Lista 1 Algebra

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Sa˜o Paulo
Engenharia de Controle e Automac¸a˜o
A´lgebra Linear
Prof. Guemael Rinaldi Lattanzi
Nome: Prontua´rio:
Lista de Exerc´ıcios - 01/09/2019
1. Classifique os sistemas lineares a seguir, caso poss´ıvel, determine sua soluc¸a˜o.
(a) S :

2x+ y + 3z = 8
4x+ 2y + 2z = 4
2x+ 5y + 3z = −12
(b) S :

x+ 2y + z = 1
y + 2z = −4
x+ y + z = 2
(c) S :

x+ 2y + 3z = 11
x− y + 2z = 5
x− y + 2z = 2
2. Resolva os seguintes sistemas de Cramer:
(a) S :
{
x− y = 4
x+ y = 0
(b) S :

x+ y + z = 2
x− y + z = 0
y + 2z = 0
(c) S :

x− y + z + t = 0
x+ y − z + t = 1
−x+ y + z − t = 0
2x− y − z + 3t = 1
3. Determinar m ∈ R de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolveˆ-lo.
S :

x− y + z = 2
x+ 2z = 1
x+ 2y +mz = 0
4. Identifique quais dos conjuntos a seguir sa˜o espac¸os vetoriais.
(a) Mn×n(R), munido da soma usual e produto por escalar usual.
(b) N, munido da soma usual e produto por escalar usual.
5. Seja I um intervalo de R e indiquemos por C(I) o conjunto das func¸o˜es cont´ınuas definidas
em I e tomando valores em R. Dados f, g ∈ C(I) e α ∈ R, definem-se f + g e αf do seguinte
modo:
f + g : I → R e (f + g)(t) = f(t) + g(t),∀t ∈ I
e
αf : I → R e (αf)(t) = αf(t),∀t ∈ I.
Mostre que C(I) e´ um espac¸o vetorial sobre R.
6. No conjunto V = {(x, y)|x, y ∈ R} definimos ”adic¸a˜o” da seguinte forma:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
e multiplicac¸a˜o por escalar como em R2, isto e´,
α(x, y) = (αx, αy)
Nestas condic¸o˜es V e´ um espac¸o vetorial sobre R? Justifique!
7. No conjunto V do exerc´ıcio anterior definamos a ”adic¸a˜o” como o fazemos habitualmente no
R2 e a multiplicac¸a˜o por escalar assim:
α(x, y) = (αx, 0)
. E´ enta˜o V um espac¸o vetorial sobre R? Justifique!
8. Seja V = {u ∈ R|u > 0}. Definimos ⊕ e � da seguinte forma:
u⊕ v = u.v, ∀u, v ∈ V
e
α� u = uα, ∀u, v ∈ V e ∀α ∈ R
Mostre que com as operac¸o˜es acima definidas (V,⊕,�) e´ um espac¸o vetorial sobre R.
9. Mostre que o conjunto W = {(x, y) ∈ R2|y = 0} e´ um subespac¸o vetorial do R2.
10. Mostre que U = {A ∈Mn(R)|A≈ = A} e´ subespac¸o de Mn(R).
11. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespac¸os de R3.
(a) U = {(x, y, z)|x− 2y = 0}
(b) V = {(x, y, z)|x+ z = 0 e x− 2y = 0}
Bom Estudo!
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