I – Introdução 
 
A convecção de um fluido tem uma forte uma forte influência sobre o processo 
de transferência de calor, conforme mencionado nos capítulos precedentes. Até o 
momento só focalizamos nossa atenção na transferência de calor por condução e só 
consideramos a convecção na medida em que ela se apresenta como condição de 
contorno nos problemas de condução. 
 Nesta secção vamos examinar mais alguns detalhes de situações de 
escoamentos e da correlação com a transferência de calor, bem como desenvolver 
modelo matemático para quantificar a energia transferida. 
 
II – Camada limite 
 
Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em 
regime Laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são 
desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido contida na região de 
variação substancial de velocidade, ilustrada na figura 1, é denominada de camada 
limite hidrodinâmica. 
 
 
88 
 
Figura 1 – representação esquemática da camada limite hidrodinâmica 
 
 
Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando 
existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, O fluido 
contido na região de variação substancial de temperatura é chamado de camada limite 
térmica. Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso de um fluido 
escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra 
a 
transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de 
temperatura ( camada limite térmica ) em uma região de baixa velocidade ( camada 
limite hidrodinâmica ). 
 
 
 
O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação combinada de 
condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de 
temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade. Portanto: 
89 
 
� Na região de baixa velocidade a condução é mais importante 
 
� Na região de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o 
mais frio é mais importante. 
 
III – Escoamento externo 
 
Considere o escoamento de um fluido que se aproxima de uma superfície 
plana, onde o fluido e a superfície apresentam temperaturas diferentes, conforme 
mostra a Figura 3. Uma transferência de calor e de quantidade de movimento ocorre 
entre o fluido e a superfície sólida, a qual admitimos ter temperatura constante Ts e 
uma velocidade igual a zero. O atrito viscoso desacelera o fluido, de modo que sua 
velocidade, essencialmente paralela a superfície, varia do valor na corrente livre, V∞, 
distante da superfície, até zero na superfície. A distancia medida, normal a superfície, e 
sobre a qual a velocidade varia, é chamada camada limite dinâmica, ou de velocidade. 
 
Figura 3- Representação esquemática das camadas limite dinâmica e térmica 
Essa camada é definida como sendo a distância δ, onde a velocidade atingiu 
99% do valor da velocidade de corrente livre V∞. a temperatura apresenta uma 
variação similar do valor da corrente livre T∞ até a temperatura da superfície Ts, sobre 
uma distância correspondente a camada limite térmica δT. Essas duas camadas estão 
esquematizadas na Figura 4. 
90 
 
Figura 4- Representação esquemática da camada limite dinâmica e térmica 
A taxa de calor local 
"•
q , avaliada no fluido em contato com a superfície, em 
y=0, é dado segundo a expressão: 
0
'
=
•






∂
∂
−=
Yy
tkq
 
 (1) 
 
Para toda a camada limite térmica, a lei de resfriamento de Newton pode ser 
escrita da seguinte forma: 
)(
"
∞
•
−= TThq s 
 (2) 
A partir da igualdade das equações 1 e 2 pode se expressar o coeficiente de 
transferência de calor por convecção da seguinte forma: 
( )∞−






∂
∂
−
=
=
TT
y
TK
h
s
y 0
 
 (3) 
 
Para a determinação desse coeficiente de transferência de calor , a temperatura 
T(x,y) deve ser conhecida de forma a permitir a avaliação do gradiente na superfície.