Atividade 1 Geomatria Analítica e Álgebra Linear - UAM 2019-08

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

No Campeonato Brasileiro de Futebol de 2017, os times do Atlético Mineiro e da Chapecoense terminaram 
exatamente com a mesma pontuação: 54 pontos. Sabe-se que a pontuação é computada da seguinte forma: se um 
time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto; e, se perde, não marca nenhum ponto. O primeiro critério de 
desempate utilizado é o número de vitórias, ou seja, o time que possui mais vitórias fica mais bem colocado. No 
total, cada time disputou 38 jogos, e o Chapecoense venceu 15 jogos. Para o Atlético, temos a seguinte informação: 
o número de vitórias mais o número de derrotas é igual a duas vezes o número de empates mais dois. Seguindo o 
que se pede, descubra qual dos dois times ficou melhor colocado e, consequentemente, conquistou a última vaga 
para disputar o importante campeonato Libertadores da América. 
 
a) Monte um sistema com 3 equações e 3 variáveis que descreva a situação colocada acima cuja solução será o 
número de vitórias, empates e derrotas do Atlético Mineiro no campeonato. Mostre, utilizando o determinante da 
matriz dos coeficientes, que esse sistema é possível e determinado. 
 
b) Resolva esse sistema pelo método de escalonamento de matrizes. 
 
c) Resolva agora o sistema pela regra de Cramer para confirmar os resultados encontrados na letra b). 
 
d) Qual dos times ficou melhor colocado no campeonato? Por quê? 
Resposta 
Selecionada: 
Sendo: 
x = Vitórias Pontuação dos dois times: x + y + z = 38 
y = Derrotas Pontuação computada: 3x + z = 54 
z = Empates Atlético Mineiro: x + y = 2z + 2 
 
a)Determinante: 
 
Sendo: 
x + y + z = 38 
x + y - 2z = 2 
3x + 0 + z = 54 
D= 
1 1 1 1 1 
1 1 -2 1 1 
3 0 1 3 0 
 
 
D= [1.1.1 + 1.(-2).3 + 1.1.0] - [1.1.1 + 1.(-2).0 + 1.1.3] 
D= [1 + (-6) + 0] - [1 + 0 + 3] 
D= 1 - 6 - 4 
D= -9 
 
b) Escalonamento: 
 
x + y + z = 38 x + y + z = 38 x = 14 
3x + 0 + z = 54 → -3y - 2z = -60 → y = 12 
x + y - 2z = 2 -3z = -36 z = 12 
 
Rascunho: 
 
Nova equação da linha 2: -3E1 + E2 Nova equação da linha 3: -1E1 + E3 
 
Soma: -3x - 3y - 3z = -114 Soma: -x - y - z = 38 
 3x + 0 + z = 54 x + y - 2z = 2 
Resultado: -3y - 2z = -60 Resultado: -3z = -36 
 
Rascunho: 
 
z = -36/-3 = 12 
 
y = -3y - 2.12 = -60 
 -3y - 24 = -60 
 -3y = -60 + 24 
 y = -36/-3 = 12 
 
 
x = x + 12 + 12 = 38 
 x + 24 = 38 
 x = 38 - 24 = 14 
 
c) Regra de Cramer: 
x = Dx/D = 14 y = Dy/D = 12 z = Dz/D = 12 Sendo: Det. = -9 
 
Rascunho: 
 
Dx = 
38 1 1 38 1 
 2 1 -2 2 1 
54 0 1 54 0 
 
38 - 108 + 0 - (2 + 0 + 54) 
38 - 108 - 2 - 54 = -126 
 
Dy = 
1 38 1 1 38 
1 2 -2 1 2 
3 54 1 3 54 
 
-172 - (-64) 
-172 + 64 = -108 
 
Dz = 
1 1 38 1 1 
1 1 2 1 1 
3 0 54 3 0 
 
60 - 168 = -108 
 
Resultado: 
 
Dx = -126/-9 = 14 
Dy = -108/-9 = 12 
Dz = -108/-9 = 12 
 
d) A Chapecoense ficou melhor calocada, pois obteve um ponto a mais que o Atlético 
Mineiro.