A expressão algébrica do seu termo geral

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Cálculo II 
 
 
 
AULA 6 
A EXPRESSÃO ALGÉBRICA E O SEU TERMO GERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. A expressão algébrica ........................................................................................................... 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila anterior foram abordados sobre as sequências e suas 
regularidades, além das generalizações. Foram definidos ainda sobre sequências 
pictóricas, que envolvem figuras, e numéricas, representadas por números. 
Sobre as sequências repetitivas e crescentes, entende-se que 
independentemente do tipo, a ideia essencial é a repetição ou mudança. 
Considera-se que as expressões algébricas podem apresentar números e 
letras, neste caso as letras representam a parte variável, e, portanto, assumem 
qualquer valor numérico. Diante disso, as letras quando associadas aos números 
formam a base da álgebra, contribuindo de forma ativa na resolução de problemas 
matemáticos. 
O termo geral de uma sequência pode ser dado por uma expressão algébrica, 
em que (n) corresponde à variável, podendo assumir qualquer valor referente ao 
índice específico. 
Nesta apostila, serão apresentadas as expressões algébricas, numéricas e o 
termo geral, de forma a explorar os conceitos básicos suas utilizações aplicadas às 
sequências. 
Objetivos 
• Entender a expressão algébrica; 
• Compreender como utilizar a expressão algébrica; 
• Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de uma 
sequência de valores simples. 
 
1. A expressão algébrica 
A matemática, de uma forma geral, é composta por diversas operações e 
componentes, dentre eles, está a ‘expressão numérica’, que é uma combinação 
de números, operadores, variáveis livres ou ligadas, além de símbolos gráficos, 
como colchetes e parênteses, agrupados de forma significativa de modo a permitir a 
verificação de valores, formas, meios ou fins. 
Importante detalhar que existe uma grande diferença entre as expressões 
numéricas e as expressões algébricas, enquanto as expressões numéricas possuem 
apenas números, as algébricas possuem números e letras ou apenas letras. 
É intuitivo entender que o termo ‘numérica’ remete a números. Então, o que 
seria uma expressão numérica? 
 
3 
 
 A expressão numérica pode ser denominada como uma associação de 
números e letras, que tem por objetivo solucionar problemáticas partindo de valores 
pré-determinados. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
Para o caso particular da expressão algébrica, normalmente utiliza-se 
para monômios ou polinômios, pois a expressão algébrica é uma mistura de 
números e letras. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
O termo algébrico, ou o chamado de monômio, é toda expressão algébrica 
racional inteira que indica uma multiplicação entre números e variáveis, que são as 
letras, ou apenas entre variáveis. 
Em geral, um termo algébrico é formado por uma parte numérica, que é 
chamada de coeficiente, e de uma parte literal constituída pelas letras e seus 
expoentes, sendo ainda compostos pela soma de vários fatores que estão indicados 
mediante números e letras. 
 
O número 5, por si só, é uma expressão e 
subsequentemente um monômio porque contém um 
único termo. 
Observe (3 + 5 – 2), esta também é uma série de 
expressões, bem formuladas e subsequentemente é um 
polinômio, pois contém mais de um termo. 
 
José comprou 2 canetas, 1 lápis e 1 borracha, represente a 
expressão numérica. 
2c + 1l + 1b 
ou 
2c + l + b 
Percebe, pode-se utilizar letras e números para denotar 
uma expressão qualquer. 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
O polinômio pode ser definido como uma expressão algébrica, neste caso 
formado a partir da soma de monômios, que são denominados polinômios de um 
único termo. Além disso, existem outras classificações como: binômio para soma de 
dosi monômios; trinômios qua apresentam a soma de três monômio, e; os 
polinômios, que representam assoma de 4 ou mais monômios. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
O coeficiente é um multiplicador constante ou numérico de variáveis em um 
termo algébrico, sendo a parte literal toda variável ou letra em um cálculo algébrico. 
A álgebra tem forte relação com o aprimoramento do conhecimento de 
estruturas matemáticas, como por exemplo, relações, funções e simbolização. Neste 
contexto, exibem um sistema que permite compreender a quantificação e variações 
existentes nas distintas condições matemáticas impostas. 
Raciocinar algebricamente quer dizer apresentar uma capacidade de calcular 
e utilizar os elementos algébricos para solucionar questões práticas, mas é 
importante que se tenha em mente a necessidade de generalizar uma determinada 
resolução de problemas, uma forma de tornar mais prático o desenvolvimento 
matemático. 
Generalizar corresponde a obter uma determinada regra, que vai permitir 
posteriormente a adequação e resolução de qualquer questão similar. Na formção 
da sequência, por exemplo, o termo geral, corresponde a generalização algébrica, 
Calcule o valor resultado da expressão (2x+5) para (X=3). 
Intuitivamente multiplica-se 2 por 3 e soma-se 5. 
2x+5=2.3+5=6+5=11 
Monômios: 25; 4x; 26n. 
Binômios: (3x+21); (5n2+8). 
Trinômio: (5x² - x + 5); (5y³ + 2x² + 4z). 
Polinômio: (7y + 4x + 6z – 70); (z⁵ - y³ + 3x + 144). 
 
 
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em que facilita a compreensão dos valores apresentados por aquela sequência, sem 
que haja necessidade de desenvolvê-la completamente. 
Um ponto importante relacionado à generalização é entender que há um 
envolvimento de regras e recursos, seja natural como numéricos. É o caso de se 
utilizar números e letras ao mesmo tempo, o que na maioria dos casos aparenta 
estar complicando a resolução de um determinado problema, no entanto, 
corresponde ao contrário. 
É necessário que se utilize da interpretação para que se tenha o 
entendimento necessário para aplicar o conhecimento algébrico nas diversas 
situações que envolvem o cálculo, principalmente nos assuntos relacionados a 
sequências e séries, por exemplo. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, as letras são símbolos usados em vários contextos e com 
interpretações distintas, das quais destacamos apenas três: letra considerada como 
uma incógnita – quando a letra assume um valor desconhecido que pode ser 
determinado, como ocorre com a incógnita x na equação (x + 5 = 7); letra 
considerada como número um generalizado – quando a letra pode ser substituída 
por vários valores, como acontece a (n) na sucessão dos números naturais pares 
representadas pelo termo geral (un = 2n); e letra considerada como uma variável – 
quando a letra representa um conjunto de valores, como, por exemplo, A = {1, 3, 5,7}. 
Embora a Aritmética e a Álgebra partilhem muitos dos 
mesmos sinais e símbolos, de soma, subtração, igual e 
divisão, o seu significado tem de ser enquadrado nos 
contextos respectivos onde eles estão inseridos. 
Exemplo 
 O sinal de igual (=) realça mais claramente o seu sentido 
relacional, ou seja, numa equação o sinal relaciona o 1.º 
membro com o 2.º membro. 
Por sua vez, na Aritmética, o sinal realça claramente o seu 
sentido operacional, ou seja: (2 + 3 = 5) 
 
 
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Existe um ordenamento de resolução de problemas que devem ser seguidos 
para que se obtenha o resultado correto de uma determinada expressão algébrica. 
Portanto, deve-se ter o entendimento de se inicia sempre pela resolução de 
potenciação, partindo para radiciação, multiplicação, divisão e, só então se realiza a 
adição ou subtração de termos. 
No entanto, é possível que dentro das expressões algébricas apareçam 
termos como parênteses, colchetes e outros síbolos que promovem a formação de 
um determinado conjunto de termos, neste caso, é preciso ter o conhecimento da 
ordem que deverá ser seguida neste caso, deve-se partir sempre da resolução de 
dentro de parênteses, colchetes e chaves, sempre nesta ordem. 
Conforme relatado anteriormente, representa um fator importante na 
resolução de expressões algébricas, é o que se denomina hierarquia, e deve ser 
seguido de forma adequada para que não se obtenha um resultado errôneo. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
Em relação aos monômios, correspondente a cada termo dentro e uma 
expressão algébrica qualquer, não necessariamente se aresenta de maneira 
exclusiva, ou seja, pode ser que haja recorrência de um mesmo monômio, ou seja, 
quando apresentam mesma base e expoentes. Neste caso, é necessário que faça a 
união dos mesmos, o que se denomina simplificação. 
Exercícios 
1. (Autora, 2019) Considere as figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o valor numérico da expressão algébrica 4x + 
10y², para x = 2 e para y = 3. 
Resolução: 
24.2 10.3 4.2 10.9
8 90 98
+ = +
+ =
 
 
Logo, o valor numérico desta expressão é 98. 
 
 
7 
 
a) Qual é a expressão que define a sequência? 
b) Quantas bolinhas terão na 4ª figura? 
 
2. Considerando as informações abaixo responda: 
1
1 3
1 3 5
1 3 5 7
1 3 5 7 9
1 3 5 7 9 11 13
_ _ _ _ _ _ _ _ _
 
 
a) Qual será a 7ª linha? 
b) Qual é a soma dos valores da 7º linha? 
 
3. Observando as figuras abaixo percebemos que elas representam caixas 
numeradas de 1 a n, com bolinhas e a quantidade destas bolinhas em cada caixa 
varia em função do número dessa caixa. 
 
Assim, o número de bolinhas da n-ésima caixa é dado pela expressão: 
a) n² 
b) (n-1)² 
c) (n+1)² 
d) n²+1 
Gabarito 
1. Considerando as figuras: 
 
a. Pode-se verificar que a expressão que define a sequência é 2n, pois: 
 
1 . 2 2
2 . 2 4
3 . 2 6
=
=
=
 
 
 
8 
 
b. Logo, na 4ª figura: 4 . 2 = 8 
 
2. Completando a sequência: 
 
a. A 7ª linha será: 1 3 5 7 9 11 13 15 
b. A soma é: 1+3+5+7+9+11+13+15 = 64 
 
3. De acordo com as figuras, 
1 4
2 9
4 16
=
=
=
 
... Logo a expressão que define a sequência é (n + 1)2 
Resumo 
O estudo da matemática envolve diversas e diferentes operações e 
componentes, dentre eles, está a expressão numérica, que é uma combinação 
de números, operadores, variáveis livres ou ligadas e símbolos gráficos, 
como colchetes e parênteses, agrupados de forma significativa de modo a permitir a 
verificação de valores, formas, meios ou fins. 
Também se pode destacar as expressões algébricas, principalmente 
relacionado à existência de uma grande diferença entre as expressões 
numéricas e as expressões algébricas, pois enquanto as expressões numéricas 
possuem apenas números as algébricas possuem números e letras ou apenas letras. 
A expressão numérica acaba sendo qualquer número ou série de números 
bem formulados em uma teoria particular, enquanto a expressão algébrica, é uma 
mistura de números e letras. O termo algébrico ou o chamado de monômio é toda 
expressão algébrica racional inteira que indica uma multiplicação entre números e 
variáveis, que são as letras, ou apenas entre variáveis. 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, J. R. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992. 
RUDIN, W. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971. 
STEWART, J. Cálculo, volume II. 4ª. Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.