Transformada de Laplace: Método para Equações Diferenciais

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Transformada de Laplace
É um método que permite transformar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes em equações
algébricas de mais fácil solução.
Equação Equação Transformada SoluçãoTransformada Solução
em t em s inversa em tLaplace algébrica
diferencial algébrica deLaplace daequaçãode daequação
Definição: Dada uma função f(t), define-se:
L [f(t)] , F (s) =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt .
f(t): função da variável t, tal que f(t) = 0 para t < 0.
F (s): transformada de Laplace de f(t).
L: símbolo que indica a transformada de Laplace de uma função f(t).
Exemplo : transformada de Laplace da função degrau unitário
A função degrau unitário é definida como
f(t) =
{
1 t ≥ 0 ,
0 t < 0 .
O gráfico da função degrau unitário é apresentado na figura abaixo.
f t( )
t
1
0
Aplicando a definição de transformada de Laplace, obtém-se
F (s) =
∫ ∞
0
1.e−stdt =
e−st
−s
∣∣∣∣∞
0
=
1
−s (0− 1) =
1
s
.
Propriedades da transformada de Laplace
Transformada da derivada de primeira ordem
Seja f(0) o valor inicial de f(t), calculado em t = 0, então
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s)− f (0) .
Supondo condição inicial nula: f(0) = 0
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s) .
Exercício
Sabendo-se que a transformada de Laplace da função f(t) = sent é
F (s) =
1
s2 + 1
,
determine a transformada de Laplace da função cos t.
Solução
Sabe-se que
cos t =
d sent
dt
L [cos t] = L
[
d sent
dt
]
= sF (s)− f(0)
= s
1
s2 + 1
− sen 0
=
s
s2 + 1
− 0 .
=
s
s2 + 1
.
Transformada da derivada de segunda ordem
Seja f˙(0) o valor da derivada de f(t), calculado em t = 0, então
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s)− sf(0)− f˙ (0) .
Supondo condições iniciais nulas
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s) .
Transformada da derivada de ordem 3 com condições iniciais nulas
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s) .
Transformada da derivada de ordem n com condições iniciais nulas
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s) .
Transformada da integral com condições iniciais nulas
L
[∫
f(t)dt
]
=
F (s)
s
.
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