G4_exp3

Prévia do material em texto

1 
 
Brasília, 06 e 13 de abril de 2018 
Grupo 04: 
• Henrique Dimas de Souza Wey de Brito Matrícula: 17/0104869 
• João Pedro Monteiro Martino Martins Matrícula: 17/0106225 
• Pedro Siqueira de Andrade Matrícula: 17/0163806 
• Santiago Segovia Gonçalves Jayme Matrícula: 17/0176193 
• Wendel Araújo Pereira Matrícula: 15/0048505 
 
EXPERIMENTO 3: MOVIMENTO DO GIROSCÓPIO 
Objetivo: 
Compreender o movimento angular associado ao movimento de rotação, além 
de ter uma visualização experimental das direções de atuação das inúmeras 
grandezas vetoriais envolvidas no movimento do giroscópio. A primeira parte, 
qualitativa, visa, especificamente, proporcionar o contato real e análise concreta 
das forças estáticas e dos torques. Já a segunda parte, quantitativa, objetiva, 
especificamente, determinar o movimento de inércia no giroscópio por meio de 
dois métodos distintos: pela conservação de energia mecânica e pela relação entre 
momento angular (torque e precessão). 
 
1. Introdução Teórica: 
O giroscópio é um instrumento que visa analisar o movimento de rotação e 
translação na física. Ele é composto de um suporte e, em cima desse suporte, um 
eixo na horizontal. Em uma das extremidades do eixo, um disco está fixado e pode 
girar livremente em torno dele. Na outra extremidade existe um peso que pode 
transladar em torno do eixo horizontal. Esse peso tem como objetivo manter o 
sistema em equilíbrio. 
Na primeira parte do experimento, foi realizado um estudo qualitativo do 
movimento do giroscópio. Assim, era preciso relacionar as grandezas atuantes no 
movimento de rotação do instrumento. Essas grandezas são a velocidade angular, 
aceleração angular, momento angular e torque. Quando o giroscópio está 
submetido a um torque externo, temos: 
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 
 Onde 𝜏 é o torque, L é o momento angular e t é o tempo. Como 𝐿= 𝐼×𝜔, em 
que I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular, podemos reescrever a 
equação acima: 
 𝜏 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 e 𝜏 = 𝐼 × 𝛼 
Em que α é a aceleração angular do giroscópio. Observando as equações 
apresentadas acima, podemos concluir que, como o torque, a aceleração angular e 
a velocidade angular são grandezas vetoriais, essas grandezas irão possuir a 
mesma direção e sentido. Além disso, a partir dessas equações percebemos que, ao 
2 
 
se aplicar uma força em um eixo do giroscópio, geramos um torque. Esse torque 
gerado é capaz de variar o momento angular que, se esse variar, varia a 
velocidade angular também. Assim o sistema fica submetido a uma aceleração 
angular. 
Podemos provocar um movimento de precessão, que consiste na mudança do 
eixo de rotação de um objeto, no giroscópio ao colocarmos o disco para girar 
rapidamente e soltarmos o eixo horizontal a partir de uma inclinação. Feito isso, 
observamos que o eixo começa a girar. O torque é gerado pelo próprio peso do 
disco nessa situação. Se consideramos 𝜑 com o ângulo de precessão do giroscópio 
em torno do eixo vertical, temos: 
 |
𝑑𝐿
𝑑𝑡
| = 𝐿 ×
𝑑𝜑
𝑑𝑡
= 𝜏 = 𝑚 × 𝑔 × 𝑙 
Onde l é a distância de um peso pendurado no giroscópio e o ponto de apoio, e 
 Ω =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑚×𝑔×𝑙
𝐿
=
𝑚×𝑔×𝑙
𝐼×𝜔
 
Em que Ω é a velocidade angular de precessão. 
A parte quantitativa do experimento visa determinar o momento de inércia do 
giroscópio por meio de dois métodos distintos. No primeiro método obtemos o 
momento de inércia pela conservação de energia e no segundo, por meio do 
movimento de precessão. 
Momento de inércia é o grau de dificuldade de se alterar o movimento de um 
corpo em rotação. O momento de inércia depende do eixo de rotação em que a 
partícula está. Assim um objeto pode ter vários momentos de inércia dependendo 
do seu eixo de rotação. O momento de inércia é análogo à massa no movimento de 
rotação. 
Pra se determinar o momento de inércia pelo primeiro método, amarramos um 
peso de massa m em uma polia de raio “r”. A corda que prende o peso à polia é 
enrolada e, após isso, ela é liberada a uma altura h do chão. O peso pendurado 
acelerará o disco, gerando uma velocidade angular ω nele. Quando o peso estiver 
próximo de chocar-se com o chão, toda a energia potencial que o sistema possuía 
será transformada em energia cinética de translação do peso e energia cinética de 
rotação do disco. Assim temos: 
 𝑚 × 𝑔 × ℎ =
𝑚×𝑣2
2
+
𝐼×𝜔2
2
 
Onde g é a aceleração da gravidade local, v é a velocidade do peso antes de 
atingir o chão e I é o momento de inércia. 
Como o peso está preso a polia, a sua velocidade linear é igual a velocidade 
tangencial do disco, então 𝑣=𝜔×𝑟. A partir desse dado, temos: 
 𝑚 × 𝑔 × ℎ =
(𝐼+𝑚×𝑟2)×𝜔2
2
 
Como 𝜔=2𝜋𝑓 e 𝑓 =
1
𝑇
, podemos reescrever a equação acima em termos do 
período do disco T: 
 
1
𝑇2
=
𝑚×𝑔×ℎ
2𝜋2×(𝐼+𝑚×𝑟2)×𝜔2
 
O segundo método para se determinar o momento de inércia é analisando o 
movimento de precessão do giroscópio. A partir da equação Ω =
𝑚×𝑔×𝑙
𝐼×𝜔
 
3 
 
concluímos que a velocidade de precessão (Ω) é inversamente proporcional à 
velocidade angular (ω). 
Reescrevendo a equação da velocidade de precessão, temos: 
Ω × 𝜔 =
𝑔×𝑙
𝐼
× 𝑚 
Onde Ω×ω é uma constante. Podemos perceber que Ωω é igual ao torque 
produzido pelo peso do bloco dividido pelo momento de inércia e multiplicado 
pela massa. 
No experimento, medimos o período de precessão (Tp) e o período do disco 
(T) em segundos. Assim, consideramos Ω =
2𝜋
𝑇𝑝
 e 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 substituímos esses 
valores na equação acima, para obter variáveis em função de Tp e T. 
 
1
𝑇𝑝×𝑇
=
𝑔×𝑙
4𝜋2×𝐼
× 𝑚 
A equação acima estabelece que a razão 
1
𝑇𝑝×𝑇
 mantém uma relação linear com 
a massa do bloco pendurado no giroscópio. Assim, podemos determinar o 
momento de inércia (I) a partir do coeficiente angular referente a relação linear 
citada. 
2. Materiais: 
- Giroscópio de três eixos; 
- Motor elétrico para aceleração do disco; 
- Temporizador/ Contador para medida do período do disco; 
- Suporte para pesos; 
- 1 peso de 100g; 
- Cordão; 
- 4 pesos de 50g; 
- Trena com erro instrumental de 0,05 cm; 
- Conjunto de setas indicativas das grandezas vetoriais; 
- Balança digital com precisão de 0,1 g; 
‐ Cronômetro Digital. 
3. Procedimentos 
a) Análise qualitativa do movimento do giroscópio: 
Nessa parte inicial do experimento analisamos as direções das forças atuantes, 
dos torques, da velocidade angular, momento angular e velocidade angular de 
precessão presentes no sistema nas diversas situações, como por exemplo, no 
equilíbrio estático com o disco parado, com disco girando, com eixo horizontal 
sofrendo torque, girando o disco do giroscópio no sentido anti-horário e horário e 
tentando girá-lo na horizontal e na vertical e levantando o giroscópio pela base. 
b) Determinação do momento de inércia usando a lei da conservação de energia: 
O procedimento será medir o período do disco após um peso de massa “m” 
acelerar o disco caindo de uma altura “h”. 
4 
 
Iniciando o experimento, uma extremidade do cordão foi posicionada no pino 
situado na polia e a outra no suporte com um peso adicional de 400g. A seguir, 
girou-se o disco, enrolando o cordão até que o suporte esteja a 10 cm do chão. Já 
com o contador a postos para medir o período do disco, soltou-se o bloco e 
disparou-se o temporizador assim que este encontrou o chão. O mesmo foi 
feito subindo o suporte de 10 em 10 cm, até 80 cm.Mediu-se a massa total dependurada, o raio da polia e, após uma regressão linear 
do gráfico, determinou-se o momento de inércia do giroscópio. 
c) Determinação do momento de inércia usando a velocidade angular de precessão: 
Mediu-se o período do disco e o período de precessão para um dado torque 
aplicado. Medimos o tempo em que a precessão completa ¼ de volta e multiplicamos 
o resultado por quatro para assim ter o valor do período total. Giramos o disco do 
giroscópio na velocidade mais alta de rotação, segurando o seu eixo e dependurando 
no suporte diversos pesos. Mediu-se a velocidade de rotação antes de soltar o eixo do 
giroscópio, liberando-o em seguida para precessão. 
Um gráfico de 1/TxTp em função da massa foi feito, determinando o momento de 
inércia do disco a partir da regressão linear do mesmo. 
4. Dados experimentais 
 
A) Análise qualitativa do movimento do giroscópio: 
Os resultados estão presentes nas Tabelas 1 e 2, e a análise vetorial das 
grandezas envolvidas foi feita considerando o seguinte sistema de referência: 
 
 
Tabela 1: Giro do disco no sentido anti-horário (visto da extremidade 8) 
Força aplicada na 
extremidade 1 
Direção e sentido 
do Torque aplicado 
Direção e sentido 
da reação da 
extremidade 8 do 
giroscópio 
Direção de 
movimentação da 
extremidade do 
vetor 
+X +Z +Z +Z 
-X -Z -Z -Z 
+Z -X -X -X 
-Z +X +X +X 
5 
 
Gire o suporte 
central no sentido 
horário 
-Z -Z -Z 
Gire o suporte 
central no sentido 
anti-horário 
+z +z +z 
 
Tabela 2: Giro do disco no sentido horário (visto da extremidade 8) 
Força aplicada na 
extremidade 1 
Direção e sentido 
do Torque aplicado 
Direção e sentido 
da reação da 
extremidade 8 do 
giroscópio 
Direção de 
movimentação da 
extremidade do 
vetor 
+x +z -z +z 
-x -z +z -z 
+z -x +x -x 
-z +x -x +x 
Gire o suporte 
central no sentido 
horário 
-z +z +z 
Gire o suporte 
central no sentido 
anti-horário 
+z -z +z 
 
B) Determinação do momento de inércia usando a lei da conservação de energia a 
partir da lei da conservação da energia, tendo a equação a seguir como base: 
 
1
𝑇2
=
𝑚×𝑔×ℎ
2𝜋2×(𝐼+𝑚×𝑟2)×𝜔2
 
Na qual percebemos que é uma função da altura (h). 
-Massa do suporte com os pesos utilizados: 0,4216 ± 0,00001 kg 
-Raio da polia: 0,025 ± 0,0005 m 
 
Tabela 3: Valores da altura do suporte para os pesos ao chão e do inverso do 
quadrado do período do disco 
Altura (m) 1
𝑇𝑝
2 (ms) 
0,1±0,05 1,54e-6±3,82e-
10 
0,2±0,05 1,82e-6±4,89e-
10 
0,3±0,05 3,27e-6±1,18e-9 
0,4±0,05 5,35e-6±2,47e-9 
0,5±0,05 6,94e-6±3,65e-9 
0,6±0,05 8,63e-6±5,07e-9 
6 
 
0,7±0,05 10,51e-6±6,82e-
9 
0,8±0,05 12,06e-6±8,38e-
9 
 
O erro do inverso do quadrado do período do disco foi calculado a partir da 
fórmula ∆ (
1
𝑇𝑝
2) =
2∆𝑇
𝑇𝑝
3 com o ΔT = 0,1. 
Gráfico 1: 
 
 
C) Determinação do momento de inércia usando a velocidade angular de 
precessão. 
Esta etapa visa determinar o momento de inércia utilizando a velocidade 
angular de precessão (Ω =
𝑚×𝑔×𝑙
𝐼×𝜔
). Para tanto, adaptamos a fórmula citada de 
acordo com o que se consegue medir no experimento (período de precessão 
(Tp) e período do disco (T)), obtendo a seguinte equação: 
 
1
𝑇𝑝×𝑇
=
𝑔×𝑙
4𝜋2×𝐼
× 𝑚 
A fim de minimizar os efeitos do atrito existente no rolamento do disco, não 
medimos o tempo necessário para que a precessão realize 1 volta completa, mas 
1
4
 
de volta, corrigindo a diferença ao multiplicar o resultado por 4. 
7 
 
O experimento consistiu em girar o disco do giroscópio em alta velocidade de 
rotação (segurando seu eixo) e em seguida liberar o giroscópio para precessar, 
disparando o cronometro simultaneamente e parando-o ao completar 
1
4
 de volta. A 
velocidade de rotação do disco antes de soltar o eixo do giroscópio e o tempo 
medido no cronômetro foram anotados. Repetiu-se o procedimento acrescentado 
50g, 100g, 150g e 200g. 
A seguir, foi feito um gráfico de em função da massa com os dados da 
tabela 4, para então determinar o momento de inércia a partir do coeficiente 
angular de sua regressão linear. 
 
 
 
Tabela 4: Valores da massa do bloco, do período do disco (T) e do período de 
precessão do giroscópio (Tp). 
Massa (kg) T (ms) Tp (s) 
0,0613 115,8 57,44 
0,1104 78,5 41,44 
0,1602 93,6 25,68 
0,21 107,2 17,92 
 
Tabela 5: massa do bloco e inverso do produto dos períodos 
Massa (kg) 
1
𝑇×𝑇𝑝
(𝑠−2) 
0,0613±0,001 0,15±0,0001 
0,1104±0,001 0,31±0,0002 
0,1602±0,001 0,42±0,0003 
0,21±0,001 0,52±0,0003 
 
Gráfico 2: 
8 
 
 
 
5. Análise de Dados 
 
A) Análise qualitativa do movimento do giroscópio 
 
Diversas foram as situações analisadas com os procedimentos da parte qualitativa 
do movimento do giroscópio. As imagens a seguir ilustrarão o observado. 
No procedimento de equilibrar o sistema do giroscópio regulando-se a distância 
do contrapeso, houve a busca de uma igualdade nos torques feitos tanto pelo peso do 
disco quanto pelo do contrapeso. A soma desses pesos representa em módulo a força 
normal aplicada pelo anteparo, uma vez que o sistema também se mantém em repouso 
de translação. Desenho representativo das forças estáticas: 
 
9 
 
 
 
Depois de obtido o equilíbrio, colocou-se o ‘suporte para pesos’ sem pesos, na 
posição 1 e posteriormente na posição 8, havendo uma inversão no sentido e uma 
diminuição na intensidade do torque, uma vez que a posição 8 possui um braço de 
alavanca menor: 
 
 
 
10 
 
A imagem abaixo representa a direção da velocidade e do momento angular 
após o disco rotacionar no sentido anti-horário observando na posição indicada na 
foto: 
 
 
A partir dos resultados apresentados nas Tabelas 1 e 2 foi possível analisar o 
comportamento do movimento do giroscópio em função de forças externas aplicadas 
ao sistema. Verificou-se que as forças externas aplicadas ao giroscópio acarretaram 
torques sobre o sistema, alterando o movimento original. Observou-se também que 
os resultados dos torques são os iguais nas duas situações, confirmando que a 
direção e o sentido do torque realizado por uma força independem do sentido da 
velocidade angular do disco. Porém, a orientação da velocidade angular foi 
responsável por alterar a última coluna das tabelas. Em síntese, foi possível observar 
que o giroscópio varia a direção do seu momento angular na mesma direção do 
torque aplicado. 
Concluiu-se que quando a velocidade de rotação do disco diminuiu, aumentou 
sua velocidade de precessão. 
 
B) Análise do momento de inércia usando conservação de energia 
Feita a regressão linear, obtivemos a equação cujo coeficiente angular é 1,607. 
Se “B” for este coeficiente, pode-se visualizá-lo da seguinte forma: 5,89e-10 
 𝐵 =
𝑚×𝑔
2𝜋2×(𝐼+𝑚×𝑟2)×𝜔2
 
Isolando o momento de inércia I e considerando a gravidade (g) igual a 9,8 
m/s², a massa igual a 0,4216 kg e o raio da polia igual a 0,025 m segue: 
 𝐼 =
𝑚×𝑔
2𝜋2×𝐵
− 𝑚 × 𝑟2 = 13,025 ∙ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2 
O erro correspondente ao valor encontrado é dado por: 
 ∆𝐼 =
𝑚×𝑔
2𝜋2×𝐵
(
∆𝑚
𝑚
+
∆𝐵
𝐵
) + 𝑚 × 𝑟2 (
∆𝑚
𝑚
+
2∆𝑟
𝑟
) = 0,00003𝑘𝑔. 𝑚2 
11 
 
Sendo ∆𝐵 calculado também pela formula de propagação de erro da divisão de 
1/𝑇2
ℎ. 
 Logo, ao substituir os valores, obtemos ∆𝐼 igual a 10770 kg.𝑚2 
 Pode-se dizer que o valor medido nesta etapa foi próximo do valor teórico, 
calculado pela fórmula de momento de inércia de um cilindro maciço, sendo a 
densidade linear (µ) igual a 1,38×103, a espessura do disco (e) igual a 0,0290 m e 
o raio do disco (R) igual a 0,12 m: 
 𝐼 =
𝑀×𝑅2
2
=
𝜇×𝑉×𝑅2
2
=
𝜇×𝜋×𝑒×𝑅4
2
= 13,035 × 10−3𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 
A diferença, em termos percentuais, entre o valor medido e o valor teórico foi 
de aproximadamente 0,077% para mais, um resultado bastante satisfatório. 
 
 
 
C) Análise do momento de inércia usando a velocidade angular de precessão 
Considerando o valor de 0,016843 obtido do coeficiente angular, denominado 
“A”, (após dividir o encontrado no GRACE por 4), a gravidade (g) igual a 9,8 
m/s² e distância (l) igual a 0,2m, calculamos o momento de inércia: 
 𝐼 =
𝑔×𝑙
4𝜋2×𝐴
= 11,79 ∙ 10−3𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 
O erro correspondente ao valor encontrado é dado é dado por ∆𝐼 = 𝐼 (
∆𝐿
𝐿
+
∆𝐴
𝐴
) 
Logo, 𝛥𝐼 é igual a 0,00006 kg.m². 
A diferença percentual entre o valor medido e o valor teórico foi de 
aproximadamente 10,5% para menos, resultado também satisfatório. 
 
 
D) Cálculo do Momento de inércia 
 
O cálculo do momento de inércia, realizado no item B (no qual foram 
utilizados os dados da polia de alumínio), mostrou que o efeito seria mínimo caso 
a polia fosse fixada ao próprio disco de PVC, visto que os valores encontrados 
foram bastante próximos. 
 
E) Questões suplementares 
1) Primeiramente, o atrito no eixo vertical afeta o movimento de precessão. 
Depois, o atrito no eixo de rotação interfere no movimento de rotação do disco 
do giroscópio. Por fim, o atrito no eixo horizontal influencia na movimentação 
vertical do giroscópio. 
 
2) A partir da fórmula 𝑚 × 𝑔 × ℎ =
𝑚×𝑣2
2
+
𝐼×𝜔2
2
 observamos que a força de 
atrito está sendo desprezada. Contudo, se esta não for desprezível, a nova 
equação seria: 𝑚 × 𝑔 × ℎ =
𝑚×𝑣2
2
+
𝐼×𝜔2
2
− 𝑊(𝐹𝑎𝑡). 
12 
 
Uma vez que o atrito dificulta a rotação do disco, seu período aumenta, e, 
consequentemente, a parcela 
1
𝑇2
 diminui. Assim, sendo o eixo y representado por 
1
𝑇2
 e o eixo x por “h”, conclui-se que a presença do atrito acarreta uma inclinação 
menor na reta do gráfico. 
 
6. Conclusão 
 
Ao analisar o movimento de um giroscópio submetido a diversas situações, foi 
possível ratificar o que já era esperado por uma análise teórica verificando, assim, a 
consistência do experimento prático realizado. 
A parte quantitativa visava determinar o momento de inércia de duas maneiras 
diferentes e independentes e verificar se os valores são parecidos. Observando o valor 
calculado pela conservação de energia, temos que 𝐼 ≅ 13,025 ∙ 10−3±0,00003𝑘𝑔. 𝑚2. 
Olhando agora o valor achado pela análise do movimento de precessão, temos que. 
𝐼 ≅11,79 ∙ 10−3 ±0,0006 𝑘𝑔. 𝑚2 
. Observando os dois valores, conclui-se que eles são bem próximos e por isso, 
coerentes. 
Admitiu-se que as divergências entre os resultados obtidos estejam 
relacionadas a erros sistemáticos presentes durante o experimento. Além disso, 
considerar que a conservação da energia mecânica do sistema e do movimento de 
precessão realizado com velocidade uniforme seja verdadeira é uma utopia. Em 
ambas as situações descritas, as forças dissipativas foram responsáveis por alterar 
algumas medidas tomadas como absolutas. 
Dessa forma, concluímos, finalmente, que o procedimento do experimento em 
questão constituiu um meio consistente para a análise dinâmica e quantitativa do 
movimento de um giroscópio. 
 
 
7. Referências bibliográficas 
 
Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos de Físcia – Volume 2, 8ª edição, 2009.