Geometria Analítica e Vetores

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Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
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PULINUS
Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e Computac¸a˜o Cient´ıfica
Universidade Estadual de Campinas
e-mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/
Janeiro de 2018
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Operac¸o˜es Elementares. Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.15 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.16 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Vetores no Plano e no Espac¸o 111
2.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Operac¸o˜es com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Adic¸a˜o de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Produto Escalar 151
3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Norma Euclidiana. Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3 Definic¸a˜o de Aˆngulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Processo de Ortogonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
i
ii SUMA´RIO
3.8 Distaˆncia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Produto Vetorial. Produto Misto 201
4.1 Orientac¸a˜o do Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5 Estudo da Reta no Espac¸o 229
5.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2 Posic¸a˜o Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3 Aˆngulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.5 Distaˆncia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 Estudo do Plano no Espac¸o 259
6.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2 Equac¸a˜o Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 266
6.3 Posic¸a˜o Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.5 Aˆngulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.6 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.7 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8 Distaˆncia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7 Mudanc¸a de Coordenadas 301
7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.1.1 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1.2 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.1.3 Rotac¸a˜o Composta com uma Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8 Coˆnicas 341
8.1 Coˆnicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
SUMA´RIO iii
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5 Aplicac¸a˜o da Rotac¸a˜o e da Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.7 Classificac¸a˜o das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Refereˆncias Bibliogra´ficas 419
iv SUMA´RIO
Petronio Pulino Geometria Anal´ıtica e Vetores
6
Estudo do Plano no Espac¸o
Suma´rio
6.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2 Equac¸a˜o Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3 Posic¸a˜o Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.5 Aˆngulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.6 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.7 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8 Distaˆncia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
259
260 Geometria Anal´ıtica e Vetores
6.1 Equac¸a˜o Vetorial
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), e com o sistema ortogonal de coordenadas
para o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o
sistema ortogonal de coordenadas.
Definic¸a˜o 6.1.1 (Equac¸a˜o Vetorial) Sejam um plano π ⊂ IE3, um ponto P ∈ π e dois
vetores ~u e ~v linearmente independentes e paralelos ao plano π. Enta˜o, um ponto qualquer
X ∈ π e´ escrito da forma:
π : X = P + λ~u + µ~v para λ, µ ∈ IR , (6.1)
os vetores ~u e ~v sa˜o denominados vetores diretores do plano π.
Na Figura 6.1 ilustramos a situac¸a˜o descrita pela equac¸a˜o vetorial do plano π.
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Figura 6.1: Equac¸a˜o Geral do Plano. Vetor Normal
A equac¸a˜o (6.1), equac¸a˜o vetorial do plano π, traduz o fato que, o ponto X ∈ π se, e
somente se, os vetores
−−→
PX, ~u, ~v sa˜o linearmente dependentes. De modo equivalente, o
ponto X ∈ π se, e somente se, existem escalares λ, µ ∈ R tais que −−→PX = λ~u + µ~v.
Assim, quando os escalares λ, µ percorre todo o conjunto dos nu´meros reais, o ponto X
percorre todo o plano π.
Exemplo 6.1.1 Determine uma equac¸a˜o vetorial para cada um dos planos coordenados
OXZ , OYZ e OYZ .
Resoluc¸a˜o – Vamos determinar uma equac¸a˜o vetorial para o plano coordenado OXZ .
Para isso, precisamos de dois vetores linearmente independentes para os vetores diretores
do plano. Assim, podemos considerar os vetores ~u = (1, 0, 1) e ~v = (1, 0,−1) como os
vetores diretores. Desse modo, o plano OXY fica definido pela seguinte equac¸a˜o vetorial
OXZ : X = λ (1, 0, 1) + µ (1, 0,−1) para λ, µ ∈ IR .
Note que, o plano coordenado OXZ passa pela origem do sistema ortogonal de coordenadas
do espac¸o IE3. A obtenc¸a˜o das equac¸o˜es vetoriais para os outros dois planos coordenados
pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 261
Definic¸a˜o 6.1.2 Sejam um plano π ⊂ IE3, um ponto P = (xo , yo , zo) ∈ π e dois vetores
~u = (a1 , b1 , c1) e ~v = (a2 , b2 , c2) linearmente independentes e paralelos ao plano π.
Enta˜o, um ponto qualquer X = (x, y, z) ∈ π e´ escrito da forma:
π : (x, y, z) = (xo , yo , zo) + λ (a1 , b1 , c1) + µ (a2 , b2 , c2) para λ, µ ∈ IR , (6.2)
que podem ser reescritas da forma:
π :


x = xo + λ a1 + µ a2
y = yo + λ b1 + µ b2
z = zo + λ c1 + µ c2
para λ, µ ∈ IR , (6.3)
denominadas equac¸o˜es parame´tricas do plano π.
Definic¸a˜o 6.1.3 Sejam um plano π ⊂ IE3 e os pontos na˜o–colineares
P = (xo , yo , zo) , A = (x1 , y1 , z1) e B = (x2 , y2 , z2) ,
pertencentes ao plano π. Enta˜o, um ponto qualquer X = (x, y, z) ∈ π e´ escrito da forma:
π :


x = xo + λ (x1 − xo) + µ (x2 − yo)
y = yo + λ (y1 − yo) + µ (y2 − yo)
z = zo + λ (z1 − zo) + µ (z2 − zo)
para λ, µ ∈ IR , (6.4)
que sa˜o equac¸o˜es parame´tricas do plano π, na qual os vetores diretores ~u e ~v, que sa˜o
linearmente independentes e paralelos ao plano π, sa˜o escritos na forma:
~u =
−→
PA = (x1 − xo , y1 − yo , z1 − zo) e ~v = −−→PB = (x2 − xo , y2 − yo , z2 − zo) ,
como ilustra a Figura 6.2.
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Figura 6.2: Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano
262 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.1.2 Determine uma equac¸a˜o vetorial e equac¸o˜es parame´tricas para o plano π
que passa pelos pontos A = (2, 0, 1) , B = (3, 1,−2) e e´ paralelo ao vetor ~v = (1, 2, 3).
Resoluc¸a˜o – Como os pontos A, B ∈ π, vamos considerar como um outro vetor diretor
do plano π o vetor ~u =
−→
AB = (1, 1,−3). Assim, uma equac¸a˜o vetorial do plano π pode
ser escrita da forma:
π : X = λ~u + µ~v = (2, 0, 1) + λ (1, 1,−3) + µ (1, 2, 3) para λ, µ ∈ IR .
As equac¸o˜es parame´tricas sa˜o obtidas da equac¸a˜o vetorial do plano π. Assim, tem–se
π :


x = 2 + λ + µ
y = 0 + λ + 2µ
z = 1 − 3λ + 3µ
para λ, µ ∈ IR ,
equac¸o˜es parame´tricas para o plano π.
Exemplo 6.1.3 Determine duas equac¸o˜es vetoriais para o plano π ⊂ IE3 que passa pelos
pontos na˜o–colineares A = (3, 4, 1) , B = (4, 2,−1) e C = (2, 1,−2) ∈ IE3.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.1.4 Determine uma equac¸a˜o vetorial para o plano π que e´ paralelo ao plano
π1 definido pelas equac¸o˜es parame´tricas
π1 :

x = 1 + 2λ − µ
y = −1 − λ + 3µ
z = 3 + 3λ − 2µ
para λ, µ ∈ IR ,
passando pelo ponto A = (2,−1, 2).
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.1.5 Verifique se o plano π1 definido pelas equac¸o˜es parame´tricas
π1 :


x = 1 + 2λ − µ
y = −1 − λ + 3µ
z = 3 + 3λ − 2µ
para λ, µ ∈ IR ,
e´ igual ao plano π2 definido pela equac¸a˜o vetorial
π2 : X = (2, 1, 4) + λ (1, 7, 0) + µ (5, 0, 7) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 263
Exemplo 6.1.6 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (2, 1, 3) + α (3, 0, 1) para α ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Determine o ponto P = r ∩ π.
Resoluc¸a˜o – Considere um ponto X ∈ r ∩ π. Assim, podemos expressa–lo da forma:
X = (2, 1, 3) + α (3, 0, 1)
= (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1)
(6.5)
Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares

3α − λ = −1
− λ − µ = 1
α − λ − µ = −2
Procedendo com o processo de escalonamento do sistema linear acima, obtemos o seguinte
sistema linear equivalente 

3α − λ = −1
− λ − µ = 1
µ = 7
cuja soluc¸a˜o e´ dada por α = −3, λ = −8 e µ = 7. Substituindo os valores dos
paraˆmetros em qualquer uma das equac¸o˜es (6.5), obtemos
P = (2, 1, 3) − 3 (3, 0, 1) = (−7, 1, 0)
= (1, 2, 1) − 8 (1, 1, 1) + 7 (0, 1, 1) = (−7, 1, 0)
(6.6)
Portanto, o ponto P = (−7, 1, 0) ∈ r ∩ π.
Exemplo 6.1.7 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 3, 4) + α (1, 0, 1) para α ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (2, 3, 1) + λ (1, 1, 0) + µ (0, 1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Determine o ponto P = r ∩ π.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
264 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.1.8 Considere os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = (1, 0, 1) + λ (2,−1, 2) + µ (3,−1, 2)
π2 : X = (2,−1, 0) + λ (1, 0, 1) + µ (2, 1, 0)
para λ, µ ∈ IR .
(a) Determine dois pontos A, B ∈ π1 ∩ π2.
(b) Determine uma equac¸a˜o vetorial para a reta r que passa pelos ponto A e B.
Resoluc¸a˜o – Considere um ponto X ∈ π1 ∩ π2. Assim, podemos expressa–lo da forma:
X = (1, 0, 1) + λ1 (2,−1, 2) + µ1 (3,−1, 2)
= (2,−1, 0) + λ2 (1, 0, 1) + µ2 (2, 1, 0)
(6.7)
Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares

2λ1 − λ2 + 3µ1 − 2µ2 = 1
−λ1 − µ1 − µ2 = −1
2λ1 − λ2 + 2µ1 = −1
Procedendo com o processo de escalonamento do sistema linear acima, obtemos o seguinte
sistema linear equivalente

2λ1 − λ2 + 3µ1 − 2µ2 = 1
− λ2 + µ1 − 4µ2 = −1
− µ1 + 2µ2 = −2
cuja soluc¸a˜o geral e´ dada por:
λ1 = −1 − 3µ2 , λ2 = 3 − 2µ2 e µ1 = 2 + 2µ2 para µ2 ∈ IR .
Podemos escolher o ponto A ∈ π1 ∩ π2, tomando o paraˆmetro µ2 = 0 e substituindo os
valores dos paraˆmetros em qualquer uma das equac¸o˜es (6.7). Desse modo, obtemos
A = (1, 0, 1) − (2,−1, 2) + 2 (3,−1, 2) = (5,−1, 3)
= (2,−1, 0) + 3 (1, 0, 1) = (5,−1, 3)
(6.8)
Podemos escolher o ponto B ∈ π1 ∩ π2, tomando o paraˆmetro µ2 = 1 e substituindo os
valores do paraˆmetros em qualquer uma das equac¸o˜es (6.7). Desse modo, obtemos
B = (1, 0, 1) − 4 (2,−1, 2) + 4 (3,−1, 2) = (5, 0, 1)
= (2,−1, 0) + (1, 0, 1) + (2, 1, 0) = (5, 0, 1)
(6.9)
Vamos determinar a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa pelos pontos A = (5,−1, 3) e
B = (5, 0, 1). Assim, podemos escolher o vetor ~u =
−→
AB = (0, 1,−2) como vetor diretor
da reta r. Desse modo, a reta r fica definida pela seguinte equac¸a˜o vetorial
r : X = (5,−1, 3) + λ (0, 1,−2) para λ ∈ IR .
Petronio Pulino 265
Exemplo 6.1.9 Considere os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1)
π2 : X = (2, 1, 0) + λ (1, 2, 1) + µ (2, 1, 1)
para λ, µ ∈ IR .
Determine uma equac¸a˜o vetorial para a reta r = π1 ∩ π2.
Resoluc¸a˜o – Um ponto qualquer X ∈ r = π1 ∩ π2 e´ expresso da seguinte forma:
X = (1, 2, 1) + λ1 (1, 1, 1) + µ1 (0, 1, 1)
= (2, 1, 0) + λ2 (1, 2, 1) + µ2 (2, 1, 1)
para λ1, λ2, µ1, µ2 ∈ IR.
Da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares

λ1 − λ2 − 2µ2 = 1
λ1 − 2λ2 + µ1 − µ2 = −1
λ1 − λ2 + µ1 − µ2 = −1
Procedendo com o processo de escalonamento do sistema linear acima, obtemos o seguinte
sistema linear equivalente

λ1 − λ2 − 2µ2 = 1
− λ2 + µ1 + µ2 = −2
µ1 + µ2 = −2
cuja soluc¸a˜o geral e´ dada por:
λ1 = 1 + 2µ2 , λ2 = 0 , µ1 = −2 − µ2 para µ2 ∈ IR .
Substituindo os paraˆmetros acima na equac¸a˜o (6.1), obtemos um ponto qualquer X ∈ r da
forma:
X = (1, 2, 1) + (1 + 2µ2) (1, 1, 1) − (2 + µ2) (0, 1, 1)
= (2, 1, 0) + µ2 (2, 1, 1)
para µ2 ∈ IR. Com alguma manipulac¸a˜o alge´brica na primeira equac¸a˜o, obtemos que um
ponto qualquer X ∈ r = π1 ∩ π2 e´ expresso da forma:
X = (2, 1, 0) + µ2 (2, 1, 1)
= (2, 1, 0) + µ2 (2, 1, 1)
para µ2 ∈ IR.
Portanto, a reta r = π1 ∩ π2 fica definida pela seguinte equac¸a˜o vetorial
r : X = (2, 1, 0) + λ (2, 1, 1) para λ ∈ IR .
Com os resultados da secc¸a˜o 6.2, resolvemos esse exerc´ıcio de uma maneira mais elegante.
266 Geometria Anal´ıtica e Vetores
6.2 Equac¸a˜o Geral. Vetor Normal
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), e com o sistema ortogonal de coordenadas
para o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o
sistema ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam um plano π ⊂ IE3, um ponto P = (xo , yo , zo) ∈ π e dois vetores ~u = (a1 , b1 , c1)
e ~v = (a2 , b2 , c2) linearmente independentes e paralelos ao plano π. Enta˜o, o ponto
X = (x, y, z) ∈ π se, e somente se, os vetores −−→PX, ~u, ~v sa˜o linearmente dependentes, isto
e´, se e somente se, ∣∣∣∣∣∣∣∣
x− xo y − yo z − zo
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 . (6.10)
A equac¸a˜o (6.10) pode ser reescrita da seguinte forma:∣∣∣∣b1 c1b2 c2
∣∣∣∣ (x− xo) −
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣ (y − yo) +
∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣ (z − zo) = 0 , (6.11)
obtida pelo desenvolvimento do determinante relativamente a` primeira linha.
Com algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, podemos escrever a equac¸a˜o (6.11) da forma:
a x + b y + c z = d , (6.12)
denominada equac¸a˜o geral do plano π.
Os coeficientes da equac¸a˜o geral sa˜o dados por:
a =
∣∣∣∣b1 c1b2 c2
∣∣∣∣ , b =
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣ e c =
∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣ , (6.13)
e o termo constante e´ dado por:
d =
∣∣∣∣b1 c1b2 c2
∣∣∣∣ xo −
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣ yo +
∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣ zo . (6.14)
Petronio Pulino 267
Vamos apresentar uma forma mais geome´trica de como podemos obter a equac¸a˜o geral (6.11)
atrave´s do produto escalar dos vetores
−−→
PX e ~u ∧ ~v, uma vez que o produto vetorial dos
vetores diretores ~u e ~v e´ expresso da seguinte forma:
~u ∧ ~v =
∣∣∣∣b1 c1b2 c2
∣∣∣∣~e1 −
∣∣∣∣a1 c1a2 c2
∣∣∣∣~e2 +
∣∣∣∣a1 b1a2 b2
∣∣∣∣~e3 , (6.15)
conforme a equac¸a˜o (4.4), relativo a` base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }.
Sabemos que o vetor ~u ∧ ~v e´ ortogonal ao plano π. Assim, a equac¸a˜o geral (6.11) fica
expressa da seguinte forma:
〈−−→PX, ~u ∧ ~v 〉 = 0 , (6.16)
uma vez que o vetor
−−→
PX = (x − xo , y − yo , z − zo) ∈ π. Na Figura 6.3 temos a ilustrac¸a˜o
da condic¸a˜o de ortogonalidade entre os vetores
−−→
PX e ~u ∧ ~v.
✲�
�
�
��✒
✻
~v
~u
~u ∧ ~v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�π
s
P
s
X
✏✏
✏✏
✏✏✏✏✏✶
Figura 6.3: Equac¸a˜o Geral do Plano
Definic¸a˜o 6.2.1 (Vetor Normal) Seja π um plano contido no espac¸o IE3. Dizemos que
um vetor na˜o–nulo ~n ∈ V 3 ortogonal ao plano π e´ um vetor normal ao plano π.
Na Figura 6.4 ilustramos a situac¸a˜o de um vetor normal ao plano π, e especificamente o
vetor ~u ∧ ~v, produto vetorial dos vetores diretores do plano π, que tambe´m e´ um vetor
normal ao plano π. Assim, um vetor normal ao plano π e´ vetor ortogonal a qualquer vetor
paralelo ao plano π.
Definic¸a˜o 6.2.2 (Equac¸a˜o Geral) Sejam um plano π ⊂ IE3, um ponto P = (xo , yo , zo)
que pertence ao plano π e ~n = (a, b, c) um vetor normal ao plano π. Enta˜o, o ponto
X = (x, y, z) ∈ π se, e somente se, o vetor −−→PX e´ ortogonal ao vetor normal ~n, isto e´, se,
e somente se,
〈−−→PX,~n 〉 = 0 ⇐⇒ (x − xo) a + (y − yo) b + (z − zo) c = 0
⇐⇒ a x + b x + c z = d ,
(6.17)
onde d = a xo + b yo + c xo, denominada uma equac¸a˜o geral do plano π.
268 Geometria Anal´ıtica e Vetores
✲�
�
�
��✒
✻
✻
~v
~u
~u ∧ ~v
~n
�
�
�
�
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�
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�
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�
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�
�
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�
�
�π
s
P
s
X
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✏✶
Figura 6.4: Equac¸a˜o Geral do Plano. Vetor Normal
Exemplo 6.2.1 Determine uma equac¸a˜o geral do plano π ⊂ IE3 que passa pelo ponto
P = (1,−2, 1) e que tem por um vetor normal ~n = (2,−3, 2).
Resoluc¸a˜o – Sabemos que um ponto X = (x, y, z) ∈ π se, e somente se, o vetor−−→
PX = (x − 1, y + 2, z − 1) e´ ortogonal ao vetor normal ~n = (2,−3, 2), isto e´,
〈−−→PX,~n 〉 = 0 ⇐⇒ 2 (x − 1) − 3 (y + 2) + 2 (z − 1) = 0
⇐⇒ 2x − 3 y + 2 z = 10 ,
que e´ uma equac¸a˜o geral para o plano π.
Exemplo 6.2.2 Determine uma equac¸a˜o geral do plano π ⊂ IE3 que passa pelo ponto
P = (2, 1, 3) e e´ perpendicular a` reta r ⊂ IE3 definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 2) + λ (−1, 3,−2) para λ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.2.3 Determine uma equac¸a˜o geral do plano π ⊂ IE3 que passa pelo ponto
P = (1, 2,−3) e e´ paralelo ao plano π1 ⊂ IE3 definido pela equac¸a˜o geral
π1 : 3x − 2 y + 4 z = 4 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.2.4 Determine uma equac¸a˜o geral do plano π ⊂ IE3 que passa pelo ponto
P = (3, 1,−2) e e´ perpendicular a` reta r ⊂ IE3 que passa pelos ponto
A = (1,−2, 1) e B = (2, 4,−1) ∈ IE3 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 269
Exemplo 6.2.5 Determine uma equac¸a˜o vetorial da reta r = π1 ∩ π2, onde os planos π1
e π2 sa˜o definidos pelas seguintes equac¸o˜es gerais
π1 : 3x − 2 y + 4 z = 4 e π2 : x − 2 y + 2 z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Considere um ponto X = (x, y, z) ∈ r = π1 ∩ π2. Desse modo, X ∈ π1
e X ∈ π2, isto e´, o ponto X = (x, y, z) ∈ r satisfaz simultaneamente as equac¸o˜es gerais
r :
{
3x − 2 y + 4 z = 4
x − 2 y + 2 z = 2
Procedendo com o processo de escalonamento do sistema linear acima, obtemos o seguinte
sistema linear equivalente
r :
{
3x − 2 y + 4 z = 4
4 y − 2 z = −2
que possui um grau de liberdade. Desse modo, escolhendo z como varia´vel livre, e chamando
z = λ ∈ IR, a reta r fica definida pelas seguintes equac¸o˜es parame´tricas
r :


x = −λ + 1
y =
1
2
λ − 1
2
z = λ
Portanto, a reta r fica definida pela seguinte equac¸a˜o vetorial
r : X =
(
1 , −1
2
, 0
)
+ λ (−2, 1, 2) para λ ∈ IR .
Exemplo 6.2.6 Determine uma equac¸a˜o vetorial da reta r = π1 ∩ π2, onde os planos π1
e π2 sa˜o definidos pelas seguintes equac¸o˜es gerais
π1 : x − 3 y + z = 2 e π2 : −2x + 4 y + 2 z = 2 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.2.7 Verifique se a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 2) + λ (−1, 2,−5) para λ ∈ IR .
esta´ contida no plano π definido pela equac¸a˜o geral
π : x − 2 y − z = −3 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
270 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.2.8 Determine uma equac¸a˜o vetorial da reta r = π1 ∩ π2, onde os planos π1
e π2 sa˜o definidos pelas seguintes equac¸o˜es gerais
π1 : 3x − 2 y + 4 z = 4 e π2 : x − 2 y + 2 z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que ~n1 = (3,−2, 4) e´ um vetor normal ao plano π1, ~n2 = (1,−2, 2)
e´ um vetor normal ao plano π2. Vamos denotar por ~n o vetor diretor da reta r. Como a
reta r = π1 ∩ π2, enta˜o, a reta r ⊂ π1 e a reta r ⊂ π2. Desse modo, tem–se
~n ⊥ ~n1 e ~n ⊥ ~n2 .
Assim, podemos escolher o vetor ~n = ~n1 ∧ ~n2 como um vetor diretor da reta r, que e´
calculado da seguinte forma:
~n = ~n1 ∧ ~n2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
3 −2 4
1 −2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 4~e1 − 2~e2 − 4~e3 .
Vamos escolher um ponto P = (x, y, z) ∈ r = π1 ∩ π2. Fazendo z = 0 na equac¸a˜o geral
do plano π2, obtemos x = 2 + 2 y. Substituindo z = 0 e x = 2 + 2 y na equac¸a˜o geral
do plano π1, obtemos
y = −1
2
, x = 1 e z = 0 .
Portanto, a reta r fica definida pela seguinte equac¸a˜o vetorial
r : X =
(
1 , −1
2
, 0
)
+ λ (4,−2,−4) para λ ∈ IR .
Compare com o resultado do Exemplo 6.2.5.
Exemplo 6.2.9 Determinar uma equac¸a˜o vetorial para a reta r ⊂ IE3 que passa pelo ponto
A = (2, 1, 1) e e´ perpendicular ao plano π definido pela equac¸a˜o geral
π2 : x − 2 y + 2 z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Como a reta r e´ perpendicular ao plano π, sabemos que um vetor normal ao
plano π e´ paralelo a` reta r. Logo, o vetor ~n = (1,−2, 2), que e´ um vetor normal ao plano
π, e´ tambe´m um vetor diretor da reta r, que fica definida pela seguinte equac¸a˜o vetorial
r : X = (2, 1, 1) + λ (1,−2, 2) para λ ∈ IR .
Exemplo 6.2.10 Determine uma equac¸a˜o geral do plano π ⊂ IE3 que passa pelos pontos
na˜o–colineares A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Determine uma equac¸a˜o
vetorial da reta r que passa pela origem O = (0, 0, 0) e e´ perpendicular ao plano π.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 271
6.3 Posic¸a˜o Relativa de Retas e Planos
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), e com o sistema ortogonal de coordenadas
para o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o
sistema ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Posic¸a˜o Relativa de Reta e Plano
Definic¸a˜o 6.3.1 Sejam a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = A + λ~u para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = P + α~v + µ ~w para α, µ ∈ IR ,
onde ~n = ~v ∧ ~w e´ um vetor normal ao plano π.
Enta˜o, a reta r e´ transversal ao plano π se, e somente se, 〈 ~u, ~n 〉 6= 0.
De modo equivalente, a reta r e´ transversal ao plano π se, e somente se, o conjunto
{ ~u, ~v, ~w } e´ linearmente independente em V 3.
Assim, existe um u´nico ponto Q ∈ IE3 de modo que Q = r ∩ π, que pode ser obtido
resolvendo a seguinte equac¸a˜o vetorial
λ~u − α~v − µ ~w = −→AP . (6.18)
Exemplo 6.3.1 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 1) + λ (2, 1, 3) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (2, 0, 2) + α (1, 1, 0) + µ (0, 1, 1) para α, µ ∈ IR .
Verifique se a reta r e´ transversal ao plano π. Em caso afirmativo, encontre o ponto
Q = r ∩ π.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
272 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Definic¸a˜o 6.3.2 Sejam a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = A + λ~u para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = P + α~v + µ ~w para α, µ ∈ IR ,
onde ~n = ~v ∧ ~w e´ um vetor normal ao planoπ.
Enta˜o, a reta r e´ paralela ao plano π, ou r ⊂ π, se, e somente se, 〈 ~u, ~n 〉 = 0.
De modo equivalente, a reta r e´ paralela ao plano π, ou r ⊂ π, se, e somente se, o
conjunto { ~u, ~v, ~w } e´ linearmente dependente em V 3.
Exemplo 6.3.2 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 1) + λ (3, 1,−2) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (2, 0, 2) + α (1, 1, 0) + µ (0, 1, 1) para α, µ ∈ IR .
Verifique se a reta r e´ paralela ao plano π. Em caso afirmativo, verifique se a reta r esta´
contida no plano π.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.3.3 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (4, 1, 1) + λ (−1, 1, 2) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (2, 0, 2) + α (1, 1, 0) + µ (0, 1, 1) para α, µ ∈ IR .
Verifique se a reta r e´ paralela ao plano π. Em caso afirmativo, verifique se a reta r esta´
contida no plano π.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 273
Posic¸a˜o Relativa de Plano e Plano
Definic¸a˜o 6.3.3 Sejam os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = P1 + λ1 ~u1 + µ1 ~v1 e π2 : X = P2 + λ2 ~u2 + µ2 ~v2 ,
para λ1, µ1, λ2, µ2 ∈ IR, com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 um vetor normal ao plano π1 e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2
um vetor normal ao plano π2.
Enta˜o, os planos π1 e π2 sa˜o transversais (concorrentes) se, e somente se, o conjunto
{~n1 , ~n2 } e´ linearmente independente em V 3.
Assim, existe uma u´nica reta r ⊂ IE3 de modo que r = π1 ∩ π2, que pode ser obtida
resolvendo o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares
r :


a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
(6.19)
onde os planos π1 e π2 sa˜o definidos pelas seguintes equac¸o˜es gerais
π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 e π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 ,
com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 = (a1 , b1 , c1) e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2 = (a2 , b2 , c2).
Definic¸a˜o 6.3.4 Sejam os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = P1 + λ1 ~u1 + µ1 ~v1 e π2 : X = P2 + λ2 ~u2 + µ2 ~v2 ,
para λ1, µ1, λ2, µ2 ∈ IR, com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 um vetor normal ao plano π1 e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2
um vetor normal ao plano π2.
Enta˜o, os planos π1 e π2 sa˜o paralelos (distintos ou coincidentes) se, e somente se,
o conjunto {~n1 , ~n2 } e´ linearmente dependente em V 3.
Exemplo 6.3.4 Estude a posic¸a˜o relativa dos planos π1 e π2 definidos pelas seguintes
equac¸o˜es gerais
π1 : 2x − y + 3z = 1 e π2 : 3x − 2y − z = 2 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.3.5 Estude a posic¸a˜o relativa dos planos π1 e π2 definidos pelas seguintes
equac¸o˜es gerais
π1 : x − 2y + z = 3 e π2 : 3x + y − z = 2 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
274 Geometria Anal´ıtica e Vetores
6.4 Aˆngulo entre Reta e Plano
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), com o sistema ortogonal de coordenadas para
o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o sistema
ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Definic¸a˜o 6.4.1 Sejam a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = A + λ~u para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = P + α~v + µ ~w para α, µ ∈ IR .
Enta˜o, a reta r e o plano π sa˜o perpendiculares se, e somente se, um vetor diretor da
reta r e´ paralelo ao vetor ~v ∧ ~w, isto e´,
r ⊥ π ⇐⇒ ~u ‖ ~v ∧ ~w ,
onde ~v ∧ ~w e´ um vetor normal ao plano π, como ilustra a Figura 6.5.
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Figura 6.5: Reta r perpendicular ao plano π
Petronio Pulino 275
Definic¸a˜o 6.4.2 Sejam a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = A + λ~u para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = P + α~v + µ ~w para α, µ ∈ IR ,
com ~n = ~v ∧ ~w um vetor normal ao plano π.
Enta˜o, a medida do aˆngulo entre a reta r e o plano π e´ igual a medida complementar
do aˆngulo agudo entre a reta r e a reta s perpendicular ao plano π, que e´ o valor
θ ∈
[
0,
π
2
]
que satisfaz a equac¸a˜o
cos
(π
2
− θ
)
=
| 〈 ~u, ~n 〉 |
‖ ~u ‖ ‖~n ‖ ⇐⇒ sin(θ) =
| 〈 ~u, ~n 〉 |
‖ ~u ‖ ‖~n ‖ , (6.20)
uma vez que os aˆngulos θ e α sa˜o complementares, isto e´,
α + θ =
π
2
⇐⇒ α = π
2
− θ ,
como ilustra a Figura 6.6.
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.......................
......................
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.
............................
.............................
..............................
..............................
..........................................................
Figura 6.6: Aˆngulo entre Reta e Plano
Exemplo 6.4.1 Determine a medida em radianos do aˆngulo entre a reta r definida pela
equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 1) + λ (2, 1, 3) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (2, 0, 2) + α (1, 1, 0) + µ (0, 1, 1) para α, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
276 Geometria Anal´ıtica e Vetores
E´ importante ressaltar que o aˆngulo entre a reta r e o plano π fica definido como sendo o
aˆngulo entre e reta r e a reta t ⊂ π, onde a reta t e´ a projec¸a˜o ortogonal da reta r sobre
o plano π, como ilustra a Figura 6.7.
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.
..................
..................
.................
................. θ
Figura 6.7: Aˆngulo entre Reta e Plano
Exemplo 6.4.2 Determine a medida em radianos do aˆngulo entre a reta r definida pela
equac¸a˜o vetorial
r : X = (3, 2, 1) + λ (1, 2, 1) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o geral
π : x + y − z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o vetor ~n = (1, 1,−1) e´ um vetor normal ao plano π, e que o
vetor ~u = (1, 2, 1) e´ um vetor diretor da reta r. Assim, a medida em radianos do aˆngulo
entre a reta r e o plano π e´ expresso da seguinte forma:
sin(θ) =
| 〈 ~u, ~n 〉 |
‖ ~u ‖ ‖~n ‖ =
2√
6×√3 =
√
2
3
=⇒ θ = arcsin
(√
2
3
)
.
Petronio Pulino 277
6.5 Aˆngulo entre Planos
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), com o sistema ortogonal de coordenadas para
o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o sistema
ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Definic¸a˜o 6.5.1 Sejam os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = P1 + λ1 ~u1 + µ1 ~v1 e π2 : X = P2 + λ2 ~u2 + µ2 ~v2 ,
para λ1, µ1, λ2, µ2 ∈ IR, com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 um vetor normal ao plano π1 e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2
um vetor normal ao plano π2.
Enta˜o, os planos π1 e π2 sa˜o perpendiculares se, e somente se, os vetores ~n1 e ~n2 sa˜o
ortogonais, isto e´, se, e somente se,
~n1 ⊥ ~n2 ⇐⇒ 〈~n1,~n2 〉 = 0 ,
como ilustra a Figura 6.8.
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~n2
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π2
Figura 6.8: Plano π1 perpendicular ao plano π2
278 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.5.1 Podemos verificar facilmente que os planos π1 e π2 definidos pelas
equac¸o˜es gerais
π1 : 2x − y − 3 z = 2 e π2 : x − y + z = 3 ,
sa˜o perpendiculares.
Definic¸a˜o 6.5.2 Sejam os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = P1 + λ1 ~u1 + µ1 ~v1 e π2 : X = P2 + λ2 ~u2 + µ2 ~v2 ,
para λ1, µ1, λ2, µ2 ∈ IR, com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 um vetor normal ao plano π1 e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2
um vetor normal ao plano π2.
Considere a reta r perpendicular ao plano π1, isto e´, o vetor ~n1 e´ um vetor diretor da reta
r, e a reta s perpendicular ao plano π2, isto e´, o vetor ~n2 e´ um vetor diretor da reta s.
Enta˜o, a medida do aˆngulo entre os planos π1 e π2 e´ a medida do aˆngulo agudo entre
as retas r e s, que e´ o valor θ ∈
[
0,
π
2
]
que satisfaz a equac¸a˜o
cos(θ) =
| 〈~n1, ~n2 〉 |
‖~n1 ‖ ‖~n2 ‖ , (6.21)
como ilustra a Figura 6.9.
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π2
θ
.
.........................
..........................
..........................
..........................
θ ..............................................................................
......................
....
Figura 6.9: Aˆngulo entre Planos
Petronio Pulino 279
Exemplo 6.5.2 Determine a medida em radianos do aˆngulo entre os planos π1 e π2
definidos pelas seguintes equac¸o˜es gerais
π1 : 4x − 2 y + 4 z = 1 e π2 : −x − 2 y + 2 z = 3 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o vetor ~n1 = (4,−2, 4), que e´ um vetor normal ao plano π1,
e´ um vetor diretor da reta r perpendicular ao plano π1, e o vetor ~n2 = (−1,−2, 2), que e´
um vetor normal ao plano π2, e´ um vetor diretor da reta s perpendicular ao plano π2.
Desse modo, a medida do aˆngulo entre os planos π1 e π2 e´ o valor θ ∈
[
0,
π
2
]
que satisfaz
a equac¸a˜o
cos(θ) =
| 〈~n1, ~n2 〉 |
‖~n1 ‖ ‖~n2 ‖ =
8
6× 3 =
4
9
=⇒ θ = arccos
(
4
9
)
.
Exemplo 6.5.3 Determine a medida em radianos do aˆngulo entre os planos π1 e π2
definidos pelas seguintes equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1)
π2 : X = (2, 1, 0) + λ (1, 2, 1) + µ (2, 1, 1)
para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
280 Geometria Anal´ıtica e Vetores
6.6 Distaˆncia de Ponto a Plano
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), com o sistema ortogonal de coordenadas para
o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o sistema
ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam um plano π ⊂ IE3 e um ponto P ∈ IE3, que na˜o pertence ao plano π. A distaˆncia do
ponto P ao plano π, que denotamos por d(P, π), e´ a distaˆncia do ponto P ao ponto Q ∈ π
que e´ a projec¸a˜o ortogonal do ponto P sobre o plano π, isto e´, d(P, π) = d(P,Q). Considere
uma reta r perpendicular ao plano π e que passa pelo ponto P . Assim, podemos determinar
o ponto Q ∈ π tomando a intersecc¸a˜o da reta r com o plano π, isto e´, Q = r ∩ π, como
ilustra a Figura 6.10. Entretanto, vamos apresentar um processo que torna a resoluc¸a˜o do
problema um tanto quanto mais simples e mais elegante, como veremos a seguir.
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Figura 6.10: Distaˆncia de Ponto a Plano
Petronio Pulino 281
Por simplicidade, consideramos o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = A + λ~u + µ~v para λ, µ ∈ IR .
com ~n = ~u ∧ ~v um vetor normal ao plano π, como ilustra a Figura 6.11.
Vamos abordar o problema da distaˆncia do ponto P ao plano π atrave´s da projec¸a˜o
ortogonal do vetor
−→
AP sobre a direc¸a˜o de um vetor normal do plano π, obtendo o vetor−→
QP , como ilustra a Figura 6.11. Assim, utilizamos o to´pico de projec¸a˜o ortogonal que
estudamos na sec¸a˜o 3.4. Sabemos que o vetor
−→
QP e´ calculado da seguinte forma:
−→
QP =
−−→
proj~n(
−→
AP ) =
〈−→AP,~n 〉
〈~n, ~n 〉 ~n . (6.22)
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Figura 6.11: Distaˆncia de Ponto a Plano
Portanto, a distaˆncia do ponto P ao plano π, e´ calculado da seguinte forma:
d(P, π) = ‖−→QP ‖ =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ . (6.23)
E´ importante observar que o vetor
−→
AQ e´ a projec¸a˜o ortogonal do vetor
−→
AP sobre o plano
π, que e´ calculado da seguinte forma:
−→
AQ =
−→
AP − −→QP
=
−→
AP − 〈
−→
AP,~n 〉
〈~n, ~n 〉 ~n
(6.24)
Assim, obtemos facilmente a projec¸a˜o ortogonal do vetor
−→
AP sobre o plano π calculando
inicialmente a projec¸a˜o ortogonal do vetor
−→
AP na direc¸a˜o de um vetor normal ao plano π,
obtendo o vetor
−→
QP dado pela equac¸a˜o (6.22).
282 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.6.1 Considere o plano π definido pela equac¸a˜o geral
π : X = 2x − y + 4 z = 2 .
Determine a distaˆncia do ponto P = (2,−2, 1) ao plano π.
Resoluc¸a˜o – Tome um ponto A ∈ π, por exemplo, A = (1, 0, 0). Sabemos que o vetor
~n = (2,−1, 4) e´ um vetor normal ao plano π, e o vetor −→AP = (1,−2, 1). Assim, a distaˆncia
do ponto P = (2,−2, 1) ao plano π, e´ calculado da seguinte forma:
d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
| 8 |√
21
=
8
√
21
21
.
Uma outra maneira de resolver esse exemplo, e´ utilizando o resultado do Exemplo 6.6.3.
Exemplo 6.6.2 Determine a distaˆncia do ponto P = (−1, 3, 2) ao plano π definido pela
seguinte equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0,−1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – Temos que os vetores ~u = (1, 1, 1) e ~v = (0,−1, 1) sa˜o dois vetores
diretores do plano π. Assim, um vetor normal ao plano π e´ calculado da seguinte forma:
~n = ~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 1 1
0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2~e1 − ~e2 − ~e3 .
Tomando o ponto A = (1, 2, 1) ∈ π, temos o vetor −→AP = (−2, 1, 1). Assim, a distaˆncia
do ponto P = (−1, 3, 2) ao plano π, e´ calculado da seguinte forma:
d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
| −6 |√
6
=
√
6 .
Exemplo 6.6.3 Considere um ponto P = (xo , yo , zo) ∈ IE3 e um plano π ⊂ IE3
definido pela seguinte equac¸a˜o geral
π : a x + b y + c z = d ,
com um vetor normal ~n = (a, b, c) 6= ~0, e um ponto A = (x1 , y1 , z1) ∈ π. Mostre que, a
distaˆncia do ponto P ao plano π e´ expressa da seguinte forma:
d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
| a xo + b yo + c zo − d |√
a2 + b2 + c2
.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 283
Problema de Minimizac¸a˜o
Problema 6.1 Considere um ponto P ∈ IE3 e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = A + λ~u + µ~v para λ, µ ∈ IR .
Enta˜o, o ca´lculo da distaˆncia do ponto P ao plano π pode ser expresso da forma:
Problema de Minimizac¸a˜o: Encontrar um ponto Q∗ ∈ π tal que
d(P, π) = ‖−−→Q∗P ‖ = min{ ‖−→QP ‖ / Q ∈ π } , (6.25)
que e´ equivalente a Condic¸a˜ode Transversalidade
〈−−→Q∗P , ~u 〉 = 0 e 〈−−→Q∗P ,~v 〉 = 0 , (6.26)
isto e´, o vetor
−−→
Q∗P e´ ortogonal ao plano π.
Resoluc¸a˜o – Sabemos que qualquer ponto Q ∈ π e´ expresso da forma:
Q = A + λ~u + µ~v para λ, µ ∈ IR .
Assim, o vetor
−→
QP e´ escrito da forma:
−→
QP =
−→
AP − λ~u − µ~v para λ, µ ∈ IR ,
e sua ‖−→QP ‖2 pode ser escrita por:
‖−→QP ‖2 = 〈−→QP,−→QP 〉
= 〈−→AP,−→AP 〉 − 2λ 〈−→AP, ~u 〉 − 2µ 〈−→AP,~v 〉
+ 2λµ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈 ~u, ~u 〉 + µ2 〈~v,~v 〉 .
Vamos definir uma func¸a˜o auxiliar F nas varia´veis λ e µ da forma:
F (λ, µ) = 〈−→AP,−→AP 〉 − 2λ 〈−→AP, ~u 〉 − 2µ 〈−→AP,~v 〉
+ 2λµ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈 ~u, ~u 〉 + µ2 〈~v,~v 〉 .
para (λ, µ) ∈ IR2.
Assim, podemos reescrever o Problema de Minimizac¸a˜o da seguinte forma:
d(P, π) = min{ ‖−→QP ‖ / Q ∈ π }
= min{ ‖−→QP ‖2 / Q ∈ π }
= min{F (λ, µ) / (λ, µ) ∈ IR2 } .
(6.27)
284 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Sabemos que um ponto cr´ıtico (λ∗, µ∗) ∈ IR2 da func¸a˜o F , e´ o ponto que anula o gradiente
da func¸a˜o. Desse modo, um ponto cr´ıtico (λ∗, µ∗) e´ a soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares

∂F
∂λ
(λ, µ) = −〈−→AP, ~u 〉 + λ 〈 ~u, ~u 〉 + µ 〈 ~u,~v 〉 = 0
∂F
∂µ
(λ, µ) = −〈−→AP,~v 〉 + λ 〈 ~u,~v 〉 + µ 〈~v,~v 〉 = 0
(6.28)
que podemos reescreve–lo na forma matricial por:[〈 ~u, ~u 〉 〈 ~u,~v 〉
〈 ~u,~v 〉 〈~v,~v 〉
][
λ
µ
]
=

〈−→AP, ~u 〉
〈−→AP,~v 〉

 (6.29)
denominado sistema normal.
Utilizando a desigualdade de Cauchy–Schwarz podemos mostramos que o determinante do
sistema linear (6.29) e´ positivo. De fato,∣∣∣∣∣
〈 ~u, ~u 〉 〈 ~u,~v 〉
〈 ~u,~v 〉 〈~v,~v 〉
∣∣∣∣∣ = 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 − 〈 ~u,~v 〉2 > 0 . (6.30)
Desse modo, o sistema de equac¸o˜es lineares (6.29) possui soluc¸a˜o u´nica, e a func¸a˜o F tem
um u´nico ponto cr´ıtico.
Classificac¸a˜o do Ponto Cr´ıtico
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz e pela positividade do produto escalar, tem–se(
∂2F
∂λ∂µ
)2
(λ∗, µ∗) −
(
∂2F
∂λ2
∂2F
∂µ2
)
(λ∗, µ∗) = 〈 ~u,~v 〉2 − 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 < 0
∂2F
∂λ2
(λ∗, µ∗) = 〈 ~u, ~u 〉 > 0
∂2F
∂µ2
(λ∗, µ∗) = 〈~v,~v 〉 > 0
(6.31)
Portanto, o ponto cr´ıtico (λ∗, µ∗), soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares (6.29), e´ um ponto
de mı´nimo global para o Problema de Minimizac¸a˜o.
O sistema de equac¸o˜es lineares (6.28) e´ a imposic¸a˜o da Condic¸a˜o de Transversalidade:
〈−→QP, ~u 〉 = 0 e 〈−→QP,~v 〉 = 0 .
O ponto Q∗ ∈ π que realizam o problema de minimizac¸a˜o e´ expresso da forma:
Q∗ = A + λ∗ ~u + µ∗ ~v ,
e o vetor
−−→
Q∗P e´ expresso da forma:
−−→
Q∗P =
−→
AP − λ∗ ~u − µ∗ ~v ,
que e´ ortogonal ao plano π, como ilustra a Figura 6.12.
Petronio Pulino 285
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Figura 6.12: Distaˆncia de Ponto a Plano
Exemplo 6.6.4 Determine a distaˆncia do ponto P = (−1, 3,−1) ao plano π definido pela
seguinte equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – Temos os vetores ~u = (1, 1, 1) e ~v = (0, 1, 1), que sa˜o dois vetores diretores
do plano π, e o vetor
−→
AP = (−2, 1,−2). Assim, o sistema normal, que e´ a imposic¸a˜o da
condic¸a˜o de transversalidade, fica dado por:
[〈 ~u, ~u 〉 〈 ~u,~v 〉
〈 ~u,~v 〉 〈~v,~v 〉
][
λ
µ
]
=

〈−→AP, ~u 〉
〈−→AP,~v 〉

 ⇐⇒
[
3 2
2 2
][
λ
µ
]
=
[−3
−1
]
cuja soluc¸a˜o e´ λ = −2 e µ = 3
2
.
Desse modo, ponto Q∗ ∈ π que realizam o problema de minimizac¸a˜o e´ expresso da forma:
Q∗ = A + λ∗ ~u + µ∗ ~v
= (1, 2, 1) − 2 (1, 1, 1) + 3
2
(0, 1, 1) =
1
2
(−2, 3, 1) ,
e o vetor
−−→
Q∗P e´ expresso da forma:
−−→
Q∗P =
−→
AP − λ∗ ~u − µ∗ ~v
= (−2, 1,−2) + 2 (1, 1, 1) − 3
2
(0, 1, 1) =
1
2
(0, 3,−3) .
que e´ ortogonal ao plano π.
Portanto, a distaˆncia do ponto P ao plano π e´ dado por:
d(P, π) = ‖−−→Q∗P ‖ = 3
2
√
2 .
286 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.6.5 Determine a distaˆncia do ponto P = (−1, 3,−1) ao plano π definido pela
seguinte equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – Temos os vetores ~u = (1, 1, 1) e ~v = (0, 1, 1), que sa˜o dois vetores diretores
do plano π, e o vetor
−→
AP = (−2, 1,−2). Um vetor normal ao plano π e´ calculado da
forma:
~n = ~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 1 1
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= −~e2 + ~e3 ⇐⇒ ~n = (0,−1, 1) .
Portanto, a distaˆncia do ponto P ao plano π e´ dada por:
d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
| −3 |√
2
=
3
2
√
2 .
Note que, o resultado e´ igual a do Exemplo 6.6.4, que foi obtido atrave´s do problema de
minimizac¸a˜o.
Petronio Pulino 287
6.7 Distaˆncia entre Reta e Plano
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), com o sistema ortogonal de coordenadas para
o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o sistema
ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Definic¸a˜o 6.7.1 Sejam um plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = A + α~v + µ ~w para α, µ ∈ IR .
com ~n = ~v ∧ ~w um vetor normal ao plano π, e uma reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = P + λ~u para λ ∈ IR .
A distaˆncia entre a reta r e o plano π, d(r, π), e´ definida da forma:
(a) Se r e´ uma reta transversal ao plano π, isto e´, existe um u´nico ponto Q ∈ IE3 tal
que Q = r ∩ π, enta˜o d(r, π) = 0. Note que, nesse caso, tem–se 〈 ~u, ~n 〉 6= 0.
(b) Se r e´ uma reta paralela ao plano π, enta˜o d(r, π) e´ a distaˆncia de um ponto qualquer
da reta r ao plano π. Note que, nesse caso, tem–se 〈 ~u, ~n 〉 = 0. Portanto,
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ .
Na Figura 6.13 ilustramos a situac¸a˜o na qual a reta r paralela ao plano π. Desse modo,
tem–se 〈 ~u, ~n 〉 = 0. Na Figura 6.14 ilustramos a situac¸a˜o na qual a reta r e´ transversal ao
plano π. Logo, tem–se 〈 ~u, ~n 〉 6= 0 e d(r, π) = 0.
288 Geometria Anal´ıtica e Vetores
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Figura 6.13: Distaˆncia entre Reta e Plano
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~u
Ps
Qs
Figura 6.14: Distaˆncia entre Reta e Plano
Exemplo 6.7.1 Determine a distaˆncia entre a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1,−2, 1) + λ (3, 1,−1) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela seguinte equac¸a˜o geral
π : X = 2x + y − z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o vetor ~u = (3, 1,−1) e´ um vetor diretor para reta r, e que o
vetor ~n = (2, 1,−1) e´ um vetor normal para o plano π. Podemos verificar facilmente que
〈 ~u, ~n 〉 6= 0. Assim, temos que r e´ uma reta transversal ao plano π. Portanto, d(r, π) = 0.
Petronio Pulino 289
Exemplo 6.7.2 Determine a distaˆncia entre a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1,−2, 1) + λ (1, 2, 4) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela seguinte equac¸a˜o geral
π : X = 2x + y − z = 2 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o vetor ~u = (1, 2, 4) e´ um vetor diretor para reta r, e que o
vetor ~n = (2, 1,−1) e´ um vetor normal para o plano π. Podemos verificar facilmente que
〈 ~u, ~n 〉 = 0. Assim, temos que r e´ uma reta paralela ao plano π.
Vamos calcular a distaˆncia entre a reta r e o planoπ. Para isso, escolhemos o ponto
P = (1,−2, 1) ∈ r e calcular d(r, π) = d(P, π). Tomando o ponto A = (1, 0, 0) ∈ π,
temos o vetor
−→
AP = (0,−2, 1). Assim, tem–se
d(r, π) = d(P, π) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
| −3 |√
6
=
√
6
2
.
Exemplo 6.7.3 Determine a distaˆncia entre a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (3,−2, 2) + λ (1,−2, 4) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pelas seguintes equac¸o˜es vetoriais
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0,−1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.7.4 Determine a distaˆncia entre a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (2, 1, 4) + λ (2, 1, 3) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pelas seguintes equac¸o˜es vetoriais
π : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0,−1, 1) para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 6.7.5 Determine a distaˆncia entre a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1,−2) + λ (2, 1, 3) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o geral
π : −2x + y + z = 1 .
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
290 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.7.6 Sejam a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = A + λ~u para λ ∈ IR ,
onde A = (1, −1, 2) e ~u = (2, 3, −2), e a reta s definida pela equac¸a˜o vetorial
s : X = B + λ~v para λ ∈ IR ,
onde B = (2, 1, −1) e ~v = (1, −2, 3). Determine a distaˆncia entre as retas r e s.
Resoluc¸a˜o – No Exemplo 5.2.1, mostramos que as retas r e s sa˜o reversas. Para
determinar a distaˆncia entre as retas reversas r e s, primeiramente vamos determinar um
plano π que conte´m a reta r e e´ paralelo a reta s. O vetor ~n = ~u ∧ ~v e´ um vetor normal
a esse plano π, que e´ calculado da forma:
~n = ~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
2 3 −2
1 −2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 5~e1 − 8~e2 − 7~e3 .
Assim, do plano π fica definido pela seguinte equac¸a˜o geral
5x − 8 y − 7 z = −1 ,
impondo que o ponto A = (1, −1, 2) ∈ π.
Finalmente, escolhemos o ponto B = (2, 1, −1) que pertence a reta s, e calculamos
d(B, π) = d(s, π) = d(r, s) .
Para isso, precisamos do vetor
−→
AB = (1, 2,−3). Assim, obtemos
d(r, s) = d(B, π) =
∣∣∣ 〈−→AB,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
10√
138
=
5
√
138
69
.
Compare com o resultado obtido no Exemplo 5.5.1, e observe que
d(r, s) = d(B, π) =
∣∣∣ 〈−→AB,~n 〉 ∣∣∣
‖~n ‖ =
∣∣∣ [~u, ~v, −→AB] ∣∣∣
‖ ~u ∧ ~v ‖ ,
que foi como desenvolvemos o ca´lculo da distaˆncia entre retas reversas na secc¸a˜o 5.5. Nesse
exemplo, mostramos uma nova maneira para o ca´lculo da distaˆncia entre retas reversas. Note
que, no Exemplo 5.5.4 tambe´m mostramos uma outra forma de calcular a distaˆncia entre
retas reversas.
Petronio Pulino 291
6.8 Distaˆncia entre Plano e Plano
Consideramos o espac¸o de vetores V 3 munido com a base canoˆnica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), com o sistema ortogonal de coordenadas para
o espac¸o IE3 definido por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3), com O = (0, 0, 0) a origem para o sistema
ortogonal de coordenadas, com o produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈~v, ~w 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖~v ‖ =
√
〈~v,~v 〉 =
√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~v = (x1 , x2 , x3) , ~w = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Definic¸a˜o 6.8.1 Sejam os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = P1 + λ1 ~u1 + µ1 ~v1 e π2 : X = P2 + λ2 ~u2 + µ2 ~v2 ,
para λ1, µ1, λ2, µ2 ∈ IR, com ~n1 = ~u1 ∧ ~v1 um vetor normal ao plano π1 e ~n2 = ~u2 ∧ ~v2
um vetor normal ao plano π2.
A distaˆncia entre o plano π1 e o plano π2, d(π1, π2), e´ definida da forma:
(a) Se os planos π1 e π2 sa˜o transversais (concorrentes), isto e´, {~n1 , ~n2 } e´ um conjunto
linearmente independente em V 3, enta˜o d(π1, π2) = 0.
(b) Se os planos π1 e π2 sa˜o paralelos, isto e´, {~n1 , ~n2 } e´ um conjunto linearmente
dependente em V 3, enta˜o a d(π1, π2) e´ calculada como a distaˆncia de ponto a plano.
Portanto, calculamos a d(π1, π2) como sendo a distaˆncia de um ponto qualquer do
plano π1 ao plano π2, ou como sendo a distaˆncia de um ponto qualquer do plano π2
ao plano π1. Portanto,
d(π1, π2) = d(P1, π2) =
∣∣∣ 〈−−→P1P2, ~n2 〉 ∣∣∣
‖~n2 ‖ .
Na Figura 6.15 ilustramos a situac¸a˜o na qual temos dois planos transversais, isto e´, existe
uma u´nica reta r ⊂ IE3 de modo que r = π1 ∩ π2. Assim, tem–se d(π1, π2) = 0. Na
Figura 6.16 ilustramos a situac¸a˜o na qual temos dois planos paralelos. Assim, a d(π1, π2) e´
tratada como o caso de distaˆncia de ponto a plano, que estudamos na secc¸a˜o 6.6.
292 Geometria Anal´ıtica e Vetores
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Figura 6.15: Distaˆncia entre dois Planos. Planos Transversais
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Figura 6.16: Distaˆncia entre dois Planos. Planos Paralelos
Petronio Pulino 293
Exemplo 6.8.1 Determine a distaˆncia entre os planos π1 e π2 definidos pelas seguintes
equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0,−1, 1)
π2 : X = (2, 1, 0) + λ (1, 2, 1) + µ (2, 1, 1)
para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o ponto P1 = (1, 2, 1) ∈ π1 e o ponto P2 = (2, 1, 0) ∈ π2.
Vamos determinar um vetor normal para o plano π1, que e´ calculado da forma:
~n1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 1 1
0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2~e1 − ~e2 − ~e3 ,
e um vetor normal para o plano π2, que e´ calculado da forma:
~n2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 2 1
2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= ~e1 + ~e2 − 3~e3 ,
Podemos observar facilmente que o conjunto {~n1 , ~n2 } e´ linearmente independente em V 3.
Logo, os planos π1 e π2 sa˜o transversais. Portanto, d(π1, π2) = 0.
Exemplo 6.8.2 Determine a distaˆncia entre os planos paralelos π1 e π2 definidos pelas
seguintes equac¸o˜es vetoriais
π1 : −2x + 4 y − 2 z = 2 e π2 : x − 2 y + z = 6 .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o vetor ~n1 = (−2, 4,−2) e´ um vetor normal ao plano π1 e o
vetor ~n2 = (1,−2, 1) e´ um vetor normal ao plano π2. Para calcular a distaˆncia d(π1, π2),
escolhemos um ponto P ∈ π1 e calculamos d(P, π2).
Assim, escolhemos P = (−1, 0, 0) ∈ π1 e o ponto A = (7, 1, 1) ∈ π2, e temos o vetor−→
AP = (−8,−1,−1). Desse modo, a d(π1, π2) e´ calculada da seguinte forma:
d(π1, π2) = d(P, π2) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n2 〉 ∣∣∣
‖~n2 ‖ =
| −7 |√
6
=
7
√
6
6
.
Note que, podemos tambe´m calcular a d(π1, π2) atrave´s do resultado do Exemplo 6.6.3,
escolhendo um ponto P ∈ π1, por exemplo, e calculando d(π1, π2) = d(P, π2) utilizando
a equac¸a˜o geral do plano π2.
294 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 6.8.3 Determine a distaˆncia entre os planos π1 e π2 definidos pelas seguintes
equac¸o˜es vetoriais
π1 : X = (1, 2, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0,−1, 1)
π2 : X = (2, 1, 0) + λ (2, 3, 1) + µ (2,−1, 5)
para λ, µ ∈ IR .
Resoluc¸a˜o – Sabemos que o ponto P1 = (1, 2, 1) ∈ π1 e o ponto P2 = (2, 1, 0) ∈ π2.
Vamos determinar um vetor normal para o plano π1, que e´ calculado da forma:
~n1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
1 1 1
0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2~e1 − ~e2 − ~e3 ,
e um vetor normal para o plano π2, que e´ calculado da forma:
~n2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
2 3 1
2 −1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 16~e1 − 8~e2 − 8~e3 ,
Podemos observar facilmente que o conjunto {~n1 , ~n2 } e´ linearmente dependente em V 3.
Logo, os planos π1 e π2 sa˜o paralelos. Para calcular a d(π1, π2) escolhemos, por exemplo,
um ponto P ∈ π2 e calculamos a d(P, π2). Escolhemos P = (2, 1, 0) ∈ π2 e o ponto
A = (1, 2, 1) ∈ π1, e temos o vetor −→AP = (1,−1,−1). Desse modo, a d(π1, π2) e´calculada
da seguinte forma:
d(π1, π2) = d(P, π1) =
∣∣∣ 〈−→AP,~n1 〉 ∣∣∣
‖~n1 ‖ =
4√
6
=
2
√
6
3
.
Note que, podemos tambe´m calcular a d(P, π1) atrave´s do resultado do Exemplo 6.6.3. Para
isso, necesitamos da equac¸a˜o geral do plano π1. Sabemos que o vetor ~n1 = (2,−1,−1) e´
um vetor normal ao plano π1, e que o plano passa pelo ponto A = (1, 2, 1). Assim, o plano
π1 fica definido pela seguinte equac¸a˜o geral
π1 : 2x − y − z = −1 .
Exemplo 6.8.4 Apresente a resoluc¸a˜o do Exemplo 6.8.3 escolhendo um ponto P ∈ π1 e
calculando d(π1, π2) = d(P, π2) atrave´s do resultado do Exemplo 6.6.3.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 295
6.9 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.9.1 Considere o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1,−1, 1) + α (0, 1, 2) + β (1,−1, 0) para α, β ∈ IR ,
e o ponto P = (2, 0, 1).
(a) Determine a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa pelo ponto P que e´ perpendicular
ao plano π.
(b) Determine o ponto Q ∈ π que esta´ mais pro´ximo do ponto P .
(c) Determine o ponto P ′ que seja sime´trico ao ponto P em relac¸a˜o ao plano π.
Exerc´ıcio 6.9.2 Determine o valor do paraˆmetro a de modo que as retas r e s definidas
pelas equac¸o˜es vetoriais
r : X = (1, 0, 2) + λ (2, 1, 3) para λ ∈ IR
s : X = (0, 1,−1) + α (1, a, 2a) para α ∈ IR
sejam coplanares, e nesse caso, fac¸a o estudo da posic¸a˜o relativa das retas.
Exerc´ıcio 6.9.3 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 5) + λ (−3, 2,−2) para λ ∈ IR ,
e o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1,−1, 1) + α (0, 1, 2) + β (1,−1, 0) para α, β ∈ IR .
(a) Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano π.
(b) Sejam ~u o vetor diretor da reta r e ~n o vetor normal ao plano π. Determine uma
base ortogonal para V 3 contendo os vetores ~u e ~n.
(c) Determine a equac¸a˜o geral de um plano que e´ perpendicular ao plano π passando pelo
ponto P = (1, 1, 1).
Exerc´ıcio 6.9.4 Determine a distaˆncia do ponto P = (1, 2, 4) ao plano π definido pela
seguinte equac¸a˜o vetorial
π : X = (0, 3, 2) + λ (1, 2, 1) + µ (0, 1, 1) para λ, µ ∈ IR .
296 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 6.9.5 Em cada um dos casos abaixo encontre uma equac¸a˜o do plano π.
(a) O plano π passa pelo ponto P = (3, 1, 2) e tem vetor normal ~n = (1, 2,−3).
(b) O plano π passa pelos pontos A = (0, 0, 2), B = (2, 4, 1) e C = (−2, 3, 3).
(c) Tem–se que o ponto C = (−5, 1, 2) ∈ π e que o plano π e´ perpendicular a` reta que
passa pelos pontos A = (2, 2,−4) e B = (7,−1, 3).
(d) O plano π e´ perpendicular ao plano phi1 definido pela equac¸a˜o
π1 : x + 3y − z = 7
e conte´m os pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 2,−1).
(e) O plano π e´ perpendicular a cada um dos planos definidos pelas equac¸o˜es
π1 : x − y − 2z = 0 e π2 : 2x + y − 4z − 5 = 0
e conte´m o ponto A = (4, 0,−2).
Exerc´ıcio 6.9.6 Considere o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 1, 1) + α (0, 1, 1) + β (−1, 2, 1) para α, β ∈ IR ,
a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 1, 2) + λ (−3, 2,−1) para λ ∈ IR ,
e o ponto P = (1, 2, 1) /∈ π.
(a) Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano π.
(b) Determine a distaˆncia entre a reta r e o plano π.
(c) Determine o ponto Q ∈ π de modo que d(P,Q) = d(P, π).
(d) Determine o ponto P ′ que seja sime´trico ao ponto P em relac¸a˜o ao plano π.
Exerc´ıcio 6.9.7 Determine a distaˆncia entre os planos π1 e π2 definidos pelas equac¸o˜es
π1 : 4x − 8y − z = 9 e π2 : 2x − 4y − z
2
= 5 .
Exerc´ıcio 6.9.8 Determine a distaˆncia entre plano π definido pela equac¸a˜o
π : 2x + 2y − z = 6
e o ponto P = (2, 2,−4).
Petronio Pulino 297
Exerc´ıcio 6.9.9 Considere os pontos
A = (4, 3,−2) , B = (5, 5,−1) , C = (6, 4,−3) e D = (7, 6, 0) .
(a) Determine a equac¸a˜o do plano π que passa por A, B e C. Mostre tambe´m que D na˜o
esta´ em π.
(b) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por D e e´ perpendicular ao
plano π determinado no item (a).
(c) Determine o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta r do item (b) e o plano π do item (a).
(d) Determine a distaˆncia do ponto D ao plano π.
(e) Determine a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C. Sabemos que a a´rea do triaˆngulo
e´ igual a metade da a´rea do paralelogramo.
(f) Determine o volume do tetraedro de ve´rtices A, B, C e D. Sabemos que o volume do
tetraedro e´ igual a um sexto do volume do paralelep´ıpedo.
(g) Determine a altura do tetraedro ABCD.
Exerc´ıcio 6.9.10 Considere as retas r e s definidas pelas equac¸o˜es
r : x = 0 , y = 2 + t , z = 1 + t e s : x− 2 = z + 1 , y = 3 .
(a) Mostre que as retas r e s sa˜o reversas.
(b) Encontre dois planos paralelos π1 e π2 tais que r ⊂ π1 e s ⊂ π2. Podem existir
outros planos com as propriedades dos planos π1 e π2?
(c) Encontre a distaˆncia entre os planos π1 e π2 determinados no item (b).
(d) Encontre um ponto P na reta r e um ponto Q na reta s tais que a reta que passa
pelos pontos P e Q seja perpendicular a reta r e a reta s.
Exerc´ıcio 6.9.11 Considere os planos π1 e π2 definidos pelas seguintes equac¸o˜es
π1 : x − y + z − 3 = 0 e π2 : 2m2x − (m+ 1)y + 2z = 0 .
(a) Determine os valores do paraˆmetro m, se poss´ıvel, para que os planos π1 e π2 sejam:
1. paralelos.
2. concorrentes.
3. concorrentes e ortogonais.
(b) Para m = −1, determine a intersecc¸a˜o entre os planos π1 e π2, apresentando uma
interpretac¸a˜o geome´trica.
298 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 6.9.12 Considere as equac¸o˜es das retas reversas
r :


x = 2− λ
y = 1 + 3λ
z = 1 + λ
e s :


x = 1 + t
y = 3 + 4t
z = 1 + 3t
(a) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a reta s e e´ paralelo a reta r.
(b) Determine distaˆncia do ponto A = (2, 0, 0) a reta s.
(c) Determine a distaˆncia entre as retas r e s.
(d) Encontre um ponto P ∈ r e um ponto Q ∈ s de forma que a distaˆncia entre os
pontos P e Q seja igual a distaˆncia entre as retas r e s.
Exerc´ıcio 6.9.13 Considere o ponto P = (1, 1, 0), o plano π : 2x+2− z− 2 = 0 e a reta
r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 0, 0) + λ (−1, 0, 1) para λ ∈ IR .
Determine uma equac¸a˜o vetorial para a reta s passando pelo ponto P , que e´ paralela ou
esta´ contida no plano π e que e´ concorrente a` reta r.
Exerc´ıcio 6.9.14 Plano Mediador
(a) Dados os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) em IE
3. Mostre que o lugar
geome´trico dos pontos do espac¸o que equidistam dos pontos A e B e´ um plano que
passa pelo ponto me´dio do segmento AB e e´ perpendicular a` reta que passa pelos pontos
A e B.
(b) Dados os ponto A = (1, 2− 1) e B = (3, 4− 3). Determine a equac¸a˜o geral do plano
mediador do segmento AB.
Exerc´ıcio 6.9.15 Determine uma equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto A = (1,−1, 1) que
e´ perpendicular aos planos
π1 : x + 2y − 3z + 6 = 0 e π2 : 8x − 4y + 4z − 1 = 0 .
Exerc´ıcio 6.9.16 Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos de IE3 que sa˜o
equidistantes da reta r dada pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (0, 1, 0) + λ (1, 1, 0) para λ ∈ IR ,
e do ponto F =
(
1
2
, −1
2
, 0
)
. Descreva o lugar geome´trico.
Petronio Pulino 299
Exerc´ıcio 6.9.17 Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos de IE3 que sa˜o
equidistantes da reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 0, 2) + λ (1, 1, 1) para λ ∈ IR ,
e do plano π : 2x− 4y + 2z = 1. Descreva o lugar geome´trico.
Exerc´ıcio 6.9.18 Considere a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 0, 1) + λ (−1, 0, 1) para λ ∈ IR ,
e o ponto F = (1, 1, 0).
(a) Determine uma equac¸a˜o geral do plano π que passa pelo ponto F e que conte´m a reta
r.
(b) Determine uma equac¸a˜o geral do plano π que passa pelo ponto F e e´ perpendicular a`
reta r.
Exerc´ıcio 6.9.19Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos de IE3 que sa˜o
equidistantes da reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 0, 1) + λ (−1, 0, 1) para λ ∈ IR ,
e do ponto F = (1, 1, 0). Descreva o lugar geome´trico.
Exerc´ıcio 6.9.20 Determine a projec¸a˜o do ponto P = (1, 4,−1) sobre o plano π definido
pela equac¸a˜o
π : x + 2y − z + 2 = 0 ,
paralelamente a` reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 2,−1) + λ(1, 1,−1) para λ ∈ IR .
Exerc´ıcio 6.9.21 Considere as retas r e s definidas pelas seguintes equac¸o˜es vetoriais
r : X = (0, 2, 1) + α (0,−1,−1) e s : X = (4, 3, 1) + λ (1, 0, 1) ,
para α, λ ∈ IR.
(a) Mostre que as retas r e s sa˜o reversas.
(b) Determine uma equac¸a˜o geral do plano π1 de modo que r ⊂ π1, a equac¸a˜o do geral
do plano π2 de modo que s ⊂ π2, e que os planos π1 e π2 sejam paralelos.
(c) Determine a distaˆncia entre os planos π1 e π2.
(d) Determine o ponto P ∈ r e o ponto Q ∈ s tais que a reta que passa pelos pontos P
e Q seja perpendicular a`s retas r e s.
300 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 6.9.22 Considere o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 2, 1) + α (1, 1, 1) + β (−1, 2, 1) para α, β ∈ IR ,
e a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1,−1, 2) + λ (2, 2, 2) para λ ∈ IR .
(a) Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano π.
(b) Determine um ponto Q ∈ π e um ponto P ∈ r de modo que d(P,Q) = d(r, π).
Exerc´ıcio 6.9.23 Considere o plano π definido pela equac¸a˜o vetorial
π : X = (1, 1, 1) + α (0, 1, 1) + β (−1, 2, 1) para α, β ∈ IR ,
a reta r definida pela equac¸a˜o vetorial
r : X = (1, 3, 4) + λ (2,−2,−1) para λ ∈ IR ,
e o ponto P = (−1, 2, 2) ∈ IE3.
(a) Estude a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano π.
(b) Determine a distaˆncia entre a reta r e o plano π.
(c) Determine o ponto Q ∈ r de modo que d(P,Q) = 5.
(d) Determine o ponto Q∗ ∈ π de modo que d(P,Q∗) = d(P, π).
(e) Determine o ponto P ′ que seja sime´trico ao ponto P em relac¸a˜o ao plano π.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] P. Boulos e I. de Camargo, Geometria Anal´ıtica: um tratamento vetorial , Segunda
Edic¸a˜o, McGraw–Hill (1987).
[2] D. Kletenik, Problemas de Geometria Analitica, Editorial Mir (1979).
[3] J. H. Kindle, Geometria Anal´ıtica, McGraw–Hill (1976).
[4] P. Pulino, A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula, Janeiro de 2012, IMECC,
UNICAMP, dispon´ıveis no link: www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/.
[5] P. Pulino, Matema´tica Ba´sica: Notas de Aula, Marc¸o de 2012, IMECC, UNICAMP,
dispon´ıveis no link: www.ime.unicamp.br/∼pulino/MA109/.
[6] J. L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. Figueiredo e H. G. Wetzler,
A´lgebra Linear , Terceira Edic¸a˜o, Editora Harbra Ltda (1986).
[7] Elon Lages Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado, A Matema´tica do
Ensino Me´dio, Volume 1, Nona Edic¸a˜o, Colec¸a˜o do Professor de Matema´tica, Sociedade
Brasileira de Matema´tica (2006).
[8] Elon Lages Lima, Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear , SBM/IMPA (2010).
[9] J. J. Venturi, A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica, Livrarias Curitiba. dispon´ıveis
no link: www.geometriaanalitica.com.br.
[10] J. J. Venturi, Coˆnicas e Qua´dricas , Livrarias Curitiba. dispon´ıveis no link:
www.geometriaanalitica.com.br.
[11] C. A. Callioli, H. H. Domingues e R. C. F. Costa, A´lgebra Linear e Aplicac¸o˜es , Sexta
Edic¸a˜o, Atual Editora (2003).
[12] Tom M. Apostol, Calculus , Volume I, Second Edition, John Wiley & Sons (1976).
[13] G. A´vila, Ca´lculo, Volume 3, Se´tima Edic¸a˜o, LTC (2006).
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