Gabarito P-1 A do 2sem2016

Prévia do material em texto

Nº sequencial 
 
DISC: Nº MA 2121 CÁLCULO II 
I 
P- 1 A DATA: 26/ set / 2016 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e celulares. 
 O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas a tinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2ª questão: Esboçar e calcular a área da região do plano 
limitada pela parábola 𝑥 = 𝑦2 e pela reta y = 2− x. 
 
 
 
1ª questão: Resolver ∫
𝑥+1
√4−𝑥2
𝑑𝑥 
 
 
Nº 
 
1 
−2 
Pontos de intersecção: 𝑦2 = 2 − 𝑦 
 𝑦2 + 𝑦 − 2 = 0 
 𝑦 =
−1±3
2
 
 y = 1 ou y = −2 
 
 
A = ∫ [(2 − 𝑦) − 𝑦2]𝑑𝑦
1
−2
 
 
A = 2𝑦 −
𝑦2
2
−
𝑦3
3
 |
1
−2
 
 
A = [2 −
1
2
−
1
3
 ] − [−4 − 2 +
8
3
] 
 
A = 2 −
1
2
−
1
3
+ 6 −
8
3
 
 
A = 𝟓 −
𝟏
𝟐
= 
𝟗
𝟐
 𝒖. 𝒂. 
 
 
x = 2senθ 
dx = 2cosθ.dθ 
𝐼 = ∫
2𝑠𝑒𝑛𝜃+1
√4(1−𝑠𝑒𝑛2𝜃)
 .2𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃 = ∫
2𝑠𝑒𝑛𝜃+1
2.𝑐𝑜𝑠𝜃
. 2𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃 
 
𝐼 = ∫(2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1). 𝑑𝜃 
 
I = 2.(−cosθ) + θ + C 
 
 
 
 
I = −2.
√4−𝑥2
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
𝑰 = −√𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒙
𝟐
) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
2 
√4 − 𝑥2 
θ 
OUTRA RESOLUÇÃO: 
 
𝐼 = ∫
𝑥+1
√4−𝑥2
𝑑𝑥 
 
𝐼 = ∫
𝑥
√4−𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
1
√4−𝑥2
𝑑𝑥 
 
𝐼 =
𝟏
−𝟐
∫
−𝟐.𝑥
√4−𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥
√4−𝑥2
 
 
propriedade 15 tabela nº 21 
 
𝐼 =
−1
 2
. 2√4 − 𝑥2 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
𝑰 = −√𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝒙
𝟐
) + 𝑪 
 
x 
y 
MA 2121 P-1 A 2º SEMESTRE 2016 MA 2121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª questão: Resolver I = ∫ ln(𝑥 + 𝑥2). 𝑑𝑥 3ª questão: Calcular o comprimento do gráfico da 
função y = f(x) = 
1
2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) para 0 ≤ x ≤ 2. 
y ’ = f ’(x) = 
1
2
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) 
 
L = ∫ √1 + [𝑓 ’(x)]2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
L = ∫ √1 + [
1
2
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)]
22
0
 𝑑𝑥 
 
L = ∫ √1 +
1
4
(𝑒2𝑥 − 2 + 𝑒−2𝑥) 𝑑𝑥
2
0
 
 
L = 
1
2
∫ √𝑒2𝑥 + 2 + 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 
 
L = 
1
2
∫ √(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2𝑑𝑥
2
0
 
 
L = 
1
2
∫ (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)
2
0
𝑑𝑥 
 
L = 
1
2
(𝑒𝑥 +
𝑒−𝑥
−1
) |
2
𝑥
0
 
 
L = 
1
2
[(𝑒2 − 𝑒−2) − (𝑒0 − 𝑒0)] 
 
L = 
𝟏
𝟐
(𝒆𝟐 − 𝒆−𝟐) 𝒖. 𝒄. 
 
 
u = ln(𝑥2 + 𝑥) dv = 𝑑𝑥 
 
du = 
2𝑥+1
𝑥2+𝑥
𝑑𝑥 v = x 
 
 
∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 
 
I = 𝑥. ln(𝑥2 + 𝑥) − ∫ 𝑥.
2𝑥+1
𝑥2+𝑥
 𝑑𝑥 
 
I = 𝑥. ln(𝑥2 + 𝑥) − ∫ 𝑥.
2𝑥+1
𝑥.(𝑥+1)
 𝑑𝑥 
 
I = 𝑥. ln(𝑥2 + 𝑥) − ∫
2𝑥+1
𝑥+1
 𝑑𝑥 
 
 
 2𝑥 + 12 x + 1 
 −2x − 2 2 
 − 1 
 
 
I = 𝑥. ln(𝑥2 + 𝑥) − ∫ (2 − 
1
𝑥+1
 ) 𝑑𝑥 
 
I = 𝒙. 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝒙) − 𝟐𝒙 + 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟏| + C 
 
MA 2121 P-1 A 2º SEMESTRE 2016 MA 2121 
 
RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª questão: Resolver ∫
9−𝑥
(𝑥2−3𝑥+2)(𝑥2+3)
𝑑𝑥 
 
a) Fatoração do denominador: 
 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 
x = 
3±1
2
 {
𝑥1 = 1
𝑥2 = 2
 
a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 
 
 
b) Decomposição em frações parciais: 
 
9−𝑥
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥2+3)
 = 
𝐴
𝑥−1
 + 
𝐵
𝑥−2
+
𝐶𝑥+𝐷
𝑥2+3
 
 
9−𝑥
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥2+3)
 = 
𝐴(𝑥−2)(𝑥2+3)+𝐵(𝑥−1)(𝑥2+3)+(𝐶𝑥+𝐷)(𝑥−1)(𝑥−2)
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥2+3)
 
 
𝐴(𝑥 − 2)(𝑥2 + 3) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥2 + 3) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)2 = 9 − 𝑥 
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥3 + (−2𝐴 − 𝐵 − 3𝐶 + 𝐷)𝑥2 + (3𝐴 + 3𝐵 + 2𝐶 − 3𝐷)𝑥 + (−6𝐴 − 3𝐵 + 2𝐷 = 9 − 𝑥 
 
{
 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0 
−2𝐴 − 𝐵 − 3𝐶 + 𝐷 = 0 
3𝐴 + 3𝐵 + 2𝐶 − 3𝐷 = −1
−6𝐴 − 3𝐵 + 2𝐷 = 9 
 A = −2 ; B = 1 ; C = 1 ; D = 0 
 
9−𝑥
(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥2+3)
 = 
−2
𝑥−1
 + 
1
𝑥−2
+
𝑥+0
𝑥2+3
 
 
 
 
c) Cálculo das integrais: 
 
I = −2 ∫
𝑑𝑥
𝑥−1
 + ∫
𝑑𝑥
𝑥−2
 + ∫
𝑥
𝑥2+3
𝑑𝑥 
 
I = −2 ∫
𝑑𝑥
𝑥−1
 + ∫
𝑑𝑥
𝑥−2
 + 
1
2
∫
𝟐𝑥
𝑥2+3
𝑑𝑥 ( propriedade 15 ) 
 
 
I = −2. ln|𝑥 − 1| + ln|𝑥 − 2| +
1
2
ln|𝑥2 + 3| + K 
 
I = − ln|(𝑥 − 1)2| + ln|𝑥 − 2| + ln |(𝑥2 + 3)
1
2⁄ | + 𝐾 
 
 
I = 𝐥𝐧 |
(𝒙−𝟐)√𝒙𝟐+𝟑
(𝒙−𝟏)𝟐
| + K