Exercícios 1 tentativa 3 análise combinatória

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Análise Combinatória 
Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é 
escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta. Assinale a alternativa que 
apresenta a probabilidade da bola ser amarela. 
Nota: 10.0 
 
A 1313 
 
Você acertou! 
Trata-se de uma probabilidade condicional. Sejam AA o evento "bola selecionada é amarela" e BB o evento "bola selecionada não é preta". Verificamos 
que P(A∩B)=525P(A∩B)=525 e P(B)=1525P(B)=1525. Assim, a probabilidade da bola escolhida ser amarela, uma vez que não é preta 
é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13. 
 
B 1515 
 
 
C 325325 
 
 
D 225225 
 
 
E 125125 
 
 
Questão 2/10 - Análise Combinatória 
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10, J,Q,KJ,Q,K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - 
♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas: 
 
I. O espaço amostral ΩΩ associado a este experimento possui exatamente 52 eventos 
elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um JJ é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um JJ é 
113.113. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos MM o evento "sortear JJ". 
Logo, #M=4#M=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um JJ é P(M)=452=113P(M)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de 
uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(M∩B)=152P(M∩B)=152 e P(B)=1352P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser JJ, dado 
que é de copas é P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 3/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento do 
binômio (3x+2)3.(3x+2)3. 
Nota: 10.0 
 
A 18 
 
B 27 
 
C 36 
 
D 54 
Você acertou! 
O termo geral do desenvolvimento do binômio (3x+2)3(3x+2)3 é dado por Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p.Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p. Como estamos interessados 
no coeficiente de x2x2, devemos impor que 3−p=23−p=2, isto é, p=1p=1. Portanto, este coeficiente vale (31)2⋅32=54.(31)2⋅32=54. 
 
 
 
E 63 
 
Questão 4/10 - Análise Combinatória 
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 
 
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214
a linha:1331 
 
Com base nesse triângulo, analise as afirmativas: 
 
I. A segunda linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com 
n=1,n=1, isto é, (10)(10) e (11).(11). 
 
II. A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 5, 4 e 1, 
dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
 
III. A sétima linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 
1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
A segunda linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (10)=1(10)=1 e (11)=1.(11)=1. Logo, a afirmativa I é correta. A 5ª linha é formada pelos números 
binomiais: (40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4(40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é incorreta. Calculando os números binomiais 
com n=7,n=7, verificamos que a afirmativa III é correta. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 5/10 - Análise Combinatória 
Considere o binômio (x−1x)8.(x−1x)8. Com base nele, assinale V para as afirmativas 
verdadeira e F para as falsas. 
 
I. ( ) O termo geral do desenvolvimento deste binômio é 
Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.Tp+1=(8p)(−1)px8−2p. 
 
II. ( ) O coeficiente independente de xx vale 70. 
 
III. ( ) O desenvolvimento deste binômio não apresenta parcela com o monômio 
x5.x5. 
 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta: 
 
Nota: 0.0 
 
A V – V – V 
O termo geral do desenvolvimento do binômio (x−1x)8(x−1x)8 é dado por 
 
Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p, 
o que mostra que a afirmativa I é verdadeira. O coeficiente independente de xx ocorre quando a potência de xx for nula. Isso acontece quando no termo geral do desenvolvimento 
tivermos 8−2p=08−2p=0, isto é, p=4.p=4. Logo, o coeficiente independente de xx vale T5=(84)(−1)4=(84)=70T5=(84)(−1)4=(84)=70 e a afirmativa II é verdadeira. Para que 
tenhamos o monômio x5x5 no desenvolvimento do binômio em questão, devemos impor que 8−2p=5.8−2p=5. Como não existe p∈Np∈N que satisfaz essa equação, concluímos que o 
desenvolvimento não apresenta parcela com o monômio x5x5. Portanto, a afirmativa III também é verdadeira. 
 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 6/10 - Análise Combinatória 
Dois dados são jogados simultaneamente. Assinale a alternativa que apresenta a 
probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7. 
Nota: 10.0 
 
A 136136 
 
 
B 112112 
 
 
C 1616 
 
Você acertou! 
O espaço amostral consiste de todos pares (i,j)(i,j), onde ii e jj são números naturais compreendidos entre 1 e 6, incluindo estes valores. Logo, pelo Princípio Fundamental 
da Contagem, temos #Ω=6×6=36#Ω=6×6=36 eventos elementares. Seja AA o conjunto dos pares (i,j)(i,j) tais que i+j=7i+j=7. 
Então, A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} e #A=6#A=6. Portanto, a probabilidade procurada é P(A)=636=16P(A)=636=16. 
 
D 1313 
 
 
E 1212 
 
 
Questão 7/10 - Análise Combinatória 
Uma bandeira é formada por quatro listras que devem ser coloridas usando-se apenas 
as cores amarela, branca e cinza, não devendo as listras adjacentes ter a mesma cor. 
Assinale a alternativa que contém o número de modos da bandeira ser colorida: 
Nota: 10.0 
 
A 81 
 
B 54 
 
C 36 
 
D 24 
Você acertou! 
A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na primeira listra), a terceira de 2 modos (não podemos usar a cor empregada 
na segunda listra) e a quarta de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na terceira listra). Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
teremos 3×2×2×2=243×2×2×2=24 modos. 
 
E 16 
 
Questão 8/10 - Análise Combinatória 
Em um grupo formado por 10 professores, dos quais figuram Denise, Eduardo, Otto e 
Zaudir, considera-se comissões formadas por 5 professores. Com base nisso, coloque 
V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Ao todo, é possível formar 252 comissões. 
 
II. ( ) Sem a presença do professor Otto, é possível formar exatamente 126 
comissões. 
 
III. ( ) Ao todo, é possível formar 70 comissões com a presença do professor Eduardo 
e sem a presença do professor Zaudir. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
Você acertou! 
O número de modos de escolher 5 professores num grupo formado por 10 é C10,5=10!5!(10−5)!=252.C10,5=10!5!(10−5)!=252. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Sem a presença 
do professor Otto, devemos escolher 5 professores num total de 9. Isso pode ser feito de C9,5=126C9,5=126 maneiras e a afirmativa II é verdadeira. Como Eduardo estará na comissão 
e Zaudir não, restam oito pessoas para 4 vagas, ou seja, C8,4=8!4!(8−4)!=70C8,4=8!4!(8−4)!=70 comissões possíveis. Portanto, a afirmativa III é verdadeira. 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 9/10 - Análise Combinatória 
De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e 
Química sabe-se que: 
 
I. 40 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino. 
 
II. O total de alunos do sexo masculino é 60, dos quais 10 destinam-se à Química.III. Existem 30 moças que se destinam ao curso de Química. 
 
Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do 
sexo feminino, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que esse aluno 
destine ao curso de Matemática. 
 
Nota: 10.0 
 
A 1313 
 
Você acertou! 
Sejam AA o evento "sortear aluno que se destina à Matemática" e BB o evento "sortear aluno do sexo feminino". O total de alunos do sexo feminino é 120−60=60120−60=60 e, 
destes, 40−20=2040−20=20 destinam-se à Matemática. Assim, P(A∩B)=20120P(A∩B)=20120. Além disso, P(B)=60120P(B)=60120. Portanto, a probabilidade de que o aluno 
sorteado destina-se à Matemática sabendo que é do sexo feminino é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13. 
 
B 1616 
 
 
C 112112 
 
 
D 1414 
 
 
E 512512 
 
 
Questão 10/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente independente de xx no 
desenvolvimento de (x2+1√x)9(x2+1x)9: 
Nota: 0.0 
 
A 192192 
 
 
B 212212 
 
O termo geral do desenvolvimento deste binômio é 
 
Tp+1=(9p)(1√x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.Tp+1=(9p)(1x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p. 
 
Como buscamos o termo independente de xx, devemos impor que 18−3p2=018−3p2=0, isto é, p=6p=6. Desta forma, o termo independente 
de xx vale T7=(96)123=212.T7=(96)123=212. 
 
 
C 232232 
 
 
D 252252 
 
 
E 292292