Portfolio_05_EstruturasAlgebricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CURSO DE LICENCIATURA-MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGEBRICAS
PROFESSOR (A): JOSE VALTER LOPES NUNES
Tópico 01 
Teorema 3. Todo domínio de integridade finito é um corpo.
Demonstração:
Suponha por absurdo que existam ,   tais que e  e  e .
Note acima que esta suposição é equivalente a dizer que C não é um domínio e ainda a e b são divisores de zero.
Como C é corpo e , existe   tal que .
Então: 
Inicialmente por absurdo, havia a suposição de que .
Como concluímos que b=0, então b não é divisor de zero. Pela definição de domínio de integridade: Seja (A, +,*) um anel comutativo com unidade. Dizemos que A é um anel de integridade ou domínio de integridade ou simplesmente
domínio se A satisfaz a seguinte condição:
.
Portanto, como b=0, C é um domínio, pois a* b= 0 por hipótese.
Teorema 5. Se K1,K2,...,Kn são subcorpos de um corpo (K, +, . ) então K1∩K2∩... ∩Kn também é um subcorpo de (K, +, .). Este resultado também é válido para uma quantidade infinita de subcorpos.
Demonstração:
Sejam K corpo e K1 um subconjunto não-vazio de K. Dizemos que K1 é um subcorpo de K se (K1, +) ≤ (K, +) e (K1 ,* ) ≤ (K, * ).
É fácil ver que se K1, K2,..., Kn são subcorpos de K, então K1 ∩ K2 ∩... ∩ Kn também o é. Além disso, se S é um subconjunto não-vazio de K, então o conjunto S ⊆ K definido por S= {x1 α1 + x2 α2 + ··· + xn αn : n ∈ , xi ∈ K, i ∈ S, i = 1,...,n} também é um subcorpo de K, chamado de subcorpo de K gerado por S.
02. Mostre que o conjunto Q( = é um subcorpo do corpo dos números reais e que a função definida por f(a+b) = a - b é um automorfismo.
Para mostrarmos que é um subgrupo, basta mostrarmos que para quaisquer , como segue que . 
Analogamente: 
 
 
Como então 
A função f é homomorfismo. Como efeito, para quaisquer
 
 
 
Além disso 
06. Mostra que todo domínio de integridade finito é um corpo
Seja D = um domínio de integridade finito.
Para cada considerando os produtos 
São distintos dois a dois: = 0; como e 
D não tem divisores de zero, necessariamente ,portanto, 
Portanto os produtos percorrem todos os elementoss não nulos de D; Em particular tal que ,o que significa que é invertivel.
Logo, todo elemento não nulo de D é invertível, portanto D é um corpo.
10. Mostre que a função f: Zp → Zp definida por f() = é um automorfismo.
1º f() = é um homomorfismo de anéis:
 
Vale a propriedade em 
 
 
Também vai vale a propriedade em 
 
Assim,é um homorfismo
2º É bijetiva:
 é bijetiva, pois é injetiva, com e o mesmo domínio e contradomínio.
Tem a mesma cardinalidade equivale a um subconjunto de 
Lembrando que é injetiva se, e somente se, existe um único