Gabarito da AD1

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Gabarito da AD1: operac¸o˜es com matrizes.
Questa˜o A)
Considere a matriz 3× 4: A = (aij) =
 1 0 −1 23 3 −3 4
4 2 5 1
.
A1) O valor do somato´rio
4∑
j=1
a3j e´ igual a:
Soluc¸a˜o:
4∑
j=1
a3j = a31 + a32 + a33 + a34 = 4 + 2 + 5 + 1 = 12.
A2) O valor do somato´rio
3∑
i=1
ai3 e´ igual a:
Soluc¸a˜o:
3∑
i=1
ai3 = a13 + a23 + a33 = −1 + (−3) + 5 = 1.
A3) O valor do somato´rio
3∑
i=1
aii e´ igual a:
Soluc¸a˜o:
3∑
i=1
aii = a11 + a22 + a33 = 1 + 3 + 5 = 9.
Questa˜o B)
Considere as matrizes: A =
[
1 2 3
2 1 4
]
e B =
 1 02 1
3 2
.
B1) Calcule, se poss´ıvel, AT + 2B.
Soluc¸a˜o:
Como A e´ 2 × 3 enta˜o 2AT e´ 3 × 2. Sendo B tambe´m 3 × 2 e´ poss´ıvel fazer a soma.
Calculando:
AT =
[
1 2 3
2 1 4
]T
=
 1 22 1
3 4

2B = 2 ·
 1 02 1
3 2
 =
 2 04 2
6 4

Enta˜o:
AT + 2B =
 1 22 1
3 4
+
 2 04 2
6 4
 =
 1 + 2 2 + 02 + 4 1 + 2
3 + 6 4 + 4
 =
 3 26 3
9 8

B2) Calcule, se poss´ıvel, (3A− 2BT )T .
Soluc¸a˜o:
Como B e´ 3× 2 enta˜o 2BT e´ 2× 3. Sendo 3A tambe´m 2× 3 e´ poss´ıvel fazer a diferenc¸a.
Calculando:
2BT = 2·
 1 02 1
3 2
T = 2·[ 1 2 3
0 1 2
]
=
[
2 4 6
0 2 4
]
e 3A = 3·
[
1 2 3
2 1 4
]
=
[
3 6 9
6 3 12
]
Enta˜o:
3A− 2BT =
[
3 6 9
6 3 12
]
−
[
2 4 6
0 2 4
]
=
[
3− 2 6− 4 9− 6
6− 0 3− 2 12− 4
]
=
[
1 2 3
6 1 8
]
Finalmente, fazendo a transposic¸a˜o, temos:
(3A− 2BT )T =
[
1 2 3
6 1 8
]T
=
 1 62 1
3 8

B3) Calcule, se poss´ıvel, (2AT )T + (3BT )T .
Soluc¸a˜o:
Pelas propriedades da transposic¸a˜o, temos que (2AT )T + (3BT )T = 2(AT )T + 3(BT )T =
2A + 3B. Pore´m, como A e´ 2 × 3 enta˜o 2A e´ tambe´m 2 × 3 e, como B e´ 3 × 2, enta˜o 3B e´
3× 2. Portanto, sendo de ordens diferentes, na˜o e´ poss´ıvel calcular a soma 2A + 3B.
B4) Calcule, se poss´ıvel, (2AT )T + (3B)T .
Soluc¸a˜o:
Usando as propriedades da transposic¸a˜o de matrizes, temos que:
(2AT )T + (3B)T = 2(AT )T + 3BT = 2A + 3BT .
Como A e´ 2× 3 enta˜o 2A e´ tambe´m 2× 3. Sendo B de ordem 3× 2 enta˜o 3BT e´ 2× 3. Logo,
e´ poss´ıvel fazer a soma. Calculando:
2A + 3BT = 2 ·
[
1 2 3
2 1 4
]
+ 3 ·
 1 02 1
3 2
T = [ 2 4 6
4 2 8
]
+ 3 ·
[
1 2 3
0 1 2
]
=
=
[
2 4 6
4 2 8
]
+
[
3 6 9
0 3 6
]
=
[
5 10 15
4 5 14
]
.
Questa˜o C)
Considere as matrizes: A =
[
1 2 −3
4 0 −2
]
, B =
 3 12 4
−1 5
, C =
 2 3 13 −4 5
1 −1 −2
, D =
[
2 3
−1 −2
]
e E =
 1 0 −3−2 1 5
3 4 2
.
C1) Calcule, se poss´ıvel, DAB.
Soluc¸a˜o:
Como D e´ 2 × 2 e A e´ 2 × 3, o nu´mero de colunas de D e´ igual ao nu´mero de linhas de
A; enta˜o podemos calcular DA e a sua ordem sera´ 2× 3. Como B e´ 3× 2, tambe´m podemos
calcular (DA)B que tera´ ordem 2× 2. Calculando:
DA =
[
2 3
−1 −2
]
·
[
1 2 −3
4 0 −2
]
=
[
2 · 1 + 3 · 4 2 · 2 + 3 · 0 2 · (−3) + 3 · (−2)
−1 · 1 + (−2) · 4 −1 · 2 + (−2) · 0 −1 · (−3) + (−2) · (−2)
]
[
14 4 −12
−9 −2 7
]
Enta˜o:
(DA)B =
[
14 4 −12
−9 −2 7
]
·
 3 12 4
−1 5
 = [ 14 · 3 + 4 · 2 + (−12) · (−1) 14 · 1 + 4 · 4 + (−12) · 5−9 · 3 + (−2) · 2 + 7 · (−1) −9 · 1 + (−2) · 4 + 7 · 5
]
Portanto:
A(BD) =
[
62 −30
−38 18
]
C2) Calcule, se poss´ıvel, AB + D.
Soluc¸a˜o:
Como A e´ 2× 3 e B e´ 3× 2, o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de B,
podemos calcular AB e a sua ordem sera´ 2× 2. Como D tambe´m e´ 2× 2, podemos calcular
AB + D. Calculando:
AB =
[
1 2 −3
4 0 −2
]
·
 3 12 4
−1 5
 = [ 1 · 3 + 2 · 2 + (−3) · (−1) 1 · 1 + 2 · 4 + (−3) · 5
4 · 3 + 0 · 2 + (−2) · (−1) 4 · 1 + 0 · 4 + (−2) · 5
]
=
[
10 −6
14 −6
]
Enta˜o:
AB + D =
[
10 −6
14 −6
]
+
[
2 3
−1 −2
]
=
[
10 + 2 −6 + 3
14 + (−1) −6 + (−2)
]
=
[
12 −3
13 −8
]
C3) Calcule, se poss´ıvel, CETB.
Soluc¸a˜o:
Como C e´ 3 × 3 e ET e´ tambe´m 3 × 3, o nu´mero de colunas de C e´ igual ao nu´mero de
linhas de ET , podemos calcular CET e a sua ordem sera´ 3× 3. Como B e´ 3× 2, o nu´mero de
colunas de CET e´ igual ao nu´mero de linhas de B, podemos calcular (CET )B e o resultado
sera´ 3× 2. Calculando:
CET =
 2 3 13 −4 5
1 −1 −2
 ·
 1 0 −3−2 1 5
3 4 2
T =
 2 3 13 −4 5
1 −1 −2
 ·
 1 −2 30 1 4
−3 5 2

=
 2 · 1 + 3 · 0 + 1 · (−3) 2 · (−2) + 3 · 1 + 1 · 5 2 · 3 + 3 · 4 + 1 · 23 · 1 + (−4) · 0 + 5 · (−3) 3 · (−2) + (−4) · 1 + 5 · 5 3 · 3 + (−4) · 4 + 5 · 2
1 · 1 + (−1) · 0 + (−2) · (−3) 1 · (−2) + (−1) · 1 + (−2) · 5 1 · 3 + (−1) · 4 + (−2) · 2

=
 −1 4 20−12 15 3
7 −13 −5
 .
Assim:
CETB =
 −1 4 20−12 15 3
7 −13 −5
 ·
 3 12 4
−1 5

=
 −1 · 3 + 4 · 2 + 20 · (−1) −1 · 1 + 4 · 4 + 20 · 5−12 · 3 + 15 · 2 + 3 · (−1) −12 · 1 + 15 · 4 + 3 · 5
7 · 3 + (−13) · 2 + (−5) · (−1) 7 · 1 + (−13) · 4 + (−5) · 5
 =
 −15 115−9 63
0 −70

C4) Calcule, se poss´ıvel, E(A + BT ).
Soluc¸a˜o:
Como B e´ 3× 2, BT e´ 2× 3 que e´ a mesma ordem de A. Enta˜o podemos calcular a soma
A+BT e o resultado tera´ a mesma ordem 2×3. Pore´m, como E e´ 3×3, o nu´mero de colunas
de E e´ diferente do nu´mero de linhas de A+BT e enta˜o, na˜o podemos calcular E(A+BT ).
Questa˜o D)
D1) Sabendo que a matriz
 x x− 2 y − zx + y y z + 1
z − 2 y − z z
 e´ triangular superior, calcule x+y+z.
Soluc¸a˜o:
Uma matriz quadrada e´ triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal
principal sa˜o iguais a zero. Logo a matriz dada e´ triangular superior se, e somente se,
x + y = 0
z − 2 = 0
y − z = 0
⇐⇒ x = −2, y = 2 e z = 2
Portanto, x + y + z = 2.
D2) Sabendo que a matriz

1 2x− 2 2y + z 0
0 2 2x + z 2z + 4y
x− y 0 3 2− 2x
z − 1 x− z 0 4
 e´ triangular inferior, cal-
cule x + y + z.
Soluc¸a˜o:
Uma matriz quadrada e´ triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal prin-
cipal sa˜o iguais a zero. Logo a matriz dada e´ triangular inferior se, e somente se,
2x− 2 = 0
2y + z = 0
2x + z = 0
2z + 4y = 0
2− 2x = 0
⇐⇒ x = 1, y = 1 e z = −2
Portanto, x + y + z = 0.
D3) Sabendo que a matriz
 4x 0 00 2y 2z − 4
y − 2x 0 −2z
 e´ escalar, calcule x + y + z.
Soluc¸a˜o:
Uma matriz quadrada e´ escalar se todos os elementos fora da diagonal principal sa˜o iguais
a zero e todos os elementos da diagonal principal sa˜o iguais. Logo a matriz dada e´ escalar se,
e somente se, 
2z − 4 = 0
y − 2x = 0
4x = 2y = −2z
⇐⇒ x = −1, y = −2 e z = 2
Portanto, x + y + z = −1.
D4) Sabendo que a matriz
 x y − 2z x− 1x− 4z y 4z − x
x− 2y y − 2z z
 e´ diagonal, calcule x + y + z.
Soluc¸a˜o:
Uma matriz quadrada e´ diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal sa˜o
iguais a zero. Logo a matriz dada e´ diagonal se, e somente se,
y − 2z = 0
x− 1 = 0
4z − x = 0
x− 4z = 0
x− 2y = 0
⇐⇒ x = 1, y = 1
2
e z =
1
4
Portanto, x + y + z =
7
4
.
Questa˜o E)
E1) Qual dentre as afirmativas abaixo e´ incorreta?
a) Se A for sime´trica enta˜o AT e´ sime´trica.
b) Se A for sime´trica enta˜o 5A e´ sime´trica.
c) Se A e B forem sime´tricas enta˜o A + B e´ sime´trica.
d) Se A e B forem sime´tricas enta˜o AB e´ sime´trica.
e) A + AT e´ sempre sime´trica para qualquer matriz quadrada A.
Soluc¸a˜o:
Lembre-se que uma matriz e´ sime´trica se for igual a` sua transposta.
a) Se A for sime´trica enta˜o AT e´ sime´trica.
VERDADEIRA: Se A for sime´trica enta˜o AT = A. Logo, usando a propriedade (t1) da pg.
21, (AT )T = A = AT . Portanto AT e´ sime´trica.
b) Se A for sime´trica enta˜o 5A e´ sime´trica.
VERDADEIRA: Se A for sime´trica enta˜o AT = A. Logo (5A)T = 5 · AT = 5A. Portanto
5A e´ sime´trica.
c) Se A e B forem sime´tricas enta˜o A + B e´ sime´trica.VERDADEIRA: Se A e B forem sime´tricas enta˜o AT = A e BT = B. Logo, usando a
propriedade (a5) da pg. 23, (A + B)T = AT + BT = A + B. Portanto A + B e´ sime´trica.
d) Se A e B forem sime´tricas enta˜o AB e´ sime´trica.
FALSA: Se A e B forem sime´tricas enta˜o AT = A e BT = B. Logo, usando a propriedade
(v) da pg. 33, (AB)T = BTAT = BA. Portanto, se BA for diferente de AB, isto e´, se A e
B na˜o comutarem, AB na˜o sera´ sime´trica. (Note que a afirmac¸a˜o correta enta˜o e´: Se A e B
forem sime´tricas e AB = BA enta˜o AB e´ sime´trica.)
e) A + AT e´ sempre sime´trica para qualquer matriz quadrada A.
VERDADEIRA: De fato, usando novamente as propriedades (a5) e (t1), temos que:
(A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A = A + AT .
E2) Considere as afirmac¸o˜es:
1. AB = BA para quaisquer matrizes n× n.
2. A + B = B + A para quaisquer matrizes n× n.
3. Se AB = O enta˜o A = O ou B = O.
4. Existem matrizes A e B tais que AB = BA.
5. Se A 6= O e AB = AC enta˜o B = C.
6. A(B + C) = AB + AC para quaisquer matrizes n× n.
7. Se A = O ou B = O enta˜o AB = O.
Quais sa˜o falsas e quais sa˜o verdadeiras?
Soluc¸a˜o:
1. AB = BA para quaisquer matrizes n× n.
FALSA: Ver exemplo 20 pa´gina 31 da apostila.
2. A + B = B + A para quaisquer matrizes n× n.
VERDADEIRA: Ver propriedade (a1) comutativa da adic¸a˜o, pa´gina 22 da apostila.
3. Se AB = O enta˜o A = O ou B = O.
FALSA: Ao contra´rio do produto de nu´meros reais, onde o produto de dois nu´meros
diferentes de zero e´ sempre diferente de zero, no conjunto das matrizes podemos ter
duas matrizes na˜o nulas cujo produto e´ a matriz nula. Por exemplo, sendo:
A =
[
1 2
2 4
]
e B =
[
4 6
−2 −3
]
enta˜o A 6= O e B 6= O mas:
AB =
[
1 2
2 4
]
·
[
4 6
−2 −3
]
=
[
1 · 4 + 2 · (−2) 1 · 6 + 2 · (−3)
2 · 4 + 4 · (−2) 2 · 6 + 4 · (−3)
]
=
[
0 0
0 0
]
.
4. Existem matrizes A e B tais que AB = BA.
VERDADEIRA: Apesar do produto de matrizes na˜o ser comutativo em geral, existem
alguns casos particulares em que as matrizes comutam, como pode ser visto no exemplo
21 da pa´gina 32 da apostila.
5. Se A 6= O e AB = AC enta˜o B = C.
FALSA: No conjunto das matrizes na˜o vale em geral a lei do cancelamento para o
produto. Por exemplo, sendo:
A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
1 2
3 4
]
e C =
[ −3 −4
5 7
]
enta˜o A 6= O e AB = AC. De fato:
AB =
[
1 2
2 4
]
·
[
1 2
3 4
]
=
[
1 · 1 + 2 · 3 1 · 2 + 2 · 4
2 · 1 + 4 · 3 2 · 2 + 4 · 4
]
=
[
7 10
14 20
]
,
AC =
[
1 2
2 4
]
·
[ −3 −4
5 7
]
=
[
1 · (−3) + 2 · 5 1 · (−4) + 2 · 7
2 · (−3) + 4 · 5 2 · (−4) + 4 · 7
]
=
[
7 10
14 20
]
.
Pore´m, B 6= C.
6. A(B + C) = AB + AC para quaisquer matrizes n× n.
VERDADEIRA: Ver propriedade (ii) distributiva, pa´gina 33 da apostila.
7. Se A = O ou B = O enta˜o AB = O.
VERDADEIRA: O produto da matriz nula por qualquer outra matriz resulta sempre
na matriz nula (supondo, e´ claro, que as ordens sa˜o adequadas para ser poss´ıvel o
produto). De forma intuitiva, se todas as entradas de uma das matrizes sa˜o nulas,
enta˜o todos os termos do produto das matrizes sera˜o nulos.
Para mostrar formalmente, suponhamos A a matriz nula m×p, isto e´, A = (aik) tal que
aik = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m e k = 1, 2, . . . , p e seja B = (bkj) uma matriz qualquer
p× n. Enta˜o, sendo a matriz produto AB = (cij), teremos, por definic¸a˜o, que:
cij =
p∑
k=1
aikbkj =
p∑
k=1
0 · bkj = 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n
Logo AB e´ a matriz nula. Demonstrac¸a˜o ana´loga vale se B for a matriz nula.