Sequência numérica, o que é?

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Cálculo II 
 
 
 
AULA 1 
SEQUÊNCIA NUMÉRICA, O QUE É? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Sequência numérica ............................................................................................................... 2 
 1.1. As Sucessões numéricas ..................................................................................................... 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
No cálculo utiliza-se a sequência para expressar determinada sucessão, que é 
determinada por um termo geral, ou seja, um termo recorrente dentro da função, e 
por meio delas desenvolve-se as séries, que possibilita desenvolver resultados 
referentes a áreas e volumes, por exemplo. 
A sequência numérica pode ser considerada uma função real em que seu 
domínio é 
( )N
 e a cada 
( )n
 associa um número real 
( )na
, que são denominados 
termos da sequência. 
Nesta apostila, você vai aprender conceitos básicos da sequência numérica, 
como sua definição, composição, alguns tipos de sequência, por meio de 
informações e exemplos. 
Objetivos 
• Compreender o conceito de sequência numérica; 
• Identificar as sequências numéricas em situações diversas; 
• Utilizar as definições de sequência numérica para solução de problemas. 
• Conhecer e compreender a Sequência Fibonacci. 
 
1. Sequência numérica 
O termo ‘sequência’ é utilizado para referir-se a todo conjunto ou grupo cujos 
elementos aparecem descritos em uma determinada ordem. 
Na área da matemática é trabalhado um tipo específico de sequência, a 
sequência numérica, sendo ainda, composta por números organizados em uma 
ordem preestabelecida. 
Para representar uma sequência numérica, os seus elementos devem ser 
colocados entre parênteses, conforme os exemplos a seguir: 
• (1, 3, 5, 7, 9, 11...) é uma sequência de números ímpares positivos. 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...) é uma sequência de números naturais. 
• (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. 
• (5, 10, 15, 20, 25...) é uma sequência de números, múltiplos de 5 e 
menores que 35. 
As sequências podem ser separadas em dois tipos: 
 
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• A sequência finita, que é uma sequência numérica que seus elementos 
têm fim. 
EXEMPLO 
 
 
 
 
• A sequência infinita, que é a sequência que não possui fim, ou seja, 
seus elementos tendem ao infinito. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Nas sequências numéricas, o primeiro termo é representado por a1, o 
segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por diante. 
Nas sequências numéricas desconhecidas, o último elemento é representado 
sempre por an, pois a letra n tem a função de determinar o número de elementos da 
sequência, por exemplo: 
• (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) sequência infinita. 
• (a1, a2, a3, a4, ..., an) sequência finita. 
Algumas sequências têm a característica de apresentar certo padrão, ou seja, 
uma informação ou detalhe que demonstre como a sucessão foi construída e que 
permite que sejam determinados os elementos seguintes. 
Estes elementos de uma sequência podem ser obtidos por meio de uma lei de 
formação da sequência, como por exemplo: 
EXEMPLO 
A sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e 
menores que 35. 
 10,15,20,25,30
 
 
 
A sequência dos números naturais. 
 0,1,2,3,...
 
 
 
 
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Nesta sequência percebe-se que há uma sucessão numérica que seguem uma 
regra, que pode ser chamada de ‘lei de formação’. 
Por meio da utilização desta regra, é possível escrever todos os elementos 
desta sequência, mesmo que ela seja infinita, e, neste caso, para que não sejam 
escritos os elementos de modo infinitamente, são utilizados alguns conceitos 
básicos, como uma ferramenta algébrica muito conhecida, que são as ‘variáveis’. 
As variáveis, na matemática, são uma representação, normalmente feita por 
letras, muito conhecidas, como a, b, c, x, y, z, com diferentes valores ou mesmo 
quantidades utilizadas em expressões algébricas ou ainda em fórmulas. 
Desta forma, por meio da utilização das variáveis, é possível escrever todos os 
elementos de uma sequência, ainda que esta seja infinita. 
As sequências podem seguir um padrão, determinado ou não por uma lei de 
formação, com certa regularidade, conforme o exemplo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar os cinco primeiros elementos de uma 
sequência, tal que: 
an = 10n + 1 
• a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11 
• a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101 
• a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001 
• a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001 
• a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001 
Assim, esta sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001). 
 
 
 
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EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. As Sucessões numéricas 
Em alguns casos existem sucessões na disposição dos elementos, em alguns 
momentos estas sucessões são numéricas e em outros casos não. Neste momento 
em especial, vamos focar o aprendizado nas sucessões numéricas, por meio de um 
exemplo, que é a sequência de Fibonacci. 
A sequência de Fibonacci foi criada no século XIII pelo matemático Leonardo 
de Pisa, cujo apelido era Fibonacci. 
Esta sequência foi desenvolvida por ele para solucionar um problema do 
crescimento populacional, proposto por ele no seu livro publicado 1202 e intitulado 
Liber Abaci. O ponto mais interessante é que a sequência de Fibonacci aparece 
frequentemente em diversas situações e padrões naturais, sendo inclusive bem 
distintos do crescimento populacional, como por exemplo, nas proporções do corpo 
humano, nas sementes de girassol e nas conchas do mar, por exemplo. 
A sequência de Fibonacci ocorre pelo processo de recorrência, ou seja, pode-
se obter um termo geral por meio da relação de termos anteriores. 
 
Observando a sequência das figuras podemos determinar 
perguntas como: 
Qual é a próxima figura a aparecer? 
 Qual será a figura a ocupar a 9ª posição? 
 Qual será a figura a ocupar a 34ª posição? 
Qual será a figura a ocupar a 721ª posição? 
Observando a sequência, é possível perceber a existência 
de uma regularidade na disposição das figuras 
geométricas, esta regularidade permite que sejam 
respondidas às questões sem que seja preciso desenhar 
todos os elementos conforme solicitado. Ou seja, existem 
quatro figuras seguindo uma sequência determinada, 
então pode-se concluir que são ciclos de quatro figuras 
repetindo-se. E a partir disto responder o questionamento 
acima. 
 
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EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Cesgranrio, 2012) Sabendo que uma sequência numérica infinita do tipo 
(a1, a2, a3,…, an) e que a soma dos n termos iniciais é igual a (n² + 6n), calcule o quartotermo desta sequência. 
 
2. (IBGE, 2016) Considere a sequência infinita IBGEGBIBGEGBIBGEG… 
Determine a 2016ª e a 2017ª letras dessa sequência. 
 
3. (Autora, 2019) Considere a sequência numérica (1, 3, 6, 10, 15...), observa-
se que ela apresenta uma lei de formação. Determine o 7º termo desta sequência. 
 
Gabarito 
1. Calculando a soma dos três primeiros termos: 
n² + 6n = 3² + 3.6 = 9 + 18 = 27 
 
Calculando a soma dos quatro primeiros termos: 
n² + 6n = 4² + 4.6 = 16 + 24 = 40 
Logo, o quarto termo será: 40 – 27 = 13 
 
A sequência de Fibonacci 
1 2 1a a= =
 
2 1n n na a a+ += +
 
Observe que o termo an+2 é dependente dos anteriores. 
Agora observe esta sequência: 
{1,1,2,3,5,8,13,21,34,…} 
Ela representa a sequência de Fibonacci, pois seus termos 
são obtidos ao se fazer a soma dos dois números que o 
antecede. Observe: 
{(1), (1+0), (1+1),(1+2),(2+3),(3+5),(5+8),(8+13),(13+21)} 
 
 
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2. Podemos perceber que a sequência repete sempre as mesmas 6 letras 
(IBGEGB). Então, dividindo-se 2016 por 6 tem-se: 2016/6 = 336. 
A sequência irá se repetir 336 vezes até chegar à posição 2016. 
Portanto, conclui-se que a letra B estará ocupando a posição 2016 e para a 
posição 2017 será a letra I. 
 
3. Podemos notar que a sequência segue a seguinte lei de formação: 
 A1 = 1 
 A2 = 1 + 2 
 A3 = 1 + 2 + 3 
 A4 = 1 + 2 + 3 + 4 
 A5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
 ... 
 Assim, 
 A7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. 
Resumo 
Nesta apostila foi abordado o tema ‘sequência’, que é utilizado para 
representar um conjunto ou um grupo, cujos elementos estejam descritos em 
ordenamento lógico. Em estudos relacionados à matemática são trabalhados um 
tipo específico, a sequência numérica, que é composta por números dispostos em 
uma ordem preestabelecida. 
Outro ponto importante sobre os tipos de sequência, que podem ser 
separadas em finitas, em que há a representação de um termo final, como no 
exemplo da sequência dos números múltiplos de 5, maiores que 5 e menores que 35. 
E as sequências infinitas que não possuem fim, ou seja, seus elementos tendem ao 
infinito, como no exemplo da sequência dos números naturais. 
E por fim, foi apresentada a sequência de Fibonacci, que ocorre por meio de 
um processo de recorrência, ou seja, a partir da relação de termos anteriores. 
 
 
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Referências bibliográficas 
RUDIN, W. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971. 
STEWART, J. Cálculo, volume II. 4ª. Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.