Cadernos de Matemática Meireles -Unip

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Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 2
 
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
site www.profmeireles.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 3
 
Caderno 1 
Reciclagem de conceitos básicos 
 
 
 





 

1
0
0
!1!
1
k
N
nk
n
k
k
P 


Conceito de inverso
Fatorial SomatóriaLetras gregas 
 
 
 O presente curso de Matemática Básica destina-se a estudantes ou profissionais da 
Administração incluindo Administradores Gerais, Contabilistas, Gestores de Recursos 
Humanos e Administradores da Produção. O curso aborda conceitos fundamentais, mas 
é estruturado a partir de problemas reais. Inicialmente é dado um problema e alguma 
forma de o resolver; a seguir são explorados os conceitos fundamentais para a resolução, 
de forma que o leitor vai reciclando ou aprendendo os elementos básicos da Matemática 
aplicada à solução de problemas administrativos. 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
1. 1O problema 
Considere o serviço de atendimento ao consumidor de uma empresa que tem duas 
atendentes. Cada cliente demanda um tempo médio de 5 minutos e este tempo de 
atendimento é distribuído exponencialmente. Os telefonemas dos clientes chegam em 
regime de Poisson com um intervalo médio de 8 minutos entre chagadas consecutivas. 
Dadas estas condições qual a probabilidade de o sistema estar vazio? 
 
Este problema é resolvido pela Teoria das Filas com a fórmula acima. Na linguagem 
de tal teoria, o sistema estar vazio significa não haver chamada alguma para as atendentes. 
Não é objetivo deste curso discutir os fundamentos da teoria que se aplica mas apenas a 
forma de resolver o problema matematicamente. 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 2
 
O desafio consiste, portanto em determinar o valor de P0 sabendo que k=3 e 
2 : 
 
 (1) 
 
 
 
 
1. 2Alfabeto grego 
A primeira coisa que chama a atenção na fórmula (1) é a existência de letras 
diferentes do alfabeto latino. No caso são as letras gregas  que se denomina rho e 
 sigma. A figura 1 mostra o alfabeto grego. As letras gregas são muito utilizadas para 
exprimir alguns conceitos matemáticos especiais, como o  por exemplo. 
 
 
Figura 1: Alfabeto grego. 
Fonte: http://matematicaprofcarla.blogspot.com/2010/08/ 
 
1. 3Fatorial de um número 
 
O fatorial de um número n, é representado por n!, e é o produto de todos os inteiros 
positivos menores ou iguais a n. 
Por exemplo, o fatorial de 4 indica-se por 4! E lê-se “quatro fatorial”. O valor de 4! é 
24 pois 4!=4*3*2*1=24. 
(Aqui * indica multiplicação ou produto de dois números) 
Na medida em que o número 1 é neutro na multiplicação, isto é, o resultado não se 
altera se se multiplica por 1, costuma-se omitir e se diz: 4!=4*3*2=24. 
Observar que o fatorial de zero é 1: 0!=1. 
O factorial de um número n! pode ser expresso logicamente por n*(n-1)! . Por 
exemplo: 4!=4*3! 
De forma semelhante para n=1, considerando que n! = n*(n-1)! Temos: 1! = 1*0! 
Para que a igualdade seja verdadeira necessariamente 0!=1. 
 
 
1. 4Somatório 
 
Na equação (1) a letra grega  poderia ser substituída por uma letra latina, mas a 
letra grega  sigma exprime o conceito de somatório. No presente caso a letra grega  
é uma variável à qual se atribui um valor e a letra grega  sigma é um operador 
matemático 





 

1
0
0
!
1!
1
k
n
nk
n
k
k
P 


Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 3
Para representar uma soma de valores ix usa-se a letra grega Sigma (maiúscula): 


n
i
ix
1
 lê-se somatório de “x índice i” onde “i” varia de 1 a n. 
26
95
74
153
82
121
xi
 (tabela 1) 
ER-001; Considere-se a variável x acima. O elemento 153 x e o elemento .95 x 
A expressão 

3
1i
ix lê-se da seguinte forma: “somatório de x índice i onde i varia de 1 a 3”, e indica a 
soma dos valores 3515812321  xxx . 
Quando temos a expressão 

n
i
ix
1
 correspondente à soma de todos os valores podemos 
abreviar para x . 
Propriedades dos somatórios: 
I) Se cada elemento da série é multiplicado por uma constante, os elementos podem ser 
somados, e a soma multiplicada pela constante: 


n
i
i
n
i
i xccx
11
 
II) A soma de uma constante sobre n termos é igual a n vezes a constante: 


n
i
ncc
1
 
III) O somatório de uma soma é igual à soma de somatórios.  
 

n
i
i
n
i
n
i
iii yxyx
11 1
)( 
De forma semelhante se opera com a diferença. 
 
Observar: 
n
n
i
i xkxkxkxkxk ........ 321
1


 
ou )...(. 321
1
n
n
i
i xxxxkxk 

 
ou )...( 321
1
n
n
i
i xxxxkxk 

 
ou 
a
xxx
xxxxx
a
n
na
n
i
i
)...(
)...(
1 21
321
1
1


 
 
    22 xx 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 4
 Considere-se a variável t abaixo: 
26
15
54
23
32
41


ti
 (tabela 2) 
 
ER-002 Resolver 
4
3i
i
i
t
 considerando a tabela 2. 
 A expressão indica: somatório de frações, onde o numerador é t índice i e o denominador é i, 
onde i varia de 3 a 4. Se i varia de 3 a 4, o somatório tem duas frações: 
 


4
3i
i
i
t
 
 O valor i assume os valores 3 e 4, e na tabela acima t3=2 e t4=5. Desta forma: 
 
4
5
3
24
3

i
i
i
t
. Observar que o denominador é o valor i, e o valor i vai de 3 a 4; já o numerador é ti 
que é obtido na tabela 2. 
 Concluindo: 
 
)3()4(
12
43
12
35
12
8
4
5
3
24
3

i
i
i
t
 
 
ER-003;Escrever em notação de somatório: 
a) 222
2
1 ... nxxx  
b) )(...)( 7711 yxyx  
c) nn rdrdrd
3
2
3
21
3
1 ... 
Trata-se de exprimir as somas utilizando o símbolo de somatório. 
 Alternativa a): é uma soma de valores elevados ao quadrado: 
2
1
22
2
2
1 ... n
n
n
n xxxx 

 
Alternativa b): é a soma de expressões (x-y) 
)()(...)(
7
1
7711 ii
i
yxyxyx  

 
Alternativa c): é a soma de produtos d3 r 
ii
n
i
nn rdrdrdrd
3
1
3
2
3
21
3
1 ... 

 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 5
 
EP-001;Sendo 3k e 2t , calcule a expressão 

2
0 !
K
n
n
n
t
. 
 
 
EP-002;Calcule: 
!
22
0 i
i
i


 
 
EP-003; Calcule: 
n
n
n
24
2


 
 
EP-004; Calcule: 
2
)2(6
3 

 t
tt
t
 
 
EP-005;Calcule: 
n
n
2
4
0


 
 
 
EP-006 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a)  x 
b)  2x 
c)  xy 
 
EP-007 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a)   )4(x 
b)   )( yx 
c)   2)1(x 
 
EP-008 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a) )3()2(  yx 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 6
b) 



)2()2(
y
x
 
 
EP-009 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a) )(   yxxy 
b)     22 xx 
c) 



6
3i
ix
x
 
 
ER-010; Sendo 2 calcular a expressão 

4
0 !n
n
n

. 
 
ER-011; Calcule 
24
2
2
4
2


 

nn
nn
. 
 
 
 
1. 5Etapa 1 da resolução do problema: substituição do valor das variáveis 
 
O problema consiste em calcular o valor de P0 (que se lê P índice zero ou de forma 
abreviada P zero) da equação (1) sabendo que k=3 e 2 . O primeiro passo é substituir 
na equação os valores conhecidos. 
(Em matemática uma equação é um conjunto de dois termos de símbolos ou dois 
conjuntos de símbolos unidos pelo sinal de igualdade) 
Vamos fazer as substituições possíveis: 
 
 
 
 
 
 Nesta etapa simplesmente, considerando que k=3 e 2 fizemos as substituições 
possíveis. Em matemática é recomendável que se avance passo a passo, de forma a se 
poder verificar algum erro caso este aconteça. 
 Podemos afirmar que P0 é o inverso de um número, isto é 
x
P
1
0  . Para se calcular o 
inverso de um número basta dividir 1 por esse número. Por exemplo o inverso de 4 é 
25,0
4
1  . 
 
 
 
 







 




 

2
0
31
0
0
!
2
3
2
1!3
2
1
!
1!
1
n
nk
n
nk
nn
k
k
P 


Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 7
1. 6Etapa 2 da resolução do problema: simplificar 
O próximo passo é simplificar valores. O primeiro valor a simplificar é a potência 
23=8. O valor 3! Também pode ser substituído: 3!=3*2*1=6 
 
 
 
 
 
 
 A próxima simplificação envolve frações: 

 
3
2
1 . 
 Neste caso temos um número inteiro do qual se subtrai 2/3. Vale a pena recordar as 
regras da soma e subtração de frações. 
 
1. 7Regras das frações 
 A soma ou subtração de frações obedece às seguintes regras: 
Se as frações possuem o mesmo denominador, mantém-se o denominador e se 
soma ou subtrai as frações: 
 
ER-004;Resolver 
3
2
3
7
3
5
4
9
4
6
4
3


 
 
Se as frações possuem denominadores diferentes é preciso converter as frações ao 
mesmo denominador. 
Lembrar que uma fração permanece inalterada se o numerador e o denominador 
forem multiplicados ou divididos por um mesmo número: 
 
ay
ax
y
x
*
* 
 
 Tradicionalmente, então, para transformar duas frações com denominadores 
diferentes em frações equivalentes com denominadores iguais pode-se utilizar o seguinte 
método: 
Multiplica-se cada fração pelo numerador da outra fração. 
 
ER-005;Resolver: 
 
15
22
15
10
15
12
5*3
5*2
3*5
3*4
3
2
5
4
3
2
5
4 
(3) (5) 
A primeira fração 4/5 multiplica-se por 3 que é o denominador da outra fração que se 
soma. 
A segunda fração 2/3 multiplica-se por 3 que é o denominador da outra fração. 
Entretanto o melhor é resolver soma e subtração de fações utilizando a HP-12C ou 
semelhante (BRTC FC-12 por exemplo) 







 




 

2
0
31
0
0
!
2
3
2
1!3
2
1
!
1!
1
n
nk
n
nk
nn
k
k
P 


Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 8
4 2 1,466666...
1, 46666...
5 3 1
1, 466666...(15) 22
1(15) 15
   
  
Faça assim na HP-12C: 
4<enter> 5 ÷ 
2<enter> 3 ÷ + (você somou as duas frações e aparece o resultado 1,4667 ou se fizer f9, 
para mostrar 9 casas decimais: 1,466666667) 
Então a soma das duas frações é igual aproximadamente a 1,46666... 
Ora 
1,466666...
1, 46666...
1
 . Então temos uma espécie de fração e podemos multiplicar o 
NUMERADOR e o DENOMINADOR por um mesmo valor que a fração não se altera. 
Vamos multiplicar pelo PRODUTO DOS DENOMINADORES DAS FRAÇÕES 
ORIGINAIS, isto é, multiplicamos por 15 pois 15=3x5. 
Desta forma temos no numerador 1,466666...(15)= 22 e no denominador 1 (1)=15. 
Portanto na HP-12C os cálculos são: 
4<enter> 5 ÷ 
2<enter> 3 ÷ + 
15 x 
 
ER-006;Resolver utilizando a HP-12C: 
 
5
1
4
3
3
2  
2 3 1 1,21666667
1,21666667
3 4 5 1
1,466666...(60) 73
1,46666...
1(60) 60
    
 
 
2<enter>3÷ 
3<enter>4÷+ 
5 - 60 x 
Em vez de usar a função de inverso de um número você pode teclar: 1<enter>5÷. 
Muito importante: multiplique logo pelo produto dos denominadores das frações o valor 
calculado, sem remover o cálculo da HP. 
 
Usar a HP-12C é bem mais fácil, rápido e seguro do que tilizar o método tradicional: 
no caso de três ou mais frações multiplica-se cada fração pelo produto dos numeradores 
da outras frações. 
A fração 2/3 deve ser multiplicada por 20 que é o produto de 4*5, numeradores das 
outras frações: 
5
1
4
3
3
2 
(4*5) (3*5) (3*4)
 
A fração 3/4 deve ser multiplicada por 15 que é o produto de 3*5, numeradores das 
outras frações: 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 9
 
5
1
4
3
3
2 
(4*5) (3*5) (3*4)
 
A fração 1/5 deve ser multiplicada por 12 que é o produto de 3*4, numeradores das 
outras frações: 
 
5
1
4
3
3
2 
(4*5) (3*5) (3*4)
 
 
Observar que quando se multiplica uma fração por um número deve-se multiplicar o 
numerador e o denominador pelo mesmo número: 
5
1
4
3
3
2 
(4*5) (3*5) (3*4)
5
1
4
3
3
2 
(20) (15) (12) 
 
 
60
73
60
12
60
45
60
40
12*5
12*1
15*4
15*3
20*3
20*2  
 
ER-007;Resolver: 
 
3
2
5
1
4
3
2
1  
 
1 3 1 2 2,116667
2,116667
2 4 5 3 1
2,116667(8)(15) 254 127
1(8)(15) 120 60
     
  
 
 
2 3<enter>4÷+5 + 2<enter> 3÷+ 8x 15x 
Para o denominador: 
8<enter>15x 
Note que você poderia multiplicar por 120, mas é bom fazer de modo seguro. 
 
Pode-se resolver tradicionalmente agrupando frações de forma a ficar: 
 
 

 

 
3
2
5
1
4
3
2
1
 
 Resolve-se o primeiro par de frações 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 10
 
4
5
4*2
5*2
8
10
8
6
8
4
4
3
2
1 

 

 
(4) (2) 
 
 Resolve-se o segundo par de frações: 
 
15
13
15
10
15
3
3
2
5
1 

 

 
(3) (5) 
 Substitui-se: 
 
60
127
60
52
60
75
4*15
4*13
15*4
15*5
15
13
4
5
3
2
5
1
4
3
2
1 

 

 
(15) (4) 
ER-008;Resolver: 
 
5
3
1 
Observar que para subtrair frações é necessário que as mesmas tenham o mesmo 
denominador. Neste caso pode-se substituir 1 pelo equivalente 5/5: 
5
5
1 já que 5 a dividir por 5 é igual a 1. 
Então: 
5
2
5
3
5
5
5
3
1  
 
 
ER-009;Resolver: 
 
7
3
1 
Neste caso pode-se substituir 1 pelo equivalente 7/7: 
7
7
1 já que 7 a dividir por 7 é igual a 1. 
Então: 
7
10
7
3
7
7
7
3
1  
 
 
Na multiplicação de frações basta multiplicar os numeradores pelos numeradores 
e os denominadores pelos denominadores: 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 11
 
ER-010;Resolver: 
 
 
6
9
.
4
3
 
 
8
9
8*3
9*3
24
27
6
9
.
4
3 
 
 
 
 
Na divisão de frações inverte-se a segunda fração e faz-se a multiplicação dasfrações: 
 
ER-011;Resolver: 
 
5
1
/
4
3
 
Esta divisão é equivalente a: 

5
1
4
3
 
Para resolver basta fazer o seguinte: 
Para o numerador vai o produto dos externos; para o denominador o produto do 
meio: 
 
 
4
15
1*4
5*3
5
1
4
3

 
 
 
 
ER-012; Calcule 
2
1
7
2  . 
 
ER-013; Calcule 
6
1
3
2
5
3  . 
 
ER-014; Calcule 
5
3
1 . 
 
ER-015; Calcule 
3
2
/
7
4
1 

  
 
ER-016; Calcule 
7
2
3
2
*
5
2
3 



 
. 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 12
 
 
1. 8Etapa 3 da resolução do problema: simplificar 
O próximo passo é simplificar valores. O primeiro valor a simplificar é a potência 
23=8. O valor 3! Também pode ser substituído: 3!=3*2*1=6 
 
 
 
 
 
 
 Simplificação do somatório: 
 

2
0 !
2
n
n
n
 indica que se trata de uma soma de 3 frações, pois n vai assumir os 
valores 0, 1 e 2. 
!2
2
!1
2
!0
2
!
2 2102
0

n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: a probabilidade de o sistema estar vazio, isto é, a probabilidade das duas 
atendentes não terem ligação alguma é de 1/9. Interpretando este valor: se o gerente 
passar frente às atendentes 9 vezes, em média, em uma delas elas estarão sem receber 
ligação. 







 




 




 

2
0
2
0
31
0
0
!
2
3
2
3
3
6
8
1
!
2
3
2
1!3
2
1
!
1!
1
n
n
n
nk
n
nk
nnn
k
k
P 


!2
2
!1
2
!0
2
3
2
3
3
6
8
1
!
2
3
2
3
3
6
8
1
!
2
3
2
1!3
2
1
!
1!
1
2102
0
2
0
31
0
0



 




 




 




 




 n
n
n
nk
n
nk
nnn
k
k
P 


9
1
54
1
5
2
8
1
221
3
6
8
1
2
4
1
2
1
1
3
1
6
8
1
!2
2
!1
2
!0
2
3
2
3
3
6
8
1
2100 














 
P
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 13
 
 
 
Gabarito 
 
 
EP-001; 3k e 2t , 
 


 120
32
24
16
6
8
2
4
1
2
1
1
!5
2
!4
2
!3
2
!2
2
!1
2
!0
2
!!
5432105
0
2
0 n
nK
n
n
n
t
n
t
 
 

3*15
3*4
15*3
15*6
5
15
4
3
6
5
15
4
3
2
3
4
5
15*8
8*4
8*3
8*2
3*2
4*2
221
 
 
45
327
45
102225
45
102
45
45*5
45
102
5
45
12
45
90
5
3*15
3*4
15*3
15*6
5  
 
 
 
EP-002; 5221
!2
2
!1
2
!0
2
!
2 2102
0

 i
i
i
 
 
EP-003; 
3
26
3
8
3
18
3
8
64
3
8
2
4
16
3
8
2
4
2
3
2
2
22 4324
2

 n
n
n
 
 
EP-004; 





 26
)66*2(
25
)55*2(
24
)44*2(
23
)33*2(
2
)2(6
3 t
tt
t
 
 





4
18
3
15
2
12
1
9
26
)66*2(
25
)55*2(
24
)44*2(
23
)33*2(
 
 
2
49
4
98
4
18
4
80
4
18
20
4
18
569
4
18
3
15
2
12
1
9  
 
 
 
EP-005; 31168421222222
43210
4
0


n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 14
EP-006 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a)  x=7+5+4+3+ 4+5+7+2=37 
b)  2x =49+25+16+9+16+25+49+4=193 
c)  xy =28+15+8+27+40 +10+21+10=159 
 
EP-007 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a)   )4(x =11+9+8+7+8+9+11+6=69 
b)   )( yx =11+8+6+12+14+7+10+7=75 
c)   2)1(x =36+16+9+4+9+16+36+1=127 
 
EP-008 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a) )3()2(  yx =9+0-6+30+42-7+0+ 8=76 
 
b) 
54
53
7541211456
49765679
)2(
)2( 




y
x
 
 
 
EP-009 Considere os valores x e y dados na tabela abaixo: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8
x 7 5 4 3 4 5 7 2
y 4 3 2 9 10 2 3 5 
Calcular: 
a) 12471406159)38*37()159()(    yxxy 
 
b)   11761931369193)37( 222  xx 
c) 
16
37
6
3



i
ix
x
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 15
ER-010; 2 Calcular 

4
0 !n
n
n

. Resposta: O exercício pele a soma de termos 



!n
n
, onde 
n varia de 0 a 4. 
3
19
3*2
19*2
6
38
6
8
6
12
6
12
6
6
6
8
2
4
1
2
1
1
!3
2
!2
2
!1
2
!0
2
!
32104
0













n
n
n

 
 
 
ER-011;   819432 2224
2
2
4
2


 

nn
nn
. 
 
 
ER-012; 
14
11
14
7
14
4
7*2
7*1
2*7
2*2
2
1
7
2  
 
ER-013; 
30
43
30
25
30
18
6
5
5
3
6
1
6
4
5
3
6
1
3
2
5
3  . 
 
ER-014; 
5
8
5
3
5
5
5
3
1  . 
 
ER-015; 
14
33
2*7
3*11
3
2
7
11
3
2
7
4
7
7
3
2
/
7
4
1 



  
 
ER-016; 
15
119
15
7*17
15*2
7*17*2
15*2
7*34
7
2
15
34
7
2
3
2
*
5
17
7
2
3
2
*
5
2
5
15
7
2
3
2
*
5
2
3





 





 
. 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 16
 
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
site www.profmeireles.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 17
 
Caderno 2 
Reciclagem de conceitos básicos 
-parte 2 
 
 
 
)1(
0
1!
)( k
Wkk
q eP
k
k
WWP


 


 

Número de Neper
Função exponencial
 
 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
2. 1O problema 
Continuamos com um exemplo de Teoria das Filas. Considere o serviço de 
atendimento ao consumidor de uma empresa que tem duas atendentes. Cada cliente 
demanda um tempo médio de 5 minutos e este tempo de atendimento é distribuído 
exponencialmente. Os telefonemas dos clientes chegam em regime de Poisson com um 
intervalo médio de 8 minutos entre chagadas consecutivas. 
Dadas estas condições qual é o tempo médio de espera na fila que um cliente tem? 
O desafio consiste, portanto em determinar o valor de Wq sabendo que k=3 e 
2 e μ=12. O valor de P0, já calculado no Caderno anterior, é de 1/9: 
 
02
1!.
P
k
kk
L
W
k
q
q


 
 

 
 
A primeira coisa estranhaé a dupla igualdade: Wq é igual a uma coisa que é igual a 
outra coisa. 
 
Primeiro se vê que 
q
q
L
W  . Se tivermos os valores Lq e λ facilmente obteremos o valor de 
Lq. Caso contrário temos de utilizar a fórmula equivalente que é bem mais trabalhosa: 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 18
02
1!.
P
k
kk
W
k
q


 
 

. Pelos dados que são dispostos é esta a forma a calcular. 
Observar que esta é uma fórmula da teoria das filas que Administradores usam para saber 
alguns parâmetros do sistema de atendimento. Na prática o Administrador “mede” o sistema e calcula 
os valores. 
O Administrador basicamente mede quantos clientes chagam ao sistema, em média, por hora. 
É o valor λ. Observa também quantos clientes cada atendente resolve, em média, em uma hora. É o 
valor μ. O valor k é o número de atendentes, que em linguagem da Teoria das Filas se denomina 
“estações”. O valor 
  . 
Agora é necessário calcular 02
1!.
P
k
kk
W
k
q


 
 

 onde: ρ=2, k=3, μ=12 e P0=1/9. 
 
 
2. 2Passo inicial: substituir valores 
O primeiro passo é substituir cuidadosamente os 
valores. Onde está uma letra, grega ou não, se coloca o 
valor correspondente. Sabemos que o volume de um 
paralelepípedo retângulo é dado por V=a.b.c. O que se faz 
para calcular o volume de um determinado sólido? 
Multiplica-se os valores referentes a a, b e c. 
No presente caso se faz a mesma coisa: cada letra é substituída pelo correspondente 
valor. 
 



 



 

9
1
3
2
112!.3.3
2
1!.
2
3
02 P
k
kk
W
k
q 

 
 Uma vez feita a substituição ataca-se a parte mais complexa de tal forma a ter o 
máximo de possibilidades. Você sabe que 3! (que se lê 3 fatorial) é igual a 3*2*1=6. (* 
aqui representa multiplicação). Uma possibilidade seria calcular imediatamente 3* 
3!*12=18*12=216 ficando 
9
1
3
2
1216
2
9
1
3
2
112!.3.3
2
2
3
2
3


 



 
qW Sempre que pudermos evitaremos números grandes. 
Vamos iniciar, de forma diferente. 
 
9
1
3
2
3
3
12.6.3
8
9
1
3
2
112!.3.3
2
22
3


 



 
qW 
 Como vamos subtrair frações convém que as mesmas tenham o mesmo 
denominador. No caso 1=3/3. Se precisássemos calcular 1-3/5 utilizaríamos 1=5/5. 
 
9
1
3
1
12.6.3
8
9
1
3
2
3
3
12.6.3
8
9
1
3
2
112!.3.3
2
222
3




 



 
qW 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 19
2.3Operações com expoentes 
Algumas regras de operações envolvendo expoentes: 
a.....a.a.a.aa n  (n vezes) 
0
1
1
1
0



 a
a
a
aa
a
n
n
 
nmmn aaa  
 
0
0







b
b
a
b
a
aa
aa
a
a
n
nn
nmnm
nm
m
n
 
n
mn m
n
1
n
aa
aa


 
 
ER-012 32532 )..)(.(.  xxxxxxxxx 
 
ER-013 374
3
7
...
..
......  xxxxxx
xxx
xxxxxxx
x
x
 
 
ER-014 5
2
3 Na HP-12C proceda da seguinte forma: 
 3 <enter> |introduz o 3 como x Visor=3 
2 <enter> |passa o 3 para y Visor=2 
 5 <divide> |visor=0,4 
 yx |visor=1,551845574 
 
 Esta operação equivale a 5
1
55 25
2
9933  
 Na calculadora é resolvido assim: 
9 <enter> |introduz o 9 como x Visor=9 
5 1/x |Visor=0,2 
 yx |visor=1,551845574 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 20
ER-015 
3
33
y
x
y
x 



 
 
EP-017 Calcule : 
23 22
4
1  
EP-018 Calcule : 
31 )4(2   
 
EP-019 Calcule : 07344 320)2()2(1  
 
EP-020 Calcule :   22
2
5431
1
1
2
1
5
4




  
 
EP-021 Calcule : 2
1
16 
 
2.4Continuação 
Continuamos com a simplificação 
 
9
1
9
1
12.6.3
8
9
1
3
1
12.6.3
8
9
1
3
2
3
3
12.6.3
8
9
1
3
2
112!.3.3
2
222
3






 



 
qW 
 
Aqui temos uma possibilidade clara de simplificação que é o corte dos (1/9). Com 
vistas a exercitar frações vamos considerar outro caminho. 
 



 9
1
9
1
.12.18
8
9
1
9
1
12.6.3
8
qW 
Podemos alterar a ordem dos termos, ou seja: r*s=s*r: 
 
9
1
9
1
.18.12
8
9
1
9
1
.12.18
8
9
1
9
1
12.6.3
8 


qW 
 
 Podemos simplificar 2
9
18
9
1
*
1
18
9
1
18  . Assim: 
 
9
1
24
8
9
1
2.12
8
9
1
9
1
.18.12
8
9
1
9
1
.12.18
8
9
1
9
1
12.6.3
8 


qW 
 
Podemos simplificar 
3
1
3*8
1*8
24
8  . Assim: 
27
1
9
1
3
1
9
1
24
8
9
1
2.12
8 qW 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 21
 
 O tempo de espera na fila, em horas, é 1/27. 
 
ER-016 Qual o tempo, em minutos, correspondente a 1/27 horas? 
 Para calcular quantos minutos há em meia hora basta multiplicar 60 minutos (-uma 
hora) por ½: 
 
 30
2
60
2
1
1
60
2
1
60  
 
 De forma semelhante se calcula quantos minutos há em 1/27 horas: 
 
 
1 60 1 60 3(20) 20
60 2,22
27 1 27 27 3(9) 9
     
 O tempo de espera é 2,22 minutos, ou seja 2 minutos mais 0,22 minutos. Como um 
minutos tem 60 segundos, 0,22 minutos correspondem a 60*0,22=13,2 segundos. Pode-se 
dizer que o cliente, em média, espera na fila, para ser atendido, 2 minutos e 13 segundos. 
 
EP-022 O tempo médio de espera de clientes na fila é de 
17
3
 horas. Quantos minutos e 
segundos espera o cliente em média? 
 
 
EP-023 Um farol fica aberto para a avenida 
8
5
 de 3 minutos e 
8
3
 de 3 minutos para a 
rua. Quantos segundos abre para cada uma das partes? 
 
 
2.5Números especiais 
Um outro valor a calcular é a probabilidade de o tempo de espera na fila (Wq) 
superar um determinado tempo W. 
Se sabe que ρ=2, k=3, μ=12 e P0=1/9. 
 
 
)1(
0
1!
)( k
Wkk
q eP
k
k
WWP


 


 
 
 
e O que chama a tenção nesta fórmula é a letra e. Esta letra é a constante de Neper: 
 e = 2,7182818284590452353602874... É um número infinito e é calculado da seguinte 
forma: 
 



 
n
n
e
n
1
1 Quanto maior for o valor de n com mais precisão obtemos o valor de e. 
 Vamos calcular o valor de e com n=300. 



 

 
n
n
e
n 300
300
1
1
1
1 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 22
 Vamos fazer este cálculo na HP-12C. Se não tem a calculadora pode fazer o download dela 
no site http://www.profmeireles.com.br/home/default.asp Veja à direita, ao fundo da página. Você 
também pode fazer o download de http://www.baixaki.com.br/download/hewlett-packard-12c-
financial-emulator.htm 
 
ER-017 
 Vamos começar com a fração 1/300. 
 300 <enter> |aparece no visor 300 
 Aperte a tecla 1/x |é a tecla <inverso de x>. Aparece no visor 0,003333333 
 |para ter o número de casas que deseja na HP use a função 
 | f . f 5 coloca 5 casas decimais na calculadora 
 1 + | adiciona 1 ao resultado. Na HP a notação é polonesa, pelo 
 |que é diferente das demais calculadoras. Visor=1,00333 
 300 yx |visor=2,713764887 que é abaixo de 2,7182818284590... 
 |o verdadeiro valor de e. 
 
ER-018 
 Vamos aumentar o valor de n para 3000.


 

 
n
n
e
n 3000
3000
1
1
1
1 
 
3000 <enter> |aparece no visor 3000 
 Aperte a tecla 1/x |é a tecla <inverso de x>. Visor 0,0003333333 
 
 1 + | adiciona 1 ao resultado. Visor= 1,000333333 
 3000 yx |visor=2,717826203 que é mais próximo de 2,7182818284590... 
 |o verdadeiro valor de e. 
 
 
O valor PI é outro valor especial da matemática e é bem conhecido: é a razão entre o 
comprimento de um círculo e seu diâmetro e vale 3,14159265358979323846... 
 Quando se diz que alguma coisa é a razão, é o mesmo que dizer que é a divisão... 
 
Comprimento do círculo=
3,14159265358979323846... D
D= Comprimento do diâmetro
 
 
Este símbolo (letra grega fi) representa um outro 
número muito especial, tal como pi ou e. 
 Trata-se do número ...618033989,1
2
15  
Este símbolo está relacionado à natureza bem como à 
estética e beleza. As relações proporcionais estão na razão 
Φ. Idealmente a altura do umbigo de uma pessoa deve ser 
h/ Φ. 
 
h
h/Φ
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 23
ER-019 Por exemplo, se uma pessoa mede 173 cm de altura, diz-se que tem pernas 
proporcionais se o umbigo está a 10792,106
618,1
173173  cm 
Observar que 
...618033989,1
2
15  
 
...618033989,0
...618033989,1
11  
 
ER-020 Comprovar na calculadora HP-12C que ...618033989,0
...618033989,1
11  
 
Inicialmente vamos calcular 
2
15  
 
5 <enter> |visor=5 
g √x |2,236067977 que é a raiz quadrada de 5. Para extrair a raiz quadrada de um 
 |número estando esse número no visor aperta-se a tecla azul g (função g) e 
 |em seguida a tecla com √x em azul (segunda tecla à esquerda da calculadora) 
1 + |3,236067977 
2 <divide> |visor=1,618033989 
 
 Para calcular o inverso de Φ basta apertar 
a tecla 1/x |0,618033989 
 
ER-021 Calcular o valor de Φ2 
 
 Tendo o valor do inverso de Φ na calculadora =0,618033989 
aperte a tecla 1/x |surge o valor de Fi: 1,618033990 
 
insira 2 e aperte yx |visor=2,618033993. Ou seja: Φ2= Φ+1 
 
ER-022 Para entender o significado de algumas das teclas na HP-12C basta ter em conta o 
seguinte: 
 x é o que está no visor. 
 Por exemplo você tecla 2, e vê o 2. Para a calculadora 2 é o x. 
 Faça 2 <enter> |x=2 
 Introduza agora na calculadora 3 
 Insira 3 |x=3 pois o número que você vê é o 3. 
 E o número 2 que estava lá? 
 Foi para a pilha de baixo. O dois é agora y. y=2 
 Aperte a tecla x><y que está logo acima da tecla STO. 
 Aparece o número 2. 
 A tecla x><y denomina-se “x Exchange y” e faz a troca das pilhas x e y. 
 
 De modo que a tecla yx eleva o valor y à potência x. 
 Para se calcular 42 digita-se 4 <enter> 
 4 é o x 
 Digita-se 2 (2 agora é x e o 4 é y) 
 Aperta-se a tecla yx O número 4 é elevado a 2 ed surge no visor 16. 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 24
 
ER-023 Calcule na HP-12C o valor de 
1
1
0
e
e
e
 
 Para calcular 0e basta digitar 0 e apertar g ex |visor= 1,0000 
 
 Para calcular 1e basta digitar 1 e apertar g ex |visor= 2,718281828 
 
 Para calcular 1e basta digitar 1 apertar CHS que é a tecla de “change signal” . O número 1 
aparece agora -1. Tendo este valor no visor basta apertar g ex |visor= 0,367879441 
 Aperte agora a tecla 1/x Surge no visor 2,718281828. 
 
 
 
2.6Continuação do problema 
O objetivo agora é calcular a probabilidade de o tempo de espera na fila (Wq) 
superar um determinado tempo W. 
O tempo de espera W é de 10 minutos, mas deve ser expresso em horas. 
ER-024 Exprimir 10 minutos em horas. 
 O problema é simples e envolve uma regra de três: 
 
 
6
1
60
10
60
10*1 x 
Portanto 10 minutos é 1/6 de hora. 
 
Se sabe que ρ=2, k=3, μ=12 e P0=1/9. 
É feita a substituição dos valores: 



 



 
 

 
3
2
1
6
1
.12.33)1(
0 9
1
3
2
1!3
2
1!
)( eeP
k
k
WWP k
Wkk
q



 
 Podemos resolver o numerador e o denominador da fração: 
 


 

 

 




 



 
 3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.33
9
1
3
1
6
8
9
1
3
2
3
3
6
8
9
1
3
2
1!3
2
)( eeeWWP q 
 








 

 

 
3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
9
1
2
8
9
1
3
6
8
9
1
3
1
6
8
)( eeeWWP q 
 


 

 

 

   3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
3
2
1
6
1
.12.3
9
4
9*2
4*2
18
8
9
1
2
8
)( eeeeWWP q 
 
Resolvemos agora o expoente de e: 
2..3
3
2..
3
1
2..3
3
2
3
3
6
12
..3
3
2
1
6
1
.12.3
9
4
9
4
9
4
9
4
9
4
)( 






 

   eeeeeWWP q
 
 
 
 
 
60 minutos 1 hora 
10 minutos x hora 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 25
 
Agora na calculadora HP-12C obtém-se o valor: 
 3 <enter> |visor=3 
 CHS |visor= -3 
 
 g ex |calcula e-2. Visor=0,135335283 
 
 4 x |visor=0,541341133 
 
 9 <divide> |visor= 0,060149015 
 
 Como a resposta é a probabilidade de o tempo de espera na fila ser maior de 10 
minutos (=1/6 de hora) a resposta é 0,0601 ou (multiplicando por 100)= 6,01%. 
 
 
2.7Exercícios propostos 
 
EP-024 Calcule: 
2
1
5
3
3
2
2
15
2



 
 
EP-025 62 4.4 
 
EP-026 
3
5
123
123
 
 
EP-027 Calcule: 7
3
4 
 
EP-028 Calcule 
4
3
5
3 



 
EP-029 Calcule : 
24 22
3
2  
 
EP-030 Calcule : 
22 )4(2   
 
EP-031 Calcule : 02426 31520)2()2(1  
 
EP-032 Calcule : 2
2
3
3
2
21
1
2
2
3
5
3







 
 
 
EP-033 Calcule : 2
1
64 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 26
Gabarito 
EP-017 88
4
1
4
1
4
1
8
4
1
2
1
8
4
1
22
4
1
2
23   
 
EP-018 64
33
128
66
128
2
128
64
)2(
64
1
)64(
2
1
64
1
2
1
4
1
2
1
)4(2
31
31   
 
EP-019 26181710)8(161320)2()2(1 07344  
 
EP-020 
    









  



2
2
22
2
191
1
)10(
1
1
)5(
2
1
)2(
5
4
5431
1
1
2
1
5
4 
 
















 

1521
1*169
1521
100*9
9
1
169
100
9
1
100
169
1
1
9
1
100
169
1
9
1
10
13
1
1
1
10
1
10
13
)1(
1
10
1
10
10
10
5
10
8
2
2
2
2 
 
1521
1069
1521
169
1521
900
1521
1*169
1521
100*9  
 
 
EP-021 41616 2
1
 
 
 
EP-022 O tempo médio de espera de clientes na fila é de 
17
3
 horas. Quantos minutos e 
segundos espera o cliente em média? 
 
 
588,10
17
180
1
17
3*60
1
17
3
*60
x 
3/17 horas corresponde a 10,588 minutos= 10 minutos + 0,588 minutos = 10 minutos +(0,588*60) segundos= 10 
minutos e 35 segundos: 10’ 35” 
 
 
EP-023 Um farol fica aberto para a avenida 
8
5
 de 3 minutos e 
83
 de 3 minutos para a 
rua. Quantos segundos abre para cada uma das partes? 
875,1
8
15
3*
8
5  O farol abre 1,875 minutos para a avenida, ou seja: 1 minuto +0,875(60) segundos= 1 minuto e 52 
segundos. O tempo que falta para 3 minutos que é 1 minuto e 8 segundos abre para a rua: 
 Avenida: 1’ 52” Rua: 1’ 8” 
1 hora 60 minutos
3/17 horas x minutos
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 27
 
 
EP-024 


















10
11
18
89)5(9
10
11
18
8
18
9)5(9
10
11
2*9
2*4
9*2
)15(9
10
5
10
6
9
4
2
15
2
1
5
3
3
2
2
15
2
 
 
066899585,1
198
10590
18*11
]159[10
10
11
18
89)5(9


 
 
Concluindo na HP-12C: 
5 <enter> g √x |visor 2,236067977 
90 x | visor 201,2461179 
10 + |visor 211,2461179 
198 <divide> |visor 1,066899585 
 
EP-025 65536444.4 86262   
Na HP-12C: 4 <enter> 8 yx 
 
EP-026 15129123123
123
123 2)35(
3
5
  
Na HP-12C: 123 <enter> 2 yx 
 
EP-027 7
3
4 Na HP-12C proceda da seguinte forma: 
 4 <enter> |introduz o 4 como x Visor=4 
3 <enter> |passa o 3 para y Visor=3 
 7 <divide> |visor=0,428571429 
 yx |visor=1,811447329 
 
EP-028 
4
3
5
3 



 
 3 <enter> 
 5 <divide> |visor: 0,6 
3 <enter> |passa o 3 para y Visor=3 
 4 <divide> |visor=0,0,75 
 yx |visor=0,681731620 
 
EP-029  
12
1*3
12
16*12
12
2*4
4
1
1
16
3
2
2
1
16
3
2
22
3
2
2
24
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 28
12
197
12
3
12
192
12
8
12
1*3
12
16*12
12
2*4  
 
EP-030 
16
5
64
20
64
4
64
16
16
1
4
1
4
1
2
1
)4(2
22
22   
 
EP-031 1011110)16(4131520)2()2(1 02426  
 
EP-032 





 





 



2
3
2
2
3
3
2
1
41
1
1
2
2
3
5
3
3
2
21
1
2
2
3
5
3
 
 






 





 

9
4
1
1
5
1
10
20
10
15
10
6
9
4
1
5
1
1*10
2*10
2*5
3*5
5*2
3*2
33
 


















4
9
1
5
1
1000
1331
1
1
4
9
5
1
10
11
1
9
4
1
1
5
1
10
11
3
3
 
 





11*1331
4*1331
1331*11
1000*11
11
4
1331
1000
4
11
1
1
1331
1000
4
9
4
20
1
1
1331
1000
4*1
9*1
1*4
5*4
1
1
1331
1000 
 
1331
1484
14641
16324
14641
5324
14641
11000
11*1331
4*1331
1331*11
1000*11  
 
 
EP-033 86464 2
1
 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 29
 
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
site www.profmeireles.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 30
 
Caderno 3 
Reciclagem de conceitos básicos 
-parte 3 
 
 
 



3
1
1
n
n
n
e
 
 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
Exercícios propostos 
Resolva os problemas abaixo referentes à matéria dos cadernos anteriores: 
EP-034 





4
1
2
1i i
i
A
 
EP-035 







4
2 2
!
i
i
i
ii
B
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 31
 
EP-036 


 23
3
1
2
C 
 
EP-037 




5
2
.
3
1
6
4
2
3
4
e
D
 
EP-038 




!05
3
3
5
.
2
4
3
2
5
3
02 e
E
 
EP-039 
 











4
1
2
!
i
i
i
i
F
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 32
 
EP-040 
 
 

3
1
1
2
3
n n
n
eG
 
EP-041 
 
 
  3
2
.
4
3
2
5
3
H
 
 
 
Simplificar as expressões seguintes: usamos a divisão e/ou o fator comum. 
EP-042 
 
3
6x
 
EP-043 
 
2
64 x
 
EP-044 
 
x
xx
3
93 2 
 
EP-045 
 
xy
yxxy 22 2416 
 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 33
 
 
 
Gabarito 
EP-034 




















 14
4
13
3
12
2
11
1
1
22224
1
2
i i
i
A
 
)24()30()40()60(
120
384
120
270
120
160
120
60
5
16
4
9
3
4
2
1 
















 
60
437
120
874 

 
O número 437=19*23 e não dá para simplificar mais a fração. 
EP-035 





















 42
4!4
32
3!3
22
2!2
2
! 4324
2i
i
i
ii
B
 
 


 

 

 
6
232
5
21
4
2
6
25624
5
276
4
42
 
 




 
30
1301
*1
30
1160
30
126
30
15
*1
3
116
5
21
2
1
)10()6()15(
 
30
1301 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 34
 
EP-036 
21
3
63
1*3
9*7
9
1
3
7
9
1
3
1
3
6
9
1
3
1
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
1
2
)1()3(
2
2








 C
EP-037 
54342,0
15
2
6
15
2
6
5
2
.
3
1
6
5
2
.
3
1
6
12
10
12
6
12
164
2
3
4
4
2
3
4
)3()4(










eeee
D
 
O valor 0,54342 foi assim obtido na calculadora HP-12C: 
Vamos começar com a fração -10/12. 
 10 <enter> |aparece no visor 10 
 12  | Aparece no visor 0,83333 
 |para ter o número de casas que deseja na HP use a função 
 CHS |troca o sinal. Visor: -0,83333 
 Temos assim o expoente de e. 
 g ex |visor: 0,43460 
 O valor pode ser salvo na memória 1 
 STO 1 |salva na memória 1 
 2 <enter> 
 15 <divide> |visor: 0,1333 
 6 <enter> |visor: 6 
 g x |visor: 0,36515 
 + |visor: 0,79975 (valor do denominador 
 STO 2 |salva na memória 2 o valor do denominador 
 RCL 1 |visor: 0,43460 
 RCL 2 |visor:0,79975 
  |visor: 0,54342 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 35
EP-038 







!05
9
6
20
3
2
5
3
!05
3
3
5
.
2
4
3
2
5
3
0
)15()30()18(
02 ee
E
 
Como os valores multiplicadores (18) (30) e (15) são divisíveis por 3, 
podemos escrever (6) (10) e (5) 












5
4
15
31
5
5
5
9
30
62
1
1
5
9
30
100
30
20
30
18
!05
9
6
20
3
2
5
3
)5()1(
0
)5()10()6(
e
 
12
313*4
31
15*4
5*31
5
4
15
31



 
EP-039 
 















































!4
4
4
!3
3
3
!2
2
2
!1
1
1
!
22224
1
2
i
i
i
i
F
 





































24
4
1
16
6
3
1
9
2
2
1
4
1
1
1
1
24
4
16
6
3
9
2
2
4
1
1
1
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 36
 
119961841
4*1
24*16
3*1
6*9
2*1
2*4
1*1
1*1  
EP-040 
 
 

 

 

 

]
3
13
2
12
1
11
[
1
2
3
2
3
3
1 eeG n
n
n
 
 

]
6
29
[]
6
8
6
9
6
12
[
]
3
4
2
3
1
2
[
2
3
2
3
2
3 )2()3()6( eee
 
 
50796,1
2
3 ]6
29
[  e
 
O valor 1,50796 foi assim obtido na calculadora HP-12C: 
Vamos começar com a fração -29/6. 
 29 <enter> |aparece no visor 29 
 6  | Aparece no visor 4,83333 
 |para ter o número de casas que deseja na HP use a função 
 CHS |troca o sinal. Visor: -4,83333 
 Temos assim o expoente de e. 
 g ex |visor: 0,0796 
 3 <enter> 
 2  |1,5 
 + |visor: 1,50796 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 37
 
EP-041 
 
  12
6
8
1
1
5
12
6
2
1
5
3
2
.
4
3
2
5
3
3
H
 

12
6596
12
6
12
596
12
6
1
58
)1()12(
 
 
O valor 1,50796 foi assim obtido na calculadora HP-12C: 
 5 <enter> |visor: 5 
 g x |visor: 2,23607 
 96 x |visor: 214,66253 
 6 + |visor|220,66253 
 12  |18,38854 
 
EP-042 
 x
x
2
3
6  
EP-043 
 322
64  xx 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 38
 
EP-044 
 33
93 2  x
x
xx
 
EP-045 
 
xy
xy
yxxy
2416
2416 22 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 39
 
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
site www.profmeireles.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 40
 
Caderno 4 
Regressão Linear simples 
 
 
 
Prop
Lu
cr
o
12011010090807060504030
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
S 84.0520
R-Sq 95.8%
R-Sq(adj) 94.4%
Fitted Line Plot
Lucro = - 43.1 + 10.42 Prop
 
 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
4.1- Funções lineares 
Uma função f, é uma correspondência entre dois conjuntos X e Y, de tal forma que a cada 
elemento xX, corresponde um único elemento yY. 
X se chama “domínio da função f” 
Y se chama “contradomínio da função f” 
Ao conjunto de elementos yY que estão em correspondência con algum xX, se chama 
“amplitude da função f” 
 
 
Quando se escreve y=f(x) se afirma que o valor de y é em função do valor de x e esse valor 
depende da regra como as variáveis X e Y se relacionam. Poe exemplo: 
xy 411 
 A regra acima afirma que o valor de Y é igual a quatro vezes o valor de X mais 11. 
 Por isso se diz que Y depende do valor de X. Y é designada de “variável dependente” e X 
é designada de “variável independente”. 
 De forma geral o domínio de X e o correspondente domínio de Y pertencem ao conjunto 
de números reais. Se ambos os conjuntos xX, e yY pertencem ao conjunto de números 
reais diz-se que y=f(x) é uma função real de uma variável real. 
 
4.1.1- Conjuntos numéricos 
Os diversos tipos de números existentes são agrupados em conjuntos 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 41
 
Números Naturais N 
Os números NATURAIS são representados pela letra 
. Originalmente, o zero não estava incluído neste 
conjunto, mas pela necessidade de representar uma 
quantia nula, definiu-se este número como sendo 
pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: 
 
o conjunto dos números inteiros, representado pela 
letra . 
 
Números inteiros Z 
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos 
os seus representantes negativos. 
Números racionais Q 
Os números RACIONAIS ( ), são todos aqueles que podem ser representados por uma 
fração de números inteiros. 
Números Irracionais I 
OI conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que NÃO podem ser 
representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por . 
As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto. 
Por exemplo: 
=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de 
números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais. 
=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso 
também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos 
como resultado um irracional. 
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima. 
Também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), 
e alguns outros. 
 
 Números reais R 
O conjunto de números reais é simbolizado pela letra R. Todo número inteiro ou decimal é 
considerado real. 
Estrutura de R 
Propriedades da adição 
Associativa: (x + y) + z = x + (y + z) 
Comutativa: x + y = y + x 
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x 
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0 
Propriedades de multiplicação 
Associativa: (x. y) . z = x . (y. z) Comutativa: x . y = y. x 
Elemento neutro: x . 1 = 1 . x = x 
Simétrico multiplicativo ou inverso: x . x-1 = x-1 . x = 1 
Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição 
x . (y + z) = xy + xz 
Propriedades da Relação de ordem 
Reflexiva: x ≤ x 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 42
Anti-simétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y Transitiva: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z 
Tricotomia ou ordem total: x < y ou x = y ou x > y 
Compatibilidade com a adição: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z 
Compatibilidade com a multiplicação: 
z > 0 logo, x ≤ y ⇒ x . z ≤ y . z 
z < 0 logo, x ≤ z ⇒ x . z ≥ y . z 
 
Conjuntos derivados 
}0{*  RR 
}0|{  xRxR 
}0|{*  xRxR 
}0|{*  xRxR 
}0|{  xRxR 
 
4.2-Regressão linear 
 Na Administração as funções lineares do tipo bxay  são muito utilizadas. Seja o 
seguinte exemplo: 
Seja iX o investimento em publicidade e iY o lucro para uma certa empresa no ano i . Tem-se a tabela 
seguinte em que os valores de iX e iY estão em dezenas de milhares de euros: 
 
Ano iX iY 
2006 50 500 
2007 40 400 
2008 80 750 
2009 100 900 
2010 120 1300 
 
Admitindo que o investimento em publicidade explique o lucro, em cada ano, descreva as regras da 
função bxay  isto é propagandabaLucro  
 
 
Resolução usando o método dos mínimos quadrados 
Para se chegar à equação y=a+bx é necessário resolver o seguinte sistema de matrizes: 
 






  )(*2 xy
y
b
a
xx
xn
 
onde n = quantidade de pares (x,y) disponíveis. 
 Para resolvermos este produto de matrizes precisamos conhecer os elementos das 
matrizes: 
 5n pois 5 são os pares de valores(x; y) 
 Fazendo uso da HP-12C podemos inserir os dados na calculadora: 
 f clear  |para limpar a calculadora. 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 43
500 <enter> 50 + |No visor surge 1,00 indicando que é o primeiro par de 
valores introduzido. Se aparecer um número diferente de 
1,00 significa que esqueceu de f clear . Limpe os 
registradores das somatórias e recomece. 
400 <enter> 40 + |visor= 2,00 
... 
1300 <enter> 120 + |visor= 5,00 indicando que é o quinto par de valores. 
 
Agora é necessário buscar os valores na HP-12C para preencher as matrizes abaixo: 
 







  )(*2 xy
y
b
a
xx
xn
 
 
Veja que no verso da sua calculadora HP-12C há um quadro que mostra: 
 
3
2
2
1
Rx
Rx
Rn






 etc 
 Quer dizer que se se deseja saber a somatória dos valores x simplesmente se consulta o 
registro 2: RCL 2 
 Neste exemplo: RCL 2= 390 
 







  )(*2 xy
y
b
a
xx
xn
 
Substituindo pelos valores: 







347000
3850
*
34900390
3905
b
a
 
 
Ao multiplicar matrizes faz-se a multiplicação elemento a elemento de linha por coluna. Neste 
caso: 
 





34700034900390
38503905
ba
ba
 
Como uma igualdade não se altera se multiplicarmos ambos os membros pelo mesmo 
número (por exemplo 10c+2b=40 se multiplicar ambos os membros por 3 temos 30c+6b=120) 
Para resolvermos o sistema de equações acima dividimos 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 44
78
5
390 
a
a
 e 487,89
390
34900 
b
b
 
Como 78 é um número inteiro, vamos multiplicar a primeira linha por (-78) 





34700034900390
)78(38503905
ba
ba
 
 





34700034900390
30030030420390
ba
ba
 
A primeira linha deste sistema de equações manteve-se inalterável, pois ambos os termos 
foram multiplicados por -78. 
Somam-se, agora as duas linhas do sistema: 
 
 4670044800  ba 
Que é o mesmo que 
467004480 b 
 
424,10
4480
467000 b 
Como se conhece já o valor de b basta substituir este valor em qualquer uma das linhas da 
equação do sistema. 





34700034900390
38503905
ba
ba
 
Escolhemos a primeira linha 
38503905  ba 
Substituimos b por 10,42 
 
3850)424,10(3905 a 
385036,40655 a 
36,406538505 a 
36,2155 a 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 45
01,43072,43
5
36,215 a 
A equação tem a forma função bxay  isto é propagandabaLucro  isto é: 
propagandaLucro 42,1001,43  
xy 42,1001,43  
O valor a= -43,01 é o ponto onde a linha corte o eixo y; o valor b é a inclinação da linha, isdto é, 
é a tangente do ângulo. 
 
 
Prop
Lu
cr
o
12011010090807060504030
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
S 84.0520
R-Sq 95.8%
R-Sq(adj) 94.4%
Fitted Line Plot
Lucro = - 43.1 + 10.42 Prop
a=-43,01
b
4,133
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 Na HP-12C depois da introdução dos dados pode-se fazer o seguinte: 
 
0 <enter> g ry,ˆ |aparece no visor -43,08 
Este é o valor correspondente a x=0 y=-43,08 
 
0 <enter> g rx,ˆ |aparece no visor 4,133 
Este é o valor correspondente a y=0 x=4.133 
 
A tangente é dada por 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 46
42,10
133,4
08,43 b 
 
Com este exemplo se observa que 
propagandaLucro 42,1001,43  
xy 42,1001,43  
 
Desta forma o Administrador pode estimar o lucro que terá em função dos gastos com 
propaganda. 
-Que lucro o Administrador deve esperar se gastar em 2012 130 mil? 
 
Resposta: 
propagandaLucro 42,1001,43  
1312)130(42,1001,43 Lucro 
 
 
Exercícios propostos 
Resolva os problemas abaixo usando a calculadora HP-12C 
 
EP-046 Um Administrador observou que os erros cometidos por seus funcionários em 
um mês podem estar associados à duração do treinamento que eles recebem. Determine a 
função do tipo y=a+bx e diga quanto deve receber de treinamento um funcionário para 
que a média de erros cometidos em um mês seja de 12. 
Horas de 
treinamento 
Erros 
cometidos 
10 80 
15 55 
23 33 
19 40 
32 25 
45 19 
36 17 
 
 
EP-047 Um Administrador observou que a satisfação dos clientes com os funcionários 
que os atendem está relacionada aos erros cometidos por seus funcionários. Determine a 
função do tipo y=a+bx e diga quanto deve receber de treinamento um funcionário para 
que a média de satisfação dos clientes seja de 7 (numa escala de 1 a 10). 
 
Horas de 
treinamento
Satisfação 
dos clientes
10 1.3
15 1.7
23 2.6
19 2.2
32 3.5
45 5.2
36 4.1 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 47
 
 
EP-048 Um Administrador observou que a quantidade de unidades vendidas de um 
produto está associada ao seu preço. 
a) Determine a função do tipo y=a+bx e diga quanto deverá ser o volume de vendas 
quando o preço é de $27. 
b) Determine qual deverá ser o preço para que sejam vendidas 2600 unidades 
 
 
Preço Vendas
23 2320
25 2150
29 1890
35 1460 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
 EP-046 Um Administrador observou que os erros cometidos por seus funcionários em 
um mês podem estar associados à duração do treinamento que eles recebem. Determine a 
função do tipo y=a+bx e diga quanto deve receber de treinamento um funcionário para 
que a média de erros cometidos em um mês seja de 12. 
 
 
y=80,01 -1,617 x 
 
y=80,01 -1,617 HorasTreinamento 
 
12=80,01-1,617 x 
12-80,01=-1,617 x 
-68,01=-1,617 x 
 
06,42
617,1
01,68 
x 
 
Para que a média de erros cometidos em um mês seja em média de 12 os funcionários 
devem receber 42 horas de treinamento. 
 
 
 
 
 
Horas de 
treinamento
Erros 
cometidos
10 80
15 55
23 33
19 40
32 25
45 19
36 17
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 48
Treinamento
Er
ro
s
5040302010
80
70
60
50
40
30
20
10
0
S 11.1018
R-Sq 79.8%
R-Sq(adj) 75.8%
Fitted Line Plot
Erros = 80.01 - 1.617 Treinamento
 
 
 
 
EP-047 Um Administrador observou que a satisfação dos clientes com os funcionários 
que os atendem está relacionada aos erros cometidos por seus funcionários. Determine a 
função do tipo y=a+bx e diga quanto deve receber de treinamento um funcionário para 
que a média de satisfação dos clientes seja de 7 (numa escala de 1 a 10). 
 
 
y=0,07209 +0,1116 x 
 
y=0,07209 +0,1116 HorasTreinamento 
 
7=0,07209 + 0,1116 x 
7-0,07209=0,1116 x 
6,9279=0,1116 x 
 
07,62
1116,0
9279,6 x 
 
Para que a satisfação dos clientes seja em média de 7 os funcionários devem receber 62 
horas de treinamento. 
 
 
 
 
Treinamento
Sa
ti
sf
aç
ão
5040302010
5
4
3
2
1
S 0.0980437
R-Sq 99.6%
R-Sq(adj) 99.5%
Fitted Line Plot
Satisfação = 0.07209 + 0.1116 Treinamento
 
Horas de 
treinamento
Satisfação 
dos clientes
10 1.3
15 1.7
23 2.6
19 2.2
32 3.5
45 5.2
36 4.1
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 49
EP-048 Um Administrador observou que a quantidade de unidades vendidas de um 
produto está associada ao seu preço. 
a) Determine a função do tipo y=a+bx e diga quanto deverá ser o volume de vendas 
quando o preço é de $27. 
b) Determine qual deverá ser o preço para que sejam vendidas 2600 unidades 
 
y=3935 – 70,71 x 
 
y=3935 - 70,71 Preço 
 
 
 
a) quanto deverá ser o volume de vendas quando o preço é de $27. 
y=3935 - 70,71 Preço 
y=3935 -70,71 (27) 
y=3935 – 1909,17 =2026 
Quando o preço for de $27 devem ser vendidas 2026 unidades 
 
b) qual deverá ser o preço para que sejam vendidas 2600 unidades 
 
y=3935 - 70,71 Preço 
2600=3935 - 70,71 Preço 
2600-3935=-70,71 Preço 
-1335=-70,71 Preço 
 
88,18
71,70
1335
Pr 
eço 
 
Para que sejam vendidas 2600 unidades o preço deve ser de #18,88. 
 
Preço
V
en
da
s
3634323028262422
2400
2300
2200
2100
2000
1900
1800
1700
1600
1500
S 15.1186
R-Sq 99.9%
R-Sq(adj) 99.8%
Fitted Line Plot
Vendas = 3935 - 70.71 Preço
 
 
 
Preço Vendas
23 2320
25 2150
29 1890
35 1460
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 50
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
site www.profmeireles.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 51
 
Caderno 5 
Regressão Linear simples 
-parte 2 
 
 
 
 
 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
5.1- Funções lineares 
 
Em Administração são muito 
comuns os casos em que um 
administrador encontra 
relações entre duas variáveis 
(x;y) expressas por uma reta. 
 
Tais relações são funções 
lineares de forma geral 
descritas como sendo y=f(x) 
isto é: y é uma função de x; y 
depende de x. 
 
As funções lineares do tipo 
dependendo da relação 
expressão associações 
positivas (y=a+bx) ou 
associações negativas (y=a-bx) 
 
Uma função é do tipo y=a+bx se a reta que descreve a função se afasta do eixo y, para a 
direita, subindo: neste caso x cresce e y também. 
 
Uma função é do tipo y=a-bx se a reta que descreve a função se afasta do eixo y, para a direita 
descendo: neste caso x cresce e y decresce. 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 52
O que interessa a um administrador é conhecer os valores a e b da função y=abx. 
 
O valor a é o valor onde a reta corta o eixo dos y. 
x
y
12
x
y
-7
x
y
43
x
y
43
I II
III IV
 
 
Nos casos acima as funções y=f(x), têm os seguintes valores a: 
Caso I y= 12+bx 
Caso II y= -7+bx 
Caso III y= 43-bx 
Caso IV y= 43-bx 
 
O valor b é dado pela inclinação da reta. A inclinação da reta é dada pelo Δy/Δx ou seja. 
Observar que interessa apenas o valor absoluto do número, ou seja: não se considera o sinal já 
que o sinal  referente a b é obtido como mostrado acima. 
Caso I b= 12/24 =0,5 
Caso II b= 7/16 = 0,4375 
Caso III b= 43/59 = 0,7288 
Caso IV b= 43/19 = 2,2632 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 53
x
y
12
-24
x
y
-7
16
x
y
43
59
x
y
43
19
I II
III IV
 
 
Desta forma as funções aqui estudadas são expressas da seguinte forma: 
Caso I y= 12+0,5x 
Caso II y= -7+0,4375x 
Caso III y= 43-0,7288x 
Caso IV y= 43-2,2632x 
 
O administrador tem interesse em conhecer a regra (fórmula) da função pois ela é fundamental 
para tomar decisões. Quando um administrador toma decisões baseado em análise de dados e não 
na sua intuição ou percepção diz-se que ele “decide com base em fatos”. 
 
 
ER-025 Admitamos que o caso I, no qual y= 12+0,5x exprima a relação entre Negócios 
Fechados e anúncios publicados. Qual é o número de negócios que serão fechados se se publicar 
4 anúncios? 
 
Resposta: 
A função y= 12+0,5x só pode significar o seguinte: 
Negócios Fechados = 12+0,5 Anúncios Publicados 
Neste exemplo: 
Negócios Fechados = 12+0,5 Anúncios Publicados 
Negócios Fechados = 12+0,5 (4) 
 14 = 12+0,5 (4) 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 54
EP-049 Resolva o seguinte problema proposto: 
Um administrador observou que a associação entre a quantidade de paradas de uma máquina, por 
semana, e a temperatura no ambiente segue a regra y= -7+0,4375x. O ambiente geralmente opera 
entre 25 e 36o. C. 
-Quantas paradas por semana, em média, ocorrem quando a temperatura ambiente está a 30o. C. 
-Qual deve ser a temperatura do ambiente para não se observar paradas devido à temperatura 
 
 
EP-050 Resolva o seguinte problema proposto: 
Um administrador observou que a associação entre os erros cometidos por um operador, no mês 
depende do número de horas de treinamento por ano e tem a regra: y= 43-0,7288x 
-Quantos erros comete, por mês, um operador que tenha recebido um treinamento de 20 horas 
por ano? 
-Qual deve ser o número de horas de treinamento por ano que um operador qualquer deve 
receber para não cometer erros? 
 
 
5.1.1- Funções lineares resolvidas no Excel 
O que importa a um administrador é obter os valores a e b quando encontra associações lineares. 
Para encontrar tais valores uma possibilidade é usar a planilha Excel, que é muito comum. 
vamos ver alguns exemplos já utilizados em casos anteriores: 
 
 
ER-026 Admitamos que um administrador tenha estudado a associação entre horas de 
treinamento recebidas pelo 
funcionário e os erros que 
ele comete. Os valores 
observados estão dados na 
tabela abaixo. Observe que 
para evitar problemas 
primeiro estão os valores da 
coluna y e, depois os 
valores de x. 
O valor de a é obtido com a 
função INTERCEPÇÃO e o 
valor de b é obtido com a 
função INCLINAÇÂO. 
 
 
5.1.2- Funções lineares resolvidas na calculadora HP-12C 
Na calculadora HP-12C é fácil obter os valores a e b referentes 
a uma função linear. 
ER-027 Calcular os valores a e b da associação dada ao lado. 
Inicialmente dispomos as colunas, y e x, nesta ordem para 
facilitar a entrada dos dados. 
Se limpa a área das somatórias. Este é um procedimento 
importante para não haver resíduos de cálculos anteriores. 
 
f clear Σ = f SST |Limpa registradores das somatórias 
y x
Erros 
cometidos
Horas de 
treinamento
80 10
55 15
33 23
40 19
25 32
19 45
17 36
INTERCEPÇÃO 80,01 =INTERCEPÇÃO(E4:E10;F4:F10)
INCLINAÇÃO -1,62 =INCLINAÇÃO(E4:E10;F4:F10)
y x
Satisfação dos 
clientes
Horas de 
treinamento
1,3 10
1,7 15
2,6 23
2,2 19
3,5 32
5,2 45
4,1 36
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 55
 
Introduz-se cada par de dados (y;x) isto é, primeiro o y, depois o x. 
 
1,3 <enter> 10 Σ+ | A tecla Σ+ está ao lado de tecla + Visor=1 
1,7 <enter> 15 Σ+ | Visor= 2 
e se faz isto para todos os valores até 
4,1 <enter> 36 Σ+ | Visor= 7 
 
Quer isto dizer que foram introduzidos 7 pares de valores. 
Observar que depois do primeiro par de valores introduzido surge no visor 1,00. Se notar 
número diferente significa que não limpou os registradores das somatórias. Tecle f clear Σ 
= f SST e recomece os lançamentos. 
 
Uma vez feitos os lançamentos dos pares (y;x) proceda do seguinte modo: 
 
0 g Ŷ,r |Visor= 0,0721. Entende-se aqui que quando x=0 o valor y estimado 
(o chamado “y chapéu” é 0,0721 
 
0 g rx,ˆ |Visor= -0,6457. Entende-se aqui que quando y=0 o valor x estimado 
(o chamado “x chapéu” é -0,6457 
 
Desta forma sabe-se que 
a=0,0721 
b= 0,0721/0.645 = 0,11 
 
Estes valores conferem com os cálculos obtidos na planilha Excel com as funções 
INTERCEPÇÃO e INCLINAÇÂO 
 
 
 
y x 
Satisfação dos 
clientes 
Horas de 
treinamento 
1,3 10 
1,7 15 
2,6 23 
2,2 19 
3,5 32 
5,2 45 
4,1 36 
INTERCEPÇÃO 0,07 =INTERCEPÇÃO(E4:E10;F4:F10) 
INCLINAÇÃO 0,11 =INCLINAÇÃO(E4:E10;F4:F10) 
 
 
 
5.1.2- Funções lineares resolvidas pelo método dos mínimos quadrados 
ER-028 Calcular os valores a e b da associação dada no caso anterior por meio do 
método dos mínimosquadrados. 
Para determinar y=a+bx é necessário resolver o seguinte sistema de matrizes: 
 






  )(*2 xy
y
b
a
xx
xn
 
onde n = quantidade de pares (x,y) disponíveis. 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 56
Os valores necessários para resolver este produto de matrizes já estão na HP-12C. 
Veja no verso da HP que há um quadro que informa em quais registradores se encontram 
os valores necessários para resolver este produto de matrizes. 
3
2
2
1
Rx
Rx
Rn






 
É necessário preencher com valores esta matriz 







  )(*2 xy
y
b
a
xx
xn
 
Para obter n que está no Registrador R1 fazemos RCL 1 
n=7, Substituímos o valor: 







  )(*
7
2 xy
y
b
a
xx
x
 
A somatória de x está no registrador R2: fazemos RCL 1 e temos 180. Substituímos 







 )(*180
1807
2 xy
y
b
a
x
 
E assim fazemos para os demais valores: 







7,633
6,20
*
5560180
1807
b
a
 
Montamos o conjunto de equações pertinente: 





7,6335560180
6,201807
ba
ba
 
Agora surge a questão? Por qual número deveremos multiplicar 7a para obtermos -180a de 
forma a eliminarmos o primeiro fator? 
Basta dividir 180/7=25,7143 
Armazenamos esse valor na memória 0: 
180 <enter> 7  CHS |Visor= -25,7143 
STO 0 | O valor -25,7143 foi armazenado na memória 0 
 
Para multiplicar a primeira linha por -25,7143 (que está na memória 0 fazemos: 
7 <enter> RCL 0 X |visor=-180 
180 <enter> RCL 0 X |visor=-4628,5714 
20,6 <enter> RCL 0 X |visor=-529,7143 
Reescrevemos a primeira linha com estes novos valores 





7,6335560180
7143,5295714,4628180
ba
ba
 
Somamos as duas equações 
-180 a + 180 a = 0 
-4628,5714 b +5560 b= 931,4286 b 
-529,7143 +633,7=103,9857 
 
9857,1034286,931 b 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 57
1116,0
4286,931
9857,103 b 
Conhecendo b podemos agora encontrar a, bastando, para tal, fazer a substituição de b 
numa das equações. 
 
6,201807  ba 
6,20)1116,0(1807 a 
 
6,200954,207 a 
 
0954,206,207 a 
 
5046,07 a 
0721,0
7
5046,0 a 
 
Estes resultados: a= 0,0721 e b=0,1116 são compatíveis com as soluções encontradas via 
HP-12C e via Excel. 
 
 
 
ER-029 O uso da correlação (função linear) pode ser útil para se estimar volume de 
vendas. Admita-se que uma empresa tenha feito as vendas de um dado produto em anos 
anteriores como mostra a tabela abaixo. A variável x (ano) pode ser substituída por uma 
equivalente x’ reduzida. 
y x x'
Vendas Ano Ano'
120 2003 1
128 2004 2
136 2005 3
147 2006 4
159 2007 5
171 2008 6
183 2009 7
197 2010 8
211 2011 9
INTERCEPÇÂO 103,92 =INTERCEPÇÃO(D41:D49;F41:F49)
INCLINAÇÂO 11,48 =INCLINAÇÃO(D41:D49;F41:F49) 
 
Neste caso a função é descrita da forma y=a+bx’ 
y=103,92+11,48x’ 
Para se prever as vendas para 2012 x’ assume o valor de 10. 
 
 
 
Gabarito 
 
 EP-049 Resolva o seguinte problema proposto: 
Um administrador observou que a associação entre a quantidade de paradas de uma máquina, por 
semana, e a temperatura no ambiente segue a regra y= -7+0,4375x. O ambiente geralmente opera 
entre 25 e 36o. C. 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 58
-Quantas paradas por semana, em média, ocorrem quando a temperatura ambiente está a 30o. C. 
y é a quantidade de paradas da máquina 
x é a temperatura (pois x causa y) 
Quando a temperatura x=30, então y= -7+0,4375(30) =6,125 
à temperatura de 30 graus a máquina, em média pára 6,125 vezes na semana. 
 
-Qual deve ser a temperatura do ambiente para não se observar paradas devido à temperatura 
Para que a máquina não pare y deve ser igual a 0: 
y= -7+0,4375x 
0= -7+0,4375x 
7= 0,4375x 
x 16
4375,0
7
 
Com a temperatura igual ou abaixo de 16 graus centígrados a máquina não pára. 
 
 
EP-050 Resolva o seguinte problema proposto: 
Um administrador observou que a associação entre os erros cometidos por um operador, no mês 
depende do número de horas de treinamento por ano e tem a regra: y= 43-0,7288x 
-Quantos erros comete, por mês, um operador que tenha recebido um treinamento de 20 horas 
por ano? 
y é a variável erros cometidos no mês 
x é a variável causal: horas de treinamento. 
Quando x=20 
y= 43-0,7288 (20) =28,42 erros em média 
 
-Qual deve ser o número de horas de treinamento por ano que um operador qualquer deve 
receber para não cometer erros? 
Neste caso y=0 
y= 43-0,7288x 
0= 43-0,7288x 
-43= -0,7288x 
x

59
7288,0
43
 
Com 59 horas de treinamento um operador não deve cometer erros. 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 59
 
 
 
 
Manuel Meireles 
 
 
 
 
 
Matemática básica para 
Administradores 
 
 
 
2a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico da disciplina Matemática para 
Administradores. Este texto está disponibilizado no 
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São Paulo 
2019 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 60
 
Caderno 6 
Funções não lineares 
 
 
 
 
 
 
 Os exercícios resolvidos são numerados e antecedidos de ER; já os exercícios 
propostos são numerados e antecedidos por EP. 
 
6.1- Funções lineares 
 
Uma função expressa uma relação do tipo y=f(x) que se lê: “y é uma função de x”, 
isto é, y depende de x. Por exemplo, y=4+3x é uma função, pois y depende de x. Se x 
tiver o valor de 5, y=4+3x==> y=4+3(5)==> y=19. 
Funções nas quais x está elevado a 1, isto é, funções nas quais se encontra x1 
dizem-se funções lineares. A função y=4+3x pode ser escrita como y=4+3x1, pelo que é 
uma função linear, quer dizer: graficamente se expressa por uma reta. Também se dá a 
esse tipo de função o nome de função de primeiro grau. 
Graficamente a função y=4+3x é vista no gráfico da figura 1 
2 3 4 5 6
10
12
14
16
18
20
22
 
Figura 1: função de primeiro grau y=4+3x 
 
Uma reta, portanto, expressa matematicamente uma função de primeiro grau do tipo 
y=abx 
A função y=4-3x tem, graficamente, o aspecto mostrado na figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática básica para Administradores  Manuel Meireles 61
 
 
2 3 4 5 6
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
 
Figura 2: função de primeiro grau y=4 - 3x 
 
 Em resumo: com o termo função se quer dizer que a variável y depende da variável 
x: y=f(x)  lê-se: y depende de x, isto é: o valor da variável y depende do valor da 
variável x; com o termo primeiro grau, se quer dizer que o expoente de x é 1, isto é, que é 
uma função do tipo y=a+bx1. 
 Obviamente como x1= x, a função é expressa pela forma y=a+bx. 
 
 
 
 Por exemplo o gráfico correspondente à função 
y=3+4x, com a variável x no intervalo entre {-2,3} é 
dado pela figura 3. Observar que a função é do primeiro 
grau e, portanto, o gráfico dessa função é uma reta. 
 Reparar que quando x=0, a função y=3+4x=3. É 
exatamente neste valor que a reta corta o eixo dos y. 
 
 
 
Figura 3: y=3+4x 
 
 
 
 
 O gráfico da figura 4 corresponde à função y=3-
4x, no intervalo {-2,3}. A função é praticamente igual à 
anterior com troca do sinal de x. Repare que -4x pode ser 
escrito 4(-x). 
 
 
 
Figura 4: y=3-4x 
 
 
6.2- Funções não-lineares 
 
Uma função não linear é aquela na qual o x tem expoente maior do que 1. A figura 5 
mostra a função y=4+3x2. Observe que a linha já não é reta: é uma curva. 
 
-2 -1 1 2 3
-5
5
10
15
-2 -1 1 2 3
-5