métodos quantitatiovos

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23/08/2019
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Métodos 
Quantitativos
Estatística inferencial (parte II)
Valdeci da Silva Araújo
• Unidade de Ensino: 4
• Competência da Unidade: Compreender a relação entre duas variáveis.
• Resumo: Nessa unidade você estudará a relação entre duas variáveis, de modo a ter 
a possibilidade de prever resultados futuros ou inferir valores não amostrados de 
uma população.
• Palavras-chave: correlação entre variáveis quantitativas; teste de significância; 
regressão linear; estudando resíduos
• Título da Teleaula: Estatística inferencial (parte II)
• Teleaula nº: 4
Muitas das pesquisas e investigações que realizamos têm o objetivo de 
verificar a existência de relação entre duas variáveis.
• A relação entre duas variáveis é forte ou fraca?
• A relação é direta ou inversa?
• Como medimos a relação entre duas variáveis?
Contextualizando a teleaula
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Imagine que você é um funcionário da empresa M e que foi incumbido de 
realizar uma pesquisa para determinar o perfil dos 30 mil funcionários. 
Foi perguntado aos funcionários da empresa M qual era a avaliação deles 
em relação às condições de trabalho e à remuneração.
Será que essas variáveis estão relacionadas?
Quanto maior a remuneração, maior a satisfação do funcionário?
Conhecimentos conceituais:
• Função afim.
Conhecimentos procedimentais:
• Operações aritméticas básicas;
• Construção de gráficos.
Conhecimentos prévios
Conceitos
Correlação entre 
variáveis 
quantitativas
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Considere a seguinte amostra de funcionários da empresa M.
H: satisfação em relação a remuneração e G: satisfação em relação às
condições de trabalho.
Uma vez aceita a hipótese de relação de dependência entre duas 
variáveis, surgem duas perguntas básicas:
1ª) Essa relação é forte ou fraca?
2ª) De que forma podemos mensurar essa relação?
Correlação: diz-se que duas variáveis estão 
correlacionadas quando existe 
uma relação de dependência entre 
elas. 
Correlação linear: 
duas variáveis estão correlacionadas linearmente quando a relação entre 
elas pode ser representada geometricamente por 
meio de uma reta.
Classificação da relação entre as variáveis a partir de r
 Se r > 0, a correlação entre X e Y é positiva, e quanto mais próximo r
estiver de + 1, mais fortemente as variáveis estão correlacionadas.
 Se r < 0, a correlação entre X e Y é negativa, e quanto mais próximo r
estiver de - 1, mais fortemente as variáveis estão correlacionadas.
 Se r = 0, não há correlação entre X e Y
Utilizando a fórmula:
Calcule o coeficiente de correlação para as variáveis X e Y e classifique as
variáveis quanto à correlação.
Resolução da SP
Correlação entre 
variáveis 
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Imagine que você é funcionário da empresa M e que necessita avaliar a 
relação existente entre a satisfação em relação às condições de trabalho e 
a satisfação em relação à remuneração. 
Será que, quanto maior é a satisfação em relação à remuneração, mais 
satisfeitos ficam os funcionários em relação às condições de trabalho?
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Diagrama de dispersão para G e H
Conceitos
Teste de 
significância
Conhecendo-se o valor de r, podemos testar a significância.
Passo 1 (elaborar as hipóteses)
H0 : � ≥ 0 (não há correlação negativa significante)
H1 : � < 0 (correlação negativa significante)
H0 : � ≤ 0 (não há correlação positiva significante)
H1 : � > 0 (correlação positiva significante)
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Passo 2 (determinar a estatística de teste)
Com � = � − 2 graus de liberdade
Passo 3 (fixar o nível de significância)
� até 5%
Passo 4 (calcular a estatística a partir da amostra)
Passo 5 (tomar uma decisão)
Resolução da SP
Testar 
significâncias
O coeficiente de correlação para a amostra apresentada é � ≅ 0,707, e 
afirmamos que nesse caso a correlação é forte.
A fim de sustentarmos essa afirmação, precisamos testá-la. Para isso, que 
procedimentos devemos adotar?
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Observando a tabela na linha � = 20 − 2 = 18 e na coluna correspondente à
probabilidade 5%, temos � = 1,734. Logo, �	 = {
 ∈ �|
 ≥ 1,734} .
Obtivemos � ≅ 0,707 a partir de uma amostra de tamanho n = 20, logo,
calculamos:
�	 = {
 ∈ �|
 ≥ �}
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Passo 5 (tomar uma decisão)
Como tc ∈ �	, decidimos rejeitar H0 , isto é, há indícios suficientes que
nos permitem considerar a correlação entre G e H positivamente
significante.
Interação
Exercício
Considere o conjunto de dados bivariados (X, Y), em que, por amostragem, 
coletou-se:
(5, 3), (14, 11), (15, 14), (5, 3), (9, 11), (13, 14), (7, 4)
 Considerando os dados, qual é o valor aproximado de Cov(X, Y).
Fórmula: 
(5, 3), (14, 11), (15, 14), (5, 3), (9, 11), (13, 14), (7, 4)
Temos x ≅ 9,71 e y ≅ 8,57 . Logo
Resolução:
Conceitos
Regressão linear
A linha reta representada na figura abaixo, que é a reta de melhor ajuste, é 
denominada reta de regressão. O papel desempenhado por essa reta é o 
de representar geometricamente a associação entre as variáveis X e Y.
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Uma linha reta é descrita matematicamente por uma equação do tipo
� = 
. � + � , em que 
 e � são números desconhecidos a serem
determinados.
Os coeficientes 
 e � podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:
Existem fórmulas alternativas e equivalentes para calcular os coeficientes
de regressão. São elas:
Resolução da SP
Regressão linear
Imagine que você seja um funcionário da empresa M e que foi incumbido 
de descrever o perfil dos funcionários. A partir da tabela a seguir, é possível 
estabelecer uma relação matemática entre a satisfação em relação à 
remuneração e a satisfação em relação às condições de trabalho?
Um funcionário que avalie sua satisfação em relação à remuneração com a 
pontuação 9 avaliará com qual pontuação a satisfação em relação às 
condições de trabalho?
• H: satisfação em 
relação a 
remuneração 
• G: satisfação em 
relação às 
condições de 
trabalho.
O coeficiente de correlação linear entre as variáveis G, satisfação em 
relação às condições de trabalho e H, satisfação em relação à 
remuneração é � = 0,707. 
Com um nível de significância de 95%, foi atestada a significância dessa 
correlação. 
Logo, faz sentido determinarmos a equação da reta de regressão: 
• Temos que: 
Logo:
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Portanto, a equação da reta de regressão é: 
• Para estimarmos qual pontuação em relação à condição de trabalho 
será atribuída por um funcionário que avaliar sua remuneração com a 
pontuação 9, substituímos h = 9 na equação anterior, ou seja: 
O resultado foi arredondado, visto que a nota que deveria ser atribuída
na pesquisa era um valor entre 0 e 10.
Por fim, concluímos que um funcionário que atribua nota 9 a sua
remuneração avaliará as condições de trabalho com a nota 10.
Conceitos
Estudando 
resíduos
O coeficiente de determinação (ou de explicação) é uma medida que tem
por finalidade mensurar em termos percentuais, o quanto da variação de
uma variável Y é devido à variação de X, supondo que essas variáveis
sejam correlacionadas.
Existe uma relação estreita entre o coeficiente de correlação r e o
coeficiente de determinação. Essa relação é expressa por:
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Duas variáveis X e Y estão negativamente correlacionadas de modo que
� = − 0,9. Quanto da variação de Y pode ser explicado por sua correlação
e variação de X?
Resolução:
� = − 0,9
Coeficiente de determinação:
r² = (− 0,9)² = 0,81 = 81%.
Em estatística, sempre que é realizada uma estimativa pontual, como é o
caso da previsão para � feita por meio da reta de regressão em que � =
� + �, é natural pensarmos em construir um intervalo de confiança para
a estimativa. Algunsautores também o denominam intervalo de previsão
Dada a regressão linear � = 10,5� + 4 suponha que ao nível de confiança
de 95%, a margem de erro de previsão para � seja � = 2.
Determine o intervalo de confiança para o valor � correspondente a � = 15.
Resolução:
1º Substituir � = 15 na função � = 10,5� + 4:
Resolução da SP
Resíduos
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É possível estabelecer um intervalo de confiança para a estimativa 
, obtida a partir de ℎ0 = 9? 
Quanto da variação de G é explicado pela variação de H e quanto é devido
ao acaso e às características próprias de cada funcionário?
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O coeficiente de correlação dessas variáveis foi estimado em � ≅ 0,707.
Desse modo, apenas 50% da variação de G se deve à variação de H, e os 
outros 50% devem-se ao acaso.
Supondo um nível de confiança de � = 95%, para determinar um intervalo 
de predição para e precisamos calcular o erro padrão de 
estimativas Se e a margem de erro E. 
Temos:
Além disso, consultando a tabela T para v = 20 – 2 = 18 graus de liberdade 
e na coluna correspondente a 2,5%, temos:
Logo:
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Interação
Exercício
Considere o conjunto de dados bivariados (X, Y) em que, por amostragem, 
coletou-se:
(5, 3), (14, 11), (15, 14), (5, 3), (9, 11), (13, 14), (7, 4)
Considerando os dados, qual é o valor aproximado do coeficiente de 
correlação entre X e Y.
Fórmula:
Resolução:
Conceitos
Recapitulando
 Correlações entre variáveis quantitativas;
 Teste de significância;
 Estudando resíduos;
 Regressão Linear.
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