APOSTILA DE CÁLCULO APLICADO

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APOSTILA
 DE
CÁLCULO APLICADO 
 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
Esta figura representa a classe dos números.
Veja a seguir:
N  Naturais
“São todos os números positivos inclusive o zero”
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
“Não há números naturais negativos”
Z  Inteiros
“São todos os números positivos e negativos inclusive o
zero”
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
“Não há números inteiros em fração ou decimal”
Q  Racionais
“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de
zero”
Q = {..., , , ...}
I  Irracionais
“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não
negativas”
I = {..., , , , ...}
R  Reais
“É a união de todos os conjuntos numéricos,  todo número,
seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”
“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par”
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Adição
“Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma”
2 + 2 = 4
Parcelas Adição Soma
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Observe que as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.
 parcelas
8,049  soma
Subtração
“Na subtração os números são chamados de minuendo e subtraendo, sendo a operação a subtração, e o resultado é a diferença”
Subtração
3 (Minuendo) – 2 (Subtraendo) = 1 (Diferença)
Exemplos: “As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operação”
Multiplicação
“Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o resultado é o produto”
22 * 3 = 66
Fatores Multiplicação Produto
Exemplo:
7,32 * 12,5 = 91,500
Na multiplicação começa-se operar da direita para a esquerda.
Quando a multiplicação envolver números decimais (como no exemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas após a vírgula.
“Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo)”
Divisão
“Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente”
Divisão
7 / 4 = 1,75
Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
Exemplo:
Existe na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valore, veja no exemplo a seguir:
Para verificar se o resultado é verdadeiro basta substituir os valores na seguinte fórmula:
D = d * q + r 
 7 = 4* 1,75 + 0 
7=7
Exercícios
2,31 + 4,08 + 3,2 =
4,03 + 200 + 51,2 =
32,4 – 21,3 =
48 – 33,45 =
2,1 * 3,2 =
48,2 * 0,031 =
3,21 * 2,003 =
8,4708 / 3,62 =
682,29 / 0,513 =
2803,5 / 4450 =
(FUVEST)  =
0,041 * 21,32 * 401,05 
0,0281 / 0,432 
 
 NÚMEROS RELATIVOS
Definição: É o conjunto dos números positivos, negativos e o zero, que não possuem sinal.
Valor absoluto ou Módulo
“É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo, sendo representado pelo símbolo .”
Exemplos: 
Soma e subtração algébrica
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
Exemplos:
2 + 4 = 6
– 2 – 4 = – 6
5 – 3 = 2
– 5 + 3 = – 2
2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
– 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais resposta positiva
Sinais diferentes resposta negativa
I
Isto é:
Exemplos:
12 * 3 = 36
(-12) * (-3) = 36
2 * (-2) = -4
(-2) * 3 = -6
= 2
 = -4
 = 4
= -4
Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplo:	
2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
{ 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplos:
 30 = 2 * 3 * 5
 21 = 3 * 7
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.
Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.
Exemplo:
Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
m.m.c. (4; 3) = 12
m.m.c. (3; 5; 8) = 120
m.m.c. (8; 4) = 8
m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60
Exercícios
2 + 3 – 1 =
– 2 – 5 + 8 =
– 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
2 * (-3) =
(-2) * (-5) =
(-10) * (-1) =
(-1) * (-1) * (-2) =
 =
 =
 =
 =
 =
 =
 =
 =
0,5 * 0,4 : 0,2 =
0,6 : 0,03 * 0,05 =
5 : 10 =
3 : 81 * 0,5 =
Calcule o m.m.c. entre:
36 e 60
18, 20 e 30
12, 18 e 32
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as frações”
=0,5 =0,75 =0,25 =0,125  = 0,875
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: , , , etc.
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representa-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
 = 1 pois  possui resto 3
 = 5 pois  possui resto 3
 = 3
2 = 
-1 = -
Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
Divisão de frações
Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
Exercicíos
Simplifique:
POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8  2³ = 8
A= 2 n= 3 
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1  (- 1)4 = 1
CASOS PARTICULARES:
A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1 = A; 21 = 2
Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Realmente: 
Exemplo:
5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 .953 ,125
Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
Realmente: 
Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375
Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente: 
Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64
Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Realmente: 
Exemplo: 
Expoente nulo
Toda potência de base diferentede zero e expoente zero é igual a unidade.
Realmente: 
Exemplo: (- 5)0 = 1
Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
Realmente: 
Exemplo: 
Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
10-1 = 1 = 0,1
 101
10-2 = 1 = 0,01
 102
10-3 = 1 = 0,001
 103
10-4 = 1 = 0,0001
 104
..
10-n = 1 = 0,000...01
 10n
Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais.
Realmente: 
Exemplos:
0,001 = 10-3
0,002 = 2 * 10-3
0,00008 = 8 * 10-5
1,255 = 1255 * 10-3
2 * 10-3 = 0,002
Exercícios
1³ =
04 =
(- 2)³ =
(- 4)³ =
(- 2)4 =
(- 4)4 =
2³ * 25 =
3² * 3 * 35 =
35 : 34 =
34 : 3² * 35 =
24 * 54 =
(- 35) * (- 55) =
153 : 33 =
(- 46) : 26 =
(3³)2 =
(2³)5 =
3³2 =
[ (3³)² ]² =
(2 * 3)³ =
(3² * 5 * 2)4 =
=
=
=
(2 * 3²)0 =
4-2 =
2 * 3-1 =
 =
(2-3 * 5-2)-4 =
2x + 1 * 4x =
32x * 24x =
54x : 252x =
Exprimir, utilizando potências de 10:
20 000 =
4 800 000 =
0,01 =
0,000045 =
Efetuar, utilizando potência de 10:
 =
 =
RADICIACÃO
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência nreproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo 
Assim:
 porque 4² = 16
 porque 2³ = 8
 porque 34 = 81
Propriedade
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical.
Exemplos: Fatoração
Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
Exemplo:
Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
Exemplo:
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplos:
Exercícios
Efetuar:
 OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
5ax – 4b
ax² + bx + c
7a²b
Operações com expressões algébricas
I.Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
II.Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
III.Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
Produto da soma de dois termos por sua diferença:
(a + b) * (a – b) = a - b
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(1 - ) * (1 + ) = 1² - ()² = 1 – 3 = - 2
Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
Exemplos:
Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
Exercícios
Efetuar:
a)  =
b)  =
c)  =
d)  =
e)  =
f)  =
g)  =
h)  =
i)  =
j)  =
Fatorar:
15a² - 10ab =
3a²x – 6b²x + 12x =
Equação do 1º Grau
Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação).
Exemplos:
x + 2 = 7  x + 2 – 2 = 7 – 2  x = 5
x – 3 = 0  x – 3 + 3 = 0 + 3  x = 3
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as operações dos sinais (capítulo III – Números relativos):
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores.
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o 2º, efetuando as operações necessárias:
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também:
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais
Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas
A forma genérica de um sistema é:
 onde a, b, c, m, n, p  (Reais)
Equação a duas incógnitas: Uma equaçãoa duas incógnitas admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação2x – y = 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações. Por exemplo o sistema:
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
duas igualdades. (Verifique!)
Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema, são eles: Substituição, comparação e adição.
SUBSTITUIÇÃO
1º) Seja o sistema: 
2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1:
3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x:
6º) A solução do sistema é:
x = 1 e y = 2
COMPARAÇÃO
1º) Seja o sistema: 
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
 e 
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x):
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o valor de x:
6º) A solução do sistema é:
x = 3 e y = 4
ADIÇÃO
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incógnitas serem simétricos.
Exemplos:
a) 
Somando, membro a membro, vem:
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem:
b) 
Somando, membro a membro, vem:
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem:
Exercícios
Considere o problema:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
a . x² + b . x + c = 0
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a0).
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
Se tivermos b0 e c0 teremos uma equação completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
Resolvendo Equações de 2º Grau
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja:
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
a . x² = 0
Exemplo:
3 x² = 0  x² = 0  x = 0  S = {0}
2º caso: c = 0 e b  0; temos então:
a . x² + b . x = 0
Exemplo:
3 x² - 12 x = 0  x . (3 x – 12) = 0  x = 0 ou 3 x – 12 = 0  3 x = 12  x = 4  S = {0; 4}
3º caso: b = 0 e c  0; temos então:
a . x² + c = 0
Exemplo:
x² - 4 = 0  x² = 4  x =   x’ = 2 e x’’ = -2   S = {-2; 2}
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a igualdade:
A
fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja:
 > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
= 0 têm-se duas raízes reais e iguais
 < 0 têm-se duas raízes imaginárias
e
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de segundo grau visto que o x² seria anulado.
Exercícios
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
Prever a natureza das raízes das equações:
Determinar mentalmente as raízes das equações:
Resolver as seguintes equações:
Produtos Notáveis
1. Fator Comum
ab+ac–ad=a(b+c–d)
2. Soma de Dois Quadrados
a2+b2=(a+b)(a–b)
3. Quadrado da Soma
a2+2ab+b2=(a+b)2
4. Quadrado da Diferença
a2–2ab+b2=(a–b)2
5. Soma de Dois Cubos
a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
6. Diferença de Dois Cubos
a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
7. Cubo da Soma de Dois Termos
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
8. Cubo da Diferença de Dois Termos
a3–3a2b+3ab2–b3=(a–b)3
PORCENTAGEM - Cálculo com Números Percentuais
Os números percentuais sã o identificados pela notaçã o % e aparecem com muita freqü ência.
Para transformar um número percentual em um número real, devemos dividi-lo por 100.
70 % = 70 / 100 = 0,7
5 % = 5 / 100 = 0,05
200 % = 200 / 100 = 2
Para transformar um número real em um número percentual, devemos multiplica-lo por 100.
0,43 => 0,43 x 100 = 43 %
1 => 1 x 100 = 100 %
Exercícios:
a) Calcular 20 % de R$ 1.700,00
: R$ 340,00
b) Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 70,00.
R: R$ 73,50 
c) Um vestido estava exposto em uma loja com preço de etiqueta de R$ 210,00. Um cliente, alegando que faria pagamento à vista, solicitou um desconto de 15 % e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido ?
R: R$ 178,50 
d) Um funcionário recebe um salário base de R$ 800,00. Recebe um adicional de 5 % por tempo de serviço sobre o salário base. Recebe também uma gratificação de chefia de 30 % sobre o salário base. Desconta-se 10 % de INSS sobre o salário total. Quanto recebe esse funcionário ?
R: R$ 972,00
e) Uma pessoa recebe mensalmente R$ 2.500,00 de salário de uma empresa. Recebe R$ 1.500,00 de aluguel de um ponto comercial e R$ 1.000,00 de rendimento de aplicações financeiras. Qual a participação percentual de cada fonte em sua renda total ?
R: 50 % , 30 % , 20 %
Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal
	Medida de
	Grandeza
	Fator
	Múltiplos
	Unidade
	Submúltiplos
	Capacidade
	Litro
	10
	kl
	hl
	dal
	l
	dl
	cl
	ml
	Volume
	Metro Cúbico
	1000
	km3
	hm3
	dam3
	m3
	dm3
	cm3
	mm3
	Área
	Metro Quadrado
	100
	km2
	hm2
	dam2
	m2
	dm2
	cm2
	mm2
	Comprimento
	Metro
	10
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	Massa
	Grama
	10
	kg
	hg
	dag
	g
	dg
	cg
	mg
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
Áreas das figuras geométricas planas
Constantemente no estudo de gráficos, precisamos determinar a área compreendida entre a curva e o eixo-x. Daremos aqui as fórmulas, para o cálculo da área, das figuras mais utilizadas na Física.
Segmentos de reta e semi-retas
Lembramos que um segmento de reta orientado AB é um segmento de reta que tem início em A e final em B.
Uma semi-reta orientada AB é a parte de uma reta que tem início em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.
O conceito de ângulo
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.
A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).
Alguns ângulos especiais
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.
	Ângulo
	Características
	Gráfico
	agudo
	Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.
	
	reto
	Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
	
	obtuso
	É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
	
	raso
	Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.
	
Dois ângulos são denominados:
Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.
Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.
EXERCICIOS:
Determine os valores de x e y nas figuras a seguir:
 
Os ângulos 15x – 45 e 12x– 15 são opostos pelo vértice, portanto são iguais.
15x – 45 = 12x – 15
15x – 12x = 45 – 15
3x = 30
x = 10º
Os ângulos 15x – 45º e y são suplementares, isto é, a soma entre eles resulta em 180º.
15x – 45 + y = 180
15 * 10 – 45 + y = 180
150 – 45 + y = 180
105 + y = 180
y = 180 – 105
y = 75º
Calcule o valor de x na figura.
Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.
x + 40 + 3x + x – 10 = 90
5x + 30 = 90
5x = 90 – 30
5x = 60
x = 12
Dadas às retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s, calcule o valor de x:
 a) 51º
b) 35º
c) 90º
d) 50º
e) 45º
Os ângulos são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180º.
2x + 30 + x = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = 150/3
x = 50º
Resposta correta alternativa d.
4) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, cortadas por uma transversal t. Se a medida do ângulo α é o triplo da media do ângulo β, então a diferença α – β vale:
a) 90º
b) 85º
c) 80º
d) 75º
e) 60º
β: x
α: 3x
α + β = 180º
x + 3x = 180
4x = 180
x = 180 / 4
x = 45º
β: 45º
α: 135º
α – β → 135º – 45º → 90º
Resposta correta alternativa a
5) Analisando os ângulos da figura a seguir determine o valor da medida de x. 
 
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
e) 25º
A soma das medidas totalizam um ângulo de volta completa, correspondente a 360º.
6x + 40º + 85º + 4x + 13x + 5º = 360º
6x + 4x + 13x = 360 – 40 – 85 – 5
23x = 360 – 130
23x = 230
x = 230 / 23
x = 10º
Resposta correta alternativa b.
Ângulos consecutivos e adjacentes
Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
	
	
	
	AÔC e BÔC são consecutivos
OC é o lado comum
	AÔB e BÔC são consecutivos
OB é o lado comum
	AÔB e AÔC são consecutivos
OA é o lado comum
Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice
Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.
Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.
Ângulos congruentes
A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.
Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação  para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Em problemas reais, os ângulos nem sempre possuem medidas associadas a números inteiros, assim precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 minuto é 1' e a notação para 1 segundo é 1".
	Unidade de ângulo
	Número de subdivisões
	Notação
	1 ângulo reto
	90 graus
	90º
	1 grau
	60 minutos
	60'
	1 minuto
	60 segundos
	60"
Área
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato.
Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.
Retângulo
Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h).
A = b x h
Quadrado
No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de todos os lados é igual (l):
A = l x l ou A = l²
Paralelogramo
Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da altura (h).
A = b x h
Triângulo
No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou seja:
A = b x h / 2
Losango
Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:
A = D x d / 2
Trapézio
Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo.
A = [(B + b) x h] / 2
Círculo
Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2.
A = (pi) x r²
Perímetro
Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. Alguns casos valem ser ressaltados:
Retângulo
No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é:
P = 2 x b + 2 x h
1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):
	a)
	b)   
	c) 
	d) 
	
Resposta a:
Retângulo amarelo:
2*3 = 6
Retângulo verde:
2*6 = 12
Retângulo azul:
10*3 = 30
A soma de todos eles:
6 + 12 + 30 = 48cm²
Resposta b:
Área do triângulo:
(3*3)/2 = 4,5
Retângulo laranja:
4* (3+3) = 24
Retângulo rosa:
2*5 = 10
A soma de todas figuras:
4,5 + 24 + 10 = 38,5cm²
 Resposta c:
Área do trapézio:
(15 + 10) * 6/2
25*6/2 =
150/2 = 75
Área do retângulo:
8*2 = 16
75 + 16 = 91cm²
 Resposta d:
(20*15)/2 =
300 / 2 = 150cm²
2) Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48,6 cm. Qual é a medida de cada lado do hexágono? 48,6 : 6 = 8,1 cm
3) Um campo de futebol de formato retangular tem 100 metros de largura por 70 metros de comprimento. Antes de cada treino, os jogadores de um time dão cinco voltas e meia correndo ao redor do campo. Sendo assim, determine:
Quantos metros os jogadores correm ao dar uma volta completa no campo? 
 p = 100 + 100 + 70 + 70
 p = 200 + 140
 p = 340 m
Quantos metros eles percorremao dar as cinco voltas e meia ao redor do campo?
340 * 5 = 1700 metros. Para cinco voltas e meia, ele vai andar os 1700 metros e metade de uma volta (340 : 2 = 170). Basta somar 1700 +170: 1870 metros.
Se eles repetem essa corrida cinco vezes por semana, quantos metros os jogadores correm em uma semana?
Considerando que os jogadores correm 5 vezes por semana, se todos os dias eles correm 1870 metros, façamos 1870 * 5 = 9.350. Em uma semana, os jogadores correm 9.350 metros.
Sabe-se que o perímetro de um retângulo é 60 cm e o comprimento desse retângulo é de 22 cm. Defina a largura do retângulo.
p = 22 + x + 22 + x
60 = 44 + 2x
2x = 60 – 44
2x = 16
x = 16/2
x = 8,0 cm
Polícia Militar apreende mais de 3 kg de pasta base
de cocaína em Linhares Em uma mochila foram apreendidos 84 tabletes plastificados de cocaína e um tablete grande medindo 20 x 10 cm da mesma substância, totalizando cerca de 3 quilos de cocaína, e R$ 91,00 em espécie. Caso o tablete grande mencionado tenha o formato de um paralelepípedo reto retângulo com 6 cm de altura, o valor do volume total de cocaína desse tablete, em cm³, será de:
A) 400
B) 600
C) 800
D) 1.000
E) 1.200
 
O tablete possui 20 cm de comprimento, 10 cm de largura e 6 cm de altura.
Volume = 20 x 10 x 6 = 1200 cm³
Teorema de Pitágoras 
O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados.
Pitágoras disse:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens 
Razão
Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando a primeira com a segunda.
Definição: Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o quociente entre a e b:   ou a:b.
Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?
, mas , que são, todas, razões equivalentes. Primeiro, dividimos por 2, o menor número possível (com exceção do 0 e 1), e depois dividimos por 3, que era o mínimo possível que podíamos dividirs tanto o numerador, quanto o denominador.
Assim, podemos dizer que  ou a:b = 3:2
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dizermos que as razões  são iguais é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.
Propriedade fundamental da proporção
“O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos”.
Então, ao escrevermos, , dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.
Exemplos:
As razões  e  são iguais, logo determinam a proporção , então, 
Determine o valor de x na proporção: 
Pela relação fundamental, temos:   ⇒    ⇒    ⇒  
Números e grandezas proporcionais simples e compostas.
Você já parou pra pensar sobre o que é uma grandeza?
É tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como massa, peso, comprimento, tempo, temperatura, idade, preço etc.
Diretamente Proporcionais
Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.
	Quantidade de gasolina (em litros)
	Quantidade a pagar (em reais)
	1
	0,50
	2
	1,00
	3
	1,50
Observe:
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra.
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.
Duas grandezas são chamadas,  diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.
Duas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS quando, aumentando/diminuindo uma delas, a outra aumenta/diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. 
Inversamente Proporcionais
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores  alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá  12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.
Observe a tabela:
	Número de alunos escolhidos.
	Números de livros para cada aluno
	2
	12
	4
	6
	6
	4
 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais  quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.
 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. 
Duas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas inversamente proporcionais variam sempre na razão inversa da outra.
Regra de Três Simples
É um processo prático para resolver problemas através de proporções utilizando duas grandezas,...
Agora leia e analise a situação problema: 
Num dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e Paulo 180 cm. Sabendo que em um determinado horário, o comprimento da sombra de Paulo era 60 cm, qual o comprimento da sombra de Janete no mesmo horário? 
Como você resolveria este problema?
Levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na mesma coluna. Observe:
	Altura
	Sombra
	165
	X
	180
	60
O que você pode notar em relação às grandezas? 
Elas são diretamente proporcionais, pois à medida que a altura aumentar a sombra também irá aumentar na mesma proporção.
Logo, temos que:
Então, pela propriedade fundamental das proporções:
180X = 60.125
X = 55 cm
Outro exemplo:
Uma torneira enche um tanque em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se a torneira diminuir a vazão para 5l/min., quantos minutos serão necessários para encher o tanque?
De forma análoga ao exemplo anterior, vamos montar a tabela.
	Tempo (min.)
	Vazão (l/min.)
	20
	15
	X
	5
 
Note que a medida que a vazão diminui o tempo irá aumentar na mesma proporção, logo estas grandezas são inversamente proporcionais.
Para resolver este exercício, devemos inverter uma das razões da proporção. Assim:
Depois disso, aplicaremosa propriedade fundamental das proporções:
5.X= 20.15
X=60 min.
Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais.
De modo análogo a regra de três simples, a regra de três composta resolve situações-problema que envolvam mais que duas grandezas, dos mais variados tipos. Nós só conseguimos resolver estas situações-problema, se de duas em duas, as razões forem proporcionais (inversamente ou diretamente).
Importante: Compare cada grandeza com aquela que tem a variável.
Exemplo:
Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores são necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora? 
Da mesma forma que nos exemplos de regra de três simples, levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
	Pintores
	Área
	Tempo
	6
	300
	2
	X
	400
	1
Agora, analise as grandezas, duas a duas.
Primeiramente compare pintores com área. Se os 6 pintores pintam uma área de 300 m2, então, aumentando a quantidade da área para 400 m2, vamos precisar de mais pintores. Logo estas grandezas são diretamente proporcionais.
Vamos comparar agora, a grandeza pintores com a grandeza tempo, como fizemos anteriormente, com a grandeza área. 
É muito importante saber que a grandeza que tem a incógnita x é a que deve ser comparada com as outras grandezas.
Comparando, então...
Utilizando 6 pintores gastaremos 2 horas, para gastar uma hora de pintura precisaremos de mais pintores. Logo estas grandezas são inversamente proporcionais. 
Neste caso devemos:
Inverter os valores da razão onde as grandezas são inversamente proporcionais àquela que contém a incógnita e permanecer aquela que é diretamente proporcional. Assim:
Igualar a razão que tem o termo x com o produto das outras razões:
Assim, serão necessários 16 pintores...
Porcentagens
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito utilizada no nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdência, etc.
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva. 10% = 10010 ⇒ de cada 100 partes 10 foram perdidas.
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.
20% = 10020 ⇒ de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.
Taxa de Porcentagem (i)
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100
Exemplo: 1002 (razão − centesimal) = 0,02(taxa − unitária) = 2%(taxa − percentual) = i
1002 = 0,02 = 2% ⇒ (lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.
Porcentagem
Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido também recebe um nome especial: porcentagem.
P = i . p
P = Porcentagem
i = Taxa de porcentagem
p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal)
Exemplo (1) Quanto é 4% de 750.
Resolução:
i = 4% = 1004 = 0,04 p = 750
P = ?
P = i ⋅ p ⇒ 0,04 ⋅ 750 = 30
Podemos também usar regra de três simples. Veja:
	Taxa( porcentagem) Porcentagem
	
	
	100%
	
	750
	
	
	4%
	
	x
	
	
	100 =
	750
	⇒ 100 ⋅ x = 4 ⋅ 750 ⇒ x =
	3000
	∴ x = 30
	4
	x
	
	100
	
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse objeto? i = 15% = 10015 = 0,15
p = ?
P = 800
P = i ⋅ p ⇒ 800 = 0,15⋅ p ⇒ p = 0800,15 = R$ : 5333,33
Usando regra de três:
15% → 800 ou 15 = 800
100% → x	100	x
15 ⋅ x = 100 ⋅ 800 ⇒ x = 80000 ⇒ x = R$ : 5333,33 15
Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De quantos por cento foi a multa?
Resolução:
i = ?
p = 130
P = 1800,00
P = i ⋅ p ⇒ 130 = i ⋅1800 ⇒ i = 1800130 = 0,072 = 7,2%
Ou regra de três:
1800 → 100%
130 → x
1800x = 130 ⋅100% x = 7,2%