Unidade 4 - Torção Exercícios de sala

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Unidade 04 
Torção 
Exercícios 
Prof. Marco Antonio Wolff 
Resistência dos Materiais 
Engenharia Elétrica 
Unidade 4 – Torção 
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Exercícios 
A barra circular vazada de aço tem comprimento igual a 
1,5 m e diâmetros interno e externo iguais a 40 mm e 
60 mm, respectivamente. Determine (a) qual é o maior 
torque que pode ser aplicado à barra para uma tensão de 
cisalhamento admissível de 120 MPa e (b) qual é o valor 
mínimo de tensão de cisalhamento na barra. 
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Engenharia Elétrica 
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Exercícios 
(a) O maior torque T que pode ser aplicado à barra é o torque para o qual a 
tensão de cisalhamento vale 120 MPa, logo. 
𝐽0 =
𝜋
2
× 𝑐𝑒𝑥𝑡
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡
4 ∴ 𝐽0 =
𝜋
2
× 0,034 − 0,024 ∴ 𝐽0 = 1,021 × 10
−6 𝑚4 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇 × 𝑐
𝐽0
∴ 𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥 × 𝐽0
𝑐
 
O momento polar de inércia do eixo vale: 
O torque então é dado por: 
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥 × 𝐽0
𝑐
∴ 𝑇 =
120 × 106 × 1,021 × 10−6
0,03
∴ 𝑇 = 4084 𝑁 ×𝑚 
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Exercícios 
(b) O valor mínimo da tensão de cisalhamento ocorre na superfície interna 
da barra, logo. 
𝜏𝑚í𝑛 =
𝑇 × 𝑐𝑖𝑛𝑡
𝐽0
∴ 𝜏𝑚𝑖𝑛 =
4048 × 0,02
1,021 × 10−6
∴ 𝜏𝑚𝑖𝑛 = 79,29 𝑀𝑃𝑎 
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Exercícios 
Qual o torque que deverá ser aplicado à extremidade do 
eixo mostrado no exercício anterior (figura abaixo) para 
produzir um ângulo de torção de 2°? Dados: G=77 GPa. 
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Exercícios 
O ângulo de torção é dado por: 
𝐽0 =
𝜋
2
× 𝑐𝑒𝑥𝑡
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡
4 ∴ 𝐽0 =
𝜋
2
× 0,034 − 0,024 ∴ 𝐽0 = 1,021 × 10
−6 𝑚4 
O momento polar de inércia do eixo vale: 
O torque então é dado por: 
∅ =
𝑇 × 𝐿
𝐽0 × 𝐺
 
Transformando o ângulo de 2° para radianos (regra de 3) tem-se: 
𝑇 =
𝐽0 × 𝐺 × ∅
𝐿
 
2𝜋 rad − 360° 
∅ rad − 2° 
Portanto: 
∅ rad =
2° × 2 × 𝜋
360°
∴ ∅ = 0,0349 𝑟𝑎𝑑 
𝑇 =
𝐽0 × 𝐺 × ∅
𝐿
∴ 𝑇
1,021 × 10−6 × 77 × 109 × 0,0349
1,5
∴ 𝑇 = 1829 𝑁 × 𝑚 
Logo: 
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Exercícios 
O eixo de seção circular BC é 
vazado com diâmetros interno e 
externo de 90 mm e 120 mm, 
respectivamente. Os eixos de 
seção circular AB e CD são 
maciços e têm diâmetro d. Para o 
carregamento mostrado na 
figura, determine (a) as tensões 
de cisalhamento máxima e mínima 
no eixo BC, (b) o diâmetro d 
necessário para os eixos AB e 
CD, se a tensão de cisalhamento 
admissível nesses eixos for de 
65 MPa. 
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Exercícios 
Chamando de TAB o torque no eixo AB e fazendo o diagrama de corpo livre 
na seção AB do eixo tem-se: 
 𝑀𝑥 = 0 ∴ 𝑇𝐴 − 𝑇𝐴𝐵 = 0 ∴ 6 − 𝑇𝐴𝐵 = 0 ∴ 𝑇𝐴𝐵 = 6 𝑘𝑁 × 𝑚 
Chamando de TBC o torque no eixo BC e fazendo o diagrama de corpo livre 
tem-se: 
 𝑀𝑥 = 0 ∴ 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 − 𝑇𝐵𝐶 = 0 
Obs.: Note que o torque no eixo CD é igual ao torque no eixo AB. Tirar a 
prova fazendo o somatório de momentos no eixo CD. 
Portanto: 
 𝑀𝑥 = 0 ∴ 6 + 14 − 𝑇𝐵𝐶 = 0 ∴ 𝑇𝐵𝐶 = 20 𝑘𝑁 ×𝑚 
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Exercícios 
(a) O eixo BC é vazado e o seu momento polar de inércia vale: 
𝐽0 =
𝜋
2
× 𝑐𝑒𝑥𝑡
4 − 𝑐𝑖𝑛𝑡
4 ∴ 𝐽0 =
𝜋
2
× 0,064 − 0,0454 ∴ 𝐽0 = 13,92 × 10
−6 𝑚4 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície externa do eixo, 
logo: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝐵𝐶 × 𝑐𝑒𝑥𝑡
𝐽0
∴ 𝜏𝑚á𝑥 =
20000 × 0,065
13,92 × 10−6
∴ 𝜏𝑚á𝑥 = 86,2 𝑀𝑃𝑎 
A tensão de cisalhamento mínima ocorre na superfície interna do eixo, 
logo: 
𝜏𝑚í𝑛 =
𝑇𝐵𝐶 × 𝑐𝑖𝑛𝑡
𝐽0
∴ 𝜏𝑚á𝑥 =
20000 × 0,045
13,92 × 10−6
∴ 𝜏𝑚á𝑥 = 64,7 𝑀𝑃𝑎 
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Exercícios 
(b) Os eixos AB e CD estão submetidos ao mesmo torque (T=6 kNxm) e 
possuem a mesma tensão admissível. A tensão de cisalhamento nestes 
eixos é dada por: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑇 × 𝑐
𝐽0
 
O momento polar de inércia vale: 
𝐽0 =
𝜋
2
× 𝑐4 
Portanto: 
𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑇 × 𝑐
𝜋
2 × 𝑐
4
∴ 𝑐3 =
2𝑇
𝜏𝑎𝑑𝑚 × 𝜋
∴ 𝑐 =
2 × 6000
𝜋 × 65 × 106
∴
3
𝑐 = 0,0388 𝑚 
O diâmetro é dado por: 
𝑑 = 2 × 𝑐 ∴ 𝑑 = 2 × 0,0388 ∴ 𝑑 = 0,777 𝑚 𝑜𝑢 𝑑 = 77,75 𝑚𝑚 
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