Exercício 01 - Estruturas de Concreto II - Pilares de canto

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PILARES DE CANTO 
São submetidos a flexão oblíqua. As excentricidades iniciais ocorrem nas direções das bordas. 
 
1ª QUESTÃO: 
O exemplo a seguir é de pilar de canto, biapoiado na base e no topo, de nós fixos (contraventados) e sem forças 
transversais atuantes. Dados: 
• Concreto C20; 
• Aço CA-50; 
• d’ = 4,0 cm; 
• Coeficientes: γc = γf = 1,4 e γs = 1,15; 
• Nk = 820 kN; 
• M1d,A,x = – M1d,B,x = 2.041 kN.cm (e1x,A = – e1x,B = 1,78 cm); 
• M1d,A,y = – M1d,B,y = 1.726 kN.cm (e1y,A = – e1y,B = 1,50 cm) 
• Seção 20x50 cm (Ac = 1.000 cm2); 
• lex = ley = 280 cm. 
 
 
 
a) Esforços solicitantes 
A força normal de cálculo é: 
 
Nd = γn . γf . Nk = 1,0 . 1,4 . 820 =1.148 kN. 
 
com γn determinado na Tabela 13.1 da NBR 6118/2014, em função da menor largura da seção transversal do 
pilar. 
 
b) Índice de esbeltez 
𝝀𝒙 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝒍𝒆𝒙
𝒉𝒙
 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝟐𝟖𝟎
𝟐𝟎
 = 𝟒𝟖, 𝟒 
 
𝝀𝒚 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝒍𝒆𝒚
𝒉𝒚
 = 
𝟑, 𝟒𝟔 . 𝟐𝟖𝟎
𝟓𝟎
 = 𝟏𝟗, 𝟒 
 
 
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c) Momento fletor mínimo 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 = 𝑵𝒅 (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) 
 
Direção x 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒙 = 𝑵𝒅(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) = 𝟏. 𝟏𝟒𝟖 (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟐𝟎) = 𝟐. 𝟒𝟏𝟎, 𝟖 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
𝒆𝟏𝒙,𝒎í𝒏 = 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒙
𝑵𝒅
 = 
𝟐. 𝟒𝟏𝟎, 𝟖
𝟏. 𝟏𝟒𝟖
 = 𝟐, 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
 
Direção y 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒚 = 𝑵𝒅(𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝒉) = 𝟏. 𝟏𝟒𝟖 (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟓𝟎) = 𝟑. 𝟒𝟒𝟒, 𝟎 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
𝒆𝟏𝒚,𝒎í𝒏 = 
𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏,𝒚
𝑵𝒅
 = 
𝟑. 𝟒𝟒𝟒
𝟏. 𝟏𝟒𝟖
 = 𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒎 
 
d) Esbeltez limite 
𝝀𝟏 = 
𝟐𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟓 .
𝒆𝟏
𝒉
𝜶𝒃
 
Com 35 < λ1 < 90. 
 
Direção x: 
A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 1,78 cm. Os momentos fletores de 1
a ordem nesta direção 
são M1d,A,x = – M1d,B,x = 2.041 kN.cm, menores que o momento fletor mínimo (M1d,mín,x = 2.410,8 kN.cm), o 
que leva a αb = 1,0. Assim: 
𝝀𝟏,𝒙 = 
𝟐𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟓 .
𝟏, 𝟕𝟖
𝟐𝟎
𝟏, 𝟎
 = 𝟐𝟔, 𝟏𝟏 
 
Direção y: 
A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 1,50 cm. Os momentos fletores de 1
a ordem nesta direção 
são M1d,A,y = – M1d,B,y = 1.726 kN.cm, menores que o momento fletor mínimo (M1d,mín,y = 3.444,0 kN.cm), o 
que leva também a αb = 1,0. Assim: 
𝝀𝟏,𝒚 = 
𝟐𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟓 .
𝟏, 𝟓𝟎
𝟓𝟎
𝟏, 𝟎
 = 𝟐𝟓, 𝟒 
Desse modo: 
λx = 48,4 > λ1,x = 26,11 : são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x; 
λy = 19,4 < λ1,y = 25,4 : não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y. 
 
e) Momento fletor de 2ª ordem 
• Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝜶𝒃 . 𝑴𝟏𝒅,𝑨 + 𝑵𝒅 .
𝒍𝒆
𝟐
𝟏𝟎
 .
𝟏
𝒓
 ≥ 𝑴𝟏𝒅,𝑨 𝒐𝒖 𝑴𝟏𝒅,𝒎í𝒏 
M1d,A > M1d,mín 
 
Força normal adimensional: 
𝝂 = 
𝑵𝒅
𝑨𝒄 . 𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟏. 𝟏𝟒𝟖
𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟖𝟎 
 
 
 
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Curvatura na direção y sujeita aos momentos fletores de 2ª ordem: 
𝟏
𝒓
 = 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝒉 (𝝂 + 𝟎, 𝟓𝟎)
 = 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝟐𝟎 . (𝟎, 𝟖𝟎 + 𝟎, 𝟓)
 = 𝟏, 𝟗𝟐𝟑𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 𝒄𝒎−𝟏 ≤ 
𝟎, 𝟎𝟎𝟓
𝟐𝟎
 = 𝟐, 𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 𝒄𝒎−𝟏 
 
A excentricidade máxima de 2ª ordem na direção x é: 
𝒆𝟐𝒙 = 
𝒍𝒆
𝟐
𝟏𝟎
 .
𝟏
𝒓
 = 
𝟐𝟖𝟎𝟐
𝟏𝟎
 . 𝟏, 𝟗𝟐𝟑𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎 
 
Fazendo M1d,A > M1d,mín em cada direção, tem-se o momento fletor total: 
Direção x: (M1d,A,x = 2.041 kN.cm < M1d,mín,x = 2.410,8 kN.cm) 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒙 = 𝟏, 𝟎 . 𝟐. 𝟒𝟏𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟏𝟒𝟖 .
𝟐𝟖𝟎𝟐
𝟏𝟎
 . 𝟏, 𝟗𝟐𝟑𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟒. 𝟏𝟒𝟏, 𝟔 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
 
Direção y: (M1d,A,y = 1.726 kN.cm < M1d,mín,y = 3.444,0 kN.cm) 
Md,tot,y = 1.726,0 kN.cm > M1d,mín,y = 3.444,0 kN.cm 
Md,tot,y = 3.444,0 kN.cm 
 
f) Cálculo das armaduras 
Direção x: 
𝝁x = 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒙
𝒉𝒙𝑨𝒄𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟒𝟏𝟒𝟏, 𝟔
𝟐𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎.
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟏𝟒 
𝒅𝒙
′
𝒉𝒙
 = 
𝟒, 𝟎
𝟐𝟎
 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
Direção y: 
𝝁y = 
𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕,𝒚
𝒉𝒚𝑨𝒄𝒇𝒄𝒅
 = 
𝟑𝟒𝟒𝟒
𝟓𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎.
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟎𝟓 
𝒅𝒚
′
𝒉𝒚
 = 
𝟒, 𝟎
𝟓𝟎
 = 𝟎, 𝟎𝟖 ≅ 𝟎, 𝟏𝟎 
 
Com ν = 0,80 e utilizando os ábacos de PINHEIRO (15B) para Flexão Composta Oblíqua: 
ω = 0,50 
 
g) Cálculo das armaduras 
𝑨𝒔 = 
𝝎 𝑨𝒄 𝒇𝒄𝒅
𝒇𝒚𝒅
 = 
𝟎, 𝟓𝟎 . 𝟏𝟎𝟎𝟎 .
𝟐, 𝟎
𝟏, 𝟒
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟑 𝒄𝒎𝟐 
8 ϕ 16mm