74_Matematica_Financeira

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Matemática 
Financeira
Matemática 
Financeira
Maria Luiza Praxedes França
Sara Julliane Ribeiro Assunção 
Luiz Ricardo Mariano
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Revisão Ortográfica
França, Maria Luiza Praxedes 
F814m Matemática financeira. / Maria Luiza Praxedes , Sara Julliane Ribeiro Assunção , 
Luiz Ricardo Mariano – Aracaju: UNIT, 2017.
192 p. il.; 23 cm 
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7833-365-2 
1. Matemática. 2. Capitalização. 3. Operações financeiras. 4. Mercado brasileiro. I. 
Assunção, Sara Julliane Ribeiro. II. Mariano, Luiz Ricardo. III. Educação a Distância. 
IV. Título. 
 CDU: 51-7:336
Apresentaçãor
A Educação a Distância é uma modalidade de ensino e aprendizagem 
em que a mediação didático-pedagógica ocorre com a utilização de meios e 
tecnologias de informação e comunicação, com estudantes e professores de-
senvolvendo atividades educativas em lugares ou tempos diversos. Essa de-
finição está presente no Decreto 5.622, de 19.12.2005, que regulamenta o Art. 
80 da Lei 9.394/96 (LDB). Dessa forma, o aluno da disciplina Matemática Fi-
nanceira poderá aprender conceitos e aplicá-los de maneira prática na resolu-
ção de problemas no seu dia a dia. Além disso, servirá de subsídio na tomada 
de decisões tanto no âmbito pessoal como profissional. Veremos conteúdos 
como Sistema de Capitalização Simples e Composta; Principais Taxas de Ju-
ros; Descontos em Título de Crédito e Sistemas de Amortização de Crédito; 
Bons estudos!
SumÁrio
09 Parte1:Regimes de Capitalização
11 Tema 1: Regime de Capitalização Simples ou Linear
13 1.1 Conceitos Gerais e Princípios da Matemática 
Financeira 
24 1.2 Elementos Básicos da Capitalização Simples
36 1.3 Cálculo e Fórmulas dos Juros Simples
49 1.4 Equivalência de Capitais em Juros Simples
59
Tema 2:
Regime de Capitalização Composta ou 
Exponencial
61 2.1 Então, qual a diferença entre Capitalização 
 Simples e Capitalização Composta?
68 2.2 Cálculo e fórmulas com juros compostos
78 2.3 Taxas de Juros
88 2.4 Equivalência financeira a juros compostos 
Parte 2:
Operações financeiras realizadas no 
mercado Brasileiro
101
tema 3: 
Descontos de Títulos 103
3.1 Descontos Simples 105
3.2 Cálculo e fórmulas com Desconto Simples 114
3.3 Desconto Composto 125
3.4 Cálculo e fórmulas com Desconto Composto 132
tema 4: 
Uniformes, Empréstimos para capital de Giro e 
Sistemas de Amortização e Empréstimos
145
4.1 Classificação das séries. Valor Presente de 
Série Periódica Uniforme e Montante de Séries 
Periódica Uniforme
147
4.2 Cálculo da Taxa de Juros em Séries 
Periódicas Uniformes
158
4.3 Matemática Financeira e Empréstimos 
paraCapital de Giro
166
4.4 Sistemas de Amortização 177
ReferÊncias 190
Parte 1
Regimes de 
Capitalização
tema1
Regime de Capita-
lização Simples ou 
Linear
Sejam bem-vindos ao nosso estudo da Matemática 
Financeira. Você com certeza já ouviu falar nas diver-
sas aplicações existentes no mercado financeiro. En-
tão nesse tema iremos desenvolver os conceitos bási-
cos da Matemática financeira, tais como capitalização 
dos juros e como calcular os juros simples e os juros 
compostos, para que possamos entender melhor o al-
cance da disciplina. Então vamos lá!
1.1 
CONCEITOS GERAIS E PRINCÍPIOS DA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Diariamente utilizamos diversos elementos da Matemática Fi-
nanceira nas mais diversas situações. Ela está presente no dia a dia 
de todas as pessoas, como por exemplo: quando fazemos um credi-
ário para a compra de uma geladeira, um maquinário moderno para 
a empresa, um computador etc.; quando financiamos a compra da 
casa própria, da sede da empresa, do tão sonhado automóvel quando 
realizamos empréstimos, compras com cartão de crédito, aplicações 
financeiras, pagamentos antecipados de débitos, entre muitas outras 
situações. Ou seja, o campo de aplicação da Matemática Financeira é 
bastante amplo e os seus conceitos são utilizados em operações de 
financiamentos diversos, compras, pagamentos, aplicações e investi-
mentos de quaisquer naturezas.
A Matemática Financeira é extremamente útil no gerenciamen-
to dos negócios empresariais ou pessoais, pois além de permitir a 
análise e a comparação de operações financeiras, ela nos leva a tomar 
decisões mais vantajosas, como por exemplo, nas formas de paga-
mento exemplificadas abaixo:
Se eu lhe perguntasse: você prefere receber R$ 2.000,00 hoje, 
ou R$ 500,00 à vista e mais três parcelas mensais de mesmo valor? 
Naturalmente você optaria pelos R$ 2.000,00 hoje.
Agora, se a pergunta fosse: você prefere receber R$ 1.755,00 
hoje ou R$ 500,00 à vista mais três parcelas mensais de R$ 500,00? 
Certamente, que você ficaria em dúvida.
Ou ainda: você vai a uma loja comprar uma geladeira e o ven-
dedor diz que a geladeira custa R$ 1.500,00 e pode ser dividida, sem 
14 Matemática Financeira
aumento nenhum, em cinco pagamentos iguais de R$ 300,00. Entre-
tanto, ao questioná-lo quanto a geladeira custaria caso quisesse pagar 
á vista, ele diz que custaria R$ 1.200,00. Como você não possui todo o 
dinheiro, opta por pagar a prazo. Então surge a dúvida: existe ou não 
aumento de valor (juros) na hora que você parcelou a geladeira? 
Para responder de maneira que você 
não tenha prejuízo nessas transações fi-
nanceiras1 é necessário recorrer aos princí-
pios e conceitos da Matemática Financeira.
 Se você receber um certo valor hoje, no futuro, com certeza, 
não será mais igual , pois o dinheiro é remunerado ao longo do tempo. 
Da mesma forma, é claro que existem juros quando se parcela a com-
pra da geladeira, pois o seu preço é R$ 1.200,00 e não R$ 1.500,00 
como informado pelo vendedor. Na hora que você parcelou, pagou a 
mais R$ 300,00 do que o seu valor à vista.
Por que isso ocorre? Isso ocorre porque temos que pagar por 
tudo que tomamos posse e que não possuímos. Por exemplo, imagi-
ne-se de férias em uma bela cidade turística e você pretende alugar 
um carro, então você faz a locação de um dos veículos disponíveis; 
para isso você paga o “aluguel do carro”. O carro é o “bem” que você 
não possui e que precisa utilizar. Com o dinheiro é a mesma coisa. 
Você quer uma televisão que custa R$ 2.000,00 e não possui esse 
recurso. O que você faz? Vai à loja e propõe a compra em parcelas 
mensais que possibilite a compra do bem.
Destaforma , segundo ASSAF NETO (2012), a Matemática Fi-
nanceira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo 
do tempo, cujo objetivo é efetuar análises da movimentação do di-
nheiro em diferentes momentos. Os seus conceitos podem ser apli-
cados em várias áreas, a exemplo Marketing, Mercado, Administração, 
Economia.
Pode ser entendido 
como um evento con-
tratual de compra e/ou 
de venda.
01
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 15
Aqui é importante destacarmos que existem no mercado ferra-
mentas financeiras que auxiliam o cálculo na resolução dos proble-
mas, tornando assim a aplicação dos conteúdos mais prática. Em es-
pecial, temos a calculadora HP- 12 C e a planilha eletrônica Microsoft 
Excel. Quanto maior for o conhecimento acerca dessas ferramentas, 
maior será a facilidade para efetuar os cálculos. 
Entretanto, não podemos deixar de salientar que é necessário 
o domínio dos conceitos da Matemática Financeira, e por se tratar de 
conteúdo base de outras áreas, o entendimento a cerca de o “porque” 
está sendo realizados “tais cálculos nas ferramentas financeiras”, tor-
na-se imprescindível.
Dito isso, a partir daqui iremos estudar os elementos necessá-
rios que nos auxiliarão nas tomadas de decisões na área financeira, 
quer seja na vida pessoal ou profissional. 
DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
Conforme dito anteriormente, a matemática financeira preocu-
pa-se com o estudo da movimentação do dinheiro ao longo do tem-
po. Esse movimento do dinheiro é identificado temporalmente como 
entradas (quando ocorre aporte de dinheiro) e saídas (quando ocorre 
saída de dinheiro) de caixa , definido como fluxo de caixa.
O que é um Fluxo de Caixa? 
O fluxo de caixa é uma das ferramentas da Matemática Finan-
ceira que facilita a representação das operações financeiras realizadas 
pelas empresas ou pelas pessoas físicas 
Na Matemática Financeira, o fluxo de caixa refere-se ao fluxo do 
dinheiro no caixa da empresa, ou seja, ao montante de caixa recebido 
e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido. É 
16 Matemática Financeira
considerado uma maneira de representar graficamente ao longo do 
tempo uma série de entradas ou recebimentos de dinheiro, e saídas 
ou os pagamentos do dinheiro. Assim sendo, ele permite visualizar, no 
decorrer do tempo, o comportamento do dinheiro.
O fluxo de caixa pode ser representado através de um diagrama, 
conforme apresentado na figura a baixo:
Fonte: Autoria Própria 
 A linha horizontal representa o horizonte financeiro da opera-
ção, ou seja, o tempo da operação financeira, sendo que o ponto zero 
indica o momento inicial e os outros pontos representam os intervalos 
de tempo que podem ser expressos em ano, mês, dia etc.
Nos fluxos de caixa, em geral, a orientação das setas é arbitrária 
e relativa, isto é exige-se apenas sentidos contrários para operações 
inversas. Do ponto de vista contábil, as setas que ficam acima da li-
nha indicam que houve entrada de dinheiro e as setas que ficam para 
baixo da linha indicam que houve saída de dinheiro. Outra informação 
que pode ser expressa pelas setas é quanto a regularidade dos valo-
res recebidos ou pagos. Setas do mesmo tamanho indicam entrada e 
saída de valores semelhantes.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 17
Fonte: Autoria Própria 
O diagrama do fluxo de caixa acima representa um emprésti-
mo no valor de R$ 500,00 feito por uma determinada pessoa e que 
foi quitado em seis meses por uma série de pagamentos mensais no 
valor de R$ 100,00. Verifique que R$ 100,00 é valor da parcela de pa-
gamento e a seta está para baixo porque a pessoa pagou esse valor, 
ou seja, houve saída de dinheiro do caixa. Já os R$ 500,00 são o valor 
que foi creditado ao solicitante do empréstimo, sendo esse represen-
tado por uma seta para cima, ou seja, houve entrada de dinheiro.
A representação do fluxo de caixa varia conforme a ótica de 
quem o elabora:
Exemplo 1:
Desejando adquirir um novo automóvel para a frota da sua em-
presa, você tomou um empréstimo no Banco Viva Feliz no valor de 
R$ 60.000,00, que será pago ao longo de 5 anos, em parcelas anuais 
no valor de R$ 12.500,00. Como ficaria representado o fluxo de caixa 
para você?
18 Matemática Financeira
Fluxo de caixa sob seu ponto de vista
Fonte: (Autoria Própria )
Solução: observe que como estamos representando o flu-
xo de caixa segundo a ótica do cliente, que neste caso é você, os R$ 
60.000,00 (seta para cima) correspondem a uma entrada de dinheiro 
em caixa, enquanto que os pagamentos de R$ 12.500.00 (seta para 
baixo) realizados anualmente correspondem a saídas de dinheiro do 
caixa da empresa.
Entretanto, se esse mesmo fluxo de caixa fosse representado 
segundo a ótica do Banco Viva Feliz, ele ficaria conforme o diagrama 
a baixo:
Fluxo de caixa sob o ponto de vista do banco
Fonte: (Autoria Própria )
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 19
Observe que conforme essa perspectiva, os R$ 60.000,00 (seta 
para baixo) correspondem a uma saída de dinheiro do caixa do banco, 
enquanto que os pagamentos de R$ 12.500.00 (seta para cima) realiza-
dos anualmente correspondem a entradas de dinheiro no caixa do banco.
Exemplo 2:
Você entrou em um plano para a aquisição de uma moto zero 
quilômetro e deverá depositar hoje R$ 750,00 no Banco. Nos próxi-
mos cinco meses, a cada 30 dias a contar de hoje, você deverá depo-
sitar R$ 750,00 para que,ao final do sexto mês, o banco conceda-lhe 
uma carta de crédito no valor de R$ 5.000,00.Represente os diagra-
mas de fluxo de caixa sob o seu ponto de vista e do banco
Solução: Observe que temos duas situações:
Quando o fluxo de caixa é representado 
perante o seu ponto de vista, cada prestação 
no valor de R$ 750,00 está saindo de seu 
caixa, então a seta é para baixo, enquanto R$ 
5.000,00 é o valor futuro2 que você irá rece-
ber, a seta está para cima.
É o valor que pagare-
mos ou receberemos 
em uma data futura. É 
também denominado 
de montante ou valor 
nominal. Geralmente é 
representado por M ou 
FV (do inglês Future 
Value);
02
Fluxo de caixa sob seu ponto de vista
Fonte: Autoria Própria 
20 Matemática Financeira
Quando o fluxo de caixa é representado sob o ponto de vista do 
banco, cada prestação no valor de R$ 750,00 está entrando no caixa, 
então a seta está para cima. Enquanto que o valor de R$ 5.000,00 sai 
do banco, então a seta é para baixo. 
Fluxo de caixa sob o ponto de vista do banco
Fonte: Autoria Própria 
No exemplo citado a cima, observe que ao somarmos os valo-
res das prestações pagas pelo solicitante do empréstimo (100 x 5 me-
ses= 600) , o valor futuro (que neste caso refere-se ao somatório das 
parcelas) é maior do que o valor que foi emprestado. Essa diferença 
é decorrente da existência da taxa de Juros que pode ser entendida 
como um percentual aplicado sobre o capital fazendo com que ele ren-
da juros. 
Vamos avançar nos nossos estudos e entender melhor o que 
são Juros e Taxa de Juros. Vamos lá?
CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
O que é Capitalização? Capitalização é o processo como os ju-
ros se juntam ao capital e mostra como os juros vão se formando e se 
incorporando ao capital durante o tempo.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 21
Para o estudo de capitalização vamos adotar o conceito que os 
juros são cobrados sempre no final do período de acordo com a taxa 
considerada.
Os critérios de capitalização dos juros que iremos estudar são: 
simples (ou linear) e composto (ou exponencial). Nesse momento ve-
remos o regime de capitalização simples, e o regime composto ou ex-
ponencial será visto no tema II.
Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, os juros só incidem sobre 
o capital inicial sejade uma aplicação ou de um empréstimo. Os juros 
são calculados sobre o capital inicial da operação, ou seja, os juros do 
período anterior não se acumulam para calcular o juro atual. O regi-
me de capitalização cresce de forma linear ao longo do tempo como 
se fosse uma progressão aritmética (P.A.), isto é, os juros crescem de 
forma constante, conforme demonstrado na figura 7.
Fonte: Autoria Própria 
22 Matemática Financeira
Sistema de capitalização simples , onde um capital de R$ 
1000,00 foi aplicado por 24 meses a uma taxa de juros de 10% ao mês.
Considere que você tem R$ 1.000,00 e quer aplicar a 10% ao 
mês, durante 24 meses, no regime de capitalização simples:
No final de 1 mês, você terá : 1.000 + 10% (taxa de juros) x 1.000 
(capital inicial) = 1.000 + 100= 1.100,00
 No final de 2 meses 1.100 + 10% x 1.000 (capital inicial) = 1.100 
+ 100 = 1.200,00 
 No final de 24 meses= 3.300 + 10% x 1.000 (capital inicial) 
=3.300 + 100= 3.400,00
Observe que o juro é sobre o capital inicial (10% de 1.000,00 = 
100) em qualquer um dos períodos.
Como vimos, na Matemática Financeira, existem duas formas 
dos juros juntarem-se ao capital. Essas “formas” são chamadas de Ca-
pitalização, que podem ser Simples ou Composta. Veremos, no próxi-
mo conteúdo, alguns conceitos básicos da Capitalização Simples.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 23
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D MILONE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thompson 
Learning, 2006, p. 1-10.
Este autor apresenta uma ampla visão dos conceitos e princípios da 
matemática financeira. Além disso, apresenta diversos exercícios que 
poderão agregar mais conhecimentos em relação aos assuntos. 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 
10. ed. São Paulo: Atlas, 2009, p. 1 – 3.
Neste livro você poderá complementar seus estudos, especialmente 
em relação ao critério de capitalização simples.
 
PARA REFLETIR 
Considere que você foi a uma instituição financeira e adquiriu um 
plano para a aquisição de um veículo zero quilômetro, nas seguintes 
condições: depositar hoje R$ 3.000,00 e a cada 30 dias, a partir de 
hoje, depositar R$ 3.000,00 durante seis meses, para que, ao final do 
sétimo mês o banco lhe conceda uma carta de crédito no valor de R$ 
24.000,00. Como você representaria os diagramas de fluxo de caixa 
sob seu ponto de vista e sob o ponto de vista da instituição financeira?
 
24 Matemática Financeira
1.2
ELEMENTOS BÁSICOS DA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
No estudo da matemática financeira é imprescindível o conhe-
cimento e domínio de alguns conceitos.
CAPITAL é também denominado de principal, valor atual e valor 
presente, é o valor aplicado que dá origem a uma transação financei-
ra, ou seja, é qualquer valor disponível em moeda numa certa época, 
que é possível ceder a outro, temporariamente. Por exemplo, você só 
efetua depósitos na caderneta de poupança quando possui dinheiro 
disponível. O capital também pode ser denominado de principal, valor 
atual ou presente valor.
Podemos definir ainda capital, como o valor inicial, conhecido 
no começo de uma operação financeira. Enfim, será o valor que será 
aplicado, emprestado, investido, e que, com o passar do tempo, au-
mentará. 
JUROS: quem nunca ouviu falar de juros? Juros de cartões de 
crédito, de cheque especial, de atraso do pagamento da mensalidade 
da Universidade, da Poupança etc.
Desde os primeiros registros de civilizações que existe o conceito 
de juro. Naquela época, os agricultores adquiriam sementes para a sua 
plantação e pagavam com uma quantidade maior que correspondia ao 
juro do empréstimo, isto é, assim que o homem imaginou uma relação 
entre o dinheiro e o tempo, o conceito de juro se tornou presente.
Juro é uma recompensa paga ou recebida pelo dinheiro ao lon-
go do tempo, ou seja, é o valor referente ao atraso no pagamento de 
uma prestação ou a quantia paga ou recebida pelo empréstimo de 
um capital.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 25
Ao tomarmos um empréstimo numa instituição qualquer, a for-
ma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de juros3, isto é, o valor de quitação do em-
préstimo é superior ao valor inicial do mes-
mo. Essa diferença é chamada de juros.
Assim, quando os juros estão altos, os 
preços a vista são bem menores que os preços a prazo. Então, se você 
não possui o dinheiro para comprar a vista é melhor abrir uma poupan-
ça para guardar o dinheiro e desta forma conseguir comprar um bem.
Quando as instituições financeiras emprestam os recursos, 
avaliam vários fatores para definir a taxa de juros que vai remunerar 
os seus recursos, tais como:
 D O risco: é avaliada a situação financeira da empresa ou da 
pessoa física, o comportamento da mesma junto a institui-
ção, etc. e quanto mais arriscado for o investimento maiores 
são as taxas de juros.
 D As expectativas inflacionárias: é avaliada a previsão de ín-
dices de inflação que venha a desvalorizar o poder aquisitivo 
da moeda no prazo previsto do empréstimo.
 D Despesas: são avaliadas todas as despesas operacionais, 
contratuais e as despesas com tributos.
 D Ganho (ou lucro): é avaliado o tamanho do lucro, tendo em vis-
ta o tempo que a instituição financeira passará sem o dinheiro, 
muitas vezes podendo aplicar em outros investimentos.
 D Inflação: a inflação corrói o capital, pois provoca perda do poder 
de compra do capital. Isso faz com que, por exemplo, o mesmo 
capital possua menor volume de compras ao longo do tempo.
Os juros recebidos 
representam um rendi-
mento e os juros pagos 
representam um custo.
03
26 Matemática Financeira
TAXA DE JURO é o quociente entre o valor do juro recebido ou 
pago no final do prazo e o capital que foi aplicado,ou seja, corresponde 
ao valor do juro expresso como porcentagem de determinado capital. 
Ou melhor, é aquele percentual que a sua aplicação na caderneta de 
poupança rende no mês, ou ainda o percentual cobrado pelo banco 
quando você ultrapassa o limite do seu saldo e usa o cheque especial, 
ou é o percentual cobrado pela Universidade particular quando você 
atrasa a mensalidade etc. 
Normalmente, as taxas de juros referem-se a uma unidade de 
tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc), e podem ser expressas 
na forma percentual, ou unitária. 
Por exemplo:
 D 1% a.d (a.d. significa ao dia) - significa que durante uma apli-
cação (ou empréstimo) de um dia, o valor do juro é igual a 1% 
do capital.
 D 6 % a.a. (a.a. significa ao ano) - o que significa que durante 
uma aplicação (ou empréstimo) de um ano, o valor do juro é 
igual a 6% do capital.
 Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipula-
ção prévia de taxas de juros. 
Forma Percentual ou Centesimal: a taxa refere-se a cem unida-
des de capital durante determinado período de tempo. Por exemplo, 
quando ouvimos falar que a taxa é de 6%, estamos informando que 
existem 6 unidades de juros para cada 100 de capital.
Forma Unitária: a taxa refere-se a uma unidade do capital, du-
rante determinado período de tempo. Quando temos 0,06 como taxa 
unitária estamos dizendo que existem 6 centésimos de unidade de 
juros por uma de capital. 
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 27
Podemos transformar a taxa percentual em unitária e vice e 
versa. Para isso, basta simplesmente dividir a taxa dada em porcenta-
gem por 100 (de percentual para unitária).
Por exemplo, se 2% é a taxa percentual, então a taxa unitária 
equivale a : 2/100 = 0,02.
Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária 
por 100.
Exemplo: a taxa unitária é 0,02, então a taxa percentual é 0,02 
x 100 = 2%.
Embora os enunciados comumente informem a taxa percen-
tual, nas fórmulas de matemática financeira, TODOS os cálculos são 
efetuados utilizandoa taxa unitária de juros.
Taxa proporcional e Taxa equivalente
Qualquer operação financeira possui o prazo referente a taxa de 
juros e o prazo que ocorrem os juros.
Por exemplo: 
Quando tomamos um empréstimo, 
temos conhecimento da taxa de juros4 e 
notamos que os juros incidem sobre o ca-
pital sempre no final do período, isto é, o 
prazo informado na taxa é o mesmo dos 
juros.
Já no caso da caderneta de poupança, ela paga aos seus depo-
sitantes a taxa de juros de 6% a.a. No entanto, todo mês é pago um 
percentual proporcional de 0,5% ao mês. Observe que o prazo da taxa 
é ao ano e o prazo que ocorre os juros é ao mês.
A taxa em capitalização 
simples é sempre 
proporcional.
04
28 Matemática Financeira
 Mais na frente veremos que a resolução de qualquer problema 
em Matemática Financeira necessita que prazos diferentes estejam na 
mesma base do tempo, ou seja todos os prazos em dias ou todos os 
prazos em meses, ou semestre , ou ano, e etc.
Aqui é importante ressaltar que, em se tratando de juros sim-
ples, tanto faz falarmos em taxas proporcionais como em taxas equi-
valentes, pois elas são consideradas a mesma coisa.
Assim, duas ou mais taxas de juros simples se dizem (equiva-
lentes) proporcionais quando aplicadas a um mesmo capital e pelo 
mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.
Com isso, em juros simples, dada qualquer taxa, basta multipli-
car ou dividi-la pelo prazo para obtermos a taxa proporcional. 
Assim:
 D Taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por 30, (taxa 
dada é a diária e você quer a mensal).
 D Taxa mensal em diária, basta dividi-la por 30, (taxa dada é 
mensal e você quer é diária).
 D Taxa mensal em anual, basta multiplicá-la por 12,(taxa dada 
é mensal e você quer a anual).
 D Taxa anual em mensal, basta dividi-la por 12, (taxa dada é 
anual e você quer a mensal).etc.
Exemplos:
1- Calcular a taxa anual proporcional: 
a) 2% ao mês;
b) 3% ao trimestre.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 29
Solução:
 D i = 2% x 12 = 24% ao ano.(o ano tem doze meses ,então mul-
tiplicou-se a taxa por doze).
 D i = 3% x 4 = 12% ao ano (o ano possui 4 trimestres então 
multiplicou a taxa por 4).
2-Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: 
a) 13,20% ao ano;
b) 12% ao semestre; 
c) 5,6% ao quadrimestre.
Solução:
 D i=13,20%: 12 = 1,1% ao mês (o ano tem 12 meses então dividiu 
a taxa anual por 12, obtendo assim a taxa mensal)
 D i=12%: 6= 2% ao mês (o semestre tem 6 meses então dividiu 
a taxa por 6)
 D i=5,6%: 4=1,40% ao mês (o quadrimestre tem 4 meses, en-
tão dividiu a taxa por 4)
TEMPO: É o período que dura a transação financeira, pois toda e 
qualquer operação financeira deve prever a data de início e do término 
da operação. Esse período é expresso em unidade de tempo5 (dia, mês, 
bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).
Quando o prazo de uma operação fi-
nanceira é contado em número de dias, nas 
operações de juros simples, a contagem é 
feita da seguinte maneira:
 D Tempo comercial: é utilizado o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. Dessa maneira, o juro é considerado comercial ou 
ordinário;
A taxa de juros e o 
tempo devem estar 
expressos na mesma 
unidade de tempo.
05
30 Matemática Financeira
 D Tempo exato: é utilizado o ano civil (365) dias. O número 
de dias em cada mês pode ser: 28 (fevereiro), 30 (abril, ju-
nho, setembro e novembro) ou 31 (janeiro, março, maio, ju-
lho, agosto, outubro e dezembro). Ou 366 dias, se o ano for 
bissexto, quando fevereiro tem 29 dias. O juro é considerado 
exato.
Exemplo: Qual a taxa diária equivalente a 16,2% ao ano, se o ano 
não é bissexto?
Solução:
a) tempo comercial: 16,2: 360 =0,045% ao dia
b) tempo exato: 16,2: 365= 0,04438 % ao dia
Observe que o tempo comercial é um pouco superior ao tempo 
exato.
Determinação da data de vencimento e prazo das aplicações: 
contagem de dias entre duas datas. 
Para determinarmos a data de vencimento e o prazo da aplica-
ção, vamos usar uma tábua para contagem de dias entre duas datas 
que estão a disposição na figura 8. 
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 31
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 255 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 245 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 151 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
Tabela para contagem de dias entre duas datas
Fonte: Autoria própria. 
32 Matemática Financeira
Veja como devemos proceder:
Subtraímos do número de dias correspondente a data posterior, 
a quantidade de dias que indica a data anterior. Não podemos esque-
cer que, se o ano for bissexto, devemos aumentar uma unidade ao 
resultado. 
Exemplo 1- Quantos dias são corridos de 12 de fevereiro e 14 de 
julho do mesmo ano?
Utilizando as informações da tabela, basta subtrair o número de 
dias correspondente à data posterior e o número de dias da data an-
terior, não esquecendo que se o ano for bissexto vai acrescentar um 
ao resultado. 
Verificando na tabela, temos que 14 de julho (data posterior) 
corresponde a 195 dias e 12 de fevereiro (data anterior) corresponde a 
43 dias, então é só fazer a diferença.
Nº de dias da data posterior: +195 
Nº de dias da data anterior: - 43
Nº de dias corridos : 152 
Exemplo 2- Um empréstimo foi contratado no dia 26 de maio 
para ser liquidado em 90 dias. Qual a data de vencimento?
Neste caso não temos a data posterior, vamos determiná-la. 
Para isso, a denominamos (a data posterior) de uma variável (n). 
Verificamos que 26 de maio corresponde a 146 dias. E conhe-
cemos o número de dias corridos.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 33
Então : 
Nº de dias da data posterior: n
Nº de dias da data anterior: - 146
N º de dias corridos: 90
Temos a seguinte equação: 
n – 146 = 90, onde 
n = 90 + 146 = 
n= 236
Procurando 236 no corpo da tabela notamos que corresponde 
ao dia 24 de agosto.
MONTANTE: Capital acumulado depois de um determinado 
tempo no futuro, ou seja, é a soma do capital com os juros formado no 
final do prazo da operação financeira.
Pode ser denominado de valor nominal ou futuro valor.
As notações que iremos utilizar para os elementos básicos da 
Matemática Financeira serão:
C = Capital
n = número de períodos (dias, meses, anos ou simplesmente nº. 
de parcelas)
J = juros decorridos n períodos
r = taxa percentual de juros
i = taxa unitária de juros (i = r/100)
M = Montante de capitalização simples ou composta.34 Matemática Financeira
Exemplo: Você possuía R$1.000,00, investiu e recebeu R$ 
1.200,00. Então, temos que: 
1.000,00 R$ são o capital ou principal, ou seja, é o dinheiro que 
deu origem a transação financeira.
 1.200,00 R$ são o valor do resgate do investimento, o valor que 
você recebeu depois que aplicou o capital, que corresponde ao mon-
tante, e 200,00 R$ correspondem aos juros 
que é a diferença entre o que foi recebido 
(montante) e o que foi aplicado (capital).
Já a taxa de juros, que é6 a divisão 
entre os juros recebidos e o capital aplicado, 
pode ser expressa de duas formas: 
Taxa de juros unitária: 200/1000 = 0,2 
Taxa de juros percentual = 0,20 . 100 = 20%
Diante do entendimento e apropriação dos principais conceitos 
da Matemática Financeira e do Regime de Capitalização Simples, es-
tamos aptos à aplicação prática de tais conteúdos. Vejamos no próxi-
mo conteúdo como utilizar tais conceitos. 
Observe que existe 
diferença entre juros e 
taxa de juros. O juro é o 
acréscimo em dinheiro 
e a taxa de juros re-
presenta o quanto este 
acréscimo representou 
sobre o capital.
06
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 35
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D MILONE, Guiseppe. Matemática Financeira. São Paulo: Thomp-
son, 2006.
O autor, nesse livro, apresenta informações a respeito dos conceitos 
básicos da Matemática Financeira que poderão agregar mais conheci-
mentos em relação ao assunto. Páginas 1 a 21 
 D SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira. 5. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
Nesse livro, você pode complementar seus estudos, especialmente no 
tocante à taxa nominal efetiva e à taxa proporcional. Páginas 36 a 46.
PARA REFLETIR 
Considere que no dia 19 de julho de 2010 você foi a agência bancária 
que possui conta e efetuou um empréstimo no valor de R$ 1.500,00 
para ser pago em 90 dias um valor de R$ 2.000,00. Qual o valor do 
capital? Qual o valor do montante? Qual a data do vencimento do em-
préstimo?
36 Matemática Financeira
1.3
CÁLCULO E FÓRMULAS DOS JUROS SIMPLES
Já sabemos que o juro de cada período é sempre calculado sobre 
o valor principal, então vamos aplicar a taxa percentual ao valor prin-
cipal para saber o valor do juro em cada período. Com esse valor, para 
obter o valor do juro total é só multiplicar pela quantidade de períodos. 
Sendo C, o capital, aplicado pelo regime de juros simples, a uma 
determinada taxa i, durante um certo período de tempo n, teremos que:
Juros no 1º período: J = C x i
Juros no 2º período: J = C x i + C x i = ou J = (C x i )x 2
Juros no 3º período: J = C x i + C x i + C x i ou J = (C x i)x 3
Juros no nº período: J = C x i + C x i +... + C x i ou J =(C x i )x n
Assim, teremos a fórmula7 dos juros 
simples:
J = C x i x n
Onde J = juro, C = capital, i= taxa e n= tempo.
Sabendo que J= Cx i x n podemos determinar as fórmulas 
derivadas:
a) Cálculo do capital: 
b) Cálculo do tempo: 
Nas fórmulas de mate-
mática financeira todos 
os cálculos são efetua-
dos utilizando-se a taxa 
unitária de juros.
07
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 37
c) Cálculo da taxa: 
Aplicando as Equações: 
Exemplo 1 - Qual o juro simples obtido para um capital de R$ 
1.000,00 durante 5 meses a taxa de 5,5% ao mês?
Dados: 
C= R$ 1.000,00 
 n = 5 meses e
 i= 5,5% a.m : 100 = 0,055
J = ?
Atenção: só para lembrar que a taxa é unitária, ou seja, vai ser 
dividida por 100, como aprendemos no conteúdo II do tema 1, então:
Solução: 
J = C x i x n 
J= 1.000 x 0,055 x 5 =
J = R$ 275,00
Exemplo 2- André pagou ao Banco Cacique S/A a importân-
cia de R$ 2,70 de juros por dia de atraso sobre uma prestação de R$ 
540,00. Qual a taxa mensal de juros aplicada pelo banco?
 
38 Matemática Financeira
Dados:
Como o problema pediu a taxa mensal, é só multiplicar por 30. 
Assim, i= 15% ao mês.
Exemplo 3 - Para abrir um pequeno negócio, uma pessoa reali-
zou um empréstimo a uma taxa de juros simples de 1% a.m. no Banco 
da Felicidade. Sabendo-se que a duração da transação será de 6 se-
mestres, e que o juro a ser pago para pagar o empréstimo é de R$ 
1.800,00, calcule o valor que a pessoa recebeu. 
Observe que a taxa de juros e o período não estão na mesma 
unidade de tempo. Quando isso acontece, devemos converter uma 
das unidades. 
Convertendo o tempo 6 semestres para mês, como o semestre 
tem 6 meses,então 6 semestres corresponde a 6 x 6 = 36 meses.
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 39
Dados:
i = 1% a.m.= 1/100 = 0,01
n = 36 meses
J = 1.800,00 
C= ?
Solução:
MONTANTE: CALCULO E EQUAÇÃO
Já sabemos que montante é a soma do capital mais os juros, ou 
seja, o valor total de toda transação financeira. Então:
M= C + J
Como J = C x i x n
Fazemos a substituição do J na fórmula, assim: 
M = C + Cx i x n, e aí teremos
M = C (1 + in)
Onde o termo (1 + in) é o fator de acumulação de capitalização 
simples.
40 Matemática Financeira
Partindo do montante chegamos às fórmulas derivadas
Calculo do capital (C):
Calculo do tempo(n):
Calculo da taxa (i)
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 41
Exemplo 1: Imagine que você tome emprestado, a juro simples, 
a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 4% 
ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido 
este período de tempo? Qual o montante a ser pago?
C= 5.000,00
n = 3
i= 4% a.m =0,04% a.m.
O valor do juro em cada período é : 5.000,00 x 0,04 = 200,00
Então, no final de 3 meses, teremos:
J= 5.000,00 x 0,04 x 3 =600,00
O montante será : 5.000,00 + 600,00 = 5.600,00
Ou pela fórmula: M = C(1 + in)
M= 5.000(1 + 0,04x3)
M=5.000( 1 + 0,12)
M=5000 x 1,12
M= 5.600,00
Ou seja, tomaríamos R$ 5.000,00 e pagaríamos R$ 5.600,00. 
Seiscentos reais de juros e mais 5.000,00 referentes ao valor principal.
Exemplo 2: O Sr. Abmael recebeu R$ 5.000,00 de juros, por 
um empréstimo de 10 dias. A taxa de juros aplicada foi de 7,5% a.m. 
Quanto o Sr. Abmael havia emprestado? 
Atenção: A taxa de juros e o período não estão na mesma unidade 
de tempo. Quando isso acontece, devemos converter uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 0,075 ao 
mês corresponde a 30 dias, 10 dias corresponde a quanto?
42 Matemática Financeira
0,075 ------------------- 30 
 X ---------------------10 
 
Temos os dados disponíveis: 
Portanto: O Sr. Abmael havia emprestado R$ 200.000,00, pelo 
qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 7,5% a.m. pelo período 
de 10 dias. 
Exemplo 3: Calcular os juros e o montante de um empréstimo 
de R$3.000,00 com prazo de 72 dias, a taxa de 10% a.a. Efetuar o cál-
culo para o ano civil e o ano comercial.
Solução: ( ano comercial)
Dados: 
C = 3.000,00
i = 10% a.a = 10/100 = 0,1 a.a
n= 72 dias
M= ?
J= ?
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 43
Na situação temos que colocar n e i na mesma unidade. Observe 
que n está em dias e i está em anos, então vamos expressar n em anos.
Como o ano comercial possui 360 dias,temos que:
N=72/360
n = 0,2
Calculando os juros temos que:
J= C x i x n
J=3.000,00 x 0,1 x 0,2
J= 60,00
Calculando o montante:
M = C + J
M= 3.000,00 + 60,00
M= 3.060,00
Solução: ( ano civil)
N= 72/365 = 0,1973
J=3.000,00 x 0,1 x 0,1973
J = 59,19
Exemplo 4: Em quanto tempo triplica um capital a taxa simples 
de 10% ao ano?
Dados:
M = 3C
i = 10% a.a = 10/100 = 0,10
Solução:
Veja que dado um capital C para que ele triplique o montante 
será igual três vezes o capital. Logo:
44 Matemática Financeira
M = C(i + in)
3C = C ( 1+ 0,10 x n)
Dividindo a expressão por C,temos:
3 = 1(1 + 0,10n)
3= 1 + 0,10
3-1 = 0,10n
2 = 0,10n
n= 20 
São necessários 20 anos para queum capital triplique a taxa 
simples de 10% a.a. 
CAPITAL, TAXA E PRAZOS MÉDIOS
São operações utilizadas quando queremos conhecer o capital 
médio, a taxa média ou o prazo médio que irão substituir vários títulos 
com capitais, taxas e prazos diferentes.
Capital Médio: quando existem vários títulos, o capital médio é 
a média aritmética ponderada dos capitais. O tempo é o peso ou fator 
de ponderação. O capital médio não depende da taxa de juros e vamos 
considerar que ela é a mesma para todas as aplicações.
Considere o exemplo:
Três meses atrás tomei num mesmo dia e ao mesmo credor 
os seguintes empréstimos: R$ 5.000,00 para 6 meses, R$ 3.000,00 
para 8 meses e R$ 2.500,00 para 10 meses. Sabendo que a taxa de 
juros simples da operação é de 10% a.m, qual o capital médio dessa 
transação?
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 45
Solução:
Prazo médio: É a média aritmética ponderada dos prazos rela-
cionados, sendo o capital o fator de ponderação ou peso. Como o ca-
pital médio, vamos considerar a mesma taxa para todas as aplicações.
 Para o cálculo do prazo médio, temos:
Considerando o mesmo exemplo dado anterior, o prazo médio 
dos três títulos será:
46 Matemática Financeira
Solução:
Como o prazo é em dias,fazemos:
1 mês .......................... 30 dias
7,52 ....................... x dias
x = 7,52x30 = 226 dias
O prazo médio é de aproximadamente 226 dias
Taxa média: É a média aritmética ponderada das taxas relacio-
nadas, sendo o capital o fator de ponderação ou peso, vamos conside-
rar o mesmo prazo para todas as aplicações.
 
Exemplo: Eu devo R$ 5.000,00 a 10% a.a.,R$ 3.000,00 a 11%a.a 
e R$2.500,00 a 12% a.a.Calcular a taxa média de juros dos títulos é:
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 47
Solução:
A taxa média é de 10,76%.
Como vimos, o capital é remunerado através do tempo. Portan-
to, um capital hoje, não é igual a um capital daqui a 12 meses, ou 24 
meses. Dessa forma, não é possível comparar capitais em datas dife-
rentes. Para que essa comparação seja possível, é necessário trazer os 
capitais para mesma data. É sobre essa movimentação do capital no 
tempo para comparação, que veremos a seguir.
48 Matemática Financeira
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplicações. 
10. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
No livro, o autor aplica, de maneira prática, através de vários exercí-
cios resolvidos, os conteúdos vistos nesse tema, que poderão facilitar 
a sua aprendizagem a cerca do conteúdo aqui exposto. Páginas 7 a 10 
para leitura. 
 D MILONE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son, 2006.
O autor trabalha de maneira minuciosa os conteúdos de capital, taxa e 
tempo médios, que você pode utilizar para complementar seus estu-
dos. Páginas 24 a 37 para leitura.
PARA REFLETIR 
Considere que você abriu uma poupança e que depois de três meses 
e meio, aplicada a juros simples, passou a ter R$ 7.800,00. O gerente 
mostrou que se você deixasse o dinheiro aplicado, daqui a cinco me-
ses e meio você teria R$ 10.000,00. Qual foi o valor que a poupança foi 
aberta? Qual a taxa de juros anual paga pelo banco?
 
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 49
1.4
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS SIMPLES
A equivalência de capitais consis-
te em focar numa data no fluxo de caixa e 
calcular um valor atual ou um valor futuro, 
de maneira que os valores possam ser com-
parados em uma mesma data. Essa data é 
chamada data focal8.
Dois ou mais capitais são equivalentes 
quando se encontram em datas diferentes e 
são transportados para uma data única apresentando o mesmo valor, 
ou seja, é a substituição de um conjunto de títulos em datas diferentes 
por apenas um título em uma determinada data.
Em juros simples, capitais equivalentes em determinada época 
não são iguais em outra época ou data. Ou seja, quando é trocada a 
data focal, o valor do capital sofre alteração. Isso acontece porque em 
juros simples o cálculo é efetuado de forma linear, ou seja, o capital 
depende do tempo. Veremos, no capítulo de juros compostos que a 
equivalência não altera quando mudamos a data focal.
Vamos entender melhor o conceito de equivalência financeira 
em juros simples. Veja o seguinte problema:
Suponha que você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 
1.000,00, que se encontra aplicado, em um banco, à taxa de juros sim-
ples de 9% a.m. O banco lhe oferece duas opções para retirar o dinheiro:
1a) você retira R$ 1.000,00 hoje;
2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 1.270,00 dentro 
de 3 meses;.
Data focal: é uma 
data específica de um 
determinado período 
de tempo, podendo ser: 
passado; presente ou 
futuro. Quando a data 
focal não está expressa, 
presumimos que seja a 
data zero.
08
50 Matemática Financeira
Qual das propostas é a mais vantajosa?
Observe que os capitais de R$1.000,00 e R$ 1.270,00 estão em 
datas diferentes e só podemos comparar os capitais na mesma data.
Escolhendo a data de hoje, que será a data focal (igual a data 
zero) vamos determinar a equivalência desses capitais na data de hoje.
O capital de R$ 1.000,00 que corresponde a 1ª opção já se en-
contra na data de hoje 
Vamos calcular o valor correspondente na data de hoje (data 
zero) de R$ 1.270,00:
Já sabemos que M = C(1 + in), então teremos que:
Verifique que os dois capitais têm valores atuais idênticos na 
data focal considerada (data zero). 
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 51
Dizemos então que eles são equivalentes, ou seja, tanto faz re-
ceber R$ 1.000,00 hoje, ou R$ 1.270,00 daqui a 3 meses, quando a 
taxa de juros for de 9% ao mês.
Se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o mês 
4, veja o que acontece:
Ao capital R$ 1.270,00, resgatável na data 4, será acrescentado 
um mês de juros. Ou seja, calculamos o montante:
M = C(1+in) 
M= 1.270(1 + 0,09 x 1) 
M=R$ 1.384,30
O capital R$ 1.000,00 (resgatável na data zero) será acrescenta-
do quatro meses de juros, ou seja, calculamos o montante:
M = C (1 + in) 
M= 1.000 (1 + 0,09x4)
M = 1.360,00
Considerando o mês 4, observamos 
que os capitais nominais R$ 1.000,00 e R$ 
1.270,00 estarão valendo, respectivamente, 
R$ 1.384,30 e R$ 1.360,00. Na data focal9 4, 
portanto, eles não serão mais equivalentes.
Observe que, quando transportarmos um capital para uma data 
posterior à original acrescentamos os juros, ou seja, calculamos o 
montante. A esse processo dá-se o nome de capitalização.
Quando transportarmos um capital para uma data anterior à ori-
ginal, retiramos os juros, ou seja, calculamos o valor atual (o capital). A 
esse processo, dá-se o nome de descapitalização. 
Ao mudarmos a data 
focal, na capitalização 
simples, os capitais que 
antes eram equivalentes 
podem acontecer de 
deixar de ser.
09
52 Matemática Financeira
Exemplo 1- Considere um título com valor nominal de R$ 
2.500,00 que vence em 90 dias, com a taxa de juros de 12% ao mês. 
Calcule o valor desse título hoje e em mês após o vencimento.
Solução: 
De acordo com a data focal escolhida, o capital poderá ser movi-
mentado para frente ou para trás com relação à reta (linha financeira do 
tempo). Quando o capital for movimentado para frente iremos calcular o 
montante, isto é, estamos capitalizando o capital (ou seja, acrescentando 
os juros). Quando o capital for movimentado para trás, iremos calcular o 
valor atual, isto é, estamos descapitalizando-o (retirando os juros).
Calculando o valor do título hoje.
Como o valor de R$ 2.500,00 vence em 90 dias, para calcular o 
valor hoje vamos retirar os juros, ou seja, descapitalizá-lo e calcular o 
valor atual ou capital. 
Colocando taxa e tempo na mesma unidade:
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ouLinear 53
Então os capitais de R$ 2.500,00 e R $ 1.838,23 são equivalen-
tes á taxa de 12% ao mês. Desta forma, mostramos que é indiferente a 
essa taxa, você receber ou pagar R$ 2.500,00 daqui a 90 dias ou você 
receber ou pagar R$ 1.838,23 hoje.
Agora vamos calcular o valor do título após 1 mês de vencimento.
O valor de R$ 2.500,00 vence em 90 dias, para calcular o va-
lor correspondente a um mês após o vencimento vamos adicionar os 
juros, ou seja, capitalizá-lo e calcular o valor do montante M. Então 
teremos os seguintes dados :
C= 2.500,00
n= 1 mês
i= 12% = 12/100 = 0,12 ao mês
M= C(1 + in)
M = 2.500( 1 + 0,12 x 1)
M= 2.500( 1 + 0,12)
M=2.500 x 1,12
M = 2.800,00
Então os capitais de R$ 2.500,00 e R $ 2.800,00 são equiva-
lentes a taxa de 12% ao mês. Desta forma, é indiferente a esta taxa, 
você receber ou pagar R$ 2.500,00 daqui a 90 dias ou você receber 
ou pagar R$ 2.800,00 um mês após, ou seja , daqui a 120 dias.
Exemplo 2- Comprei uma geladeira nas seguintes condições: 
R$ 500,00 para pagamento com 30 dias, mais duas prestações de 
R$ 450,00 para 60 e 90 dias. Sabendo que a taxa de juros cobrada 
na operação foi de 3% a.m. Qual o valor se eu quisesse quitar minha 
divida hoje?
54 Matemática Financeira
Solução: 
A data focal solicitada é a de hoje, ou seja, data zero, então o 
valor hoje das três obrigações é a soma dos seus valores presentes.
Como o tempo se encontra em dias e a taxa em meses, é neces-
sário deixar na mesma unidade de tempo. Então transformamos 30 
dias em 1 mês, 60 dias em 2 meses e 90 dias 3 meses.
Lembramos também que a taxa é unitária, ou seja, é 3/100 = 
0,03 ao mês.
Vimos nesse Tema noções básicas sobre matemática financei-
ra, além dos conceitos e aplicação prática do regime de capitalização 
simples. Agora, no próximo tema, veremos o regime de capitalização 
composto e as suas semelhanças e disparidades como o regime de 
capitalização simples. 
Tema 1
Regime de Capitalização 
Simples ou Linear 55
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 10 ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
No livro, o autor faz a aplicação prática dos conteúdos trabalhados 
nesse tema, o que poderá facilitar a sua aprendizagem. Paginas 10 a 
14 para leitura. 
 D SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2007.
O autor trabalha de maneira minuciosa os conteúdos vistos nesse 
tema, que você pode utilizar para complementar seus estudos. Pági-
nas 7 a 9.
 
 
PARA REFLETIR 
Diante da situação problema a seguir, indique como serão realizados 
os cálculos do saldo devedor: Maria foi ao banco e contratou um em-
préstimo em 6 pagamentos iguais mensais, vencendo a primeira de 
hoje a 30 dias. Maria efetuou o primeiro pagamento e infelizmente foi 
demitida do emprego e atrasou três prestações. Quando iria vencer a 
quarta prestação, Maria procurou o banco para renegociar sua dívi-
da, pois precisava saber quanto devia ao banco naquela data. Como o 
banco procederá para efetuar os cálculos? Reflita sobre essa situação. 
56 Matemática Financeira
RESUMO 
Finalizamos o tema I e vimos que a Matemática Financeira é essencial 
para tomada de decisões tanto nas empresas como na vida pessoal. 
Vimos também os elementos básicos para o entendimento e cálculo 
dos juros simples, tais como juros, capital e montante, taxa de juro, 
juro exato e juro comercial, taxas proporcionais e equivalentes etc.
 Além disso, aprendemos que o Regime de capitalização é a forma em 
que se verifica o crescimento do capital, podendo ser Simples (onde 
os juros produzidos no final de cada período têm sempre como base 
de cálculo o capital inicial), usado somente em operações de curtíssi-
mo prazo; ou composto. Vimos também que o diagrama de fluxo de 
caixa é uma ferramenta importante para representar graficamente as 
entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.
Por fim, aprendemos que para juros simples, a equivalência entre dois 
ou mais capitais somente se verifica em uma determinada taxa, para 
uma determinada data focal.
 
Anotações
tema 2
Regime de 
Capitalização 
Composta ou 
Exponencial
No tema anterior, conhecemos o regime de capitalização 
simples, através de conceitos e fórmulas que nos levaram 
ao cálculo de vários elementos de capitalização. Agora, no 
segundo tema, iremos estudar a capitalização composta e 
avaliar a diferença entre os dois tipos de capitalização.
2.1
ENTÃO, QUAL A DIFERENÇA ENTRE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA?
Vimos que na capitalização simples o cálculo dos juros incide 
somente sobre o capital inicial, isto é, os juros do período anterior não 
se juntam ao capital aplicado para formar uma nova base onde vão 
incidir novos juros. Por esse motivo, a aplicação desse tipo de capita-
lização é muito limitada.
Por sua vez, na capitalização composta o processo é diferente. 
Vejamos um exemplo:
Quando você abre uma caderneta de poupança, você deposita 
o dinheiro hoje e no final do mês a sua conta já possui o dinheiro que 
você depositou mais a remuneração do dinheiro, que é o juro decor-
rente daquele período, ou seja, você possui um montante. Mesmo que 
você não deposite nada na caderneta de poupança naquele mês, o seu 
dinheiro continua sendo remunerado sobre o montante que você tem 
no final de cada mês, e assim sucessivamente. A todo esse processo 
gerado na sua caderneta de poupança, chamamos de capitalização 
composta.
No regime de capitalização composta, também conhecida como 
exponencial, os juros são adicionados ao capital aplicado por período ge-
rando um novo capital para a incidência dos juros no período posterior. 
A capitalização composta também é conhecida como juros sobre juros.
Esse regime de juros é o mais utilizado no sistema financeiro do 
Brasil. Como é o caso das compras a médio e longo prazo, das com-
pras com cartão de crédito, dos contratos de financiamentos habita-
cionais, leasing, juros de cheque especial etc.
62 Matemática Financeira
O valor dos juros nesse tipo de capi-
talização é crescente, e se comporta como 
uma progressão geométrica (PG), ou seja, 
os juros se juntam ao capital aplicado para 
o cálculo dos juros do período posterior, ou 
seja, os juros são capitalizados10.
Qual a diferença entre Capitalização Simples e Capitalização 
Composta?
Na capitalização simples, os juros crescem de maneira constan-
te, isto é, o valor ganho no decorrer de toda operação não se altera e o 
juro não se junta ao capital aplicado para formar um novo juro, cres-
cendo de forma linear.
Já na capitalização composta, os juros são crescentes, isto é, o 
valor ganho em cada operação é reinvestido, e o juro se junta ao capi-
tal para formar um novo juro, crescendo de forma exponencial, con-
forme a imagem a baixo.
Fonte: Autoria Própria
Só para lembrar: capi-
talização é a maneira 
de somar os juros ao 
capital.
10
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 63 
Na prática funciona assim: suponha que a caderneta de pou-
pança que você abriu foi de R$ 500,00. Sabendo que os juros corres-
pondem a 3% ao mês, no final de 3 meses quanto você terá recebido 
de juros e qual o total que estará em sua conta? 
Solução:
Os dados referentes a situação são:
C= 500,00
i = 3% a.m = 3/100= 0,03
n= 3 meses
Calculando os juros e o montante no final do 1º mês:
Como J = Cx i x n
J = 500 x 0,03 x 1
J= R$ 15,00
A definição de montante para capitalização composta é a mes-
ma estudada na capitalização simples, ou seja, é a soma do capital 
aplicado mais o valor dos juros referentes ao prazo da aplicação.
Então: M = C + J
M= 500 + 15 
M =515,00
Os juros do 1º mês será R$ 15,00 e o valor que estará na conta 
(montante) será de R$ 515,00.
Calculandoos juros e o montante no final do 2º mês: a taxa de 
juro incide sobre o montante do fim do primeiro mês. 
J = 515 x 0,03
J = R$ 15,45
M = 515,00 + 15,45
M =530,45
64 Matemática Financeira
Observe que o montante no 2º mês corresponde ao capital ini-
cial mais o juro do 1º período e do 2º período.
M= 500,00+ 15,00 + 15,45
M2 = R$ 530,45
Calculando os juros e o montante no final do 3º mês: a taxa vai 
incidir sobre o montante do mês anterior.
J = 530,45 x 0,03
J = R$ 15,91
M= 530,45 + 15,91
M=546,36
Total de juros recebidos: 15,00+15,45+15,91= 46,36
Os juros recebidos somam um total de R$ 46,36, que adiciona-
do ao capital aplicado gerou o montante de R$ 546,36, que é o total 
que está na poupança.
Para não ficarmos calculando o valor dos juros e montante mês 
após mês, utilizaremos a seguinte equação:
M = C(1 + i)n
M = Montante
C= Capital
i= Taxa unitária de juros
n= Período da transação financeira
Veja como fica o cálculo do montante do exercício da caderneta 
de poupança, sem a necessidade de efetuarmos mês a mês. Até porque, 
à medida que aumenta o prazo, fica bastante trabalhoso o cálculo.
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 65 
M= 500(1+0,03)3
M=500(1,03)3
M=546,36
 Bem mais prático não é?
Juro
Independente da modalidade de capitalização adotada,a equa-
ção que relaciona montante, capital e juro é sempre a mesma:
M = C + J
J = M – C
Exemplo: calcule os juros e o montante de uma aplicação finan-
ceira de R$ 2.000,00 durante um ano, á taxa de 5,5% a.m pela capita-
lização simples e pela capitalização composta.
Solução:
Dados
C= 2.000,00
n= 1 anos = 12 meses
i= 5,5% a.m = 5,5 / 100 = 0,055
M= ?
J= ?
Solução (pelo regime de capitalização simples): 
Observe que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, 
portanto torna-se necessário efetuar a transformação. Como se trata 
de juros simples tanto faz transformar a taxa como o tempo. No caso 
citado, fica mais fácil transformar o tempo para meses, então:
66 Matemática Financeira
Como cada ano tem 12 meses é só multiplicar 1 x 12= 12 meses 
M=C(1+in) 
M=2.000(1+0,055 x 12) 
M=2.000(1+0,66) 
M= 2.000 x 1,66
M= 3.320,00 
Os juros são iguais ao montante menos o capital
J = M – C
J= M – C=3.320 – 2.000= 1.320
Solução (Pelo regime de capitalização composta): 
A forma de capitalização da taxa de juros no regime de capita-
lização composta não aceita quaisquer operação de multiplicação ou 
divisão, como pode fazer em juros simples. Devemos converter sem-
pre os prazos para a base das taxas. Como já efetuamos a conversão, 
temos:
M=C(1+i)n 
M=2.000(1+0,055)12 
M=2.000(1,055)12
M=2.000(1,90) 
M=3.802, 42 
J=M-C 
J=3.802,42 - 2.000 
J=1.802,42 
Verifique que o valor dos juros calculados pelo regime de capi-
talização simples é de R$ 1.320,00, valor este menor que o valor utili-
zado na capitalização composta que foi de R$ 1.802,42. 
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 67 
Diferente do regime de capitalização simples, no regime de capi-
talização composta, a capitalização é exponencial. Consolidado os con-
teúdos fundamentais acerca do regime de capitalização composta, ve-
remos a seguir, no próximo conteúdo, a aplicação prática dos mesmos. 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2011.
Nesse livro você poderá complementar seus estudos, especial-
mente em relação aos conceitos de capitalização composta. Exis-
tem vários exercícios resolvidos que poderão facilitar a sua apren-
dizagem. Páginas 3 a 6. 
 D MILONE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son, 2006.
O autor realiza uma abordagem ampla acerca dos conteúdos traba-
lhados. Neste livro você pode complementar seus estudos sobre os 
tipos de capitalização. Páginas 24 a 37.
PARA REFLETIR 
Diante da situação descrita a seguir, qual investimento você faria? 
Você tem R$ 80.000,00 que economizou e não sabendo onde investir 
procurou um gerente. Ele sugeriu aplicar o capital por 2 anos, a uma 
taxa de juro composta mínima de 2,5% ao mês. Logo depois, você foi a 
68 Matemática Financeira
uma imobiliária e um corretor de imóveis lhe ofereceu a oportunidade 
de comprar um lote de um terreno numa área nobre, que durante esse 
período receberá benfeitorias, o que provocará um aumento natural 
de valor. O corretor afirmou que daqui a dois anos esse terreno valerá 
no mínimo R$ 140.000,00.O que é melhor aplicar o dinheiro ou com-
prar o terreno? Reflita sobre essa situação hipotética.
 
2.2
CÁLCULO E FÓRMULAS COM JUROS COMPOSTOS
No conteúdo anterior, estudamos como calcular os juros com-
postos e o montante de uma operação financeira. Partindo desses 
conceitos vamos desenvolver a equação niCM )1( += e isolar o ca-
pital, a taxa e o tempo para o cálculo quando necessário.
Para o cálculo, é necessário utilizar pelo menos uma máquina 
calculadora ou então tabelas de fatores (1 + i)ⁿ. Como já foi explicado, 
quanto mais ferramentas financeiras estiverem disponíveis, mais prá-
tico será o uso das fórmulas existentes em juros compostos. 
Cálculo do capital: 
A equação do montante é: niCM )1( +=
Isolando o valor de C ( capital) temos que:
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 69 
Cálculo da taxa de juros:
Observe que para isolar a taxa i, exige mais conhecimento.
A operação inversa da potenciação é a raiz, então:
Agora podemos isolar o valor do i
 
Cálculo do tempo
M= C( 1 + i)
Como necessitamos do valor do i, teremos que recorrer às pro-
priedades de logaritmos. 
Lembramos que o logaritmo de uma potência é igual ao expo-
ente vezes o logaritmo da base, então:
70 Matemática Financeira
Isolando o n, temos que:
Exemplo 1: uma empresa aplicou um capital de R$ 1.500,00 a 
uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, para retirar daqui a 5 
meses .Qual o valor a ser resgatado? E quanto ele ganhou de juros na 
aplicação?
Solução:
M = ?
C = R$ 1.500,00
i = 2% ao mês = 2/100 =0,02
n = 5 meses
niCM )1( +=
M= 1.500(1 + 0,02)5
M=1.500 x (1,02)5
M=1,500 x 1,104
M = 1.656,00
J= M- C
J=1.656,00 – 1.500,00
J= 156,00
Resposta: Ele ganhou a quantia de R$156,00 e resgatou R$ 
1.656,00 
Exemplo 2: Contraí um empréstimo a uma taxa de 4% ao mês 
para ser pago no final de 20 meses. Sei que vou pagar a quantia de R$ 
2.000,00,quanto foi que recebi emprestado?
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 71 
Solução:
Dados:
Recebi emprestada a quantia de R$ 913,24
Exemplo 3: planejo emprestar R$ 5.000,00 por um período 
de 10 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de 
R$ 7.200,00. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto 
para que eu venha a conseguir esse montante?
72 Matemática Financeira
Solução:
Dados:
Exemplo 4: Em quanto tempo meus R$ 3.000,00 se tornam R$ 
6.000,00 a uma taxa de 3% ao mês?
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 73 
Solução:
 
Resposta: meus R$ 3.00,00 se tornaram R$ 6.000,00 a taxa de 
3% a.m em 24 meses.
74 Matemática Financeira
CONVENÇÃO LINEAR E CONVENÇÃO EXPONENCIAL
Determinadas operações financeiras apresentam, muitas vezes, 
número não inteiro de períodos, ou seja, o número de períodos calcu-
lados não se encaixa dentro do prazo.
Por exemplo, uma aplicação com capitalização anual, mas efe-
tuada pelo prazo de 1 ano e 9 meses. Nesse caso utilizaremos os tipos 
de convenção, que podem ser linear ou exponencial.
Convenção linear: o cálculo de juros da parte inteira será re-
alizado a juros compostos e o da parte fracionária, a juros simples, 
utilizando como capital o valor do montante encontrado pela capita-
lização da parte inteira. Essa operação é também chamada de capi-
talização mista.Para o cálculo do montante usando a convenção linear, vamos 
usar a fórmula:
M = C (1 + i )nⁿ x ( 1 + i x a), onde n é a parte inteira e a é a parte 
fracionária.
Convenção exponencial: usa o regime de juros compostos tanto 
para a parte inteira como para fracionária.
Para o cálculo do montante usando a convenção exponencial, 
vamos usar a fórmula:
M = C (1 + i)ⁿn+a, em que n corresponde a parte inteira e a repre-
senta a parte fracionária
No Brasil, utiliza-se a convenção exponencial, enquanto nos Es-
tados Unidos usa-se a convenção linear.
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 75 
Observe como funciona a aplicação de cada uma.
Exemplo: Um capital de $1.000,00 é emprestado a uma taxa de 
juros de 12% ao ano, capitalizados trimestralmente, pelo prazo de 2 
anos e 4 meses. Determinar o montante desse empréstimo conside-
rando a convenção linear e convenção exponencial. 
Solução:
Dados:
C = 1.000,00
i = 12% a.a.
n= 2 anos e 4 meses = 2 + 4/12 = 2 + 1/3 anos
Convenção Linear:
1) Vamos calcular o montante levando em consideração a parte 
inteira do tempo: 2 anos.
M = 1.000(1 + 0,12)2
M= 1.000 x (1,12)2
M = 1.000 x 1,2544
M= 1.254,40
2) Vamos calcular os juros simples sobre o montante en-
contrado com o tempo fracionado de acordo com a proporcionali-
dade ( 4 meses = 4/12 anos)
J = C x i x n
J = 1.254,40 x 0,12 x 1/3
J = 50,18
O Montante será 1.254,40 + 50,18 = 1.304,60
76 Matemática Financeira
Usando a fórmula, teremos:
M = C ( 1 + i )ⁿ x ( 1 + i x a),
M =1.000(1+0,12)ⁿx(1 + 0,12 x 4/12)
M= 1.000(1,12)ⁿ ( 1 + 0,48/12)
M = 1.000 x 1,2544 x 1,04
M=1.304,58
Convenção exponencial:
Vamos utilizar a fórmula do montante direto e efetuar a trans-
formação do tempo em período da taxa. 
 M= C(1+i)n 
M=1.000(1+0,12)7/3 
M=1.000(1+0,12)2,333... 
M=1.302,84
Na convenção linear, o montante é maior que na convenção ex-
ponencial. Observe que a convenção linear é mista, ou seja, utiliza juros 
compostos sobre a parte inteira e juros simples sobre o montante da 
parte inteira calculada. 
As taxa de juros são muito importantes para a economia mun-
dial, nacional e, consequentemente, para você. Elas regulam emprés-
timos bancários, descontos, aplicações financeiras dentre outros, 
oferecendo maiores ou menores rendimentos. Veremos no próximo 
conteúdo sobre as principais taxas de juros. 
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 77 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2011.
O autor realiza uma minuciosa explicação acerca dos conceitos de ca-
pitalização composta. Existem vários exercícios resolvidos que pode-
rão facilitar a sua aprendizagem. Páginas 17 a 28.
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son, 2006.
Nesse livro, você pode complementar seus estudos, especialmente 
referente aos conceitos de convenção linear e exponencial. Paginas 
39 a 48 para leitura.
 
PARA REFLETIR 
Em um concurso para a vaga de auditor fiscal da sua Prefeitura apa-
receu uma questão que dizia que: você e seu colega João aplicaram 
R$ 2.500,00 cada um a juros compostos de taxa mensal 2,5%, du-
rante 3 meses e 15 dias. A sua aplicação foi realizada utilizando a 
convenção linear e a de João pela convenção exponencial. Existe 
diferença entre os montantes? Qual a diferença? Em qual das con-
venções os juros é maior?
78 Matemática Financeira
2.3
TAXAS DE JUROS
Nesse item iremos abordar os diversos tipos de taxas e comen-
tar algumas taxas existentes no mercado financeiro.
A taxa de juro é o custo do dinheiro, isto é, o percentual cobrado 
pelo uso do mesmo, em qualquer transação financeira. A taxa de juros 
é definida de acordo com vários fatores, como por exemplo, o tempo, 
o risco e a quantidade de dinheiro existente no mercado para emprés-
timos. 
Quando se eleva a taxa de juros o país deixa de crescer e as pes-
soas ficam mais pobres.
TIPOS DE TAXAS: 
Taxa nominal e taxa efetiva 
Em diversas situações, a taxa de juros é apresentada em uma 
unidade de tempo diferente da unidade de tempo em que é capitaliza-
da. Por exemplo: uma taxa semestral capitalizada mensalmente. Essa 
taxa semestral é dita nominal.
Assim:
Taxa efetiva – Quando a unidade de referência de tempo coin-
cide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplo: 
2,5% ao mês, capitalizados mensalmente.
Taxa nominal – Quando a unidade de referência do tempo é di-
ferente da unidade de tempo do período de capitalização. Exemplo: 24 
% ao ano capitalizado mensalmente. Observe que o período de capita-
lização é um mês e o prazo indicado na taxa é um ano.
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 79 
Em geral, nos contratos de financiamento, aparece a taxa de juros 
nominal. Mas, a taxa que é utilizada para o cálculo das parcelas é a taxa 
efetiva, que é sempre maior do que a nominal, ou seja, a taxa nominal é 
a que é divulgada e a taxa efetiva é aquela que é cobrada na operação. 
Por exemplo, a taxa de 24 % ao ano, capitalizada mensalmente é 
proporcional a taxa 24/12 = 2% ao mês.
Vamos transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva:
A taxa efetiva de juros é obtida a partir de :
Taxa efetiva= (1+i)n – 1,
Sendo i = taxa proporcional e n = número de períodos da capi-
talização.
Considere a taxa de 48% a.a capitalizada mensalmente, en-
tão teremos que a taxa nominal é 48% ao ano. A taxa proporcional é 
48/12= 4% ao mês.
i= 48% : 12 = 4% = 0,04 ao mês.
n= 12 meses
Taxa efetiva = (1 + 0,04)12 – 1
Taxa efetiva = (1,04)12 – 1
Taxa efetiva= 1,601 – 1
Taxa efetiva = 0,601 x 100
Taxa efetiva = 60,1% ao ano.
Observe que a taxa nominal de 48% ao ano com capitalização 
mensal corresponde a uma taxa efetiva de 60,1% ao ano.
80 Matemática Financeira
Taxa Real 
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela inflação do período. 
Exemplo: O seu salário era de R$ 2.500,00 e foi aumentado 
para R$ 2.800,00. Se a inflação foi de 15%, você teve um ganho real? 
Você não teve um ganho real, pois o seu reajuste foi de 12%, 
enquanto a inflação foi de 15%. 
Veja como calcular a correção real do seu salário: sendo in = taxa 
nominal, temos que:
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 81 
Portanto você teve uma perda real de salário de 2,61%, ou seja, 
no período considerado da inflação você não teve aumento real. 
Taxa proporcional e taxas equivalentes
Como vimos, em juros simples taxas proporcionais são taxas 
equivalentes, ou seja, na capitalização simples duas taxas proporcio-
nais são também equivalentes. E a equivalência das taxas se resume 
a uma simples divisão ou multiplicação. 
Exemplo: Ex: 5% a.m→ 15% a. trim→ 30%a.sem→60% a a.
No regime de juros compostos, taxas equivalentes não se con-
fundem com taxas proporcionais, apesar do mesmo conceito. Iremos 
estudar no próximo conteúdo taxas equivalentes a juros compostos.
Considere as situações: 
Qual o montante acumulado no final de 12 meses, sob o regime 
de juros compostos, a partir da aplicação de um capital de R$ 100,00, 
a uma taxa de juros de 10% ao mês?
82 Matemática Financeira
Qual o montante acumulado pela aplicação de um capital de R$ 
100,00, pelo prazo de seis bimestres, a uma taxa de juros de 21% ao 
bimestre, segundo o regime de capitalização composta? 
Solução: 
1) C=100,00 i= 10%a.m. n= 12. Calculando o montante pela 
fórmula M =C(1+i)n temos M=313,84 
2)C= 100,00 i-21% a.bim. n=6 a bim. Calculando o 
montante pela mesma fórmula temos M= 313,84 
Taxas equivalentes11 são taxas de ju-
ros em unidades de tempo diferentes, que 
quando aplicadas a um mesmo capital, 
durante um mesmo prazo, apesar de capi-
talização diferente, produzem um mesmo 
montante. 
 Observação:Iremos aprender a 
calcular taxa equivalente a juros compostos logo a seguir, quando es-
tudarmos equivalência financeira.
Taxa de Desvalorização da Moeda
É a taxa que mede o percentual de perda do poder aquisitivo da 
moeda em determinado período de tempo devido ao aumento gene-
ralizado dos preços.
Exemplo: Em 2016, com R$ 20,00 eu comprava 100 pãezi-
nhos franceses a R$ 0,20 cada um. Hoje, em 2017, com os mesmos 
R$ 20,00, quantas unidades aproximadamente poderei comprar, uma 
vez que o preço foi atualizado de acordo coma inflação de 25%, pas-
sando para R$ 0,25 a unidade? 
O que difere as taxas 
equivalentes das taxas 
proporcionais é o regi-
me de juros considera-
do. As taxas propor-
cionais se baseiam em 
juros simples, e as taxas 
equivalentes se baseiam 
em juros compostos.
11
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 83 
Em 2009: 20,00/0,20 = 100 pãezinhos
Em 2010: 20,00 /0,25 = 80 pãezinhos
Percentual de aumento:
sendo m= valor anterior e n = valor posterior
i= 100/ 80 -1
i= 1,25 – 1
i=0,25 x 100= 25%
Em função da inflação, o valor da moeda foi desvalorizado em 25%
Taxa prefixada
As operações de crédito com taxa prefixada possibilitam ao 
aplicador ou tomador saber, na data da contratação da operação, o 
valor a ser pago ou recebido, independente de qualquer variação que 
venha a ocorrer durante o prazo do contrato.
Taxa pós-fixada
Os juros são variáveis. Dependendo do prazo de contratação e 
dos indicadores econômicos utilizados, só saberá o valor a pagar ou a 
receber no final do contrato. 
84 Matemática Financeira
Taxa Bruta
É a taxa da maneira que é apresentada, ou seja, não foram reti-
rados os encargos que incidem sobre a aplicação, como, por exemplo, 
o imposto de renda. 
Taxa Líquida
A taxa líquida é aquela que efetivamente se obtém como rendi-
mento dos emprestimos ou depósitos. Ou seja, é a taxa bruta menos 
os encargos.
Taxa interna de retorno
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala numa única 
data o valor presente das entradas de caixa ao valor presente das saídas 
de caixa do investimento. Ela tem como objetivo definir a rentabilidade 
de um projeto ou de um investimento. Isso se dá quando comparamos 
a taxa de retorno com a taxa de juros esperada (taxa de atratividade).
Exemplo: qual taxa de juros que iguala o montante de R$ 
112.550,81 no mês 4 com a aplicação financeira de R$ 100.000,00 na 
data zero?
Solução:
Dados:
M= 112.550,81
C= 100.000,00
n = 4
I = ?
M =C (1 +i)n
112.550,81=100.000(1 + i)4
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 85 
Resposta: 3% ao mês é a taxa que iguala na data focal zero o 
capital de R$ 100.000,00 com o montante de R$ 112.550,82 depois de 
quatro meses.
Taxas Selic
A taxa Selic12 é a taxa básica de juros 
que dá a medida de outras taxas de juros pra-
ticadas no nosso país, a exemplo do cheque 
especial, do crediário, dos cartões de crédito, 
da poupança. Além disso, é a partir dela que 
os bancos calculam quanto irão cobrar de ju-
ros para conceder um empréstimo. Assim, 
quanto menor for a Selic, mais ‘barato’ fica fa-
zer um empréstimo ou comprar a prazo. Desta 
forma, fica claro que ela tem influência sobre os juros de toda a economia.
Taxa Over
É a taxa relativa a um dia útil de aplicação. A taxa é capitalizada 
em função de determinada quantidade de dias. Atualmente é utilizada 
como padrão para empréstimos entre bancos.
Quando a Selic aumen-
ta, os bancos preferem 
emprestar ao governo, 
porque paga bem. Já 
quando a Selic cai, os 
bancos são “empurra-
dos” para emprestar 
dinheiro ao consumidor 
e conseguir um lucro 
maior. Assim, quanto 
maior a Selic, mais 
“caro” fica o crédito que 
os bancos oferecem 
aos consumidores, já 
que há menos dinheiro 
disponível.
12
86 Matemática Financeira
Ela paga juros somente para os dias úteis e a taxa de juros de-
verá ser dividida por 30 (mês comercial) encontrando uma taxa diária.
Taxa Referencial (TR)
É a taxa que corrige os saldos da caderneta de poupança e os 
contratos com prazos superiores a 90 dias. Serve de referência nas 
transações financeiras realizadas no Brasil. 
O Banco Central calcula a sua base, a partir dos juros pagos pe-
los CDBs (Certificados de Depósitos Bancários) das maiores institui-
ções financeiras. 
Taxa Básica Financeira (TBF) 
É uma taxa criada pelo Governo Federal com objetivo de remu-
nerar um novo tipo de caderneta de poupança com prazo mínimo de 90 
dias. Sua remuneração é calculada pelo somatório de captação de de-
pósitos a prazo das 30 maiores instituições financeiras do País, pelo 
período de 1 semestre. É divulgada diariamente. 
TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo)
A TJLP, como o próprio nome indica, tem a finalidade de esti-
mular investimentos de longo prazo, como dos setores de infraestru-
tura e de consumo. Atualmente, a TJPL vem sendo aplicada na remu-
neração do PIS/PASEP.
Na capitalização composta, diferentemente da capitalização 
simples, as Taxas equivalentes e as Taxas proporcionais são dife-
rentes. Portanto, para comparação de capitais sujeitos ao regime de 
capitalização composta, precisamos estar atentos a essa informação. 
Vamos aprofundar esse assunto no próximo conteúdo. Vamos lá?
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 87 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D TOSI, Armando Jose. Matemática Financeira com utilização da 
HP-12C. São Paulo: Atlas, 2008.
No livro, o autor aplica de maneira prática, através de vários exercícios 
resolvidos, os conteúdos vistos nesse tema, que poderão facilitar a 
sua aprendizagem acerca do conteúdo aqui exposto. Páginas 117 a 138.
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son. 2006.
O autor trabalha de maneira minuciosa os conteúdos vistos nesse 
tema. Nesse livro você irá encontrar informações que agregarão mais co-
nhecimentos a respeito dos diversos tipos de taxa de juros. Página 6 a 12.
PARA REFLETIR 
Considere que você é funcionário público e seu salário é R$800,00. 
Admita que você queira medir a variação real do seu poder de com-
pra depois de anunciada uma inflação anual correspondente a 9,8% 
e o seu salário ser reajustado para R$ 840,00. Esse reajuste no seu 
salário aumentou ou diminuiu o ser poder compra, ou seja, houve au-
mento real ou perda no seu salário Analise cada e discuta com os seus 
colegas.
88 Matemática Financeira
2.4
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA A JUROS COMPOSTOS 
Equivalência de taxas
Conforme visto anteriormente, duas taxas são ditas equivalen-
tes quando, aplicadas a um mesmo capital (dinheiro), em unidades de 
tempos diferentes durante o mesmo prazo (mesmo tempo), produ-
zem o mesmo rendimento.
Com base nesse conceito, analisemos as duas situações a seguir:
Situação 1: Um capital de R$ 100,00 é aplicado durante 12 me-
ses, a uma taxa de juros de 10% a.m. Qual o montante?
Solução:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,10)12
M =100 x (1,10)12
M=100 x 3,1384
M= 313,84
Situação 2: o mesmo capital foi aplicado durante 6 bimestres, 
a uma taxa de juros de 21% ao bimestre.Qual o montante segundo o 
regime de capitalização composta? 
Solução: 
M = C (1 + i)n
M=100(1 + 0,21)6
M = 100 x (1,21)6
M =100 x 3,1384
M= 313,84
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 89 
Observe que nas duas situações os juros são J = 313,84 – 
100,00 = 213,84 mesmo com unidades de tempo diferentes. En-
tão verificamos que as taxas 10% ao mês e 21% ao bimestre são 
equivalentes em juros compostos.
Então:
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia o mon-
tante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C(1 + i a).
 
Consideremos agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses 
a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período de 12 meses 
seráigual a M’ = C(1 + im)
12.
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter 
M = M’.
 Portanto, C(1 + i a) = C(1 + im)
12 (dividindo a expressão por C,te-
mos que:
1 + ia = (1 + im)
12
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma 
determinada taxa mensal conhecida.
Exemplo 1: qual a taxa de juros anual equivalente a 2% a. m.?
Solução:
Vale lembrar que 2% = 2/100 = 0,02, vem: 
1 + ia = (1 + 0,02)
12 ou 1 + ia = 1,02
12 = 1,2682 
Portanto, ia=1,2682 – 1 = 0,2682 = 26,82%
90 Matemática Financeira
Observe que no regime de juros compostos13, a taxa de juros de 2% 
a.m. equivale à taxa anual de 26,82% a.a. e não 
24% a.a., como seria se os juros fossem simples.
De maneira geral temos que:
Seja: 
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser 
feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)
30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)
12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)
2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + is = (1 + im)
6 [porque 1 semestre = 6 meses].
Se você gosta de memorizar fórmula temos que:
iq = ( 1 + it)
q/t - 1, onde:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero em dias
t = prazo que eu tenho em dias
Como seria a solução do problema anterior pela fórmula:
Dados:
iq = ?
it=0,02
q=360 é o prazo que quero, o ano, que possui 12 meses.
t =30 é o prazo que tenho, o mês, que possui 30 dias
Quando a taxa e o 
tempo em um problema 
estão em unidades dife-
rentes, em juros simples 
tanto faz transformar 
a taxa na unidade do 
tempo ou vice versa. 
Em juros compostos 
deve-se transformar o 
tempo em unidade da 
taxa ou efetuar a equi-
valência entre a taxa e o 
tempo.
13
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 91 
Verificamos que q/t = 360/30 = 12
iq = (1 + 0,02)12 -1
iq= (1,02)12 - 1 
iq = 1,2682 – 1
iq = 26,82%
Exemplo 2: Qual a taxa anual equivalente a 4% ao semestre?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + is)
2
Como 4% = 0,04, vem: 1 + ia =( 1 + 0,04) 
1 + ia = (1,04)
2 
1 + ia = 1,0816
ia = 1,0816 – 1
ia = 0,0816 x 100
ia = 8,16% ao ano.
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA DE CAPITAIS
O mesmo que fizemos para juros sim-
ples, iremos utilizar para juros compostos. 
Sendo que em juros simples a data focal (data 
de comparação de diferentes datas14) não pode 
ser qualquer uma. Quando no problema a data 
focal não é indicada, deve-se usar a data zero.
O que deve ser analisado para resolução de um problema é a 
quantidade de cálculos a serem realizados. Então, deve-se escolher a 
data focal que venha a minimizar os cálculos.
Diante da data focal escolhida, o capital poderá ser movimen-
tado para frente ou para trás com relação à reta.No regime de juros 
Em juros compostos 
a data focal pode ser 
qualquer uma ,ou seja, 
no regime de juros com-
postos, se dois capitais 
são equivalentes para 
uma determinada data, 
eles também o são para 
qualquer outra data.
14
92 Matemática Financeira
compostos significa que iremos multiplicar ou dividir o capital pelo 
fator de acumulação (1 + i)n.
Exemplo 1: André Luiz vai financiar um microcomputador, sen-
do a primeira prestação de R$ 1.000,00 com vencimento em 30 dias, 
a segunda prestação de R$ 750,00 com vencimento para 60 dias.
Sabendo que a loja costuma cobrar uma taxa de juros igual a 4% a.m. 
no regime de juros compostos, qual o valor do computador?
Fonte: Autoria Própria
Solução: 
Para saber o preço do computador, devemos calcular o valor 
atual, ou seja, a data focal para o cálculo, que deverá ser (o)zero. Ou 
seja, o capital será descapitalizado, efetuando a divisão pelo fator de 
acumulação.
Assim:
n1= 30 dias = 1 mês
n2=60 dias = 2 meses
O valor do microcomputador será hoje:
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 93 
Exemplo 2: Necessitando comprar um imóvel li os classificados 
de um jornal e me interessei por um que à vista custava R$ 95.532,00. 
Fui à imobiliária que estava com o imóvel a venda e apesar de dispor 
do dinheiro solicitei outra forma de pagamento. O plano apresenta-
do ficaria assim: eu daria 35% do valor do imóvel como entrada, R$ 
32.300,00 para 90 dias e R$ 38.850,55 para 180 dias. A taxa de juros 
para o novo plano era de 3% ao mês.O que devo fazer? Comprar a vista 
ou aceitar o outro plano.
Fonte: Autoria Própria
Solução: 
Preço a vista: 95.532,00
Preço a prazo:
94 Matemática Financeira
 Vamos trazer todos os valores para a data focal o(zero), para 
sabermos quanto é que equivale estes três valores hoje.
 Entrada: 35% do valor do imóvel: 35% de 95.532,00, que é : 
0,35 x 95.532 =33.436,20
Então:
 X= 33.436,20 + __________ + __________ 
 (1+0,03)3 (1+0,03)6
X= 33.436,20 + ____________ + __________ 
X= 33.436,20 + 29.559,81 + 32.535,42
X = 95.531,43
Verificamos que tanto faz comprar a vista, como dividir os 
pagamentos. Observamos que os capitais são equivalentes.
Capitalização Contínua
De acordo com o que estudamos tanto em juros simples como 
em juros compostos, os juros são formados no final de cada período 
de capitalização. Lembre-se da caderneta de poupança que só paga 
juros ao final do período referente à sua taxa de juros. Então da ma-
neira que se comporta os juros esta é a capitalização descontínua, ten-
do em vista que os juros ocorrem somente num momento do prazo da 
taxa, ou seja, no final do mês.
32.300 38.850,55
32.300
1,0927 1,1941
38.850,55
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 95 
Agora imagine que:
Você abrisse uma conta de poupança no banco, no valor de R$ 
500,00 e, com 20 dias, precisasse do dinheiro e resolvesse usá-lo. 
Quando retirasse o dinheiro, os juros dos 20 dias fossem somados ao 
R$ 500,00. Ah, como seria bom se assim fosse!!.
Mas não, você notará que na sua conta haverá os mesmos R$ 
500,00 reais que você aplicou. Porque a poupança só capitaliza seu 
dinheiro de 30 em 30 dias! Somente, no trigésimo dia, seu capital 
cresce, e vira um montante maior que o valor que você havia aplicado.
É a capitalização composta descontínua que já estudamos em 
que este montante, passa a ser, o capital do segundo período, e sobre 
ele incidirá a taxa da poupança, e recomeça todo o ciclo. Ou seja, daqui 
a mais trinta dias, esse novo capital será mais uma vez capitalizado, 
crescendo novamente, e assim por sucessivamente.
Seria ótimo se a capitalização fosse contínua, ou seja, se hou-
vesse a capitalização a cada fração infinitesimal de tempo! 
Vamos entender:
A Capitalização Contínua é um tipo de capitalização composta, 
em que os juros são distribuídos ao longo do tempo, e não somente 
num único momento. Por exemplo, o faturamento de um supermer-
cado, a capitalização se forma continuamente, e não somente ao final 
de um único período (mês, ano).
 Nas operações financeiras é mais comum utilizarmos a capi-
talização descontínua quando as taxas de juros são finitas ao final de 
cada período
.
96 Matemática Financeira
Para calcular o montante na capitalização contínua, usamos a 
fórmula:
M = C . ei.n, em que: 
M é o Montante
C é o Capital,
e é o número neperiano. 
Obs: “e” é uma constante representada pelo número irracional 
e= que e=2,718...
 i é a taxa de juros compostos;
 n é o tempo 
Para o uso da fórmula, são utilizadas as mesmas condições em-
pregadas na capitalização simples e composta, isto é, a taxa é unitária 
e deve estar na mesma unidade do tempo. 
Exemplo: Apliquei R$ 2.400,00 por três anos, a taxa de 10 % 
com capitalização continua. Quanto deverei receber no final do perío-
do? Se fosse a capitalizaçãocomposta normal quanto receberia?
Solução:
Dados: C = 2.400
i=10% = 10/100= 0,1
n= 3 anos
Capitalização contínua 
M= C´ . e0,3 
M=2.400.(2,7182)0,3 
M= 2.400 x 1,3498 
M=3.239,52 
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 97 
Capitalização composta 
M=2.400(1+0,10)3 
M= 3.194,40
Em virtude dos juros serem compostos, o valor do montante na 
capitalização contínua é maior.
Quando realizamos o pagamento de dívidas antecipadamente 
ou resgatamos um título bancário antes do vencimento, incide nessa 
transação financeira um desconto sobre o valor do documento. Vere-
mos isso de maneira mais aprofundada no próximo Tema.
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 
12 ed. São Paulo: Atlas, 2011.
No livro, o autor aplica de maneira prática, através de vários exercícios re-
solvidos, os conteúdos vistos nesse tema, o que irá facilitar a sua apren-
dizagem acerca do conteúdo aqui exposto. Páginas 20 a 24, 29 e 30. 
 D SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4 ed. São Paulo: Prentice Hall. 2007, 
No livro, o autor aplica de maneira prática, através de vários exercícios 
resolvidos, os conteúdos vistos nesse tema, que poderão facilitar a 
sua aprendizagem a cerca do conteúdo aqui exposto. Páginas 21 a 23. 
98 Matemática Financeira
PARA REFLETIR 
Encerando o tema II, aprendemos a efetuar equivalência a juros com-
postos. Quero que você imagine que foi a uma instituição financeira e 
contratou um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 para ser pago em 
12 meses e a instituição informou que a taxa que seria cobrada era 
24% ao ano com capitalização mensal. Quanto você pagou de juros? 
Qual a taxa realmente cobrada? Não se esqueça de demonstrar o fluxo 
de caixa.
 
RESUMO 
Ao encerrar o tema II aprendemos que na capitalização composta os 
juros incidem sobre o capital, ou seja, os juros se incorporam ao capi-
tal anterior para formar o novo capital. As financeiras, bancos, optam 
pela aplicação dos juros compostos, pois há uma possibilidade maior 
de lucro. 
Encontramos as fórmulas para o cálculo do montante, do capital da 
taxa e do tempo e constatamos que a Matemática Financeira possui 
ferramentas que auxiliam estes cálculos, facilitando a resolução dos 
problemas de juros compostos.
Além disso, neste tema estudamos vários tipos de taxa de juros exis-
tentes no mercado brasileiro e aprendemos que o Governo está sem-
pre estudando a taxa de juros de acordo com as necessidades do mer-
cado, e que partindo desses estudos são tomadas as decisões com 
relação às taxas de juros.
 
Tema 2
Regime de Capitalização 
Composta ou Exponencial 99 
Por fim, estudamos aqui também a equivalência de capitais e verifi-
camos que é utilizada sempre que quisermos saber se duas formas de 
pagamento se equivalem, por isso o seu uso sempre se faz necessário 
nas substituições de títulos (um título por outro, um título por vários, 
vários títulos por um único, vários títulos por vários títulos) sem que 
haja prejuízo para o credor.
Parte 2
Operações financeiras 
realizadas no mercado 
Brasileiro
tema 3
Descontos 
de Títulos
Nos temas anteriores estudamos as formas de capita-
lização simples e composta. Neste tema iremos estu-
dar as operações de desconto simples e desconto com-
posto. Vamos aprender que as operações de desconto, 
apesar de terem semelhanças com as de capitalização, 
representam o inverso dessas operações, pois no des-
conto calculamos o valor atual, sem os encargos, e no 
processo de capitalização interessa o valor do capital 
mais os encargos (juros) no decorrer do tempo.
Estudaremos os tipos de desconto simples e composto 
existentes no mercado
3.1
DESCONTOS SIMPLES
A diferença básica entre juro e desconto é que o juro é recebido 
ou pago no decorrer do prazo da operação e o desconto é recebido ou 
pago antecipadamente, no ato da contratação da operação.
O desconto é uma das operações mais comuns utilizadas no 
mercado financeiro. Temos como conceito para o entendimento que:
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimen-
to envolve, geralmente uma recompensa, ou um desconto 
pelo pagamento antecipado. Dessa maneira, desconto pode 
ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um 
título e o seu valor atualizado apurado nos períodos antes 
de seu vencimento. (ASSAF NETO, 2012.p. 40).
Para o entendimento do desconto, é importante conhecermos 
os termos amplamente utilizados nesse assunto como o valor nomi-
nal, que representa o valor do título na data de seu vencimento sendo, 
portanto, o próprio montante da operação. Já o valor descontado refe-
re-se ao valor atual na data do desconto. Esse valor é determinado de 
acordo com a seguinte formula:
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto
Para demonstrar essa situação, imagine que você recebeu um 
cheque pré-datado com data de desconto para daqui a um mês no va-
lor de R$ 500,00, porém você está precisando do dinheiro hoje. É pos-
sível negociar com alguém disposto a trocá-lo por dinheiro e o cheque 
só será apresentado ao banco na data do vencimento. Mas, com cer-
teza, quem adiantar o dinheiro irá cobrar uma recompensa. E nessa 
troca, você receberá R$ 470,00 pelo cheque.
106 Matemática Financeira
Então R$ 500,00 é o valor do título expresso na data, R$ 470,00 é 
o valor que você vai receber ou o valor descontado e R$ 30,00, que é a di-
ferença entre o valor do título e o valor que você vai receber é o desconto. 
 Nas transações financeiras, as em-
presas e as pessoas utilizam operações 
de empréstimo e para justificar a dívida é 
emitido um título de crédito15. Esses títu-
los possuem datas de vencimento pré-de-
terminadas, mas o devedor pode descontar 
antecipadamente. 
O que é um título de crédito?
Título de crédito é um instrumento jurídico reconhecido e de-
finido pelo Direito Comercial, que desempenha relevante papel no 
desenvolvimento econômico de um país, e vale por tudo aquilo que 
estiver estipulado. 
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras 
são a nota promissória, a duplicata, a letra de câmbio e atualmente o 
cheque pré-datado.
Nota Promissória
A nota promissória é um título em que uma pessoa confessa a 
sua dívida a outra e a mesma será paga, numa data futura. É um título 
muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma ins-
tituição financeira. 
Podemos exemplificar essa situação quando uma pessoa vai ao 
banco e toma emprestado R$ 3.000,00, para pagar daqui a 3 meses. 
Sendo a taxa de juros simples do mercado de 2% ao mês, qual o valor 
a ser preenchido em uma nota promissória?
Os títulos de crédito 
possuem importân-
cia fundamental para 
os negócios, eles 
promovem e facilitam a 
circulação de créditos e 
dos respectivos valores 
a estes inerentes.
15
Tema 3
Descontos de Títulos 107 
O valor futuro, ou montante será calculado pela fórmula, assim:
M = C (1 + i.n)
M = 3.000 (1 + 0,02 . 3)
M = 3.180,00.
Então a nota promissória será preenchida com o valor de R$ 
3.180,00, que é o valor nominal. Além disso, deve constar o nome da 
pessoa que emitiu o documento com a assinatura, o nome do banco 
que vai receber o valor nominal registrado e a data do vencimento.
A pessoa responsável pela emissão do documento é o devedor, 
também chamada emitente. A pessoa que vai receber o título no futu-
ro é dita credor ou tomador ou beneficiário.
Duplicata
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra 
seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu merca-
dorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo 
um contrato. É muito usada em operações de compra e venda de mer-
cadorias no Brasil. A duplicata está sempre acompanhadada nota fis-
cal ou fatura com a especificação de todas as características relativas 
a operação, como: os artigos que foram comprados, o preço e outros 
descontos se houver.
Para demonstrar essa situação, usaremos como exemplo uma 
empresa que vendeu mercadorias e está de posse de uma duplica-
ta no valor de R$ 2.000,00, com vencimento para daqui a 30 dias. A 
empresa está precisando de dinheiro hoje, então vai ao banco e realiza 
uma operação de desconto, ou seja, vende o título ao banco e o mes-
mo cobra por tal operação. Suponha que a taxa que o banco utiliza 
para realizar tal operação é de 15% ao mês, então a empresa receberá 
do banco o valor líquido de R$ 1.700,00 (R$ 2.000,00 – R$ 300,00) 
108 Matemática Financeira
porque o desconto corresponderá a 15% do valor nominal do título. 
(15% de R$ 2.000,00 = R$ 300,00)
Se a pessoa física ou jurídica que comprou a mercadoria e as-
sinou a duplicata não pagar ao banco, o banco cobra do cliente, debi-
tando em sua conta corrente. O Banco não assume o risco pelo não 
pagamento do título.
Quem tem a posse do título não é obrigado a efetuar a operação 
com o Banco. Ele pode guardar o título e receber na data expressa do 
credor. O instrumento jurídico foi caracterizado no momento da venda.
Letra de Câmbio
É um título de crédito emitido pelo sacador (quem emite a or-
dem de pagamento) e em seguida entregue ao beneficiário ou toma-
dor (a pessoa que receberá o pagamento), cabendo a este procurar o 
sacado (quem deve efetuar o pagamento) para que seja concretizado. 
Na data do vencimento, o sacado deverá pagar ao beneficiário a quan-
tia estabelecida na letra de câmbio. 
Geralmente em uma operação financeira em que é utilizado o 
titulo de crédito, do tipo letra de câmbio, aparecem três pessoas, po-
dendo acontecer de uma mesma pessoa representar duas situações 
ao mesmo tempo.
Vejamos um exemplo prático. Você me deve e eu devo a seu ir-
mão. Aí eu emitiria uma letra de câmbio para você, autorizando você a 
pagar a seu irmão. Observe que apenas com um documento liquida-
mos as dívidas existentes.
Neste caso, eu sou o sacador, eu emiti a ordem de pagamento. 
Você é o sacado, a pessoa que efetuará o pagamento e o seu irmão é ó 
beneficiário ou tomador, a pessoa que irá receber.
Tema 3
Descontos de Títulos 109 
Cheque Pré-datado
O cheque pré-datado16 tem sido 
cada vez mais empregado em operações 
comerciais devido a facilidade de opera-
ção, mesmo não estando caracterizado 
pela legislação.
O cheque pré-datado é um prévio 
acordo entre duas pessoas, sejam elas fí-
sicas ou jurídicas. Por exemplo, vou a loja 
e compro um televisor e emito 3 cheques 
para pagamentos com 30, 60 e 90 dias 
.Então a empresa de quem comprei o tele-
visor só deverá apresentar o cheque na data do vencimento, ou então 
realizará uma operação de desconto.
No Brasil, se tornou habitual a emissão de cheques pré- data-
dos, ou seja, devem ser apresentados ao banco em uma data futura da 
realização do negócio, nas compras e vendas realizadas a prazo.
Sobre os títulos de crédito é importante sabermos ainda que 
com relação a eles podemos ter duas situações:
 D Se o devedor resolve pagar o título ao credor antes da data 
expressa, ele recebe um abatimento, em relação ao juro du-
rante o intervalo de tempo que falta para o vencimento do 
mesmo, ou seja, o valor é descapitalizado.
 D Se o credor precisar do dinheiro antes da data expressa no 
título, ele pode vendê-lo a uma terceira pessoa, que cobrará 
o juro correspondente ao intervalo de tempo que falta para 
liquidar o pagamento. 
Observe que em cada situação citada, temos uma operação de 
Cheque pré-datado é 
aquele em que o cor-
rentista emite em uma 
determinada data, mas, 
que somente deverá ser 
apresentado em data 
futura acertada entre as 
partes. Este documento, 
óbvio, quando compro-
vado que foi emitido 
para pagamento futuro, 
perde as características 
de cheque para tor-
nar-se um documento 
de crédito como a nota 
promissória.
16
110 Matemática Financeira
desconto. Assim, vamos estudar os elementos básicos para calcular 
um desconto:
 D Valor nominal (VN) também conhecido por valor futuro ou 
valor de face ou valor de resgate é o valor mostrado no tí-
tulo e que deve ser pago no dia do vencimento. Também 
conhecido e expresso no mercado financeiro como: valor 
futuro de um título, valor nominal, valor face do título e va-
lor de resgate; 
 D Valor atual (VA) também conhecido por valor presente do 
título, valor descontado, valor líquido creditado, é o valor a 
ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento; 
 D Vencimento: todo título possui expresso o dia do pagamento 
ou recebimento do empréstimo ou aplicação; 
 D Prazo: é o tempo decorrido entre o dia em que se negocia 
o título e o de seu vencimento. É importante saber que, na 
conta do prazo, se você incluir o primeiro dia, então deve ex-
cluir o último e vice versa.
Mas, então, o que é desconto? O desconto é a diferença entre 
o valor nominal e o valor atual de um título. A expressão matemá-
tica que calcula o valor do desconto, indiferente ao tipo de capita-
lização é:
 D = VN – VA 
Vamos observar a situação a seguir: André Luiz tinha um che-
que pré-datado de R$ 10.000,00 com vencimento para 30 dias, foi 
descontado num banco, gerando um valor de R$ 9.200,00.O valor do 
desconto foi R$ 800,00.
Tema 3
Descontos de Títulos 111 
VN= 10.000,00
VA=9.200,00
D= 800,00
Identificamos duas taxas na operação: a taxa de desconto, que 
é aplicada sobre o valor nominal ou futuro do título e a taxa de juros 
efetivamente cobrada, que é calculada em função do valor presente.
Taxa de desconto: valor do desconto dividido pelo valor nominal 
do título.
Taxa de juros: Valor do desconto dividido pelo valor atual.
112 Matemática Financeira
Classificação de desconto
A operação de desconto realizada nos regimes de capitalização 
simples origina os seguintes tipos de descontos:
a) Desconto simples por fora, bancário ou comercial; 
b) Desconto simples por dentro ou racional. 
 D Desconto simples por fora, bancário ou comercial - É bas-
tante usado no Brasil, nas operações comerciais e principal-
mente nas bancárias. O seu valor é obtido pelo cálculo dos 
juros simples sobre o valor nominal de um título resgatado 
antes de seu vencimento;
 D Desconto simples por dentro ou racional - Não é muito pra-
ticado no Brasil. O seu valor é obtido pelo cálculo dos juros 
simples sobre o valor atual de um título.
No próximo conteúdo iremos estudar detalhadamente os cálcu-
los e fórmulas aplicadas na modalidade de descontos simples.
Tema 3
Descontos de Títulos 113 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 10. ed. São Paulo: Atlas. 2009. 
Neste livro das páginas 38 a 42 existem vários exercícios resolvidos 
que poderão facilitar a sua aprendizagem.
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son. 2006. 
Nesta obra nas páginas 57 e 58 você pode complementar seus estu-
dos acerca do assunto tratado neste conteúdo.
PARA REFLETIR 
Considere que você possui um comércio varejista e que ao vender 
mercadorias recebeu de um cliente um cheque pré-datado para daqui 
a 30 dias, no valor de R$ 2.000,00. Como você estava necessitando 
de dinheiro hoje para investir no seu comércio procurou uma institui-
ção financeira e solicitou o desconto desse cheque. A instituição fez 
os cálculos e informou que você receberia R$ 1.800,00, devido as des-
pesas para realização da operação. Com base nas informações acima 
fornecidas , aplicar os conhecimentos aprendidos para descobrir qual 
o valor do desconto, qual a taxa de juros e qual a taxa do desconto.
114 Matemática Financeira
3.2 
CÁLCULO E FÓRMULAS COM DESCONTO SIMPLESDesconto Simples Racional (por dentro)
É o valor obtido com o cálculo de juros simples, (já estudado 
anteriormente) sobre o valor atual do título (valor descontado, ou ca-
pital), ou seja, o desconto racional ou por dentro é calculado sobre o 
valor atual do título.
Dr = VA . id . n
O cálculo do desconto racional ou por dentro é igual ao cálculo 
dos juros simples, substituindo-se o Capital (C) na fórmula de juros 
simples pelo Valor Atual (VA) do título. 
Como o valor atual (VA) do título é valor nominal (VN) menos o 
desconto racional (Dr), temos:
VA = VN - Dr , e como Dr = VA . id . n , temos que:
Tema 3
Descontos de Títulos 115 
Exemplo 
Possuo uma nota promissória com o valor nominal de R$ 
500,00 que vai vencer dentro de três meses, mas preciso de dinheiro 
agora e, por isso, resolvo descontá-la. Vou até um banco que adota a 
taxa de juros de 4%a.m. para que ele antecipe o pagamento dessa nota 
promissória. Qual o valor que irei receber do banco?
Solução:
Dados:
VN = 500,00
id = 4% a.m. = 4/100 = 0,04
n = 3 meses
Aplicando-se a fórmula do valor atual, temos:
116 Matemática Financeira
O desconto Dr= 500,00 – 446,43 = 53,57
Resposta: Receberei do banco a quantia de R$ 446,43 pela ven-
da de um título de valor nominal igual a R$ 500,00, com vencimento 
somente daqui a 3 meses,o que corresponde a um desconto racional 
simples de R$ 53,57.
Na realidade, ao efetuar o desconto racional simples, o que o 
banco está fazendo é me emprestar R$ 446,43 durante 3 meses a 
uma taxa de juros simples de 4% ao mês.
Observe: 
Pela fórmula do montante, teríamos que:
M = C(1 + in)
M = 446,43 (1 + 0,04 . 3)
M = 446,43 (1 +0,12)
M = 500,00
Observe que o valor do montante é igual ao valor nominal da 
nota promissória citada.
Desconto Simples Comercial (por fora) ou desconto bancário
O desconto comercial ou bancário é o valor obtido pelo cálcu-
lo de juros simples sobre o valor nominal do título (valor do resgate) 
quando saldado antes de seu vencimento, ou seja, o desconto é calcu-
lado sobre o valor nominal do título.
Dc = VN . id . n
Verifique que o cálculo do desconto comercial é igual ao cálculo 
dos juros simples, substituindo-se o Capital (C) na fórmula de juros 
simples pelo Valor Nominal (VN) do título.
Tema 3
Descontos de Títulos 117 
Como o valor atual do título é valor nominal menos o desconto, 
temos: 
VA = VN - Dc , como Dc = VN . id . n
VA = VN – VN . id . n
VA = VN (1 - id . n)
Exemplo: considerando o mesmo exemplo que calculamos o 
desconto racional, temos que:
VA=VN (1 - id . n)
VA=500(1- 0,04 . 3)
VA= 500(1 - 0,12)
VA=500 x 0,88
VA= 440,00
O desconto Dc= R$ 500,00 - R$ 440,00 =R$ 60,00
Observe que o desconto comercial é maior que o desconto ra-
cional, então o valor a receber pelo desconto comercial é menor que o 
desconto racional, ou seja, a taxa que efetivamente você paga é maior 
que a informada.
O desconto bancário é o desconto co-
mercial acrescido de encargos financeiros, 
os quais são cobrados geralmente sobre 
o valor nominal do título e descontado no 
momento de liberação de dinheiro. São as 
taxas e o IOF17 (imposto sobre operações 
financeiras).
Como calcular o IOF?
IOF = Vf x n x% Sendo: Vf = valor financiado, n é o prazo e 
% é uma alíquota calculada da seguinte forma:
É um imposto, regula-
mentado pela Secretaria 
da Receita Federal, 
sendo de responsa-
bilidade do tomador 
do empréstimo. Ele é 
cobrado na liberação 
do empréstimo. A insti-
tuição financeira cobra 
e repassa ao Tesouro 
Nacional.
17
118 Matemática Financeira
 D Alíquota: máxima de 1,5% ao ano sobre o valor das opera-
ções de crédito. 
 D Alíquotas incidentes vigentes: 
• 0,00137% ao dia para Pessoas Jurídicas optantes 
pelo Simples Nacional, em operações iguais ou infe-
riores a R$ 30.000,00. 
• 0,0041% ao dia para os demais casos; 
Observação
 D Quando n está expresso em dias, ⁿ% = 0,0041% a.d que cor-
responde a 1,5% /360
 D *O IOF não pode exceder 1,5% ao ano (365 dias) do valor fi-
nanciado. Se o prazo de pagamento ultrapassar 365 dias o 
IOF permanecerá sendo 1,5% a.a.
Exemplo 1 
A empresa Garrafa de Vidro Ltda, realizou venda de mercadoria 
a prazo, e com as duplicatas emitidas, ira efetuar uma operação de 
antecipação dos valores , para capital de giro, junto a instituição fi-
nanceira da qual é cliente. O valor de duplicatas a ser descontado é de 
R$ 8.560,00,00 com vencimento previsto para 75 dias. A instituição 
financeira, para realizar essa operação com a empresa Garrafa de Vi-
dro cobra uma taxa de desconto de 2,53% ao mês, Além do IOF cuja à 
alíquota e de 0,0025% ao dia, e outras taxas internas em parcela úni-
ca no valor de R$ 48,00. Com base nas informações acima ,calcule: o 
valor do desconto cobrados no ato da contratação, o valor do Imposto 
sobre operações financeiras (IOF) e o valor líquido creditado na conta 
da empresa .
Tema 3
Descontos de Títulos 119 
Solução:
VN =8.560,00
Id= 2,53% a.m
n=75 dias = 75/30 = 2,5 meses
Cálculo do desconto comercial ou bancário:
Dc=VN x ix n
Dc= 8.560 x 0,0253 x 2,5
Dc= 541,42
Cálculo do IOF(imposto sobre operações financeiras):
IOF= Valor financiado x prazo (em dias )x 0,0025%
IOF = 8.560 x 75 x 0,000025
IOF=16.05
Calculo do valor líquido (valor atual) creditado na conta
VA= Valor financiado (valor nominal) – (desconto + IOF + taxas).
VA=8.560 –(541,42 + 16,05 + 48,00)
VA=8.560 – 605,47
VA= 7.954,53
Resposta: O valor do desconto cobrado no ato da contratação 
foi de R$ 541,42; o valor do Imposto sobre operações financeiras (IOF) 
foi R$ 16,05; e o valor líquido creditado na conta da empresa foi R$ 
7.954,53.
Exemplo 2
Calcular o IOF e o valor líquido de um título no valor de R$ 
6.500,00 descontados em um banco a taxa de 4,5% a.m., e com ven-
cimento de 400 dias.
120 Matemática Financeira
Solução
VN= 6.500
i =4,5% a.m = 4,5/30 = 0,15 / 100 = 0,0015 a.d.
n= 400 dias
Como o IOF não pode exceder a 1,5% a.a., que corresponde a 
0,0041% ao dia, mesmo o prazo sendo de 400 dias,para o cálculo do 
IOF n= 365 dias
IOF = 6.500 x 365 x 0,0041% = 97,27 
Dc = 6.500 x 0,0015 x 400
Dc=3.900
Valor liberado: 6.500,00 – (3.900+97,27) = 
Valor liberado = 2.502,73
Resposta: o valor do IOF é R$ 97,27 e o valor liberado é R$ 2.502,73
Relações entre o Desconto Racional e o Desconto Comercial
Para uma mesma taxa de desconto e mesmo prazo de anteci-
pação, o desconto comercial18 (Dc) é superior ao desconto racional 
(Dr). Isso porque o Dc incide sobre um valor 
maior (valor nominal do título), e o Dr incide 
sobre um valor menor (valor atual do título).
Assim temos que: Dc = Dr (1 + id . n) 
Só para lembrar: na fórmula de montante a juros simples temos: 
M = C(i+in)
Observe que o desconto comercial simples é o montante do 
desconto racional, ou seja, o desconto comercial é o montante origi-
nado de um capital igual ao desconto racional, aplicado no período e a 
taxa de desconto dados.
No Brasil, o desconto 
simples mais utilizado é 
o desconto comercial e 
bancário.
18
Tema 3
Descontos de Títulos 121 
Exemplo:
Uma nota promissória, com desconto racional simples, com resga-
te, três meses antes do vencimento, no valor de R$ 1.600,00, a uma taxa 
de 3,84% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, 
isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. 
Solução:
Temos que:
Dr = 1.600,00
n = 3 meses
i = 3,84% a.m.
VN = ?
Dc = Dr (1 + id . n) 
Dc = 1.600,00 (1 + 0,0384 .3)
Dc = 1.600,00 (1 + 0,1152)
Dc = 1.784,32
Taxa Efetiva de Desconto
Taxa efetiva (i) de desconto é a taxa de juros que, quando incide 
sobre o valor atual do título, produz um montante igual ao valor nomi-
nal. Quando o desconto é racional a taxa efetiva (i) é a mesma taxa de 
desconto racional(id). No caso do desconto comercial a taxa efetiva (i) 
é maior que taxa de desconto comercia l(id)
Exemplo: A empresa Mista descontou uma duplicata no valor 
de R$ 60.000,00 com vencimento para 5 meses a uma taxa de des-
conto de 4% a.m. Qual o valor do desconto concedido, qual o valor 
descontado e a taxa efetiva paga na operação?
122 Matemática Financeira
Solução:
Dados: VN=60.000,00
Id= 4% a.m = 4/100=0,04%.m.
n= 5 meses
Calculo do desconto comercial e seu valor atual
Dc = VN . id . n
Dc = 60.000,00 . 0,04 . 5
Dc = 12.000,00
VA = 60.000,00 – 12.000,00
VA = 48.000,00
A taxa efetiva (taxa de juro que realmente você pagou) foi:
Observe que a taxa de desconto foi de 4% a.m., enquanto a taxa 
de juros paga foi de 5%a.m.
Resposta: o valor do desconto concedido foi de R$ 12.000,00, o 
valor descontado foi R$ 48.000,00 e a taxa efetiva paga na operação 
foi de 5%,ou seja, para a taxa de desconto comercial simples igual a 
Tema 3
Descontos de Títulos 123 
4% a.m., a taxa efetiva de desconto é de 5% a.m. Se, em vez de des-
conto comercial, utilizássemos desconto racional, a taxa efetiva seria 
a própria taxa de desconto.
Para calcular o valor da taxa efetiva de desconto de um título, 
não é necessário saber o seu valor nominal. Basta saber a taxa de des-
conto comercial e o número de períodos de antecipação. Assim:
Considerando o exemplo anterior, temos que:
id=4%a.m. e n= 5 meses
Então:
Observe que o resultado é o mesmo. No próximo conteúdo ve-
remos os descontos compostos, que possuem o mesmo principio de 
raciocínio dos juros compostos, assunto que estudamos no tema 2 
deste livro, mas que será aprofundado a seguir. 
124 Matemática Financeira
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplicações. 
10 ed. São Paulo: Atlas, 2009.
Você poderá ver nas paginas 38 a 51 vários exercícios resolvidos que 
poderão facilitar a sua aprendizagem.
 D MILONE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thompson, 
2006.
Neste livro, nas páginas 59 a 66, você pode complementar seus estu-
dos especialmente referente aos conceitos inerentes ao assunto.
 
PARA REFLETIR 
Considere que a empresa Maria Bonita Ltda. possui uma duplicata no 
valor de R$ 5.000,00 vencível daqui a 66 dias. 
Uma instituição financeira realiza a operação de desconto a uma taxa de 
2,7% ao mês. Para que isso aconteça, o banco cobra IOF(imposto sobre 
operações financeiras) a uma alíquota de 0,0041% ao dia, uma taxa de 
abertura de crédito no valor d R$ 50,00, e outras despesas administrati-
vas no valor de R$ 100,00.O banco ainda exige que o cliente permaneça 
com 5 % do valor da duplicata como saldo médio, para melhoria do re-
lacionamento do cliente com o banco. Levando em consideração que a 
empresa aceitou as condições impostas pelo banco, vamos saber: quanto 
foi o desconto comercial simples efetuado pelo banco? Quanto foi o IOF 
pago pela empresa? Qual o saldo médio a ser retido na conta corrente 
e, por fim, qual o valor líquido que a empresa recebeu efetivamente?
Tema 3
Descontos de Títulos 125 
3.3 
DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é 
o mesmo ao do regime de desconto simples, sendo que o desconto 
simples é utilizado em operações de curtíssimo prazo e o desconto 
composto em operações de médio e longo prazo.
O desconto composto é obtido com base no regime de capitali-
zação composta, ou seja, em função de taxas de juros exponenciais. 
O desconto composto se comporta como a soma de vários descon-
tos simples nos respectivos períodos e com a taxa incidindo sobre o 
valor nominal. 
Reforçando os conceitos apresentados no desconto simples, 
temos que: 
Desconto(D) é diferença entre o valor nominal e o valor atual ou 
descontado do título. Sendo VN, o valor nominal e VA, o valor atual, 
expressamos o desconto como:
D = VN -VA 
Valor nominal – é o valor expresso no título: VN= VA + D
Valor descontado ou valor atual – é o valor líquido, ou seja o 
valor já descontado: VA=VN – D
O desconto composto pode ser definido como a soma dos des-
contos simples, considerando cada período na operação e calculando 
sempre as taxas sobre o valor nominal da operação.
126 Matemática Financeira
Observe como funciona:
Se um título qualquer é pago com 4 meses de antecedência, o 
desconto composto seria calculado da seguinte forma:
Com o valor nominal calcula o valor atual do título um mês antes 
do vencimento;
1. O valor encontrado se torna nominal para efetuar os calcu-
los com 2 meses de vencimento;
2. O valor atual encontrado passa a ser nominal para os cálcu-
los com 3 meses antes do vencimento;
3. E assim sucessivamente se os descontos encontrados re-
presentam a soma de prazos diversos. Neste caso, veremos 
na parte seguinte que estaremos tratando do desconto ra-
cional composto.
São conhecidos dois tipos de descontos composto:
 D O desconto composto “por fora” comercial ou bancário;
 D O desconto composto “por dentro” ou racional.
Desconto racional composto ou por dentro
O desconto racional composto ou por dentro, tem comporta-
mento semelhante ao desconto racional simples. 
No desconto racional composto ou por dentro o valor nominal 
VN é igual ao montante do valor atual racional composto VA para um 
número de períodos n igual ao da antecipação. Ou seja, se aplicásse-
mos o valor atual racional composto durante os n períodos de ante-
cipação, a juros compostos, o montante seria igual ao valor nominal.
Tema 3
Descontos de Títulos 127 
Os encargos do desconto racional composto incidem sobre o va-
lor atual ou valor descontado do título. O que o difere do desconto co-
mercial, em que os encargos incidem sobre o valor nominal do título.
Tanto em desconto simples como no desconto composto o valor 
do desconto é a diferença entre o valor nominal do título (valor futuro) 
e seu respectivo valor atual (valor presente).
Calculando o valor nominal de um título no desconto racional com-
posto: partindo da fórmula do montante em juros compostos, temos que:
M = C(1 + i)n, como M representa o valor nominal (VN) e C, o 
valor atual (VA), efetuando a substituição temos:
Como já sabemos que o desconto é a diferença entre o valor no-
minal e o valor descontado.
128 Matemática Financeira
Exemplo:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 60 dias para seu 
vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com 
o desconto composto comercial ou por fora. Calcule o valor do des-
conto efetuado através do desconto racional composto.
Dados:
VN = 25.000,00
i = 2,5 a.m
n = 60 dias = 2 meses
Usando a formula para o calculo do desconto, temos:
Tema 3
Descontos de Títulos 129 
O desconto racional composto é R$ 1.212,50
Desconto composto comercial ou bancário por fora
O desconto comercial composto não é muito utilizado em ope-
rações práticas, motivo pelo qual é pouco pedido em exames.
No Brasil, enquanto o desconto simples mais utilizado é o des-
conto comercial ou bancário, em se tratando de desconto composto, o 
mais utilizado é o desconto racional.
O desconto comercial composto é calculado da mesma maneira 
do desconto comercial simples, isto é, é calculado sobre o valor nomi-
nal do título e o valor atual corresponde a uma seqüência de taxas de 
descontos sobre o valor nominal, ou seja, sobre o valor do título.
Já temos conhecimento que a diferença entre o valor nominal 
do título e o seu valor atual é denominada desconto
Então:
No 1º período: VA = VN (1 - id)
No 2º período: VA = VN (1 - id).(1 - id) = VN(i - id)2 
No 3º período: VA = VN (1 - id).(1 - id).(1 - id) = VN(1 - id)3
e assim sucessivamente, então no período n, temos que 
130 Matemática Financeira
Como:
Considerando o mesmo exemplo do desconto racional compos-
to: uma duplicata no valor de R$ 25.000,00,com 60 dias para seu 
vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com 
o desconto composto comercial ou por fora. Calcule o valor do des-
conto efetuado.
Dados:
VN = 25.000,00
i =2,5 a.m
n=60 dias = 2 meses
Usando a formula para o calculo do desconto, temos:
Tema 3
Descontos de Títulos 131 
Resposta o valor do desconto é R$ 1.234,50
Observe que o desconto racional composto é menor que o des-
conto comercial composto. Veremos no próximo conteúdo de forma 
detalhada, os cálculos e fórmulas para realização das operações de 
desconto composto.
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
Consultando essa obra, páginas 49 a 54, existem vários exercícios re-
solvidos que poderão facilitar a sua aprendizagem.
 D MILO NE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son, 2006.
Neste livro, nas páginas 59 a 66, você pode complementar seus estu-
dos especialmente referente aos conceitos inerentes ao assunto aqui 
apresentado.
132 Matemática Financeira
PARA REFLETIR 
Apesar de diversas fórmulas para o cálculo do desconto simples ou 
composto, observe que em qualquer situação e conhecendo o valor 
nominal do título e o valor atual para calcular o desconto, basta usar a 
diferença entre o valor nominal do título e o valor atual. Gostaria que 
você refletisse com relação ao desconto comercial simples e o des-
conto racional composto no tocante: qual deles o desconto é maior? 
Porque o Brasil utiliza mais esses dois tipos de desconto? Se você 
possuísse um cheque pré datado no valor de R$500,00 para 60 dias 
a uma taxa de 3,5%, você sugeria o desconto comercial simples ou o 
desconto racional composto?
 
3.4 
CÁLCULO E FÓRMULAS COM DESCONTO COMPOSTO 
Desconto composto comercial ou bancário (por fora)
Estudamos no conteúdo anterior que o desconto comercial 
composto é calculado da mesma maneira do desconto comercial sim-
ples, isto é, é calculado sobre o valor nominal do título.
Como o valor atual corresponde a uma seqüência de taxas de 
descontos sobre o valor nominal, encontramos anteriormente que:
VA = VN (1-id)n , expressão que calcula o valor atual de um títu-
lo utilizando desconto comercial.
Tema 3
Descontos de Títulos 133 
Isolando o valor de VN, temos
Exemplo 1 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00,com 60 dias para seu 
vencimento é descontada a uma taxa de 2,5%ao mês, de acordo com 
o desconto composto comercial ou por fora. Calcular o valor líquido a 
ser creditado na conta e o valor do desconto efetuado.
Solução:
134 Matemática Financeira
O valor líquido creditado na conta foi R$ 23.765,62 
Exemplo 2
Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promis-
sória e recebeu o valor de R$ 51.311,60. Sabendo que a taxa de juros 
do banco é de 3% ao mês e que o vencimento do título é para daqui a 8 
meses, determine qual o valor do título descontado pelo lojista.
Solução:
Tema 3
Descontos de Títulos 135 
O valor do título descontado pelo lojista foi de R$ 65.448,47
Desconto Composto Racional (por dentro)
Em desconto simples estudamos que o valor do desconto é a 
diferença entre o valor nominal do título e seu respectivo valor atual e 
o valor nominal é calculado por meio da fórmula de montante de juros 
compostos. 
M = C(1 + i)n, como M representa o valor nominal (VN) e C, o 
valor atual (VA),efetuando a substituição:
Exemplo 1
Um cheque pré-datado, no valor de R$ 2.000,00, é resgatado 2 
meses antes do vencimento, obedecendo ao critério do desconto ra-
cional composto. Sabendo-se que a taxa de desconto era de 10%a.m,-
determinar o valor descontado 
136 Matemática Financeira
Solução:
O valor foi descontado foi R$ 1.652,89 
Tema 3
Descontos de Títulos 137 
Exemplo 2
Descontei uma duplicata que iria vencer daqui a 3 meses, a uma 
taxa de 6% a.m. Qual o valor de face do título, sabendo que foi de-
positado na minha conta R$ 45.000,00 e o desconto utilizado foi o 
racional composto?
Solução:
VA= 45.000,00
n=3 m
i=65 a.m.
VN=?
VN = VA (1 + i)n
VN = 45.000 (1 + 0,06)3
VN = 45.000 (1,06)3
VN = 45.000 . 1,191
VN = 53.595,00
O valor de face do título era R$ 53.595,00
Comparação entre o Desconto Simples e o Desconto Composto. 
Já estudamos os tipos de descontos19 
simples e composto, agora vamos comparar 
qual o melhor para o cliente e para a institui-
ção financeira ou o possuidor do recurso.
Considere o problema:
Uma loja desconta uma nota promissória com valor nominal de 
R$ 10.000,00 com vencimento em 6 meses, a uma taxa de desconto 
de 3%a.m.Vamos calcular o desconto e o valor descontado de acor-
do com os conceitos de desconto simples e composto, racional e 
bancário.
Quanto maior o descon-
to, melhor para quem 
possui o recurso e vai 
emprestá-lo
19
138 Matemática Financeira
Solução: 
VN=10.000,00
n= 6 meses
i=3% a.m.
Desconto racional (ou por dentro) simples: 
Tema 3
Descontos de Títulos 139 
Desconto comercial (ou por fora) simples
VA = VN (1 – id . n)
VA = 10.000 ( 1 – 0,03 . 6)
VA = 10.000 ( 1 – 0,18)
VA = 10.000 . 0,82
VA = 8.200
DC = 10.000 – 8.200
DC = 1.800,00
Desconto racional (ou por dentro) composto.
140 Matemática Financeira
Desconto comercial (ou por dentro) composto
PV = FV (1 – id)n
PV = 10.000 (1 – 0,03)6
PV = 10.000 (0,97)6
PV = 10.000 . 0,833
PV = 8.333
Dc = 10.000 – 8.333
Dc = 1.667
Tipo de desconto Valor do desconto Valor atual
Racional Simples 1.525,42 8.474,58
Comercial Simples 1.800,00 8.200,00
Comercial Composto 1.667,00 8.333,00
Racional Composto 1.624,79 8.375,21
Conclusão: Em se tratando de uma instituição financeira, a me-
lhor opção é o desconto bancário simples, porque o desconto é maior. 
No entanto, para quem vai receber o recurso, o melhor é o desconto 
racional simples, devido o desconto ser menor, e logicamente receber 
mais. No próximo tema , veremos as aplicações práticas das ferra-
mentas até aqui estudadas, na operação de séries periódicas e siste-
mas de amortizações.
Tema 3
Descontos de Títulos 141 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 10 ed. São Paulo: Atlas. 2009.
Neste livro, nas páginas 51 a 54, você poderá encontrar de maneira 
mais detalhada as fórmulas para o cálculo do desconto composto.
 D TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da 
HP-12-C. 4 ed. São Paulo: Atlas. 2008.
Nesta obra, nas páginas 113 a 116 você pode complementar seus estu-
dos resolvendo os exercícios que facilitarão a sua aprendizagem.
PARA REFLETIR 
Nas situações cotidianas, em que temos assuntos financeiros envolvidos, 
sempre haverá duas visões a serem consideradas. A visão de quem ofe-
rece o capital, e que quer ser ressarcido com os maiores valores possíveis 
por esse empréstimo l e a visão de quem toma o capital e quer ressar-
ci-lo com o menor valor possível. Gostaria que você refletisse em rela-
ção ao desconto comercial simples e o desconto racional composto no 
tocante: qual é o melhor desconto a ser aplicado? Use o ponto de vis-
ta de ambos a partir da situação dada. Considere que para custear uma 
viagem para o exterior, uma pessoa como garantia de um empréstimo 
tenha assinado uma nota promissória no valor de R$ 7.540,00 para pa-
gamento em 150 dias. O banco que concedeu o empréstimo opera com o 
desconto comercial composto de 4,56% ao mês além de 0,67% sobre o 
valor do título como pagamento de despesas administrativas e impostos.
 
142 Matemática Financeira
RESUMO 
Finalizamos o tema III e estudamos que o desconto é uma solução de-
senvolvida especialmente para quem deseja antecipar o valor de um 
título de crédito. Além da classificação e conceitos dos tipos de des-
conto, vimos também os títulos de créditos mais utilizadosnas ope-
rações financeiras. 
Na segunda parte do tema estudamos as diversas fórmulas para o cál-
culo de um desconto, seja ele racional simples ou desconto comercial. 
Na terceira parte do tema, estudamos os conceitos de desconto com-
posto que coincidem com os conceitos utilizados no desconto sim-
ples. A diferença é a forma de cálculo. No desconto simples o calculo é 
linear e no desconto composto, o cálculo é exponencial. 
 Concluímos o último tópico do tema III e aprendemos calcular o valor 
nominal, o valor atual, a taxa e o tempo do desconto composto racio-
nal ou comercial. 
 
Anotações
tema 4
Séries Periódicas 
Uniformes, Empréstimos 
para capital de Giro e 
Sistemas de Amortização 
e Empréstimos
Neste tema iremos estudar vários assuntos que irão 
enfatizar a prática da Matemática Financeira na nos-
sa vida cotidiana, como as rendas ou séries de pa-
gamentos que nos levarão a calcular o valor de uma 
prestação de um crediário, de um empréstimo. Vere-
mos, também, algumas modalidades para adquirir 
capital de giro para uma empresa. 
Por fim, estudaremos ainda os sistemas de amorti-
zações, quando você aprenderá a elaborar uma pla-
nilha financeira para acompanhar o pagamento dos 
juros e a amortização da dívida de um empréstimo 
ou de um financiamento.
4.1
CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES. VALOR PRESENTE DE SÉRIE PERIÓ-
DICA UNIFORME E MONTANTE DE SÉRIES PERIÓDICA UNIFORME
Nos assuntos anteriores estudamos os problemas financeiros 
que um capital aplicado ou emprestado a determinada taxa de juros 
simples ou composta, durante determinado período produziria um 
montante, ou seja, o empréstimo ou a aplicação se resumia a um único 
pagamento ou recebimento.
Agora vamos estudar os casos em que o valor de um emprésti-
mo ou aplicação é realizado por meio de uma quantidade de parcelas 
iguais e sucessivas.
Quando você faz um crediário, deposita em caderneta de pou-
pança, com a intenção de poupar; ou mesmo financia um carro e paga 
em prestações, você esta diante de uma série de pagamento ou rendas. 
Então, a definição mais objetiva de uma renda é: conjunto de 
pagamentos ou recebimentos efetuados ao longo do tempo. Assim, 
se você paga a renda, está amortizando a dívida. Esse processo é cha-
mado amortização. Mas, se você está recebendo a renda para resgatar 
futuramente, dizemos que você está capitalizando. Esse processo, que 
já conhecemos, chamamos de capitalização.
Os valores pagos ou recebidos de uma renda são chamados de 
anuidades ou parcelas.
Classificação das rendas 
 D Rendas Certas ou séries periódicas uniformes;
 D Rendas Aleatórias.
148 Matemática Financeira
Renda certa - Quando na época em que é feito o contrato, fica 
tudo acordado antecipadamente, como o período que durará a renda, 
a forma de pagamento, a taxa de juros, o valor da renda, e assim por 
diante. Geralmente, os empréstimos e financiamentos são exemplos 
de renda certa.
Renda aleatória - Quando depende de fatores que venham ou 
não acontecer. Por exemplo: seguro de vida é uma renda aleatória, de-
pende de que haja um acidente para ser recebido, ou seja, depende de 
fatores incertos, que podem ou não ocorrer. 
Classificação das rendas certas ou séries periódicas uniformes 
As rendas ou séries periódicas uniformes são classificadas de 
acordo com os valores, os períodos, os prazos e os vencimentos. Assim:
 D Quanto aos valores, as rendas podem ser: Constantes (valo-
res iguais) e Variáveis (valores diferentes);
 D Quanto aos períodos, as rendas podem ser: Periódicas (pe-
ríodos iguais) e Não periódicas (períodos diferentes);
 D Quanto ao prazo, as rendas podem ser: Temporárias ou fini-
tas (quando o período de tempo é conhecido) e Perpétuas ou 
infinitas (quando ocorrem para sempre, ou seja, o período de 
tempo é ilimitado, como no caso da aposentadoria);
 D Quanto ao vencimento, as rendas podem ser: Imediatas 
(quando não existe carência para o primeiro pagamento) e 
Diferidas (quando ocorre carência para ser efetuado o 
primeiro pagamento).
É importante sabermos ainda que as séries de pagamentos 
imediatas podem ser:
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 149 
 D Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no 
início do período.
 D Postecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no 
final do período.
No entanto, aqui nosso estudo vai se ocupar apenas das sé-
ries uniformes de pagamentos constantes, periódicas, temporárias 
e imediatas.
Série uniforme de pagamentos
Uma serie é dita uniforme quando existem vários pagamentos 
ou recebimentos de um mesmo valor.
Séries uniformes de pagamentos iguais com termos postecipados
Nas séries uniformes com termos postecipados, os pagamen-
tos ou recebimentos ocorrem no fim de cada período. Por exemplo, se 
as prestações forem mensais, o primeiro pagamento será efetuado no 
final do 1º mês, e assim sucessivamente. É aquele sistema de paga-
mento ou recebimento sem entrada.
Por exemplo, você vai a uma loja comprar uma televisão: não 
paga entrada e divide o total para parcelas mensais e iguais a vencer 
de hoje a 30 dias.
Fluxo de caixa do valor presente de uma série uniforme postecipada
Fonte: Autoria própria
150 Matemática Financeira
Esse exemplo corresponde a uma série uniforme de pagamen-
tos iguais com termos postecipados, em que a soma dos valores atu-
ais dos termos da série corresponde ao valor presente ou valor atual, 
e a primeira parcela é paga no final do período, ou seja, na data focal 1. 
A data focal zero corresponde a hoje. 
Considerando:
PV= valor presente, valor atual ou capital. 
FV=valor futuro ou montante
PMT= pagamento ou prestação
n= tempo
i=taxa
Assim sendo, vamos calcular a expressão do valor presente de 
uma série uniforme postecipada. Cada prestação é considerada como 
um valor futuro a ser pago em datas diferentes, porém com as parce-
las iguais. O capital representa a soma dos valores presentes de cada 
prestação.
Fonte: Autoria própria
O valor presente de uma série de termos uniformes postecipa-
dos dada o valor da prestação é:
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 151 
Fonte: Autoria própria
Para o cálculo da prestação, conhecendo o valor presente 
temos que:
Fonte: Autoria própria
152 Matemática Financeira
Obs: essas fórmulas foram expressas de maneira direta. Quem 
tiver interesse de ver passo a passo como encontrá-la deve verificar 
na bibliografia complementar.
Exemplo 1
Necessitando de um fogão, vi um anúncio em um jornal de clas-
sificados da marca que pretendia adquirir por R$ 200,00 para pa-
gamento à vista. Se fosse a prazo seriam cinco prestações iguais e 
mensais, sendo a primeira paga de hoje a 30 dias. Qual será o valor de 
minha prestação, tendo conhecimento de que a taxa de juros compos-
tos cobrada pela loja foi de 5% ao mês.
Solução:
PV=R$ 200,00
PMT=?
i=5% a.m = 0,05 
n=5
Fonte: Autoria própria
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 153 
Pela fórmula simplificada temos:
Fonte: Autoria própria
Resposta: o valor de cada prestação do fogão é de R$ 46,20.
Exemplo 2
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de 
12 pagamentos mensais e iguais de R$ 1.000,00 vencendo a primeira 
parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo 2,92% a.m. a taxa 
de juros negociada na operação.
Solução:
PMT= R$ 1.000,00
n= 12
i= 2,92 % a.m.= 0,0292 
PV= ?
154 Matemática Financeira
Fonte: Autoria própria
Resposta: o valor do financiamento é de R$ 10.000,00
Séries uniformes de pagamentos iguais com termos antecipados
Nas séries com termos antecipados, a entrada ou saída de flu-
xosde caixa, os pagamentos ou recebimentos, de acordo com Assaf 
Neto (2012, p.131) ocorrem quando “[...] a primeira prestação é paga no 
ato da operação.”, ou seja, no início de cada período. 
Observe a diferença entre a renda postecipada e a antecipada. 
Na postecipada, o pagamento ou recebimento da primeira prestação é efe-
tuado no final do mês em que o contrato foi realizado (data focal 1), enquanto na 
série antecipada, o pagamento ou recebimento da primeira prestação é feito 
no ato do contrato(data focal 0).
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 155 
Por exemplo: você vai a uma loja comprar uma televisão; paga 
uma entrada e divide o restante para parcelas mensais e iguais.
Fluxo de caixa de do valor presente de uma série uniforme antecipada
Fonte: Autoria própria
Observe que a primeira parcela é paga no momento 0 (zero). 
O momento zero corresponde a hoje. A definição de série de termos 
antecipados é devido ao fato de que a primeira parcela é efetuada na 
data atual (hoje).
Conhecendo-se uma taxa i, um prazo n e o valor da prestação 
PMT, podemos calcular o valor presente PV de uma série de paga-
mento antecipado.
Fonte: Autoria própria
156 Matemática Financeira
Para o cálculo da prestação PMT, conhecendo o valor presente, 
PV, temos:
Fonte: Autoria própria
Exemplo1
Um empresário adquiriu equipamentos, no valor de 
R$36.000,00, a ser pago em 36 prestações mensais e iguais, com 
uma taxa de juros de 1,8% a.m. Determinar o valor das prestações, 
caso a primeira parcela seja paga a vista. 
No próximo conteúdo, estudaremos as fórmulas para calculo 
das séries periódicas uniformes.
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 157 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thompson 
Learning. 2006.
Nesta obra, entre as páginas 145 a 162, você encontrará mais conheci-
mentos a respeito do assunto relatado neste conteúdo. 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas aplica-
ções. 10 ed. São Paulo: Atlas. 2009.
O autor, nas páginas 98 a 101, traz vários exercícios resolvidos que 
poderão facilitar a sua aprendizagem.
PARA REFLETIR 
Agora que você aprendeu a calcular o valor atual de uma série de pa-
gamentos uniformes e tem conhecimento que elas são utilizadas no 
mercado pelas financeiras através, principalmente, dos empréstimos 
pessoais conhecidos como CDC (Credito Direto ao Consumidor) etc, 
pense e reflita tal situação: você pretende viajar daqui a três anos 
para o exterior, já procurou informações em uma agência de viagem 
e ficou sabendo que o valor dessa viagem custa R$ 10.000,00 com 
todas as despesas, inclusive as refeições. Quanto você deve guardar 
mensalmente, em uma poupança, ou um fundo de aplicação para no 
final dos 3 anos poder realizar seu sonho, se a taxa que perdura no 
mercado é de 6% a.a?
158 Matemática Financeira
4.2 
CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM SÉRIES 
PERIÓDICAS UNIFORMES
De acordo com o conteúdo anterior, observamos que existem 
varias fórmulas para o cálculo dos elementos das séries periódicas 
uniformes. Cada fórmula exige conhecimentos da matemática ele-
mentar, como potenciação, logaritmos etc. E se faz necessário o uso 
de uma calculadora. Portanto, nessa parte iremos explorar somente o 
cálculo do valor futuro, conhecendo o valor presente e o valor da pres-
tação será exemplificado.
As demais fórmulas serão expressas apenas para conhecimento. 
Cálculo do montante de séries periódicas uniformes postecipada.
*Dado o valor da prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV).
Fonte: Autoria própria
Exemplo 
Para poder ouvir aquela música de aviões do forró, Andre Luiz 
presenteou sua filha com um novo som. Como não podia pagar à vis-
ta, colocou no cartão de crédito pagando 12 parcelas mensais de R$ 
150,00. Sabendo que a taxa de juros financiada pelo cartão é de 2,38% 
ao mês, qual o valor pago pelo som?
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 159 
Solução:
Fonte: Autoria própria
Resposta: o valor pago pelo som foi de R$ 2.055,25
160 Matemática Financeira
*Dado FV, achar PMT
Exemplo
Você vai se aposentar daqui a 15 anos, mas já começou a poupar. 
Vamos supor que você queira acumular R$ 200.000,00 até a data de 
sua aposentadoria para poder sustentar seu padrão de vida. Quanto 
você terá de poupar cada mês, iniciando daqui a 30 dias para satisfa-
zer essa meta futura? Digamos que a taxa de juros seja de 2% ao mês. 
Solução:
Fonte: Autoria própria
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 161 
Resposta: você terá que poupar cada mês R$ 116,55 para daqui 
a 15 anos ter R$ 200.000,00
*Cálculo do número de períodos20 de 
uma renda de uma série periódica uniforme 
postecipada, conhecendo o valor da presta-
ção e o valor futuro.
Fonte: Autoria própria
*Cálculo da taxa de juros de uma renda de uma série periódica 
uniforme postecipada, conhecendo o valor da prestação e o valor futuro.
Não é possível calcular a taxa de juros através de fórmulas, ou 
seja, por mais que se tente encontrar a taxa de maneira algébrica, só 
conseguiremos um valor aproximado. Na prática é necessário utilizar 
a calculadora HP 12C ou a planilha eletrônica do Excel.
Cálculo do montante de séries periódica uniforme antecipada. 
*Dado o valor da prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Fonte: Autoria própria
Para calcular o número 
de períodos é necessá-
rio usar logaritmos. Seja 
na base 10(log), seja 
na base (ln). Pode-se 
calcular n. a partir de 
qualquer base. O que 
não pode é misturar 
as bases na mesma 
operação.
20
162 Matemática Financeira
Exemplo
Marcelo resolveu presentear a sua professora no dia do ani-
versário com uma calculadora HP 12C. Como não tinha dinheiro para 
pagá-la a vista, comprou-a a prazo, dando uma entrada e mais 7 pa-
gamentos mensais de R$ 25,00.Qual o valor pago pela calculadora 
sabendo que a taxa de juros cobrada foi de 5% a.m
Solução:
Fonte: Autoria própria
Resposta: Marcelo pagou pela calculadora R$ 213,72 
*Dado o valor futuro (FV), achar o valor da prestações(PMT)
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 163 
Fonte: Autoria própria
Exemplo: As lojas América resolveram queimar o estoque. As 
vendas de todos os seus produtos estavam divididas em cinco pres-
tações mensais iguais (1+4). Resolvi comprar um freezer que custava 
R$ 1.500,00 para parcelar. Fiquei sabendo pelo vendedor que a taxa 
de juros cobrada era apenas de 2%.Qual o valor da minha prestação?
Solução:
Fonte: Autoria própria
164 Matemática Financeira
Resposta: vou pagar R$ 282,50 de entrada mais 4 parcelas 
mensais do mesmo valor.
*Cálculo do número de períodos de uma renda de uma série 
periódica uniforme antecipada, conhecendo o valor da prestação e o 
valor futuro.
Fonte: Autoria própria
*Cálculo da taxa de juros de uma renda de uma série periódica 
uniforme antecipada, conhecendo o valor da prestação e o valor futuro.
Da mesma maneira que a série uniforme postecipada, não é 
possível calcular a taxa de juros através de fórmulas, ou seja, por mais 
que se tente encontrar a taxa de maneira algébrica, só conseguiremos 
um valor aproximado. Na prática é necessário utilizar a calculadora 
HP 12C ou a planilha eletrônica do Excel. 
No próximo conteúdo, estudaremos as aplicações cotidianas 
em que a matemática financeira é vastamente utilizada, como cálculo 
de aquisição de capital de giro, item fundamental para o bom funcio-
namento de todas as empresas. 
Tema 4Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 165 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thomp-
son Learning, 2006.
Entre as páginas 156 a 172, você encontrará mais conhecimentos a 
respeito do assunto relatado neste conteúdo. 
 D TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização da 
HP-12-C. 4. ed. São Paulo: Atlas. 2008.
Nas páginas 140 a 162 existem vários exercícios resolvidos que pode-
rão facilitar a sua aprendizagem.
PARA REFLETIR 
Nessa parte você notou que tivemos fórmulas e muito cálculo. Vamos 
imaginar que um casal está esperando um bebê para daqui a seis me-
ses, e que planeja levantar um emprestimo no banco, no valor de R$ 
8.500,00 para mobiliar o quarto e comprar o enxoval, para quando o 
bebê chegar, que a prestação que eles podem pagar é de R$ 750,00 
por mês, e que a taxa cobrada pelo banco é de 2,25% ao mês, qual o 
número de prestações para quitar a dívida? E quanto você acha que 
eles vão pagar pela dívida?
 
166 Matemática Financeira
4.3 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E EMPRÉSTIMOS PARA 
CAPITAL DE GIRO
Você já deve ter observado que a Matemática Financeira conta 
com diversas aplicações, tanto em relação às operações comerciais, 
como as financeiras, tais como os empréstimos, as vendas e compras 
de mercadorias e muitos outros.
 Neste conteúdo, vamos estudar algumas modalidades de em-
préstimos bancários de curto prazo, com o objetivo de movimentar o 
capital de giro e desenvolver e praticar o cálculo dos encargos finan-
ceiros e da taxa efetiva de custo das operações.
Já estudamos que o desconto é a diferença entre o valor futuro 
de um título (duplicata, nota promissória, cheques pré-datado, etc.) e 
seu respectivo valor atual. Os encargos financeiros são cobrados so-
bre o valor nominal do título (valor do resgate) e pagos à vista.
O desconto que é utilizado nas operações que envolvem emprésti-
mo para capital de giro das empresas é o desconto comercial ou bancário.
Que são encargos financeiros?
São os juros, as taxas e os impostos cobrados em uma transa-
ção financeira.
Que é capital de giro?
São recursos que as empresas mantêm em caixa para atender 
suas necessidades operacionais imediatas. É normalmente utilizado 
para reorganizar o fluxo financeiro ou, também muito usado para de-
senvolvimento de novos projetos e empreendimentos.
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 167 
As dificuldades de capital de giro numa empresa são devidas, 
principalmente, à ocorrência dos seguintes fatores: redução de vendas, 
crescimento da inadimplência, aumento das despesas financeiras, au-
mento de custos, além da combinação dos quatro fatores anteriores
Vantagens: no momento da contratação de um empréstimo 
para capital de giro, não é necessário comprovar a destinação dos re-
cursos, e os prazos para pagamento podem ser negociados de acordo 
com a necessidade; os recursos são transferidos diretamente para a 
conta corrente do cliente. O limite do empréstimo de capital de giro é 
definido de acordo com a capacidade de pagamento da empresa que 
está contratando o empréstimo.
Vejamos algumas das principais fontes e mecanismos de em-
préstimo para o capital de giro:
Desconto de duplicatas 
É um empréstimo concedido aos clientes para o retorno ime-
diato de recursos para o caixa das empresas, ou seja, aumentar o 
capital de giro.
Fonte: Autoria própria
168 Matemática Financeira
 A empresa vendedor (sacador) vende a prazo com emissão 
de duplicatas. Ela negocia com o banco e recebe os recursos em sua 
conta corrente. A empresa compradora (Sacado) recebe pelo correio a 
cobrança bancária e no vencimento liquida o pagamento. Se o Sacado 
não honrar o pagamento, o banco cobra do Cedente. 
Os bancos quando realizam desconto de duplicatas, notas pro-
missórias, cheques pré-datados, etc. cobram encargos financeiros
1. Taxa de desconto - representa a relação entre os juros e o 
valor nominal do título. 
2. Taxas administrativas- as instituições financeiras visando 
cobrir certos custos de cobrança dos títulos e outros custos 
administrativos cobram essa taxa, geralmente no ato da li-
beração do recurso e de uma só vez;
3. IOF - quando estudamos desconto, aprendemos como é fei-
to o cálculo desse imposto, e vimos que ele é calculado a 
uma taxa de juro linear sobre o valor nominal do título e é 
cobrado assim que o recurso é liberado. A alíquota para cal-
cular esse imposto é determinada pelo Banco Central.
Vejamos um exemplo:
Suponha o desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ 
3.000,00 descontada 60 dias antes do seu vencimento. A taxa de 
desconto nominal cobrada pelo banco é de 3,0% a.m. e o IOF atinge a 
0,0041% a.d. . Calcular o valor líquido liberado e o custo efetivo mensal 
da operação 
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 169 
SOLUÇÃO
VN = R$ 3.000,00
n = 60 dias
d = 3,% a.m.
IOF = 0,0041% a.d.
Desconto: 
d = VN x id x n 
d=3.000x 0,03 x 2= 180,00
IOF:
3.000 x 0,000041 x 60 =7,38
Valor líquido liberado:
3.000 – 180 -7,38 =2.812,62
O custo efetivo da operação é:
Fonte: Autoria própria
Para conhecermos a taxa equivalente para 30 dias, devemos 
aplicar a fórmula de taxa equivalente:
170 Matemática Financeira
Fonte: Autoria própria
Commercial Papers
O commercial papers são títulos emitidos pelas sociedades por 
ações com o objetivo de obter capital de giro. São negociados no mer-
cado por um valor líquido e recomprados pela empresa que emitiu 
pelo seu valor nominal. Não oferecem maiores garantias. Possuem 
um prazo curto de duração, e são indicados para investidores interes-
sados em aplicações de curto prazo. O prazo mínimo dos commercial 
papers é de 30 dias e o máximo de 360 dias.
Os recursos obtidos com a emissão dos commercial papers, ge-
ralmente são usados para financiar as atividades de curto prazo da 
empresa. 
Os encargos pagos nas operações de commercial papers, nor-
malmente são inferiores aos empréstimos bancários. 
Exemplo
Uma empresa emitiu R$ 1 milhão em commercial papers por 
180 dias. A remuneração oferecida aos aplicadores é uma taxa de des-
conto de 2% a.m. (12,62% a.s.). A empresa incorre, ainda, em despesas 
diversas equivalentes a 1% do valor da emissão. Calcular o valor líqui-
do recebido pela empresa emitente e o custo efetivo da operação.
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 171 
SOLUÇAO:
Lembre-se que 2 % ao mês correspondem a 12,62% ao semestre 
(180 dias)
Fonte: Autoria própria
Desconto: 
d = VN x id x n 
d=1.000.000 x 0,1262 x 1= 126.200
Despesa:
1.000.000 x 0,01 = 10.000
Valor líquido: 1.000.000-(126.200 +10.000)
Valor líquido: 1.000.000 – 136.000
Valor líquido: 864.000,00
172 Matemática Financeira
Custo Efetivo
Fonte: Autoria própria
Hot Money 
Empréstimo de curtíssimo prazo que os bancos fazem às em-
presas. Geralmente é contratada por um dia e renovada diariamente. 
O cálculo é feito pela capitalização simples com juros comerciais e as 
taxas são dadas em mês. 
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 173 
Exemplo: uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot mo-
ney no valor de R$ 500.000,00 pelo prazo de um dia a taxa de 3% ao 
mês. No dia seguinte, sem condições de pagar o montante ,solicita a 
renovação do empréstimo por mais um dia. A taxa de renovação foi de 
3,2% ao mês. Qual será o montante no fim de 2 dias? 
Solução: 1º dia j = 500.000,00 x 0,03/30 x 1 = 500,00
2ºdia j = 500.500,00 x 0,.32/30 x 1 = 533,87
Montante: 500.000,00+ 500,00 + 533,87 = 501.033,87
IOF (imposto sobre operações financeiras)
Só para lembrar, o IOF é cobrado antecipadamente no ato da libe-
ração do empréstimo. Sua alíquota é determinada pelo Banco Central. 
Atualmente o IOF é calculado com a alíquota máxima de 0,0041% ao 
dia, ou 1,5% ao ano (Instrução Normativa nº 46, art. 5º de 2.05.2001). 
A instituição financeira cobra e repassa ao Tesouro Nacional.
Contas garantidas e o método hamburguês
A Conta Garantida é também um empréstimo, destinado as mi-
cro e pequenas empresas. A empresa possui duas contas, uma que 
ela movimenta normalmente e outra, na qual ficam os recursos, vin-
culada a empresa. Assim, quando a conta da empresa fica devedora, a 
conta que possui os recursos, que é a conta garantida, cobre, de acor-
do com as necessidades da empresa. 
Nesse tipo de operação, os juros somente incidem sobre os va-
lores que a empresa utilizou nos dias úteis e são debitados mensal-
mente na conta da empresa. 
A conta garantida21 pode ser entendi-
da como um cheque especial para pessoas 
jurídicas. O limite depende da capacidade de 
pagamento da empresa e pode ser coberto a 
qualquer momento por meio de créditos na 
conta garantida.
No Brasil alguns bancos 
exigem fiança para 
abertura de uma conta 
garantida e os saques 
são tributados pelo IOF. 
21
174 Matemática Financeira
Exemplo: a Franca Comércio e Serviços Ltda. possui uma conta 
garantida no valor de R$ 100.000,00 contratada por 1 mês e aberta no 
dia 01.08.Os encargos financeiros fixados para a operação são juros 
nominais de 4% ao mês, debitados ao final de cada mês e uma taxa 
administrativa de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. 
No período da operação financeira foram realizadas as seguin-
tes movimentações: 
Movimentação do mês
Dia 01.08 – saque de 10.000,00
Dia 11.08 - saque de R$ 5.000,00
Dia 16.08 depósito de R$ 15.000,00
Dia 20.08-saque de R$ 2.000,00
Dia 27.08 – saque de R$ 25.000,00 
Quanto vou pagar de juros nesse mês?
Solução:
 
Data
Descrição do 
Movimento
Valor D/C 
D(débito) 
C(crédito)
Saldo Nº
Nº de Dias x 
Saldo devedor
01.08 Taxa adm 2.000(D) -2.000 - -
01.08 Saque 10.00(D) -12.000 10 120.000,00
11.08 Saque 5.000(D) -17.000 5 85.000
16.08 Depósito 15.000(C) -2.000 4 8.000
20.08 Saque 2.000(D) -4.000 7 28.000
27.08 Saque 25.000(D) -29.000 3 87.000
30.08 Juros 437,33(D) -29.437 328.000
Total do 
mês
-29.437 328.000
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 175 
Resposta: vou pagar de juros pela minha conta garantida o 
valor de R$ 437,33
Vamos explicar a tabela:
A taxa administrativa: R$ 100.000 x 2%(0,02) = 2.000
Número de dias: o número de dias que o saldo fica negativo e 
são cobrados os juros
No dia 01.08, foi efetuado um saque no valor de R$ 10.000, que 
ficou descoberto 10 dias até a próxima movimentação. 
O cálculo dos juros pelo o método hamburguês é feito através 
da fórmula:
Juros é igual a soma dos produtos entre o número de dias que a 
conta estava devedora pelo saldo devedor, vezes a taxa.
J = i x ∑ Sd x n
SD = saldo devedor i = taxa de juros 
Juros do mês: 0,04/30 x 328.000,00 = R$ 437,33
No próximo conteúdo, estudaremos os principais sistemas de 
amortização e suas características. Vamos prosseguir? 
176 Matemática Financeira
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à 
análise de investimentos. 4 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2007.
O autor, entre as páginas 84 a 90, oferece mais conhecimentos a 
respeito dos tipos de empréstimo para capital de giro. 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 
10. ed. São Paulo: Atlas. 2009.
Entre as páginas 72 a 78 existem vários exercícios resolvidos que fa-
cilitarão a sua aprendizagem
PARA REFLETIR 
Neste conteúdo estudamos algumas aplicações práticas da Matemati-
ca Financeira relacionadas à movimentação do dinheiro necessário ao 
funcionamento de uma empresa. Gostaria que você refletisse porque 
tanto as empresas necessitam de capital de giro para sobreviverem? 
Quais os elementos que levam as empresas a buscar esses recursos?
 
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 177 
4.4 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Quando estudamos as séries uniformes, no conteúdo 4.1, no iní-
cio deste tema, aprendemos como calcular a prestação de uma dívida, 
de maneira que no final do período a mesma estivesse quitada. No 
caso, a duração da dívida era de alguns meses ou anos, se constituin-
do, no que chamamos de dívida em curto prazo.
Nos sistemas de amortização de empréstimos e financiamen-
tos, os juros utilizados são os juros compostos, eles são calculados, 
sempre, sobre o saldo devedor. E, se os juros não forem pagos em al-
guma parcela, serão incorporados ao saldo devedor, incidindo sobre 
ele novos juros. 
Quando realizamos um financiamento imobiliário, observamos 
que cada prestação é composta de duas parcelas: uma que paga os 
juros e a outra que abate a dívida e que elas podem ser constantes ou 
variáveis, conforme o sistema de amortização utilizado.
Definições básicas para o entendimento de uma planilha 
financeira para utilização de sistemas de amortização.
 D Amortização: é o ato de efetuar o pagamento do principal, 
do capital emprestado, por meio de prestações periódicas, 
sejam elas mensais, semestrais, etc.;
 D Prestação: é o valor a ser pago em cada período. É composta 
de duas parcelas: uma de amortização da dívida e a outra de 
pagamento de juros;
 D Saldo devedor: é quanto falta pagar da minha dívida a partir 
daquela data.
178 Matemática Financeira
 D Carência: é o prazo concedido pelo financiador ao financia-
do, durante o qual a amortização do principal é dispensada.
 D Planilha: tabela que mostra os valores pagos dos juros, da 
dívida, do saldo devedor etc.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a 
soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor.
Vamos estudar os seguintes sistemas de amortização: SAC (sis-
tema de amortização constante); SAF (sistema de amortização fran-
cês) e SAA (sistema de amortização americano)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
No sistema de amortização constante, a parcela da amortização 
da dívida é constante e calculada, dividindo o valor atual do financia-
mento pelo número de parcelas contratada e os juros são calculados 
sobre o saldo devedor. Observamos que as prestações nesse siste-
ma sempre são decrescentes, o que consequentemente faz com que o 
montante decresça após o pagamento de cada amortização. 
O cálculo da amortização é obtido através da divisão do capital 
emprestado pela quantidade de parcelas
Fonte: Autoria própria
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 179 
Exemplo:
A empresa Fiel Ltda. contratou um empréstimo no valor de R$ 
100.000,00, que deve ser quitado em um prazo de cinco anos em par-
celas semestrais. Se a taxa de juros vigente na operação for igual a 
30% a.a., pode-se calcular o valor de cada um dos pagamentos, des-
tacando juros e amortização do principal.
Considerando a taxa nominal de 30% ao ano, precisamos calcular 
a taxa equivalente semestral:
Fonte: Autoria própria
Agora vamos elaborar a planilha financeira para essa operação 
de empréstimo.
180 Matemática Financeira
Período 
(Semestre)
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75
3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
4 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25
5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
6 40.000,00 10.000,00 7.008,7517.008,75
7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
8 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25
9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
10 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75
Total 100.000,00 77.096,25 177,096,25
Fonte: Autoria própria
Explicação da tabela
Os juros incidem sobre o saldo devedor e apresentam valores 
decrescentes em progressão aritmética 
Período 1) 0,140175 x R$ 100.000,00 = R$ 14.017,50;
Período 2) 0,140175 x R$ 90.000,00 = R$ 12.615,80;
Período 3) 0,140175 x R$ 80.000,00 = R$ 11.214,00
A prestação (PMT) é igual a amortização mais os juros
PMT=Amort + juros
Esse tipo de cálculo traz a possibilidade de que seja oferecida 
uma carência para início da realização dos pagamentos. A carência é 
o prazo concedido pelo financiador ao financiado e o pagamento fica 
suspenso, sendo realizado a partir da data acordada entre as partes. 
Essa concessão pode acarretar em três situações distintas:
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 181 
a) Os juros são pagos durante a carência
b) Os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do 
vencimento da primeira prestação da amortização
c) Os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor ge-
rando valores de amortizações maiores que os previstos an-
teriormente
Continuando no mesmo exemplo anterior, da empresa Fiel, consi-
derando que o financiador ofereceu uma carência de 2 anos para início dos 
pagamentos, veremos como ficaria cada situação de carência estudada:
a) SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Período 
(Semestre)
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 1.401,80 11.401,80
Total 100.000,00 133.166,50 233,166,50
Fonte: Autoria própria
182 Matemática Financeira
b) SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros
Período 
(Semestre)
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 168.999,70 - - -
5 90.000,00 10.000,00 92.689,30 102.689,30
6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 10.000,00 1.401,80 11.401,80
Total 100.000,00 155.768,30 255,768,30
Fonte: Autoria própria
c) SAC com carência (2 anos) e com juros capitalizados e acres-
cidos ao saldo devedor. 
Período 
(Semestre)
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 169.000,00 - - -
5 152.100,00 16.900,00 23.689,60 40.589,60
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 183 
6 135.200,00 16.900,00 21.320,60 38.220,60
7 118.300,00 16.900,00 18.951,70 35.851,70
8 101.400,00 16.900,00 16.582,70 33.482,70
9 84.500,00 16.900,00 14.213,70 31.113,70
10 67.600,00 16.900,00 11.844,80 28.744,80
11 50.700,00 16.900,00 9.475,80 26.375,80
12 33.800,00 16.900,00 7.106,90 24.006,90
13 16.900,00 16.900,00 4.737,90 21.637,90
14 2.369,00 19.269,00
Total 169.000,00 130.292,70 299.292,70
Fonte: Autoria própria
Sistema de Amortização Francês
O Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Sistema de Pres-
tação Constante (SPC) é um sistema bastante utilizado no mercado 
financeiro do Brasil. É também conhecido, pela maioria, como “Tabela 
Price”. Em termos práticos, o sistema Price é o próprio sistema Fran-
cês em que a diferença está na maneira de usar a taxa de juros. No 
sistema Francês, a taxa utilizada é a taxa equivalente composta e no 
sistema Price é a taxa proporcional estudada em juros simples. Le-
vando em consideração apenas essa diferença, os sistemas funcio-
nam de maneira igual.
No Sistema Price ou Sistema de amortização Francês, as pres-
tações são iguais, sucessivas e periódicas. Como em todo sistema de 
amortização, cada prestação é composta de duas partes: os juros e a 
amortização do capital. As parcelas de amortização são crescentes e 
os juros são calculados sobre o devedor. Naturalmente, o saldo de-
vedor vai diminuindo ao longo do tempo, então a parcela relativa aos 
juros em cada prestação também diminui, isto é, ocorre o oposto com 
a parcela relativa a amortização. A dívida fica completamente saldada 
na última prestação.
184 Matemática Financeira
Para calcular a parcela de amortização do sistema Francês, a 
taxa de juros utilizada deve coincidir com a do período de amortização. 
Quando isso não ocorrer devemos transformar a taxa de juros dada, 
na taxa equivalente composta de período igual ao da amortização.
O valor da prestação é calculado pela fórmula:
PV = PMT x FPV (i,n)
O FPV é o fator de valor presente sendo o seu cálculo efetuado 
da seguinte forma:
Fonte: Autoria própria
Vamos considerar o mesmo exemplo anteriormente utilizado 
no cálculo do Sistema de Amortização Constante. 
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 185 
Período 
(Semestre)
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 - - -
1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
2 88.941,80 5.891,20 13.293,00 19.184,40
3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
4 74.566,20 7.658,60 11.452,30 19.184,40
5 65.834,10 8.732,10 9.228,20 19.184,40
6 55.877,90 9.956,20 7.832,60 19.184,40
7 44.526,20 11.351,80 6.832,60 19.184,40
8 31.583,20 12.943,00 6.241,40 19.184,40
9 16.825,90 14.757,30 4.427,10 19.184,40
10 16.825,90 2.358,50 19.184,40
Total 100.000,00 91.844,00 191.844,00
Fonte: Autoria própria
Explicação da tabela:
Obs: cada prestação contém o valor do juro, calculado sobre o 
saldo devedor da divida existente no final do período imediatamente 
anterior, e uma parcela do principal amortizado.
No 1º mês, temos: 
Juros = R$ 100.000 x 14,0175 = R$ 14.017,50
Amortização: como já conhecemos o valor da prestação e sabe-
mos que prestação é amortização mais juros, temos o valor da amor-
tização assim:
PMT = Amort + Juros
R$ 19.184,40 = Amort + R$ 14.017,50
Amort= R$ 19.184,40 – R$ 14.017,50
Amort= R$ 5.166,90
186 Matemática Financeira
Saldo final: é o saldo inicial menos a amortização
Saldo final = R$ 100.000 – R$ 5.166,90 = R$ 94.833,10
Observe que o saldo final de um mês passa ser o saldo inicial do 
mês seguinte. Os demais meses seguem o mesmo raciocínio.
Sistema de Amortização Americano
É o sistema em que o capital é amortizado com apenas um paga-
mento no final do período. Sendo que os juros são pagos normalmente.
Como não há amortização da dívida no sistema Americano, as 
prestações são constantes e são calculadas sobre o saldo devedor. Na 
verdade é o sistema do agiota. 
A planilha financeira do sistema de amortização americano é a 
mais fácil de ser elaborada.
Exemplo 
Um banco financia um principal de R$ 1.000,00 a uma empre-
sa, que deverá ser pago mediante 5 prestações mensais postecipa-
das pelo Sistema de Amortização Americano a uma taxa de juros de 
10%a.a .De acordo com dados acima, observe a planilhafinanceira 
com o sistema de amortização 
Valor dos juros mensais: 12% x R$ 1.000,00 = R$ 120,00
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 187 
Prazo Valor da 
Prestação
Juros Amortização Saldo 
devedor
0 120,00 1.000,00
1 120,00 120,00 0 1.000,00
2 120,00 120,00 0 1.000,00
3 120,00 120,00 0 1.000,00
4 120,00 120,00 0 1.000,00
5 1.120,00 120,00 1.000,00 0
Soma 1.600,00 600,00 1.000,00 0
Fonte: Autoria própria
No vencimento, além da ultima parcela de juros anuais de R$ 
120,00, ocorre a amortização do principal.
No sistema americano o primeiro pagamento corresponde aos 
juros negociados no ato da operação, ou seja, os valores pagos men-
salmente são iguais e correspondem aos juros. Ou seja, só são pagos 
os juros mensalmente e no final pago o principal. 
Portanto, com o estudo deste tema, vimos os principais e mais 
utilizados sistemas de amortização existentes e que podem nos pro-
porcionar uma base para continuar nos aprofundando nos estudos do 
campo de utilização da matemática financeira.
188 Matemática Financeira
LEITURA COMPLEMENTAR 
 D MILONE, Giuseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thompson 
Learning, 2006.
Das páginas 223 a 233 existem vários exercícios resolvidos a respei-
to do assunto, que irão ajudar no entendimento da aplicação dos sis-
temas de amortização, relacionando, assim, a matemática financeira 
com assuntos do nosso cotidiano. 
 D NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 
10. ed. São Paulo: Atlas. 2009.
Nas páginas 195 a 208 você encontrará mais conhecimentos a respei-
to dos tipos de amortização de empréstimos e financiamentos.
PARA REFLETIR 
Considere um financiamento de uma moto no valor de R$ 4.000,00 a 
uma taxa de juros de 3% ao mês para ser quitado em 12 prestações men-
sais. Como fica a planilha financeira no sistema de amortização cons-
tante e no sistema de amortização Francês? Qual o comportamento das 
prestações nos dois sistemas? Você aconselharia usar qual deles?
 
Tema 4
Séries Periódicas Uniformes, Empréstimos para capital de 
Giro e Sistemas de Amortização e Empréstimos 189 
RESUMO 
Concluímos o nosso estudo sobre Matematica Financeira referente ao 
tema 4. Estudamos o conceito de rendas ou séries uniformes de pa-
gamentes, focando o nosso estudo nas séries de pagamentos cons-
tantes, periódicas, temporárias e imediatas. Além de estudarmos que 
as rendas são pagamentos ou recebimentos que ocorrem durante o 
tempo, aprendemos a calcular o valor da prestação, como por exem-
plo, um crediário, seja ele com pagamento da entrada no ato, que é 
a serie uniforme antecipada; seja com o pagamento 30 dias após a 
realização da compra, que é a serie uniforme postecipada.
Na segunda parte, apesar do grande número de fórmulas, abordamos 
com maior intensidade conhecer o valor pago por uma dívida que foi 
parcelada.
Em seguida, abordamos algumas formas de obtenção de capital de giro 
para as empresas e observamos que quando a empresa busca emprés-
timos, seja para pagamento de dívidas existentes ou para aquela falta 
constante de dinheiro em caixa, a obtenção de empréstimos de capital 
de giro não deve ser a sua primeira opção. Devem ser realizadas várias 
análises, como: por que está faltando dinheiro no caixa da empresa? 
Por último, estudamos alguns tipos de sistemas de amortização de 
empréstimos ou financiamentos e constatamos que no Sistema de 
amortização constante, o SAC, você começa a pagar prestações maio-
res que no SAF, no entanto o total de juros apurados pelo SAF é bas-
tante superior ao do SAC.
 
190 Matemática Financeira
REFERÊNCIAS
BRUNNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com 
HP12C e Excel. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, Antonio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil.13.
ed. São Paulo: Saraiva Siciliano S/A, 2009.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6 
ed. São Paulo: Saraiva, 2007. 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática fi-
nanceira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos. 5. ed. São 
Paulo: Atlas, 2008
MILONE, Guiseppe. Matemática financeira. São Paulo: Thompson, 
2006.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 10. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira. 5. ed. São Pau-
lo:Pearson Prentice Hall, 2010.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com ênfase em produ-
tos bancários.Juros simples e compostos:séries uniformes.2. ed. São 
Paulo:atlas 2007
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 12. 
ed. São Paulo: Atlas, 2012.
Anotações
Anotações